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专题 5.7 一元一次方程（4 大知识点 16 类题型）（全章知识梳理与
题型分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点1】一元一次方程的概念
1．方程：含有未知数的等式叫做方程．
2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1，这样的方程叫做一元一次方
程．
【要点提示】判断是否为一元一次方程，应看是否满足：
①只含有一个未知数，未知数的次数为1；
②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．
3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．
4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．
【知识点2】等式的性质
等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．
【知识点3】一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．
(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并同类项：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为 ax＝b(a≠0)的
形式．
b
x
a
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解 (a≠0)．
(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值
不相等，则不是方程的解．【知识点4】用一元一次方程解决实际问题的常见类型
1.行程问题：路程＝速度×时间
2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价
4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
abcd a103b102 c10d
5.数字问题：多位数的表示方法：例如： .
知识点与题型目录
【考点一】一元一次方程的概念
【题型1】方程及方程的解.....................................................3
【题型2】利用等式基本性质进行判断...........................................4
【题型3】利用等式基本性质求天平中砝码的质量与个数...........................6
【考点二】解一元一次方程
【题型4】一元一次方程的同解原理.............................................8
【题型5】一元一次方程中的错解问题...........................................9
【题型6】一元一次方程中的遮挡问题..........................................11
【题型7】一元一次方程中分子与分母含小数问题................................13
【题型8】一元一次方程中有解、无解、无数解问题..............................14
【题型9】一元一次方程中的整数解问题........................................16
【题型10】解含绝对值的一元一次方程.........................................17
【题型11】用整体思想解一元一次方程.........................................20
【题型12】一元一次方程中大数据问题.........................................22
【题型13】一元一次方程中规律问题...........................................24
【题型14】含参一元一次方程的解总是一个常数问题.............................26
【考点三】实际问题与一元一次方程
【题型15】列一元一次方程解决分数问题.......................................27
【题型16】列一元一次方程解决利润问题.......................................30
第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】方程及方程的解
【例1】（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知关于x的方程 是一元一次方程．
(1)求m的值；
(2)已知： 是该一元一次方程的解，求n的值．
【答案】(1) ； (2)
【分析】本题考查一元一次方程的定义，方程的解．
（1）根据一元一次方程的定义可得 ， ，求解即可；
（2）把 代入方程，求解即可．
解：（1）∵关于x的方程 是一元一次方程，
∴ 且
∴ ；
（2）由（1）得，该一元一次方程为 ，
∵ 是该方程的解，
∴ ，
∴ ．
【变式1】（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）有一列方程：
第1个方程是 ，解为 ；
第2个方程是 ，解为 ；
第3个方程是 ，解为 ；
第4个方程是 ，解为 ；
……
根据以上规律，若第n个方程 的解为 ，则a的值为（ ）
A．41 B．42 C．43 D．44
【答案】A
【分析】本题主要考查了数字的变化类，先根据已知条件中的方程，找出规律，求出第 个方程和方程的解，列出关于 的方程，求出 ，从而求出 即可．解题关键是根据已知条件找出规律．
解：观察已知条件中的方程可知：第n个方程为： ，
方程的解为： ，
∵第n个方程的 解为 ，
∴ ，即： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）若a是方程的解 ，则代数式 的值
为 ．
【答案】2023
【分析】本题考查了求代数式的值，一元二次方程的解，熟练掌握整体思想的运用是解题的关键．
先利用一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，
得到 ，再把 变形，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵a是方程的解 ，
∴ 即 ，
∴
，
故答案为：2023．
【题型2】利用等式基本性质进行判断
【例2】（23-24七年级上·安徽池州·期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解决本题的关键．
根据等式的性质，逐项判断即可．
解：A、等式 两边同时加上n得， ，变形正确，故选项不符合题意；
B、等式 两边同时乘n得， ，变形正确，故选项不符合题意；
C、等式 两边同时除以n，当 时，两边都除以n无意义，变形错误，故选项符合题意；
D、无论n取何值 ，等式 两边同时除以 得， ，变形正确，故选项不
符合题意；
故选： C．
【变式1】（24-25七年级上·北京·期中）下列各等式中变形正确的是（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果 ，那么
D．如果 ，那么
【答案】D
【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质判断即可．性质1、等式两边加同一个数（或式子）结
果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
解：A．如果 ，那么两边同时加 得 ，故本选项不符合题意；
B．如果 ，那么两边同时乘 得 ，故本选项不符合题意；
C．如果 ，那么两边同时乘 得 ，故本选项不符合题意；
D．如果 ，那么两边同时减 得 ，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列各变形中：
①由 ，可得到后 ；
②由 ，可得到 ；③由 ，可得到 ；
④由 ，可得到 ．其中一定正确的有 （填序号）．
【答案】②③
【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可．
解：由 ，只有当 时，等式的两边才能同时除以a得出 ，故①错误；
由 的两边都减去3，得出 ，故②正确；
的两边都乘a得 ，故③正确；
由 可得 ，故④错误．
综上，正确的有②③．
故答案为：②③
【题型3】利用等式基本性质求天平中砝码的质量与个数
【例3】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，
如图所示．根据砝码显示的质量，求〇 g，□= g．
【答案】
【分析】本题考查了等式的性质，熟悉掌握并能灵活运用相关知识是解题的关键．
设1个〇重 g，1个□重 g，1个△重 g，利用代数式可表达出 ， ， ，运
算求解即可．
解：设1个〇重 g，1个□重 g，1个△重 g．
由题意可得： ， ， ．
根据等式的基本性质2，将 的两边同除以2，得 ，
将 的两边同除以5，得 ，
将 和 代入 ，得 ，根据等式的基本性质1，将 两边同时减 ，得 ，
根据等式的基本性质2，将 两边同时除以 ，得 ，
将 代入 ，得 ，
〇 g，□ g．
故答案为： ， ．
【变式1】（2023七年级上·全国·专题练习）“△〇□”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天
平保持了平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放〇的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝
□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．据此解答即可．
解：由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△
＝□+□+
〇+〇＝〇+〇+〇．
答：“？”处应放〇的个数是3个．
故选：C．
【点拨】找出各图形之间的数量关系，是解题关键．
【变式2】（22-23七年级下·河北沧州·期末）嘉淇利用砝码和自制天平做一个物理实验，估测物体质量，
有两种不同质量的物体 、 ，同种物体的质量都相等，下面两个天平中右边都比左边低，天平中砝码
的质量如图所示， 的质量可能为（ ）
A．25 B．21 C．20 D．19【答案】D
【分析】
根据题意可知3个 比2个 加1个20 砝码轻，易得1个 比20 砝码轻，即可获得答案．
解：根据题意，可知3个 比1个 加1个50 砝码轻，1个 加1个50 砝码比2个 加1个20 砝
码轻，
所以，3个 比2个 加1个20 砝码轻，
即1个 比20 砝码轻，
所以 的质量可能为19 ．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．
【题型4】一元一次方程的同解原理
【例4】（2024七年级上·全国·专题练习）如果方程 的解与方程 的
解相同，求式子 的值．
【答案】
【分析】本题主要考查的是同解方程，理解同解方程的概念是解题的关键．
先求得方程的解，然后代入另一个方程求得a的值，最后，再求得代数式的值即可．
解：解方程 得： ，
将 代入 得： ，
解得： ，
∴ ．
【变式1】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于 的方程 的解比关于 的方程 的解大 ，求 的值．
【答案】
【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
先求出方程 的解，再求出方程 的解，两者差额为 ，即可解
答．
解：
根据题意可知：
【变式2】（23-24六年级下·上海·期中）当 时，关于 的方程 和方程
的解相同．
【答案】4
【分析】本题考查了一元一次方程解的定义及一元一次方程的解法，熟知一元一次方程解的定义及一元
一次方程的解法是解决问题的关键．解方程 可得 ，把 代入方程 可
得方程 ，解方程求得a的值即可.
解：
，
关于 的方程 和方程 的解相同，
，，
故答案为：4.
【题型5】一元一次方程中的错解问题
【例5】（23-24七年级下·四川眉山·期中）关于x的一元一次方程 ，王小明在去分母时，
方程右边的 的项没有乘以6，因而求得的解是 ．试求a的值，并求出原方程的正确解．
【答案】 ，
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先把 代入 ，求出a的值，然后再得出
原方程为 ，解方程即可．
解：把 代入 得： ，
∴原方程为 ，
去分母得 ，
去括号得 ，
移项得 ，
合并同类项得 ．
【变式1】（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）已知方程 ，小王正确解得 ．小李由于粗
心，把b看作6，解得 ．试求 的值．
【答案】 ，
【分析】本题考查了含参数的一元一次方程，解题关键是掌握解一元一次方程的基本步骤．将 ，
，代入 可得a的值，再将 代入 可得b的值．
解：将 代入 得，
，
当 时， ，
，
解得： ，
将 代入 可得，
．
故 ， ．
【变式2】（23-24七年级下·四川遂宁·阶段练习）小马虎在解关于 的方程 去分母时，方程右边的“ ”没有乘以6，最后他求得方程的解为3．则方程正确的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查解一元一次方程，将错就错，求出 的值，再解方程即可．
解：按照小马虎的方法去分母，得： ，
此时方程的解为3，
∴ ，
解得： ，
∴原方程化为： ，
解得： ；
故选B．
【题型6】一元一次方程中的遮挡问题
【例6】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）整式 ，其中整式 的系数■被污染．
（1）若■是 ，则化简 的结果是 ．
（2）若 时， 的值为19，则原式中■的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查整式的加减、解一元一次方程等知识点，由题意构建关于x的参数方程是解题的关键．
（1）由题意列代数式，然后去括号、合并同类项即可解答；
（2）设 ，然后列代数式代简，然后得到得出关于m参数的方程求解即可．
解：（1）当■是 时，则 ；
故答案为 ．
（2）设 ，
∵ 的值为19，
∴ ，∵ ，
∴ ，解得： ．
故答案为 ．
【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）方程 中被阴影盖住的部分是一个常数，
且此方程的解是 ，求这个常数．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义和解一元一次方程，根据一元一次方程的解是使方程左右
两边相等的未知数的值，把 代入原方程中，即可求出被阴影盖住的常数．
解：设阴影部分表示的常数为a．
将 代入，得 ，
即 ，
两边同时加上 ，得 ，
两边同时加上a，得 ．
【变式2】（22-23七年级上·河北张家口·期末）嘉嘉在解关于 的一元一次方程 时，发现常
数“ ”被污染了．
（1）若嘉嘉猜“ ”是 ，则原方程的解为 ，
（2）老师说：“此方程的解是正整数且常数 为正整数”，则被污染的常数“ ”是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了解一元一次方程，整数的性质等知识，准确解一元一次方程是关键．
（1）依次去分母、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程；
（2）设被污染的常数“ ”是 ，进而解方程得到 ，再根据此方程的解是正整数且常数 为
正整数，得到 ，分别代入方程的解，得到满足条件的 值，即可得到答案．
解：（1） ，
去分母，得： ，移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化1，得： ，
故答案为： ；
（2）设被污染的常数“ ”是 ，则方程为
去分母，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化1，得： ，
方程的解是正整数，且常数 为正整数
， ，
，
当 时， ，符合题意；
当 时， ，不符合题意；
当 时， ，不符合题意；
当 时， ，符合题意；
综上可知， 的值为 或 ，即被污染的常数“ ”是 或 ，
故答案为： 或 ．
【题型7】一元一次方程中分子与分母含小数问题
【例7】（2024·浙江杭州·一模）某同学解方程 的过程如下框：
解：
两边同时乘以10，得 ……
①
合并同类项，得 ……②系数化1，得 ……③
请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程．
【答案】最早出现错误的步骤是 ，正确的解法见解析．
【分析】此题主要考查了解一元一次方程，第1步是将方程中未知数的系数化为整数，而不是去分母可
得出错误的步骤序号，先将系数化为整数得 ，再合并同类项 ，最后再将未知数的系数
化为1即可得出该方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解决问题的关键．
解：最早出现错误的步骤是 ，正确的解法如下：
对于方程 ，
将系数化为整数，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化 ，得 ．
【变式1】（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程：
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键；去分母，去
括号，移项、合并同类项即可解决．
解： ，
原方程化为： ，
去分母，得： ，
去括号得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化为1，得 ．
【变式2】（22-23七年级上·辽宁铁岭·期末）解方程：(1) (2)
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解方程的步骤是解题的关键．
（1）先将分母去掉，然后再把括号去掉，再移项、合并同类项，系数化1即可得出x的值；
（2）先整理，然后去分母，去括号，再移项、合并同类项，系数化1即可得出x的值；
解：（1）
去分母得： ，
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得： ；
（2） ．
去分母得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得： ．
【题型8】一元一次方程中有解、无解、无数解问题
【例8】（23-24六年级下·上海·期中）解关于 的方程： ．
【答案】当 时， ；当 时，x一切实数．
【分析】本题考查了解一元一次方程，将原方程化为 ，分两种情况：当 时；当
时，分别求解即可得出答案．
解： ，
当 时， ，当 时， 一切实数．
【变式1】（19-20七年级上·四川绵阳·期中）若关于x的方程 有无数解，则3m+n的值为
；
【答案】0
【分析】根据方程 有无数解，求出m、n的值，代入3m+n计算即可．
解： ，
移项得：mx+x= -1，
合并同类项得：(m+1)x= -1，
∵该方程有无数解，
∴m+1=0， -1=0，
解得
m=-1，n=3，
∴3m+n =-3+3=0，
故答案为：0．
【点拨】本题考查了一元一次方程解的情况，一元一次方程（形如ax=b）的解的情况：①当a≠0时，方
程有唯一解x= ，②当a=0，b≠0时，方程无解，③当a=0，b=0时，方程有无数个解．
【变式2】（20-21六年级下·黑龙江大庆·期末）关于x的方程2a （x+5）＝3x+1无解，则a＝ ．
【答案】
【分析】先把原方程变为 ，再由方程无解即可得到 ，由此求解即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵关于 的方程 无解，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程无解的问题，熟知一元一次方程无解的条件是解题的关键．
【题型9】一元一次方程中的整数解问题
【例9】（23-24七年级下·河南新乡·期中）在关于x的一元一次方程 中，m是正整数．
(1)当 时，求方程的解；
(2)若方程有正整数解，求m的值．
【答案】(1) ； (2)
【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程步骤是解题关键．
（1）把 代入原方程，根据解一元一次方程步骤求出x；
（2）先求出方程的解 ，再根据然后根据x是正整数，m是正整数，求出m.
解：（1）当 时，原方程为 ，
解得 ；
（2）解方程 ，
得 ，
方程有正整数解， 是正整数，
．
【变式1】（22-23七年级上·广东惠州·阶段练习）已知关于 的方程 有整数解，则正整数 的
值为（ ）
A． B． 或
C． 或 或 D． 或 或 或
【答案】A
【分析】先解关于x的方程得到 ，然后根据整数的整除性求解．解：整理得 ，
∴ ，
∵x为整数，m为正整数，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解及解法，掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．
【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）已知关于 的方程 有
整数解，且 是整数，求 的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了解方程，解题的关键是先将a看作已知数，得出 ，根据
x为整数，得出 或 ，再求出a的值即可．
解：
去括号得： ，
整理得： ，
解得 ，
当 或 时， 是整数，
∴ ．
【题型10】解含绝对值的一元一次方程
【例10】（2022七年级上·全国·专题练习）我们已经知道“非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值
等于它的相反数”，利用这个知识可以解含有绝对值的方程，如：解方程 ．
解：当 时， ，方程化为 ，解得 （符合题意）；
当 时， ，方程化为 ，解得 （符合题意）．
方程 的解为 或 ．
（1）方程 的解为 ；
（2）方程 的解为 ．【答案】 /
【分析】利用绝对值的意义，去绝对值符号，然后解一元一次方程即可．
解：（1）当 时，即 时，
方程化为 ，
解得 ，
∵ ，
∴ 不合题意；
当 时，即 时，
方程化为 ，
解得 ，
∵ ，
∴ 符合题意；
∴方程的解为 ．
（2）当 时，原方程化为：
，
解得 ，
∵ ，
∴ 不符合题意；
当 时，原方程化为：
，
解得 ，
∵ ，
∴ 符合题意；
当 时，原方程化为：
，
解得 ，
∵ ，∴ 不符合题意；
故方程的解为 ．
【点拨】本题主要考查了绝对值方程的内容，关键是利用绝对值的意义，去掉绝对值符号，尤其第（2）
题，要分类讨论．
【变式1】（20-21七年级·全国·假期作业）方程|2x﹣1|＝4x+5的解是（ ）
A．x＝﹣3或x＝﹣ B．x＝3或x＝
C．x＝﹣ D．x＝﹣3
【答案】C
【分析】根据2x-1的符号分情况去绝对值号，列出方程求解即可．
1
解：①当2x﹣1≥0，即x≥ 时，原式可化为：2x﹣1＝4x+5，解得，x＝﹣3，舍去；
2
1
②当2x﹣1＜0，即x＜ 时，原式可化为：1﹣2x＝4x+5，解得，x＝ ，符合题意．
2
故此方程的解为x＝ ．
故选：C．
【点拨】此题考查取绝对值的方法和解一元一次方程的方法，取绝对值后列方程求解方程即可．
【变式2】（22-23七年级上·全国·单元测试）当 时，关于x的方程 的解的情况是（
）
A．方程只有1个解 B．方程有2个解
C．方程有无数个解 D．方程无解
【答案】B
【分析】分三种情况：当 、当 和当 时，分别化简绝对值，求解方程即可判断．
解：①当 时，原方程为： ，
解得 ；
②当 时，
原方程为： ，此时 ，不符合题意，舍去；
③当 时，
原方程为： ，
解得 ．
综上：当 时，关于x的方程 有两个解．
故选：B．
【点拨】本题考查了绝对值方程、一元一次方程的求解以及分类的思想，熟练掌握相关知识、全面分类
是解题的关键．
【题型11】用整体思想解一元一次方程
【例11】（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）方程 可以有多种不同的
解法，观察此方程，设 ．
(1)原方程可变形为 ，解方程得： ，从而可得 ．
(2)上述解法所用到的数学思想是 ．
(3)利用上述方法解方程：
【答案】(1) ， ； (2)换元思想（整体思想）； (3)
【分析】本题通过代换法的应用以及解一元一次方程，掌握换元思想是解题关键．
（1）解出方程得到 的值，进而得到 的值即可；
（2）解题方法用到了换元思想；
（3）设 ，将原方程换成 的方程，解出方程得到 的值，进而得到 的值即可．
解：（1） ，
，
，
，
∴ ，解得x=−1，
故答案为： ， ．
（2）上述解法用到的数学思想为换元思想或者整体思想．故答案为：换元思想（整体思想）．
（3）设 ，原方程变形为： ，
，
，
，
，
∴ ，
∴ ．
【变式1】（23-24七年级上·山东潍坊·期末）数学李老师让同学们解方程 ．小
亮认为“方程两边有分母，应该先去分母”，小颖认为“方程中有 及 ，且互为相反数，应
该用整体思想求解”．请你分别用小亮、小颖的方法求解该方程．
【分析】本题考查解一元一次方程．按照两人的方法，逐一进行求解即可．解题的关键是掌握解一元一
次方程的步骤，正确的进行计算．
解：小亮：原方程可化为
；
小颖：原方程可化为
．
【变式2】（21-22七年级上·云南昆明·期中）在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果．例如，在解方程 时，把 看作一个整体．
令 ，得： ，
去括号，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ，
故 ，解得 ．
阅读以上材料，请用同样的方法解方程：
【答案】x=
【分析】把x+2看作一个整体，再按照解一元一次方程的方法求解即可．
解：令a=x+2，则2a=2x+4，
原方程得： ，
去括号，得：4a-20=1，
移项，得：4a=21，
系数化为1，得：a= ．
故x+2= ，
解得x= ．
【点拨】本题考查了解一元一次方程，能正确换元是解此题的关键．
【题型12】一元一次方程中大数据问题
【例12】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）已知关于 的一元一次方程 的解为
，求关于 的一元一次方程 的解．
【答案】【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，将关于 的一元一次方程
两边各项乘 得到 ，进而得到
的解为 ，进一步求解即可．
解：因为关于 的一元一次方程 的解为 ，
所以关于 的一元一次方程 两边各项乘 得到：②
，
方程①和方程②同解，所以 ，解得： ．
故答案为： ．
【变式1】（2024七年级·全国·竞赛）关于 的一元一次方程 的
解（ ）．
A．是一个大于 小于 的数 B．是一个大于 的数
C．是一个大于 小于 的数 D．不存在
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次方程，利用分数的性质先对方程化简，再移项，转化为
，得到 ，解之即可求解，把方程转化为
是解题的关键．
解：原方程变形为 ，
即 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴方程 的解是一个大于 小于 的数，
故选： ．
【变式2】（21-22七年级上·江苏南通·阶段练习）已知关于 的一元一次方程 的解为
，那么关于 的一元一次方程 的解为（ ）
A．2013 B． C．2023 D．
【答案】C
【分析】首先由方程 可得， ，由方程
可得， ，设n=y-5，可得 ，再由方程 的
解为 ，可得方程 的解为n=2018，据此即可解得．
解：由方程 ，得 ，
由方程 可得， ，
得 ，
设n=y-5，则可得 ，
方程 的解为 ，
方程 的解为n=2018，
，
解得y=2023，
故选：C．【点拨】本题主要考查了一元一次方程的解和利用换元法解一元一次方程，正确掌握和利用换元法的转
化思想是解题的关键．
【题型13】一元一次方程中规律问题
【例13】（21-22七年级上·北京·期中）我们知道， ， ， ，……因此
关于 的方程 的解是 ；关于 的方程 的
解是 （用含 的式子表示）．
【答案】 （或 ）
【分析】（1）根据题意将方程的左边变形，进而即可求解；
（2）同（1）的方法解一元一次方程即可
解：（1）
可化为：
即
解得
（2）
即
解得 （或 ）
【点拨】本题考查了解一元一次方程，仿照例题解决问题是解题的关键．
【变式1】（21-22八年级上·山东潍坊·期中）方程 的解是x=（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C【分析】由 ， ， ，可以得到
，然后把方程左边利用拆项法变形后，计算即可求出解．
解：∵ ， ， ，
∴ ，
方程变形得：
即 ，
去分母得： ，
解得：
故选C．
【点拨】此题考查解一元一次方程和数字类的变化规律，解题关键在于利用拆项法将原式变形．
【变式2】（20-21七年级上·山东德州·阶段练习）方程 + +……+ =2018的解是
．
【答案】x=2019
【分析】将等式左边变形为 ，利用拆项法得到
，合并同类项进行计算即可得到答案．
解： + +……+ =2018
=2018=2018
x=2019，
故答案为：x=2019．
【点拨】此题考查解一元一次方程，乘法分配律的逆运算，利用拆项法将等式左边变形为
是解题的关键．
【题型14】含参一元一次方程的解总是一个常数问题
【例14】（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）若不论k取什么数，关于x的方程
（a、b是常数）的解总是 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了一元一次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题
关键；将 代入 中，化简得到 ，由不论k取什么数，关于x的方程
（a、b是常数）的解总是 可知，k的值对方程没有影响，即可得到 ，
求解即可；
解： 不论k取什么数，关于x的方程 （a、b是常数）的解总是 ，
，
，
，
，，
，
故选：C．
【变式1】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如果m，n为常数，关于x的方程
，无论k为何值，方程的解总是 ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程的拓展，先解方程得到 ，再由关于x的方
程 ，无论k为何值，方程的解总是 ，得到当 时，关于k的方程
有无数解，则 ，据此求出m、n的值，再代值计算即可．
解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得：
∵关于x的方程 ，无论k为何值，方程的解总是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式2】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于 的一元一次方程 的解为
，则关于 的一元一次方程 的解为 ．
【答案】【分析】本题考查了一元一次方程的的特殊解法，掌握整体代换的思想是解题的关键．根据关于 的一元
一次方程的解，可以得到 的值，把 的值代入关于 的方程式中，可以得到 的解．
解： 变形得 ，
∵关于 的一元一次方程 的解为 ，
∴ 中 ，
解得： ．
故答案为： ．
【题型15】列一元一次方程解决分数问题
【例15】（24-25七年级上·吉林白城·阶段练习）人数2024版初中数学七年级上册7页，可以写成分数形
式的数称为有理数．例如： ， ，我们知道分数 可以写成小数 ，
反过来，无限循环小数 可以写成分数 ，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．无限
循环小数 为例进行探究：
设 …﹐
两边同乘以10得： ，即 ，解得
∴ ，因此， 是有理数．
(1)无限循环小数 写成分数为__________．
(2)试说明无限循环小数 是一个有理数
(3)大小比较： ____ ．（选填“ ”“ ”或“ ”）
(4)无限循环小数 写成分数．（直接写出答案）
【答案】(1) ； (2)见解析； (3)=；(4) （或 ）
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题干转化思想是解题关键．
（1）仿照题干，设 ，两边同乘以10，得到 ，求出 的值即可；（2）设 ，两边同乘以10，得到 ，求出 的值，即可说明结论；
（3）设 ，两边同乘以10，得到 ，求出 ，即可得到答案；
（4）设 ，两边同乘以100得到 ，解得： ，再根据 ，即
可得到答案．
解：（1）设 ，
两边同乘以10得： ，即 ，
解得： ，
即无限循环小数 写成分数为 ，
故答案为： ；
（2）设 ，
两边同乘以10得： ，即 ，
解得： ，即无限循环小数 写成分数为 ，
所以，无限循环小数 是一个有理数；
（3）设 ，
两边同乘以10得： ，即 ，
解得： ，即无限循环小数 写成 ，
即 ，
故答案为： ；
（4）设 ，
两边同乘以100得， ，即 ，解得： ，即无限循环小数 写成分数为
则 ．
【变式1】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）阅读下面“将无限循环小数化为分数”材料，并解决
相应问题：
我们知道分数 写为小数形式即为0.3，反之，无限循环小数0.3写成分数形式即 ，一般地，任何一个
无限循环小数都可以写成分数形式吗?如果可以，应怎样写呢?
【发现】以无限循环小数 为例进行讨论．
设 ，由 …可知， …，即 ．解得 ．于是
【解决问题】请你把无限小数 写成分数形式，即 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是找出其中的规律，即通过方程形式，把无
限小数化成整数形式．设 ，由 可知 的值，进而求出即可．
解：设 ，由 可知，
即 ．
解得
于是，得 ．
故选：A．
【变式2】（23-24七年级上·福建福州·期中）仔细阅读下列材料．
“分数均可化为有限小数成无限循环小数”，反之，“有限小数或无限循环小数均可化为分数，”那么
怎么化为 ？
解、不妨设 ……，则 ……
，
解得 即根据以上材料，回答下列问题
(1)将“分数化为小数”， ______， ______；
(2)将“小数 和小数 化为分数”，需要写出推理过程．
【答案】(1) ， (2) ； ，推理过程见解析
【分析】（1）利用除法进行求解即可；
（2）根据题目提供的方法分别得到方程 和 ，解方程即可得到答案；
读懂题意，正确列出方程和解方程是解题的关键．
解：（1） ， ，
故答案为： ，
（2）设x＝ ，
则10x＝ ，
那么 ，
解得： ，
即 ；
设 ，
则 ，
那么 ，
解得： ，
即 ．
【题型16】列一元一次方程解决利润问题
【例16】（2024七年级上·全国·专题练习）小明今年4月份两次同时购进了A、B两种不同单价的坚果，
第一次购买A种坚果的数量比B坚果的数量多50%，第二次购买A坚果的数量比第一次购买A坚果的数量少60%，结果第二次购买坚果的总数比第一次购买坚果的总数量多20%，若第二次购买坚果的总费用比
第一次购买坚果的总费用少 （两次购买A，B两种坚果的单价不变），求B种坚果与A种坚果单价的
比值．
【答案】
【分析】本题考查了一次方程的应用，在缺少确切数值的情况下，可先假设等量关系中的关键量为未知
数，再列方程化简求值．
根据坚果数量的等量关系，可设第一次购买B种坚果数量为x个，用x分别表示第一次购买A种坚果的数
量和第二次购买两种坚果的数量．再分别设两种坚果的单价为a元和b元，根据两次购买价钱的等量关系
列方程，所列方程中x是可以约去的，化简即得到a与b的数量关系．
解：设第一次购买B种坚果数量为x，
∴第一次购买A种坚果的数量为：
∴第二次购买A种坚果数量为：
∴第二次购买坚果的总数量为： ，
∴第二次购买B种坚果个数量为：
设A种坚果单价为a元，B种坚果单价为b元，依题意得：
化简得：
∴
∴B坚果的单价与A坚果的单价的比值是 ，
故答案为： ．
【变式1】（22-23七年级上·重庆巴南·开学考试）某公园淡季的门票价是60元，比旺季门票便宜20%．
这个公园旺季时门票票价多少元？下面四位同学想法，其中错误的是（ ）．
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】此题考查列方程解应用题，百分数的应用，关键是根据题意找出基本数量关系．
根据题意，把公园旺季门票价钱看作单位“1”，有关系式：淡季门票=旺季门票 旺季门票 ．关系
式也可变形为：淡季门票=旺季门票 或淡季门票 旺季门票=旺季门票．设旺季门票为x元，
列方程为： 或 或者是 ．由此判断．
解：把公园旺季门票价钱看作单位“1”，有关系式：
淡季门票=旺季门票-旺季门票 ，
或者：淡季门票=旺季门票 ，
或：淡季门票 旺季门票=旺季门票．
设旺季门票为x元，列方程为：
或 或者是 ．
所以A、C、D都是正确的，错误的是B．
故选：B．
【变式2】（23-24七年级下·山西临汾·期末）“五一”期间，利民商场开展特价优惠活动，某品牌护眼
灯的原价为320元/台，现价为240元/台，按现价出售后仍可获利 ，则该品牌护眼灯的进价为多少？
设该品牌护眼灯的进价为 元/台，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题中的数量关系列出等式是解题的关键．根据利润 利润
率 进价，列出方程即可．
解：现价出售后利润为 元，
根据题意可得： ，即 ；
故选：C．
解得：
故答案为：
【变式2】（21-22七年级上·广东广州·开学考试）足球友谊比赛的票价是50元，赛前一小时还有余票，
于是决定降价，结果售出的票比之前增加了三分之一，而票房收入比之前增加了四分之一，那么每张票
售价降了 元．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设每
张票售价降了x元，按原价售出a张票，则降价后售出 张票，利用总价 单价 数量，结合降价
后票房收入比降价前增加了四分之一，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：设每张票售价降了x元，按原价售出a张票，则降价后售出 张票，
根据题意得： ，
即 ，
解得： ，
∴每张票售价降了 元．
故答案为： ．
