文档文本内容
培优专题01 有理数混合运算的专项训练
（题型突破·举一反三）
题型01 有理数的加法运算（选择填空基础・夯实根基）
题型02 有理数的减法运算（基础高频・核心工具）
题型03 有理数的加减运算（期中基础必考・综合训练）
题型04 有理数的乘法运算（期中基础高频・核心工具）
题型05 有理数的除法运算（基础易错题・概念巩固）
题型06 有理数的乘除运算（期中常考・综合训练）
题型07 有理数的加减乘除混合运算（期中重难点・核心计算）
题型08 含乘方的有理数的混合运算（期中压轴基础・核心难点）
题型09 利用运算律简便运算（中档解答常考・提分关键）
题型10 新定义运算问题（拓展创新・区分题型）
▌题型01 有理数的加法运算
运用加法交换律交换加数的位置时，一定要带着性质符号一起交换.
【典例1】（25-26 七年级上·全国·单元复习）（1）计算：
1
3
5
3
3
7
æ
ö
æ
ö
-
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ；
（2）计算：
1.4
4.5
-
+ -
．
【变式1】（24-25 七年级上·全国·课后作业）计算：
1
1
2.125
3
5
3.2
5
8
æ
ö
æ
ö
-
+ +
+ +
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
【变式2】（24-25 六年级上·山东烟台·阶段检测）计算：
(1)
17
23
-
+ -
；
(2)
1
3
3
1.25
1
2
4
4
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+ -
+ -
+ +
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ；
(3)
34
8
5
23
-
+ +
+ +
+ -
(4)
1
5
3
1
2
1
4
6
4
6
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+ +
+ -
+ +
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø ；
【变式3】（25-26 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
2.4
3.7
4.6
3.7
-
+ -
+ -
+
；
(2) 1
1
2
5
6
3
3
6
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+ -
+ -
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ．
【变式4】（25-26 七年级上·宁夏固原·阶段检测）计算：
(1)
5.6
0.9
4.4
8.1
+ -
+
+ -
；
(2)
2
1
2
4
2
3
3
æ
ö
æ
ö
-
+ -
+ -
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
【变式5】（24-25 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
7
21
7
21
+
+ -
+ -
+ +
；
(2)
3
1
2
1
1
7
5
7
5
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+ +
+ +
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø ；
(3)
1
22
101
2
-
+ +
+ +
+ -
．
【变式6】（26-27 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
2
1
2
3
7
3
æ
ö
æ
ö
+
+
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ；
(2)
5
9
7
5
1
12
14
12
14
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+ -
+ +
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø ．
【变式7】（26-27 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
2.4
3.5
4.6
3.5
-
+ +
+ -
+ +
；
(2)
1
3
1
2
2
6
2
5
5.6
3
5
3
5
é
ù
æ
ö
æ
ö
+
+ -
+ -
+ -
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
．
▌题型02 有理数的减法运算
将减法转化为加法时，要注意“两变一不变”.（“两变”指：减数变相反数，减法变
加号；“一不变”指：被减数不变）
【典例2】（26-27 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
32
55
-
- +
．
(2)
1
1
6
3
æ
ö
-
- -
ç
÷
è
ø ．
(3)
1
1
2
3
4
2
æ
ö
æ
ö
-
- -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø．
(4)
4
6
1.8
5
æ
ö
-
- -
ç
÷
è
ø
．
【变式1】（25-26 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
37
12
-
-
；
(2)
11
17
- -
；
(3)
14
16
-
- -
；
(4)
2.7
2.7
-
- -
；
(5)
1
0
3
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø
；
(6)3 12
-
．
【变式2】（25-26 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
6
8
- -
；
(2)
2
3
-
- ；
(3)
3
7
-
- -
；
(4)0
4
-
；
(5)
5
3
2
+ -
- -
；
(6)
5
2.4
1
-
- -
+ -
．
【变式3】（25-26 七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）计算：
(1)
2
1
3
6
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø
；
(2)
10
8
6
4
- - -
- +
；
(3)
2
1
1
3
12
4
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
- +
- -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ；
(4)
2
3
2
3
2
7
2.75
3
4
3
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
- -
- -
- +
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
.
【变式4】（25-26 七年级上·全国·单元复习）计算：
1
3
1
0.25
3
5
8
4
4
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
- -
- +
- +
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø．
【变式5】（26-27 七年级上·全国·课后作业）计算：
1
2
5
1
2
3
1
0.5
1
3
3
6
6
é
ù
æ
ö
-
-
-
- -
- -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
．
【变式6】（25-26 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
4
1
4
6
-
- - -
- ；
(2)
6
3
7
5
-
-
- -
；
(3)
11
22
33
44
55
66
-
- -
- -
- -
- -
- -
；
(4)
1
1
1
1
1
1
1
2
4
4
8
512
1024
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
-
-
-
-
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
L
．
▌题型03 有理数的加减运算
有理数的加减混合运算统一成加法运算时，可适当选用加法运算律，使运算简便.
【典例3】（24-25 七年级上·重庆万州·阶段检测）计算
(1)
3
3
4.6
2.8
5
- -
- -
- -
(2)
2.5
2.7
1.6
2.7
2.4
-
- +
- -
- -
+ +
【变式1】（25-26 七年级上·广西崇左·期末）解答题：
(1)
27 15
23
35
-
- -
+ -
．
(2)
3
0.25
3
14
-
+ -
- -
．
(3) 1
3
5
1
1
2
4
6
2
4
æ
ö
æ
ö
+ -
+
+ -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
(4)
2
3
1
1
3
2
6
2
æ
ö
æ
ö
-
- -
+
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ．
【变式2】（25-26 七年级上·福建泉州·期末）计算：
3
2
15
9
8
5
5
æ
ö
-
+
+ -
- -
ç
÷
è
ø ．
【变式3】（25-26 六年级上·上海虹口·期末）计算：
1
4
1
212
3
6
æ
ö
æ
ö
- -
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ．
【变式4】（25-26 七年级上·河南南阳·期末）计算：
1
3
1
2
1
1
4
4
2
æ
ö
-
- -
+ -
-
ç
÷
è
ø
．
【变式5】（25-26 七年级上·陕西西安·阶段检测）计算：
(1) 13
5
-
+ ；
(2)
10
15
17
+ -
- -
；
(3)
1
1
0.5
2.75
4
2
æ
ö
+ -
- -
+
ç
÷
è
ø
．
【变式6】（25-26 七年级上·河北·阶段检测）计算
(1)
71
64
-
+ +
；
(2)
4
11
9
-
- +
- -
；
(3)
4
3
3
5
4
æ
ö
æ
ö
+
- -
- -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；
(4)
1
1
3
2.16
8
3.125
3.84
0.25
8
4
æ
ö
-
+ -
+
+
+ -
+ -
ç
÷
è
ø
；
【变式7】（25-26 七年级上·安徽安庆·阶段检测）计算：
2
7
3
1
3
2
5
5
8
5
8
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+ -
- -
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
．
【变式8】（25-26 七年级上·云南·期末）计算：
2.1
3.2
2.4
4.3
-
+ -
- -
- -
．
▌题型04 有理数的乘法运算
奇负偶正，绝对值相乘
【典例4】（24-25 六年级上·上海·阶段检测）计算：
24
9
125
25
-
æ
ö´
ç
÷
è
ø
【变式1】（23-24 七年级上·全国·课堂例题）计算：
(1)
5
9
1
3
6
5
4
æ
ö æ
ö
-
´
´ -
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø ；
(2)
4
1
5
6
5
4
æ
ö
-
´ ´ -
´
ç
÷
è
ø
．
【变式2】（25-26 七年级上·江苏徐州·阶段检测）计算：
(1)
8
1.25
8
25
æ
ö
-
´
´ -
ç
÷
è
ø
；
(2)
17
9
9918
æ
ö
´ -
ç
÷
è
ø．
【变式3】（25-26 七年级上·山东德州·期中）计算：
(1)
3
4
15
5
æ
ö
-
´
´ -
ç
÷
è
ø ；
(2)
12.5
8
0.5
-
´ -
´ -
．
【变式4】（25-26 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
4.5
0.2
-
´
；
(2)
6
5
-
´ -
；
(3)
1.25
4
´ -
；
(4)
2
4
-
´ -
．
【变式5】（24-25 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
123
12
15
0
245
æ
ö
-
´ -
´ ´ -
ç
÷
è
ø ；
(2)
1
3
1
7
1
9
64
2
æ
ö æ
ö æ
ö
-
´ -
´ -
ç
÷ ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø è
ø ．
【变式6】（2025 七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)
2
3
4
5
-
´ ´ ´ -
；
(2)
2
4
3
1
2.5
3
9
25
æ
ö
æ
ö
´ -
´ -
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；
(3)
3
1
2
6
0
2
-
´ -
´ ´ -
´ ´ -
．
【变式7】（25-26 六年级上·全国·单元复习）计算：
1
1
1
1
2
3
24
2
3
4
æ
ö æ
ö æ
ö
-
´ -
´ -
´
ç
÷ ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø è
ø
▌题型05 有理数的除法运算
有理数除法运算的步骤与有理数加、减、乘一样，都是先确定符号，再确定绝对值
【典例5】（25-26 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
81
1
99 82
41
-
¸
；
(2)
7
49
7
11 ¸ -
．
【变式1】（25-26 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1) 4
( 12)
7 ¸ -
；
(2)( 378)
( 7)
-
¸ -
；
(3) 7
( 0.35)
3 ¸ -
；
(4)
8
4
7
3
æ
ö
æ
ö
-
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ．
【变式】2（25-26 七年级上·广西崇左·期末）计算：
(1)
1404
2
7
7
-
¸
；
(2)
8
1.25
-
¸ -
；
(3)
4
24
( 8)
5
-
¸ -
；
(4)
4
1
24
(
)
5
10
¸ -
．
【变式3】（26-27 七年级上·全国·课后作业）计算：
2
1
4
3
5
2
5
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
¸ -
¸ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ．
【变式4】（2026 七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)
1
11
10
11
æ
ö
-
¸ -
¸ -
ç
÷
è
ø
；
(2)
5
1.25
0.5
8
æ
ö
+
¸ -
¸ -
ç
÷
è
ø ．
【变式5】（22-23 七年级上·全国·期中）计算：
(1)
20
4
-
¸ -
；
(2)
1
1
3
2
æ
ö
æ
ö
-
¸ +
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø；
(3)
32
8
3
-
¸ -
´ -
；
(4)
15
71
8
16 ¸ -
．
【变式6】（25-26 七年级上·全国·课后作业）计算：（1）
1
5
2 2
æ
ö
-
¸ -
ç
÷
è
ø．
（2）
1
1
5
3
4
4
æ
ö
æ
ö
+
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ．
（3）
3
3
2.25
8
æ
ö
-
¸ -
ç
÷
è
ø
．
【变式7】（26-27 七年级·江苏·暑假作业）计算：
(1)0
( 0.12)
¸ -
；
(2)
1
( 0.5)
(
)
4
-
¸ -
；
(3)( 378)
( 7)
( 9)
-
¸ -
¸ -
；
(4)
5
( 0.75)
( 0.3)
4
-
¸
¸ -
．
▌题型06 有理数的乘除运算
1）有理数乘法中，若乘数中有带分数，应先把带分数化成假分数，再相乘；若乘数中有小数，一般先把小
数化成分数，再相乘；
2）应用有理数除法法则，当两个数都是整数时，一般选择有理数除法法则2；当两个数中含有分数时，一
般选择有理数除法法则1.
【典例6】（25-26 六年级上·上海·期末）计算：1
6
3
1
7
2
29
20
4
æ
ö
æ
ö
´ -
¸
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
【变式1】（25-26 六年级上·上海金山·期末）计算：
2
3
64
2
27
3
8
-
¸
´
¸ -
；
【变式2】（26-27 七年级上·全国·课堂例题）计算：
1155
11
3
5
é
ù
-
¸
-
´ +
´ -
ë
û ．
【变式3】（24-25 七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算：
(1)
1
1
3
1.25
5
2
æ
ö
æ
ö
-
´ +
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
(2)
1
1
5
5
5
5
æ
ö
-
´ ¸ -
´ -
ç
÷
è
ø
【变式4】（22-23 七年级上·江苏扬州·周测）计算：
(1)
1
4
81
2
16
4
9
æ
ö
-
¸ -
´
¸ -
ç
÷
è
ø
；
(2)
1
1
2
3
1
2
2
3
æ
ö
æ
ö
-
¸ -
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
【变式5】（26-27 七年级上·全国·课前预习）计算：
21
7
4
56
16
4
7
é
ù
æ
ö
æ
ö
´
-
¸ -
´
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
﹣
．
【变式6】（25-26 七年级上·江苏常州·阶段检测）计算：
5
3
4
28
1
1
16
4
7
æ
ö
æ
ö
-
´ -
¸ -
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
【变式7】（25-26 七年级上·全国·期中）计算：
(1)
3
1
3
1
0.75
2
9
4
3
æ
ö
-
¸
´
´ -
¸
ç
÷
è
ø
；
(2)
2
1
5
1
0.8
2
7
4
æ
ö
æ
ö
- ¸ -
´
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ；
(3)
1
1
1
1
6
1
2
4
4
æ
ö æ
ö
-
¸ -
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø．
【变式8】（25-26 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
4
5
1
2
1
7
6
21
æ
ö æ
ö
-
´ -
¸ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
；
(2)
1
1
1
15
8
5
3
3
æ
ö
-
¸ -
´
¸
ç
÷
è
ø
；
(3)
1
1
2
1
45 2
4
4
2
9
5
æ
ö
æ
ö
-
´
¸ -
´
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
▌题型07 有理数的加减乘除混合运算
如果无括号，那么要按照“先乘除，后加减”的顺序进行计算；如果有括号，要先计算
括号里面的，再算括号外面的；同一级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并要合理运用运算律简化运算.
【典例7】（26-27 七年级上·四川成都·开学考试）3
2
2
7
4
14
15
3
é
ù
æ
ö
´
-
¸
+
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
【变式1】（26-27 七年级上·上海·开学考试）用合适的方法计算．
(1)
20.2 0.4
7.88
4.2
´
¸
＋
(2)
5
1
0.7
24
6
4
é
ù
æ
ö
¸
-
´
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
(3)
3
1
2
16
8
4
5
9
é
ù
æ
ö
+
¸
´
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
(4) 7
5
3
8
2
8
2
5
´
-
¸
【变式2】（25-26 七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算：
(1)
1
6 2
3
æ
ö
- ´ ¸ -
ç
÷
è
ø
(2)
1
2
1
0.75
3
3
4
æ
ö
-
+ -
+ -
+
ç
÷
è
ø
(3)
97
98
2
98 ´ -
(4)
5
5
5
4
2
7 2
11
2
9
9
9
æ
ö
æ
ö
´ -
- ´
+
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
【变式3】（25-26 七年级上·河南南阳·阶段检测）计算：
(1)
20
3
5
7
-
+ +
- -
- +
；
(2)
7
5
90
15
-
´ -
-
¸ -
；
(3)
1
1
1
2.75
24
1
8
3
æ
ö
+
-
´ -
-
ç
÷
è
ø
；
(4)
2
4
1
1
1 0.5
1
2
3
é
ù
-
-
-
´
´
- -
ë
û ．
【变式4】（25-26 七年级上·辽宁营口·阶段检测）计算：
(1)
2
3.2
8.1
16.9
115
æ
ö
-
- -
- +
+ -
ç
÷
è
ø
(2)
9
4
81
32
4
9
-
¸
´
¸ -
(3)
1
1
1
5
3
6
3
11
3
6
6
6
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+ ´ -
-
-
ç
÷
´
÷
ç
÷
ç
è
ø
è
ø
è
ø
´
(4)
2
3
5
15
1
6
2
4
3
8
6
æ
ö
æ
ö
-
-
+
-
-
ç
÷
ç
÷
è
è
ø
´
ø
´
¸
【变式5】（25-26 七年级上·四川宜宾·期中）计算下列各题：
(1)
10
7
18
11
-
+ -
- -
-
；
(2)
1
7
4
2
4
1
2
25
3
5
æ
ö
æ
ö
-
¸
´ -
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；
(3)
11
11
5
5
13
3
5
5
11
æ
ö
æ
ö
æ
ö
- ´ -
+
´ -
- ¸ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ；
(4)
3
2
1
1
2
3
8
6
2
5
æ
ö
ç
ú
÷
é
ù
-
ø
-
´
-
´ +
êëèê
ú
û
．
▌题型08 含乘方的有理数的混合运算
【典例8】（25-26 七年级上·湖南湘潭·期末）计算：
2
2
1
1
1
4
2
3
4
2
3
æ
ö
æ
ö
- ´
-
-
´ -
- -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
【变式1】（25-26 七年级上·河北沧州·期末）计算：
(1)
2025
2
1
18
4
2
9
-
+ -
´ -
-
¸ -
；
(2)
3
3
1
19
19
19
4
2
4
æ
ö
´ -
- -
´
+
´
ç
÷
è
ø
．
【变式2】（25-26 七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）计算：
2
3
2
1
5
3
6
5
æ
ö
-
´ -
- -
¸ -
ç
÷
è
ø
．
【变式3】（25-26 七年级上·四川眉山·期中）计算：
(1) 5
12
9
12
17
17
æ
ö
-
-
- -
ç
÷
è
ø ；
(2)
2
2
1
1
2
1
0.6
2
4
5
é
ù
æ
ö
-
´ -
+
-
¸
¸ -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û ．
【变式4】（25-26 七年级上·四川凉山·期末）计算：
(1)
3
2
18
32
2
4
5
+
¸ -
- -
´
(2)
2025
1
1
2
1
8
1
7
8
3
24
æ
ö
æ
ö
-
´ - - -
-
-
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
【变式5】（25-26 七年级上·安徽合肥·期末）计算：
2026
1
1
2
1 3
2
æ
ö
-
+ -
¸ -
-
-
ç
÷
è
ø
．
【变式6】（25-26 七年级上·广东湛江·期末）计算：
2
3
2026
1
1
1 0.5
10
2
1
3
é
ù
-
-
-
´
´
- -
- -
ë
û
【变式7】（25-26 七年级上·安徽滁州·期末）计算：
3
2026
11
4
1
2
8
2
11
æ
ö
-
- -
´
+ -
¸ -
ç
÷
è
ø
．
【变式8】（25-26 七年级上·湖南娄底·期末）计算：
3
2
1
3
2
7
2
1
2
æ
ö
é
ù
-
¸
- -
+ -
´
-
ç
÷
ë
û
è
ø
【变式9】（25-26 七年级上·广东惠州·期末）方方和圆圆两位同学计算
2
3
1
4
16
( 2)
8
æ
ö
-
+
¸ -
´ -
ç
÷
è
ø的过程如下：
方方：
2
3
1
4
16
( 2)
8
æ
ö
-
+
¸ -
´ -
ç
÷
è
ø
1
16 16
8
8
æ
ö
=
+
¸ -
´ -
ç
÷
è
ø
①
1
16
2
8
æ
ö
=
+ -
´ -
ç
÷
è
ø
②
1
16 4
=
③
圆圆：
2
3
1
4
16
( 2)
8
æ
ö
-
+
¸ -
´ -
ç
÷
è
ø
1
16 16
8
8
æ
ö
= -
+
¸ -
´ -
ç
÷
è
ø
①
16 16 1
= -
+
¸ ②
0
=
③
(1)以上计算过程中，方方开始出错的是第________步，圆圆开始出错的是第________步（填序号）；
(2)写出你的计算过程．
▌题型09 利用运算律简便运算
【典例9】（25-26 七年级上·四川广元·开学考试）下面各题，能简便计算的用简便方法计算．
(1)300
25
1.5
2.4
¸
-
´
(2)
5
5
7
19
4
1
7
7
5
´
-
´
- ¸
(3)
4
7
3.4
11
11
-
-
(4) 2
2
11
4
9
19
19
æ
ö
+
´ +
ç
÷
è
ø
【变式1】（25-26 六年级上·全国·期末）脱式计算，能简便的用简便方法计算．
(1) 40
60 14
21
+
´
¸
；
(2)
3
16 1.5
14
´
¸
；
(3)
14
11
32.6
17.4
5
5
-
+
-
(4)12.5 2.4 25
´
´
；
(5)
3
43 75%
58
0.75
4
´
+
´
-
；
(6)
9
16.4
3.75
37.5%
4
é
ù
æ
ö
-
+
¸
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
．
【变式2】（24-25 七年级上·河北保定·开学考试）能简便计算的用简便方法计算．
(1)
2024
2024
2025
´
(2) 9
22
27
11
27
¸
´
(3)
1
12.5
36
7
3.6
5
æ
ö
´
-
¸
ç
÷
è
ø
(4)
3
8
2
5
14
0.65
14
0.65
7
13
7
13
´
+
´
-
´
+
´
【变式3】（26-27 七年级上·北京·课后作业）计算下列各题．（能用简便方法的要用简便方法）
(1)
25
56
39
-
+ +
+ -
(2)
1.9
3.6
10.1
1.4
-
+
+ -
+
(3)
26
15
8
30
-
+ +
+ -
+ +
(4)
2.4
3.7
4.2
0.7
4.2
-
+ -
+ +
+
+ -
(5) 1
3
1
1
18
3
4
3
4
19
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
+
+ -
+ -
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
(6)
3
4
3
12.5
16
2.5
7
7
æ
ö
æ
ö
-
+
+ -
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
【变式4】（22-23 七年级上·北京朝阳·阶段检测）计算（能用简便方法的用简便方法）
(1)
3
12
17
8
-
+
+ -
+ +
(2)
1
2
1
5
0.25
12
3
4
12
æ
ö
æ
ö
+
+ -
-
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
(3)
1
8
9
1.25
9
æ
ö
-
´ ´ -
´ -
ç
÷
è
ø
(4)
4
5
7
36
9
6
12
æ
ö
-
´ -
+
-
ç
÷
è
ø
【变式5】（25-26 七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算：
(1)
22
7
22
7
19
5
7
22
7
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
´ -
+
¸ -
- ´ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ；
(2)
7
6
1
15
6
7
5
æ
ö
æ
ö
-
´ -
´ -
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
【变式6】（26-27 七年级上·全国·课堂例题）用简便方法计算：
2
2
2
2
2
9
99
999
9999
99999
4
5
5
5
5
5
+
+
+
+
+
．
【变式7】（25-26 七年级上·内蒙古锡林郭勒·期中）简便运算：
(1)
1
2
1
1
6
3
4
12
æ
ö
æ
ö
-
-
+
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
(2)
5
2
3
1
2000
1999
4000
1
6
3
4
4
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+ -
+
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
【变式8】（24-25 七年级上·黑龙江鹤岗·期中）计算（能简便运算的要简算）：
(1)
2
2
4
30
3
3
æ
ö
- ¸
- -
´ -
ç
÷
è
ø
(2)
20
14
18
13
-
+ -
- -
-
(3)
2
8
5
1
5
0.8 1
3
-
¸ -
´
+
-
(4)
1
3
1
48
6
4
æ
ö
-
+
´ -
ç
÷
è
ø
(5)
1
4
81
2
16
4
9
-
¸
´
¸ -
(6)
1
99
14
7
æ
ö
-
´
ç
÷
è
ø
【变式9】（25-26 七年级上·全国·课后作业）用简便方法计算：
(1)
3
1
1
25
25
25
4
2
4
æ
ö
´
- -
´
+
´ -
ç
÷
è
ø ．
(2)
7
5
7
1.45
6
3.95 6
18
9
6
18
æ
ö
-
´ +
´ -
-
+
´ -
ç
÷
è
ø
．
▌题型10 新定义运算问题
解决新运算问题时，要正确理解新定义的算式含义.如果需要计算，那么将题目中定义
的新运算符号用其原始定义代入所求的式子，转化为熟知的运算;如果需要证明其性质，那么列出含有新定
义运算符号的式子，然后转化为熟知的运算进行证明
【典例10】（23-24 七年级上·山西大同·阶段检测）我们规定一种新定义：
2
2
b
a
b
ab
=
-
※
，其中符号“※”是
我们规定的一种新定义，如
2
3
2
2
3
2
12
1
11
2
-
-
=
´ ´ -
-
= -
+ = -
※
，根据新定义计算：
(1)
5
4
-
※ ；
(2)
3
6
-
-
※
．
【变式1】（20-21 七年级上·河南驻马店·期中）中考新趋势·新定义 若a ，b 是有理数，定义一种运算“Å”：
2
2
1
a
b
ab
a
b
Å
=
-
-
+ ．
(1)计算
3
2
Å -
的值；
(2)计算
4
2
3
é
ù
ë
Å û
-
Å -
的值；
(3)定义的新运算“Å”对交换律是否成立？请写出你的探究过程．
【变式2】（24-25 七年级上·山东日照·期末）对于任意有理数a ，b ，定义一种运算：
2
a
b
a
b
ab
Ä
=
+
-
，
例如，3
4
3
4
2 3 4
17
Ä
=
+
- ´ ´
= -
；
1
6
1 6
2
1
6
17
-
Ä
= - +
- ´ -
´
=
．
(1)求
3
3
2
æ
ö
-
Ä -
ç
÷
è
ø 的值；
(2)若
2
1
x
-
Ä
= ，求x 的值；
(3)对于任意有理数m ，n ，请你重新定义一种运算“Å”，使得5
3
18
Å
=
，写出你定义的运算：m
n
Å
= ______
（用含m ，n 的式子表示）．
【变式3】（24-25 七年级上·福建漳州·期中）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他在
课外阅读中看到了一些定义符号的运算，例如：对于数4 5 6 7
、、、，定义
4
5
4 7
5 6
28
30
2
6
7 =
´ - ´
=
-
= - ．小
奇突发面想，也尝试定义一新运算符号“Å”，规则如下：
2
a
b
a b
a
Å
=
´ - ´
，试运用此规则完成下列运算．
(1)4
( 1)
Å -
；
(2) 2
( 3
5)
- Å - Å
．
【变式4】（25-26 七年级上·浙江台州·期末）数学课上，围绕新定义的运算，林老师和小明进行了一段对话．
林老师：我定义了一种新的运算，叫加乘运算．运算符号记作“*”，其运算法则是……．
小明：我根据加乘运算的法则得到，
4
1
5,
2
3
5,
6
2
8,
5
2
7
+
* +
= +
-
* -
= +
-
* +
= -
+
* -
= - ．
请根据加乘运算的法则解决下列问题．
(1)填空：
3
7
-
* -
= ____________，
5
4
+
* -
= ____________．
(2)求
5
2
1
é
ù
-
*
-
* +
ë
û 的值．
【变式5】（25-26 七年级上·山东青岛·期末）新定义：对有理数a ，b ，定义
,
F a b ，计算方式为：当a
b
£
时，
,
2
F a b
a
b
=
- ；当a
b
>
时，
,
2
F a b
a
b
=
+
．
(1)计算：
4,6
F -
的值；
(2)若
2
3
4
0
x
y
-
+
+
=
，那么
,
F x y = _____；
(3)若
4,
,4
10
F
m
F m
+
=
，且
4
m <
，求m 的值．
【变式6】（25-26 七年级上·全国·课后作业）定义一种新运算“e”，规定
1
a
b
a
b
a
æ
ö
= -
+
ç
÷
è
ø
e
．
(1)计算
1
1
12
4
12
æ
ö
ç
÷
è
ø
e
e
的值．
(2)请你定义一种新运算“Ä”，使其中含有乘法运算，且
2
3
1
Ä -
= ．
【变式7】（25-26 七年级上·贵州遵义·期末）定义一种新运算“f”：
f n 表示n 在运算f 作用下的结果．若
2
2
1
f n
n
n
=
-
-
表示n 在运算f 作用下的结果，它对一些数的运算结果如下，
2
2
1
1
1 1
1
f
=
-
-
= ，
2
2
2
2
2 1
3
f
=
-
-
=
，
2
2
3
3
3 1
5
f
=
-
-
=
，……根据以上定义完成以下问题：
(1)计算
10
f
的值；
(2)计算
1
2
3
2026
f
f
f
f
+
+
+
+
L
的值．
