文档内容
5.3 实际问题与一元一次方程
（第 4 课时 选择方案问题）教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教2024版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第五章“一元一次
方程”5.3实际问题与一元一次方程第4课时，内容包括建立方程模型解决选择方案问题.
2.内容解析
选择方案问题是生活中的常见问题，具有一定的现实性和开放性．生活中的数学问题大多是具有开放
性的综合问题，所以对这类问题的探究是“数学回归生活，服务于生活”的需要，本节课是5.3节“实际
问题与一元一次方程”的最后一课，设置这一探究的目的不仅是解决这个具体问题，而且是通过这个问题
的解决过程让学生进一步体验“建模解题”的过程，渗透建模思想．
建模解题大致分为三个环节：将实际问题转化为数学模型（建立模型）、解决数学模型、利用模型结
论解释实际问题，在这三个环节中“建立模型”尤为重要，需要学生具有一定的分析、转化能力．在选择
方案问题中建立模型的关键有两个，一是应用分类思想对不同情形分别进行分析；二是发现并利用相等关
系确立方程模型．其中分类思想是解决综合性问题时的重要策略，需要学生在适当条件下具有较强的分类
意识和确定分类节点的能力．同时本节课问题中的相等关系比之前的问题具有更强的隐蔽性，需要学生根
据数量间的大小变化来确定和解决，这增加了列方程的难度．
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点为：建立选择方案问题的方程模型．
二、目标和目标解析
1.目标
（1）体验建立方程模型解决问题的一般过程
（2）体会分类思想和方程思想，增强应用意识和应用能力．
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：经历以下过程：通过分类讨论将选择方案问题转化为方程问题，利用解方
程问题最终得到整体的选择方案．
达成目标（2）的标志是：学生对下列方面有所体会：在什么情况下需要分类讨论；如何根据已知条
件初步选择分类关键点；一个量由“大于另一个量”逐步演变为“小于另一个量”的过程中，一般会经历
“两个量相等”的这一过程；相等关系的数学模型——方程的建立对问题整体分析的重要性；借助图表分析问题的优越性，等等．
三、教学问题诊断分析
学生通过之前的学习，比较熟悉在一些典型问题中应用方程模型，而对于“选择方案问题”这样的综
合性问题，还缺乏解决问题的经验，容易无所适从或片面理解，学生一般可以发现选择哪款空调要依赖于
使用时间的变化，要根据时间分类讨论，但缺乏系统有效的分类方法，会出现分类不准确的问题；同时学
生对于选择方案这种生活化的问题，更习惯于使用生活化的原理和语言去解释，如“空调的能效高低、增
长的快慢”等，而缺乏将实际问题数学化，然后利用数学原理来解释问题的意识．
对于本节课的问题，学生不是完全没有基础，只是在思维方式的逻辑性和解决方法的科学性方面有待
清晰的梳理和规范，所以本节课针对以上问题，实施以下三个步骤：（1）先由学生根据问题情境独立思
考并表述对问题的认识；（2）通过借鉴其他同学的观点再次思考、讨论，进一步认识和表述；（3）教师
在学生认识的基础上加以点拨，引导学生数学化地解决问题，而后学生第三次系统认识并解决问题．
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：由实际问题抽象出数学模型的探究过程．
四、教学过程设计
（一）合作探究
不同能效空调的综合费用比较问题：购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况. 某人打算从
当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息. 如果电价是0.5元/(kW·h)，请你分
析他购买、使用哪款空调综合费用较低.
问题1：你了解表格中这些数字的含义吗?
师生活动：教师提问，学生思考、回答．
教师对回答的方向适当给予提示，然后教师列举出使用1年、使用3年、使用12年等不同时间，让学
生通过简单计算回答相应的费用．
【设计意图】通过提问和学生的回答，了解学生对表格信息的理解能力，引导学生对表格信息做初步
梳理和简单加工；通过对几个容易计算的使用时间的计算，检验学生是否理解表格信息的含义，并渗透
“综合费用高低与使用时间相关”．
问题2：你觉得选择哪款空调更省钱呢？师生活动：教师提出问题，学生思考回答．根据学生的回答情况，教师适当加以引导；
若学生回答选择1级能效空调或3级能效空调省钱，可发动其他学生通过举例等方式加以质疑；
若学生的回答中出现分类讨论的趋势，则教师加以肯定并进一步引导学生对分类的关键点、分类后各
区间中的变化趋势做进一步的探究．
讨论后安排学生再次思考，可适当讨论．
【设计意图】学生对选择方案问题是有生活基础的，所以也具备一定的认识基础，在给出探究问题之
后让学生充分的发言，表达自己对问题的直观认识，这也是学生对问题的第一次认识．在此基础上学生之
间通过发表意见，互相借鉴，为对问题的进一步探究进行准备．
（二）对问题的深入探究
问题3：通过大家的讨论，你对方案选择问题有什么新的认识？
师生活动：教师提出问题，学生思考回答．根据学生的回答，教师适当加以归纳引导：
若学生还没有明确的分类，则引导学生思考“你可以确定综合费用与哪个或哪些量有关？”，从而引
导学生进行分类；
若学生已经对问题进行了分类，则追问“你为什么这样分类？”以及“你是怎么分析的？”，从而引
导学生更合理地解决问题．
师生共同得出结论：在这个问题中，综合费用＝空调的售价＋电费.选定一种空调后，售价是确定的，
电费则与使用的时间有关.
【设计意图】学生在参考了其他同学的观点之后再次对问题进行认识，其认识过程与结论已经逐步接
近正确而合理的方向，教师在此基础上加以引导和启发，帮助学生确定分类讨论的研究方式，并在总结学
生发言的基础上归纳出“分类的关键点”，使学生的学习由“感性认识”逐步过渡到“理性分析”．
问题4：设空调的使用年数是t，当t在不同时间范围内取值时，选择哪款空调综合费用较低？
师生活动：教师提出问题，学生思考，教师巡视．师生共同经历下列思维过程和推导过程：
设空调的使用年数是t，
则1级能效空调的综合费用（单位：元）是3000＋0.5×640t，
即：3000＋320t.
3级能效空调的综合费用（单位：元）是2600＋0.5×800t，
即：2600＋400t.
追问1：t取什么值时，两款空调的综合费用相等.
列方程：3000＋320t＝2600＋400t，
解得： t＝5.追问2：为了比较两款空调的综合费用，我们把表示 3级能效空调的综合费用的式子怎样合理地变形
呢？
师生活动：师生共同经历下列思维过程和推导过程：
为了比较两款空调的综合费用，我们把表示3级能效空调的综合费用的式子2600＋400t变形为1级能
效空调的综合费用与外一个式子的和，
即(3000＋320t)＋(80t－400)，
也就是3000＋320t＋80(t－5).
这样，当t＜5时，80(t－5)是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低；
当t＞5时，80(t－5)是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低.
所以，由此可见，同样是1.5匹的空调，1级能效空调虽然售价高，但由于比较省电，使用年份长（超
过5年）时综合费用反而低.根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年（从生产日期计起），因此
购买、使用1级能效空调更划算.
【设计意图】这一问是本节课的关键，学生通过分类讨论得到“方程模型”，并利用方程求出关键数
据，这可以使学生认识到方程的重要性和应用价值，增强学生对模型的应用意识和应用能力．在得出方程
模型的结论之后，引导学生利用结论解释实际问题，从而完成建模解题的完整过程．
（三）总结归纳
请学生回顾选择方案问题的探究过程，回答以下问题：
1. 解决本题的过程中你觉得最难突破的步骤是哪些？本题中运用了哪些方法突破这些难点？
2. 选择方案问题的解决过程中运用一元一次方程解决了什么问题？
【设计意图】在总结了本节课的知识性问题之后，继续引导学生总结本节课的过程与方法，使学生原
来模糊的意识、零散的经验得以梳理，从而初步掌握探究同类问题的一般思路.
（四）针对训练
1. 春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中甲
单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表：
数量（张） 101张及以上
单价（元 张） 60元 50元 40元
如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元．
（1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？
（2）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？（3）如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你
该如何购买门票才能最省钱？
解：（1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票需40×102＝4080（元），
则比各自购买门票共可以节省：5500－4080＝1420（元）；
（2）设甲单位有退休职工x人，则乙单位有退休职工(102－x)人．
依题意得：50x＋60×(102－x)＝5500，
解得：x＝62．
则乙单位人数为：102－x＝40．
答：甲单位有62人，乙单位有40人；
（3）方案一：各自购买门票需50×60＋40×60＝5400（元）；
方案二：联合购买门票需(50＋40)×50＝4500（元）；
方案三：联合购买101张门票需101×40＝4040（元）；
综上所述：因为5400＞4500＞4040．
故应该甲乙两单位联合起来选择按40元一次购买101张门票最省钱．
2. 移动公司推出两种智能手机上网流量包：
如何选择流量包更划算？
解：设一个月内使用的流量为 x M，根据题意，当x在不同范围内取值时，两种流量包计费如下表：
（1）当 x≤320 时，流量包A 计费少（30元）；
（2）当 320＜x＜420 时，流量包A 计费少（＜50元）；
（3）当 x = 420时，两种流量包计费相等，都是50元．
师生活动：教师提出问题，学生思考、解答，小组讨论，选学生回答，教师点评．
【设计意图】在完成了“选择方案问题”的探究之后，通过类似问题使学生刚刚获取的经验得到巩固
和深化，进一步熟悉解决问题的方法与过程，从而提高分析和解决问题的能力.
（五）当堂巩固1. 九江市城区的出租车收费标准如下：2公里内起步价为7元，超过2公里以后按每公里1.4元计价．
若某人坐出租车行驶x公里，应付给司机21元，则x＝ 12 ．
2. 某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每户每月用水不超过 7m3，
则按 2 元/m3 收费；若每户每月用水超过 7 m3，则超过的部分按 3元/m3 收费. 如果某居民户去年12月
缴纳了 53 元水费，那么这户居民去年12月的用水量为 20 m3.
3.甲、乙两家电器商场以同样的价格出售同样的电器，但各自推出的优惠方案不同，甲商场规定：凡
超过4000元的电器，超出的金额按80%收取；乙商场规定：凡超过3000元的电器，超出的金额按90%收
取，某顾客购买的电器价格是x（x＞4000）元．
（1）分别用含有x的代数式表示在甲、乙两家商场购买电器所付的费用；
（2）当x＝6000时，该顾客应选择哪一家商场购买更优惠？说明理由．
（3）当x为何值时，在甲、乙两家商场购买所付的费用相同？
解：（1）在甲商场所付的费用：4000＋(x－4000)×80%＝0.8x＋800（元），
在乙甲商场所付的费用：3000＋(x－3000)×90%＝0.9x＋300（元）；
（2）当x＝6000时，
在甲商场所付的费用：0.8x＋800＝0.8×6000＋800＝5600（元），
在乙甲商场所付的费用：0.9x＋300＝0.9×6000＋300＝5700（元），
∵5700>5600，
∴在甲商场购买更优惠；
（3）根据题意可得：0.8x＋800＝0.9x＋300，
解得：x＝5000，
答：当x为5000时，在甲、乙两家商场购买所付的费用相同．
4. 在全球信息化时代，人们的出行方式有了更多的选择．下表是 A网约车的收费标准（打车费＝起步
费＋里程费＋远途费＋时长费）．
A网约车
起步费 6元
里程费 1.2元/公里
远途费 超过10公里后，超出部分加收1元/公里
时长费 0.2元/分钟
若本题中A网约车的平均车速均为40公里/时，请回答以下问题：
（1）若乘车里程数为10公里，则时长费是 元，打车费是 元；
（2）若打车费为28.5元，可乘坐的里程数是多少公里？（3）小龙同学周末去郊外写生，发现A网约车有买券优惠活动，就用5.8元购买了3张打车折扣券．
到达目的地后，软件显示里程数为28公里，用了一张打车折扣券，包括买券费 5.8元在内一共花费了52
元，请问本次用的折扣券是几折券？
解：（1）时长费＝10÷40×60×0.2＝3元，
∵乘车里程数为10公里，
∴没有远途费，
∴打车费＝6＋1.2×10＋3＝21元，
故答案为：3，21．
（2）由（1）可知，乘车里程数为10公里，打车费为21元，
∵28.5元＞21元，
∴乘车里程数大于10公里，
故设可乘坐的里程数是x公里（x＞10），
6+1.2x×(x－10)×1+x÷40×60×0.2＝28.5，
解得：x＝13，
答：可乘坐的里程数是13公里．
（3）原打车费＝6＋28×1.2＋(28－10)×1＋28÷40×60×0.2＝66（元），
实际花费的车费＝52－5.8＝46.2（元），
46.2÷66＝0.7，
答：本次用的折扣券是7折券．
5. 小明可以到甲或乙商店购买练习本. 已知两商店的标价都是每本1元，甲商店的优惠方法是：购买
10本以上时，从第11本开始按标价的70%出售；乙商店的优惠方法是：从第一本开始就按标价的 80%出
售.
（1）小明要买20本时，到哪家商店购买省钱；
（2）买多少本时，到两个商店花的钱一样多；
（3）小明现有24元钱，最多可买多少本练习本.
答案：（1）小明要买 20 本时，到乙家商店购买省钱；
（2）买30本时，到两个商店花的钱一样多；
（3）小明现有24元钱，最多可买 30 本练习本.
（六）课堂小结
1. 解决选择方案问题需要明确“空调综合费用”与“空调售价”和“使用时间”有关.
2. 此类问题的关键是能够根据已知条件找到合适的分段点，然后建立方程模型分类讨论，从而得出整体选择方案.
【设计意图】通过问题引领学生梳理探究过程，归纳探究方法．
（七）布置作业
P141：习题5.3：第14题.
P148：复习题5：第14题.
五、教学反思
列方程解决实际问题是本节教学的重点，也是难点，更是贯穿本章前后的一条主线．在前面讨论一元
一次方程解法时，也是先给出实际问题，然后通过设未知数列方程再逐步研究和完善解一元一次方程一般
步骤的．本节是直接运用解一元一次方程的一般步骤与方法解决实际问题．这样设计教材，既揭示了学习
解一元一次方程的必要性，体现了一元一次方程在实际生活中广泛的应用价值，也有利于学生带着问题
（如何解一元一次方程）来学习和探究，使得他们的学习方向更明确，阶段目标更具体，也利于分散难点，
便于学生有层次、有梯度地学习．
学生在小学阶段及前三小节对列方程解决实际问题虽然有所了解，但是本节教材所涉及的实际问题的
背景和表达都更加贴近实际，数量关系有的比较隐蔽，有的比较抽象，有的则更为复杂，需要学生结合自
己的生活经验理清、理解，经历探究用一元一次方程解决实际问题的基本过程，进而逐步提升他们分析问
题、解决问题的能力，有效积累探究、交流、反思等数学活动经验，体会转化化归和方程模型思想，增强
数学应用意识和能力．
