文档文本内容
培优专题01 有理数混合运算的专项训练
（题型突破·举一反三）
题型01 有理数的加法运算（选择填空基础・夯实根基）
题型02 有理数的减法运算（基础高频・核心工具）
题型03 有理数的加减运算（期中基础必考・综合训练）
题型04 有理数的乘法运算（期中基础高频・核心工具）
题型05 有理数的除法运算（基础易错题・概念巩固）
题型06 有理数的乘除运算（期中常考・综合训练）
题型07 有理数的加减乘除混合运算（期中重难点・核心计算）
题型08 含乘方的有理数的混合运算（期中压轴基础・核心难点）
题型09 利用运算律简便运算（中档解答常考・提分关键）
题型10 新定义运算问题（拓展创新・区分题型）
▌题型01 有理数的加法运算
运用加法交换律交换加数的位置时，一定要带着性质符号一起交换.
【典例1】（25-26 七年级上·全国·单元复习）（1）计算：
1
3
5
3
3
7
æ
ö
æ
ö
-
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ；
（2）计算：
1.4
4.5
-
+ -
．
【答案】（1）
16
8 21
-
；（2）5.9
-
【分析】本题主要考查了有理数加法运算，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加即可．
【详解】解：（1 ）原式
1
3
7
9
16
5
3
5
3
8
3
7
21
21
21
æ
ö
æ
ö
= -
+
= -
+
+ +
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；
（2 ）原式
1.4
4.5
5.9
= -
+
= -
．
【变式1】（24-25 七年级上·全国·课后作业）计算：
1
1
2.125
3
5
3.2
5
8
æ
ö
æ
ö
-
+ +
+ +
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
【答案】3
【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的加法运算律，先将原式中的分数化为小数，得
2.125
3.2
5.125
3.2
-
+ +
+ +
+ -
，再结合加法交换律和结合律进行计算，即可作答．
【详解】解：
1
1
2.125
3
5
3.2
5
8
æ
ö
æ
ö
-
+ +
+ +
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
2.125
3.2
5.125
3.2
= -
+ +
+ +
+ -
2.125
5.125
3.2
3.2
é
ù
é
ù
=
-
+ +
+
+
+ -
ë
û
ë
û
3
=
．
【变式2】（24-25 六年级上·山东烟台·阶段检测）计算：
(1)
17
23
-
+ -
；
(2)
1
3
3
1.25
1
2
4
4
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+ -
+ -
+ +
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ；
(3)
34
8
5
23
-
+ +
+ +
+ -
(4)
1
5
3
1
2
1
4
6
4
6
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+ +
+ -
+ +
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø ；
【答案】(1) 40
-
(2) 7
4
(3) 44
-
(4) 1
-
【详解】（1）解：
17
23
-
+ -
40
= -
；
（2）解：
1
3
3
1.25
1
2
4
4
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+ -
+ -
+ +
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
5
2
3
7
4
4
4
4
=
-
-
+
7
4
=
（3）解：
34
8
5
23
-
+ +
+ +
+ -
34
8
5
23
= -
+ + -
44
= -
（4）解：
1
5
3
1
2
1
4
6
4
6
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+ +
+ -
+ +
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
9
3
5
7
4
4
6
6
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+ -
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
3
2
= - +
1
= - ．
【变式3】（25-26 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
2.4
3.7
4.6
3.7
-
+ -
+ -
+
；
(2) 1
1
2
5
6
3
3
6
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+ -
+ -
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ．
【答案】(1) 7
-
(2)
5
3
-
【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法法则和交换律\结合律是解题的关键．
（1）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可；
（2）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可．
【详解】（1）解∶原式
2.4
4.6
3.7
3.7
-
+ -
+ -
+
=
7
0
= - +
7
= - ；
（2）解∶原式
1
5
1
2
6
6
3
3
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+ -
+ -
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
=
2
1
3
= -
+ -
5
3
= -
．
【变式4】（25-26 七年级上·宁夏固原·阶段检测）计算：
(1)
5.6
0.9
4.4
8.1
+ -
+
+ -
；
(2)
2
1
2
4
2
3
3
æ
ö
æ
ö
-
+ -
+ -
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
【答案】(1)1
(2) 5
-
【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，熟知有理数的加法计算法则是解题的关键．
（1）根据有理数的加法计算法则求解即可；
（2）根据有理数的加法计算法则求解即可．
【详解】（1）解：
5.6
0.9
4.4
8.1
+ -
+
+ -
5.6
4.4
0.9
8.1
=
+
+ -
-
10
9
=
+ -
1
= ；
（2）解：
2
1
2
4
2
3
3
æ
ö
æ
ö
-
+ -
+ -
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
2
1
4
2
2
3
3
æ
ö
= -
-
+ - +
ç
÷
è
ø
5
0
= - +
5
= - ．
【变式5】（24-25 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
7
21
7
21
+
+ -
+ -
+ +
；
(2)
3
1
2
1
1
7
5
7
5
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+ +
+ +
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø ；
(3)
1
22
101
2
-
+ +
+ +
+ -
．
【答案】(1)0
(2)
7
1
1
-
(3)120
【分析】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键．
（1）利用有理数加法运算律将原式整理为
7
7
21
21
é
ù
é
ù
+ -
+
+ -
ë
û
ë
û ，然后根据有理数加法法则计算即可；
（2）利用有理数加法运算律将原式整理为
3
2
1
1
1
7
7
5
5
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
-
+
+
+ -
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
，然后根据有理数加法法则计算即可；
（3）利用有理数加法运算律将原式整理为
101
22
1
2
é
ù
+
+
-
+ -
ë
û ，然后根据有理数加法法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
7
7
21
21
é
ù
é
ù
=
+ -
+
+ -
ë
û
ë
û
0
0
=
+
0
=
；
（2）解：原式
3
2
1
1
1
7
7
5
5
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
=
-
+
+
+ -
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
1
1
7
= -
+ -
1
17
= -
；
（3）解：原式
101
22
1
2
é
ù
=
+
+
-
+ -
ë
û
123
3
=
+ -
120
=
．
【变式6】（26-27 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
2
1
2
3
7
3
æ
ö
æ
ö
+
+
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ；
(2)
5
9
7
5
1
12
14
12
14
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+ -
+ +
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø ．
【答案】(1) 1
7 ；
(2)1．
【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据有理数的加法运算法则计算；
（2）根据有理数的加法运算法则计算．
【详解】（1）解：
2
1
2
3
7
3
æ
ö
æ
ö
+
+
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
2
2
1
3
3
7
æ
ö
æ
ö
= +
+ -
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
0
7
=
+
1
7
=
；
（2）解：
5
9
7
5
1
12
14
12
14
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+ -
+ +
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
5
7
9
5
1
12
12
14
14
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+ +
+
-
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
2
1
=
+ -
1
= ．
【变式7】（26-27 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
2.4
3.5
4.6
3.5
-
+ +
+ -
+ +
；
(2)
1
3
1
2
2
6
2
5
5.6
3
5
3
5
é
ù
æ
ö
æ
ö
+
+ -
+ -
+ -
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
．
【答案】(1)0
(2)
2
4 5
-
【分析】本题考查了有理数的加法法则和运算律的运用．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用加法交换律和结合律进行简便运算，即可作答．
（2）运用加法交换律和结合律进行简便运算，即可作答．
【详解】（1）解：
2.4
3.5
4.6
3.5
-
+ +
+ -
+ +
2.4
4.6
3.5
3.5
é
ù
é
ù
=
-
+ -
+
+
+ +
ë
û
ë
û
7
7
= -
+
0
=
；
（2）解：
1
3
1
2
2
6
2
5
5.6
3
5
3
5
é
ù
æ
ö
æ
ö
+
+ -
+ -
+ -
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
1
1
3
2
2
2
6
5.6
5
3
3
5
5
é
ù
æ
ö
æ
ö
=
+ -
+
+ -
+ -
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
2
=0+ 1
5 5
é
ù
æ
ö
+ -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
2
=
4 5
-
．
▌题型02 有理数的减法运算
将减法转化为加法时，要注意“两变一不变”.（“两变”指：减数变相反数，减法变
加号；“一不变”指：被减数不变）
【典例2】（26-27 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
32
55
-
- +
．
(2)
1
1
6
3
æ
ö
-
- -
ç
÷
è
ø ．
(3)
1
1
2
3
4
2
æ
ö
æ
ö
-
- -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø．
(4)
4
6
1.8
5
æ
ö
-
- -
ç
÷
è
ø
．
【答案】(1) 87
-
(2) 1
6
(3) 5
4
(4) 5
-
【分析】利用有理数的减法法则进行计算即可.
【详解】（1）解：原式
32
55
32
55
87
= -
+ -
= -
+
= -
．
（2）解：原式
1
1
1
1
1
6
3
3
6
6
= -
+
=
-
=
．
（3）解：原式
1
1
1
1
5
2
3
3
2
4
2
2
4
4
æ
ö
= -
+
=
-
=
ç
÷
è
ø
．
（4）解：原式
4
4
6
1.8
6
1.8
5
5
5
æ
ö
æ
ö
= -
+
= -
-
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
【点睛】本题主要考查了有理数的减法，掌握减法法则是解题的关键.
【变式1】（25-26 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
37
12
-
-
；
(2)
11
17
- -
；
(3)
14
16
-
- -
；
(4)
2.7
2.7
-
- -
；
(5)
1
0
3
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø
；
(6)3 12
-
．
【答案】(1) 49
-
(2)28(3)2 (4)0 (5)
1
3
-
(6) 9
-
【分析】本题主要考查了有理数的减法，有理数的减法法则是减去一个数等于加上这个数的相反数，解决本
题的关键是先根据有理数的减法法则把减法运算转化为加法运算，再根据有理数的加法法则进行计算．
(1)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式
37
12
= -
+ -
，再根
据有理数的加法法则进行计算；
(2)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式
11
17
=
+ +
，再根
据有理数的加法法则进行计算；
(3)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式
14
16
= -
+ +
，再
根据有理数的加法法则进行计算；
(4)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式
2.7
2.7
= -
+ +
，
再根据有理数的加法法则进行计算；
(5)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式
1
0
3
æ
ö
= -
+
ç
÷
è
ø
，再根据
有理数的加法法则进行计算；
(6)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式
3
12
=
+ -
，再根据
有理数的加法法则进行计算．
【详解】（1）解：
37
12
-
-
37
12
= -
+ -
37 12
= -
+
49
= -
；
（2）解：
11
17
- -
11
17
=
+ +
28
=
；
（3）解：
14
16
-
- -
14
16
= -
+ +
16 14
= +
-
2
=
；
（4）解：
2.7
2.7
-
- -
2.7
2.7
= -
+ +
0
=
；
（5）解：
1
0
3
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø
1
0
3
æ
ö
= -
+
ç
÷
è
ø
1
3
= -
；
（6）解：3 12
-
3
12
=
+ -
12
3
= -
-
9
= - ．
【变式2】（25-26 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
6
8
- -
；
(2)
2
3
-
- ；
(3)
3
7
-
- -
；
(4)0
4
-
；
(5)
5
3
2
+ -
- -
；
(6)
5
2.4
1
-
- -
+ -
．
【答案】(1)14(2) 5
- (3)4 (4) 4
- (5)4 (6) 3.6
-
【分析】本题主要考查了有理数的减法运算和有理数的加减混合运算，解决本题的关键是根据有理数的减法
法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，再根据有理数的加法法则进行计
算．
（1）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式
6
8
=
+ +
，再根据有理数的加法法则进行计算；
（2）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式
2
3
= - + -
，再根据有理数的加法法则进行计
算；
（3）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式
3
7
= - + +
，再根据有理数的加法法则进行计
算；
（4）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式
0
4
=
+ -
，再根据有理数的加法法则进行计算；
（5）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式
5
3
2
=
+ -
+ +
，再根据有理数的加法法则进
行计算；
（6）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式
5
2.4
1
= -
+ +
+ -
，再根据有理数的加法法
则进行计算．
【详解】（1）解：
6
8
- -
6
8
=
+ +
14
=
；
（2）解：2
3
- -
2
3
= - + -
5
= - ；
（3）解：
3
7
- - -
3
7
= - + +
4
=
；
（4）解：
0
4
0
4
4
-
=
+ -
= - ；
（5）解：
5
3
2
+ -
- -
5
3
2
=
+ -
+ +
4
=
；
（6）解：
5
2.4
1
-
- -
+ -
5
2.4
1
= -
+ +
+ -
2.6
1
= -
+ -
3.6
= -
．
【变式3】（25-26 七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）计算：
(1)
2
1
3
6
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø
；
(2)
10
8
6
4
- - -
- +
；
(3)
2
1
1
3
12
4
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
- +
- -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ；
(4)
2
3
2
3
2
7
2.75
3
4
3
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
- -
- -
- +
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
.
【答案】(1)
5
6
-
(2)4
(3)
1
2
-
(4)4
【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键；
（1）根据有理数的减法法则计算即可；
（2）先变减法为加法，再根据有理数的加法运算法则计算即可；
（3）先变减法为加法，再根据有理数的加法运算法则计算即可；
（4）先变减法为加法，再根据有理数的加法运算法则计算即可.
【详解】（1）解：
2
1
3
6
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø
2
1
5
3
6
6
æ
ö
æ
ö
= -
+ -
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；
（2）解：
10
8
6
4
- - -
- +
10
8
6
4
=
+ -
+
+ -
4
=
；
（3）解：
2
1
1
3
12
4
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
- +
- -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
2
1
1
3
12
4
æ
ö
æ
ö
= -
+ -
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
2
= -
；
（4）解：
2
3
2
3
2
7
2.75
3
4
3
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
- -
- -
- +
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
2
2
3
2.75
7
2.75
3
3
æ
ö
= -
+
+
+ -
ç
÷
è
ø
4
=
.
【变式4】（25-26 七年级上·全国·单元复习）计算：
1
3
1
0.25
3
5
8
4
4
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
- -
- +
- +
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø．
【答案】
5
2 8
-
【分析】本题考查有理数的减法运算，根据减法法则进行计算即可，熟练掌握有理数的减法法则，是解题的
关键．
【详解】解：原式
1
1
3
1
3
5
4
8
4
4
=
+
-
-
1
3
3
5
8
4
=
-
1
6
3
5
8
8
=
-
5
2 8
= -
．
【变式5】（26-27 七年级上·全国·课后作业）计算：
1
2
5
1
2
3
1
0.5
1
3
3
6
6
é
ù
æ
ö
-
-
-
- -
- -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
．
【答案】5
3 6
【分析】本题考查有理数的减法运算，根据绝对值的意义和有理数的减法法则进行计算即可 ．
【详解】解：
1
2
5
1
2
3
1
0.5
1
3
3
6
6
é
ù
æ
ö
-
-
-
- -
- -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
1
5
1
1
1
0.5
1
3
6
6
é
ù
æ
ö
=
-
-
- -
-
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
1
1
1
2
3
2
=
+
5
3 6
=
．
【变式6】（25-26 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
4
1
4
6
-
- - -
- ；
(2)
6
3
7
5
-
-
- -
；
(3)
11
22
33
44
55
66
-
- -
- -
- -
- -
- -
；
(4)
1
1
1
1
1
1
1
2
4
4
8
512
1024
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
-
-
-
-
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
L
．
【答案】(1) 7
-
(2)5
(3) 209
(4) 513
1024
【分析】（1）按有理数的减法法则计算即可；
（2）先计算括号里面的，并且根据绝对值的概念去掉绝对值符号，再根据有理数减法法则计算即可；
（3）根据有理数减法法则计算，将11
-
拆成22 11
-
+
，对后面几个数逆用运用乘法分配律，可以大大简化计
算；
（4）将括号去掉，观察发现从第三项开始，前后两个数之差为零可以抵消，找到规律计算即可；
本题考查有理数的加减法运算，熟练掌握运算法则、并注意观察数字的特征和规律以简化计算是解题的关键．
【详解】（1）原式
4 1
4
6
7
= - - +
-
= - ；
（2）原式
6
4
5
=
- -
-
6
4
5
5
=
+
-
=
；
（3）原式
11
22
33
44
55
66
= -
+
+
+
+
+
22
11
22
33
44
55
66
= -
+
+
+
+
+
+
( 22) 11 (1
2
3
4
5
6)
= -
+
´
+
+ +
+ +
22
11 21
= -
+
´
22
231
= -
+
209
=
；
（4）原式
1
1
1
1
1
1
1
2
4
4
8
512
1024
= -
+
-
+
-
-
+
L
1
1
1
2
1024
= -
+
1
1
2
1024
=
+
513
1024
=
．
▌题型03 有理数的加减运算
有理数的加减混合运算统一成加法运算时，可适当选用加法运算律，使运算简便.
【典例3】（24-25 七年级上·重庆万州·阶段检测）计算
(1)
3
3
4.6
2.8
5
- -
- -
- -
(2)
2.5
2.7
1.6
2.7
2.4
-
- +
- -
- -
+ +
【答案】(1) 5.4
-
(2)1.5
【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.
（1）先化简绝对值，再计算减法即可；
（2）先去括号，再计算加减即可.
【详解】（1）解：
3
3
4.6
2.8
5
- -
- -
- -
3.6
4.6
2.8
= -
- -
+
3.6 1.8
= -
-
5.4
= -
；
（2）解：
2.5
2.7
1.6
2.7
2.4
-
- +
- -
- -
+ +
2.5
2.7 1.6
2.7
2.4
= -
-
+
+
+
2.5
4
= -
+
1.5
=
.
【变式1】（25-26 七年级上·广西崇左·期末）解答题：
(1)
27 15
23
35
-
- -
+ -
．
(2)
3
0.25
3
14
-
+ -
- -
．
(3) 1
3
5
1
1
2
4
6
2
4
æ
ö
æ
ö
+ -
+
+ -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
(4)
2
3
1
1
3
2
6
2
æ
ö
æ
ö
-
- -
+
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ．
【答案】(1)0 ；
(2) 5
- ；
(3)
1
6
-
；
(4) 1
2
【分析】（1）先去括号将减法转化为加法，再利用加法结合律把正数与正数、负数与负数分别结合，简化
计算；
（2）先计算绝对值，再将小数化为分数，利用加法结合律把同分母分数结合，快速计算；
（3）利用加法交换律和结合律，将互为相反数的项、同分母的项分别结合，通过抵消或合并简化运算；
（4）先去括号转化为加法，再利用加法结合律把同分母的项分别结合，或通分后计算，简化运算过程．
【详解】（1）解：原式
27 15
23
35
=
-
+
-
27
23
15
35
=
+
+ -
-
50
50
=
-
0
=
．
（2）解：原式
3
0.25
3 14
= -
- -
1
7
3
4
4
= -
- -
1
7
3
4
4
æ
ö
= -
-
-
ç
÷
è
ø
2
3
= - -
5
-
=
．
（3）解：原式
1
1
3
1
5
2
2
4
4
6
æ
ö
æ
ö
=
-
+ -
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
5
0
1
6
=
+ -
+
1
6
= -
．
（4）解：原式
2
3
1
1
3
2
6
2
= -
+
+
-
2
1
3
1
3
6
2
2
æ
ö
æ
ö
= -
+
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
4
1
1
6
6
æ
ö
= -
+
+
ç
÷
è
ø
3
1
6
= -
+
1
1
2
= -
+
1
2
=
．
【变式2】（25-26 七年级上·福建泉州·期末）计算：
3
2
15
9
8
5
5
æ
ö
-
+
+ -
- -
ç
÷
è
ø ．
【答案】13
-
【分析】本题主要考查了有理数的加减运算、有理数的加法运算律等知识点，掌握相关运算法则 解题的关
键．
先根据有理数的加减运算法则化简，再用有理数的加法运算律进行简便运算即可．
【详解】解：
3
2
15
9
8
5
5
æ
ö
-
+
+ -
- -
ç
÷
è
ø
3
2
15
9
8
5
5
= -
+
+ -
+
3
2
15
8
9 5
5
é
ù
= -
+ -
+
+
é
ù
ë
û
ê
ú
ë
û
23 10
= -
+
13
= -
．
【变式3】（25-26 六年级上·上海虹口·期末）计算：
1
4
1
212
3
6
æ
ö
æ
ö
- -
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ．
【答案】13
4
【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键．先变同分母，
再计算即可．
【详解】解：原式
25
16
2
12
12
12
=
+
-
39
12
=
13
4
=
．
【变式4】（25-26 七年级上·河南南阳·期末）计算：
1
3
1
2
1
1
4
4
2
æ
ö
-
- -
+ -
-
ç
÷
è
ø
．
【答案】7
2
【分析】本题考查绝对值的意义与计算，有理数的加减混合运算，正确去绝对值号和括号是解题关键．
先根据绝对值的性质和去括号法则去掉绝对值号和括号，再根据有理数加减运算法则进行计算．
【详解】解：原式
9
3
1
1
4
4
2
=
+
+ -
12
1
1
4
2
=
+ -
12
1
4
2
=
+
7
2
=
．
【变式5】（25-26 七年级上·陕西西安·阶段检测）计算：
(1) 13
5
-
+ ；
(2)
10
15
17
+ -
- -
；
(3)
1
1
0.5
2.75
4
2
æ
ö
+ -
- -
+
ç
÷
è
ø
．
【答案】(1) 8
-
(2)12
(3) 7
2
【详解】（1）解：13
5
-
+
(13
5)
= -
-
8
= - ；
（2）解：
10
15
17
+ -
- -
10 15 17
=
-
+
5
17
= - +
12
=
；
（3）解：
1
1
0.5
2.75
4
2
æ
ö
+ -
- -
+
ç
÷
è
ø
1
1
11
1
2
4
4
2
=
-
+
+
1
1
1
11
2
2
4
4
æ
ö
æ
ö
=
+
+ -
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
5
1
2
= +
7
2
=
．
【变式6】（25-26 七年级上·河北·阶段检测）计算
(1)
71
64
-
+ +
；
(2)
4
11
9
-
- +
- -
；
(3)
4
3
3
5
4
æ
ö
æ
ö
+
- -
- -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；
(4)
1
1
3
2.16
8
3.125
3.84
0.25
8
4
æ
ö
-
+ -
+
+
+ -
+ -
ç
÷
è
ø
；
【答案】(1) 7
-
(2) 6
-
(3)4.55
(4)2
【详解】（1）解：
71
64
-
+ +
71
64
= -
+
7
= -
（2）解：
4
11
9
-
- +
- -
4
11
9
= - -
+
15
9
= -
+
6
= -
（3）解：
4
3
3
5
4
æ
ö
æ
ö
+
- -
- -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
4
3
3
5
4
=
+
+
16
15
3
20
20
=
+
+
31
3
20
=
+
1.55
3
=
+
4.55
=
（4）解：
1
1
3
2.16
8
3.125
3.84
0.25
8
4
æ
ö
-
+ -
+
+
+ -
+ -
ç
÷
è
ø
3.125
2.16
8.25
3.125
3.84
0.25
= -
-
+
+
-
-
6.25
8.25
= -
+
2
=
【变式7】（25-26 七年级上·安徽安庆·阶段检测）计算：
2
7
3
1
3
2
5
5
8
5
8
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+ -
- -
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
．
【答案】6
【分析】本题考查有理数的加减混合运算，关键是运用加法交换律和结合律，将同分母的数结合凑整，简化
计算流程．首先根据去括号法则去掉原式中的括号，再将同分母的带分数与分数分组结合，最后分别计算各
组结果并求和．
【详解】解：原式
2
7
3
1
3
2
5
5
8
5
8
=
-
+
-
2
3
7
1
3
5
2
5
5
8
8
æ
ö
æ
ö
=
+
+ -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
9
3
=
+ -
6
=
．
【变式8】（25-26 七年级上·云南·期末）计算：
2.1
3.2
2.4
4.3
-
+ -
- -
- -
．
【答案】1.4．
【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，利用减法法则化为加法，计算即可得到结果，熟练掌握运算法
则是解题的关键．
【详解】解：
2.1
3.2
2.4
4.3
-
+ -
- -
- -
2.1 3.2
2.4
4.3
= -
-
+
+
2.1 3.2
2.4
4.3
= -
-
+
+
5.3
6.7
= -
+
1.4
=
．
▌题型04 有理数的乘法运算
奇负偶正，绝对值相乘
【典例4】（24-25 六年级上·上海·阶段检测）计算：
24
9
125
25
-
æ
ö´
ç
÷
è
ø
【答案】1245
-
【分析】本题考查带分数乘法运算，可先将带分数进行变形，再利用乘法分配律
a
b c
ac
bc
+
=
+
来简化计
算过程，从而得出结果．
【详解】解:
24
9
125
25
æ
ö
-
´
ç
÷
è
ø
1
10
125
25
æ
ö
=
-
´
ç
÷
è
ø
1
125 10 125
25
=
´
-
´
5 1250
=
-
1245
= -
【变式1】（23-24 七年级上·全国·课堂例题）计算：
(1)
5
9
1
3
6
5
4
æ
ö æ
ö
-
´
´ -
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø ；
(2)
4
1
5
6
5
4
æ
ö
-
´ ´ -
´
ç
÷
è
ø
．
【答案】(1)
9
8
-
(2)6
【分析】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负
因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正”．
（1）根据有理数乘法法则求解即可；
（2）根据有理数乘法法则求解即可．
【详解】（1）解：
5
9
1
3
6
5
4
æ
ö æ
ö
-
´
´ -
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
5
9
1
3
6
5
4
= - ´
´
´
；
9
8
= -
；
（2）解：
4
1
5
6
5
4
æ
ö
-
´ ´ -
´
ç
÷
è
ø
4
1
5
6
5
4
=
´ ´
´
．
6
=
．
【变式2】（25-26 七年级上·江苏徐州·阶段检测）计算：
(1)
8
1.25
8
25
æ
ö
-
´
´ -
ç
÷
è
ø
；
(2)
17
9
9918
æ
ö
´ -
ç
÷
è
ø．
【答案】(1)16
5
(2)
1
899 2
-
【分析】本题主要考查有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）把1.25 化成5
4 ，再进行乘法运算即可；
（2）把
17
9918
-
化为
1
100
18
æ
ö
-
+
ç
÷
è
ø ，再运用乘法分配律进行计算即可．
【详解】（1）解：
8
1.25
8
25
æ
ö
-
´
´ -
ç
÷
è
ø
8
5
8
25
4
æ
ö
= ç
÷´
ø
-
´ -
è
16
5
=
；
（2）解：
17
9
9918
æ
ö
´ -
ç
÷
è
ø
1
9
100
18
æ
ö
= ´ -
+
ç
÷
è
ø
1
9
100
9 18
= ´ -
+ ´
1
900
2
= -
+
1
899 2
= -
．
【变式3】（25-26 七年级上·山东德州·期中）计算：
(1)
3
4
15
5
æ
ö
-
´
´ -
ç
÷
è
ø ；
(2)
12.5
8
0.5
-
´ -
´ -
．
【答案】(1)36
(2) 50
-
【分析】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键
（1）先确定乘积的符号，再计算后两个数相乘，最后再计算乘法即可；
（2）先确定乘积的符号，按照从左到右的顺序计算即可
【详解】（1）解：原式
3
4 15
5
=
´
´
4 9
=
´
36
=
；
（2）解：原式
12.5 8 0.5
= -
´ ´
100 0.5
= -
´
50
= -
．
【变式4】（25-26 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
4.5
0.2
-
´
；
(2)
6
5
-
´ -
；
(3)
1.25
4
´ -
；
(4)
2
4
-
´ -
．
【答案】(1) 0.9
-
(2)30
(3) 5
-
(4)8
【分析】本题主要考查了两个有理数的乘法运算，熟练掌握两个有理数乘法运算法则是解题的关键．
根据两数相乘，同号的正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0 相乘，积仍得0 进行计算即可．
【详解】（1）解：
4.5
0.2
0.9
-
´
= -
；
（2）解：
6
5
30
-
´ -
=
；
（3）解：
1.25
4
5
´ -
= - ；
（4）解：
2
4
8
-
´ -
=
．
【变式5】（24-25 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
123
12
15
0
245
æ
ö
-
´ -
´ ´ -
ç
÷
è
ø ；
(2)
1
3
1
7
1
9
64
2
æ
ö æ
ö æ
ö
-
´ -
´ -
ç
÷ ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø è
ø ．
【答案】(1)0
(2)
1
2
-
【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
根据有理数的乘法运算法则求解即可．
【详解】（1）解：
123
12
15
0
245
æ
ö
-
´ -
´ ´ -
ç
÷
è
ø
0
=
；
（2）解：
1
3
1
7
1
9
64
2
æ
ö æ
ö æ
ö
-
´ -
´ -
ç
÷ ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø è
ø
64
3
3
9
64
2
= -
´
´
1
3
3
2
= -
´
1
2
= -
．
【变式6】（2025 七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)
2
3
4
5
-
´ ´ ´ -
；
(2)
2
4
3
1
2.5
3
9
25
æ
ö
æ
ö
´ -
´ -
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；
(3)
3
1
2
6
0
2
-
´ -
´ ´ -
´ ´ -
．
【答案】(1)120
(2)
2
9
-
(3)0
【分析】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键．
（1）按有理数的乘法法则计算即可；
（2）先把带分数化成假分数，再把小数化成分数，最后按有理数的乘法法则计算；
（3）按有理数的乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：
2
3 4
5
-
´ ´ ´ -
2 3 4 5
=
´ ´ ´
120
=
；
（2）解：
2
4
3
1
2.5
3
9
25
æ
ö
æ
ö
´ -
´ -
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
5
4
5
3
3
9
2
25
æ
ö æ
ö æ
ö
=
´ -
´ -
´ -
ç
÷ ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø è
ø
5
4
5
3
3
9
2
25
æ
ö
= -
´
´
´
ç
÷
è
ø
2
9
= -
；
（3）解：
3
1
2
6
0
2
0
-
´ -
´ ´ -
´ ´ -
=
．
【变式7】（25-26 六年级上·全国·单元复习）计算：
1
1
1
1
2
3
24
2
3
4
æ
ö æ
ö æ
ö
-
´ -
´ -
´
ç
÷ ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø è
ø
【答案】273
-
【分析】此题考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握以上运算法则．
根据有理数的乘法运算进行计算即可．
【详解】解：
1
1
1
1
2
3
24
2
3
4
æ
ö æ
ö æ
ö
-
´ -
´ -
´
ç
÷ ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø è
ø
3
7
13
24
2
3
4
æ
ö
= -
´
´
´
ç
÷
è
ø
273
= -
．
▌题型05 有理数的除法运算
有理数除法运算的步骤与有理数加、减、乘一样，都是先确定符号，再确定绝对值
【典例5】（25-26 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
81
1
99 82
41
-
¸
；
(2)
7
49
7
11 ¸ -
．
【答案】(1)
1
4099 2
-
(2)
1
711
-
【分析】本题考查有理数的除法运算，能够进行简便计算是解题的关键．
（1）先将原式转化为
1
100
41
82
æ
ö
-
+
´
ç
÷
è
ø
，再利用乘法分配律进行简便运算；
（2）先将原式转化为
7
1
49
11
7
æ
ö æ
ö
+
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø ，再利用乘法分配律进行简便运算．
【详解】（1）解：
81
1
99 82
41
-
¸
1
100
41
82
æ
ö
= -
+
´
ç
÷
è
ø
1
100
41
41
82
= -
´
+
´
1
4100
2
= -
+
1
4099 2
= -
；
（2）
7
49
7
11 ¸ -
1
7
49 11
7
æ
ö
ç
÷
÷
æ
ö
ç
÷
=
ø
+
´ -
çè
÷
ø
çè
1
1
49
7
1
7
7
1
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
=
´ -
+
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
7
11
æ
ö
ç
÷
= -
+ -
ç
÷
è
ø
1
711
= -
．
【变式1】（25-26 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1) 4
( 12)
7 ¸ -
；
(2)( 378)
( 7)
-
¸ -
；
(3) 7
( 0.35)
3 ¸ -
；
(4)
8
4
7
3
æ
ö
æ
ö
-
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ．
【答案】(1)
1
21
-
(2)
54
(3)
20
3
-
(4)
6
7
【分析】本题主要考查了有理数的除法，有理数的除法法则是除以一个数等于乘以这个数的倒数，解决本题
的关键是根据有理数的除法法则把除法转化为乘法，再根据有理数的乘法法则进行计算．
(1)根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式
4
1
7
12
æ
ö
=
´ -
ç
÷
è
ø ，再根据有理数的乘法法则计算；
(2)根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式
1
378
7
æ
ö
= -
´ -
ç
÷
è
ø ，再根据有理数的乘法法则计算；
(3)先将小数0.35
-
化为分数
7
20
-
，再根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式
7
20
3
7
æ
ö
=
´ -
ç
÷
è
ø，再根
据有理数的乘法法则计算；
(4)根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式
8
3
7
4
æ
ö æ
ö
= -
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø，再根据有理数的乘法法则计算；
【详解】（1）解：
4
12
7 ¸ -
4
1
7
12
æ
ö
=
´ -
ç
÷
è
ø
4
1
7
12
= -
´
1
21
= -
；
（2）解：
378
7
-
¸ -
1
378
7
æ
ö
= -
´ -
ç
÷
è
ø
1
378
7
=
´
54
=
；
（3）解：
7
0.35
3 ¸ -
7
7
3
20
æ
ö
=
¸ -
ç
÷
è
ø
7
20
3
7
æ
ö
=
´ -
ç
÷
è
ø
7
20
3
7
= -
´
20
3
= -
；
（4）解：
8
4
7
3
æ
ö
æ
ö
-
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
8
3
7
4
æ
ö æ
ö
= -
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
8
3
7
4
=
´
6
7
=
．
【变式】2（25-26 七年级上·广西崇左·期末）计算：
(1)
1404
2
7
7
-
¸
；
(2)
8
1.25
-
¸ -
；
(3)
4
24
( 8)
5
-
¸ -
；
(4)
4
1
24
(
)
5
10
¸ -
．
【答案】(1) 702
-
(2) 32
5
(3) 31
10
(4) 248
-
【分析】本题考查有理数的除法运算：
（1）变除法为乘法，再约分化简即可；
（2）变小数为分数，再变除法为分数乘法，最后约分化简；
（3）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可；
（4）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可．
【详解】（1）解：
1404
2
1404
7
702
7
7
7
2
-
¸
= -
´
= -
；
（2）解：
5
4
32
8
1.25
8
8
4
5
5
-
¸ -
=
¸
= ´
=
；
（3）解：
4
124
1
31
24
( 8)
5
5
8
10
-
¸ -
=
´
=
；
（4）解：
4
1
124
24
10
248
5
10
5
æ
ö
¸ -
=
´ -
= -
ç
÷
è
ø
.
【变式3】（26-27 七年级上·全国·课后作业）计算：
2
1
4
3
5
2
5
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
¸ -
¸ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ．
【答案】
1
7
-
【分析】本题考查了有理数的除法，多个有理数相除，解题关键是注意乘除的转化．
先将除法转化为乘法，再计算．
【详解】解：原式
2
2
5
5
7
4
æ
ö æ
ö æ
ö
= -
´ -
´ -
ç
÷ ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø è
ø
1
7
= -
．
【变式4】（2026 七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)
1
11
10
11
æ
ö
-
¸ -
¸ -
ç
÷
è
ø
；
(2)
5
1.25
0.5
8
æ
ö
+
¸ -
¸ -
ç
÷
è
ø ．
【答案】(1) 12.1
-
(2)4
【分析】本题考查了多个有理数的除法，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）先确定符号，小数化分数，除法转乘法，再计算；
（2）先确定符号，小数化分数，除法转乘法，再计算．
【详解】（1）
1
11
10
11
æ
ö
-
¸ -
¸ -
ç
÷
è
ø
1
11 11 10
æ
ö
= -
´
´
ç
÷
è
ø
12.1
= -
；
（2）
5
1.25
0.5
8
æ
ö
+
¸ -
¸ -
ç
÷
è
ø
5
8
2
4
5
=
´ ´
4
=
．
【变式5】（22-23 七年级上·全国·期中）计算：
(1)
20
4
-
¸ -
；
(2)
1
1
3
2
æ
ö
æ
ö
-
¸ +
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø；
(3)
32
8
3
-
¸ -
´ -
；
(4)
15
71
8
16 ¸ -
．
【答案】(1)5
(2)
2
3
-
(3) 12
-
(4)
127
8128
-
【分析】本题考查了有理数的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用有理数除法运算法则计算；
（2）利用有理数除法运算法则计算；
（3）利用有理数乘除混合运算法则计算；
（4）利用有理数除法运算法则计算．
【详解】（1）解：
20
4
5
-
¸ -
=
；
（2）解：
1
1
3
2
æ
ö
æ
ö
-
¸ +
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
2
3
æ
ö
= -
´
ç
÷
è
ø
2
3
= -
；
（3）解：
32
8
3
-
¸ -
´ -
4
3
=
´ -
12
= -
；
（4）解：
15
71
8
16 ¸ -
1
72
8
16
æ
ö
=
-
¸ -
ç
÷
è
ø
1
1
1
72
8
16
8
æ
ö
æ
ö
=
´ -
-
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
9
128
= - +
127
8128
= -
．
【变式6】（25-26 七年级上·全国·课后作业）计算：（1）
1
5
2 2
æ
ö
-
¸ -
ç
÷
è
ø．
（2）
1
1
5
3
4
4
æ
ö
æ
ö
+
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ．
（3）
3
3
2.25
8
æ
ö
-
¸ -
ç
÷
è
ø
．
【答案】
（1）2 ；（2）
21
13
-
；（3）3
2 .
【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数的除法运算法则是解题的关键；
（1）将除法化为乘法进行计算；
（2）将带分数换为假分数，将除法换为乘法进行计算；
（3）将分数和小数进行统一后把除法化为乘法进行计算.
【详解】解：（1）原式
5
5
2
æ
ö
= -
¸ -
ç
÷
è
ø
2
5
5
æ
ö
= -
´ -
ç
÷
è
ø
2
=
．
（2）原式
21
13
4
4
æ
ö
= -
¸
ç
÷
è
ø
21
4
4
13
æ
ö
= -
´
ç
÷
è
ø
21
13
= -
．
（3）原式
27
9
8
4
=
¸
27
4
8
9
=
´
3
2
=
．
【变式7】（26-27 七年级·江苏·暑假作业）计算：
(1)0
( 0.12)
¸ -
；
(2)
1
( 0.5)
(
)
4
-
¸ -
；
(3)( 378)
( 7)
( 9)
-
¸ -
¸ -
；
(4)
5
( 0.75)
( 0.3)
4
-
¸
¸ -
．
【答案】(1)0
(2)2
(3)-6
(4)2
【分析】此题考查了有理数的除法运算，根据有理数的除法运算法则求解即可．
【详解】（1）0
( 0.12)
¸ -
0
=
；
（2）
1
( 0.5)
(
)
4
-
¸ -
1
4
2
=
´
2
=
；
（3）( 378)
( 7)
( 9)
-
¸ -
¸ -
1
1
378
7
9
= -
´
´
6
= - ；
（4）
5
( 0.75)
( 0.3)
4
-
¸
¸ -
3
4
10
4
5
3
=
´
´
2
=
．
▌题型06 有理数的乘除运算
1）有理数乘法中，若乘数中有带分数，应先把带分数化成假分数，再相乘；若乘数中有小数，一般先把小
数化成分数，再相乘；
2）应用有理数除法法则，当两个数都是整数时，一般选择有理数除法法则2；当两个数中含有分数时，一
般选择有理数除法法则1.
【典例6】（25-26 六年级上·上海·期末）计算：1
6
3
1
7
2
29
20
4
æ
ö
æ
ö
´ -
¸
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
【答案】5
【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，解题关键是先将带分数化为假分数，把除法转化为乘法，再通过
约分简化计算，同时注意符号的运算规则.
【详解】解：原式
1
6
20
29
2
29
3
4
æ
ö
æ
ö
=
´ -
´
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
20
6
29
2
3
29
4
æ
ö æ
ö
=
´
´ -
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
20
6
6
4
=
´
5
=
.
【变式1】（25-26 六年级上·上海金山·期末）计算：
2
3
64
2
27
3
8
-
¸
´
¸ -
；
【答案】1
3
【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算法则，是解题的关键．有理数
乘除混合运算法则，进行计算即可．
【详解】解：
2
3
64
2
27
3
8
-
¸
´
¸ -
8
3
64
27
3
8
= -
¸
´
¸ -
3
3
1
64
8
8
27
æ
ö
= -
´
´
´ -
ç
÷
è
ø
1
3
=
．
【变式2】（26-27 七年级上·全国·课堂例题）计算：
1155
11
3
5
é
ù
-
¸
-
´ +
´ -
ë
û ．
【答案】7
-
【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题关键是注意运算的顺序．
先计算中括号里面的，再计算除法．
【详解】解：原式
1155
33
5
é
ù
= -
¸ -
´ -
ë
û
1155
165
= -
¸
7
= - ．
【变式3】（24-25 七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算：
(1)
1
1
3
1.25
5
2
æ
ö
æ
ö
-
´ +
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
(2)
1
1
5
5
5
5
æ
ö
-
´ ¸ -
´ -
ç
÷
è
ø
【答案】(1)8
(2) 25
-
【详解】（1）解：
1
1
3
1.25
5
2
æ
ö
æ
ö
-
´ +
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
16
5
2
5
4
æ
ö æ
ö
= -
´ +
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
8
=
；
（2）解：
1
1
5
5
5
5
æ
ö
-
´ ¸ -
´ -
ç
÷
è
ø
1
5
5
5
5
= -
´ ´ -
´ -
25
= -
．
【变式4】（22-23 七年级上·江苏扬州·周测）计算：
(1)
1
4
81
2
16
4
9
æ
ö
-
¸ -
´
¸ -
ç
÷
è
ø
；
(2)
1
1
2
3
1
2
2
3
æ
ö
æ
ö
-
¸ -
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
【答案】(1) 1
-
(2)14
9
【分析】（1）先将除法转化为乘法，再由有理数乘法运算法则计算即可得到答案；
（2）先将除法转化为乘法，然后计算有理数乘法即可得到答案．
【详解】（1）解：
1
4
81
2
16
4
9
æ
ö
-
¸ -
´
¸ -
ç
÷
è
ø
4
4
1
81 9
9
16
æ
ö
=
´
´
´ -
ç
÷
è
ø
4
4
1
81 9
9
16
= -
´
´
´
1
= - ；
（2）解：
1
1
2
3
1
2
2
3
æ
ö
æ
ö
-
¸ -
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
7
2
2
2
3
3
=
´
´
14
9
=
【变式5】（26-27 七年级上·全国·课前预习）计算：
21
7
4
56
16
4
7
é
ù
æ
ö
æ
ö
´
-
¸ -
´
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
﹣
．
【答案】24
-
【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题关键是注意运算顺序．
先计算括号里面的，再计算乘法．
【详解】解：
21
7
4
56
16
4
7
é
ù
æ
ö
æ
ö
´
-
¸ -
´
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
﹣
21
4
4
56
16
7
7
é
ù
æ
ö æ
ö
= -
´
-
´ -
´
ç
÷ ç
÷
ê
ú
è
ø è
ø
ë
û
3
4
56
4
7
= -
´
´
24
= -
．
【变式6】（25-26 七年级上·江苏常州·阶段检测）计算：
5
3
4
28
1
1
16
4
7
æ
ö
æ
ö
-
´ -
¸ -
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
【答案】12
-
【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算．根据有理数的乘除混合运算法则计算即可．
【详解】解：
5
3
4
28
1
1
16
4
7
æ
ö
æ
ö
-
´ -
¸ -
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
21
7
4
28
16
4
7
æ
ö
æ
ö
= -
´ -
¸ -
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
21
4
4
28 16
7
7
= -
´
´
´
12
= -
．
【变式7】（25-26 七年级上·全国·期中）计算：
(1)
3
1
3
1
0.75
2
9
4
3
æ
ö
-
¸
´
´ -
¸
ç
÷
è
ø
；
(2)
2
1
5
1
0.8
2
7
4
æ
ö
æ
ö
- ¸ -
´
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ；
(3)
1
1
1
1
6
1
2
4
4
æ
ö æ
ö
-
¸ -
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø．
【答案】(1)
1
3
-
(2) 7
-
(3)
3
10
-
【分析】本题考查了有理数的混合运算．
（1）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可；
（2）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可；
（3）先将带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可．
【详解】（1）解：
3
1
3
1
0.75
2
9
4
3
æ
ö
-
¸
´
´ -
¸
ç
÷
è
ø
7
3
7
3
9
4
4
3
= - ¸
´
´
¸
3
7
1
3
7
4
3
9
4
= - ´
´
´
´
1
3 9
= - ´
1
3
= -
；
（2）解：
2
1
5
1
0.8
2
7
4
æ
ö
æ
ö
- ¸ -
´
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
9
4
9
5
7
5
4
æ
ö
=
¸ -
´
´
ç
÷
è
ø
7
4
9
5
9
5
4
æ
ö
= ´ -
´
´
ç
÷
è
ø
7
= - ；
（3）解：
1
1
1
1
6
1
2
4
4
æ
ö æ
ö
-
¸ -
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
3
25
5
2
4
4
æ
ö æ
ö
= -
¸ -
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
3
4
5
2
25
4
æ
ö æ
ö
= -
´ -
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
3
10
= -
．
【变式8】（25-26 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
4
5
1
2
1
7
6
21
æ
ö æ
ö
-
´ -
¸ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
；
(2)
1
1
1
15
8
5
3
3
æ
ö
-
¸ -
´
¸
ç
÷
è
ø
；
(3)
1
1
2
1
45 2
4
4
2
9
5
æ
ö
æ
ö
-
´
¸ -
´
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
【答案】
（1）99；（2）27；（3）1
- .
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键.
【详解】（1）解：原式
18
11
1
7
6
21
æ
ö æ
ö
= -
´ -
¸
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
18
11 21
7
6
=
´
´
99
=
．
（2）解：原式
1
25
1
15
5
3
3
æ
ö
= -
¸ -
´
¸
ç
÷
è
ø
5
1
15
3
3
æ
ö
= -
¸ -
¸
ç
÷
è
ø
3
15
3
5
=
´
´
27
=
.
（3）解：原式
9
9
2
1
45
4
2
9
5
æ
ö
æ
ö
= -
´
¸ -
´
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
9
2
2
1
45
4
9
9
5
é
ù
æ
ö
æ
ö
= -
´
´ -
´
´ -
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
1
1
45
9
5
æ
ö æ
ö
= -
´ -
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
1
5
5
æ
ö
= ´ -
ç
÷
è
ø
1
-
=
.
▌题型07 有理数的加减乘除混合运算
如果无括号，那么要按照“先乘除，后加减”的顺序进行计算；如果有括号，要先计算
括号里面的，再算括号外面的；同一级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并要合理运用运算律简化运算.
【典例7】（26-27 七年级上·四川成都·开学考试）3
2
2
7
4
14
15
3
é
ù
æ
ö
´
-
¸
+
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
【答案】3
7
【详解】解：原式
3
2
10
7
4
14
15
15
é
ù
æ
ö
=
´
-
¸
+
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
3
12
7
4
14
15
æ
ö
=
´
-
¸
ç
÷
è
ø
3
15
7
4
14
12
æ
ö
=
´
- ´
ç
÷
è
ø
3
15
7
14
3
æ
ö
=
´
-
ç
÷
è
ø
3
7
5
14
=
´
-
3
2
14
=
´
3
7
=
．
【变式1】（26-27 七年级上·上海·开学考试）用合适的方法计算．
(1)
20.2 0.4
7.88
4.2
´
¸
＋
(2)
5
1
0.7
24
6
4
é
ù
æ
ö
¸
-
´
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
(3)
3
1
2
16
8
4
5
9
é
ù
æ
ö
+
¸
´
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
(4) 7
5
3
8
2
8
2
5
´
-
¸
【答案】(1)3.8
(2)0.05
(3) 25
9
(4) 5
4
【分析】（1）先算括号里的乘法，再算加法，最后计算除法．
（2）括号里利用乘法分配律简便运算，再算外面的除法．
（3）先算小括号里的加法，除以2
5 等价于乘5
2 ，之后约分计算．
（4）除以8
5 等于乘5
8 ，之后逆用乘法分配律：
a c
b c
a
b
c
´ - ´
=
-
´ 简便计算．
【详解】（1）解：原式
8.08
7.88
4.2
15.96
4.2
3.8
=
+
¸
=
¸
=
．
（2）解：原式
5
1
0.7
24
24
6
4
æ
ö
=
¸
´
-
´
ç
÷
è
ø
0.7
20
6
=
¸
-
0.7 14
=
¸
0.05
=
．
（3）解：原式
3
2
5
16
8
8
2
9
é
ù
æ
ö
=
+
´
´
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
5
5
16
8
2
9
æ
ö
=
´
´
ç
÷
è
ø
25
16
16
9
=
´
25
9
=
．
（4）解：原式
7
5
3
5
2
8
2
8
=
´
-
´
7
3
5
2
2
8
æ
ö
=
-
´
ç
÷
è
ø
4
5
2
8
=
´
5
2
8
=
´
5
4
=
．
【变式2】（25-26 七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算：
(1)
1
6 2
3
æ
ö
- ´ ¸ -
ç
÷
è
ø
(2)
1
2
1
0.75
3
3
4
æ
ö
-
+ -
+ -
+
ç
÷
è
ø
(3)
97
98
2
98 ´ -
(4)
5
5
5
4
2
7 2
11
2
9
9
9
æ
ö
æ
ö
´ -
- ´
+
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
【答案】(1)36
(2)
3
2
-
(3)
48
197 49
-
(4)
506
9
-
【详解】（1）解：
1
6 2
3
æ
ö
- ´ ¸ -
ç
÷
è
ø
6 2
3
= - ´ ´ -
36
=
（2）解：
1
2
1
0.75
3
3
4
æ
ö
-
+ -
+ -
+
ç
÷
è
ø
1
3
2
1
3
4
3
4
æ
ö
æ
ö
-
+ -
+ -
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
=
1
2
3
1
3
3
4
4
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
-
+ -
+
-
+
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
=
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
1
1
2
æ
ö
= - + -
ç
÷
è
ø
3
2
= -
；
（3）解：
97
98
2
98 ´ -
1
99
2
98
æ
ö
=
-
´ -
ç
÷
è
ø
1
99
2
2
98
=
´ -
-
´ -
1
198
49
= -
+
48
197 49
= -
；
（4）解：
5
5
5
4
2
7 2
11
2
9
9
9
æ
ö
æ
ö
´ -
- ´
+
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
5
5
5
4
2
7
2
11
2
9
9
9
æ
ö
æ
ö
æ
ö
´ -
+ ´ -
+
´ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
=
5
2
4
7 11
9
æ
ö
-
´
+
+
ç
÷
è
ø
=
23
22
9
æ
ö
= -
´
ç
÷
è
ø
506
9
-
=
．
【变式3】（25-26 七年级上·河南南阳·阶段检测）计算：
(1)
20
3
5
7
-
+ +
- -
- +
；
(2)
7
5
90
15
-
´ -
-
¸ -
；
(3)
1
1
1
2.75
24
1
8
3
æ
ö
+
-
´ -
-
ç
÷
è
ø
；
(4)
2
4
1
1
1 0.5
1
2
3
é
ù
-
-
-
´
´
- -
ë
û ．
【答案】(1) 19
-
(2) 41
(3)30
(4)
1
2
-
【分析】本题考查有理数混合运算，按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序计算，有括号先算括号内
的部分，可利用乘法分配律简化计算，即可求解．
【详解】（1）解：
20
3
5
7
-
+ +
- -
- +
20
3
5
7
= -
+
+
-
19
= -
；
（2）解：
7
5
90
15
35
6
-
´ -
-
¸ -
=
- -
35
6
=
+
41
=
；
（3）解：
1
1
1
4
11
1
2.75
24
1
24
24
24
1
3
32
66 1
8
3
8
3
4
æ
ö
+
-
´ -
- =
´ -
+
´ -
-
´ -
- = - -
+
-
ç
÷
è
ø
30
=
；
（4）解：
2
4
1
1
1
1 0.5
1
2
1 0.5
1
4
3
3
é
ù
-
-
-
´
´
- -
= - -
´
´
-
ë
û
1
1
1
( 3)
2
3
= - -
´
´ -
1
1
2
= - +
1
2
= -
．
【变式4】（25-26 七年级上·辽宁营口·阶段检测）计算：
(1)
2
3.2
8.1
16.9
115
æ
ö
-
- -
- +
+ -
ç
÷
è
ø
(2)
9
4
81
32
4
9
-
¸
´
¸ -
(3)
1
1
1
5
3
6
3
11
3
6
6
6
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+ ´ -
-
-
ç
÷
´
÷
ç
÷
ç
è
ø
è
ø
è
ø
´
(4)
2
3
5
15
1
6
2
4
3
8
6
æ
ö
æ
ö
-
-
+
-
-
ç
÷
ç
÷
è
è
ø
´
ø
´
¸
【答案】(1)
2
1315
-
(2) 1
2
(3)0
(4)
2
5 3
-
【详解】（1）解：
2
3.2
8.1
16.9
115
æ
ö
-
- -
- +
+ -
ç
÷
è
ø
2
3.2
8.1 16.9 115
= -
+
-
-
2
3.2 16.9
8.1 115
= -
-
+
-
2
20.1 8.1 115
= -
+
-
2
12 115
= -
-
2
1315
= -
；
（2）解：
9
4
81
32
4
9
-
¸
´
¸ -
4
4
1
81
9
9
32
æ
ö
= -
´
´
´ -
ç
÷
è
ø
16
1
81
81
32
æ
ö
= -
´
´ -
ç
÷
è
ø
1
2
=
；
（3）解：
1
1
1
5
3
6
3
11
3
6
6
6
æ
ö
æ
ö
æ
ö
´ -
+ ´ -
-
´ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
1
5
6 11
3 6
æ
ö
=
+
-
´ -
ç
÷
è
ø
1
0
3 6
æ
ö
=
´ -
ç
÷
è
ø
0
=
；
（4）解：
2
3
5
15
1
6
2
4
3
8
6
æ
ö
æ
ö
-
´
¸ -
+ ´ -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
3
5
15
1
6
4
4
3
8
6
æ
ö
æ
ö
= -
´
¸
+ ´ -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
3
5
8
1
6
4
4
3
15
6
æ
ö
æ
ö
= -
´
´
+ ´ -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
2
1
4
3
= -
- -
2
5 3
= -
．
【变式5】（25-26 七年级上·四川宜宾·期中）计算下列各题：
(1)
10
7
18
11
-
+ -
- -
-
；
(2)
1
7
4
2
4
1
2
25
3
5
æ
ö
æ
ö
-
¸
´ -
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；
(3)
11
11
5
5
13
3
5
5
11
æ
ö
æ
ö
æ
ö
- ´ -
+
´ -
- ¸ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ；
(4)
3
2
1
1
2
3
8
6
2
5
æ
ö
ç
ú
÷
é
ù
-
ø
-
´
-
´ +
êëèê
ú
û
．
【答案】(1) 10
-
(2)30
(3) 11
-
(4) 8.9
-
【分析】（1）按照从左到右的顺序进行计算；
（2）先确定积的正负，再按照乘除法的运算法则进行计算；
（3）逆用乘法分配律进行计算；
（4）根据有理数混合运算的运算法则进行计算．
【详解】（1）解：原式
10
7
18 11
= -
-
+
-
10
= -
；
（2）解：原式
9
25
4
7
2
7
3
5
=
´
´
´
30
=
；
（3）解：原式
11
5 13
3
5
= -
´ - +
-
11 5
11
5
= -
´
= -
；
（4）解：原式
1
2
9
1
6
5
æ
ö
= - -
´ - +
ç
÷
è
ø
1
3
9
9
0.1
6
5
æ
ö
= - -
´ -
= - +
ç
÷
è
ø
8.9
= -
．
▌题型08 含乘方的有理数的混合运算
【典例8】（25-26 七年级上·湖南湘潭·期末）计算：
2
2
1
1
1
4
2
3
4
2
3
æ
ö
æ
ö
- ´
-
-
´ -
- -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
【答案】2
3
【分析】本题考查有理数的混合运算，灵活运用运算顺序和运算法则是解题的关键，根据有理数混合运算顺
序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的，进而求出式子的值．
【详解】解：原式
5
1
1
4
4
12
2
3
= - ´
-
´ -
+
5
1
2
3
3
= -
+
+
2
3
=
．
【变式1】（25-26 七年级上·河北沧州·期末）计算：
(1)
2025
2
1
18
4
2
9
-
+ -
´ -
-
¸ -
；
(2)
3
3
1
19
19
19
4
2
4
æ
ö
´ -
- -
´
+
´
ç
÷
è
ø
．
【答案】(1) 3
-
(2)19
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序．
（1）按照有理数混合运算顺序，先计算乘方与绝对值，再进行乘除运算，最后进行加减运算；
（2 ）利用乘法分配律进行简便运算即可．
【详解】（1）解：
2025
2
1
18
4
2
9
-
+ -
´ -
-
¸ -
2
1
18
4
2
9
= - + -
´
-
¸ -
1
4
2
= - + -
- -
1
4
2
= - + -
+
3
-
=
；
（2）解：
3
3
1
19
19
19
4
2
4
æ
ö
´ -
- -
´
+
´
ç
÷
è
ø
3
3
1
19
19
19
4
2
4
æ
ö
=
´ -
+
´
+
´
ç
÷
è
ø
3
3
1
19
4
2
4
é
ù
æ
ö
=
´
-
+
+
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
19 1
=
´
19
=
．
【变式2】（25-26 七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）计算：
2
3
2
1
5
3
6
5
æ
ö
-
´ -
- -
¸ -
ç
÷
è
ø
．
【答案】
11
2
-
【分析】先计算乘方，再计算乘除法，最后计算减法即可．
【详解】解：
2
3
2
1
5
3
6
5
æ
ö
-
´ -
- -
¸ -
ç
÷
è
ø
1
25
27
6
25
= -
´
- -
¸ -
9
1
2
= - -
11
2
= -
．
【变式3】（25-26 七年级上·四川眉山·期中）计算：
(1) 5
12
9
12
17
17
æ
ö
-
-
- -
ç
÷
è
ø ；
(2)
2
2
1
1
2
1
0.6
2
4
5
é
ù
æ
ö
-
´ -
+
-
¸
¸ -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û ．
【答案】(1) 20
-
(2) 1
3
【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；
（2）先算乘方，再算乘除法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算．
【详解】（1）解：5
12
9
12
17
17
æ
ö
-
-
- -
ç
÷
è
ø
5
12
9
12
17
17
=
-
-
+
5
12
9
12
17
17
æ
ö
=
+
-
+
ç
÷
è
ø
1
21
= -
20
= -
；
（2）解：
2
2
1
1
2
1
0.6
2
4
5
é
ù
æ
ö
-
´ -
+
-
¸
¸ -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
1
1
5
4
1
4
4
5
3
é
ù
æ
ö
= - ´ -
+
-
´
¸
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
1
1
4
1
4
4
3
é
ù
æ
ö
= - ´ -
+
-
¸
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
1
2
1
4
4
3
4
æ
ö
= - ´ -
+
´
ç
÷
è
ø
1
1
4
4
6
æ
ö
= - ´ -
+
ç
÷
è
ø
1
1
4
4
4
6
æ
ö
= -
´ -
+ -
´
ç
÷
è
ø
2
1
3
= -
= 1
3 ．
【变式4】（25-26 七年级上·四川凉山·期末）计算：
(1)
3
2
18
32
2
4
5
+
¸ -
- -
´
(2)
2025
1
1
2
1
8
1
7
8
3
24
æ
ö
æ
ö
-
´ - - -
-
-
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
【答案】(1)94
(2) 14
-
【分析】根据有理数混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，计算即可，有绝对值的先要
把绝对值算出来．
【详解】（1）原式
18
32
8
16
5
=
+
¸ -
- -
´
18
4
80
=
-
+
94
=
；
（2）原式
1
1
2
8 1
24
7
8
3
æ
ö
= -
´ - +
-
-
´ -
ç
÷
è
ø
1
1
2
7
24
24
7
8
3
é
ù
= -
´ -
´ -
-
´ -
ê
ú
ë
û
1
7
3 16
7
= -
´ - - +
1 13
= - -
14
= -
．
【变式5】（25-26 七年级上·安徽合肥·期末）计算：
2026
1
1
2
1 3
2
æ
ö
-
+ -
¸ -
-
-
ç
÷
è
ø
．
【答案】1
【分析】本题考查有理数的混合运算，需遵循先算乘方与绝对值，再算除法，最后算加减的运算顺序进行计
算.
【详解】解：原式
1
2
2
2
= - + -
´ -
-
1
4
2
= - +
-
1
= .
【变式6】（25-26 七年级上·广东湛江·期末）计算：
2
3
2026
1
1
1 0.5
10
2
1
3
é
ù
-
-
-
´
´
- -
- -
ë
û
【答案】1
-
【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：原式
1
1 0.5
10
4
1
3
= - -
´
´
-
- -
1
1
1
6 1
2
3
= - -
´
´ +
1 1 1
= - - +
1
= - ．
【变式7】（25-26 七年级上·安徽滁州·期末）计算：
3
2026
11
4
1
2
8
2
11
æ
ö
-
- -
´
+ -
¸ -
ç
÷
è
ø
．
【答案】0
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算，首先根据有理数的乘方的定义把算式中的乘方计算出
来，再根据有理数的运算法则进行计算．
【详解】解：
3
2026
11
4
1
2
8
2
11
æ
ö
-
- -
´
+ -
¸ -
ç
÷
è
ø
1
2
8
8
= - - -
+ -
¸
1
2
1
= - +
+ -
0
=
．
【变式8】（25-26 七年级上·湖南娄底·期末）计算：
3
2
1
3
2
7
2
1
2
æ
ö
é
ù
-
¸
- -
+ -
´
-
ç
÷
ë
û
è
ø
【答案】5
-
【分析】本题考查有理数的混合运算，考查的知识点包括乘方运算、有理数的加减乘除运算，解题关键是严
格遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先计算括号内的运算．先分别计
算各乘方项和括号内的式子，再依次进行乘除、加减运算得出最终结果．
【详解】解：
3
2
1
3
2
7
2
1
2
æ
ö
é
ù
-
¸
- -
+ -
´
-
ç
÷
ë
û
è
ø
1
27
2
7
4
2
æ
ö
= -
¸
+
+ ´ -
ç
÷
è
ø
27
9
2
= -
¸ + -
3
2
= - + -
5
-
=
．
【变式9】（25-26 七年级上·广东惠州·期末）方方和圆圆两位同学计算
2
3
1
4
16
( 2)
8
æ
ö
-
+
¸ -
´ -
ç
÷
è
ø的过程如下：
方方：
2
3
1
4
16
( 2)
8
æ
ö
-
+
¸ -
´ -
ç
÷
è
ø
1
16 16
8
8
æ
ö
=
+
¸ -
´ -
ç
÷
è
ø
①
1
16
2
8
æ
ö
=
+ -
´ -
ç
÷
è
ø
②
1
16 4
=
③
圆圆：
2
3
1
4
16
( 2)
8
æ
ö
-
+
¸ -
´ -
ç
÷
è
ø
1
16 16
8
8
æ
ö
= -
+
¸ -
´ -
ç
÷
è
ø
①
16 16 1
= -
+
¸ ②
0
=
③
(1)以上计算过程中，方方开始出错的是第________步，圆圆开始出错的是第________步（填序号）；
(2)写出你的计算过程．
【答案】(1)①；②
(2)
解：
2
3
1
4
16
( 2)
8
æ
ö
-
+
¸ -
´ -
ç
÷
è
ø
1
16 16
8
8
æ
ö
= -
+
¸ -
´ -
ç
÷
è
ø
1
16
2
8
æ
ö
= -
+ -
´ -
ç
÷
è
ø
1
16
4
= -
+
3
15 4
= -
．
【分析】（1）方方第一步在计算
2
4
-
时出错了，结果应为16
-
；圆圆在第二步计算乘除时，没有按照同级运
算从左往右的顺序进行计算；
（2）先计算乘方，再从左到右进行乘除运算的顺序计算，最后算加减即可求解．
【详解】（1）解：∵方方第一步在计算
2
4
-
时出错了，结果应为16
-
，
∴方方开始出错的是第①步，
∵圆圆在第二步计算乘除时，没有按照同级运算从左往右的顺序进行计算，
∴圆圆开始出错的是第②步．
（2）略
▌题型09 利用运算律简便运算
【典例9】（25-26 七年级上·四川广元·开学考试）下面各题，能简便计算的用简便方法计算．
(1)300
25
1.5
2.4
¸
-
´
(2)
5
5
7
19
4
1
7
7
5
´
-
´
- ¸
(3)
4
7
3.4
11
11
-
-
(4) 2
2
11
4
9
19
19
æ
ö
+
´ +
ç
÷
è
ø
【答案】(1)8.4
(2)10
(3)2.4
(4) 8
19
【分析】本题考查了简单的四则混合运算，计算时先理清楚运算顺序，根据运算顺序逐步求解即可．
（1）先同时计算除法和乘法，再算减法；
（2）先把除法变成乘法，再根据乘法分配律简算；
（3）根据减法的性质计算；
（4）先根据乘法分配律简算，再根据加法结合律简算．
【详解】（1）解：原式
12
3.6
=
-
8.4
=
．
（2）解：原式
5
5
5
19
4
1
7
7
7
=
´
-
´
- ´
5
19
4
1
7
=
-
-
´
5
14
7
=
´
10
=
．
（3）解：原式
4
7
3.4
11
11
æ
ö
=
-
+
ç
÷
è
ø
3.4
1
=
-
2.4
=
．
（4）解：原式
2
2
11
4
4
9
19
19
=
´ +
´ +
8
8
11
9
19
19
=
+
+
8
8
11
9
19
19
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø
8
1
9
=
+
8
19
=
．
【变式1】（25-26 六年级上·全国·期末）脱式计算，能简便的用简便方法计算．
(1) 40
60 14
21
+
´
¸
；
(2)
3
16 1.5
14
´
¸
；
(3)
14
11
32.6
17.4
5
5
-
+
-
(4)12.5 2.4 25
´
´
；
(5)
3
43 75%
58
0.75
4
´
+
´
-
；
(6)
9
16.4
3.75
37.5%
4
é
ù
æ
ö
-
+
¸
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
．
【答案】(1)80
(2)112
(3)45
(4)750
(5)75
(6)0.4
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则运算顺序．
（1）先计算乘除，再计算加法；
（2）将除法化为乘法，并利用结合律求解；
（3）利用交换律和结合律进行简便计算；
（4）先将原式变形，再利用结合律进行乘法计算；
（5）先将百分数和分数化为小数，再逆用乘法分配律计算；
（6）先计算小括号内加法，再计算中括号内除法，最后计算减法．
【详解】（1）解：40
60 14
21
+
´
¸
40
840
21
=
+
¸
40
40
=
+
80
=
；
（2）解：
3
16 1.5
14
´
¸
14
16 1.5
3
=
´
´
3
14
16
2
3
æ
ö
=
´
´
ç
÷
è
ø
16 7
=
´
112
=
（3）解：
14
11
32.6
17.4
5
5
-
+
-
14
11
32.6 17.4
5
5
æ
ö
=
+
-
+
ç
÷
è
ø
50
5
=
-
45
=
（4）解：12.5 2.4 25
´
´
12.5 0.8 3 25
=
´
´ ´
12.5 0.8
3 25
=
´
´
´
10 75
=
´
750
=
；
（5）解：
3
43 75%
58
0.75
4
´
+
´
-
43 0.75
58 0.75
0.75
=
´
+
´
-
43
58 1
0.75
=
+
-
´
100 0.75
=
´
75
=
（6）解：
9
16.4
3.75
37.5%
4
é
ù
æ
ö
-
+
¸
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
16.4
2.25
3.75
37.5%
=
-
+
¸
é
ù
ë
û
16.4
6
37.5%
=
-
¸
16.4 16
=
-
0.4
=
【变式2】（24-25 七年级上·河北保定·开学考试）能简便计算的用简便方法计算．
(1)
2024
2024
2025
´
(2) 9
22
27
11
27
¸
´
(3)
1
12.5
36
7
3.6
5
æ
ö
´
-
¸
ç
÷
è
ø
(4)
3
8
2
5
14
0.65
14
0.65
7
13
7
13
´
+
´
-
´
+
´
【答案】(1)
1
2023 2025
(2) 2
81
(3)100
(4) 2.65
【分析】本题考查了简便计算，解题的关键是掌握相关运算律．
（1）把2024 写成2025 1
- ，然后根据乘法的分配律计算即可；
（2）先把除法转化为乘法，然后根据乘法法则计算即可；
（3）先把除法转化为乘法，然后逆用乘法的分配律计算即可；
（4）根据加法的交换律和结合律，并逆用乘法的分配律计算即可．
【详解】（1）解：
2024
2024
2025
´
2024
2025 1
2025
=
-
´
2024
2024
2025
1
2025
2025
=
´
- ´
2024
2024
2025
=
-
1
2023 2025
=
；
（2）解：9
22
27
11
27
¸
´
9
1
22
11
27
27
=
´
´
2
81
=
；
（3）解：
1
12.5
36
7
3.6
5
æ
ö
´
-
¸
ç
÷
è
ø
36
10
12.5
36
5
36
é
ù
æ
ö
´
-
´
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
=
10
36
10
12.5
36
36
5
36
æ
ö
=
´
´
-
´
ç
÷
è
ø
12.5
10
2
=
´
-
12.5 8
=
´
100
=
．
（4）解∶
3
8
2
5
14
0.65
14
0.65
7
13
7
13
´
+
´
-
´
+
´
3
2
8
5
14
14
0.65
0.65
7
7
13
13
=
´
-
´
+
´
+
´
3
2
8
5
14
0.65
7
7
13
13
æ
ö
æ
ö
=
´
-
+
´
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
14
0.65 1
7
=
´
+
´
2
0.65
=
+
2.65
=
．
【变式3】（26-27 七年级上·北京·课后作业）计算下列各题．（能用简便方法的要用简便方法）
(1)
25
56
39
-
+ +
+ -
(2)
1.9
3.6
10.1
1.4
-
+
+ -
+
(3)
26
15
8
30
-
+ +
+ -
+ +
(4)
2.4
3.7
4.2
0.7
4.2
-
+ -
+ +
+
+ -
(5) 1
3
1
1
18
3
4
3
4
19
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
+
+ -
+ -
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
(6)
3
4
3
12.5
16
2.5
7
7
æ
ö
æ
ö
-
+
+ -
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
【答案】(1) 8
-
(2) 7
-
(3)11
(4) 5.4
-
(5) 55
38
(6) 10
-
【分析】本题考查了有理数加法：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号加减，取绝
对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0 相
加，仍得这个数．
（1）先把两个负数相加，然后进行异号两数的加法运算；
（2）先把两个负数和两正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算；
（3）先把两个负数和两正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算；
（4）先把负数和正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算；
（5）先进行同分母分数的加法运算，然后通分，再进行加法运算；
（6）先进行同分母分数的加法运算，再进行加法运算．
【详解】（1）解：
25
56
39
25
39
56
64
56
8
-
+ +
+ -
= -
+ -
+
= -
+
= - ；
（2）解：
1.9
3.6
10.1
1.4
1.9
10.1
3.6 1.4
12
5
7
-
+
+ -
+
= -
+ -
+
+
= -
+
= - ；
（3）解：
26
15
8
30
26
8
15
30
34
45
11
-
+ +
+ -
+ +
= -
+ -
+
+
= -
+
=
；
（4）解：
2.4
3.7
4.2
0.7
4.2
-
+ -
+ +
+
+ -
2.4
3.7
0.7
4.2
4.2
= -
+ -
+
+
+ -
2.4
3
= -
+ -
5.4
= -
；
（5）解：1
3
1
1
18
3
4
3
4
19
æ
ö
æ
ö
+
+ -
+ -
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
1
3
1
18
3
3
4
4
19
æ
ö
æ
ö
=
+ -
+
+ -
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
18
2
19
=
+
55
38
=
；
（6）解：
3
4
3
12.5
16
2.5
7
7
æ
ö
æ
ö
-
+
+ -
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
3
4
3
16
12.5
2.5
7
7
æ
ö
æ
ö
= -
+ -
+
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
20 10
= -
+
10
= -
．
【变式4】（22-23 七年级上·北京朝阳·阶段检测）计算（能用简便方法的用简便方法）
(1)
3
12
17
8
-
+
+ -
+ +
(2)
1
2
1
5
0.25
12
3
4
12
æ
ö
æ
ö
+
+ -
-
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
(3)
1
8
9
1.25
9
æ
ö
-
´ ´ -
´ -
ç
÷
è
ø
(4)
4
5
7
36
9
6
12
æ
ö
-
´ -
+
-
ç
÷
è
ø
【答案】(1)0
(2) 1
-
(3) 10
-
(4)7
【详解】（1）解：原式
3 17
12
8
= - -
+
+
20
20
= -
+
0
=
；
（2）解：原式
1
1
1
5
2
4
4
12
12
3
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
1
2
0
3
3
æ
ö
æ
ö
=
+ -
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
= - ；
（3）解：原式
1
8
1.25
9
9
é
ù
æ
ö
=
-
´ -
´
´ -
é
ù
ç
÷
ê
ú
ë
û
è
ø
ë
û
10
1
=
´ -
10
= -
；
（4）解：原式
4
5
7
36
36
36
9
6
12
æ
ö
æ
ö
= -
´ -
+ -
´
+ -
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
16
30
21
=
-
+
7
=
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运
算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各
个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【变式5】（25-26 七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算：
(1)
22
7
22
7
19
5
7
22
7
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
´ -
+
¸ -
- ´ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ；
(2)
7
6
1
15
6
7
5
æ
ö
æ
ö
-
´ -
´ -
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
【答案】(1) 22
-
(2) 3
-
【分析】本题考查有理数的运算定律，进行简便计算；
（1）运用乘法分配律计算即可；
（2）运用乘法结合律计算即可．
【详解】（1）解：
22
7
22
7
19
5
7
22
7
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
´ -
+
¸ -
- ´ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
22
22
22
7
19
5
7
7
7
æ
ö
æ
ö
æ
ö
= -
´ -
+
´ -
- ´ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
22
7
19
5
7
æ
ö
= - +
-
´ -
ç
÷
è
ø
22
7
7
æ
ö
=
´ -
ç
÷
è
ø
22
= -
．
（2）解：
7
6
1
15
6
7
5
æ
ö
æ
ö
-
´ -
´ -
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
7
6
1
15
6
7
5
é
ù
æ
ö æ
ö
é
ù
=
-
´ -
´
-
´
ç
÷ ç
÷
ê
ú
ê
ú
è
ø è
ø
ë
û
ë
û
1
3
= ´ -
3
-
=
；
【变式6】（26-27 七年级上·全国·课堂例题）用简便方法计算：
2
2
2
2
2
9
99
999
9999
99999
4
5
5
5
5
5
+
+
+
+
+
．
【答案】111111
【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式变形后，计算即可得到结
果．
【详解】解：原式
2
2
2
2
2
(9
99
999
9999
99999)
4
5
5
5
5
5
æ
ö
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
ç
÷
è
ø
10 100 1000 10000 100000
5
2
4
=
+
+
+
+
-
+
+
111111
=
．
【变式7】（25-26 七年级上·内蒙古锡林郭勒·期中）简便运算：
(1)
1
2
1
1
6
3
4
12
æ
ö
æ
ö
-
-
+
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
(2)
5
2
3
1
2000
1999
4000
1
6
3
4
4
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+ -
+
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
【答案】(1)7
(2) 1
-
【分析】本题考查有理数四则混合计算．
（1）先将括号内通分，再除以括号外的数即可；
（2）先将括号内带分数整理成两个数相加的形式，再去括号，让整数和整数合并计算，分数和分数合并在
一起计算等．
【详解】（1）解：
1
2
1
1
6
3
4
12
æ
ö
æ
ö
-
-
+
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
2
8
3
1
12
12
12
12
æ
ö
æ
ö
= -
-
+
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø，
7
1
12
12
æ
ö
æ
ö
= -
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
7
12
12
æ
ö
= -
´ -
ç
÷
è
ø
，
7
=
；
（2）解：
5
2
3
1
2000
1999
4000
1
6
3
4
4
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+ -
+
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ，
5
2
3
1
2000
1999
4000
1
6
3
4
4
æ
ö
æ
ö
æ
ö
= -
-
+ -
-
+
+
+ - -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ，
5
2
3
1
2000
1999
4000
1
6
3
4
4
= -
-
-
-
+
+
- -
，
5
2
3
1
2000 1999
4000 1
6
3
4
4
æ
ö
= -
-
+
-
+ -
-
+
-
ç
÷
è
ø ，
5
2
3
1
6
3
4
4
= -
-
+
-
，
5
2
1
6
3
2
= -
-
+
，
5
4
3
6
6
6
= -
-
+
，
1
= - ．
【变式8】（24-25 七年级上·黑龙江鹤岗·期中）计算（能简便运算的要简算）：
(1)
2
2
4
30
3
3
æ
ö
- ¸
- -
´ -
ç
÷
è
ø
(2)
20
14
18
13
-
+ -
- -
-
(3)
2
8
5
1
5
0.8 1
3
-
¸ -
´
+
-
(4)
1
3
1
48
6
4
æ
ö
-
+
´ -
ç
÷
è
ø
(5)
1
4
81
2
16
4
9
-
¸
´
¸ -
(6)
1
99
14
7
æ
ö
-
´
ç
÷
è
ø
【答案】(1) 26
-
(2) 29
-
(3) 2
15
(4) 76
-
(5)1
(6) 1388
-
【分析】（1）先除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算加减法即可；
（2）先去括号，再进一步计算加减法即可；
（3）先计算乘方和绝对值内的运算，再把除法转化为乘法，然后乘除，最后计算加减即可；
（4）利用乘法分配律，然后乘除，最后计算加减即可；
（5）先化带分数为假分数，再把除法转化为乘法，最后相乘即可；
（6）先将原式化为
6
100
14
7
æ
ö
-
+
´
ç
÷
è
ø
，利用乘法分配律，然后乘除，最后计算加减即可．
【详解】（1）解：原式
3
2
4
30
2
3
-
=
´
-
´
6
20
= - -
26
= -
．
（2）解：原式
20 14 18 13
= -
-
+
-
29
= -
．
（3）解：原式
2
8
5
1
5
0.8 1
3
-
=
¸ -
´
+
-
5
1 25
0.2
3
= - ¸
´
+ -
1
5
1
1 25
3
5
= - ´
´
+
1
3
15
15
= -
+
2
15
=
．
（4）解：原式
1
3
1
48
48
48
6
4
= ´ -
-
´ -
+
´ -
48
8
36
= -
+ -
76
= -
．
（5）解：原式
9
4
81
16
4
9
= -
¸
´
¸ -
4
4
1
81
9
9
16
æ
ö
= -
´
´
´ -
ç
÷
è
ø
1
= ．
（6）解：原式
6
100
14
7
æ
ö
= -
+
´
ç
÷
è
ø
6
100 14
14
7
= -
´
+
´
1400 12
= -
+
1388
= -
．
【变式9】（25-26 七年级上·全国·课后作业）用简便方法计算：
(1)
3
1
1
25
25
25
4
2
4
æ
ö
´
- -
´
+
´ -
ç
÷
è
ø ．
(2)
7
5
7
1.45
6
3.95 6
18
9
6
18
æ
ö
-
´ +
´ -
-
+
´ -
ç
÷
è
ø
．
【答案】(1)25
(2) 21
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则.
（1）利用乘法分配律简便运算
（2）分别利用乘法分配律简便运算，再加法运算.
【详解】（1）解：原式
3
1
1
25
4
2
4
æ
ö
=
´
+
-
ç
÷
è
ø
25 1
=
´
25
=
．
（2）解：原式
7
5
7
6
1.45
3.95
18
18
18
9
6
18
æ
ö
=
´ -
+
+
´
-
´
+
´
ç
÷
è
ø
6 2.5
14 15
7
=
´
+
-
+
15
6
=
+
21
=
．
▌题型10 新定义运算问题
解决新运算问题时，要正确理解新定义的算式含义.如果需要计算，那么将题目中定义
的新运算符号用其原始定义代入所求的式子，转化为熟知的运算;如果需要证明其性质，那么列出含有新定
义运算符号的式子，然后转化为熟知的运算进行证明
【典例10】（23-24 七年级上·山西大同·阶段检测）我们规定一种新定义：
2
2
b
a
b
ab
=
-
※
，其中符号“※”是
我们规定的一种新定义，如
2
3
2
2
3
2
12
1
11
2
-
-
=
´ ´ -
-
= -
+ = -
※
，根据新定义计算：
(1)
5
4
-
※ ；
(2)
3
6
-
-
※
．
【答案】(1) 42
-
(2)39
【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）根据a ※
2
2
b
b
ab
=
-
，可以计算出所求式子的值；
（2）根据a ※
2
2
b
b
ab
=
-
，可以计算出所求式子的值．
【详解】（1）解：由题意可得，( 5)
-
※4
4
2
( 5)
4
2
=
´ -
´
-
40
2
= -
-
42
= -
；
（2）解：由题意可得，( 3)
-
※(
)
6
-
6
2
( 3)
( 6)
2
-
=
´ -
´ -
-
36
3
=
+
39
=
．
【变式1】（20-21 七年级上·河南驻马店·期中）中考新趋势·新定义 若a ，b 是有理数，定义一种运算“Å”：
2
2
1
a
b
ab
a
b
Å
=
-
-
+ ．
(1)计算
3
2
Å -
的值；
(2)计算
4
2
3
é
ù
ë
Å û
-
Å -
的值；
(3)定义的新运算“Å”对交换律是否成立？请写出你的探究过程．
【答案】(1) 7
-
(2)22
(3)成立，见解析
【分析】（1）根据新定义运算法则计算即可；
（2）根据新定义运算法则，先计算括号里的计算即可；
（3）按照交换律的性质，计算判断即可．
本题考查了新定义运算，有理数的乘法，有理数的加减混合，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：∵
2
2
1
a
b
ab
a
b
Å
=
-
-
+ ，
∴
3
2
3
2
2 3
2
2
1
Å -
= ´ -
- ´ - ´ -
+
7
= - ．
（2）解：
4
2
3
é
ù
-
Å
Å -
ë
û
4
2
2
4
2 2 1
3
3
3
é
ù
=
-
´
- ´ -
- ´
+
Å -
= -
Å -
ë
û
3
3
2
3
2
3
1
= -
´ -
- ´ -
- ´ -
+
9
6
6 1
=
+
+
+
22
=
．
（3）解：∵
2
2
1
a
b
ab
a
b
Å
=
-
-
+ ，
2
2
1
2
2
1
b
a
ba
b
a
ab
a
b
Å
=
-
-
+ =
-
-
+ ，
∴a
b
b
a
Å
=
Å
，
∴定义的新运算“Å”对交换律成立．
【变式2】（24-25 七年级上·山东日照·期末）对于任意有理数a ，b ，定义一种运算：
2
a
b
a
b
ab
Ä
=
+
-
，
例如，3
4
3
4
2 3 4
17
Ä
=
+
- ´ ´
= -
；
1
6
1 6
2
1
6
17
-
Ä
= - +
- ´ -
´
=
．
(1)求
3
3
2
æ
ö
-
Ä -
ç
÷
è
ø 的值；
(2)若
2
1
x
-
Ä
= ，求x 的值；
(3)对于任意有理数m ，n ，请你重新定义一种运算“Å”，使得5
3
18
Å
=
，写出你定义的运算：m
n
Å
= ______
（用含m ，n 的式子表示）．
【答案】(1)
27
2
-
(2)
3
5
x =
(3) mn
n
+
，
2m
m
n
+
+
（答案不唯一）
【分析】本题考查了新定义，以及有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
（1）根据新定义进行计算即可；
（2）根据新定义列方程解决；
（3）根据等式直接写出新定义即可．
【详解】（1）解：
3
3
3
27
3
3
2
3
2
2
2
2
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
Ä -
= -
+ -
- ´ -
´ -
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
（2）解：由题意，得2
4
1
x
x
- +
+
= ，
解得
3
5
x =
．
（3）解：例如mn
n
+
，
2m
m
n
+
+
等，答案不唯一．
【变式3】（24-25 七年级上·福建漳州·期中）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他在
课外阅读中看到了一些定义符号的运算，例如：对于数4 5 6 7
、、、，定义
4
5
4 7
5 6
28
30
2
6
7 =
´ - ´
=
-
= - ．小
奇突发面想，也尝试定义一新运算符号“Å”，规则如下：
2
a
b
a b
a
Å
=
´ - ´
，试运用此规则完成下列运算．
(1)4
( 1)
Å -
；
(2) 2
( 3
5)
- Å - Å
．
【答案】(1) 12
-
(2)22
【分析】本题考查的是新定义运算的含义，有理数的四则混合运算；
（1）根据新定义运算可得4
( 1)
Å -
4
1
2 4
=
´ -
- ´ ，再计算即可；
（2）根据新定义运算先计算3
5
- Å 可得3
5
9
- Å
= - ，再计算
2
9
- Å -
即可；
【详解】（1）解：∵
2
a
b
a b
a
Å
=
´ - ´
，
∴4
( 1)
Å -
4
1
2 4
=
´ -
- ´
4
8
= - -
12
= -
；
（2）解：2
( 3
5)
- Å - Å
2
3
5
2
3
é
ù
= - Å
-
´ - ´ -
ë
û
2
15
6
= - Å -
+
2
9
= - Å -
2
9
2
2
= - ´ -
- ´ -
18
4
=
+
22
=
；
【变式4】（25-26 七年级上·浙江台州·期末）数学课上，围绕新定义的运算，林老师和小明进行了一段对话．
林老师：我定义了一种新的运算，叫加乘运算．运算符号记作“*”，其运算法则是……．
小明：我根据加乘运算的法则得到，
4
1
5,
2
3
5,
6
2
8,
5
2
7
+
* +
= +
-
* -
= +
-
* +
= -
+
* -
= - ．
请根据加乘运算的法则解决下列问题．
(1)填空：
3
7
-
* -
= ____________，
5
4
+
* -
= ____________．
(2)求
5
2
1
é
ù
-
*
-
* +
ë
û 的值．
【答案】(1)
10, 9
+
-
(2)
8
+
【分析】本题考查了新定义运算，正确理解新运算的法则是解题的关键．
(1)根据运算实例，得同号得正，异号得负，并把绝对值相加；
(2 )先计算括号里，再计算括号外面的解答即可．
【详解】（1）解：
3
7
3
7
10
-
* -
= +
+
= +
；
5
4
5
4
9
+
* -
= -
+
= - ；
故答案为：10, 9
+
- ；
（2）解：
5
2
1
é
ù
-
*
-
* +
ë
û
5
2 1
é
ù
= -
* -
+
ë
û
5
3
= -
* -
5
3
= +
+
8
= + ．
【变式5】（25-26 七年级上·山东青岛·期末）新定义：对有理数a ，b ，定义
,
F a b ，计算方式为：当a
b
£
时，
,
2
F a b
a
b
=
- ；当a
b
>
时，
,
2
F a b
a
b
=
+
．
(1)计算：
4,6
F -
的值；
(2)若
2
3
4
0
x
y
-
+
+
=
，那么
,
F x y = _____；
(3)若
4,
,4
10
F
m
F m
+
=
，且
4
m <
，求m 的值．
【答案】(1) 14
-
(2)2
(3)2
【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次方程的应用.
（1）直接根据新定义运算法则计算即可.
（2）根据非负数的性质先求解
3
x =
，
4
y
-
=
，再结合新定义运算法则计算即可.
（3）根据新定义运算法则把方程化为2 4
2
4
10
m
m
´
+
+
-
=
，再进一步解方程即可.
【详解】（1）解：∵当a
b
£
时，
,
2
F a b
a
b
=
- ，
∴
4,6
2
4
6
8
6
14
F -
=
´ -
-
= - -
= -
.
（2）解：∵
2
3
4
0
x
y
-
+
+
=
，
∴
3
0
x -
=
且
4
0
y +
=
，
解得：
3
x =
且
4
y
-
=
，
∵3
4
> - ，
∴
,
3, 4
2 3
4
6
4
2
F x y
F
=
-
=
´ + -
=
-
=
.
（3）解：∵
4,
,4
10
F
m
F m
+
=
，且
4
m <
，
∴2 4
2
4
10
m
m
´
+
+
-
=
，
∴3
6
m =
，
解得：
2
m =
.
【变式6】（25-26 七年级上·全国·课后作业）定义一种新运算“e”，规定
1
a
b
a
b
a
æ
ö
= -
+
ç
÷
è
ø
e
．
(1)计算
1
1
12
4
12
æ
ö
ç
÷
è
ø
e
e
的值．
(2)请你定义一种新运算“Ä”，使其中含有乘法运算，且
2
3
1
Ä -
= ．
【答案】(1)
2
3
-
(2)见解析
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是理解新运算，熟练掌握有理数混合运算法则．
（1）根据新定义运算
1
,
a
b
a
b
a
æ
ö
= -
+
ç
÷
è
ø
e
进而代入求出即可．
（2）根据题意确定出所求新运算即可．
【详解】（1）解：由题意，得
1
1
1
1
1
12
12
4
12
12
4
12
é
ù
æ
ö
æ
ö
=
-
´
+
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
e
e
e
1
4
12
= -
e
1
1
4
4
12
æ
ö
=
´ -
+
ç
÷
è
ø
1
1
4
4
4
12
æ
ö
=
´ -
+ ´
ç
÷
è
ø
1
1
3
= - +
2
3
= -
．
（2）解：示例：定义新运算
a
b
ab
a
b
Ä
= -
-
-
，
则
2
3
2
3
2
3
6
5
1
é
ù
Ä -
= - ´ -
-
- -
=
-
=
ë
û
．
【变式7】（25-26 七年级上·贵州遵义·期末）定义一种新运算“f”：
f n 表示n 在运算f 作用下的结果．若
2
2
1
f n
n
n
=
-
-
表示n 在运算f 作用下的结果，它对一些数的运算结果如下，
2
2
1
1
1 1
1
f
=
-
-
= ，
2
2
2
2
2 1
3
f
=
-
-
=
，
2
2
3
3
3 1
5
f
=
-
-
=
，……根据以上定义完成以下问题：
(1)计算
10
f
的值；
(2)计算
1
2
3
2026
f
f
f
f
+
+
+
+
L
的值．
【答案】(1)19
(2)
2
2026
【分析】本题考查了数字规律类探索及有理数的混合运算，理解新运算的法则是解题的关键．
（1）根据新运算
2
2
1
f n
n
n
=
-
-
，令
10
n =
即可求得
10
f
的值；
（2）利用新运算
2
2
1
f n
n
n
=
-
-
可分别求得
1 ,
2 ,
3 ,
,
2026
f
f
f
f
L
的值，代入
1
2
3
2026
f
f
f
f
+
+
+
+
L
即可求解．
【详解】（1）解：当
10
n =
时，
2
2
10
10
10 1
f
=
-
-
2
2
10
9
=
-
100
81
=
-
19
=
；
（2）解：
2
2
1
1
1 1
f
=
-
-
Q
，
2
2
2
2
2 1
f
=
-
-
，
2
2
3
3
3 1
f
=
-
-
，
¼，
2
2
2026
2026
2026 1
f
=
-
-
，
1
2
3
2026
f
f
f
f
\
+
+
+
+
L
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1 1
2
2 1
3
3 1
2026
2026 1
=
-
-
+
-
-
+
-
-
+
+
-
-
L
，
2
2
2
2
2
2
2
2
1
0
2
1
3
2
2026
2026 1
=
-
+
-
+
-
+
+
-
-
L
2
2
0
2026
= -
+
2
2026
=
．
