文档文本内容
培优专题01 与整式概念有关的问题
（题型突破·举一反三）
题型01 单项式的识别
题型02 利用单项式的相关概念求值
题型03 多项式的相关概念
题型04 利用多项式的相关概念求解
题型05 整式的识别
题型06 将多项式按某个字母升幂/降幂排列
题型07 写出满足特征的单项式/多项式
题型08 单项式的规律探究问题
题型09 多项式的规律探究问题
▌题型01 单项式的识别
判断一个式子是否是单项式，关键是看式子中数字与字母、字母与字母之间是否只有乘法运算(包括乘方运
算)和数字作分母的除法运算，如果含其他运算就不是单项式，还要注意是不是常数.
【典例1】（25-26 六年级下·四川成都·期中）下列式子中是单项式的是（ ）
A．
3
15a
b
-
+
B．3
b
C．2
5
x
y
-
D．a
-
【答案】D
【分析】单项式的定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单
项式的和为多项式，分母含有字母的代数式不是单项式．
【详解】解：A、
3
15a
b
-
+
是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求；
B、3
b 的分母含有字母，不是数与字母的积，不是单项式，不符合要求；
C、2
2
1
5
5
5
x
y
x
y
-
æ
ö
=
+ -
ç
÷
è
ø，是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求；
D、a
- 是1
- 与a的积，符合单项式的定义，符合要求．
【变式1】（2026·上海奉贤·三模）下列代数式中，不是单项式的是（ ）
A．
3
a
B．3a
C．3
a
D．
3
a +
【答案】D
【分析】本题考查单项式的概念，根据单项式的定义判断各选项即可，单项式是数或字母的乘积，单独的数
或字母也是单项式，多个单项式的和为多项式．
【详解】解：A.
3
a 是符合单项式定义，属于单项式；
B.3a 是数与字母的积，属于单项式；
C. 3
a 是1
3 与a的积，属于单项式；
D.
3
a + 是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式．
【变式2】（21-22 七年级上·吉林长春·期中）下列代数式①2x
-
，②
1
2
x + ，③4
x ，④0，⑤π
x 中，单项式
有_____．（填序号）
【答案】
①③④⑤
【分析】明确1
π 是常数. 利用单项式的定义逐一判断即可.
【详解】解：由单项式的定义可知，数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫
做单项式.
①2x
-
是数与字母的积，属于单项式；
②
1
2
x + 可化为1
1
2
2
x +
，是多项式，不属于单项式；
③4
x 是1
4 与x 的积，属于单项式；
④0 是单独的一个数，属于单项式；
⑤1
π 是常数，不是字母，因此x
p 是1
p 与x 的积，属于单项式.
【变式3】（21-22 七年级上·四川泸州·期末）在代数式
2
5
3
2 x
x
-
，π，2
vt ，
2
2x y ，a，0，
1
2
n + ，
2
2
-
中，
单项式的个数是（）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【分析】根据单项式的定义，逐个判断给定代数式，统计符合定义的单项式个数即可得到答案，用到的定义
为，数或字母的积组成的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式．
【详解】解：∵
2
5
3
2 x
x
-
是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式；
∵p 是单独的常数，是单项式；
∵2
vt 是单项式；
∵
2
2x y 是数与字母的积，是单项式；
∵a是单独的字母，是单项式；
∵0是单独的数，是单项式；
∵
1
1
1
2
2
2
n
n
+ =
+
，是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式；
∵
2
2
4
-
=
，是单独的数，是单项式；
∴符合定义的单项式共6 个．
【变式4】（24-25 七年级上·全国·课后作业）判断下列各式是不是单项式，是单项式的写出其系数和次数．
(1)
4
x
-
；
(2)
2
3
1
2 a b c
-
；
(3)
3
2
2 x yz
-
；
(4)
2
2
3
3 10 m n
- ´
；
(5) π
a ；
(6)2
3
a - ；
(7) 2024
x
．
【答案】(1)是单项式，系数是1
- ，次数是4．
(2)是单项式，系数是
1
2
-
，次数是6．
(3)是单项式，系数是
3
2
-
，次数是4．
(4)是单项式，系数是
2
3 10
- ´
，次数是5．
(5)是单项式，系数是1
p ，次数是1．
(6)不是单项式．
(7)不是单项式．
【分析】本题主要考查了单项式．熟知数或字母的积组成的式子叫做单项式；单项式中的数字因数叫做单项
式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，这是解答本题的关键．
（1）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可；
（2）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可；
（3）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可；
（4）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可；
（5）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可，其中π 是表示圆周率，是
数字不是字母；
（6）是多项式，不是单项式；
（7）不是单项式．
【详解】（1）是单项式，系数是1
- ，次数是4．
（2）是单项式，系数是
1
2
-
，次数是6．
（3）是单项式，系数是
3
2
-
，次数是4．
（4）是单项式，系数是
2
3 10
- ´
，次数是5．
（5）是单项式，系数是1
p ，次数是1．
（6）不是单项式．
（7）不是单项式．
▌题型02 利用单项式的相关概念求值
单项式、多项式中的字母可能是真正的字母，也可能是待确定的参数，分辨时要注意题
目中的关
键词“关于”，口诀:“关于谁，谁就是真正的字母.”，如
2
2ax y
-
是关于x，y 的三次式，这时系数是
-2a，若是关于x 的单项式则它是二次单项式，系数是-2ay；若是关于y 的单项式，则它是一次单项式，系
数是
2
2ax
-
.
【典例2】（25-26 七年级上·湖南常德·期末）已知
2
3
3
3
m
x
y
-
是四次单项式，则m的值是______．
【答案】2
【分析】本题考查了单项式，掌握单项式中所有字母的指数之和为次数是解题的关键．
根据单项式次数的定义，所有字母的指数之和为次数，即可求解．
【详解】解：
2
3
3
3
m
x
y
-
Q
是四次单项式，
2
3
3
4
m
\
- +
=
，
2
m
\
=
．
故答案为：2 ．
【变式1】（25-26 七年级上·浙江宁波·期末）单项式
2
3
2
x y
-
的系数为a，次数为b ，则ab 的值是________．
【答案】
5
2
-
【分析】本题考查单项式的系数与次数的定义，关键是准确理解并运用定义求出系数和次数．
【详解】解：∵单项式
2
3
2
x y
-
的系数
1
2
a = -
，次数
2
3
5
b =
+
=
；
∴
1
5
5
2
2
ab
æ
ö
= -
´
= -
ç
÷
è
ø
；
故答案为：
5
2
-
．
【变式2】（25-26 七年级上·湖南株洲·期末）若单项式
5
3
m
x y
-
与单项式
2
7
n
x y 的和仍然是单项式，则2m
n
-
的值为_____．
【答案】1
-
【分析】本题考查同类项的定义、合并同类项、代数式求值，掌握以上知识是解答本题的关键；
两个单项式的和仍是单项式，则它们必须是同类项，即相同字母的指数相等，进而求出m、n，然后即可求
解；
【详解】解：∵ 单项式
5
3
m
x y
-
与
2
7
n
x y 的和是单项式，
∴ 它们是同类项，
∴x 的指数相等，即
2
m =
；y 的指数相等，即
5
n =
，
∴2
2
2
5
4
5
1
m
n
-
= ´ -
=
-
= - ，
故答案为：1
- ；
【变式3】（25-26 七年级上·福建龙岩·期中）已知
1
(
)3
m
m
xy
+
-
是关于x，y 的四次单项式，则m 的值是_______ ．
【答案】2 或2
-
【分析】本题考查的是单项式的概念，根据单项式的次数定义，单项式中所有字母的指数之和称为次数．本
题中单项式为
1
3
m
m
xy
+
-
，是关于x 和y 的四次单项式，因此x 的指数1 与y 的指数|
| 1
m + 之和等于4，即
1
1
4
m
+
+
=
．同时，单项式的系数
3
m - 不能为零．
【详解】解：由次数定义得：
1
1
4
m
+
+
=
简化得：
2
4
m +
=
因此|
| 2
m =
，
解得
2
m =
或
2
m = -
．
又因为系数
3
0
m -
¹
，即
3
m ¹
，
∴
2
m =
和
2
m = -
均满足条件．
故答案为：2 或2
- ．
【变式4】（25-26 七年级上·上海杨浦·期中）若
2
3
2
a
a
x y +
-
是关于x、y 的六次单项式，则a＝__________．
【答案】1
【分析】本题主要考查了单项式．根据题意得出2
3
6
a
+
+
=
，即可求解．
【详解】解：∵
2
3
2
a
a
x y +
-
是关于x，y 的六次单项式，
∴2
3
6
a
+
+
=
，
解得：
1
a = ，
当
1
a = 时，系数
2
1 2
1
0
a -
= -
= - ¹
，符合题意．
故答案为：1．
▌题型03 多项式的相关概念
【典例3】（25-26 七年级上·河南新乡·期中）下列式子：①
3
a
b
-
，②
1
3b
-
，③
3
2
4
x
x
+
-
，④2mn
-
，
⑤1
7 ，⑥2
x
y
x
+
，属于多项式的有_______．（填序号）
【答案】①③/③①
【分析】本题考查了多项式的定义．
根据多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，逐一判断每个式子是否可表示为单项式的和．
【详解】①
1
1
3
3
3
a
b
a
b
-
=
-
，是单项式1
3 a 和
1
3b
-
的和，因此是多项式；
②
1
3b
-
分母中含有字母，是分式，不是多项式；
③
3
2
4
x
x
+
-
是单项式
3x 、2x 和4
-
的和，因此是多项式；
④2mn
-
是单项式；
⑤1
7 是常数，是单项式；
⑥2
x
y
x
+
分母中含有字母，不是多项式；
故属于多项式的有①③．
故答案为：①③．
【变式1】（25-26 七年级上·河北唐山·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．单项式
2
3
x y
-
的系数是3
-
B．
32 是3 次单项式
C．多项式
2
2
3
1
x
xy
-
+ 是二次三项式
D．多项式
3
2
5
x
xy
-
-
的常数项是5
【答案】C
【分析】本题考查单项式的系数、次数以及多项式的次数、项数、常数项的定义，关键是准确掌握这些基础
概念：单项式的系数是其数字因数，次数是所有字母的指数之和；多项式的次数为最高次项的次数，项数是
所含单项式的个数，常数项是多项式中不含字母的项．
【详解】解：单项式
2
3
x y
-
的系数为
1
3
-
，不是3
- ，故A 错误；
32 是常数单项式，常数项的次数为0，并非3 次，故B 错误；
多项式
2
2
3
1
x
xy
-
+ 的最高次项为
2
2x 和3xy
-
，次数为2，且该多项式包含3 个单项式，所以是二次三项式，
故C 正确；
多项式
3
2
5
x
xy
-
-
中不含字母的项是5
- ，因此常数项是5
- ，不是5，故D 错误；
故选：C．
【变式2】（21-22 七年级上·吉林长春·期中）多项式
3
2
2
3
1
a b
ab
+
- 的最高次项的系数为_____，常数项为_____．
【答案】
2
1
-
【分析】根据多项式的相关概念，确定多项式各项的次数，找出最高次项，进而得到最高次项的系数和常数
项.
【详解】解：多项式
3
2
2
3
1
a b
ab
+
- 中，
3
2a b 的次数为3 1
4
+ =
，
2
3ab 的次数为1 2
3
+
= ，因此最高次项为
3
2a b ，其系数为2 ，多项式中不含字母的项是-1，因此常数项为-1.
【变式3】（25-26 七年级上·陕西榆林·期中）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的
圈中．
2
2
a ，
3
4
1
x
x
+
+ ，2025
-
，m，abc ，π
xy ，
4
ab
x
+
，a
b
-
.
【答案】答案见解析
【分析】本题考查单项式和多项式，根据单项式和多项式的定义，进行作答即可．
【详解】解：由题意，填图如下：
【变式4】（25-26 七年级上·吉林·期末）已知多项式
3
2
2
2
3
5
1
x y
xy
x
-
+
- ，按要求解答下列问题
(1)该多项式的次数是______________，常数项是_____________，三次项的系数是____________；
(2)将这个多项式按x 的降幂重新排列．
【答案】(1) 4 ，1
- ，3
- ；
(2)
3
2
2
2
5
3
1
x y
x
xy
+
-
- ．
【分析】本题主要考查了多项式的相关概念（次数、常数项、项的系数）以及多项式的降幂排列，熟练掌握
多项式的基本概念是解题的关键．
（1）根据多项式次数（最高次项的次数）、常数项（不含字母的项）、三次项系数（三次项前的数字因数）
的定义，分析多项式的各项即可；
（2）按x 的降幂排列，即把多项式各项按x 的次数从高到低排列．
【详解】（1）解：∵多项式
3
2
2
2
3
5
1
x y
xy
x
-
+
- 各项：
3
2x y 的次数：3 1
4
+ =
；
2
3xy
-
的次数：1 2
3
+
= ；
2
5x 的次数：2 ；
1
- 的次数：0．
∴该多项式的次数是4 ．常数项是1
- ，三次项是
2
3xy
-
，其系数是3
- ，
故答案为：4 ，1
- ，3
- ；
（2）解：将多项式
3
2
2
2
3
5
1
x y
xy
x
-
+
- 按x 的降幂排列为
3
2
2
2
5
3
1
x y
x
xy
+
-
- ．
▌题型04 利用多项式的相关概念求解
【典例4】（23-24 七年级上·上海·阶段检测）
7
3
3
3
6
nx
y
xy
+
-
+
是一个五次多项式，则n的值为_____________．
【答案】5
-
【分析】根据题中多项式为五次多项式，得到最高次项的次数为5，据此列方程求解即可．
【详解】解：Q 多项式
7
3
3
3
6
nx
y
xy
+
-
+
的两项分别为
7
3
3
nx
y
+
-
与
3
6xy ，
7
3
3
nx
y
+
-
的次数为
7
3
10
n
n
+
+
=
+
，
3
6xy 的次数为1 3
4
+
=
，
Q 该多项式是五次多项式，
\最高次项的次数为5，可得
10
5
n +
=
，解得
5
n = - ．
【变式1】（24-25 七年级上·浙江金华·阶段检测）多项式
2
2
2
1
k
x y
k
xy
-
-
+ 是关于x，y 的四次二项式，
则k 的值为_________．
【答案】2
【分析】本题考查多项式的次数与项数的定义，利用多项式定义求参数的值，掌握多项式的相关定义是解题
关键，根据四次二项式的定义，得到最高次项的次数为4 ，且xy 项的系数为0，据此列方程求解即可．
【详解】解：Q 多项式
2
2
2
1
k
x y
k
xy
-
-
+ 是关于x ，y 的四次二项式，
\最高次项的次数为4 ，可得：
2
4
k
+
=
，
解得
2
k =
，即
2
k =
或
2
k
-
=
，
又Q 多项式为二项式，
\ xy 项的系数为0，可得：
2
0
k
-
-
=
，
解得
2
k =
，
验证得
2
k =
符合四次二项式的要求．
【变式2】（25-26 七年级上·江苏泰州·期末）已知多项式
2
2
2
3
2
5
mx
x
x
nx
+
-
+
-
+
与多项式
2
3
4
x
x
c
+
+
恒等（其中m，n，c为常数），则m
n
c
+
+
的值为________．
【答案】1
【分析】本题考查了多项式恒等的性质，解题的关键是根据对应项的系数相等建立方程求解．
先对多项式进行合并同类项；再根据恒等条件，让对应项的系数分别相等，求出m、n、c的值；最后代入
计算m
n
c
+
+
的值．
【详解】解：
2
2
(
2
3)
(2
5)
mx
x
x
nx
+
-
+
-
+
2
2
2
3
2
5
mx
x
x
nx
=
+
- +
-
+
2
(
2)
(2
)
2
m
x
n x
=
+
+
-
+
∵ 该多项式与
2
3
4
x
x
c
+
+
恒等
∴
2
3
m +
= ，解得
1
m =
∴ 2
4
n
-
= ，解得
2
n = -
∴ 2
c
=
，即
2
c =
，
1
( 2)
2
1
m
n
c
+
+
= + -
+
= ．
故答案为：1．
【变式3】（25-26 七年级上·河南驻马店·阶段检测）已知关于x ，y 的多项式
2
3
1
m
n
x y
m
x y
xy
+
-
+
- （m，
n为正整数且x 的指数不相同）是按x 的降幂排列的五次四项式，则
m
n
-
的值为_________．
【答案】1
【分析】本题考查了将多项式按某个字母升幂（降幂）排列问题，多项式系数、指数中字母求值，理解题意
得到m，n 的关系式是解题的关键．
由多项式为五次四项式且按x 降幂排列，最高次项次数为5，可知
5
m
n
+
= ；再根据各项系数非零，可知
3
0
m -
¹
；然后根据是按x 的降幂排列递减，可知
2
m >
；结合m，n 为正整数，求得m，n 的值，代入计算
即可．
【详解】解：∵多项式
2
3
1
m
n
x y
m
x y
xy
+
-
+
- 是按x 的降幂排列的五次四项式，
∴最高次项
m
n
x y 的次数为
5
m
n
+
= ，且
3
0
m -
¹
，
2
m >
∴
5
m
n
=
-
，且
3
m ¹
，
2
m >
，
又∵m，n 为正整数，
∴
4
m =
，
1
n = ，
\
4
1
1
m
n
-
= -
= ．
故答案为：1．
【变式4】（25-26 七年级上·四川成都·期中）若关于x ，y 的多项式
2
2
2
2
3
4
mx
nxy
x
xy
x
y
+
+
-
-
+
+
中不含
二次项，则
2
2
m
mn
n
+
+
的值为________．
【答案】19
【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，熟练掌握合并同类项法则，是解题的关键．根据多项式
不含二次项的条件，令所有二次项的系数为零，求出m 和n 的值，再代入代数式计算即可．
【详解】解：原多项式合并同类项后为：
2
3
2
2
4
m
x
n
xy
x
y
-
+
-
+
+
+
，
∵关于x ，y 的多项式
2
2
2
2
3
4
mx
nxy
x
xy
x
y
+
+
-
-
+
+
中不含二次项，
∴二次项系数为零，即
3
0
m -
=
和
2
0
n-
=
，
解得：
3
m =
，
2
n =
，
∴
2
2
m
mn
n
+
+
2
2
3
3 2
2
=
+ ´ +
9
6
4
=
+
+
19
=
．
故答案为：19．
▌题型05 整式的识别
一个整式不是单项式就是多项式，判断一个式子是不是整式的关键是看分母中是否含有
字母.
【典例5】（25-26 七年级上·河南开封·期末）在代数式
2
2
2
2
2026
1
5, 5
6,π,
,
1
x
x
a
x
a
+
-
+
+
+
，
9
2
7 10 ,3a b
´
中，整式
有（ ）
A．7 个
B．6 个
C．5 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握整式的定义（分母中不含字母）是解题的关键．本题需根据
整式的定义（整式为单项式和多项式的统称，分母中不含字母），逐一判断每个代数式是否为整式，统计符
合条件的个数即可．
【详解】解：整式是单项式与多项式的统称，且整式的分母中不含字母，
对各代数式判断如下：
2
5
x +
是多项式，属于整式；
2
5
6
x
-
+
是多项式，属于整式；
p 是单独的常数，属于单项式，是整式；
2
2026
1
x + 分母含字母，不是整式；
2
1
a
a
+
中1
a 分母含字母，不是整式；
9
7 10
´
是单独的常数，属于单项式，是整式；
2
3a b 是单项式，属于整式；
综上，整式共有5 个．
故选：C．
【变式1】（25-26 六年级上·山东泰安·期末）在1
x ，2x
y
+
，
2
1
3 a ，
3
x
y
-
，0 中，不是整式的代数式的个数
为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】本题考查的是整式的概念．单项式和多项式统称为整式；字母和数的乘积是单项式，单独的一个数
字或字母也是单项式；多项式是若干个单项式的和，本题根据整式的概念判断即可．
【详解】解：2x
y
+
，
2
1
3 a ，
3
x
y
-
，0 都是整式；
只有代数式1
x 中分母含有字母，不是整式，共1 个，
故选：B．
【变式2】（25-26 七年级上·江苏扬州·期中）在式子2025，4xy
-
，
2
+
-
x
y
，1
x ，
1
3
x + 中，整式的个数是________
个．
【答案】4
【分析】本题考查了整式的定义．
根据整式的定义，单项式和多项式统称为整式，分母中不含字母，对每个式子进行判断即可．
【详解】解：2025 是常数，为单项式，属于整式；
4xy
-
是单项式，属于整式；
2
+
-
x
y
是多项式，属于整式；
1
x 分母含有字母，不是整式；
1
3
x + 是多项式，属于整式．
故整式个数为4．
故答案为：4．
【变式3】（2025 七年级上·全国·专题练习）请把下列整式分类填入下表，并完成表格．
m
-
，
1
a + ，
2
5x ，
2
2
2
a
ab
b
+
+
，
2
2
a
ab
-
，
2
3
4 ab
-
，
2
2
3
6
x
x
-
+
-
，
1
2
-
．
单项式
系数
次数
多项式
次数
项数
常数项
【答案】见详解
【分析】本题考查整式的分类，需要识别每个整式是单项式还是多项式，区分单项式和多项式．单项式是由
数字与字母的积组成的代数式，单独一个数字或字母也是单项式；多项式是几个单项式的和．对于单项式，
系数是数字因数（包括符号），次数是所有字母的指数之和． 对于多项式，次数是最高次项的次数，项数
是组成多项式的单项式的个数，常数项是不含字母的项，对此一一区分并填写即可．
【详解】解：表格填写如下：
单项式
系数
次数
多项式
次数
项数
常数项
m
-
1
-
1
1
a +
1
2
1
2
5x
5
2
2
2
2
a
ab
b
+
+
2
3
0
2
3
4 ab
-
3
4
-
3
2
2
a
ab
-
2
2
0
1
2
-
1
2
-
0
2
2
3
6
x
x
-
+
-
2
3
6
-
【变式4】（25-26 七年级上·湖北黄石·期中）把下列各代数式的序号填在相应的位置：
①
2
1
3
a + ，②ax
b
+
，③x
y
-
，④0，⑤3
π ，⑥
2
3
b ，⑦
3
2
xy + ，⑧2
- ，⑨3
xy 中．
(1)单项式有：____________；
(2)多项式有：____________；
(3)整式有：____________；
(4)代数式有：____________．
【答案】(1)④⑤⑥⑧
(2)①②③⑦
(3)①②③④⑤⑥⑦⑧
(4)①②③④⑤⑥⑦⑧⑨
【分析】此题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式的定义．单项式及相关概念：数或字母的
积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）多项式及相关概念：几个单项式的和叫做多项式，每
个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次
数．整式：单项式与多项式统称为整式．
根据单项式，多项式，整式，代数式的定义即可求解．
【详解】（1）解：单项式有：④⑤⑥⑧；
（2）解：多项式有：①②③⑦；
（3）解：整式有：①②③④⑤⑥⑦⑧；
（4）解：代数式有：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨；
【变式5】（24-25 七年级上·全国·课后作业）把下列代数式分别填入下表适当的位置：
3a ，3
a ，
2
a
b
-
，
1
b
a
+ ，5，xy
-
，
2
2
1
a
ab
-
+ ．
单项式
整式
多项式
代数式
非整式
【答案】单项式：3a ，5，xy
-
；多项式：
2
a
b
-
，
2
2
1
a
ab
-
+ ；非整式：3
a ，
1
b
a
+
【分析】本题考查了整式，需要根据整式、非整式、单项式和多项式的定义求解；单项式是指数字与字母或
字母与字母相乘的代数式，多项式是几个单项式的和，从而找出其中的多项式和单项式；再根据整式包含单
项式和多项式，代数式中除了整式就是非整式，即可确定其中的非整式．
【详解】解：
单项式
3a ，5，xy
-
整式
多项式
2
a
b
-
，
2
2
1
a
ab
-
+
代数式
非整式
3
a ，
1
b
a
+
故答案为：单项式：3a ，5，xy
-
；多项式：
2
a
b
-
，
2
2
1
a
ab
-
+ ；非整式：3
a ，
1
b
a
+ ．
▌题型06 将多项式按某个字母升幂/降幂排列
1）把多项式按升幂或降幂排列时，一定要弄清是针对哪个字母的排列，排列时只看这
个字母的指数，然后按照加法的交换律交换各项的位置.
2）针对不同的字母，排列后的顺序往往不同.
3）重新排列多项式时，各项一定要带着符号移动位置.
【典例6】（24-25 七年级上·全国·课后作业）把多项式
3
2
2
3
3
3
a
b
a b
ab
+
-
-
重新排列：
(1)按a的升幂排列；
(2)按a的降幂排列．
【答案】(1)
2
3
2
3
3
3
b
ab
a b
a
-
-
+
(2)
3
2
3
2
3
3
a
a b
ab
b
-
-
+
【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大
的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．
【详解】（1）解：按a的升幂排列为：
2
3
2
3
3
3
b
ab
a b
a
-
-
+
．
（2）按a的降幂排列为：
3
2
3
2
3
3
a
a b
ab
b
-
-
+
．
【变式1】（24-25 七年级上·全国·课后作业）将多项式
2
2
3
4
5
3
7
5
4
a b
ab
a b
b
a
-
+
-
+
先按a的升幂排列，再按b
的降幂排列．
【答案】按a的升幂排列为：
5
3
2
2
3
4
4
7
5
b
ab
a b
a
a b
-
-
+
+
+
；
按b 的降幂排列为：
5
3
2
2
4
3
4
7
5
b
ab
a b
a b
a
-
-
+
+
+
【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大
的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．
（1）按照a的指数从小到大排列即可；
（2）按照b 的指数从大到小排列即可；
【详解】解：按a的升幂排列为：
5
3
2
2
3
4
4
7
5
b
ab
a b
a
a b
-
-
+
+
+
；
按b 的降幂排列为：
5
3
2
2
4
3
4
7
5
b
ab
a b
a b
a
-
-
+
+
+
．
【变式2】（24-25 七年级上·河南安阳·期中）已知多项式
2
1
2
4
3
13
6
3
+
-
+
-
-
n
x y
xy
x
x 是六次四项式．
(1)写出n 的值；并将多项式按x 的升幂排列；
(2)求该多项式各项系数之和．
【答案】(1)
3
n =
；
4
4
2
2
3
13
3
6
xy
x y
x
x
-
-
-
；
(2) 21
-
【分析】本题考查了多项式的概念及降幂排列．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
（1）利用多项式的定义即可求出n 的值，然后根据升幂排列的定义求解；
（2）计算各项系数之和即可求解．
【详解】（1）解：∵多项式
2
1
2
4
3
13
6
3
+
-
+
-
-
n
x y
xy
x
x 是六次四项式，
∴2
1
6
n
+
+ =
，
∴
3
n =
；
按x 的升幂排列为
4
4
2
2
3
13
3
6
xy
x y
x
x
-
-
-
；
（2）解：∵多项式
4
4
2
2
3
13
3
6
xy
x y
x
x
-
-
-
，
∴多项式各项系数之和
1 13
3
6
21
= -
- -
= -
．
【变式3】（24-25 七年级上·全国·课后作业）已知多项式
2
3
4
3
2
2
1
9
3
3
6
4
x y
xy
x
x y
-
+
-
．
(1)将其重新排列为
3
2
3
2
4
1
2
9
3
6
3
4
xy
x y
x y
x
-
+
-
+
，则该排列方式是按照x 的__________（填“升幂”或“降幂”）
排列的；
(2)将多项式按照y 的降幂重新排列；
(3)将多项式按照y 的升幂重新排列．
【答案】(1)升幂
(2)
3
3
2
2
4
1
9
2
3
6
4
3
xy
x y
x y
x
-
-
+
+
(3)
4
2
3
2
3
2
9
1
3
3
4
6
x
x y
x y
xy
+
-
-
【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握多项式升幂、降幂排序的定义．
（1）根据升幂排列和降幂排列的定义，观察字母x、y 的指数即可求解；
（2）先分清多项式的各项，然后按多项式中y 的降幂排列的定义排列；
（3）先分清多项式的各项，然后按多项式中y 的升幂排列的定义排列．
【详解】（1）解：将其重新排列为
3
2
3
2
4
1
2
9
3
6
3
4
xy
x y
x y
x
-
+
-
+
，则该排列方式是按照x 的升幂排列的，
故答案为：升幂；
（2）解：多项式按照y 的降幂重新排列为
3
3
2
2
4
1
9
2
3
6
4
3
xy
x y
x y
x
-
-
+
+
；
（3）解：多项式按照y 的升幂重新排列为
4
2
3
2
3
2
9
1
3
3
4
6
x
x y
x y
xy
+
-
-
．
▌题型07 写出满足特征的单项式/多项式
【典例7】（2026·河南平顶山·三模）请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为
1
2
-
的单项式：______．
【答案】
2
1
2 m n
-
或
2
1
2 mn
-
（答案不唯一）
【详解】解：符合题意的单项式可以是
2
1
2 m n
-
或
2
1
2 mn
-
．
【变式1】（25-26 七年级上·北京·期末）写出一个系数是负数，次数是4，且含有字母a，b 的单项式可以是
________（写出一个即可）．
【答案】
3
2ab
-
（答案不唯一）
【分析】本题考查单项式的系数和次数的概念，系数是单项式中的数字因数且为负数，次数是所有字母的指
数之和为4，进行解答即可．
【详解】解：根据题意，系数为负数，次数为4，且含有字母a和b ，因此可构造单项式如
3
2ab
-
，其中系数
为2
- ，次数为1 3
4
+
=
；其他符合条件的有
2
2
a b
-
（系数为1
- ，次数为2
2
4
+
=
）或
3
3a b
-
（系数为3
- ，次
数为3 1
4
+ =
）等．
故答案为：
3
2ab
-
．（答案不唯一）
【变式2】（25-26 七年级上·陕西延安·期末）写出一个关于a、b 的多项式，其次数是5，项数是2：
______．（写出一个即可）
【答案】
5
2
a
b
+
(答案不唯一)
【分析】本题考查了多项式，多项式的次数和多项式的项，掌握相关概念是解题的关键．根据多项式次数和
项数的定义，构造一个含有字母a和b 的多项式，项数为2 ，且最高次数为5即可．
【详解】解：由于多项式含有字母a、b ，次数是5，即最高项次数为5，项数是2 ，
\该多项式可以为
5
2
a
b
+
．
故答案为：
5
2
a
b
+
(答案不唯一)．
【变式3】（25-26 七年级上·河南·期末）请写出一个含有字母x，y 的三次二项式，要求含有一次项且一次
项系数为2
- ： _______．
【答案】
2
2
xy
x
-
（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了多项式的系数和次数，熟练掌握多项式的次数和系数，是解题的关键；根据题意写
出一个符合要求的三次二项式即可．
【详解】解：多项式
2
xy 是三次项，2x
-
是一次项，系数为2
- ，且该多项式含有字母x 和y，
2
2
xy
x
-
满足条件，
故答案为：
2
2
xy
x
-
．（答案不唯一）
【变式4】（25-26 七年级上·内蒙古赤峰·期末）写出一个只含有字母a 和b，最高次项系数为2024
-
，且一
次项系数为5，常数项为9 的二次三项式：___________________．
【答案】2024
5
9
ab
a
-
+
+
（答案不唯一）
【分析】本题考查多项式的系数、次数和项数，掌握好多项式的概念是关键．
根据多项式的系数、次数和项数的概念，写出一个符合要求的二次三项式即可．
【详解】解：根据题意，符合要求的二次三项式为2024
5
9
ab
a
-
+
+
．
故答案为：2024
5
9
ab
a
-
+
+
（答案不唯一）．
▌题型08 单项式的规律探究问题
把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，分别找出单项式的系数和次数的规律是
解决此类问题的关键.
【典例8】（2026·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的代数式：
2
3a ，
3
5a ，
4
7a ，
5
9a ，
6
11a ，…，第2026
个代数式为（ ）
A．
2026
4051a
B．
2027
4051a
C．
2026
4053a
D．
2027
4053a
【答案】D
【分析】分别归纳系数和a的指数与项数n的关系，得到第n个代数式的通式，再代入
2026
n =
计算即可得
到结果．
【详解】解：∵ 第1 个系数为3
2 1 1
=
´ + ，
第2 个系数为5
2 2 1
=
´ + ，
第3 个系数为7
2 3 1
=
´ + ，
∴第n个代数式的系数为2
1
n + ，
又∵第1 个中a的指数为2
1 1
= + ，
第2 个中a的指数为3
2 1
=
+ ，
第3 个中a的指数为4
3 1
=
+ ，
∴可得第n个代数式中a的指数为
1
n + ，
∴第n个代数式为
1
2
1
n
n
a +
+
，
将
2026
n =
代入得：系数为2 2026 1
4053
´
+ =
，a的指数为2026 1
2027
+ =
，
因此第2026 个代数式为
2027
4053a
．
【变式1】（2026·云南昆明·模拟预测）一列代数式按以下规律排列：
3x ，
5
2x
-
，
7
4x ，
9
8x
-
，
11
16x ，…，
第n 个代数式是（ ）
A．
2
1
( 2)n
n
x
-
-
B．
2
1
( 2)n
n
x
+
-
C．
1
2
1
( 2)n
n
x
-
+
-
D．
1
2
1
( 2)n
n
x
-
-
-
【答案】C
【分析】分别从系数、x 的次数两个部分分析规律，整合后即可得到第n个代数式．
【详解】解：由题可知，系数分别是1，2
- ，4 ，8
- ，16，L，
即第1 项系数为1，第2 项系数为
1
2
1
2
2
- = ´ -
= -
，第3 项系数为
2
4
2
2
2
= - ´ -
= -
，第4 项系数为
3
8
4
2
2
- =
´ -
= -
，第5 项系数为
4
16
8
2
2
= - ´ -
= -
，L
则系数规律为
1
2
n-
-
；
x 的次数分别是3，5，7 ，9，11，L，
即第1 项次数为3
2 1 1
=
´ + ，第2 项次数为5
2 2 1
=
´ + ，第3 项次数为7
2 3 1
=
´ + ，第4 项次数为
9
2 4 1
=
´ + ，第5 项次数为11
2 5 1
=
´ + ，L
则x 的次数规律为2
1
n + ；
\第n个代数式为
1
2
1
2
n
n
x
-
+
-
．
【变式2】（2026·云南楚雄·二模）按一定规律排列的单项式：3
2 a ，
2
5
4 a ，
3
7
6 a ，
4
9
8 a ，
5
11
10 a ，L，第n
个单项式是（ ）
A．
1
n
n
a
n
-
B．2
1
2
n
n
a
n
-
C．2
1
2
n
n
a
n
+
D．
1
2
n
n
a
n
+
+
【答案】C
【分析】将单项式拆分为分子、分母、字母a 的指数三部分，分别找出各部分和序号n 的对应规律，即可得
到第n 个单项式.
【详解】解：设单项式的序号为n（n为正整数），拆分各部分找规律：
∵ ①字母a的指数：第1 个单项式指数为1，第2 个为2，第3 个为3...，可得第n个单项式中a的指数为n
②分数的分子：第1 个分子为3
2 1 1
=
´ + ，第2 个分子为5
2 2 1
=
´ + ，第3 个分子为7
2 3 1
=
´ + ...，可得第n
个单项式的分子为2
1
n +
③分数的分母：第1 个分母为2
2 1
=
´ ，第2 个分母为4
2 2
=
´ ，第3 个分母为6
2 3
=
´ ...，可得第n个单项
式的分母为2n
∴ 第n个单项式是2
1
2
n
n
a
n
+
【变式3】（24-25 七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：x
- ，
2
3x ，
3
5x
-
，
4
7x ，LL，
19
37x
-
，
20
39x
，L写出第n个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路：
(1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ．
(2)这组单项式的次数的规律是 ．
(3)根据上面的归纳，可以猜想第n个单项式是(只能填写一个代数式) ．
(4)请你根据猜想，写出第2008 个、第2009 个单项式，它们分别是 、 ．
【答案】(1)
1
n
-
，2
1
n -
(2)n
(3)
1
2
1
n
n
n
x
-
-
(4)
2008
4015x
，
2009
4017x
-
【分析】本题主要考查了单项式规律题，单项式的系数、次数，写出满足某些特征的单项式等知识点，通过
观察所给单项式发现并总结出一般规律是解题的关键．
（1）通过对这组单项式的系数进行观察并总结规律，即可得出答案；
（2）通过对这组单项式的次数进行观察并总结规律，即可得出答案；
（3）根据（1）、（2）的归纳，即可得出答案；
（4）根据（3）的猜想，直接写出第2008 个、第2009 个单项式即可．
【详解】（1）解：这组单项式的系数分别为：1
- ，3，5
- ，7 ，LL，37
-
，39，L，
可以发现，其符号规律是正负交替，即：
1
n
-
，
其绝对值规律是1，3，5，7 ，LL，即：2
1
n - ，
故答案为：
1
n
-
，2
1
n - ；
（2）解：这组单项式的次数分别为：1，2 ，3，4 ，LL，，19，20 ，L，
其规律是：从1开始的连续自然数，即：n，
故答案为：n；
（3）解：根据上面的归纳，可以猜想第n个单项式是：
1
2
1
n
n
n
x
-
-
，
故答案为：
1
2
1
n
n
n
x
-
-
；
（4）解：根据猜想，可以写出第2008 个、第2009 个单项式，它们分别是：
2008
2008
2008
1
2 2008 1
4015
x
x
-
´
-
=
，
2009
2009
2009
1
2 2009 1
4017
x
x
-
´
-
= -
，
故答案为：
2008
4015x
，
2009
4017x
-
．
【变式4】（23-24 七年级上·江西上饶·阶段检测）观察下列单项式：
2
3
4
19
20
,3
, 5
,7
,
37
,39
,
x
x
x
x
x
x
-
-
×××-
×××写
出第n个单项式，为了解决这个问题，特提供下面的解题思路．
(1)这组单项式的系数依次为多少？系数符号的规律是什么？系数绝对值规律是什么？
(2)这组单项式的次数的规律是什么？
(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？
【答案】(1)这组单项式的系数依次为1
- ，3，5
- ，7，…，37
-
，39，…；奇次项的系数符号为负号，偶此项
的系数符号为正号；系数绝对值为：2
1
n -
(2)这组单项式的次数的规律是从1 开始的连续自然数
(3)
1
2
1
n
n
n
x
-
-
【分析】此题主要考查了单项式的变化规律问题．
（1）根据单项式系数的定义可写出单项式的系数；观察所给单项式，可直接得出系数符号的规律以及系数
绝对值的规律；
（2）观察所给单项式，可知次数的规律是从1 开始的连续自然数；
（3）根据系数符号的规律、系数绝对值的规律和次数的规律，总结即可．
通过观察，得出次数与系数的变化规律是解题关键．
【详解】（1）观察所给单项式可知：这组单项式的系数依次为1
- ，3，5
- ，7，…，37
-
，39，…；奇次项
的系数符号为负号，偶此项的系数符号为正号；系数绝对值为：2
1
n - ；
（2）这组单项式的次数的规律是从1 开始的连续自然数；
（3）根据系数符号的规律、系数绝对值的规律和次数的规律可知，第n个单项式是：
1
2
1
n
n
n
x
-
-
．
▌题型09 多项式的规律探究问题
把一个多项式分解成若干单项式，分别找出每组单项式的规律是解决此类问题的关键.
【典例9】（25-26 九年级下·云南曲靖·学业考试模拟）一组多项式的规律如下：
2
3
4
5
2
,4
,8
,16
a
b
a
b
a
b
a
b
-
+
-
+
，按此规律，第n个多项式是（ ）
A．
1
2
1
n
n
n
a
b
+ + -
B．
1
1
2
1
n
n
an
b
+
+ + -
C．
1
1
2
1
n
n
n
a
b
+
+ + -
D．
2
1
n
n
na
b
+ -
【答案】A
【分析】将多项式拆分为a 的系数、a 的次数、b 的系数三部分，分别找出对应规律再合并，即可得到第n
个多项式．
【详解】解：推导a 的系数的规律：
∵
1
n = 时系数为
1
2
2
=
，
2
n =
时系数为
2
4
2
=
，
3
n =
时系数为
3
8
2
=
，
4
n =
时系数为
4
16
2
=
∴第n 个多项式a 的系数为2n ，
推导a 的次数的规律：
∵
1
n = 时a 的次数为2
1 1
= + ，
2
n =
时a 的次数为3
2 1
=
+ ，
3
n =
时a 的次数为4
3 1
=
+ ，
4
n =
时a 的次数为
5
4
1
=
+
∴第n 个多项式中a 的次数为
1
n + ，
推导b 的系数：
∵
1
n = 时b 的系数为1
- ，
2
n =
时b 的系数为1，
3
n =
时b 的系数为1
- ，
4
n =
时b 的系数为1，
∴n 为奇数时b 的系数为1
- ，n 为偶数时b 的系数为1，
即第n 个多项式中b 的系数为
1
n
-
，
综上可知，第n个多项式是
1
2
1
n
n
n
a
b
+ + -
．
【变式1】（23-24 九年级下·云南昭通·阶段检测）按一定规律排列的多项式：
2
x
y
- +
，
2
4
x
y
+
，
3
6
x
y
-
+
，
4
8
x
y
+
，
5
10
x
y
-
+
，
6
12
x
y
+
，…，根据上述规律，则第n 个多项式是（ ）
A．1n
nx
ny
-
+
B．
1
2
n
nx
ny
-
+
C．
1
1
2
n
nx
ny
+
-
+
D．
1
1
n
n
nx
ny
-
+ -
【答案】B
【分析】此题考查了数字的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，再根据规律进行解答便可．
【详解】解：按一定规律排列的多项式：
1
1
2
1
2 1
x
x
y
y
×
- +
= -
+ ´ ´
，
2
2
2
4
1
2 2
x
y
y
x
+
= -
´
×
+
，
3
3
3
6
1
2 3
x
y
y
x
×
-
+
= -
+ ´
，
4
4
4
8
1
2 4
x
y
y
x
+
= -
´
×
+
，
…，
则第n 个多项式是
1
2
n
nx
ny
-
+
，
故选B．
【变式2】（23-24 七年级上·浙江杭州·期末）观察多项式
2
3
4
3
5
7
x
x
x
x
-
+
-
+L的构成规律，则：
（1）它的第5 项是 ________；
（2）当
1
x = 时，多项式前100 项的和为 ________．
【答案】
5
9x
100
-
【分析】本题考查多项式中的规律探究．解题的关键是得到多项式按照x 的升幂排列，第n项为
1
1
2
1
n
n
n
x
-
-
×
-
．
（1）由多项式的构成，可知第n项为
1
1
2
1
n
n
n
x
-
-
×
-
，进而得到第5 项即可；
（2）当
1
x = 时，得到和为：1 3
5
7
197 199
- + -
+
+
-
L
，进行计算即可．
【详解】解：（1）由题意，可知：多项式按照x 的升幂排列，第n项为
1
1
2
1
n
n
n
x
-
-
×
-
，
∴它的第5 项是
4
5
5
1
9
9
x
x
-
×
=
；
故答案为：
5
9x ；
（2）当
1
x = 时，多项式前100 项的和为
1 3
5
7
197 199
- + -
+
+
-
L
1 5
9
197
3
7 11
199
= + +
+
+
-
+
+
+
L
L
50
50
1 197
3 199
2
2
=
´
+
-
´
+
50
1 197
3 199
2
=
´
+
- -
50
4
2
=
´ -
100
= -
．
故答案为：100
-
．
【变式3】（26-27 七年级上·全国·课堂例题）观察下列多项式：2a
b
-
，
2
4a
b
+
，
3
8a
b
-
，
4
16a
b
+
，…，按
此规律，则可得到第2023 个多项式是______．
【答案】
2023
2023
2
a
b
-
【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．
【详解】解：多项式的第一项依次是2a，4a ，8a ，16a ，
2n a
¼
，
第二项依次是b
- ，
2
b ，
3
1
n
n
b
b
-
¼ -
，
则可以得到第2023 个多项式是
2023
2023
2
a
b
-
．
故答案为：
2023
2023
2
a
b
-
．
【点睛】本题考查了多项式，本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的
规律是解决这类问题的关键．
