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专题32 一元一次不等式（组）含参问题
（题型突破·举一反三）
▌题型01 由不等式的定义求参数
【典例1】﹣2．
【变式1-1】2．
【变式1-2】1．
【变式1-3】﹣2026
▌题型02 由不等式的性质求参数
【典例1】C．
【变式1-1】B．
【变式1-2】m＜2026．
【变式1-3】
【解答】解：（1）由题意可得{3𝑥−4𝑦= 𝑘 ①
2𝑥−3𝑦= 2𝑘+ 3 ②，
①﹣②得，
x﹣y＝﹣k﹣3，
∵x﹣y＜0，
∴﹣k﹣3＜0，
解得k＞﹣3；
（2）不等式移项可得，（2k+1）x＜2k+1，
当2k+1＞0 时，x＜1，不符合题意舍去；
2k+1＜0 时，x＞1，
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解得𝑘＜−1
2，
由（1）得k＞﹣3，
∴符合的k 值有﹣2，﹣1
▌题型03 由不等式的解集求参数
【典例1】A．
【变式1-1】𝑥≤−1
2．
【变式1-2】1．
【变式1-3】3．
▌题型04 由不等式的整数解求参数
【典例1】D．
【变式1-1】D．
【变式1-2】C．
【变式1-3】16≤a＜20．
▌题型05 由不等式整数解的个数求参数
【典例1】D．
【变式1-1】A．
【变式1-2】4＜a≤5．
【变式1-3】3＜a≤4．
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▌题型06 由不等式最值求参数
【典例1】A．
【变式1-1】A．
【变式1-2】4≤m＜7．
【变式1-3】0＜𝑎≤1
3．
▌题型07 由不等式组的解集求参数
【典例1】A．
【变式1-1】B．
【变式1-2】D．
【变式1-3】C．
▌题型08 由不等式组的整数解求参数
【典例1】a≥19．
【变式1-1】27．
【变式1-2】﹣4≤a＜﹣3．
【变式1-3】0＜m≤2．
▌题型09 由不等式组整数解的个数求参数
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【典例1】A．
【变式1-1】D．
【变式1-2】A．
【变式1-3】D．
▌题型10 由不等式组解集的最值求参数
【典例1】B．
【变式1-1】B．
【变式1-2】B．
【变式1-3】−8
3或﹣3．
▌题型11 由不等式组的至多/少整数解的个数求参数
【典例1】a≥3．
【变式1-1】a＞6．
【变式1-2】﹣14．
【变式1-3】
【解答】解：由题知，
解不等式
3(𝑥−1)
2
≤𝑥+ 2得，x≤7，
解不等式x＜3x﹣2a 得，x＞a，
因为所给不等式组至少有四个整数解，
所以a＜4．
由方程（y﹣a）+（3y﹣5）＝2（y﹣1）得，
y= 𝑎+3
2 ，
则
𝑎+3
2
≥0，
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解得a≥﹣3，
所以﹣3≤a＜4．
因为
𝑎+3
2 是非负整数，
所以a＝﹣3 或﹣1 或1 或3，
则所有满足条件的整数a 的值之和为：﹣3﹣1+1+3＝0．
▌题型12 由不等式组整数解的和求参数
【典例1】C．
【变式1-1】1 或4．
【变式1-2】5≤a＜7．
【变式1-3】1≤a＜2 或﹣2≤a＜﹣1．
▌题型13 由不等式组有解/无解求参数
【典例1】A．
【变式1-1】B．
【变式1-2】D．
【变式1-3】A．
▌题型14 方程与不等式（组）综合求参数
【典例1】D．
【变式1-1】B．
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【变式1-2】C．
【变式1-3】C．
▌题型15 方程组与不等式（组）综合求参数
【典例1】B．
【变式1-1】A．
【变式1-2】
【解答】解：（1）由{𝑥+ 𝑦= 2𝑚+ 7
𝑥−𝑦= 4𝑚−3得，
{𝑥= 3𝑚+ 2
𝑦= −𝑚+ 5．
因为该方程组的解为正数，
所以{3𝑚+ 2＞0
−𝑚+ 5＞0
，
解得−2
3 ＜𝑚＜5；
（2）因为−2
3 ＜𝑚＜5，
则3m+2＞0，m﹣5＜0，
所以|3m+2|﹣|m﹣5|﹣2（2m﹣4）＝3m+2﹣（﹣m+5）﹣2（2m﹣4）＝3m+2+m﹣5﹣4m+8＝5．
【变式1-3】
【解答】解：（1）{𝑥+ 𝑦= −7 −𝑚①
𝑥−𝑦= 1 + 3𝑚②，
①+②解得x＝m﹣3，
把x＝m﹣3 代入①解得y＝﹣4﹣2m，
∴{𝑥= 𝑚−3
𝑦= −4 −2𝑚；
（2）①∵方程组的解满足x 为非正数，y 为负数，
∴{𝑚−3 ≤0
−4 −2𝑚＜0，
∴﹣2＜m≤3；
②∵不等式（2m+1）x＜2m+1 的解为x＞1，
∴（2m+1）x＜2m+1 的两边同时除以2m+1 时，不等号的方向发生了改变，
∴2m+1＜0，
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∴𝑚＜−1
2，
∵﹣2＜m≤3，
∴−2＜𝑚＜−1
2，
∴m＝﹣1．
▌题型16 不等式与不等式（组）综合求参数
【典例1】1＜x≤2．
【变式1-1】−2 < 𝑥≤−1．
【变式1-2】
【解答】解：（1）①由题意，∵3﹣3x＞0，
∴x＜1；
②
2𝑥−1
3
−
𝑥
2 ＞−1，
∴2（2x﹣1）﹣3x＞﹣6．
∴x＞﹣4；
③{
2𝑥+3
5
−𝑥+1
2 ＞0
2𝑥−3＜0
，
解不等式
2𝑥+3
5
−
𝑥+1
2
＞0 得，x＜1；
解不等式2x﹣3＜0 得，x＜3
2，
∴原不等式组的解集为：x＜1．
∴所以同解的是①和③．
故答案为：①③；
（2）解不等式A：2﹣5x＞0，则x＜2
5；
解不等式B：
5𝑥+𝑎
2
＜1 ⇒𝑥＜
2−𝑎
5 ．
∵不等式A 与B 同解，则
2−𝑎
5
=
2
5 ⇒𝑎= 0；
（3）解不等式P：2（3﹣x）＜4，则x＞1；
解不等式𝑄：𝑥−𝑎
2 ＞7
2 −𝑥⇒𝑥＞7+𝑎
3 ．
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∵不等式P 与Q 同解，
∴
7+𝑎
3
= 1 ⇒𝑎= −4．
代入不等式（a﹣4）x+4＜a，则（﹣8）x+4＜﹣4，
∴x＞1．
故答案为：x＞1．
【变式1-3】
【解答】解：（1）{3𝑥≤2𝑥+ 1①
2𝑥−3 ≥𝑥−5②，
解不等式①得：3x﹣2x≤1，
∴x≤1，
解不等式②得：2x﹣x≥3﹣5，
x≥﹣2；
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
∴原不等式组的解集为﹣2≤x≤1，
故答案为：x≤1；﹣2≤x≤1．
（2）由题意，结合（1），﹣2≤x≤1，
∵①x＜0，②x＜2，③x≥0，④x≥﹣2，
∴（1）中不等式组的“母不等式”的是②④．
故答案为：②④．
（3）∵不等式为（a﹣5）x≥a﹣5（a≠5），
∴①当a＞5 时，x≥1．
又∵关于x 的不等式（a﹣5）x≥a﹣5（a≠5）是（1）中不等式组的“母不等式”，且结合（1），﹣2≤
x≤1，
∴此时不合题意．
②当a＜5 时，x≤1．
又∵关于x 的不等式（a﹣5）x≥a﹣5（a≠5）是（1）中不等式组的“母不等式”，且结合（1），﹣2≤
x≤1，
∴此时符合题意．
综上，a＜5．
故答案为：a＜5．
（4）由题意，∵解不等式组{𝑥+ 3 ≥2
3𝑥−2＜𝑥+ 6，
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∴﹣1≤x＜4．
∵解不等式2（x﹣1）﹣4a＜x﹣2，
∴x＜4a．
又∵不等式2（x﹣1）﹣4a＜x﹣2 是不等式组{𝑥+ 3 ≥2
3𝑥−2＜𝑥+ 6的“母不等式”，
∴4a≥4．
∴a≥1．
∵解不等式2(𝑥−1
4) ≥3𝑥−𝑎
2
，
∴x≥1﹣a．
∵不等式2(𝑥−1
4) ≥3𝑥−𝑎
2
不是不等式组{𝑥+ 3 ≥2
3𝑥−2＜𝑥+ 6的“母不等式”，
∴1﹣a＞﹣1．
∴a＜2．
又∵a≥1，
∴1≤a＜2．
故答案为：1≤a＜2．
▌题型17 不等式解集相同求参数
【典例1】
【解答】解：由不等式3x＜2（x+3），得x＜6．
由不等式3x﹣a＞5x，得𝑥＜−𝑎
2．
根据题意可得6 = −𝑎
2，
∴a＝﹣12．
【变式1-1】
【解答】解：（1）由①得：x＜2−𝑎
3 ，
由②得：x＜1
3，
由两个不等式的解集相同，得到
2−𝑎
3
=
1
3，
解得：a＝1；
（2）由不等式①的解都是②的解，得到
2−𝑎
3
≤
1
3，
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解得：a≥1．
【变式1-2】
【解答】解：
𝑥−1
2
＞
1
3，
3（x﹣1）＞2，
3x﹣3＞2，
3x＞5，
解得：𝑥＞5
3，
x﹣a＞1，
解得：x＞a+1，
∵关于x 的不等式x﹣a＞1 的解集与不等式
𝑥−1
2
＞
1
3的解集相同，
∴𝑎+ 1 = 5
3，
解得：𝑎= 2
3．
【变式1-3】
【解答】解：（1）由题意知3x﹣2（1﹣x）＞3，
3x﹣2+2x＞3，
3x+2x＞3+2，
5x＞5，
x＞1；
（2）由题意得2m﹣3x＜0，
解得x＞2
3m，
则
2
3m＝1，
解得m= 3
2．
▌题型18 新定义求参数
【典例1】
【解答】解：（1）∵4x﹣2＝6，
∴x＝2，
∵2×2﹣3＝1＜7，
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∴x＝2；
（2）解方程组{𝑥+ 𝑦= 3𝑎+ 5
𝑥−𝑦= 5𝑎−3，
解得：{𝑥= 4𝑎+ 1
𝑦= 4 −𝑎，
∵关于x，y 的方程组与不等式x+2y≥a+10 的“梦想解”均为正数（即“梦想解”中的x，y 均为正数），
∴{
4𝑎+ 1＞0①
4 −𝑎＞0②
(4𝑎+ 1) + 2(4 −𝑎) ≥𝑎+ 10③
，
解不等式①，得：𝑎＞−1
4，
解不等式②，得：a＜4，
解不等式③，得：a≥1，
∴不等式组的解集为1≤a＜4，
即a 的取值范围1≤a＜4．
【变式1-1】
【解答】解：（1）由条件可知g（2，5）＝2×2+5＝9；
（2）由条件可知g（2n，2n﹣1）＝2n+3（2n﹣1）＝8n﹣3，
∵g（2n，2n﹣1）＞5，
∴8n﹣3＞5，
解得n＞1；
∵n﹣1﹣（n+2）＝﹣3＜0，
∴n﹣1＜n+2，
∴g（n﹣1，n+2）＝2（n﹣1）+n+2＝3n，
∵g（n﹣1，n+2）≤6k，
∴3n≤6k，
解得n≤2k，
∴{𝑛＞1
𝑛≤2𝑘
，即1＜n≤2k，
∵有5 个整数解，
∴6≤2k＜7，
解得3 ≤𝑘＜7
2．
【变式1-2】
【解答】解：（1）∵4x﹣2＝6，
∴x＝2，
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∵2×2﹣3＝1＜7，
∴x＝2；
（2）解方程组{𝑥+ 𝑦= 3𝑎+ 5
𝑥−𝑦= 5𝑎−3，
解得：{𝑥= 4𝑎+ 1
𝑦= 4 −𝑎，
∵关于x，y 的方程组与不等式x+2y≥a+10 的“梦想解”均为正数（即“梦想解”中的x，y 均为正数），
∴{
4𝑎+ 1＞0①
4 −𝑎＞0②
(4𝑎+ 1) + 2(4 −𝑎) ≥𝑎+ 10③
，
解不等式①，得：𝑎＞−1
4，
解不等式②，得：a＜4，
解不等式③，得：a≥1，
∴不等式组的解集为1≤a＜4，
即a 的取值范围1≤a＜4．
【变式1-3】
【解答】解：（1）2x﹣6＝0，
解得x＝3，
解不等式组{2𝑥+ 1＞𝑥−3①
𝑥−3 ≤1②
，
解不等式①得x＞﹣4，
解不等式②得x≤4，
∴不等式组的解集为﹣4＜x≤4，
∵x＝3 在﹣4＜x≤4 的范围内，
∴方程2x﹣6＝0 是不等式组{2𝑥+ 1＞𝑥−3
𝑥−3 ≤1
．的“关联方程”；
（2）2x﹣k＝1，
解得𝑥= 𝑘+1
2 ，
{𝑥−1 ≥2𝑥①
2𝑥+ 3＞𝑥②，
解不等式①得x≤﹣1，
解不等式②得x＞﹣3，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤﹣1，
由题意可得：−3＜𝑘+1
2
≤−1，
解得﹣7＜k≤﹣3；
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（3）
𝑥+5
3
−3𝑚= 0，
去分母得，x+5﹣9m＝0
移项合并同类项得，x＝9m﹣5；
{
𝑥+2𝑚
2
＞𝑚①
𝑥−𝑚≤2𝑚+ 1②
，
解不等式①得x＞0，
解不等式②得x≤3m+1，
∴不等式组的解集为0＜x≤3m+1，
∴0＜9m﹣5≤3m+1，
解得
5
9 ＜𝑚≤1，
由题意可得：2≤3m+1＜3，
解得
1
3 ≤𝑚＜
2
3，
∴
5
9 ＜𝑚＜
2
3．
