文档文本内容
培优专题05 有理数的运算章节15 种易错题专项巩固训练
（题型突破·举一反三）
题型01 有理数加法中的符号问题
题型02 有理数的运算律
题型03 省略加法和括号形式
题型04 识别有理数混合运算中的错误步骤
题型05 有理数的乘法法则
题型06 倒数
题型07 有理数中的简便运算
题型08 有理数幂的概念理解
题型09 乘方运算中的符号规律
题型10 算“24”点
题型11 幻方
题型12 程序流程图
题型13 用科学记数法表示较大的数
题型14 求一个数的近似数
题型15 求近似数的精确度
▌题型01 有理数加法中的符号问题
【典例1】（25-26 七年级上·江西新余·期中）如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（ ）
A．两个加数都是正数
B．两个加数中至少一个是正数
C．一个加数为正数，另一个加数为零
D．两个加数同为负数
【变式1】（25-26 七年级上·全国·阶段检测）若
0
a
b
+
<
，
0
ab
，则下列结论正确的是（ ）
A．
0
a
，
0
b <
B．
0
a <
，
0
b <
C．a，b 异号且正数的绝对值大
D．a，b 异号且负数的绝对值大
【变式2】（21-22 七年级上·河南郑州·期末）已知有理数
0
a
，
0
b <
，则a
b
+
，
a
b
+
，
a
b
+
，
a
b
+
中最大的数是（ ）
A．a
b
+
B．
a
b
+
C．
a
b
+
D．
a
b
+
【变式3】用“ ”或“<”填空：
（1）如果
0
0
a
b
，
，那么a
b
+
______0；
（2）如果
0
0
a
b
<
<
，
，那么a
b
+
______0；
（3）如果
0,
0,
a
b
a
b
，那么a
b
+
______0；
（4）如果
0,
0,
a
b
a
b
<
＜
，那么a
b
+
______0．
【变式4】（25-26 七年级上·河南信阳·阶段检测）【用数学的眼光观察】
观察下列等式，定义Å运算：
4
16
20,
9
5
14
Å
=
+
Å +
=
；
2
14
12,
15
9
6
Å +
=
Å +
= ，
25
10
15,0
12
12,
15
0
15
+
Å
=
Å
=
+
Å
=
．
【用数学的语言表达】
(1)思考上述运算，归纳Å运算法则：
两数进行Å运算时：同号两数运算____，异号两数运算____，特别地，0 和任何数进行Å运算，或任何数和
0 进行Å运算，仍____．
(2)计算写出最后化简结果：
①
10
20
Å
= ____；
②
9
0
25
[
]
+
Å
Å
= ____；
(3)若1
2025,1
2025
a
b
Å
=
Å
=
，则a
b
的值为________．
▌题型02 有理数的运算律
【典例2】（25-26 七年级上·全国·课后作业）小明同学在解题时，将式子
1
2
2
3
3
5
3
5
æ
ö
æ
ö
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø 变成
1
2
2
3
3
3
5
5
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
+
+
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
后再进行计算，该同学运用了（ ）
A．加法交换律
B．加法结合律
C．加法交换律和结合律
D．乘法分配律
【变式1】（25-26 七年级上·河北邢台·期末）根据有理数的运算律，下列运算不正确
．．．的是（ ）
A．
(
)
(
)
a
b
c
d
a
c
d
b
+
+
=
+
+
B．
(
)
m a
b
c
ma
mb
mc
+
=
+
C．
(
)
a
b
c
a
b
c
+
+
=
+
+
D．(
)
a
b
c
a
c
b
c
+
+
=
+
+
+
【变式2】（25-26 七年级上·安徽铜陵·期末）在算式变形：
1
1
1.25
39
80
1.25
80
39
2
2
æ
ö
æ
ö
´
´
=
´
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
中，
运用了（ ）
A．分配律
B．乘法交换律
C．乘法交换律和分配律
D．分配律和乘法结合律
【变式3】（25-26 七年级上·云南昆明·阶段检测）下列各式运用运算律不正确的是（ ）
A．
4
8
8
4
´ = ´
B．
3
2
5
3
2
5
é
ù
é
ù
´
´
=
´
´
ë
û
ë
û
C．
1
1
1
1
1
1
12
(
)
12
12
12
3
4
2
3
4
2
¸
+
=
¸
+
¸
¸
D．
1
1
1
1
6
6
6
2
3
2
3
é
ù
æ
ö
æ
ö
´
+
=
´
+
´
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
▌题型03 省略加法和括号形式
【典例3】（25-26 七年级上·福建泉州·期末）不改变原式的值，把
10
7
4
6
+
写成省略加号的和
的形式为（ ）
A．10 + 7 + 4
6
B．10
7
4 + 6
C．10
7 + 4
6
D．10 + 7 + 4
6
【变式1】（25-26 七年级上·安徽铜陵·期末）式子3
4
5 8
+ 有下面的两种读法
读法一：负3，负4
，正5 与8
的和
读法二：负3 减4 加5 减8
关于这两种读法，正确的选项是（ ）
A．只有读法一正确
B．只有读法二正确
C．两种读法都正确
D．两种读法都不正确
【变式2】（24-25 七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成
3
4
5
8
+
的是（ ）
A．
3
4
5
8
+
+
B．
3
4
5
8
+
+
+
C．
3
4
5
8
+
+ +
+
D．
3
4
5
8
+ +
+
【变式3】（23-24 七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）将式子
3
2
5
6
10
2
3
æ
ö
æ
ö
+
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
写成省略
加号的形式______，读作：______．
【变式4】（21-22 七年级上·全国·课后作业）将下列式子写成省略括号的和的形式，并说出它的两种读法：
（1）( 3.7)
( 2.5)
( 3.5)
( 2.4)
+
+
+
；
（2）
1
1
1
3
1
1
1
2
3
1
4
2
4
2
4
4
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
．
▌题型04 识别有理数混合运算中的错误步骤
【典例4】（25-26 七年级上·山西忻州·期中）阅读下面的解题过程并解决问题：
计算：
2
5
4.4
1
0.6
3
3
æ
ö
æ
ö
+
+
+ +
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
解：原式
2
5
4.4
1
0.6
3
3
æ
ö
æ
ö
=
+
+
+ +
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø （第一步）
2
5
4.4
0.6
13
3
æ
ö
æ
ö
=
+
+
+ +
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø （第二步）
2
5
4.4
0.6
13
3
é
ù
æ
ö
æ
ö
=
+
+
+ +
é
ù
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ë
û
è
ø
è
ø
ë
û
（第三步）
…
(1)上面的计算过程中，第一步变形的依据是_____________；
(2)为了计算简便，第二步应用的运算律是_____________；（用符号表示）
(3)上面的计算过程，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_____________；
(4)请写出正确的解答过程．
【变式1】（24-25 七年级上·江苏泰州·阶段检测）计算：
1
1
3
1
5
3
2
2
4
4
2
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+ +
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø．
小敏的做法如下：
解：原式
1
1
3
1
5
3
2
2
4
4
2
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø
（第一步）
1
1
1
3
5
3
2
2
2
4
4
æ
ö
æ
ö
=
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø （第二步）
5
6
= +
(第三步)
1
= (第四步)
根据小敏的计算过程，回答下列问题：
(1)小敏在进行第二步计算时，运用了加法的______律、______律；
(2)请指出她从第______步开始出现错误；
(3)请你写出正确的解题过程．
【变式2】（25-26 七年级上·宁夏固原·期中）计算：
1
1
15
6
3
2
æ
ö
¸
´
ç
÷
è
ø
．阅读下面的解答过程并完成相应任
务：
解：原式
1
15
6
6
æ
ö
=
¸
´
ç
÷
è
ø
第一步
15
1
=
¸
第二步
15
=
．第三步
任务：
(1)上面解题过程中，第___________步开始就出现了错误，错误的原因是___________；
(2)把正确的解题过程写出来．
【变式3】（25-26 七年级上·福建泉州·阶段检测）下面是某同学计算一道习题的过程，请你仔细阅读下面的
解题过程，回答后面的问题．
计算：
1
1
25
5
1
5
4
æ
ö
æ
ö
¸ ´
¸
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø．
解：原式
5
25
1
4
æ
ö
=
¸
¸
ç
÷
è
ø第一步
4
25
1
5
æ
ö
=
´
´
ç
÷
è
ø第二步
4
25
5
æ
ö
=
´
ç
÷
è
ø第三步
20
=
．第四步
(1)上面解题过程中，从第___________步开始出现错误，错误的原因是_________________．
(2)请你写出正确的运算过程．
【变式4】（22-23 七年级上·山西太原·阶段检测）老师在黑板上出了一道有理数的混合运算题：
2
3
2
2
1
2
3
2
3
6
é
ù
æ
ö
¸
´
+
´
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
ë
û
．下面是小丽的解答过程：
解：
2
3
2
2
1
4
1
( 2)
3
2
( 8)
9
2
3
6
9
6
é
ù
æ
ö
æ
ö
¸
´
+
´
=
¸
´
+
´
ê
ú
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
第一步
1
( 8)
(4
2)
6
=
¸
+
´
第二步
1
( 8)
6
6
=
¸ ´
第三步
( 8)
1
=
¸ 第四步
8
= ．第五步
任务1：小丽的解答过程共存在_________处错误，分别是_________；
任务2：第二处错误的错误原因是_________；
任务3：请你写出正确的解答结果_________；
任务4：请根据平时的学习经验，就乘方运算给出一些运算时的注意事项，从而尽量避免运算错误．（一条
即可）
【变式5】（25-26 七年级上·北京通州·期中）小明与小红两位同学计算
3
2
1
4
2
8
æ
ö
¸
´
ç
÷
è
ø 的过程如下：
小明：
原式
1
8
6
8
æ
ö
=
¸
´
ç
÷
è
ø （第一步）
4
1
3
8
æ
ö æ
ö
=
´
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø（第二步）
1
6
=
（第三步）
小红：
原式
1
16
8
8
æ
ö
=
¸
´
ç
÷
è
ø （第一步）
1
16
8
8
é
ù
æ
ö
=
¸
´
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
（第二步）
16 1
=
+ （第三步）
16
=
（第四步）
(1)小明与小红在计算中均出现了错误，小明错误的步骤是第______步，小红错误的步骤是第______步．
(2)写出正确的解答过程．
▌题型05 有理数的乘法法则
多个有理数相乘的步骤：
0
0
0
®
ì
í
®
®
î
算式中有乘数
积为
算式中没有乘数
确定积的符号
把绝对值相乘
【典例5】（25-26 七年级上·青海海南·期末）如果2025 个有理数相乘所得的积为0，那么这2025 个数中
（）
A．最多有一个数为0
B．至少有一个数为0
C．均为0
D．均不为0
【变式1】（25-26 七年级上·河北沧州·期中）若
2026
50
´
的值记为q ，则
2026
49
´
的值可表示为（ ）
A．
1
q +
B．
1
q
C．
2026
q +
D．
2026
q
【变式2】（25-26 七年级上·河北邯郸·期末）对下列各算式计算结果的符号判断正确的一项是（ ）．
A．
2
1
2
2
3
0
3
æ
ö
´
´
<
ç
÷
è
ø
B．
2
2
5
5
1
0
+ <
C．
1
1
1
0
3
2
æ
ö
+
+
ç
÷
è
ø
D．
11
10
1
2
0
´
【变式3】（25-26 六年级上·山东烟台·期末）某校园餐厅把WIFI 密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，
思索了一会，输入密码，顺利地连接到了餐厅的网络，那么他输入的密码是___________．
▌题型06 倒数
求一个数的倒数，不改变这个数的符号.
【典例6】（25-26 七年级上·江西上饶·期末）2026 年元旦，信州区某中学七年级新生用未来密码钥匙
“2026520 ”开启了新年的大门，以下表示2026520 的相反数的倒数是（ ）
A．2026520
B．2026520
C．
1
2026520
D．
1
2026520
【变式1】（25-26 七年级上·陕西渭南·期末）已知a是最大的负整数，b 是2
的相反数，c与d 互为倒数，m
的绝对值是4，则a
b
cd
m
+
的值为（ ）
A．4 或6
B．6 或4
C．4 或4
D．6 或6
【变式2】（25-26 七年级上·江苏扬州·阶段检测）一个数的倒数等于它本身，这个数的立方也等于其本身，
这个数是______．
【变式3】（25-26 六年级上·山东威海·期末）课堂上老师给出一道计算题：1
1
1
3
24
2
6
8
æ
ö
¸
+
ç
÷
è
ø．同学们积极
思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下：
甲：原式
1
1
1
1
1
3
1
1
1
1
24
2
24
6
24
8
12
4
9
18
æ
ö
æ
ö
=
¸
+
¸
+
¸
=
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
乙：原式
1
17
1
24
1
24
24
24
17
17
æ
ö
æ
ö
=
¸
=
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
丙：原式的倒数
1
1
3
1
1
1
3
1
1
3
24
24
24
24
12
4
9
17
2
6
8
24
2
6
8
2
6
8
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
¸
=
+
´
=
´
+
´
+
´
=
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
故原式
1
17
=
．
请认真阅读，解答下列问题：
(1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”)
(2)计算：
①
1
1
2
5
54
2
3
6
æ
ö
æ
ö
¸
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
②
1
1
1
1
1
1
1
1
42
2
3
6
7
14
21
42
æ
ö
æ
ö
¸
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
▌题型07 有理数中的简便运算
【典例7】（24-25 七年级上·江苏宿迁·期中）计算
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2012
2013
2014
2015
2016
2017
+
+
+
+
+
+
+
+
=
L
______.
【变式1】（26-27 七年级上·全国·课后作业）利用公式计算：
1
1
1
1
1
n
n
n
n
=
´
+
+
（1）1
1
1
1
1 2
2 3
3 4
2021 2022
+
+
+
+
=
´
´
´
´
L
______________________；（直接写答案）
（2）1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
6
12
20
30
42
56
72
90
+
+
+
+
+
+
+
+
=______________________．（直接写答案）
【变式2】（21-22 七年级上·广东江门·阶段检测）计算：
7
2
1
4
( 6.2)
2
3
9
9
5
æ
ö
+
+
=
ç
÷
è
ø
________．
【变式3】（25-26 七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算：
(1)
22
7
22
7
19
5
7
22
7
æ
ö
æ
ö
æ
ö
´
+
¸
´
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ；
(2)
7
6
1
15
6
7
5
æ
ö
æ
ö
´
´
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
【变式4】（25-26 七年级上·江苏苏州·期中）计算
(1)
1991
1
1997
19991999
4
1999
´
(2)
10
5
3
2
2
2 8 1
1
11
9
11
9
5
.
æ
ö
æ
ö
+
+
¸
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
(3) 1
1
2
1
2
3
1
2
59
2
3
3
4
4
4
60
60
60
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
L
L
(4)
3
5
7
25
1 2
3
2
3 4
3 4
5
12 13 14
+
+
+
+
´ ´
´ ´
´ ´
´
´
LL
▌题型08 有理数幂的概念理解
【典例8】（25-26 七年级上·河南郑州·期末）计算2
2
2
5 5
5
个
个
+
+
+
+ ´ ´
´
m
n
L
L
14243
14243 （ ）
A．
5
2m
n
+
B．
2
5n
m +
C．2
5
m
n
+
D．2
5n
m +
【变式1】（25-26 六年级上·上海·阶段检测）关于
4
2
的说法正确的是（ ）
A．指数是2
B．结果是8
C．表示4 个2
相加
D．表示4 个2
相乘
【变式2】（25-26 七年级上·河北沧州·期中）已知
23
和
2
3
，下列关于甲、乙二人的说法判断正确的是
（ ）
甲：二者的底数不同；
乙：二者的计算结果相同．
A．只有甲的说法正确
B．只有乙的说法正确
C．两人的说法都正确
D．两人的说法都不正确
【变式3】（24-25 七年级下·福建三明·期中）对于
3
5
与
3
5
，下列叙述中正确的是（ ）
A．底数相同，运算结果相同
B．底数相同，运算结果不同
C．底数不同，运算结果相同
D．底数不同，运算结果不同
【变式4】（2025·河北石家庄·模拟预测）若k 为正整数，则
4
3
k
的意义为（ ）
A．7 个
3
k 相加
B．12 个k 相加
C．4 个
3
k 相乘
D．7 个
3
k 相乘
▌题型09 乘方运算中的符号规律
①若底数为正，计算结果为正；
②若底数为负，指数为偶数，计算结果为正；
③若底数为负，指数为奇数，计算结果为负.
【典例9】（25-26 七年级上·广东江门·期中）下列各对数值相等的是（ ）
A．
5
2
和
5
2
B．
23
和
2
3
C．
3
3 2
´
和
23
2
´
D．
2
3
和
3
2
【变式1】（24-25 七年级上·湖南湘潭·阶段检测）若
2009
(
)
0
a
，则一定有（ ）
A．
0
a
B．
0
a =
C．
0
a <
D．
0
a ³
【变式2】（21-22 七年级上·广西桂林·阶段检测）将
3
3 4.
，
4
3 4.
，
5
3 4.
从小到大排列正确的是（ ）
A．
3
4
5
3 4
3 4
3 4
.
.
.
<
<
B．
5
3
4
3 4
3 4
3 4
.
.
.
<
<
C．
5
4
3
3 4
3 4
3 4
.
.
.
<
<
D．
3
5
4
3 4
3 4
3 4
.
.
.
<
<
【变式3】（23-24 七年级上·全国·课堂例题）有下列各数：①
21
；②
2
( 1)
；③
31
；④
4
( 1)
，其中
结果等于1
的是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
【变式4】（25-26 七年级上·江苏无锡·阶段检测）在
200
( 1)
，
4
2
，
9
2
，
32
( 1)
中，结果是负数的有_________
个．
【变式5】（25-26 七年级上·江苏南京·阶段检测）已知k 是一个正整数，那么
2
1
1
k
= __________．
【变式6】（26-27 七年级上·北京·课后作业）如果n 是正整数，则
2
1
2
1
1
n
n
+
+
= _____ ．
▌题型10 算“24”点
24 点问题没有固定的求解模式，需要根据题目灵活选择解法.
【典例10】（24-25 七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24 点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这
四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，6
，10，运
用上述规则，下列算式中不正确
．．．的是（ ）
A．4
3
( 6)
10
´
+
B．4
( 6
3 10)
¸ ´
C．10
( 6
3)
4
´
D．(4
6
10)
3
+
´
【变式1】（25-26 七年级上·浙江丽水·期末）有一种“24 点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张
牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果
为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A 表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）
．
【变式2】（25-26 七年级上·浙江杭州·期中）有一种“24 点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，各张牌
上的数用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号）列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜（J，Q，K 分别
表示11，12，13，A 表示1）．小聪抽到的四张牌如图所示，你能算出“24 点”吗？请列出算式
__________．（写出一种即可）
【变式3】（25-26 七年级上·河北邢台·期末）小明有5 张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完
成下列各问题：
(1)从中取出2 张卡片，使这2 张卡片上数字乘积最大，最大值是________；
(2)从中取出2 张卡片，使这2 张卡片上数字相除的商最小，最小值是________；
(3)从中取出4 张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________．
▌题型11 幻方
利用幻方和相等建立等量关系或直接幻方和相等的性质解题即可.
【典例11】（23-24 七年级上·福建福州·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻
圆”游戏，将4
，3
，2
，1
，0，1，2 ，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4 个
数字之和都相等（每个数字仅用1 次），则a
b
的值为（ ）
A．1 或1
B．4
或1
C．1
或4
D．4 或4
【变式1】（25-26 七年级上·贵州遵义·期中）“九宫图”传说是远古时期洛河中的一只神龟背上的图案，故又
称“龟背图”．数学上的“九宫图”是一个3 3
´
表格，其每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上三个数字之和
都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则
y
x 的值为（ ）
A．1
B．1
C．3
D．3
【变式2】（24-25 七年级上·山东青岛·阶段检测）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，除了教材介
绍的常规幻方，还有变形幻方，下面介绍一个．现将1、2、3、4、5、7、8、9 这8 个数字填入如图1 所示
的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有类
似的“幻方”如图2 所示，其中有两个数1
和2，则(
)m n
x
y
的值是（）
A．1
B．27
C．8
D．16
【变式3】（24-25 六年级下·山东东营·期末）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如
图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现
有如图2 所示的“幻方”，则
y x
n
m
的值是______．
【变式4】（24-25 七年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】西汉前期民间流传着一则故事．大禹治水时，洛
阳西南洛宁县的洛河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案，人称“洛书”．如图1，洛书上有三行
三列的纵横图，用实心点或空心点的个数表示数字，分别对应着1
9
～这9 个数字，每行、列及两条对角线上
的三个数相加的结果相同．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）又名九宫格，是
一种将9 个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都
相等．
【问题解决】
（1）根据“洛书”中表达的意思，将图2 中的三阶幻方补充完整；
（2）如图3，是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将1，2，3，4，5 这五个数字填入表格，补
全这个新的三阶幻方；
【拓展思考】
（3）有3 个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．如图4，将12, 10, 8, 6, 4, 2,1,3,5,7,9,11
这12
个数字填入恰当的位置后（数字不重复使用），每个正方形4 个顶点“〇”中的数的和都相等，求ax
by
+
的值．
▌题型12 程序流程图
【典例12】（25-26 七年级上·重庆万州·期末）如图的运算程序中，第1 次输入的x 为64，则第2025 次输出
的结果（ ）
A．8
B．4
C．2
D．1
【变式1】（25-26 七年级上·陕西渭南·期末）如图是一个运算程序，若输入
1
x = ，则输出的结果为（ ）
A．10
B．15
C．17
D．19
【变式2】（25-26 七年级上·辽宁葫芦岛·期末）按如图所示的运算程序，若输入x 的值为1
，则输出y 的值
为（ ）
A．68
B．4
C．2
D．8
【变式3】（25-26 七年级上·江苏连云港·期末）在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下
一个运算程序：一开始输入一个非零自然数n，按照图示程序进行运算，直到运算的结果第一次为1 时，终
止此程序，若在终止程序前，计算程序被启动了m 次，则整个程序最终会输出这个次数m．若输入自然数
3
n =
，则m =______．
【变式4】（25-26 七年级上·河北唐山·期末）如图，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入
一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“★”代表一个有理数．
根据该程序，解答下列问题：
(1)若输入的数是2 ，★表示的数为1，求输出的结果；
(2)若输入的数是6
，且输出结果为5，求★表示的数；
(3)若输入的数是m，★表示的数为n，当输出结果为0时，直接写出m与n之间的数量关系．
▌题型13 用科学记数法表示较大的数
1）用科学记数法表示带单位的大数的技巧：
4
8
1
10
10
=
=
万
，1亿
2）还原用科学记数法表示的数容易遗漏前面的符号.
【典例13】（25-26 七年级上·四川宜宾·期中）“五一”假期宜宾市旅游景区累计接待游客150.36万人次，实现
门票收入1509.1万元，同比增加4.68% ，其中“1509.1万”，用科学记数法表示为（ ）
A．
3
1.5091 10
´
B．
7
1.5091 10
´
C．
8
1.5091 10
´
D．
9
1.5091 10
´
【变式1】（2026·江苏无锡·一模）2025 年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到23.6 万亿美
元．用科学记数法表示23.6 万亿是（ ）
A．
11
236 10
´
B．
12
23.6 10
´
C．
13
2.36 10
´
D．
14
0.236 10
´
【变式2】（2025 七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）若数a 用科学记数法表示为
5
7.03 10
´
，则a 的原数为
________．
【变式3】（25-26 七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）一个整数用科学记数法表示为
10
8.1505 10
´
，则原数中“0”
的个数为________个．
【变式4】（24-25 七年级上·全国·课后作业）下列用科学记数法表示的数原来各是什么数？
6
1 10
´
= ______；
5
5.78 10
´
= ______；
4
5.03406 10
´
= ______．
▌题型14 求一个数的近似数
根据精确度求近似值时，只需对紧挨着要精确到的那一位后的一个数字进行四舍五入，
再后面的数字不需考虑. 对绝对值较大的数取近似值时，为了清楚地表明其精确度，结果一般用科学记数法
表示.
【典例14】（25-26 七年级上·河南商丘·期末）用四舍五入法对下列各数取近似值，其中结果错误的是（ ）
A．304.25
304
»
（精确到个位）
B．1.804
1.8
»
（精确到十分位）
C．0.0158
0.016
»
（精确到0.01）
D．
3
1205
1.2 10
»
´
（精确到百位）
【变式1】（25-26 七年级上·安徽合肥·期末）下列近似数的叙述不正确的是（ ）
A．0.012 精确到千分位
B．1005精确到个位
C．2.6 万精确到万位
D．
5
3.14 10
´
精确到千位
【变式2】（25-26 七年级上·四川成都·期末）下面是2018-2022 年我国每年实物商品网上零售额统计图．
可以看出全年实物商品网上零售额占社会消费品零售总额的比例除2020年至2021年有所减少外其他年份逐
渐增加，其中2020 年社会消费品零售总额大约为________万亿元（结果保留整数）．
【变式3】（25-26 七年级上·重庆大足·期末）祖冲之是我国南北朝时期著名的数学家和天文学家，他在圆周
率方面的研究具有划时代的意义他将圆周率
π 的计算精确到小数点后第七位，即3.1415926至3.1415927 之
间．圆周率精确到千分位»___________．
【变式4】（25-26 七年级上·全国·寒假作业）用四舍五入法按括号里的要求对下列各数取近似值：
(1)0.00149 （精确到0.001）；
(2)579.534（精确到个位）；
(3)2.8974 （精确到千分位）；
(4)13.052亿（精确到百万位）．
▌题型15 求近似数的精确度
1，确定近似数的精确度就是看近似数的末尾数字所在的数位，
2.对于
10n
a´
的精确度，由还原后的数a 的末位数字所在的数位决定.
3.对于含有文字单位的近似数，精确度也是由还原后的数中近似数的末位数字所在的数位决定的.
【典例15】（25-26 七年级上·福建泉州·期末）近似数
5
1.25 10
´
表示精确到（ ）
A．千位
B．万位
C．十分位
D．百分位
【变式1】（25-26 七年级上·四川凉山·期末）下列说法正确的是（ ）
A．705.10 万精确到百分位
B．1.609万精确到万位
C．300精确到个位
D．近似数5.300和5.30的精确度一样
【变式2】（25-26 七年级上·江西南昌·期末）2025 年11 月11 日清晨，承载着南昌地理溯源、文化传承与
城市精神的新地标——城市原点在八一广场正式揭幕．其核心标志是一块镶嵌在地面，直径为2.7 米的圆形
铜铸浮雕，面积约为5.72 平方米．近似数5.72 精确到________位．
【变式3】（25-26 八年级上·江苏连云港·阶段检测）用科学记数法表示的
4
5.04 10
´
是精确到___________位
所得的近似数．
【变式4】（25-26 八年级上·全国·课后作业）下列各数都是用四舍五入法得到的近似数，请写出它们各是精
确到哪一位：
(1)某地区成年男性的平均身高为1.697m ，平均体重为67.7kg ．
(2)2024 年我国城镇居民家庭人均可支配收入为54188元．
(3)珠穆朗玛峰是世界第一高峰，海拔为8848.86m ．
