文档文本内容
培优专题01 有理数的基础概念及其应用
（题型突破·举一反三）
题型01 应用正负数的实际意义解决相关问题
题型02 含“非”字有理数的分类（易错）
题型03 数轴上两点之间的距离（易错）
题型04 有理数相关概念的理解
题型05 多重符号的化简
题型06 相反数的应用（热）
题型07 求一个数绝对值
题型08 利用绝对值的非负性求解（热）
题型09 有理数的大小比较（常考）
▌题型01 应用正负数的实际意义解决相关问题
找到反义词，如果正数代表一个意义，那么负数就代表相反意义.
【典例1-1】（2026·辽宁营口·一模）小王做了一个水温变化实验，以90℃为基准，水温下降到85℃记作
5
- ℃，那么水温上升到92℃应记作______℃．
【典例1-2】（24-25 七年级上·山西临汾·期末）第33 届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，下表是几个
城市与北京的时差（两个地区地方时之间的差别）：（带“ + ”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早
的小时数）
城市
纽约
伦敦
巴黎
首尔
时差
13
-
8
-
7
-
1
+
奥运会开幕式的时间是巴黎时间7 月26 日19 时30 分，对应下列城市的时间是（ ）．
A．伦敦时间7 月26 日18 时30 分
B．北京时间7 月27 日3 时30 分
C．纽约时间7 月26 日14 时30 分
D．首尔时间7 月27 日5 时30 分
【典例1-3】（25-26 七年级上·全国·阶段检测）某种零件，标明要求是φ 20
0.02
±
（φ 表示直径，单位：毫
米），经检查，一个零件的直径是19.99毫米，该零件（ ）
A．合格
B．不合格
C．无法判断
D．可能合格也可能不合格
【典例1-3】（1.1 正数和负数（培优分阶练）-2022-2023 学年七年级数学上册课后培优分级练（人教版））
若将数28 记为0 作为基准，则可将数27 记为﹣1，若将数27 记为0 作为基准，数28 应记为___．
【变式1】（26-27 七年级上·上海·开学考试）某地白天最高气温是4℃，到了夜里12 时，气温下降了6℃，
该地当晚12 时的气温是(
)．
【变式2】（26-27 六年级上·上海·开学考试）如果小明向南走 80 米，记作80
+
米，那么小华从同一地点
向北走 50 米，记作________米，这时他们两人相距________米．
【变式3】（2026·辽宁沈阳·一模）在零件尺寸检测中，如果一个零件的尺寸超出标准尺寸0.08 mm 记作
0.08 mm
+
，那么低于标准尺寸0.22 mm 记作__________ mm ．
【变式4】（2026·福建莆田·模拟预测）为确保北江干流航运安全，水利部门实施“上补下蓄”联合调度．其中，
飞来峡水库的航运安全临界水位为23.5 米，被设定为调度基准点（即0 点），在一次调度中，若监测到水
库水位上升至24.8 米，记作+1.3 米．那么，当水位降至22.9 米时，应记作__________米．
▌题型02 含“非”字有理数的分类
理解带“非”字有理数的相关概念：
①非正数：0、负数； ②非负数：0、正数；
③非正分数：0、负分数； ④非正分数：0、负分数；
⑤非正整数：0、负整数； ⑥非负整数：0、正整数；
⑦非正有理数：0、负有理数.
【典例2】（26-27 七年级·浙江·暑假作业）在5
- ，3
4 ，0，1.6
-
这四个有理数中，非负数有___________个．
【变式1】（25-26 七年级上·山东滨州·阶段检测）在数
15
1
8 012
25.5 30% 75
3
0.6
10
4
5
-
-
-
-
, ,
,
,
,
,
,
,
,
中，非负有理
数有___________个．
【变式2】（25-26 七年级上·四川凉山·阶段检测）在12
-
，4
7 ，19% ，p ，
1
0. 2
- & & ，0，3.14
-
，6.3，2022
中，负有理数的个数为________；非负整数的个数为________．
【变式3】（25-26 七年级上·四川达州·期中）在
3
1
π
3
, 8,2025,0,
2 , 13,
, 6.9,
7
4
5
-
- - -
+
-
中，非负整数有a 个，
分数有b 个，则a
b
-
值为_____．
【变式4】（25-26 七年级上·山东德州·期中）下列各数中：26、
1 22
0.010010001, , 8
,
,15,300%,0
4
7
p
-
-
，其中
正整数有a 个,有理数有b 个，非正数有c 个，则a
b
c
+
+
= ______．
【变式5】（25-26 七年级上·云南昆明·期中）“有理数运动会”已经拉开序幕，每位有理数运动员要通过自己
专属的检录通道，才能参加运动项目，请你作为志愿者带领以下有理数有秩序地进行检录（填序号）：①
3
2025
-
；②0.007
+
；③
2
3 9 ；④0；⑤0.3
-
；⑥10；⑦44
-
；⑧101
+
；
运动会检录窗口
正有理数
非负整数
负分数
▌题型03 数轴上两点之间的距离
由于距离没有方向性，所以数轴上到已知点距离相等的点一般有两个，因此要注意考虑
所有可能出现的结果．
【典例3】（25-26 七年级上·江苏·阶段检测）在数轴上，与2
- 的距离为3 的数是______．
【变式1】（25-26 七年级上·陕西咸阳·期末）已知数轴上点A 表示的数为5
- ，将点A 沿数轴向右移动9 个
单位长度到达点B ，若点C 到点B 的距离为4，且在点B 左侧，则点C 表示的数为___________．
【变式2】（25-26 七年级上·湖南长沙·期末）数轴上点A 表示的数为4，点B 表示的数为2
- ，则点A 与点B
的距离是_____．
【变式3】（25-26 七年级上·山东青岛·期末）将一把刻度尺按如图所示放在数轴上，刻度尺上的0 和8 分别
对应着数轴上的3.6
-
和x，则x 的值是________．
▌题型04 有理数相关概念的理解
【典例4】（25-26 七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．绝对值一定是正数
B．相反数等于本身的数只有0
C．倒数等于本身的数只有1
D．负数的绝对值小于本身
【变式1】（25-26 七年级上·浙江金华·期末）下列关于0 的说法正确的是（ ）
A．0 是最小的正整数
B．0 没有相反数
C．0 既不是正数，也不是负数
D．0
a
> -
【变式2】（25-26 七年级上·河北承德·期中）下列关于负数的计算正确的是（ ）
A．
2
2
-
= -
B．
3
( 2)
8
-
=
C．2
- 的相反数是2
D．2
- 的倒数是0.2
-
【变式3】（22-23 七年级上·安徽池州·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．0 不是有理数
B．有理数不是整数就是分数
C．在有理数中有最小的数
D．a 是有理数，则a
-
一定是负数
【变式4】（25-26 六年级上·四川成都·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．0 不是有理数
B．整数和分数统称为有理数
C．倒数等于本身的数是1
± 和0
D．a 是有理数，则a
-
一定是负数
▌题型05 多重符号的化简
在进行多重符号化简时，首先要注意，一个数前面不管有多少个“+”，都可以把“+”
去掉，其次要看“-”的个数，当“-”的个数为偶数时，结果取“+”，当“-”的个数为奇数时，结果取
“-”，简称“奇负偶正”.
【典例5】（25-26 七年级上·贵州遵义·期末）下列化简结果错误的是（ ）
A．
2026
2026
- -
= -
B．
2026
2026
- -
=
C．
2026
2026
- +
= -
D．
2026
2026
+ -
= -
【变式1】（25-26 八年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列各对数中互为相反数的是（ ）
A．
2
- +
和
2
+ -
B．
3
- -
和
3
+ -
C．
4
- +
和4
-
D．5 和
5
- -
【变式2】（25-26 七年级上·湖北宜昌·期末）在数
3
- -
，
3
- -
，7.5
+
%，
6
- +
，5
2 ，0 ，12，
π
3
+ -
中，
非负整数有( )
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【变式3】（25-26 七年级上·全国·课后作业）化简下列各数：
(1)
3.5
- +
；
(2)
11
- -
；
(3)
3
15
é
ù
+ - -
ê
ú
ë
û
；
(4)
5.8
é
ù
- + -
ë
û ；
(5)
2
3
é
ù
- - + -
ê
ú
ë
û
；
(6)
20
é
ù
+ - + -
ë
û
【变式4】（25-26 七年级上·全国·课后作业）化简下列各式的符号，并回答问题：
（1）
2
- -
= ；
1
3
+ -
=
；
5
- - -
=
é
ù
ë
û
；
4.5
é
ù
- - +
=
ë
û
；
6
- - +
=
é
ù
ë
û
；
（2）当5
+ 前面有99个负号时，化简后的结果是 ；当5
- 前面有100 个负号时，化简后的结果是 ；
你能总结出什么规律？
（3）计算：
2
2
1
3
1
n
n
n
n
-
é
ù
é
ù
- - -
- -
+ - -
- -
ë
û
ë
û
L
L
L
L
144424443
144424443
个负号，是正整数
个负号，是正整数
．
▌题型06 相反数的应用
若a，b 互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则若a，b 互为相反数.
【典例6】（25-26 七年级上·福建漳州·期中）若a ，b 互为相反数且a
b
<
，则下列各组数中一定互为相反数
的是（ ）
A．2a和2b
-
B．
1
a - 和
1
b +
C．
1
a + 和
1
b +
D．
1
a - 和
1
b -
【变式1】（2025·吉林长春·模拟预测）互为相反数的两个数（都不为零）的商为（ ）
A．1
-
B．1
C．0
D．不确定
【变式2】（25-26 七年级上·山东菏泽·期末）当x =_______时，代数式3
2x
-
与
7
3
x +
的值互为相反数．
【变式3】（25-26 六年级上·上海浦东新·期中）若a、b 互为相反数，则2026
1
a
b
+
- +
=______．
【变式4】（24-25 七年级下·黑龙江绥化·期末）用“®”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有a
b
a
¬
= -
和a
b
b
®
=
，例如：3
2
3
¬
= - ，3
2
2
®
=
，则
2025
2023
2023
2024
¬
¬
®
= ______．
▌题型07 求一个数绝对值
求一个数a 的绝对值，要先判断这个数a 是正数，负数或0.再由绝对值的代数意义求出
这个数的绝对值.若遇到复杂的情形，可以先化简，也可以由绝对值的几何意义求绝对值.
【典例7】（25-26 九年级上·广东惠州·期末）2026
-
的绝对值是（ ）
A．2026
B．2026
-
C．
1
2026
D．
1
2026
-
【变式1】（25-26 七年级上·安徽安庆·期末）
2026
-
的相反数是（ ）
A．2026
-
B．
1
2026
-
C．2026
D．2026
±
【变式2】（25-26 七年级上·四川达州·期末）已知四个数：
2026
1
-
，
π
-
，
1.5
- -
，
23
-
，其中正数的个数
是 （ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式3】（25-26 七年级上·河南平顶山·期末）若
3
x =
，则x 的值是_________．
【变式4】（25-26 七年级上·江西上饶·期末）已知有理数
,
a
a b
b
=
= - ，请比较两数的大小：a _______b ．
▌题型08 利用绝对值的非负性求解
根据绝对值或平方的非负性可知，如果几个非负数和为0，那么每一个非负数为0.
【典例8】（25-26 七年级上·江苏无锡·期末）若
2
2
3
0
a
b
-
+
+
=
，则a
b
-
= ___________．
【变式1】（25-26 七年级上·四川成都·期末）已知
2
5
2
0
6
a
b
+
+
-
=
，则代数式
12
2
5
a
b
+
的值是_____．
【变式2】（25-26 七年级上·贵州毕节·期末）若a
b
、互为相反数，
2
1
2
0
m
n
+
+
-
=
，则
n
a
b
m
+
-
的值为
___________．
▌题型09 有理数的大小比较
比较数大小数轴最直接；数比0 大，负数比0 小；同负绝对值，值大数反小.
【典例9】（25-26 七年级上·辽宁大连·阶段检测）完成以下问题
(1)画出数轴，并在数轴上表示下列各数：
3
4,2,
,0,1.5
2
-
-
(2)用 “<” 号把这些数连接起来．
【变式1】（26-27 七年级上·浙江杭州·开学考试）在1
7 、14.2% 、0.142& 中最小的数是___________．
【变式2】（25-26 七年级上·四川宜宾·期中）比较大小：
8
9
- +
________
3
4
- -
．(填“ >”“<”或“=”)
【变式3】（25-26 七年级上·陕西西安·期末）有理数a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三
个数中绝对值最大的数是_____ ．
【变式4】（25-26 七年级上·广西崇左·阶段检测）将
25
26
-
，
259
260
-
，
2599
2600
-
按从小到大的顺序排列起来．
【变式5】（25-26 七年级上·全国·课后作业）请将下列两组数分别按照从小到大的顺序，用线段把表示它们
的点连接起来，看看是什么图形．
