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培优专题01 方程、解一元一次方程
（题型突破·举一反三）
题型01 列方程
题型02 根据方程的解求参数或代数式的值
题型03 根据一元一次方程的定义求参数
题型04 由等式的性质判断变形正误
题型05 由等式的性质比较大小
题型06 由等式的性质解决天平等量代换问题
题型07 解一元一次方程
题型08 与解一元一次方程有关的新定义问题
题型09 一元一次方程的整数解问题
题型10 根据两个一元一次方程解的关系求解
题型11 由一元一次方程解的情况求解
题型12 错看或错解一元一次方程的解
题型13 换元法解一元一次方程
题型14 解含绝对值的方程
▌题型01 列方程
1）设未知数：设未知数可以直接设(求什么设什么)，也可以间接设，所设未知数要带单位.
2）分析题意：找出题中的数量关系及等量关系，用含有未知数的代数式表示出相应的数量关系。
3）列方程：根据等量关系列出方程.
【典例1】（25-26 七年级上·浙江宁波·期末）某商店销售一款无线耳机，按进价提高
后标价，再优
惠
元销售，能获得
的毛利率(
)，设一副该款耳机的进价为
元，可列方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（25-26 八年级上·云南昭通·阶段检测）某工厂计划生产一批零件，如果每天生产
个，则比
计划晚一天完成；如果每天生产
个，则比计划早一天完成．设计划生产
个零件，根据题意可列方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（25-26 七年级上·福建漳州·阶段检测）根据图中的信息有两个圆柱量筒，可列出的方程是
__________．
【变式3】（23-24 八年级上·陕西咸阳·期中）蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部
分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质
的
倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共
．设蛋白质的含量为
，脂肪的含量为
，可列出方程
为_____．
▌题型02 根据方程的解求参数或代数式的值
将方程的解代入原方程，等式左右两边的值一定相等，所以在利用方程的解求方程中的
待定字母的值时，只要将方程的解代入方程，得到关于待定字母的方程，即可解决问题.
【典例2】（25-26 七年级上·广西河池·期末）已知
是方程
的解，则a 的值为_______．
【变式1】（25-26 七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知
是关于x 的一元一次方程
的解，则代数式
的值为______．
【变式2】（25-26 七年级上·河南三门峡·期末）已知关于
的方程
的解和
的解相同，则
的值为__________．
【变式3】（25-26 七年级上·四川成都·期末）在方程
中，
处被盖住了一个数字，如
果已知方程的解是
，那么★处的数字是___________．
▌题型03 根据一元一次方程的定义求参数
一个方程是一元一次方程必须满足两个条件：①等号的两边必须是整式；②只含有1 个
未知数且未知数的最高次数为1，一次项系数不为0.根据以上条件，来确定一元一次方程的中待定字母的值.
【典例3】（25-26 七年级上·河北邯郸·期末）已知
是关于
的一元一次方程，
则
的值为___________．
【变式1】（25-26七年级上·贵州毕节·期末）若
是关于
的一元一次方程，则
的值___________．
【变式2】（25-26 六年级上·上海普陀·期末）已知
是关于
的一元一次方程，那么此方程
的解为
_____．
【变式3】（25-26 七年级上·天津河北·阶段检测）已知
是关于x 的一元一次
方程．则
______．
▌题型04 由等式的性质判断变形正误
1）利用等式的性质进行变形时，等式两边要同时进行相同的运算；
2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立.
【典例4】（25-26 七年级上·山东临沂·期末）下列变形中，正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【变式1】（25-26 七年级上·河南濮阳·期末）下列一元一次方程的变形，错误的是（ ）
A．由
，得
B．由
，得
C．由
，得
D．由
，得
【变式2】（25-26 七年级上·河南商丘·阶段检测）根据等式性质，下列结论正确的是（ ）
A．由
，得
B．由
，得
C．由
，得
D．由
，得
【变式3】（25-26 七年级上·河南三门峡·期末）等式就像平衡的天平，能与如图所示的事实具有相同性
质的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
▌题型05 由等式的性质比较大小
【典例5】（24-25 七年级下·全国·课后作业）已知等式
，你能比较
和
的大小吗？
【变式1】（23-24 七年级上·全国·课后作业）已知等式
成立，试利用等式的基本性质比
较
，
的大小．
【变式2】（22-23 七年级上·广东惠州·阶段检测）若
，则
；若
，则
；若
，则
，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小．
(1)试比较代数式
与
的值之间的大小关系；
(2)已知代数式
与
相等，试用等式的性质比较
的大小关系．
(3)已知
，试用等式的性质比较
的大小关系．
【变式3】（25-26 七年级上·全国·课后作业）（1）已知
，试比较x 与y 的大小．
（2）已知
，利用等式的基本性质说明
．
▌题型06 由等式的性质解决天平等量代换问题
【典例6】（25-26 七年级上·江西赣州·阶段检测）如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等．左
边两架天平处于平衡状态，若要使第三架天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（ ）个三角形
A．4
B．5
C．6
D．7
【变式1】（25-26 七年级上·河北邢台·阶段检测）假设“
、
、
”分别表示三种不同的物体．如图，
前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放“
”的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式2】（25-26 七年级上·河北张家口·期末）设“
、
、
”分别表示三种不同的物
体，它们的质量分别为a，b，c．现用天平称了两次，情况如图①所示（天平均平衡），并由此得到如图②
的结论．
这一过程反映的代数基本事实用含字母a，b，c 的式子可表示为（ ）
A．若
，
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
▌题型07 解一元一次方程
【典例7】（25-26 七年级上·山东青岛·开学考试）解方程：
【变式1】（25-26 七年级上·江苏南京·期末）解方程：
．
【变式2】（25-26 七年级上·湖北襄阳·期末）解方程：
．
【变式3】（25-26 七年级上·河南周口·期末）解方程：
(1)
(2)
【变式4】（25-26 七年级上·江苏宿迁·期末）解方程：
(1)
；
(2)
．
【变式5】（25-26 七年级上·陕西宝鸡·期末）解方程：
．
▌题型08 与解一元一次方程有关的新定义问题
【典例8】（25-26 七年级上·江苏南京·期末）定义一种新运算：
．若
，
则根据定义的运算求出
的值为______．
【变式1】（25-26 七年级上·贵州安顺·期末）定义一种运算：
．例如
；再如
，按照这种定义，当
______时，
．
【变式2】（23-24 七年级上·广东茂名·期末）定义：若
，则称
与
是关于
的关联数．例如：
若
，则称
与
是关于2 的关联数；若
与
是关于4 的关联数，则
的值是（ ）
A．0
B．1
C．8
D．2
【变式3】（25-26 七年级上·山东青岛·期末）新定义：对有理数
，，定义
，计算方式为：当
时，
；当
时，
．
(1)计算：
的值；
(2)若
，那么
_____；
(3)若
，且
，求
的值．
【变式4】（25-26 七年级上·江苏宿迁·阶段检测）我们定义：若关于
的一元一次方程
的解满足
，则称该方程是“差解方程”，例如：
的解为
，则该方程
就是“差
解方程”，请根据上述规定解答下列问题：
【定义理解】
（1）判断：方程
_______差解方程；（填“是”或“不是”）
（2）若关于
的一元一次方程
是“差解方程”，求
的值；
【知识应用】
（3）已知关于
的一元一次方程
是“差解方程”，求
的值．
▌题型09 一元一次方程的整数解问题
先按照解一元一次方程的一般步骤解出含字母参数的一元一次方程的解，再根据这个解
的特殊性(是整数、正整数、负整数等)和整除的特点，讨论字母参数的取值.
【典例9】（25-26 七年级上·陕西西安·期末）已知关于
的方程
有整数解，且
是整数，
则所有满足条件的
值的和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（25-26 七年级上·全国·单元测试）已知关于
的方程
有正整数解，则整数
的
所有可能的取值的和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 七年级上·云南曲靖·期末）已知关于
的方程
有负整数解，则所有满
足条件的整数
的值之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 七年级下·四川巴中·开学考试）k 是一个正整数，关于
的一元一次方程
有正整数解，则
______．
【变式4】（20-21 七年级上·北京石景山·期末）关于
的一元一次方程
，其中
是正整数
．．．．
(1)当
时，求方程的解；
(2)若方程有正整数解
．．．．，求
的值．
▌题型10 根据两个一元一次方程解的关系求解
分别求得两个含参一元一次方程的解（用参数表示），根据解之间的关系列出新的等式，
从而解得参数的值.
【典例10】（25-26 七年级上·江苏扬州·期末）若关于x 的方程
与
的解相同，则
___________．
【变式1】（25-26 七年级上·江苏南通·期末）若关于x 的方程
和
的解互为相
反数，则m 的值为______．
【变式2】（25-26 七年级上·广东揭阳·期末）已知关于x 的方程
与方程
的解互
为倒数，则
的值为___．
【变式3】（24-25 七年级上·陕西渭南·期中）关于
的方程
的解比关于
的方程
（
）的解大
，则
的值为______．
▌题型11 由一元一次方程解的情况求解
【典例11】（2025 学年第一学期期末检测七年级数学）已知
为定值，关于
的方程
，无论
为何值，1 总是它的解，则
___________，
___________
【变式1】（24-25 八年级下·上海·阶段检测）如果关于
的方程
无解，那么
满足的条
件是_____．
【变式2】（23-24 七年级上·全国·期末）已知关于x 的方程
，为常数）有无数个解，则
_____
【变式3】（2025 六年级上·全国·专题练习）如果
，那么关于
的方程
的解
为
________．
▌题型12 错看或错解一元一次方程的解
将错解代入相应错误的方程中求得参数的值，再将参数的值代入原方程中求出正确的解.
【典例12】（25-26 七年级上·湖南长沙·阶段检测）小明解方程
，去分母时，方程右边
的
忘记乘12，因而求出的解为
，则原方程正确的解为___________．
【变式1】（24-25 七年级上·湖北孝感·阶段检测）小红在解关于x 的一元一次方程
时，由于粗
心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为
，并解得
，请根据以上已知条件，求得原方
程正确的解为___________．
【变式2】（25-26 七年级上·河北唐山·期末）复习课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程：
习题1：
解方程
解：去分母，得
第①步
去括号，得
第②步
移项，得
第③步
合并同类项，得
第④步
系数化为1，得
第⑤步
习题2：
解方程：
解：去括号，得
第①步
移项，得
第②步
合并同类项，得
第③步
系数化为1，得：
第④步
(1)习题1 的解题过程从第_________步开始出现错误，理由：_________．
(2)习题2 的解题过程从第_________步开始出现错误，理由：_________．
(3)从中任选一题，写出它的正确解答过程．
【变式3】（23-24 七年级上·北京延庆·期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解
题过程：
解方程：
解：原方程可化为
……第一步，
方程两边同时乘15，得
……第二步，
去括号，得
……第三步，
移项，得
……第四步，
合并同类项，得
……第五步，
系数化为1，得
……第六步
上述小明的解题过程从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________．
请你写出正确的解题过程．
【变式4】（25-26 七年级上·山西晋中·期末）下面是小马同学错题本上的一道题，请认真阅读并完成相
应任务．
解：去分母得：
，……第一步
去括号得：
，……第二步
_______得：
，……第三步
合并同类项得：
，……第四步
系数化为1 得：
……第五步
(1)以上解方程步骤中第三步进行的是________，这一步的依据是________；
(2)以上解题过程中，小马从第________步开始出错，错误的原因是________；
(3)请直接写出该方程正确的解________；
(4)除上述错误外，还应注意哪些问题，请你给小马提一条合理的建议．
▌题型13 换元法解一元一次方程
【典例13】（25-26 七年级上·湖南长沙·期末）若关于
的一元一次方程
解为
，则
关于
的一元一次方程
的解为___________．
【变式1】（25-26 七年级上·全国·课后作业）在解决数学问题时，可以将某个式子看作一个整体，用一
个字母去代替它，从而使问题得到简化，这样的方法叫作换元法．换元法的关键是设元．例如，在解方程
时，把
看作一个整体．设
，原方程可转化为
，
解得
，所以
，解得
．
阅读以上材料，请用同样的方法解方程：
．
【变式2】（26-27 七年级上·全国·课后作业）用整体思想解方程
．
【变式3】（21-22 七年级上·云南昆明·期中）在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计
算的效果．例如，在解方程
时，把
看作一个整体．
令
，得：
，
去括号，得：
，
合并同类项，得：
，
系数化为1，得：
，
故
，解得
．
阅读以上材料，请用同样的方法解方程：
▌题型14 解含绝对值的方程
解形如
的方程时，先分别令ax
b
+
，cx
d
+
，设这两个方程的解
分别为
，将x 的范围分为三段，即
，再分别根据这三种情况去原方
程的绝对值符号，这样就将问题转化成了解常见的一元一次方程.
【典例14】（25-26 七年级上·甘肃兰州·期末）解方程
(1)
；
(2)
．
【变式1】（25-26 七年级上·山东德州·阶段检测）阅读下列解题过程并解答类似的题目．
解方程：
解：由
，得
①若
，得
②若
，得
所以原方程的解是
或
(1)解方程
(2)若方程
的解也是方程
的解，求m 的值
【变式2】（25-26 七年级上·全国·单元测试）解方程：
．
解：①当
时，解得
；
②当
时，解得
．
所以原方程的解是
或
．
(1)解方程：
；
(2)解方程：
．
【变式3】（24-25 七年级上·北京房山·期末）小山同学通过阅读课本92 页探究学习资料，自主学习解含
有绝对值的方程的方法，并提出了以下问题，请你结合课本中所给资料（如下所示），帮助小山解决问题．
含有绝对值的方程
绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：
，
，
，…都是含有
绝对值的方程．
怎样才能求出含有绝对值的方程的解？
以方程
和
为例来探究解法．
探究思路：
根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，这样就可以将含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解．
探究结论：
1．解方程
．
解：根据绝对值的意义，得
或
．
2．解方程
．
分析：把
看作一个整体．解：根据绝对值的意义，得
或
．
分别解这两个方程，得
或
．
(1)解方程
；
(2)已知：
①_______，请你从
，
中选择一个填入①中，组成含有绝对值的方程，并求出该
方程的解．
