25李永乐《基础线代》做题本_考研_数学_03.李永乐_25李永乐《做题本》（全）_25李永乐《基础线代》做题本

目录 目 录 第一章 行列式 ................................................................... 2 例题部分 ................................................................... 2 第二章 矩阵 ..................................................................... 9 第三章 向量 .................................................................... 22 例题部分 .................................................................. 22 练习部分 .................................................................. 26 第四章 线性方程组 .............................................................. 32 例题部分 .................................................................. 32 练习部分 .................................................................. 33 第五章 特征值和特征向量 ........................................................ 40 例题部分 .................................................................. 40 练习部分 .................................................................. 42 第六章 二次型 .................................................................. 51 例题部分 .................................................................. 51 练习部分 .................................................................. 56 第 1 页，共58页线代 · 基础 1.行列式 第一章 行列式 例题部分 0 0 0 d 0 0 b 0 【P222-例 1】4 阶行列式 A = =_________ . 0 c 0 0 d 0 0 0 【P222-例 2】(1) 写出 4 阶行列式中含有因子 第 2 页，共58页 a 1 2 a 3 4 且带负号的项_________ . x 2x 1 0 2 x−1 1 3 (2) 多项式 f (x)= 中, 1 2 x −1 x 5 6 2 x 3 的系数为_________ .线代 · 基础 1.行列式 【P223-例 3】证明: 任意 第 3 页，共58页 a , b , c 恒有 b 1 a + c c 1 b + a a 1 c + b = 0 【P224-例 4】证明: b b b 1 2 3 + + + c 1 c 2 c 3 c c c 1 2 3 + + + a a a 1 2 3 a a a 1 2 3 + + + b 1 b 2 b 3 = 2 a a a 1 2 3 b b b 1 2 3 c c c 1 2 3 【P225-例 5】证明 D = − − 0 a a 1 1 2 3 − a 1 0 a 2 2 3 a a 1 3 2 3 0 = 0线代 · 基础 1.行列式 【P226-例 6】计算行列式的值 (1) 第 4 页，共58页 1 2 3 4 4 2 − 0 1 − 2 6 5 1 4 3 2 3 = _________ . (2) 0 8 7 0 5 3 2 4 2 5 4 1 0 4 1 0 = _________ . a+x a a a a a+x a a P227-计算行列式的值 D= =_________ . a a a+x a a a a a+x 1 −1 1 x−1 1 −1 x+1 −1 【P227-例 8】(1989,数五) 行列式计算 =_________ . 1 x−1 1 −1 x+1 −1 1 −1线代 · 基础 1.行列式 【P228-例 9】证明范德蒙行列式 第 5 页，共58页 D n = x 1 x 2 x 1 n − 1 1 x 1 x 2 x 2 n − 2 1 x 1 x n 2 x n n − n 1 = 1  j i n ( x i − x j ) 【P225-例 10】已知 A = 1 0 3 − 1 2 2 − 3 1 − 1 t 2 2 1 1 2 1 , A ij 为元素 a ij 的代数余子式,A −A +2A −A =0, 31 32 33 34 则 t = _________ .  x +x +x =1 1 2 3  【P230-例 11】方程组 2x −x −3x =0 的解中, x =_________ . 1 2 3 1  4x 1 +x 2 +9x 3 =0公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取线代 · 基础 1.行列式 【P230-例 12】已知 A(1,2),B(4,0) 是平面上的两个点,则经过 A,B 两点的直线方程是 _________ . 【P231-练习 1】(1) 第 6 页，共58页 1 − 1 − 2 1 0 − 2 1 1 0 = _________ . 【P231-练习 1】(2) b + a a 2 c c + b b 2 a a + c 2 c b = _________ .线代 · 基础 1.行列式 a 0 0 b 1 1 0 a b 0 【P231-练习 1】(3) D= 2 2 =_________ . 0 b a 0 3 3 b 0 0 a 4 4 【P231- 练习 1】(4) n 阶行列式 第 7 页，共58页 a 0 0 b b a 0 0 0 b 0 0 0 0 a 0 0 0 b a = _________ . 【P231-练习 1】(5) n 阶行列式 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 = _________ .线代 · 基础 1.行列式 【P231-练习 1】(6)已知齐次方程组 第 8 页，共58页 2 x 1 x 1 3 x 1 2 x 2 x 2 x 2 x x 3 x 3 3 0 0 0   + − + − + + = = = 有非零解,则 =_________ .线代 · 基础 2.矩阵 第二章 矩阵 [注]：由于本章练习题与例题在原书中穿插着排版，故目录上不划分例题和练习部分 【P234-练习 2.1】若 第 9 页，共58页 1 , 3 , 2 T , 1 , 2 , 1 T   = = − ,则 (1)  1 3 2  1 2 − 1  = _________ . (2)  1 2 − 1  1 3 2  = _________ . (3) 1 2 − 1   1 3 2  = _________ . (4) 1 3 2   1 2 − 1  = _________ . (5)  1 3 2  1 3 2  = _________ . (6) 1 2 − 1   1 2 − 1  = _________ . 1 2 3 1 1 0 0       【P235-例 1】若 4 5 6 −X + 2 2 0 −1=3 2 2 0 ,则 X =_________ .        7 8 9   0   3 3 3 线代 · 基础 2.矩阵 【P236-例 2】设 第 10 页，共58页 A =  1 0 0 − 1  , B =  1 3 2 4  ,则 (1) A B − B A = _________ ; (2) ( A B ) 2 = _________ ; (3) A 2 B 2 = _________ . 【P236-例 3】写出方程组  x x 1 1 2 + + x 1 7 2 − x x 2 2 x 2 − − + 4 x + 3 x + 3 x + 3 4 1 x 4 x 4 1 x = = 4 2 1 = 5 的矩阵表示形式 【P236-例 4】设 A E T  = − ,其中  是 n 维非 0 列向量,证明: A 2 A T 1  =  =公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取线代 · 基础 2.矩阵 【P237-练习 2.2】(1) 第 11 页，共58页  x 1 x 2   1 5 3 7   x x 1 2  = _________ . 【P237-练习 2.2】(2)  x 1 x 2 x 3   1 0 1 0 2 − 1 1 − 3 1   x x x 1 2 3  = _________ . 1 2 【P237-练习 2.2】(3)已知 A= . 若   0 3 f ( x ) = 2 x 2 − 5 x + 3 ,则 f ( A ) = _________ .线代 · 基础 2.矩阵 【P239-例 5】若 第 12 页，共58页 A =  1 1 1 1 2 1 1 1 3  ,则 A−1 =_________ . 0 a 0 0  1   0 0 a 0  2  【P239-例 6】设 A=  ,其中   0 0 0 a  n−1  a n 0 0 0   a i  0 , i = 1 , 2 , , n ,则 A * = _________ . 【P240-例 7】已知 A =  2 1 3 1 1 4 − 1 1 1  ,则 ( A * ) − 1 = ( ) 1 1 (A) − AT (B) 5A (C) − A (D) 5AT 5 5线代 · 基础 2.矩阵 【P240-例 8】设 第 13 页，共58页 α =  1 2 , 0 , , 0 , 1 2  T 是 n 维列向量,矩阵 A = E − α α T , B = E + a α α T ,若 B 是 A的逆矩阵,则 a = _________ . 【P241-例 9】 A 是 n 阶矩阵满足 A 2 − 3 A − 2 E = 0 ,则 ( A + E ) − 1 = _________ . 【P241-例 10】设 AB 都是 3 阶矩阵,且 AB=2A+B ,若 B =  2 0 2 0 4 0 2 0 2  ,则 ( A − E ) − 1 = _________ .线代 · 基础 2.矩阵 【P241-例 11】(2001,数二) 已知 第 14 页，共58页 A =  1 1 1 0 1 1 0 0 1  , B =  0 1 1 1 0 1 1 1 0  ,若矩阵 X 满足 A X A + B X B = A X B + B X A + E , 则 X = _________ . 【P241-例 12】设 f ( x ) = x 1 0 0 + x 9 9 + + x + 1 , A =  1 0 0 0 0 0 0 1 0  ,求 f (A) 和  f ( A )  − 1 . 【P242-例 13】A 是 n 阶可逆矩阵,证明非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解 A − 1 b .线代 · 基础 2.矩阵 【P242-练习 2.3】(1)(1991,数一) 第 15 页，共58页 A , B , C 均为 n 阶矩阵,且 A B C = E ,则必有 ( ) (A) ACB=E (B) CBA=E (C) BAC=E (D) BCA=E 【P242-练习 2.3】(2)已知  1 − 1 − 5 4  X =  1 0 2 − 1  ,则 X = _________ . 【P243-练习 2.3】(3)(1995,数一) 已知 A − 1 B A = 6 A + B A 1  0 0   3    1  ,若 A= 0 0 ,则  4    1 0 0   7 B = _________ .线代 · 基础 2.矩阵 【P243-练习 2.3】(4)已知 第 16 页，共58页 A =  2 1 − 1 2 − 2 1 3 0 1  ,则 A−1 =_________ . 【P244-例 14】(1995,数一) 设 A =  a a a 1 1 2 1 3 1 a a a 1 2 2 2 3 2 a a a 1 3 2 3 3 3  , B =  a 3 a a 1 2 1 + 1 1 a 1 1 a 3 a a 2 2 1 + 2 2 a 1 2 a 3 a a 3 2 1 + 3 3 a 1 3  ,则 P 1 =  0 1 0 1 0 0 0 0 1  , P 2 =  1 0 1 0 1 0 0 0 1  ,则必有( ) (A) A P 1 P 2 = B (B) A P 2 P 1 = B (C) P 1 P 2 A = B (D) P 2 P 1 A = B 【P245-例 15】已知 A 是 3 阶矩阵,将 A 矩阵的 1,3 两行互换得到 B ,再将 B 的第 2 列的 -1 倍加到第 3 列得到 C =  7 4 1 8 5 2 1 1 1  ,则 A=_________ .线代 · 基础 2.矩阵 【P245-例 16】已知 第 17 页，共58页 A =  1 2 3 − − 2 1 1 − − − 1 3 5 3 1 2  ,化其为行最简矩阵 F ,并求可逆矩阵 P 使 P A = F 【P246-例 17】已知矩阵 A =  a 1 1 1 a 1 1 1 a  和矩阵 B =  1 2 3 2 3 6 − 5 − 1 3  等价,则 a = _________ . 【P246-练习 2.4】(1)  1 0 0 0 2 0 0 0 1   1 4 7 2 5 8 3 6 9   0 1 0 1 0 0 0 0 1  = _________ .线代 · 基础 2.矩阵 【P246-练习 2.4】(2) 第 18 页，共58页  0 1 0 1 0 0 0 0 1   1 2 1 2 3 4 1 4 2   1 0 0 1 1 0 0 0 1  = _________ . 【P246-练习 2.4】(3)设 A 是 3 阶矩阵,把 A 的二,三列互换得到 B ,把 B 的第三行 的 -1 倍加到第一行得到 C ,若 A =  1 0 0 1 2 0 1 2 3  ,则 C = _________ . 【P246-练习 2.4】(4)将 A =  1 3 − 1 2 1 3 − 1 2 − 4 3 − 6 9  化为行最简矩阵.线代 · 基础 2.矩阵 【P247-例 18】已知 B,C 分别是 第 19 页，共58页 m 阶与 n 阶可逆矩阵,证明  B O O C  可逆,且  B O O C  − 1 =  B O − 1 C O − 1  【P248-例 19】已知 X = A B A ,其中 A =  1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 − 0 1 1 0 0 − 1  , B =  0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0  ,则 X = _________ . 【P249-例 20】设 A,B 均为 n 阶矩阵, A = 2 , B = − 3 ,则 2 A * B − 1 = .线代 · 基础 2.矩阵 【P249-例 21】设 第 20 页，共58页 A 是 4 阶矩阵,如果 A = − 2 3 ,则 3 A * + 4 A − 1 = _________ . 【P249-例 22】(2012,数二、三) 设 A 是 3 阶矩阵, A =3,A* 是 A 的伴随矩阵,交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B ,则 B A * = _________ . 【P249-练习 2.5】(1)设 A , B 均为 4 阶矩阵, A = 3 , B = 2 ,则 − A T B * = _________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取线代 · 基础 2.矩阵 【P249-练习 2.5】(2)设 第 21 页，共58页 A 是 3 阶矩阵且 A = 5 ,则 A * −  1 2 A  − 1 = _________ .线代 · 基础 3.向量 第三章 向量 例题部分 【P252-例 1】设 第 22 页，共58页 1 ( 1 , 2 , 3 ) T , 2 ( 1 , 3 , 4 ) T , 3 ( 2 , 1 ,1 ) T , ( 2 , 5 , t ) T     = = = − = ,问 t 取何值时: (1) 向量  不能由 1 , 2 , 3   线性表示? (2) 向量  能由 1 , 2 , 3   线性表示,并写出此表达式 【P252-例 2】设 1 ( 1 ,1 ,1 ) T , 2 ( 1 ,1 ,1 ) T , 3 (1 ,1 ,1 ) T , ( 0 , , 2 ) T         = + = + = + = ,当  为何 值时: (1)  不能由 ,, 线性表示 1 2 3 (2)  可由 1 , 2 , 3   线性表示,并写出该表示式线代 · 基础 3.向量 【P253-例 3】已知 第 23 页，共58页 , 1 , 2 , 3 , 1 , 2      都是 n 维向量,证明: 如果  可由 ,, 线 性 1 2 3 表出, 1 , 2 , 3    可由 1 , 2   线性表出,则  可由 1 , 2   线性表出. 【P253-例 4】判断向量组  =(1,2,−1,4), =(0,−1,−5,3), =(2,5,3,5) 的线性相关性 1 2 3 【P254-例 5】判断向量组的线性相关性 (1) 1 ( 3 , 4 , 2 ) T , 2 ( 2 ,1 , 7 ) T , 3 (1 , 2 , 4 ) T    = = − = (2) 1 ( 1 , 2 ) T , 2 ( 3 , 4 ) T , 3 ( 5 , 6 ) T    = = =线代 · 基础 3.向量 【P254-例 6】(1) 已知向量组 第 24 页，共58页 1 ( 1 , 3 , 2 ) T , 2 ( 1 ,1 , 2 ) T , 3 ( 0 , a , 3 ) T    = = − = 线性相关,求 a (2) 判断向量组  =(1,0,2,3)T , =(1,1,3,5)T , =(1,−1,a,1)T 的线性相关性 1 2 3 【P254-例 7】设 A ( 1 , 2 , , n ) , B ( 1 , 2 , , n ) , A B ( 1 , 2 , , n )          = = = 均是 n 阶矩 阵, 记向量组 ( I ) 1 , 2 , , n , ( I I ) 1 , 2 , , n , ( I I I ) 1 , 2 , , n          ,若向量组 (III) 线性相关,则( ) (A) ( I ) , ( I I ) 均线性相关 (B) ( I ) 或 ( I I ) 至少有一个线性相关 (C) ( I ) 必线性相关 (D) ( I I ) 必线性相关 【P255-例 8】(1997,数三) 向量组 1 , 2 , 3 ,   线性无关,则下列向量组中线性无关的是 ( ) (A) α +α ,α +α ,α −α . 1 2 2 3 3 1 (B) α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 1 + 2 α 2 + α 3 . (C) α +2α ,2α +3α ,3α +α . 1 2 2 3 3 1 (D) α +α +α ,2α −3α +22α ,3α +5α −5α . 1 2 3 1 2 3 1 2 3线代 · 基础 3.向量 【P255-例 9】已知 第 25 页，共58页 1 , 2 , 3   线性无关,证明 1 2 , 2 3 , 3 1       + + + 线性无关 【P256-例 10】证明定理: 如 n 维向量 ,, , 线性无关, 1 2 s 1 , 2 , , s ,     线性相关, 则向量  可由 1 , 2 , , s   线性表出,且表示法唯一。 【P256-例 11】证明定理: 向量组 1 , 2 , , s ( s 2 )     线性相关的充分必要条件至少有一个 向量 a i 可由其余的向量 1 , , i 1 , i 1 , s     − + 线性表出线代 · 基础 3.向量 【P257-例 12】证明定理: 设 第 26 页，共58页 a 1 , a 2 , , a s 是 m 维向量, β ,β , ,β 是 1 2 s n 维向量. 令 α  α  α  γ = 1 ,γ = 2 , ,γ = s ,那么 1  β 1   2  β 2   s  β s   (1) 若 α 1 , α 2 , , α s 线性无关,则 1 , 2 , , s    必线性无关. (2) 若 1 , 2 , , s    线性相关,则 α 1 , α 2 , , α s 必线性相关. 练习部分 【P257-练习 3.1】(1)已知 1 ( 1 , 2 ,1 ) T , 2 ( 2 , a , 3 ) T , 3 ( 5 , 7 , 2 ) T    = = = 线性相关,则 a = _________ . 【P257-练习 3.1】(2)已知 =(1,−4,a)T 可由 1 ( 1 , 2 , 3 ) T , 2 ( 2 ,1 , 0 ) T , 3 ( 4 , 1 , 6 ) T    = = = − − 线性表示,则 a = _________ .线代 · 基础 3.向量 【P257-练习 3.1】(3)设向量组 第 27 页，共58页 1 , 2 , 3   线性无关,则下列向量组中线性无关的是 ( ) (A) 1 2 , 2 3 , 3 1       + + − (B) 1 2 , 2 3 , 3 1       − − − (C) 1 2 , 2 3 , 1 2 2 3        + + + + (D) 1 2 , 2 3 , 3 1       + + + 【P258-例 13】向量组 1 ( 1 , 1 , 2 , 4 ) T ,  = − 2 ( 0 , 3 ,1 , 2 ) T ,  = 3 ( 3 , 0 , 7 ,1 4 ) T ,  = 4 ( 1 , 2 , 2 , 0 ) T ,  5 ( 2 , 1 , 5 , 2 ) T = −  = − 的极大线性无关组是_________ . 【P258-例 14】向量组: ( I ) : 1 , 2 , 3 ; ( I I ) 1 , 2 , 3 , 4 ; ( I I ) 1 , 2 , 3 , 5            若秩 r ( I ) = r ( I I ) = 3 , r ( I I I ) = 4 ,则 r(,,, +)=_________ . 1 2 3 4 5线代 · 基础 3.向量 【P259-例 15】设 第 28 页，共58页 1 ( 1 ,1 ,1 ,1 ) T , 2 ( 1 , 1 ,1 , 1 ) T , 3 ( 1 ,1 ,1 , 1 ) T , 4 ( 1 ,1 , 1 ,1 ) T     = = − − = − = − − , 5 (1 , 1  = − ,−1,−1)T,如 1 , 2 , , k  线性无关, 1 , 2 , , k , k 1    + 线性无关,则k =_________ . 【P259-练习 3.2】(1)已知向量组 1 ( 1 , 2 , 3 , 4 ) , 2 ( 2 , 3 , 4 , 5 ) , 3 ( 3 , 4 , 5 , 6 ) , 4 ( 4 , 5 , 6 , 7 )     = = = = , 则该向量组的秩为_________ . 【P259-练习 3.2】(2)已知向量组 1 ( 1 , 1 , 0 , 5 ) T ,  = − 2 ( 2 , 0 ,1 , 4 ) T ,  = 3 ( 3 ,1 , 2 , 3 ) T ,  =  =(4,2,3,a)T,其中a是参数. 求该向量组的秩与一个极大线性无关组,并将其余向量用该极 4 大线性无关组线性表示。线代 · 基础 3.向量 【P260-例 16】(1) 已知矩阵 第 29 页，共58页 A =  1 2 2 1 1 3 2 0 2 5 3 1 a 5 1 1 3 4 4 5  的秩为 r(A)=3 ,则 a=_________ . 【P260-例 16】(2) 设 A =  k 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k  ,且秩 r(A)=3 ,则 k = _________ . 【P261-例 17】已知 A 是 m  n 矩阵, B 是 n  m 矩阵,且 AB=E . 证明 r ( A ) = r ( B ) = m .线代 · 基础 3.向量 【P261-例 18】已知向量组 (I) 第 30 页，共58页 a 1 , a 2 , , a s 和 (II) β 1 , β 2 , , β t 。若 (I) 可由(II) 线性 表示.证明: (1) r ( I )  r ( I I ) (2) 若 s  t ,则 (I) 必线性相关. 【P261-练习 3.3】(1)设 A , B 都是 n 阶非零矩阵,且 AB=O ,则 A 和 B 的秩 ( ) (A) 必有一个等于 0 (B) 都小于 n (C) 一个小于 n ,一个等于 n (D) 都等于 n 【P261-练习 3.3】(2)设 A 是秩为 r 的 m  n 矩阵, C 是 n 阶可逆矩阵, B = A C , 若 r(B)=r ,则( ) 1 (A) r = r1 (B) r  r1 (C) r  r1 (D) r 和 r1 的关系与 C 有关公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取线代 · 基础 3.向量 【P262-例 19】与向量  =(1,3,2)T , =(1,1,−2)T 都正交的单位向量是_________ . 1 2 【P263-例 20】已知 第 31 页，共58页 n 维向量 ,, , 是两两正交的非零向量,证明 ,, , 线性 1 2 s 1 2 s 无关 【P263-例 21】已知 1 ( 1 ,1 ,1 ) T , 2 ( 1 , 0 , 1 ) T , 3 ( 1 , 2 , 3 ) T    = = − − = − ,试用施密特正交化将这组向 量正交规范化.线代 · 基础 4. 线性方程组 第四章 线性方程组 例题部分 【P265-例 1】求齐次方程组 第 32 页，共58页  5 3 4 x x x 1 1 1 + + + 7 5 5 x x x 2 2 2 + + − 2 6 2 x x x 3 3 3 = − + 0 4 3 x x 4 4 = = 0 0 的基础解系、通解 【P266-例 2】求齐次方程组  2 x x x 1 1 1 − + − 2 x x x 2 2 2 − − − 2 7 5 x x x 3 3 3 − + − 2 5 2 x x x 4 4 4 = = = 0 0 0 的通解. 1 2 −2   【P267-例 3】(1997,数一) 设 A= 4 t 3 ,B 为 3 阶非 0 矩阵,且 AB=O ,则 t=    3 −1 1   _________ .线代 · 基础 4. 线性方程组 【P267-例 4】要使  =(1,0,2)T , =(0,1,−1)T 都是齐次线性方程组 1 2 第 33 页，共58页 A x = 0 的解, 则 A 可以为 ( ) (A)  − 2 4 1 − 2 1 − 2  (B)  2 0 0 1 1 1  (C)  − 2 4 0 0 1 − 2  (D)  − 0 1 0 1 2 − 1  【P267-例 5】已知 A 是 5  4 矩阵, 1 , 2  是 A x = 0 的基础解系,则 A T y = 0 的基础解 系 ( ) (A) 不存在 (B) 有一个非零解 (C) 有 2 个线性无关的解 (D) 有 3 个线性无关的解 练习部分 【P267-练习 4.1】(1)齐次方程组 x 1 − 2 x 2 + 3 x 3 − 4 x 4 = 0 的基础解系是_________ .线代 · 基础 4. 线性方程组 x +x +x =0 1 2 3  【P267-练习 4.1】(2)齐次方程组 x +x +x =0 只有零解,则  应满足条件是 1 2 3  x 1 +x 2 +x 3 =0 _________ . 【P268-练习 4.1】(3)设 第 34 页，共58页 A 是 4  5 矩阵, 1 , 2 , 3   是齐次方程组 A T x = 0 的基础解系, 则秩 r(A)=_________ . 【P268-练习 4.1】(4)求齐次方程组  4 x 1 − 2 x 2 + x 1 x 1 1 + − 2 x x x 3 2 2 − − + 2 3 4 x x x 4 4 3 − − − 3 x x x 5 4 5 = = = 0 0 0 的通解.线代 · 基础 4. 线性方程组  x +x +x +x +x =2 1 2 3 4 5   2x +3x +x +x −3x =0 【P268-例 6】解方程组  1 2 3 4 5 x +2x +3x +3x =4  1 3 4 5 4x +5x +3x +2x +2x =6  1 2 3 4 5 【P269-例 7】(1993,数三) 已知线性方程组 第 35 页，共58页  − x x x 1 1 1 − + + x x a 2 + 2 x 2 + a x 3 + x 3 2 x 3 = = = 4 2 a − 4 有无穷多解,求 a 的值并 求这些解. 【P270-例 8】设线性方程组  x + 1 x 2 x 1 3 + + x + 2 a x 3 2 x 2 2 − + x + 3 a x 4 3 x 4 x = = = 4 − 1 3 1 ,问 a 为何值时方程组有解? 并在有解 时求出方程组的通解.线代 · 基础 4. 线性方程组 【P270-例 9】设 第 36 页，共58页 1 , 2 , 3   是 4 元非齐次线性方程组 A x = b 的三个解向量,且 r ( A ) 3 , 1 ( 1 , 2 , 3 , 4 ) T , 2 3 ( 0 ,1 , 2 , 3 ) T    = = + = ,则方程组 A x = b 的通解是_________ . 【P270-例 10】(2002,数一、二)已知 4 阶方阵 A = ( α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) , α 1 , α 2 , α 3 , α 4 均 为 4 维 列向量,其中 α 2 , α 3 , α 4 线性无关, α =2α −α ,如果 1 2 3 β = α 1 + α 2 + α 3 + α 4 ,求线性方程组 A x = β 的通解. 【P271-练习 4.2】(1)已知方程组  a 1 1 1 a 1 1 1 a   x x x 1 2 3  =  1 1 − 2  有无穷多解,则 a=_________ .线代 · 基础 4. 线性方程组 【P271-练习 4.2】(2)解方程组 第 37 页，共58页  5 x x 1 1 + x 1 + 5 + x x 2 2 x 2 − − + x 3 3 x x 3 − − 3 = x 4 4 0 = x 4 1 = 4 【P271-练习 4.2】(3)已知方程组  3 x x 1 x 1 + 1 − 4 + x x x 2 2 2 − + + 6 1 2 x = a 3 x = a + 3 1 x = a + 3 2 3 ,问 a 为何值时方程组有解?并在 有解时求其通解 【P271-练习 4.2】(4)设 A 为 mn 矩阵,则非齐次线性方程组 A x = b 有解的 一个充分 条件为（ ） (A) r ( A ) = m (B) r(A)=n (C) r ( A , b ) = m (D) r(A,b)=n线代 · 基础 4. 线性方程组 【P271-例 11】求和矩阵 第 38 页，共58页 A =  1 − 1 2 3  可交换的所有矩阵. 【P272-例 12】若  1 2 2 3 3 4  X =  4 5 5 6  ,则 X = _________ . 【P272-例 13】已知向量组  =(1,3,1,1)T , =(−1,1,3,1)T ,(5,7,a,1)T 线性相关, 则 1 2 3 a = _________ .线代 · 基础 4. 线性方程组 【P273-例 14】已知 第 39 页，共58页 1 ( 2 , 3 , 3 ) T , 2 ( 1 , 0 , 3 ) T , 3 ( 3 , 5 , a 2 ) T    = = = + ,若  =(4,−3,15)T 可由 1 1 , 2 , 3   线性表示,但  =(2,5,a)T 不能由 2 1 , 2 , 3   线性表出, 写出 1  由 1 , 2 , 3   线 性表示的表达式. 【P273-例 15】求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为 1 ( 4 , 3 ,1 , 2 ) T , 2 ( 0 ,1 , 3 , 2 ) T   = = − .线代 · 基础 5. 特征值与特征向量 第五章 特征值和特征向量 例题部分 【P275-例 1】求矩阵 第 40 页，共58页 A =  1 − 7 2 2 1 2 4 4 − 1 2 4 4  的特征值与特征向量 【P275-例 2】求 A =  − 1 − 4 1 1 3 0 0 0 2  的特征值与特征向量 −2 −1 2   【P276-例 3】求 A= 0 −1 4 的特征值与特征向量     1 0 1 公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取线代 · 基础 5. 特征值与特征向量 【P276-例 4】设  是 第 41 页，共58页 n 阶矩阵 A 的特征值. 证明 (1) k  + 是 A + k E 的特征值 (2) m  是 Am 的特征值 【P277-例 5】已知 A 是三阶矩阵,特征值是 − 1 , 0 , 4 ,又知 A + B = 2 E ,则矩阵 B 的特征 值是 _________ . 【P277-例 6】设 A 是 3 阶矩阵,有特征值 1,−1,2 ,则下列矩阵中可逆矩阵是 ( ) (A) A + E (B) A − E (C) A + 2 E (D) − 2线代 · 基础 5. 特征值与特征向量 【P277-例 7】已知 第 42 页，共58页 A 是 3 阶矩阵,且 A 2 + 2 A − 3 E = 0 ,证明矩阵 A 的特征值只能是 1 或 -3. 【P277-例 8】已知 ( 1 ,1 , 1 ) T  = − 是 A =  2 5 − 1 − a b 1 2 3 − 2  的一个特征向量,则 a = _ _ _ _ _ ,b=_____. 练习部分 3 −4 −4   【P278-练习 5.1】(1)矩阵 A= 0 2 0 ,则 A 有一个特征向量（）    2 −2 −3  (A) (1,0,−1)T (B) (3,3,−6)T (C) ( 1 ,1 , − 2 ) T (D) (4,−1,2)2线代 · 基础 5. 特征值与特征向量 【P278-练习 5.1】(2)设 第 43 页，共58页 A 是三阶可逆矩阵, A * 是 A 的伴随矩阵,如果 A 的特征值是 1 , 2 , 3 ,那么 ( A * ) 2 + E 的最大特征值是_________ . 【P278- 练习 5.1】(3)求矩阵 A 的特征值,特征向量. A =  1 1 − 3 1 − 2 1 − − 3 1 1  【P278- 练习 5.1】(4)求矩阵 A 的特征值,特征向量. A =  − 2 2 1 2 − 1 − 2 2 − 2 − 1 线代 · 基础 5. 特征值与特征向量 【P278-练习 5.1】(5)证明 第 44 页，共58页 A 和 A T 有相同的特征值,举二阶矩阵说明 A 和 A T 的特征 向量可以不同 【P280-例 9】已知 A  B −1 2 2   ,若 A= 2 −1 2 ,则    2 2 −1  B + E = _________ . 【P280- 例 10】已知矩阵 A 和 B 相似,若 B =  1 0 0 2 4 0 3 5 6  ,则秩 r ( A − E ) = _________ .线代 · 基础 5. 特征值与特征向量 【P280- 例 11】设 A=αβT ,其中 第 45 页，共58页 α = ( 1 ,1 ,1 ) T , β = ( 1 , 3 , a ) T , B =  3 3 3 3 b 3 3 3 3  ,且 AB ,则 a = _________ . 【P280-例 12】若矩阵  2 a 0 4 − 3 0 − 4 2 b  1 0 0    相似于矩阵 0 2 0 ,则（ ）    0 0 −2  (A) a = 1 , b = 2 . (B) a=−1,b=−2 . (C) a = 1 , b = − 2 . (D) a = − 1 , b = 2 . 【P280-例 13】判断下列矩阵能否相似对角化, 如能相似对角化, 则写出和其相似的对角矩阵. (1)  1 2 4 0 3 5 0 0 6  . (2)  − 1 1 1 0 2 3 2 − 0 1  .线代 · 基础 5. 特征值与特征向量 【P281-例 14】证明矩阵 第 46 页，共58页 A =  1 − 1 1 1 3 1 0 0 2  不能相似对角化 【P281-例 15】(2020,数农)设矩阵 A =  1 0 1 0 2 0 b a 1  1   有特征向量 1 .    1  (1) 求 a , b 的值; (2) 求可逆矩阵 P ,使得 P − 1 A P 为对角矩阵. 【P282-例 16】(2014,数农)已知 A =  0 0 1 2 1 a 1 0 0  相似于对角矩阵. (1) 求 a . (2) 求可逆矩阵 P 和 Λ ,使 P−1AP=Λ 并验算.线代 · 基础 5. 特征值与特征向量 【P283-练习 5.2】(1)已知 第 47 页，共58页 A  B ,若 A 2 = E ,则 B 2 = _________ . 【P283-练习 5.2】(2)已知三阶矩阵 A 的特征值 1,2,3,对应的特征向量依次为 ,, , 1 2 3 若 P ( 3 , 1 , 2 )    = ,则 P−1AP=_________ . 【P283-练习 5.2】(3)下列矩阵中不能相似对角化的矩阵一共有  1 2 1 2   1 − 1 1 − 1   2 5 − 1 − − 0 1 3 2 3 − 2   1 1 1 0 2 1 0 2 3  (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 0 个线代 · 基础 5. 特征值与特征向量 【P283- 练习 5.2】(4)已知 第 48 页，共58页 A =  1 1 a 3 − 1 − 6 0 0 2  可以相似对角化,求 a 并求可逆矩阵 P 使 P − 1 A P =  【P284-例 17】A 是 3 阶实对称矩阵,特征值是 1 , 2 , 3 , 1 1  = 和  =2 的特征向量分别是 2 α 1 = ( − 1 , − 1 ,1 ) T 和 α 2 = ( 1 , a , − 1 ) T ,则 =3 的特征向量为_________ .线代 · 基础 5. 特征值与特征向量 【P282-例 18】已知 第 49 页，共58页 A 是三阶实对称矩阵,满足 A2 = A ,若 r(A−E)=2 ,则 A 的特征 1 a −1   值【P284-例 19】已知 A= a 3 1 ,若    −1 1 1  r ( A ) = 2 (1) 求 a (2) 求正交矩阵 Q 和对角矩阵  ,使 Q − 1 A Q =  【P285-例 20】已知 A 是三阶实对称矩阵,特征值是 3,0,0 ,对应于 3  = 的特征向量 1 ( 1 ,1 ,1 ) T  = (1) 求矩阵 A 关于 0  = 的特征向量 (2) 求矩阵 A (3) 求正交矩阵 Q 使 Q − 1 A Q = 线代 · 基础 5. 特征值与特征向量 【P286-练习 5.3】(1)已知 第 50 页，共58页 A 是 4 阶实对称矩阵,且 A 2 − 3 A + 2 E = O . 若齐次方程组 ( E − A ) x = 0 的每一个解均可由  线性表出,则 A 的特征值是_________ . 【P284-练习 5.3】(2)已知 A 是三阶实对称矩阵,秩为 2, 6  = 是 A 的二重特征值,对 应的特征向量是 1 ( 1 ,1 , 0 ) T  = 和 2 ( 2 ,1 ,1 ) T  = ,求 A 的另一特征值和对应的特征向量 【P262-练习 5.3】(3)已知 A =  2 0 0 0 3 2 0 2 3  ,求正交矩阵 Q 使 Q − 1 A Q = 公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取线代 · 基础 6. 二次型 第六章 二次型 例题部分 【P289-例 1】求二次型的秩. (1) f (x ,x ,x )=x x −2x x . (2) f (x ,x ,x )=(x −3x +2x )2 . 1 2 3 1 2 2 3 1 2 3 1 2 3 【P289-例 2】用配方法化二次型 f (x,x ,x )=2x2+3x2+5x2+4xx −8x x −4x x 为标准 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 形, 写出所用坐标变换,并验证 第 51 页，共58页 C T A C =  【P290-例 3】用配方法化二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 x 2 − 2 x 1 x 3 + 4 x 2 x 3 为标准形,并 写出所用坐 标变换.线代 · 基础 6. 二次型 【P291-例 4】二次型 第 52 页，共58页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + 3 x 22 + x 23 + 2 a x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 2 x 2 x 3 ,经正交变换 x=Py 化为标准形 y 1 + 4 y 2 ,则 a = _________ . 【P289-例 5】二次型 f ( x 1 , x 2 ) = x T A x 经正交变换 x = Q y 化为标准形y2 +3y2,若Q的第一列 1 2 是  1 2 , 1 2  T ,则 Q = _________ . 【P291-例 6】用正交变换化二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 − x 22 + 2 x 23 + 4 x 2 x 3 为标准形,写出所用坐 标变换,并用 Q T A Q =  验证线代 · 基础 6. 二次型 【P292-例 7】用正交变换化成二次型 第 53 页，共58页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + 4 x 22 + x 23 − 4 x 1 x 2 − 8 x 1 x 3 − 4 x 2 x 3 为标 准形, 并写出所用坐标变换 【P294-例 8】已知二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 − x 22 + c x 23 + 2 x 1 x 2 − 2 x 1 x 3 + 6 x 2 x 3 的秩为 2,则 (1) c = _________ ; (2) 正惯性指数 p = _________ . 【P294-例 9】已知二次型 f (xx x )=5x2+5x2+cx2−2xx +6xx −6x x 的秩为 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 (1) 求 c 的值. (2) 求二次型的正惯性指数、负惯性指数.线代 · 基础 6. 二次型 【P294-例 10】二次型 xTAx=x2 −4x x 的规范形是_________ . 1 2 3 【P294-例 11】与矩阵 第 54 页，共58页 A =  1 2 0 2 1 0 0 0 2  合同的矩阵是（ ） (A)  1 1 0  1    (B) 1 (C)     −1   1 − 1 − 1  (D)  1 − 1 0  【P295- 例 12】已知 A =  1 − 2 0 − 2 2 2 0 2 − 2  , C 是 3 阶可逆矩阵,且 C T A C = Λ ,则 C = _________ .线代 · 基础 6. 二次型 【P296-例 13】下列矩阵中, 正定矩阵是 ( ) (A) 第 55 页，共58页  1 2 0 2 3 0 0 0 5  1 2 0    . (B) 2 5 0 . (C)    0 0 −3   3 0 0 0 1 − 2 0 − 2 4  . (D)  3 0 0 0 1 − 2 0 − 2 5  . 【P297-例 14】判别二次型 f ( x 1 x 2 x 3 ) = 2 x 21 + 5 x 22 + 5 x 23 + 4 x 1 x 2 − 4 x 1 x 3 − 8 x 2 x 3 的正定性 【P297-例 15】已知二次型 f (xx x )=x2+4x2+4x2+2txx −2xx +4x x 正定,求 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 t 的取 值线代 · 基础 6. 二次型 【P297-例 16】设 第 56 页，共58页 A =  0 1 1 1 2 1 1 1 0  ,若 A+kE 正定,则 k =_________ . 【P298-例 17】已知 A 是正定矩阵,证明 A * 是正定矩阵. 练习部分 【P298-练习 6】 (1)二次型 f (x,x ,x )=x2+x2+ax2−2xx +4x x 的秩为 2, 则 a= 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 _________ .线代 · 基础 6. 二次型 【P298-练习 6】 (2)二次型 第 57 页，共58页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 2 x 22 + 2 x 1 x 3 的规范形是_________ . 【P298-练习 6】(3)矩阵 A =  1 − 0 1 − 1 0 1 0 0 2  的合同标准形是_________ . 【P298-练习 6】(4)已知二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 22 + 2 x 1 x 2 − 4 x 1 x 3 − 2 x 2 x 3 ,用正交 变换法化其 为标准形, 并写出所用坐标变换线代 · 基础 6. 二次型 【P298-练习 6】(5)判断二次型 第 58 页，共58页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 − x 2 ) 2 + ( x 2 − x 3 ) 2 + ( x 3 − x 1 ) 2 的正定性