文档内容
5.3 实际问题与一元一次方程
（第 4 课时 选择方案问题）导学案
学习目标
1. 体会分类讨论思想和方程思想在解决问题中的作用，能够根据已知条件选择分类关键点对“选择方案问
题”进行整体分析，从而得出整体选择方案.
2. 进一步深化对数学建模方法的体验，增强应用方程模型解决问题的意识和能力.
重点难点突破
★知识点1：解决优化方案问题的一般步骤
①运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况；②用特殊值试探法选择方案，取小于
（或大于）一元一次方程解的比值，比较两种方案的优劣后下结论．
★知识点2：方法指导
了解实际背景，创设具体情境，有助于理解问题本身的意义，也是解决这类问题的捷径.
核心知识
用一元一次方程解决实际问题的基本过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即 ， ，
， ， . 正确分析问题中的 关系是列方程的基础.
思维导图新知探究
问题1：不同能效空调的综合费用比较问题：购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况. 某人打
算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息. 如果电价是0.5元/(kW·h)，请
你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低.
你了解表格中这些数字的含义吗?
问题2：你觉得选择哪款空调更省钱呢？
问题3：通过大家的讨论，你对方案选择问题有什么新的认识？
问题4：设空调的使用年数是t，当t在不同时间范围内取值时，选择哪款空调综合费用较低？
追问1：t取什么值时，两款空调的综合费用相等.
追问2：为了比较两款空调的综合费用，我们把表示3级能效空调的综合费用的式子怎样合理地变形呢？
总结归纳
1. 解决本题的过程中你觉得最难突破的步骤是哪些？本题中运用了哪些方法突破这些难点？
2. 选择方案问题的解决过程中运用一元一次方程解决了什么问题？
针对训练1. 春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中甲单位
人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表：
数量（张） 101张及以上
单价（元 张） 60元 50元 40元
如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元．
（1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？
（2）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？
（3）如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如
何购买门票才能最省钱？
2. 移动公司推出两种智能手机上网流量包：
如何选择流量包更划算？
当堂巩固
1. 九江市城区的出租车收费标准如下：2公里内起步价为7元，超过2公里以后按每公里1.4元计价．若某
人坐出租车行驶x公里，应付给司机21元，则x＝ ．2. 某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每户每月用水不超过 7m3，则按
2 元/m3 收费；若每户每月用水超过 7 m3，则超过的部分按 3元/m3 收费. 如果某居民户去年12月缴纳了
53 元水费，那么这户居民去年12月的用水量为 m3.
3.甲、乙两家电器商场以同样的价格出售同样的电器，但各自推出的优惠方案不同，甲商场规定：凡超过
4000元的电器，超出的金额按80%收取；乙商场规定：凡超过3000元的电器，超出的金额按90%收取，
某顾客购买的电器价格是x（x＞4000）元．
（1）分别用含有x的代数式表示在甲、乙两家商场购买电器所付的费用；
（2）当x＝6000时，该顾客应选择哪一家商场购买更优惠？说明理由．
（3）当x为何值时，在甲、乙两家商场购买所付的费用相同？
4. 在全球信息化时代，人们的出行方式有了更多的选择．下表是 A网约车的收费标准（打车费＝起步费＋
里程费＋远途费＋时长费）．
A网约车
起步费 6元
里程费 1.2元/公里
远途费 超过10公里后，超出部分加收1元/公里
时长费 0.2元/分钟
若本题中A网约车的平均车速均为40公里/时，请回答以下问题：
（1）若乘车里程数为10公里，则时长费是 元，打车费是 元；
（2）若打车费为28.5元，可乘坐的里程数是多少公里？（3）小龙同学周末去郊外写生，发现A网约车有买券优惠活动，就用5.8元购买了3张打车折扣券．到达
目的地后，软件显示里程数为28公里，用了一张打车折扣券，包括买券费 5.8元在内一共花费了52元，
请问本次用的折扣券是几折券？
5. 小明可以到甲或乙商店购买练习本. 已知两商店的标价都是每本1元，甲商店的优惠方法是：购买10本
以上时，从第11本开始按标价的70%出售；乙商店的优惠方法是：从第一本开始就按标价的80%出售.
（1）小明要买20本时，到哪家商店购买省钱；
（2）买多少本时，到两个商店花的钱一样多；
（3）小明现有24元钱，最多可买多少本练习本.
课堂小结
1. 解决选择方案问题需要明确“空调综合费用”与“空调售价”和“使用时间”有关.2. 此类问题的关键是能够根据已知条件找到合适的分段点，然后建立方程模型分类讨论，从而得出整体选
择方案.
【参考答案】
核心知识
设未知数；列方程；解方程；检验所得结果；确定答案；相等.
针对训练
1. 解：（1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票需40×102＝4080（元），
则比各自购买门票共可以节省：5500－4080＝1420（元）；
（2）设甲单位有退休职工x人，则乙单位有退休职工(102－x)人．
依题意得：50x＋60×(102－x)＝5500，
解得：x＝62．
则乙单位人数为：102－x＝40．
答：甲单位有62人，乙单位有40人；
（3）方案一：各自购买门票需50×60＋40×60＝5400（元）；
方案二：联合购买门票需(50＋40)×50＝4500（元）；
方案三：联合购买101张门票需101×40＝4040（元）；
综上所述：因为5400＞4500＞4040．
故应该甲乙两单位联合起来选择按40元一次购买101张门票最省钱．
2. 解：设一个月内使用的流量为 x M，根据题意，当x在不同范围内取值时，两种流量包计费如下表：
（1）当 x≤320 时，流量包A 计费少（30元）；
（2）当 320＜x＜420 时，流量包A 计费少（＜50元）；
（3）当 x = 420时，两种流量包计费相等，都是50元．当堂巩固
1. 12；
2. 20；
3. 解：（1）在甲商场所付的费用：4000＋(x－4000)×80%＝0.8x＋800（元），
在乙甲商场所付的费用：3000＋(x－3000)×90%＝0.9x＋300（元）；
（2）当x＝6000时，
在甲商场所付的费用：0.8x＋800＝0.8×6000＋800＝5600（元），
在乙甲商场所付的费用：0.9x＋300＝0.9×6000＋300＝5700（元），
∵5700＞5600，
∴在甲商场购买更优惠；
（3）根据题意可得：0.8x＋800＝0.9x＋300，
解得：x＝5000，
答：当x为5000时，在甲、乙两家商场购买所付的费用相同．
4. 解：（1）时长费＝10÷40×60×0.2＝3元，
∵乘车里程数为10公里，
∴没有远途费，
∴打车费＝6＋1.2×10＋3＝21元，
故答案为：3，21．
（2）由（1）可知，乘车里程数为10公里，打车费为21元，
∵28.5元＞21元，
∴乘车里程数大于10公里，
故设可乘坐的里程数是x公里（x＞10），
6＋1.2x×(x－10)×1＋x÷40×60×0.2＝28.5，
解得：x＝13，
答：可乘坐的里程数是13公里．
（3）原打车费＝6＋28×1.2＋(28－10)×1＋28÷40×60×0.2＝66（元），
实际花费的车费＝52－5.8＝46.2（元），
46.2÷66＝0.7，
答：本次用的折扣券是7折券．
5.（1）小明要买 20 本时，到乙家商店购买省钱；（2）买30本时，到两个商店花的钱一样多；
（3）小明现有24元钱，最多可买 30 本练习本.
