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培优专题02 整式运算及应用
（题型突破·举一反三）
题型01 合并同类项
题型02 去括号
题型03 整式加减的运算
题型04 整式加减中的化简求值问题
题型05 整式加减中的整除问题
题型06 整式加减中的无关型问题
题型07 整式加减中的定值问题
题型08 整式加减中的错解问题
题型09 整式加减中的污染问题
题型10 整式加减中的比较大小问题
▌题型01 合并同类项
简称：一相加二不变，合并同类项. 即：“一相加”：系数相加作为结果的系数.“二
不变”：字母连同字母指数不变.
【典例1】（22-23 七年级上·新疆博尔塔拉·期末）下列运算中，正确的是（ ）
A．
2
2
5
4
1
a
a
-
=
B．
3
2
5
2
3
5
a
a
a
+
=
C．
2
2
3
3
0
ba
a b
-
+
=
D．3
2
5
a
b
ab
+
=
【答案】C
【分析】根据合并同类项法则逐一判断各选项即可．
【详解】解：A、∵
2
2
2
2
5
4
5
4
1
a
a
a
a
-
=
-
=
¹ ， ∴A 选项错误；
B、 ∵
3
2a 与
2
3a 相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并， ∴B 选项错误；
C、∵
2
2
2
3
3
3
3
0
ba
a b
a b
-
+
= - +
=
， ∴C 选项正确；
D、∵3a 与2b 所含字母不同，不是同类项，不能合并， ∴D 选项错误．
【变式1】（25-26 七年级上·宁夏吴忠·期末）已知单项式
3
25
m
x y
-
与
2
3
nx y 的和是单项式，那么m
n
+
的值是
（ ）
A．6
B．5
C．6
-
D．5
-
【答案】B
【分析】两个单项式的和是单项式，说明这两个单项式是同类项，根据同类项定义“所含字母相同，相同字
母的指数相同”，即可求出m和n的值，再计算m
n
+
即可．
【详解】解：∵单项式
3
25
m
x y
-
与
2
3
nx y 的和是单项式，
∴
3
25
m
x y
-
与
2
3
nx y 是同类项，
∴
3
n =
，
2
m =
，
∴
2
3
5
m
n
+
=
+
=
．
【变式2】（25-26 六年级上·上海·阶段检测）合并同类项：
1
2
7
2
3
a
b
a
b
-
+
-
+
=__________．
【答案】
15
5
2
3
a
b
-
+
【详解】解：原式
1
2
7
2
3
a
a
b
b
= -
-
+
+
1
2
7
1
2
3
a
b
æ
ö
æ
ö
= - -
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
15
5
2
3
a
b
= -
+
．
【变式3】（25-26 七年级上·山东德州·期中）多项式
2
2
3
36
8
x
kxy
y
xy
-
-
+
- 化简后不含xy 项，则k 为______．
【答案】36
【分析】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，题目设计巧妙，有利于培养学生灵活运
用知识的能力．
根据多项式不含xy 项，则xy 项的系数之和为零．
【详解】Q
2
2
2
2
3
36
8
36
3
8
x
kxy
y
xy
x
k
xy
y
-
-
+
-
=
+ - +
-
- 中不含xy 项，
36
0
k
\- +
=
，
36
k
\
=
；
故答案是：36．
【变式4】（25-26 七年级上·江西南昌·期末）已知有理数a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，
(1)用“＜”或“＞”填空：b
c
+
______0，c
b
- ______0，a
b
c
-
- ______0；
(2)化简：a
b
c
c
b
b
c
b
-
-
-
-
+
+
+ -
．
【答案】(1)<，<，>
(2)
4
a
b
c
-
-
【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的化简、整式的加减运算等知识点，正确的化简绝对值是解题的关键．
（1）由数轴确定a、b、c 的符号，进而确定相关代数式的符号；
（2）利用（1）的结论，根据绝对值的性质化简绝对值，最后运用整式的加减运算法则计算即可．
【详解】（1）解：由数轴可得：
0
,
c
b
a
a
c
b
<
<
<
<
<
，所以
0
b
c
+
<
，
0
c
b
-
<
，
0
a
b
c
- -
>
．
故答案为：<，<，>；
（2）解：∵
0
b
c
+
<
，
0
c
b
-
<
，
0
a
b
c
- -
>
，
0
b
-
>
，
∴a
b
c
c
b
b
c
b
-
-
-
-
+
+
+ -
a
b
c
c
b
b
c
b
=
-
- +
-
-
+
-
a
b
c
c
b
b
c
b
=
-
- +
-
-
- -
4
a
b
c
=
-
-
．
▌题型02 去括号
去括号时需注意括号外面的系数和符号
【典例2】（25-26 七年级上·四川宜宾·期中）下列各式中，去括号正确的是（ ）
A．
x
y
z
x
y
z
-
-
+
=
+
B．
1 2
4
2
2
x
y
z
x
y
z
-
-
-
=
+
C．
3
3
x
y
z
x
y
z
-
-
+
=
+
D．
5
5
5
x
y
z
x
y
z
-
-
-
-
=
【答案】B
【分析】根据去括号规则：括号前是正号，去括号后括号内各项不变号，括号前是负号，去括号后括号内各
项都变号，括号前有系数时，需将系数乘以括号内每一项，据此逐一判断选项即可求解．
【详解】解：∵ 对选项A，
x
y
z
x
y
z
x
y
z
-
+
=
-
-
¹
-
+
，∴A 错误．
∵ 对选项B，
1
1
1
2
4
2
4
2
2
2
2
2
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
æ
ö
-
-
=
-
´
-
´
=
-
-
=
-
+
ç
÷
è
ø
，∴B 正确．
∵ 对选项C，
3
3
3
3
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
-
=
+
-
¹
+
- ，∴C 错误．
∵ 对选项D，
5
5
5
5
5
x
y
z
x
y
z
x
y
z
-
-
=
-
+
¹
-
-
，∴D 错误．
【变式1】（25-26 七年级上·河北邯郸·期末）下列去括号正确的是（ ）
A．
a
b
c
a
b
c
-
-
+
= - +
+
B．
a
b
c
a
b
c
-
-
+
= - -
-
C．
a
b
c
a
b
c
-
-
+
= - +
-
D．
a
b
c
a
b
c
-
-
+
= - -
+
【答案】C
【分析】本题考查去括号法则，括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号．
根据去括号法则判断即可．
【详解】解：∵原式为
a
b
c
-
-
+
，括号前是负号，
∴去括号后，括号内各项变号：a变a
- ，b
- 变b
+ ，c
+ 变c
- ，
结果为a
b
c
- +
- ，与选项C 一致．
故选：C．
【变式2】（25-26 六年级上·山东淄博·期末）下列去括号：①
a
b
c
a
b
c
-
+
=
-
- ；
②
a
b
c
a
b
c
+
-
=
+
-
；③
2
2
2
a
b
a
b
-
=
-
；④
2
2
2
4
a
b
a
b
-
-
= -
-
．其中正确的共有______个．
【答案】3
【分析】本题主要考查了整式的加减运算、去括号、加法运算律等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
根据整式的加减运算、去括号、加法运算律逐项判断即可．
【详解】解：①
a
b
c
a
b
c
-
+
=
-
- ，括号前是负号，去括号后括号内各项变号，故①正确；
②
a
b
c
a
b
c
+
-
=
+
-
，括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变，故②正确；
③
2
2
2
a
b
a
b
-
=
-
，应用分配律，故③正确；
④
2
2
2
4
a
b
a
b
-
-
= -
+
，但原式给出2
4
a
b
-
-
，故④错误．
综上，正确的共有3 个．
故答案为：3．
【变式3】（25-26 七年级上·河北保定·阶段检测）若
5
a
b
+
=
，
4
c
d
+
= - ，则
2
2
a
c
d
b
-
-
-
= ______．
【答案】13
【分析】本题考查了去括号法则与整式的加减运算，解题的关键是熟练运用去括号法则将式子化简，易错点
是去括号时符号的变化；先利用去括号法则去掉式子
2
2
a
c
d
b
-
-
-
中的括号，再通过交换律和结合律将
式子变形为含有a
b
+
与c
d
+
的形式，最后代入已知条件求值．
【详解】
2
2
2
2
2
5
2
4
13
a
c
d
b
a
c
d
b
a
b
c
d
-
-
-
=
-
-
+
=
+
-
+
=
- ´ -
=
故答案为13．
【变式4】（24-25 七年级上·吉林·阶段检测）有一道题
2
4
2
3
2
3
6
9
x
x
x
x
x
-
-
+
-
=
-
+□，“□”的地方被墨水
弄污了，则“□”内应填写________．
【答案】
4
3x
【分析】本题考查的是去括号，熟练掌握去括号法则是解题的关键．
去括号得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．
【详解】解：∵
2
4
2
4
3
2
3
6
9
3
x
x
x
x
x
x
-
-
+
-
=
-
+
，
∴“□”内应填写
4
3x ．
故答案为：
4
3x ．
▌题型03 整式加减的运算
1）整式的加减运算过程中，切记不要漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交
换.
2）整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止；
②不能出现带分数，带分数要化成假分数.
3）运算结果，常将多项式的某个字母（如x）按照降幂（升幂）排列.
【典例3】（24-25 七年级上·山西临汾·期末）晋晋把
2
3
x
-
+
错算成2
3
x
-
- ，结果比原来（
）
A．大3
B．小3
C．大9
D．小9
【答案】A
【分析】根据题意可得
2
3
2
3
x
x
é
ù
-
-
- -
+
ë
û ，然后进行计算即可解答．
【详解】解：
2
3
2
3
x
x
é
ù
-
-
- -
+
ë
û
2
3
2
3
x
x
= -
- +
+
2
3
2
6
x
x
= -
- +
+
3
= ，
∴结果比原来大3．
【变式1】（25-26 七年级上·陕西西安·期末）已知
2
6
3
A
x
x
= -
+
，
2
4
5
B
x
x
=
-
，且
2
C
A
B
-
=
，则C 的表达
式是（ ）
A．
2
2
2
x
x
-
-
B．
2
8x
x
+
C．
2
14
13
x
x
-
+
D．
2
2
7
x
x
-
【答案】D
【分析】本题考查整式的加减运算，先通过等式变形得到
2
C
A
B
=
+
，再代入A 、B 的表达式，利用去括号、
合并同类项法则计算即可．
【详解】解：∵
2
C
A
B
-
=
，
∴
2
C
A
B
=
+
，
又∵
2
6
3
A
x
x
= -
+
，
2
4
5
B
x
x
=
-
，
∴
2
2
2
2 4
5
8
10
B
x
x
x
x
=
-
=
-
，
∴
2
2
2
2
2
2
2
6
3
8
10
6
3
8
10
6
8
3
10
2
7
C
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
= -
+
+
-
= -
+
+
-
= -
+
+
-
=
-
，
故选：D．
【变式2】（25-26 七年级上·河北张家口·期末）在学习了整式的加减后，老师给出了一道习题：
2(
4)
3(
)
3
x
x
x
y
y
- -
+
-
+
-
，对甲、乙两位同学的说法判断正确的是（ ）
甲同学：当
1,
2
x
y
=
= - 时，原式
9
= - ；
乙同学：无论,x y 取何值，原式的值不变
A．只有甲正确
B．只有乙正确
C．两人都正确
D．两人都不正确
【答案】B
【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
根据去括号、合并同类项法则化简原式，再验证甲、乙同学的说法是否正确．
【详解】解：
2
4
3
3
x
x
x
y
y
é
ù
- -
+
-
+
-
ë
û
2
8
3
3
3
x
x
x
y
y
= - -
+ -
-
-
2
8
3
3
3
x
x
x
y
y
= - -
- +
+
-
8
= -
∵化简后原式为常数8
- ，与,x y 取值无关
∴甲同学计算结果为9
- ，错误，乙同学说法正确，
∴只有乙正确，
故选：B．
【变式3】（22-23 七年级上·全国·期末）先去括号，再合并同类项：
(1)
5
3
a
a
b
-
+
；
(2)
2
2
2
2
2
2
a
ab
b
a
ab
b
+
+
-
-
+
；
(3)
2
2
2
2
3 2
2 3
2
x
y
y
x
-
-
-
；
(4)
2
2
5
4
2 5
4
2
x
x
x
x
+
-
+
-
+
+
．
【答案】(1) 4
3
a
b
-
(2)4ab
(3)
2
2
10
9
x
y
-
(4)
2
3
15
4
x
x
+
-
【详解】（1）解：
5
3
5
3
4
3
a
a
b
a
a
b
a
b
-
+
=
-
-
=
-
；
（2）解：
2
2
2
2
2
2
a
ab
b
a
ab
b
+
+
-
-
+
2
2
2
2
2
2
a
ab
b
a
ab
b
=
+
+
-
+
-
，
4ab
=
；
（3）解：
2
2
2
2
3 2
2 3
2
x
y
y
x
-
-
-
，
2
2
2
2
6
3
6
4
x
y
y
x
=
-
-
+
，
2
2
10
9
x
y
=
-
；
（4）解：
2
2
5
4
2 5
4
2
x
x
x
x
+
-
+
-
+
+
2
2
5
4 10
8
4
x
x
x
x
-
+
+
- +
=
+
，
2
3
15
4
x
x
+
=
-
．
【变式4】（21-22 七年级上·吉林长春·期中）化简：
(1)
2
x
x
-
．
(2)
2
3
3
2
3
2
2
4
3
x y
y x
x y
+ -
- -
．
(3)
4
7
2 3
2
x
x
+
+
-
．
(4)
2
2
3
4
2
5
x
x
x
x
+
-
-
+
-
．
(5)
2
2
2
4
2
3
x y
x y
y
x y
xy
-
-
+
+
-
．
(6)
2
2
5
3
2 2
3
7
x
x
x
x
é
ù
ë
û
-
-
-
+
．
【答案】(1) x
-
(2)
3
2
2
3
3
2
x y
x y
-
(3)10
3
x +
(4)
2
1
x +
(5)
2
3
2
3
x y
y
xy
-
-
-
(6)
2
2
6
x
x
-
+
-
【详解】（1）解：
2
x
x
x
-
= -
（2）
2
3
3
2
3
2
2
4
3
x y
y x
x y
+ -
- -
2
3
3
2
3
2
2
4
3
x y
y x
x y
=
-
+
3
2
2
3
2
3x y
x y
=
-
（3）
4
7
2 3
2
x
x
+
+
-
4
7
6
4
x
x
=
+
+
-
10
3
x
=
+
（4）
2
2
3
4
2
5
x
x
x
x
+
-
-
+
-
2
2
3
4
2
5
x
x
x
x
=
+
-
-
-
+
2
1
x
=
+
（5）
2
2
2
4
2
3
x y
x y
y
x y
xy
-
-
+
+
-
2
2
2
4
2
2
3
3
x y
x y
y
x y
xy
= -
-
-
+
-
2
3
2
3
x y
y
xy
= -
-
-
（6）
2
2
5
3
2 2
3
7
x
x
x
x
é
ù
ë
û
-
-
-
+
2
2)
5
3
4
6
(
7
x
x
x
x
=
-
-
+
+
2
2
5
3
4
6
7
x
x
x
x
=
-
+
-
-
2
2
6
x
x
= -
+
-
【变式5】（20-21 九年级上·山东青岛·期中）化简：
(1)
2
2
7
2
3
x
x
x
x
-
+
+
．
(2)
3
2
3
3
1
1
1
1
(
)
2(
)
2
3
3
2
x
y
x
y
-
+
-
．
(3)
3
3
3
3
1
1
1
1
1
1
3(
)
2(
)
2
3
6
2
3
4
x
y
y
x
-
-
+
-
-
-
．
【答案】(1)
2
8x
x
+
(2)
3
2
3
7
1
6
3
x
y
y
-
-
(3)
3
5
6 x
-
【分析】（1）直接进行合并同类项，即可得到答案；
（2）先去括号，然后进行合并同类项，即可得到答案；
（3）先去括号，然后进行合并同类项，即可得到答案．
【详解】（1）解：原式
2
8
=
+
x
x ；
（2）解：原式
3
2
3
3
1
1
2
2
3
3
x
y
x
y
=
-
+
-
3
2
3
7
1
6
3
x
y
y
=
-
-
；
（3）解：原式
3
3
3
3
3
1
2
1
2
2
3
2
x
y
y
x
= -
+
-
-
+
+
3
5
6 x
= -
．
▌题型04 整式加减中的化简求值问题
【典例4】（25-26六年级上·山东威海·期末）已知
2
m
n
+
= - ，
4
mn = - ，则
3 2
2
3
m
mn
mn
n
-
-
-
的值为______．
【答案】8
【分析】把所求的代数式去括号，合并同类项化简为最简形式，再把给出的代数式代入求值计算即可．
【详解】解：
3 2
2
3
m
mn
mn
n
-
-
-
6
3
2
6
m
mn
mn
n
=
-
-
+
6
6
5
m
n
mn
=
+
-
，
∵
2
m
n
+
= - ，
4
mn = - ，
∴原式
6
6
5
6
5
6
2
5
4
12
20
8
m
n
mn
m
n
mn
=
+
-
=
+
-
=
´ -
- ´ -
= -
+
=
．
【变式1】（25-26 七年级上·河南南阳·期末）如图所示，小林用圆规在线段CE 上截取线段CD
AB
=
，若D
恰好为CE 的中点，
2
AB =
，CE
a
=
，则代数式
2
2
2
2
3
1
3
4
a
a
a
a
a
-
-
-
＋
＋
＋
的值为________．
【答案】22
【分析】本题考查线段中点的定义和整式的化简求值，先根据线段相等关系和中点性质求出a的值，再对整
式进行化简后代入计算．首先由CD
AB
=
得出CD 的长度，结合D 是CE 中点求出CE 的长度即a的值，然后
对给定整式展开、合并同类项化简，最后代入a的值计算结果．
【详解】解：∵CD
AB
=
，
2
AB =
，
∴
2
CD =
；
∵D 为CE 的中点，
∴
2
CE
CD
=
，即
2 2
4
a =
´
=
．
2
2
2
2
3
1
3
4
a
a
a
a
a
+
-
-
-
+
+
2
2
2
2
6
2
3
3
12
a
a
a
a
a
=
+
-
-
+
-
+
9
14
a
=
-
．
将
4
a =
代入得：原式
9 4 14
36 14
22
= ´ -
=
-
=
；
故答案为：22 ．
【变式2】（25-26 七年级上·山东聊城·期末）已知
3
2
1
2
2013
2
3
x
y
+
=
，则
3
2
3
2
1
1
5
2
2
2026
2
3
3
x
y
xy
xy
x
y
æ
ö
æ
ö
+
+
-
-
-
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
______．
【答案】4013
【分析】本题考查的是整式的加减运算，化简求值．先去括号和合并同类项将式子化简，再整体代入即可.
【详解】解：
3
2
3
2
1
1
5
2
2
2026
2
3
3
x
y
xy
xy
x
y
æ
ö
æ
ö
+
+
-
-
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
3
2
3
2
1
1
5
2
2
2026
2
3
3
x
y
xy
xy
x
y
=
+
+
-
+
+
-
3
3
2
2
1
1
5
2
2
2026
2
3
3
x
x
y
y
xy
xy
æ
ö
æ
ö
=
+
+
+
+
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
3
2
3
2
2026
2 x
y
=
+
-
∵
3
2
1
2
2013
2
3
x
y
+
=
，
∴
3
2
3
2
3
1
2
2
3
3 2013
6039
2
2
3
x
y
x
y
æ
ö
+
= ´
+
= ´
=
ç
÷
è
ø
∴原式
6039
2026
4013
=
-
=
.
故答案为：4013
【变式3】（24-25 六年级上·山东烟台·期中）化简求值
(1)
2
2
2
2
5
3
2 2
6
a b
ab
a b
ab
-
-
-
，其中
1 ,
3
2
a
b
= -
=
(2)
2
3
5
4
3
x
y
xy
x
y
xy
-
+
-
-
-
，其中
3,
4
x
y
xy
+
= -
= -
【答案】(1)
2
2
3
a b
ab
-
，57
4
(2)
8
x
y
xy
+
+
，35
-
【分析】（1）先去括号，再合并同类项后，把a 和b 的值代入求值即可；
（2）先去括号，再合并同类项后，把x
y
+
和xy 的值代入求值即可．
【详解】（1）解：
2
2
2
2
5
3
2 2
6
a b
ab
a b
ab
-
-
-
2
2
2
2
5
15
4
12
a b
ab
a b
ab
=
-
-
+
2
2
3
a b
ab
=
-
，
当
1 ,
3
2
a
b
= -
=
时，
原式
2
2
1
1
3
3
3
2
2
æ
ö
æ
ö
= -
´ - ´ -
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
1
3
3
9
4
2
æ
ö
=
´ - ´ -
´
ç
÷
è
ø
3
27
4
2
=
+
57
4
=
；
（2）解：
2
3
5
4
3
x
y
xy
x
y
xy
-
+
-
-
-
2
3
5
4
3
x
y
xy
x
y
xy
=
-
+
-
+
+
8
x
y
xy
=
+
+
，
当
3,
4
x
y
xy
+
= -
= - 时，
原式
3
8
4
= - + ´ -
3 32
= - -
35
= -
．
【变式4】（21-22 七年级上·河南焦作·期中）先化简，再求值：
2
2
2
2
3
5
2
7
16
25
ab
b
a
ab
a
b
-
+
-
+
-
，其中
2
1
2
0
a
b
- +
+
=
．
【答案】
2
2
4
10
10
ab
a
b
-
-
+
，38
【分析】先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出a、b 的值，最后代值计算即可．
【详解】解：
2
2
2
2
3
5
2
7
16
25
ab
b
a
ab
a
b
-
+
-
+
-
2
2
2
2
15
6
7
16
25
3ab
b
a
ab
a
b
=
-
+
-
+
-
2
2
4
10
10
ab
a
b
-
-
=
+
，
∵
2
1
2
0
a
b
- +
+
=
，
∴
1
0
a- =
，
2
0
b +
=
，
解得：
1
a = ，
2
b = - ，
∴原式
2
2
4 1
2
10 1
10
2
8 10
40
38
-
=
´ ´ -
-
´
+
´ -
=
-
+
=
．
▌题型05 整式加减中的整除问题
判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多
项式（多项式的值为整数）乘积的形式.
【典例5】（25-26 七年级上·山东济宁·期末）已知一个三位数的自然数abc ，所有数位上的数字之和a
b
c
+
+
能被3 整除，关于这个三位数的说法正确的是（ ）
A．一定能被2 整除
B．一定能被3 整除
C．一定能被4 整除
D．一定能被5 整除
【答案】B
【分析】本题考查能被3 整除的数的判定，整式加减的应用，通过将三位数转化为代数式，结合已知条件推
导其整除性即可．
【详解】解：∵三位数
100
10
abc
a
b
c
=
+
+ ，
∴
99
9
abc
a
b
a
b
c
=
+
+
+
+
，
∵99a 、9b 均为3 的倍数，且a
b
c
+
+
能被3 整除，
∴abc 能被3 整除，
A 选项需个位为偶数，题中无此条件，错误．C 选项需后两位能被4 整除，题中无此条件，错误．D 选项需
个位为0 或5，题中无此条件，错误．
故选：B．
【变式1】（25-26 七年级上·河北石家庄·期末）如图，这是2025 年某月的日历，用
框随意圈出五个数，
所圈的五个数的和一定（ ）
A．能被2 整除
B．能被3 整除
C．能被4 整除
D．能被5 整除
【答案】D
【分析】本题考查了日历中的数字规律与整式的加减应用，关键是设出中间数，用代数式表示出其他四个数，
再求和分析整除性．
【详解】解：设中间的数为x ，则其余四个数分别为
7
x -
、
1
x- 、
1
x + 、
7
x +
．
五个数的和为：
7
1
1
7
5
x
x
x
x
x
x
-
+
-
+
+
+
+
+
=
，
∴所圈的五个数的和一定能被5整除；
故选：D．
【变式2】（23-24 七年级上·河北唐山·期末）一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字比个位数字大
3，把M 十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新两位数N，则M
N
+
的值总能( )
A．被3 整除
B．被9 整除
C．被11 整除
D．被22 整除
【答案】C
【分析】本题考查整式加减运算的应用，列代数式，先用含a 的式子表示出M 和N 的十位数字、个位数字，
进而表示出M
N
+
，即可求解．
【详解】解：由题意知，数字M 的个位数字是a，十位数字为
3
a + ，
数字N 的十位数字是a，个位数字为
3
a + ，
则
10
3
10
3
22
33
11 2
3
M
N
a
a
a
a
a
a
+
=
+
+
+
+
+
=
+
=
+
，
因此M
N
+
的值总能被11 整除，
故选C．
【变式3】（25-26 七年级上·河北沧州·期末）阅读材料并解答下列问题：
在小学，我们知道像12,27,45,108,L这样的自然数能被3 整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数
字之和能被3 整除，那么这个自然数就能被3 整除．你能说明其中的道理吗？先看两位数的情形，若一个两
位数的十位、个位上的数字分别为,a b ，则通常记这个两位数为ab，于是
10
9
ab
a
b
a
a
b
=
+
=
+
+
．显然9a
能被3 整除，因此，如果a
b
+
可以被3 整除，那么
9a
a
b
+
+
就能被3 整除，即ab能被3 整除．
(1)请你用类似的方法表示任意一个三位数；
(2)猜想一个三位数满足什么条件时能被9 整除？并说明理由；
(3)已知一个三位数的十位数上的数字比百位数上的数字的2 倍大3，个位上的数字是百位上数字的3 倍，这
个数能被3 整除吗？请说明理由．
【答案】(1)
100
10
abc
a
b
c
=
+
+
(2)
解：当一个三位数abc 满足a
b
c
+
+
可以被9 整除，则该三位数就能被9 整除．理由如下：
100
10
(99
)
(9
)
(99
9 )
(
)
abc
a
b
c
a
a
b
b
c
a
b
a
b
c
=
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
，
因为99a 和9b都能被9 整除，所以99
9
a
b
+
能被9 整除；
因此，如果a
b
c
+
+
可以被9 整除，那么abc 就能被9 整除
(3)
解：这个三位数能被3 整除，理由如下，
设这个百位数字为m，m为小于4 的正整数，则十位数字为2
3
m + ，个位数字为3m ，
\这个三位数为
100
10 2
3
3
123
30
3 41
10
m
m
m
m
m
+
+
+
=
+
=
+
，
m
Q
为正整数，
\这个三位数能被3 整除．
【分析】本题主要考查了整式的加减和数的整除，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据题意可得出三位数为百位数字100
´
+ 十位数字10
´
+ 个位数字，进而得解；
（2）仿照题干材料分解整式即可；
（3）将三位数表示出来，再分成3´一个整式即可得证．
【详解】（1）解：由题意可知三位数为百位数字100
´
+ 十位数字10
´
+ 个位数字，
设这个三位数百位数字为a，十位数字为b ，个位数字为c，
则
100
10
abc
a
b
c
=
+
+ ；
（2）略
（3）略
【变式4】（25-26 七年级上·河北唐山·期末）【问题背景】
阅读材料，了解代数推理．并解决如下问题：
设abcd 是一个四位数，如果a
b
c
d
+
+
+
可以被9 整除，那么这个数可以被9 整除．解答如下：
解：
1000
100
10
abcd
a
b
c
d
=
+
+
+
999
99
9
a
b
c
a
b
c
d
=
+
+
+
+ + +
9 111
11
a
b
c
a
b
c
d
=
+
+
+
+
+ +
．
因为111
11
a
b
c
+
+
是整数，所以
9 111
11
a
b
c
+
+
可以被9 整除．
因此，如果a
b
c
d
+
+
+
能被9 整除，那么abcd 能被9 整除．
【类比探究】
已知一个三位数，百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c．
（1）请用含a，b，c 的代数式表示三位数abc _________；
（2）请仿照【问题背景】中的代数推理方法验证：若a
b
c
+
+
可以被3 整除，则这个数可以被3 整除．
【应用】若四位数3 1
n m 能被9 整除，则m 与n 的和是_________．
【答案】（1）100
10
a
b
c
+
+
（2）证明：
100
10
abc
a
b
c
=
+
+
(99
9 )
(
)
a
b
a
b
c
=
+
+
+
+
3(33
3 )
(
)
a
b
a
b
c
=
+
+
+
+
∵33
3
a
b
+
是整数
∴
3 33
3
a
b
+
能被3 整除
又∵a
b
c
+
+
能被3 整除
∴abc 能被3 整除；
应用：5 或14
【分析】本题考查了数的整除，整式加减的应用，列代数式．
（1）依据三位数的数位计数规则写出代数式；
（2）参照问题背景的代数推理思路，将三位数拆分为含3 的倍数的部分与各位数字和的部分，结合整除的
性质完成验证；
应用部分：根据四位数能被9 整除的判定规则（各位数字之和能被9 整除），结合数字的取值范围确定m
与n 的和的可能值．
【详解】（1）解：
100
10
abc
a
b
c
=
+
+
（2）略
应用： 解：∵四位数3 1
n m 能被9 整除
∴3
1
n
m
+
+ +
能被9 整除
设3
1
9
n
m
k
+
+ +
=
（k 为正整数）
∵m、n 是0 到9 的整数
∴
4
9
m
n
+
+
=
或
4
18
m
n
+
+
=
当
4
9
m
n
+
+
=
时，
5
m
n
+
= ；
当
4
18
m
n
+
+
=
时，
14
m
n
+
=
答：m 与n 的和是5 或14．
▌题型06 整式加减中的无关型问题
若整式加减运算结果“不含某项”或整体的值“与某个字母的值无关”，实质是去括号，
合并同类项后，令该项的系数为0，从而求出待定字母的值.
【典例6】（23-24 六年级上·山东烟台·阶段检测）当k 为何值时，多项式
2
2
1
3
3
8
3
x
kxy
y
xy
æ
ö
-
-
+
-
ç
÷
è
ø
中不含
xy 项．
【答案】1
9
【分析】首先按照去括号、合并同类项的步骤进行运算，然后根据题意可得
1
3
0
3
k -
=
，求解即可获得答案．
【详解】解：原式
2
2
1
3
3
8
3
x
kxy
y
xy
=
-
-
+
-
2
2
1
3
3
8
3
x
k xy
y
æ
ö
=
+
-
-
-
ç
÷
è
ø
，
∵多项式
2
2
1
3
3
8
3
x
kxy
y
xy
æ
ö
-
-
+
-
ç
÷
è
ø 中不含xy 项，
∴1
3
0
3
k
-
=
，解得
1
9
k =
．
【变式1】（25-26 七年级上·山西吕梁·期末）小红做一道数学题：“两个多项式A ，B ，已知
2
4
5
6
B
x
y
=
-
-
，试求A
B
+
的值．”在求A
B
+
的值时，小红误将A
B
+
看成A
B
-
，结果答案为
2
10
12
ax
y
-
+
+
（计算过程正确）．
(1)若多项式A 的值与字母x 的取值无关，求多项式A ．
(2)在（1）的条件下，当
4
x = - 时，求A
B
+
的值．
【答案】(1)5
6
y +
．
(2)64
【分析】本题考查了整式的加减运算，求代数式的值，正确运算是解题的关键；
（1）根据加减运算互逆的关系，求得多项式A ，根据多项式A 的值与字母x 的取值无关，进而求得a的值；
（2）把
4
x = - 求得的A
B
+
中即可求解．
【详解】（1）解：因为
2
10
12
A
B
ax
y
-
= -
+
+
，且
2
4
5
6
B
x
y
=
-
-
，
所以
2
2
10
12
4
5
6
A
ax
y
x
y
= -
+
+
+
-
-
2
2
4
10
5
12
6
ax
x
y
y
= -
+
+
-
+
-
2
4
5
6
a x
y
=
-
+
+
．
因为整式A 的值与字母x 的取值无关，
所以4
0
a
-
= ，
所以
4
a =
，
所以多项式A 为5
6
y +
．
（2）解：
2
2
5
6
4
5
6
4
A
B
y
x
y
x
+
=
+
+
-
-
=
．
当
4
x = - 时，
2
4
4
64
A
B
´
+
=
-
=
．
【变式2】（25-26 七年级上·全国·期末）已知多项式
3
2
2
3
2
3
3
2
3
2
3
2
2
3
2
x
x y
xy
x
xy
y
x
x y
y
-
-
-
-
+
+ -
+
-
．
(1)这个多项式的值与x 的取值有关吗？请说明理由．
(2)当
2
y = - 时，求这个多项式的值．
【答案】(1)
这个多项式的值与x 的取值无关，理由如下：
3
2
2
3
2
3
3
2
3
2
3
2
2
3
2
x
x y
xy
x
xy
y
x
x y
y
-
-
-
-
+
+ -
+
-
3
2
2
3
2
3
3
2
3
2
3
2
2
3
2
x
x y
xy
x
xy
y
x
x y
y
=
-
-
-
+
-
-
+
-
3
3
3
2
2
2
2
3
3
2
3
3
2
2
2
x
x
x
x y
x y
xy
xy
y
y
=
-
-
+ -
+
+ -
+
+ -
-
3
3y
= -
．
∵化简的结果中不含关于x 的项，
∴原式的值与x 的取值无关；
(2) 24
【分析】本题考查了整式的加减化简求值，关键是利用运算法则进行计算；
（1）将多项式化简后进行说明；
（2）将字母的值代入代数式求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：当
2
y = - 时，原式
3
3
2
24
= - ´ -
=
．
【变式3】（25-26 七年级上·福建漳州·期末）定义新运算：
(
)
a
b
a a
b
Å
=
+
．例如：3
5
3 ( 3
5)
6
- Å
= - ´ - +
= - ．
(1)计算4
( 2)
Å -
的值；
(2)已知1
4
, 2
3
2
a
b
n
b
a
n
Å
=
+
- Å
=
-
，试说明
10
a
b
+
的值与n的取值无关．
【答案】(1)8；
(2)
10
a
b
+
的值为常数6，与n的取值无关．
【分析】本题考查新定义运算的应用以及整式的加减运算．
（1）直接根据新运算的定义，将对应数值代入公式计算即可；
（2）先利用新运算定义将两个等式展开，得到关于a、b 、n的方程，再通过消元法消去n，推导出
10
a
b
+
为固定常数，从而说明其与n无关．
【详解】（1）解：
4
2
4
4
2
4 2
8
é
ù
Å -
=
´
+ -
=
´
=
ë
û
；
（2）解：
1
1
1
1
a
a
a
Å
= ´
+
= +
Q
，
1
4
a
b
n
\ +
=
+
①；
2
2
2
2
4
b
b
b
- Å
= -
´ - +
= -
+
Q
，
2
4
3
2
b
a
n
\-
+
=
-
②；
将①2
´ + ②得：2
2
2
4
8
2
3
2
a
b
b
n
a
n
+
-
+
=
+
+
-
，
整理化简得：
10
6
a
b
+
=
；
10
a
b
\ +
的值为常数6，与n的取值无关．
【变式4】（25-26 七年级上·江西宜春·期末）已知代数式
2
2
4
P
m
mn
=
+
，
2
3
1
Q
m
mn
n
=
-
-
+ ．
(1)求
2
P
Q
-
；
(2)当m 取何值时，
2
P
Q
-
的值与n 无关．
【答案】(1)10
2
2
mn
n
+
-
(2)
1
5
m = -
【分析】本题考查了整式的加减运算及整式加减中的无关型问题．
（1）先计算2Q ，再将P 和2Q 的多项式代入
2
P
Q
-
计算，计算过程中通过去括号，合并同类项最终化简即
可；
（2）由
2
P
Q
-
的值与n 无关可知，含n 项的系数为0，将
2
P
Q
-
整理为“含n 项+ 常数项”的形式，提取公
因式n 后得到含n 项的系数为10
2
m +
，再令含n 项的系数等于0，解一元一次方程即可求得m 的值．
【详解】（1）解：∵
2
3
1
Q
m
mn
n
=
-
-
+ ，
∴
2
2
2
6
2
2
Q
m
mn
n
=
-
-
+ ，
∴
2
2
2
2
4
2
6
2
2
10
2
2
P
Q
m
mn
m
mn
n
mn
n
-
=
+
-
-
-
+
=
+
-
．
（2）解：∵
2
P
Q
-
的值与n 无关，
∴含n 项的系数为0，
∴
2
10
2
2
P
Q
m
n
-
=
+
-
，
∴10
2
0
m +
=
，解得
1
5
m = -
．
▌题型07 整式加减中的定值问题
【典例7】（25-26 七年级上·广东佛山·期末）已知
2
4
3
2
P
x
x
= -
+
- ，
2
2
1
Q
x
kx
=
-
+ ．
(1)当
2
x =
，
1
4
k =
时，计算
4
P
Q
+
的值；
(2)若无论x 代入何值，
4
P
Q
+
的值始终为一个定值，请求出这个定值和k 的值．
【答案】(1) 4
(2)定值为2 ，k 的值为3
8
【分析】本题考查整式加减运算与代数式的化简与求值，以及“定值问题”的处理思路．
（1）先代入
2
x =
，
1
4
k =
分别计算P 和Q ，再求
4
P
Q
+
的值．
（2）先化简
4
P
Q
+
，使其成为关于x 的一次多项式，再根据“无论x 取何值，值为定值”的条件，令含x 的项
的系数为0，从而求出k 和定值．
【详解】（1）解：当
2
x =
，
1
4
k =
时，
2
4 2
3 2
2
16
6
2
12
P = - ´
+ ´
-
= -
+
-
= -
，
2
1
2
2
2 1
4 1 1
4
4
Q =
- ´
´ + =
- + =
，
4
12
4 4
12 16
4
P
Q
\
+
= -
+ ´
= -
+
=
；
（2）解：
4
P
Q
+
2
2
4
3
2
4
2
1
x
x
x
kx
= -
+
-
+
-
+
2
2
4
3
2
4
8
4
x
x
x
kx
= -
+
-
+
-
+
3 8
2
k x
=
-
+
．
Q 无论x 取何值，
4
P
Q
+
的值为定值，
\含x 的项的系数为0，即3 8
0
k
-
=
，
解得
3
8
k =
，此时
4
2
P
Q
+
=
．
【变式1】（25-26 七年级上·河南周口·阶段检测）把正整数1，2，3，4…按如图1 所示的方式排列，从上到
下分别称为第1 行，第2 行，…，用图2 所示的方框在图1 中框住16 个数，把其中没有被阴影覆盖的四个
数分别记为A，B，C，D，设A
x
=
．
(1)在图1 中，2025 排在第________行第________列；
(2) A
B
C
D
-
+
-
的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由；
(3)将图1 中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变．此时A
B
C
D
+
-
-
的值是否为定值？如果是，请求出它
的值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)254，1
(2) A
B
C
D
-
+
-
的值为定值，这个定值为0
(3) A
B
C
D
+
-
-
的值不是定值，理由见解析
【分析】本题考查规律型问题，需要用代数式表示出一般规律，并能构建等式通过解简易方程求值，解题的
关键是理解题意，探究规律、利用规律解决问题，探究复杂问题中的等量关系．
（1）由题意知8 个数为一行，每一行的第一个数是8
(
´ 行数1) 1
-
+ ，后面的数依次加1，由此规律可判断
2025 所在的位置；
（2）根据图表，用含有x 的代数式分别表示A、B、C、D，即可得出结论；
（3）分A 表示的数为奇数或偶数两种情况进行讨论即可求解．
【详解】（1）解：2025
8
253
1
¸
=
KK ，
故2025 在第254 行，第1 列；
故答案为：254，1；
（2）解：A
B
C
D
-
+
-
是定值．
由题知，
A
B
C
D
-
+
-
(
24)
27
(
3)
x
x
x
x
=
-
+
+
+
-
+
24
27
3
x
x
x
x
=
-
-
+
+
-
-
0
=
，
∴A
B
C
D
-
+
-
的值为定值，这个定值为0．
（3）解：A
B
C
D
+
-
-
不是定值．理由：
当x 是奇数时，
A
B
C
D
+
-
-
24
3
27
x
x
x
x
= - + - -
-
+
-
+
4
54
x
= -
-
；
当x 是偶数时，
A
B
C
D
+
-
-
24
3
27
x
x
x
x
=
+
+
- - -
- - -
4
54
x
=
+
.
【变式2】（25-26 七年级上·广东湛江·期末）已知无论x，y 取什么值，多项式
2
2
3
9
5
3
x
my
nx
y
-
+
-
+
-
的值都等于定值12，求m
n
+
的值．
【答案】2
-
【分析】本题主要考查了整式加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算法则是解题的关键．
先把原多项式
2
2
3
9
5
3
x
my
nx
y
-
+
-
+
-
化简，再由无论x，y 取什么值，多项式的值都等于定值12，即可
求解．
【详解】解：
2
2
3
9
5
3
x
my
nx
y
-
+
-
+
-
2
2
3
9
5
3
x
my
nx
y
=
-
+
-
-
+
2
(3
)
(
5)
12
n x
m
y
=
-
-
+
+
∵多项式
2
2
3
9
5
3
x
my
nx
y
-
+
-
+
-
的值都等于定值12，
3
0,
5
0,
n
m
\ -
=
+
=
解得：
3,
5
n
m
=
= - ，
5
3
2
m
n
\
+
= - +
= - ．
【变式3】（25-26 七年级上·安徽芜湖·期末）图1 是2026 年1 月份的月历，用图2 所示的“九方格”在图1
中框住9 个日期，并把其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为a，b，c，d．
(1)a
d
+
b
c
+
（选填“ >”“<”或“ =”）．
(2)当图2 在图1 的不同位置时，式子
2
4
3
a
b
c
d
-
+
-
的值是否为定值？若是，求出它的值；若不是，请说明
理由．
【答案】(1) =
(2)代数式
2
4
3
a
b
c
d
-
+
-
的值是定值，其定值为68
-
【分析】此题考查列代数式及整式加减的应用，解题的关键是理解题意，弄清楚数字的排列规律．
（1）分别用含n的式子表示a、b 、c、d ，列出代数式，化简后比较即可得出结论；
（2）分别用含n的式子表示a、b 、c、d ，列出代数式，化简后即可解决问题．
【详解】（1）解：设a
n
=
（n为正整数），则
14
b
n
=
+
，
2
c
n
=
+
，
16
d
n
=
+
，
则：
16
2
16
a
d
n
n
n
+
=
+
+
=
+
，
14
2
2
16
b
c
n
n
n
+
=
+
+
+
=
+
，
\a
d
b
c
+
=
+
，
故答案为：=；
（2）解：代数式
2
4
3
a
b
c
d
-
+
-
的值是定值，理由如下：
设a
n
=
（n为正整数），则
14
b
n
=
+
，
2
c
n
=
+
，
16
d
n
=
+
，
\
2
4
3
a
b
c
d
-
+
-
2
14
4
2
3
16
n
n
n
n
=
-
+
+
+
-
+
2
28
4
8
3
48
n
n
n
n
=
-
-
+
+ -
-
2
4
3
28
8
48
n
n
n
n
=
-
+
-
-
+ -
68
= -
Q
68
-
为定值，
\
2
4
3
a
b
c
d
-
+
-
的值为定值，其定值为68
-
．
▌题型08 整式加减中的错解问题
技巧1：我们一般按照“将错就错”的原则解题，先依照错误的解法得到正确的代数式，
然后再将正确的代数式代入求解.
技巧2：若给定字母写错但得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关．
【典例8】（25-26 七年级上·河北衡水·期末）嘉嘉在计算两个多项式的差A
B
-
时，误将连接两个多项式之
间的“ -”号抄错为“ + ”号，结果求得A
B
+
的结果为
2
4
C
x
x
=
+
，若
2
1
1
2
A
x
x
=
+
- ．
(1)先求出多项式B ，再求A
B
-
的结果；
(2)淇淇想不求B ，利用已知条件直接求A
B
-
的结果，经过思考，她写出了如图不完整的解题过程：
因为A
B
C
+
=
，
所以B
C
A
=
-
，
所以A
B
-
= __？___
（用含
,
A C 的式子表
示）．
……
①方框中“？”处的内容为_____；
②请将解题过程补充完整．
【答案】(1)
2
1
3
1
2
B
x
x
=
+
+ ；
2
2
-
= -
-
A
B
x
(2)①2A
C
-
；
②
2
2
1
4 ,
1
2
C
x
x A
x
x
=
+
=
+
-
Q
，
2
2
1
2
2
1
4
2
A
B
A
C
x
x
x
x
æ
ö
\
-
=
-
=
+
-
-
+
ç
÷
è
ø
2
2
2
2
4
x
x
x
x
=
+
-
-
-
2
2
x
= -
-
．
【分析】本题考查了整式的加减，熟练计算是解题的关键．
（1）根据题意可得B
C
A
=
-
，再求得A
B
-
的结果；
（2）①根据代入消元法即可解答；
②根据整式的加减即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得
2
2
2
1
1
4
1
3
1
2
2
B
C
A
x
x
x
x
x
x
æ
ö
=
-
=
+
-
+
-
=
+
+
ç
÷
è
ø
，
则
2
2
1
1
1
3
1
2
2
A
B
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
-
=
+
-
-
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
2
2
1
1
1
3
1
2
2
x
x
x
x
=
+
- -
-
-
2
2
x
= -
-
；
（2）解：①根据题意可得
2
A
B
A
C
A
A
C
-
=
-
-
=
-
；
故答案为：2A
C
-
；
②略
【变式1】（21-22 七年级上·江苏无锡·期中）马虎的李明在计算多项式M 加上
2
3
7
x
x
-
+
时，因错看成加
上
2
3
7
x
x
+
+
，尽管计算过程没有错误，也只能得到一个错误的答案为
2
5
2
4
x
x
+
-
．
（1）求多项式M；
（2）求出本题的正确答案．
【答案】（1）
2
4
11
M
x
x
=
-
-
；（2）
2
5
4
4
x
x
-
- ．
【分析】（1）根据错误的结果减去
2
3
7
x
x
+
+
，去括号合并表示出多项式M 即可；
（2）由表示出的M 加上
2
3
7
x
x
-
+
，去括号合并即可得到正确的答案．
【详解】解：（1）根据题意列得：
2
2
5
2
4
(
3
7)
M
x
x
x
x
=
+
-
-
+
+
2
2
5
2
4
3
7
x
x
x
x
=
+
-
-
-
-
2
4
11
x
x
=
-
-
，
即
2
4
11
M
x
x
=
-
-
；
（2）正确答案为：
2
2
4
11
(
3
7)
x
x
x
x
-
-
+
-
+
2
2
4
11
3
7
x
x
x
x
=
-
-
+
-
+
2
5
4
4
x
x
=
-
-
，
即正确答案为
2
5
4
4
x
x
-
- ．
【点睛】此题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本
题的关键．
【变式2】（24-25 六年级上·山东烟台·期末）有这样一道计算题∶“计算
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
7
7
x y
x y
x y
y
x y
y
x y
é
ù
+
-
-
-
+
-
ë
û
的值，其中
1 ,
1
2
x
y
=
= - ．小明同学把“
1
2
x =
”错看成
“
1
2
x = -
”，但计算结果仍正确；小颖同学把“
1
y
-
=
”错看成“
1
y = ”，计算结果也是正确的，你知道其中的道
理吗？请加以说明．
【答案】
解：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
7
7
x y
x y
x y
y
x y
y
x y
é
ù
+
-
-
-
+
-
ë
û
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
7
7
7
7
x y
x y
x y
y
x y
y
x y
=
+
-
+
-
-
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
7
7
7
7
x y
x y
x y
y
x y
y
x y
=
+
-
+
-
-
+
2
6y
= -
；
∵化简结果中不含x 项，
∴小明同学把“
1
2
x =
”错看成“
1
2
x = -
”，但计算结果仍正确；
又∵化简结果中是“
2y ”，“1”、“ 1
- ”的平方是一样的，
∴小颖同学把“
1
y
-
=
”错看成“
1
y = ”，计算结果也是正确的．
【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，先把原式去括号，合并同类项得
2
6y
-
，根据结果进行说明即
可．
【详解】略
【变式3】（25-26 七年级上·山西临汾·阶段检测）在整式的加减练习课中，小嘉将“ 2A
B
+
”错看成
“ 2A
B
-
”，得到的结果是
2
2
4
3
a b
ab
-
，已知
2
2
3
2
A
a b
ab
=
-
．
(1)求整式B ；
(2)求2A
B
+
的正确结果．
【答案】(1)
2
2
2
B
a b
ab
=
-
(2)
2
2
2
8
5
A
B
a b
ab
+
=
-
【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号、合并同类项的法则是解题的关键．
（1）根据错误的运算式，结合A 的表达式，反向计算求出B ；
（2）将A 和求出的B 代入2A
B
+
，进行整式的加减运算；
【详解】（1）解：∵小嘉将“ 2A
B
+
”错看成“ 2A
B
-
”，得到的结果是
2
2
4
3
a b
ab
-
，
2
2
3
2
A
a b
ab
=
-
∴
2
2
2
4
3
B
A
a b
ab
=
-
-
2
2
2
2
2 3
2
4
3
a b
ab
a b
ab
=
-
-
+
2
2
2
2
6
4
4
3
a b
ab
a b
ab
=
-
-
+
2
2
2a b
ab
=
-
；
（2）解：
2
2
2
2
2
2 3
2
2
A
B
a b
ab
a b
ab
+
=
-
+
-
2
2
2
2
6
4
2
a b
ab
a b
ab
=
-
+
-
2
2
8
5
a b
ab
=
-
．
【变式4】（24-25 七年级上·上海·阶段检测）马虎同学在计算一个多项式A 减去另一个多项式
2
2
5
3
x
x
+
- 时，
错将减号抄成了加号，于是他得到的结果是
2
3
7
x
x
+
-
，请问如果不抄错，正确答案该是多少？
【答案】
2
3
7
1
x
x
-
-
-
【分析】本题考查了整式的加减运算，根据题意可求出多项式A ，再正确列出算式计算即可求解，掌握整式
的加减运算法则是解题的关键．
【详解】解：由题意可知：
2
2
2
5
3
3
7
A
x
x
x
x
+
+
-
=
+
- ，
∴
2
2
2
3
7
2
5
3
2
4
A
x
x
x
x
x
x
=
+
-
-
+
-
= -
-
-
，
∴正确答案为：
2
2
2
2
2
2
4
2
5
3
2
4
2
5
3
3
7
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
-
-
+
-
= -
-
-
-
-
+
= -
-
- ．
▌题型09 整式加减中的污染问题
【典例9】（25-26 七年级上·河北石家庄·期末）老师在黑板上写下了关于x 的多项式混合运算，随后用一张
纸板挡住了一个多项式，形式如下：
2
3 2
1
2
1
x
x
x
-
+
=
+
+
▆
．
(1)求被遮挡的多项式；
(2)当
1
2
x = -
时，求被遮挡部分多项式的值．
【答案】(1)
2
4
4
x
x
-
+
(2) 25
4
【分析】本题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键．
（1）列式表示出被遮挡的多项式，化简即可；
（2）把
1
2
x = -
代入（1）中结果求值即可；
【详解】（1）解：被遮挡的多项式
2
2
1
3 2
1
x
x
x
=
+
+
-
-
2
2
1 6
3
x
x
x
=
+
+ -
+
2
4
4
x
x
=
-
+
．
（2）解：当
1
2
x = -
时，
2
4
4
x
x
-
+
2
1
1
4
4
2
2
æ
ö
æ
ö
= -
- ´ -
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
2
4
4
=
+
+
25
4
=
．
【变式1】（21-22 七年级上·辽宁鞍山·期中）印卷时，工人不小心把一道化简题前面的一个数字遮住了，结
果变成■
2
2
2
2
2
3
4
[5
2(
)
]
5
3
2
3
x y
xy
xy
x y
xy
xy
-
-
-
+
-
+
.
(1)某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？
(2)老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式
2
4
3
x y
-
的系数和次数之积”，那么被遮挡住的数字是几？
(3)若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？
【答案】(1)
2
13x y
(2) 4
-
(3) 3
-
【分析】（1）把“■”换成10，原式去括号合并即可得到结果；
（2）求出单项式的系数和次数之积，确定出遮挡部分即可；
（3）设遮挡部分为a，原式去括号合并后，根据化简结果为常数，确定出a 的值即可．
【详解】（1）解：根据题意得：原式＝
2
2
2
2
2
3
4
10
[5
2(
)
]
5
3
2
3
x y
xy
xy
x y
xy
xy
-
-
-
+
-
+
＝
2
2
2
2
4
4
10
5
3
5
3
3
x y
xy
xy
x y
xy
xy
-
-
+
+
+
＝
2
13x y ；
（2）解：是单项式
2
4
3
x y
-
的系数和次数之积为：
4
3
4
3
-
´ = - ，
答：遮挡部分应是4
- ；
（3）解：设遮挡部分为a，
原式＝
2
2
2
2
2
3
4
[5
2(
)
]
5
3
2
3
ax y
xy
xy
x y
xy
xy
-
-
-
+
-
+
＝
2
2
2
2
4
4
5
3
5
3
3
ax y
xy
xy
x y
xy
xy
-
-
+
+
+
＝
2
(
3)
a
x y
+
；
因为结果为常数，所以
3
0
a +
=
所以遮挡部分为3
- ．
【点睛】此题考查了整式的加减和代数式的值与字母无关问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式2】（25-26 七年级上·河北唐山·期末）学习了整式的加减后，李明准备解答题目“已知M，N 是两个
整式，
2
3
9
M
a
a
=
-
+
●
，
2
3
3
4
N
a
a
=
-
-
，求M
N
-
的值”时，发现整式M 中含
2
a 的项的系数（题中的“●”
处）被墨水污染了，模糊不清．
(1)若被墨水污染的数字为5，请求出M
N
-
的值；
(2)李明向同学了解到被墨水污染的数字后，求得M
N
-
的值为常数，请直接写出被墨水污染的数字．
【答案】(1)
2
2
13
a +
(2)3
【分析】本题考查整式的加减，整式加减的无关型问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据整式加减法的运算法则计算即可；
（2）根据整式加减法的运算法则得
2
3
13
a
-
+
●
，又因为M
N
-
的值为常数，得被墨水污染的数字为3，
进而计算即可．
【详解】（1）解：依题意，
2
5
3
9
M
a
a
=
-
+
，
2
3
3
4
N
a
a
=
-
-
，
则M
N
-
2
2
5
3
9
3
3
4
a
a
a
a
=
-
+
-
-
-
2
2
5
3
9
3
3
4
a
a
a
a
=
-
+
-
+
+
2
2
13
a
=
+
；
（2）解：依题意，M
N
-
2
2
3
9
3
3
4
a
a
a
a
=
-
+
-
-
-
●
2
2
3
9
3
3
4
a
a
a
a
=
-
+
-
+
+
●
2
2
3
3
3
4
9
a
a
a
a
=
-
-
+
+
+
●
2
3
13
a
=
-
+
●
，
∵M
N
-
的值为常数，
∴
3
0
-
=
●
，
∴
3
=
●
．
【变式3】（22-23 七年级上·江西宜春·期末）已知一道整式化简题：■
2
2
2
2
2
3
4
5
2
5
3
2
3
x y
xy
xy
x y
xy
xy
é
ù
æ
ö
-
-
-
+
-
+
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
，其中“■”处的系数被墨水污染了．请根据如图所示的对话解答
下列问题．
(1)请你根据冰墩墩猜的数字化简该式；
(2)请你根据雪容融的对话，求出■所表示的数字是多少？
【答案】(1)
2
13x y
(2) 3
-
【分析】（1）直接将10 代入“■”化简即可；
（2）先去括号合并同类项，然后令不含项的系数等于0 求解即可．
【详解】（1）根据题意，原式＝
2
2
2
2
2
3
4
10
5
2
5
3
2
3
x y
xy
xy
x y
xy
xy
é
ù
æ
ö
-
-
-
+
-
+
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
＝
2
2
2
2
4
4
10
5
3
5
3
3
x y
xy
xy
x y
xy
xy
é
ù
-
+
-
-
+
ê
ú
ë
û
＝
2
2
2
2
4
4
10
5
3
5
3
3
x y
xy
xy
x y
xy
xy
-
-
+
+
+
＝
2
13x y
（2）设■所表示的数字是a，则
原式＝
2
2
2
2
4
4
5
3
5
3
3
ax y
xy
xy
x y
xy
xy
é
ù
-
+
-
-
+
ê
ú
ë
û
＝
2
2
2
2
4
4
5
3
5
3
3
ax y
xy
xy
x y
xy
xy
-
-
+
+
+
＝
2
3
a
x y
+
因为化简结果为常数，所以
3
0
a +
=
，
3
a = -
所以■所表示的数字是3
-
【点睛】本题考查了整式的加减－－－无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无
关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0，由此建立方程求解．
▌题型10 整式加减中的比较大小问题
多项式比较大小常用的方法为作差法.作差法实质上是把两个式子的大小比较转化为一
个式子（或数）与0 的大小比较.
【典例10】（25-26 七年级上·安徽六安·阶段检测）【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法
比较两个实数或代数式的大小：
若
0
a
b
-
>
，则a
b
>
；
若
0
a
b
-
=
，则a
b
=
；
若
0
a
b
-
<
，则a
b
<
．
(1)【理解】若
3
10
0
x
y
-
+
>
，比较代数式
6
x +
和3
4
y -
的大小；
(2)【运用】若
2
2
5 ,
2
5
4
P
m
n Q
m
n
=
+
=
+
+
，试比较
,
P Q 的大小．
【答案】(1)
6
3
4
x
y
+
>
-
(2) P
Q
<
【分析】（1）利用作差法求解即可；
（2）利用作差法求解即可．
【详解】（1）解：因为
6
3
4
6
3
4
3
10
0
x
y
x
y
x
y
+
-
-
=
+
-
+
=
-
+
>
，
所以
6
3
4
0
x
y
+
-
-
>
，
所以
6
3
4
x
y
+
>
-
；
（2）解：
2
2
2
2
2
5
2
5
4
5
2
5
4
4
P
Q
m
n
m
n
m
n
m
n
m
-
=
+
-
+
+
=
+
-
-
-
= -
-
，
因为
2
0
m ³
，
则
2
0
m
-
£
，
所以
2
4
0
m
-
-
<
，
即
0
P
Q
-
<
，
所以P
Q
<
．
【变式1】（25-26 七年级下·广西南宁·开学考试）对于两个有理数a，b 的大小比较，有下面的方法：
若
0
a
b
-
>
，则a
b
>
；若
0
a
b
-
=
，则a
b
=
；若
0
a
b
-
<
，则a
b
<
；我们把这种比较两个数大小的方法叫做
“作差法”．
(1)分别求出图1 中长方形的周长
1
C 和图2 中长方形的周长
2
C ；
(2)若a
b
>
，请用“作差法”比较
1
C ，
2
C 的大小．
【答案】(1)
1
8
2
C
a
b
=
+
，
2
6
4
C
a
b
=
+
(2)
1
2
C
C
>
【分析】（1）根据长方形的周长等于长加宽的和再乘2，即可作答．
（2）根据
1
8
2
C
a
b
=
+
，
2
6
4
C
a
b
=
+
，列式
2
1
2
2b
C
C
a
-
=
-
，再结合a
b
>
，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，长方形A 的周长
1
3
2
2
8
2
C
a
b
a
b
a
b
=
- +
+
´
=
+
，
长方形B 的周长
2
2
2
6
4
C
a
b
a
b
a
b
=
+
+
+
´
=
+
，
（2）解：由（1）得
1
8
2
C
a
b
=
+
，
2
6
4
C
a
b
=
+
，
则
1
2
C
C
-
8
2
6
4
a
b
a
b
=
+
-
+
8
2
6
4
a
b
a
b
=
+
-
-
2
2
a
b
=
-
，
∵a
b
>
，
∴
0
a
b
-
>
，
∴
1
2
2
2
2
0
C
C
a
b
a
b
-
=
-
=
-
>
，
∴
1
2
C
C
>
．
【变式2】（25-26 七年级上·山东威海·期末）【知识背景】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两
个数或式的大小，“作差法”是常用的比较方法之一．例如：要比较M 与N 的大小，只要作出它们的差
M
N
-
，若
0
M
N
-
>
，则M
N
>
；若
0
M
N
-
=
，则M
N
=
；若
0
M
N
-
<
，则M
N
<
．
【类比应用】请用“作差法”解决下列问题：
(1)比较
6
7
-
和
7
8
-
的大小．
(2)春节将至，某电商在促销活动期间，客服在为买家包装商品时用到长、宽、高分别为a 厘米、b 厘米、c
厘米的箱子，准备采用如图所示的甲、乙、丙三种打包方式，所需打包带的长度分别为l甲，l乙，l丙（每条打
包带绕一圈，且不计接头处的长）．
①用含a、b、c 的代数式分别表示l甲，l乙，l丙．
②当a
b
c
>
>
时，这三种打包方式中，哪种方式最节省打包带？请说明理由．
【答案】(1)
6
7
7
8
-
> -
(2)①
4
2
6
l
a
b
c cm
=
+
+
甲
，
4
4
4
l
a
b
c cm
=
+
+
乙
，
2
4
6
l
a
b
c cm
=
+
+
丙
；
②丙种方式最节省打包带，证明如下：
(4
2
6 )
(2
4
6 )
a
b
c
a
b
c
+
+
-
+
+
4
2
6
2
4
6
a
b
c
a
b
c
=
+
+
-
-
-
2
2
a
b
=
-
，
a
b
>
Q
，
0
a
b
\ -
>
，
2
2
0
a
b
\
-
> ，
(4
2
6 )
(2
4
6 )
a
b
c
a
b
c
\
+
+
>
+
+
，
\丙种方式比甲节省打包带．
(2
4
6 )
(4
4
4 )
a
b
c
a
b
c
+
+
-
+
+
2
4
6
4
4
4
a
b
c
a
b
c
=
+
+
-
-
-
2(
)
c
a
=
-
，
a
c
>
Q
，
0
c
a
\ -
<
，
2(
)
0
c
a
\
-
<
，
(4
4
4 )
(2
4
6 )
a
b
c
a
b
c
\
+
+
>
+
+
，
\丙种方式比乙节省打包带．
综上所述，丙种方式最节省打包带．
【分析】本题主要考查列代数式，整式的加减运算，解题的关键是理解题意，正确列出代数式．
（1）利用求差法比较大小即可；
（2）①根据图形列出代数式即可；②利用求差法比较大小即可．
【详解】（1）解：
6
7
7
8
æ
ö
-
- -
ç
÷
è
ø
1
0
56
=
>
6
7
7
8
\-
> -
（2）解：①
2 2
2
4
2
6
l
a
c
b
c
a
b
c cm
=
´
+
+
+
=
+
+
甲
，
2
2
2
4
4
4
l
a
b
b
c
a
c
a
b
c cm
=
+
+
+
+
+
=
+
+
乙
，
2
2 2
2
4
6
l
a
c
b
c
a
b
c cm
=
+
+ ´
+
=
+
+
丙
，
②略
【变式3】（25-26 七年级上·陕西西安·开学考试）下图中，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的
大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长
比宽多6 厘米，问：图（1），图（2）中阴影区域的周长哪个大？大多少？
【答案】图（1）中阴影区域的周长大，大12 厘米
【分析】本题主要考查了整式加减的应用，根据题意得到
6
AB
a
CD
=
-
=
厘米是解题的关键．
设小长方形的长为a，宽为b，由图（2）得：大长方形的长为
2
a
b
+
，大长方形的宽为
2b
CD
+
，AB
a
CD
=
-
，
再由大长方形的长比宽多6 厘米，可得
6
AB
a
CD
=
-
=
厘米，从而得到图（2）中阴影部分的周长为
2
2
2
6
6
2 2
4
12
a
b
a
b
a
b
+
+
+
-
-
=
+
-
厘米，图（1）中阴影部分的周长为
2
2
2
6
2 2
4
6
a
b
a
b
a
b
+
+
+
-
=
+
-
厘米，即可求解．
【详解】解：设小长方形的长为a 厘米，宽为b 厘米，
由图（2）得：大长方形的长为
2
a
b
+
厘米，大长方形的宽为
2b
CD
+
厘米，AB
a
CD
=
-
，
∵大长方形的长比宽多6 厘米，
∴
2
6
2
b
C
b
D
a
-
+
+
=
，大长方形的宽为
2
6
a
b
+
-
厘米，
∴
6
AB
a
CD
=
-
=
厘米，
∴图（2）中阴影部分的周长为
2
2
2
6
6
2 2
4
12
a
b
a
b
a
b
+
+
+
-
-
=
+
-
厘米，
图（1）中阴影部分的周长为
2
2
2
6
2 2
4
6
a
b
a
b
a
b
+
+
+
-
=
+
-
厘米，
∵
2 2
4
6
2 2
4
12
12
a
b
a
b
+
-
-
+
-
=
厘米，
∴图（1）中阴影区域的周长大，大12 厘米．
【变式4】（25-26 七年级上·江苏盐城·期末）对于两个有理数,a b 的大小比较，有下面的方法：
若
0
a
b
-
>
，则a
b
>
；若
0
a
b
-
=
，则a
b
=
；若
0
a
b
-
<
，则a
b
<
；我们把这种比较两个数大小的方法叫做
“作差法”．
【尝试】
（1）当
0
a >
时，请用作差法比较代数式
2
3
8
3
a
a
+
+
与
2
3
7
1
a
a
+
+ 的大小；
【应用】
（2）①若
2
2
6
5,
2
4
5
A
x
nx
B
mx
x
=
-
+
=
-
+ ，无论x 取何值，总有A
B
=
，则m =_____，n =______；
②若
2
4
9
A
x
= -
+
，无论x 取何值，总有A
B
<
，则B 所表示的代数式可以是____．（写出一个符合条件的即
可）
【答案】（1）
2
2
3
8
3
3
7
1
a
a
a
a
+
+
>
+
+
（2）①3，4 ；②
2
4
10
x
-
+
（答案不唯一）
【分析】本题考查的是整式的加减运算，非负数的性质．
（1）计算
2
2
3
8
3
3
7
1
a
a
a
a
+
+ -
+
+
，根据结果可得答案；
（2）①由
2
2
6
5
2
4
5
x
nx
mx
x
-
+
=
-
+
恒成立，可得2
6
m =
且
4
n
- = - ，进一步可得答案；②由A
B
<
，可令
1
B
A
=
+ ，从而可得答案．
【详解】解：（1）
2
2
3
8
3
3
7
1
a
a
a
a
+
+ -
+
+
2
2
3
8
3
3
7
1
a
a
a
a
=
-
+
+ -
-
2
a
=
+
，
∵
0
a >
，
∴
2
0
a +
>
，
∴
2
2
3
8
3
3
7
1
a
a
a
a
+
+
>
+
+ ．
（2）①∵
2
2
6
5,
2
4
5
A
x
nx
B
mx
x
=
-
+
=
-
+ ，A
B
=
，
∴
2
2
6
5
2
4
5
x
nx
mx
x
-
+
=
-
+
恒成立，
∴2
6
m =
且
4
n
- = - ，
解得：
3
m =
，
4
n =
；
②∵
2
4
9
A
x
= -
+
，无论x 取何值，总有A
B
<
，
∴B 可以为：
2
1
4
10
A
x
+ = -
+
（答案不唯一）．
