培优专题01 有理数的基础概念及其应用
（题型突破·举一反三）
题型01 应用正负数的实际意义解决相关问题
题型02 含“非”字有理数的分类（易错）
题型03 数轴上两点之间的距离（易错）
题型04 有理数相关概念的理解
题型05 多重符号的化简
题型06 相反数的应用（热）
题型07 求一个数绝对值
题型08 利用绝对值的非负性求解（热）
题型09 有理数的大小比较（常考）
▌题型01 应用正负数的实际意义解决相关问题
找到反义词，如果正数代表一个意义，那么负数就代表相反意义.
【典例1-1】（2026·辽宁营口·一模）小王做了一个水温变化实验，以90℃为基准，水温下降到85℃记作
5
- ℃，那么水温上升到92℃应记作______℃．
【答案】2
+
【详解】解：由题意可得，以90℃为基准，水温下降记为负数，则水温上升记为正数，
计算差值：92
90
2
-
=
，
因此水温上升到92℃应记作2
+ ℃．
【典例1-2】（24-25 七年级上·山西临汾·期末）第33 届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，下表是几个
城市与北京的时差（两个地区地方时之间的差别）：（带“ + ”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早
的小时数）
城市
纽约
伦敦
巴黎
首尔
时差
13
-
8
-
7
-
1
+
奥运会开幕式的时间是巴黎时间7 月26 日19 时30 分，对应下列城市的时间是（ ）．
A．伦敦时间7 月26 日18 时30 分
B．北京时间7 月27 日3 时30 分
C．纽约时间7 月26 日14 时30 分
D．首尔时间7 月27 日5 时30 分
【答案】A
【分析】本题考查了正负数在实际生活中的意义，熟练掌握正负数的意义是解题关键．根据“ + ”号的数表示
同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数，先求出北京时间，再求出其他城市时间，即可得出答案．
【详解】解：奥运会开幕式的时间是巴黎时间7 月26 日19 时30 分，
因为，巴黎与北京的时差为7
- ，
所以，北京时间为7 月26 日19 时30 分7
+ 小时，即7 月27 日2 时30 分，B 选项错误；
因为，伦敦与北京的时差为8
- ，
所以，伦敦时间为7 月27 日2 时30 分8
- 小时，即7 月26 日18 时30 分，A 选项正确；
因为，纽约与北京的时差为13
-
，
所以，纽约时间为7 月27 日2 时30 分13
-
小时，即7 月26 日13 时30 分，C 选项错误；
因为，首尔与北京的时差为1
+ ，
所以，首尔时间为7 月27 日2 时30 分1
+ 小时，即7 月27 日3 时30 分，D 选项错误；
故选：A．
【典例1-3】（25-26 七年级上·全国·阶段检测）某种零件，标明要求是φ 20
0.02
±
（φ 表示直径，单位：毫
米），经检查，一个零件的直径是19.99毫米，该零件（ ）
A．合格
B．不合格
C．无法判断
D．可能合格也可能不合格
【答案】A
【分析】本题考查正负数在实际生活中的应用，解题的关键是掌握正负数的意义．
利用正负数的意义进行求解即可．
【详解】解：20
0.02
20.02
+
=
，
20
0.02
19.98
-
=
，
∴19.98
19.99
20.02
<
<
，
该零件合格，
故选：A．
【典例1-3】（1.1 正数和负数（培优分阶练）-2022-2023 学年七年级数学上册课后培优分级练（人教版））
若将数28 记为0 作为基准，则可将数27 记为﹣1，若将数27 记为0 作为基准，数28 应记为___．
【答案】+1
【分析】根据正负数的意义进行解答即可．
【详解】解：∵27+1＝28，
∴若将数27 计为0 作为基准，数28 应计为+1．
故答案为：+1．
【点睛】此题考查的是正负数，掌握其意义是解决此题关键．
【变式1】（26-27 七年级上·上海·开学考试）某地白天最高气温是4℃，到了夜里12 时，气温下降了6℃，
该地当晚12 时的气温是(
)．
【答案】2
- ℃
【分析】根据气温变化即可解答．
【详解】解：∵气温下降4℃后是0℃，再下降2℃后是2
- ℃，
∴某地白天最高气温是4℃，到了夜里12 时，气温下降了6℃，该地当晚12 时的气温是2
- ℃．
【变式2】（26-27 六年级上·上海·开学考试）如果小明向南走 80 米，记作80
+
米，那么小华从同一地点
向北走 50 米，记作________米，这时他们两人相距________米．
【答案】
50
-
130
【分析】根据正负数的意义，题目规定向南走为正，则与南方向相反的向北走记为负，两人行走方向相反，
两人的距离为两人行走路程的和，据此分析求解．
【详解】由正负数表示相反意义的量可得，向北走50 米记作50
-
米，
计算两人相距的距离：
80
50
130
+
=
（米）．
【变式3】（2026·辽宁沈阳·一模）在零件尺寸检测中，如果一个零件的尺寸超出标准尺寸0.08 mm 记作
0.08 mm
+
，那么低于标准尺寸0.22 mm 记作__________ mm ．
【答案】0.22
-
【详解】解：由题意可知，低于标准尺寸0.22 mm 记作0.22mm
-
．
【变式4】（2026·福建莆田·模拟预测）为确保北江干流航运安全，水利部门实施“上补下蓄”联合调度．其中，
飞来峡水库的航运安全临界水位为23.5 米，被设定为调度基准点（即0 点），在一次调度中，若监测到水
库水位上升至24.8 米，记作+1.3 米．那么，当水位降至22.9 米时，应记作__________米．
【答案】0.6
-
【分析】本题考查正负数的意义，解题思路为以23.5 米作为基准0 点，高于基准水位的差值记为正数，低于
基准水位的差值记为负数，计算目标水位与基准水位的差值即可求解．
【详解】解：由题意可知，调度基准水位为24.8 1.3
23.5
-
=
米，即0 点，高于基准水位记为正，低于基准水
位记为负．
当水位降至22.9 米时，计算得：
22.9
23.5
0.6
-
= -
因此水位降至22.9 米时，应记作0.6
-
米．
▌题型02 含“非”字有理数的分类
理解带“非”字有理数的相关概念：
①非正数：0、负数； ②非负数：0、正数；
③非正分数：0、负分数； ④非正分数：0、负分数；
⑤非正整数：0、负整数； ⑥非负整数：0、正整数；
⑦非正有理数：0、负有理数.
【典例2】（26-27 七年级·浙江·暑假作业）在5
- ，3
4 ，0，1.6
-
这四个有理数中，非负数有___________个．
【答案】2
【详解】解：在5
- ，3
4 ，0，1.6
-
这四个有理数中，
非负数有：3
4 ，0 共2 个．
【变式1】（25-26 七年级上·山东滨州·阶段检测）在数
15
1
8 012
25.5 30% 75
3
0.6
10
4
5
-
-
-
-
, ,
,
,
,
,
,
,
,
中，非负有理
数有___________个．
【答案】6
【分析】本题主要考查非负有理数的定义，解决本题的关键是要熟练掌握非负有理数的定义．
非负有理数是指0 和正有理数，正有理数分为：正整数和正分数，正有限小数和正无限循环小数属于正有理
数，根据非负有理数的定义即可求解．
【详解】解：在数
15
1
8 012
25.5 30% 75
3
0.6
10
4
5
-
-
-
-
, ,
,
,
,
,
,
,
,
中，非负有理数是
15
012 30% 75
0.6
4
,
,
,
,
,
，共6 个．
故答案为：6．
【变式2】（25-26 七年级上·四川凉山·阶段检测）在12
-
，4
7 ，19% ，p ，
1
0. 2
- & & ，0，3.14
-
，6.3，2022
中，负有理数的个数为________；非负整数的个数为________．
【答案】
3
2
【分析】本题考查了有理数的分类．负有理数包括负整数和负分数，非负整数包括正整数和零；逐个判断每
个数，即可作答．
【详解】解：12
-
是负整数，属于负有理数；
4
7 是正分数，不属于负有理数，也不是非负整数；
19% 即0.19 ，是正小数，属于有理数但非负，不属于负有理数，也不是整数；
π 是无理数，不属于有理数；
0.12
× ×
-
是负循环小数，属于负有理数；
0 是非负整数，不属于负有理数；
3.14
-
是负有限小数，属于负有理数；
6.3 是正小数，属于有理数但非负，不属于负有理数，也不是整数；
2022 是正整数，属于非负整数，不属于负有理数；
故负有理数有12
-
、0.12
× ×
-
、3.14
-
，共3 个；非负整数有0、2022，共2 个；
故答案为：3，2．
【变式3】（25-26 七年级上·四川达州·期中）在
3
1
π
3
, 8,2025,0,
2 , 13,
, 6.9,
7
4
5
-
- - -
+
-
中，非负整数有a 个，
分数有b 个，则a
b
-
值为_____．
【答案】1
【分析】本题主要考查了有理数分类、相反数、绝对值、代数式求值等知识点，掌握有理数的分类是解题的
关键．先化简数字并分类，找出非负整数和分数的个数，从而确定a、b 的值，再代入求值即可．
【详解】解：
3
3 7 （分数）、8
- （负整数）、2025 （非负整数）、0 （非负整数）、
2
2
- - -
=
（非负整
数）、13
+
（非负整数）、1
4 （分数）、6.9
-
（分数）、5
p （无理数，不是分数，也不是整数），
综上，非负整数有
2025,0,
2 , 13
- - -
+
，共 4 个，
分数有
3 1
3
,
, 6.9
7 4 -
，共 3 个，
即
4,
3
a
b
=
=
，
则
4
3
1
a
b
-
=
-
= ．
故答案为：1．
【变式4】（25-26 七年级上·山东德州·期中）下列各数中：26、
1 22
0.010010001, , 8
,
,15,300%,0
4
7
p
-
-
，其中
正整数有a 个,有理数有b 个，非正数有c 个，则a
b
c
+
+
= ______．
【答案】
13
【分析】本题考查了正整数、有理数、非正数的概念辨析，解题的关键是准确把握各类数的定义并逐一筛选
判断．
先明确正整数是大于0 的整数，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，非正数是小于或等于0
的数；再对所给数字逐一分析归类，分别确定a、b、c 的值，最后计算a
b
c
+
+
的结果．
【详解】解： 正整数：26、15、
300% 300%
3
=
，共3 个，故
3
a = ；
有理数：26、0.010010001
-
、
1
8 4
-
、22
7 、15、300% 、0，共7 个（π为无理数，排除），故
7
b =
；
非正数：0.010010001
-
、8
- 、0，共3 个，故
3
c =
；
则
3
7
3
13
a
b
c
+
+
=
+
+
=
．
故答案为：13．
【变式5】（25-26 七年级上·云南昆明·期中）“有理数运动会”已经拉开序幕，每位有理数运动员要通过自己
专属的检录通道，才能参加运动项目，请你作为志愿者带领以下有理数有秩序地进行检录（填序号）：①
3
2025
-
；②0.007
+
；③
2
3 9 ；④0；⑤0.3
-
；⑥10；⑦44
-
；⑧101
+
；
运动会检录窗口
正有理数
非负整数
负分数
【答案】
②③⑥⑧
④⑥⑧
①⑤
【分析】本题考查了有理数的分类，解题的关键是明确正有理数、非负整数、负分数的定义．
先明确各类数的定义，正有理数是大于0 的有理数；非负整数是0 和正整数；负分数是小于0 的分数（包括
可化为分数的负小数）；再逐一分析所给有理数，按定义归类．
【详解】解：正有理数是大于0 的有理数，包括②0.007
+
、③
2
3 9 、⑥10、⑧101
+
；
非负整数是0 和正整数，包括④0、⑥10、⑧101
+
；
负分数是小于0 的分数，包括①
3
2025
-
、⑤0.3
-
故正有理数：②③⑥⑧；非负整数：④⑥⑧；负分数：①⑤．
▌题型03 数轴上两点之间的距离
由于距离没有方向性，所以数轴上到已知点距离相等的点一般有两个，因此要注意考虑
所有可能出现的结果．
【典例3】（25-26 七年级上·江苏·阶段检测）在数轴上，与2
- 的距离为3 的数是______．
【答案】1 或5
-
【分析】分为该数在2
- 的左侧和该数在2
- 的右侧两种情况，根据数轴上两点间的距离公式求解即可．
【详解】解：当该数在2
- 的左侧时，则该数为2
3
5
- -
= - ，
当该数在2
- 的右侧时，则该数为2
3
1
- +
= ，
综上所述，该数为1 或5
- ．
【变式1】（25-26 七年级上·陕西咸阳·期末）已知数轴上点A 表示的数为5
- ，将点A 沿数轴向右移动9 个
单位长度到达点B ，若点C 到点B 的距离为4，且在点B 左侧，则点C 表示的数为___________．
【答案】0
【分析】本题考查数轴上点的平移运算与两点间距离的应用，先根据点的平移规律求出点B 表示的数，再结
合点C 的位置条件求出点C 表示的数即可．
【详解】解：∵点A 表示的数为5
- ，将点A 沿数轴向右移动9 个单位长度到达点B，
∴点B 表示的数为：5
9
4
- +
=
，
∵点C 到点B 的距离为4，且在点B 左侧，
∴点C 表示的数为4
4
0
-
=
，
故答案为：0．
【变式2】（25-26 七年级上·湖南长沙·期末）数轴上点A 表示的数为4，点B 表示的数为2
- ，则点A 与点B
的距离是_____．
【答案】6
【分析】本题考查数轴上两点间的距离计算．解题的关键是利用数轴上两点间距离公式
2
1
|
|
x
x
-
进行计算．
已知点A 表示的数为4，点B 表示的数为2
- ，代入距离公式| 4
( 2) |
- -
，计算得到距离为 6 ．
【详解】解：点A 表示的数为4，点B 表示的数为2
- ，则点A 与点B 的距离为
4
2
6
6
- -
=
=
．
故答案为6．
【变式3】（25-26 七年级上·山东青岛·期末）将一把刻度尺按如图所示放在数轴上，刻度尺上的0 和8 分别
对应着数轴上的3.6
-
和x，则x 的值是________．
【答案】4.4
【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．熟练掌握在数轴上表示有理数，数轴上
两点之间的距离是解题的关键．由题意知，
3.6
8
x = -
+ ，计算求解即可．
【详解】解：坐标轴上的3.6
-
和0 分别与尺子的0cm 和3.6cm对应，
所以坐标轴上的单位长度是1cm ，
由题意知，
3.6
8
4.4
x = -
+
=
，
故答案为：4.4．
▌题型04 有理数相关概念的理解
【典例4】（25-26 七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．绝对值一定是正数
B．相反数等于本身的数只有0
C．倒数等于本身的数只有1
D．负数的绝对值小于本身
【答案】B
【分析】本题根据绝对值、相反数、倒数的基本概念，逐一判断各选项正误即可．
【详解】解：对于A，0 的绝对值是0 ，0 不是正数，故A 错误，不符合题意；
对于B，若一个数的相反数等于它本身，满足x
x
= - ，解得
0
x =
，相反数等于本身的数只有0 ，故B 正确，
符合题意；
对于C，倒数等于本身的数有1和1
- ，故C 错误，不符合题意；
对于D，负数的绝对值是它的相反数，为正数，正数大于负数，因此负数的绝对值大于它本身，故D 错误，
不符合题意．
【变式1】（25-26 七年级上·浙江金华·期末）下列关于0 的说法正确的是（ ）
A．0 是最小的正整数
B．0 没有相反数
C．0 既不是正数，也不是负数
D．0
a
> -
【答案】C
【分析】本题主要考查有理数的分类，相反数的定义．根据有理数的分类，相反数的定义对各选项依次判断
即可解答．
【详解】解：A、最小的正整数是1，原说法错误，该选项不符合题意；
B、0 的相反数是0，原说法错误，该选项不符合题意；
C、0 既不是正数，也不是负数，原说法正确，该选项符合题意；
D、当
0
a =
时，
0
a
- =
，原说法错误，该选项不符合题意；
故选：C．
【变式2】（25-26 七年级上·河北承德·期中）下列关于负数的计算正确的是（ ）
A．
2
2
-
= -
B．
3
( 2)
8
-
=
C．2
- 的相反数是2
D．2
- 的倒数是0.2
-
【答案】C
【分析】本题考查负数的绝对值、有理数的乘方、相反数和倒数的概念，掌握负数的基本运算是关键，注意
绝对值、幂次、相反数和倒数的定义；根据定义逐一判断各选项即可．
【详解】解：∵绝对值非负，
2
2
-
=
，∴ A 错误；
∵
3
( 2)
8
-
= - ，∴ B 错误；
∵2
- 的相反数是2，∴C 正确；
∵2
- 的倒数是
1
2
-
，∴D 错误；
故选C．
【变式3】（22-23 七年级上·安徽池州·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．0 不是有理数
B．有理数不是整数就是分数
C．在有理数中有最小的数
D．a 是有理数，则a
-
一定是负数
【答案】B
【分析】本题考查了有理数定义和性质，有理数是整数和分数的统称，有理数没有最小的数，也没有最大的
数，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、0 是有理数，原说法错误，不符合题意；
B、有理数不是整数就是分数，原说法正确，符合题意；
C、在有理数中没有最小的数，原说法错误，不符合题意；
D、a 是有理数，则a
-
不一定是负数，例如
1
a = - 时，
1
a
- = 是正数，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
【变式4】（25-26 六年级上·四川成都·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．0 不是有理数
B．整数和分数统称为有理数
C．倒数等于本身的数是1
± 和0
D．a 是有理数，则a
-
一定是负数
【答案】B
【详解】解：有理数包括整数和分数，0 是整数，属于有理数，A 选项错误
整数和分数统称为有理数是有理数的定义，B 选项正确
0 没有倒数，倒数等于本身的数只有1
± ，C 选项错误
当a 为负数时，a
-
是正数；当a 为0 时，a
-
是0，不是负数，D 选项错误
▌题型05 多重符号的化简
在进行多重符号化简时，首先要注意，一个数前面不管有多少个“+”，都可以把“+”
去掉，其次要看“-”的个数，当“-”的个数为偶数时，结果取“+”，当“-”的个数为奇数时，结果取
“-”，简称“奇负偶正”.
【典例5】（25-26 七年级上·贵州遵义·期末）下列化简结果错误的是（ ）
A．
2026
2026
- -
= -
B．
2026
2026
- -
=
C．
2026
2026
- +
= -
D．
2026
2026
+ -
= -
【答案】A
【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握化简多重符号法则是解题关键．根据化简多重符号的法则逐项
判断即可得．
【详解】解：A、
2026
2026
2026
- -
=
¹ -
，则此项错误，符合题意；
B、
2026
2026
- -
=
，则此项正确，不符合题意；
C、
2026
2026
- +
= -
，则此项正确，不符合题意；
D、
2026
2026
+ -
= -
，则此项正确，不符合题意；
故选：A．
【变式1】（25-26 八年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列各对数中互为相反数的是（ ）
A．
2
- +
和
2
+ -
B．
3
- -
和
3
+ -
C．
4
- +
和4
-
D．5 和
5
- -
【答案】B
【详解】解：A、∵
2
2
- +
= - ，
2
2
+ -
= - ，两数相等，∴不是互为相反数，该选项不符合题意；
B、∵
3
3
- -
=
，
3
3
-
+ -
=
，3 和3
- 只有符号不同，符合相反数定义，∴两数互为相反数，该选项符合题意；
C、∵
4
4
- +
= - ，与4
- 相等，∴不是互为相反数，该选项不符合题意；
D、∵
5
5
- -
=
，与5 相等，∴不是互为相反数，该选项不符合题意．
【变式2】（25-26 七年级上·湖北宜昌·期末）在数
3
- -
，
3
- -
，7.5
+
%，
6
- +
，5
2 ，0 ，12，
π
3
+ -
中，
非负整数有( )
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】本题考查绝对值化简、多重符号化简及有理数的分类．先化简各数，再根据非负整数(大于等于0
的整数)的定义筛选即可．
【详解】解：∵
3
- -
3
= - ，
3
- -
3
=
，
6
- +
6
= - ，
π
3
+ -
3
p
= -
∴非负整数有
3
- -
、0 、12，共3个
故选：B．
【变式3】（25-26 七年级上·全国·课后作业）化简下列各数：
(1)
3.5
- +
；
(2)
11
- -
；
(3)
3
15
é
ù
+ - -
ê
ú
ë
û
；
(4)
5.8
é
ù
- + -
ë
û ；
(5)
2
3
é
ù
- - + -
ê
ú
ë
û
；
(6)
20
é
ù
+ - + -
ë
û
【答案】(1) 3.5
-
(2)11
(3) 3
15
(4)5.8
(5)
2
3
-
(6)20
【分析】本题主要考查了相反数和绝对值，正确掌握相反数的定义和绝对值的意义是解题关键．
（1）直接利用相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而化简答案．
（2）直接利用相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而化简答案．
（3）直接利用相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而化简答案．
（4）直接利用相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而化简答案．
（5）原式先去小括号得
2
3
é
ù
- - -
ê
ú
ë
û ，再去中括号得
2
3
-
，最后化去绝对值符号即可得答案．
（6）原式先去小括号得
20
+ - -
，再去中括号得
20
+
，最后化去绝对值符号即可得答案．
【详解】（1）解：
3.5
3.5
- +
= -
；
（2）解：
11
11
- -
=
；
（3）解：
3
15
é
ù
+ - -
ê
ú
ë
û
3
15
= + +
3
15
=
；
（4）解：
5.8
é
ù
- + -
ë
û
5.8
= - -
5.8
=
；
（5）解：
2
3
é
ù
- - + -
ê
ú
ë
û
2
3
= - - -
2
3
= -
2
3
= -
；
（6）解：
20
é
ù
+ - + -
ë
û
20
= + - -
20
= +
20
=
．
【变式4】（25-26 七年级上·全国·课后作业）化简下列各式的符号，并回答问题：
（1）
2
- -
= ；
1
3
+ -
=
；
5
- - -
=
é
ù
ë
û
；
4.5
é
ù
- - +
=
ë
û
；
6
- - +
=
é
ù
ë
û
；
（2）当5
+ 前面有99个负号时，化简后的结果是 ；当5
- 前面有100 个负号时，化简后的结果是 ；
你能总结出什么规律？
（3）计算：
2
2
1
3
1
n
n
n
n
-
é
ù
é
ù
- - -
- -
+ - -
- -
ë
û
ë
û
L
L
L
L
144424443
144424443
个负号，是正整数
个负号，是正整数
．
【答案】（1）2 ；
1
3
-
；5
- ；4.5 ；6 ；（2 ）5
- ，5
- ；总结规律：一个数的前面有奇数个符号，化简后
的结果等于它的相反数，有偶数个符号，化简后的结果等于它本身；（3）2 ．
【分析】本题主要考查了化简多重符号，相反数的定义，有理数的加法，熟练掌握相反数的意义是解题的关
键．
（1）根据相反数的定义分别化简即可；
（2 ）根据前面的结果猜想即可求解；
（3）根据（2 ）的规律得出算是，然后通过有理数加法法则即可求解．
【详解】解：（1）
2
2
- -
=
；
1
1
3
3
+ -
= -
；
5
5
- - -
= -
é
ù
ë
û
；
4.5
4.5
é
ù
- - +
=
ë
û
；
6
6
é
ù
- - +
=
ë
û
；
故答案为：2 ，
1
3
-
，5
- ，4.5 ，6 ；
（2 ）根据（1）可得，当5
+ 前面有99个负号时，化简后的结果是5
- ，当5
- 前面有100 个负号时，化简后
的结果是5
- ，
总结规律：一个数的前面有奇数个符号，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个符号，化简后的结果等于
它本身，
故答案为：5
- ，5
- ；
（3）根据（2 ）的规律可得，
2
2
1
3
1
n
n
n
n
-
é
ù
é
ù
- - -
- -
+ - -
- -
ë
û
ë
û
L
L
L
L
144424443
144424443
个负号，是正整数
个负号，是正整数
3
1
= + -
2
=
．
▌题型06 相反数的应用
若a，b 互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则若a，b 互为相反数.
【典例6】（25-26 七年级上·福建漳州·期中）若a ，b 互为相反数且a
b
<
，则下列各组数中一定互为相反数
的是（ ）
A．2a和2b
-
B．
1
a - 和
1
b +
C．
1
a + 和
1
b +
D．
1
a - 和
1
b -
【答案】B
【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义．
根据相反数的定义，两数之和为零则互为相反数，计算各组数的和，判断是否为零．
【详解】解：∵ a 和 b 互为相反数，
∴
0
a
b
+
=
；
A.
2
2
2
0
a
b
a
b
-
=
-
¹
，该选项两个数不互为相反数，不符合题意；
B.
1
1
0
a
b
a
b
- +
+ =
+
=
，该选项两个数互为相反数，符合题意；
C.
1
1
2
2
0
a
b
a
b
+ +
+ =
+
+
=
¹
，该选项两个数不互为相反数，不符合题意；
D.
1
1
2
2
0
a
b
a
b
- +
- =
+
-
= - ¹
，该选项两个数不互为相反数，不符合题意；
故选：B．
【变式1】（2025·吉林长春·模拟预测）互为相反数的两个数（都不为零）的商为（ ）
A．1
-
B．1
C．0
D．不确定
【答案】A
【分析】本题考查相反数，掌握知识点是解题的关键．
根据相反数的定义，两个互为相反数的数之和为0，其中一个数为a，另一个数为
0
a a
-
¹
（
）．计算它们的商
即可得出结果．
【详解】解：设这两个数分别为a 和a
-
（a≠0），则它们的商为：
1
1
a
a
a
a
-
= -
= -
-
或
，
无论以哪一个数作为被除数，结果均为−1．
因此，互为相反数的两个非零数的商恒为−1．
故选A．
【变式2】（25-26 七年级上·山东菏泽·期末）当x =_______时，代数式3
2x
-
与
7
3
x +
的值互为相反数．
【答案】6
【分析】本题考查的是相反数的含义，解一元一次方程，掌握“解一元一次方程的步骤”是解题的关键．
根据相反数的定义，代数式3
2x
-
与
7
3
x +
的值互为相反数，则它们的和为零，据此列出方程求解．
【详解】解：由题意，得
3
2
7
0
3
x
x
-
+
+
=
，
去括号得：3
2
7
0
3
x
x
-
+
+
=
，
合并同类项得：
5
10
0
3
x
-
=
，
移项得：
5
10
3
x
=
，
解得：
6
x =
．
故答案为：6．
【变式3】（25-26 六年级上·上海浦东新·期中）若a、b 互为相反数，则2026
1
a
b
+
- +
=______．
【答案】2025
【分析】本题考查相反数的定义．由a 和b 互为相反数，可得
0
a
b
+
=
，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵a 和b 互为相反数，
∴
0
a
b
+
=
，
∴2026
1
a
b
+
- +
= (2026 1)
(
)
2025
0
2025
a
b
-
+
+
=
+
=
．
故答案为：2025．
【变式4】（24-25 七年级下·黑龙江绥化·期末）用“®”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有a
b
a
¬
= -
和a
b
b
®
=
，例如：3
2
3
¬
= - ，3
2
2
®
=
，则
2025
2023
2023
2024
¬
¬
®
= ______．
【答案】2025
【分析】本题主要考查了相反数，根据题意，先计算括号内的运算，再根据新定义运算的规则进行解答即可．
【详解】解：
2025
2023
2023
2024
¬
¬
®
2025
2024
= -
¬
2025
=
．
故答案为：2025 ．
▌题型07 求一个数绝对值
求一个数a 的绝对值，要先判断这个数a 是正数，负数或0.再由绝对值的代数意义求出
这个数的绝对值.若遇到复杂的情形，可以先化简，也可以由绝对值的几何意义求绝对值.
【典例7】（25-26 九年级上·广东惠州·期末）2026
-
的绝对值是（ ）
A．2026
B．2026
-
C．
1
2026
D．
1
2026
-
【答案】A
【详解】解：
2026
2026
-
=
．
【变式1】（25-26 七年级上·安徽安庆·期末）
2026
-
的相反数是（ ）
A．2026
-
B．
1
2026
-
C．2026
D．2026
±
【答案】A
【分析】本题考查的是绝对值及相反数，先利用绝对值的性质计算出
2026
-
的值，再依据相反数的定义求
出该值的相反数，即可得到结果．
【详解】解：∵负数的绝对值是它的相反数，
∴
2026
2026
-
=
，
∵只有符号不同的两个数互为相反数，
∴2026 的相反数是2026
-
，
∴
2026
-
的相反数是2026
-
．
故选：A．
【变式2】（25-26 七年级上·四川达州·期末）已知四个数：
2026
1
-
，
π
-
，
1.5
- -
，
23
-
，其中正数的个数
是 （ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查有理数的乘方．根据乘方运算法则、绝对值性质、相反数的定义逐一计算，再根据正
数大于0 即可得出答案．
【详解】解：∵
2026
1
1
-
= ，1
0
>
，
∴
2026
1
-
是正数
∵
π
π
-
=
，
0
p >
，
∴
π
-
是正数
∵
1.5
1.5
- -
=
，1.5
0
> ，
∴
1.5
- -
是正数
∵
23
-
9
= - ，9
0
- <
，
∴
23
-
是负数
∴正数共有3 个，
故选：C．
【变式3】（25-26 七年级上·河南平顶山·期末）若
3
x =
，则x 的值是_________．
【答案】3 或3
-
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，根据绝对值的定义，一个数的绝对值表示它到原点的距离，因此方
程
3
x =
有两个解．
【详解】解：由绝对值的定义可知，
3
x =
表示x 到原点的距离为3，
∴
3
x =
或
3
x
-
=
．
故答案为：3 或3
- ．
【变式4】（25-26 七年级上·江西上饶·期末）已知有理数
,
a
a b
b
=
= - ，请比较两数的大小：a _______b ．
【答案】³
【分析】本题考查绝对值的性质和有理数的大小比较，关键是根据绝对值的性质确定a 、b 的取值范围．首
先利用绝对值的性质，由a
a
=
判断出a 是非负数，由b
b
= - 判断出b 是非正数，再依据有理数大小比较的
规则，即可推出a 与b 的大小关系．
【详解】解：∵a
a
=
，
∴
0
a ³
；
∵b
b
= - ，
∴
0
b £
；
∴a
b
³
．
故答案为：³．
▌题型08 利用绝对值的非负性求解
根据绝对值或平方的非负性可知，如果几个非负数和为0，那么每一个非负数为0.
【典例8】（25-26 七年级上·江苏无锡·期末）若
2
2
3
0
a
b
-
+
+
=
，则a
b
-
= ___________．
【答案】5
【分析】根据绝对值和平方的非负性，求出
2
a =
，
3
b = - ，然后代入求值即可．
【详解】解：∵
2
2
3
0
a
b
-
+
+
=
，
∴
2
0
a-
=
，
3
0
b +
=
，
∴
2
a =
，
3
b = - ，
∴
2
3
5
a
b
-
=
- -
= ．
【变式1】（25-26 七年级上·四川成都·期末）已知
2
5
2
0
6
a
b
+
+
-
=
，则代数式
12
2
5
a
b
+
的值是_____．
【答案】2
-
【分析】本题考查的是非负数的性质和代数式求值问题．根据非负数的性质，平方项和绝对值项均非负，它
们的和为零，则每个部分为零，解出a 和b 的值，再代入代数式求值．
【详解】解：∵
2
5
2
0
6
a
b
+
+
-
=
，
∴
2
2
0
a +
=
且
5
0
6
b -
=
，
解得
2
a=-
，
5
6
b =
，
代入代数式
12
2
5
a
b
+
，得
12
5
2
2
4
2
2
5
6
´ -
+
´
= - +
= - ．
故答案为：2
- ．
【变式2】（25-26 七年级上·贵州毕节·期末）若a
b
、互为相反数，
2
1
2
0
m
n
+
+
-
=
，则
n
a
b
m
+
-
的值为
___________．
【答案】1
-
【分析】本题考查了相反数的定义和绝对值与平方的非负性，代数式求值．根据相反数的定义和绝对值与平
方的非负性，求出a
b
+
、m 和n 的值，再代入表达式计算．
【详解】解：因为a ，b 互为相反数，所以
0
a
b
+
=
．
由
2
1
2
0
m
n
+
+
-
=
，
得
1
0
m + =
且
2
0
n -
=
，
解得
1
m = - ，
2
n =
．
则
2
1
1
n
m = -
= ．
所以
0 1
1
n
a
b
m
+
-
=
- = - ．
故答案为：1
- ．
▌题型09 有理数的大小比较
比较数大小数轴最直接；数比0 大，负数比0 小；同负绝对值，值大数反小.
【典例9】（25-26 七年级上·辽宁大连·阶段检测）完成以下问题
(1)画出数轴，并在数轴上表示下列各数：
3
4,2,
,0,1.5
2
-
-
(2)用 “<” 号把这些数连接起来．
【答案】(1)数轴表示如图：
(2)
3
4
0
1.5
2
2
-
- <
<
<
<
【详解】（1）略
（2）解：由数轴可得，
3
4
0
1.5
2
2
-
- <
<
<
<
．
【变式1】（26-27 七年级上·浙江杭州·开学考试）在1
7 、14.2% 、0.142& 中最小的数是___________．
【答案】
14.2%
【分析】先将分数百分数统一转化为小数，再根据小数大小比较方法判断最小的数．
【详解】解：将三个数均化为小数：1
1 7
0.14286
7 = ¸
»
，14.2%
14.2 100
0.142
=
¸
=
，0.142
0.142222
=
&
LL，
比较大小可得：
1
14.2%
0.142
7
<
<
&
，
因此最小的数是14.2% ．
【变式2】（25-26 七年级上·四川宜宾·期中）比较大小：
8
9
- +
________
3
4
- -
．(填“ >”“<”或“=”)
【答案】<
【分析】本题考查有理数的大小比较，涉及相反数与绝对值的化简，先化简两个数，再根据两个负数比较大
小，绝对值越大的负数越小的规则进行比较即可．
【详解】解：先化简两个数
8
8
9
9
- +
= -
，
3
3
4
4
- -
= -
．
计算两个数的绝对值
8
8
32
9
9
36
-
=
=
，
3
3
27
4
4
36
-
=
=
．
因为32
27
36
36
>
，可得8
3
9
4
>
，
根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得
8
3
9
4
-
< -
，即
8
3
9
4
- +
< - -
．
【变式3】（25-26 七年级上·陕西西安·期末）有理数a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三
个数中绝对值最大的数是_____ ．
【答案】b
【分析】观察数轴上a、b、c 三点到原点的距离，距离原点最远的数即为绝对值最大的数．
【详解】解：观察数轴上a、b、c 三点到原点的距离，点b 到原点O 的距离最长，点a 次之，点c 最短．
∴绝对值最大的是b．
【变式4】（25-26 七年级上·广西崇左·阶段检测）将
25
26
-
，
259
260
-
，
2599
2600
-
按从小到大的顺序排列起来．
【答案】
2599
259
25
2600
260
26
-
< -
< -
【分析】本题考查有理数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键。负数比较时，绝对值大的负数反而小。
【详解】解
25
2500
26
2600
-
= -
Q
，
259
2590
260
2600
-
= -
，
2599
2590
2500
2600
2600
2600
>
>
，
∴
2599
2590
2500
2600
2600
2600
-
< -
< -
，
\按从小到大的顺序排列起来为
2599
259
25
2600
260
26
-
< -
< -
．
【变式5】（25-26 七年级上·全国·课后作业）请将下列两组数分别按照从小到大的顺序，用线段把表示它们
的点连接起来，看看是什么图形．
【答案】图见解析，左图是一条鱼，右图是一只小鸟
【分析】本题考查有理数的大小比较和根据结果连接点形成图形，熟练掌握有理数大小的比较规则是解题的
关键．根据“负数总是小于正数，两个负数比较时，绝对值大的反而小”，先比较各组数的大小，然后按照从
小到大的顺序依次连接各点，观察所形成的图形．
【详解】解：Q
3
2
1
0
1
2
3
- < - < - <
< <
<
，5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
- < - < - < - < - <
< <
<
<
<
<
，
\从小到大依次连接各点，得到下图：
左图是一条鱼，右图是一只小鸟．
