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培优专题02 一元一次方程与实际问题
（题型突破·举一反三）
题型01 配套问题
题型02 工程问题
题型03 营销问题
题型04 比赛积分
题型05 方案选择问题
题型06 数字问题
题型07 分段计费问题
题型08 行程问题
题型09 日历问题
题型10 和差倍分问题
题型11 年龄问题
题型12 古代问题
题型13 几何问题
题型14 动点问题
▌题型01 配套问题
生活中常见的一些配套组合问题，如螺栓与螺母的配套，盒身与盒底的配套等.解决此
类问题的方法是抓住配套比，设出未知数，然后根据配套比列出方程，通过解方程解决问题.
【典例1】（25-26 七年级上·江苏盐城·期末）如图，长方体盒子是用大长方形硬纸片裁剪制作的，每个
盒子由4 个小长方形侧面和上下2 个正方形底面组成，大长方形硬纸片按两种方法裁剪：方法剪4 个侧面；
方法剪6 个底面．现有80 张大长方形硬纸片全部用于裁剪制作长方体盒子，设裁剪时
张用
方法，其
余用
方法．
(1)请用含
的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面个数，侧面：______，底面：_____．
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问：
方法、
方法各裁剪几张？
【答案】(1)
；
(2)用
方法裁剪
张，用
方法裁剪
张
【分析】本题考查一元一次方程的应用，列代数式，根据题意正确列出方程是解题的关键．
（1）根据题意可以分别用代数式表示出裁剪出的侧面和底面个数；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【详解】（1）解：由题意可得，裁剪出的侧面个数是
，裁剪出的底面个数是
.
故答案为：
；
；
（2）解：由题意可得
解得：
，
则
(张)，
答：用
方法裁剪
张，用
方法裁剪
张．
【变式1】（25-26 七年级上·四川绵阳·期末）朝阳机械厂，零件加工车间A 要赶制一批螺栓和螺母．车
间A 原有若干名工人，需从车间B 调入6 名工人，使得调整后车间A 的总人数比原有工人人数的1.5 倍少1
人．
(1)求车间A 原有多少名工人?
(2)若车间A 现有工人每人每天可以生产720 个螺栓或960 个螺母，若1 个螺栓与2 个螺母配成一套．在新
调入工人后，应该安排多少名工人生产螺栓，其余工人生产螺母，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套?
【答案】(1)14 名
(2)8 名
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用．
（1）设车间A 原有x 名工人，根据“调整后车间A 的总人数比原有工人人数的1.5 倍少1 人”这一关系列
出方程求解；
（2）设安排y 名工人生产螺栓，根据配套关系“1 个螺栓与2 个螺母配成一套”，即螺母数量是螺栓数量
的2 倍，列出方程求解．
【详解】（1）解：设车间A 原有x 名工人，
由题意得：
，
解得：
，
即车间A 原有14 名工人．
（2）解：设安排y 名工人生产螺栓，则生产螺母的工人有
名，
由题意得：
，
解得：
，
即应该安排8 名工人生产螺栓，其余工人生产螺母，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套．
【变式2】（25-26 七年级上·陕西咸阳·期末）某服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已知米长的某
种布料可做
件上衣或条裤子，一件上衣和一条裤子为一套学生服装．现计划用
米长的这种布料生产
学生服装，该服装厂分别用多少米长的布料生产上衣和裤子才能恰好配套？这些布料一共能生产多少套学生
服装？
【答案】
米生产上衣，
米生产裤子，可生产
套．
【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握一元一次方程的实际运用．
设用
米布料做上衣，则用
米布料做裤子，根据题意，列出方程，解出
，再根据裤子的布料为
米，用裤子布料计算生产套数即可．
【详解】解：设用
米布料做上衣，则用
米布料做裤子，
根据题意得：
，
解得：
，
裤子所用的布料为：
（米），
共能生产
（套）．
答：
米生产上衣，
米生产裤子，可生产
套．
【变式3】（25-26 七年级上·陕西安康·期末）某数学兴趣小组做如图所示的五棱柱数学仪器，小组共有
20 名同学，每名同学每小时可做侧面15 个或底面4 个，且每名同学只做侧面和底面中的一种．应如何分配
同学做侧面和底面，才能使每小时做的五棱柱刚好配套？（5 个侧面和2 个底面为一套）
【答案】应分配8 名同学做侧面，12 名同学做底面．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握“根据配套问题的数量关系建立一元一次方程”
是解题的关键．设分配
名同学做侧面，则做底面的同学有
名，根据五棱柱配套的侧面、底面数量
关系列一元一次方程求解．
【详解】解：设分配
名同学做侧面，则做底面的同学有
名．由题意可得
，
解得
，
∴做底面的人数为：
（名），
答：应分配8 名同学做侧面，12 名同学做底面．
▌题型02 工程问题
工作总量=工作时间×工作效率
工作时间=工作总量÷工作效率
工作效率=工作总量÷工作时间
总工作量=各单位工作量之和
甲乙合作效率=甲的工作效率+乙的工作效率
在工程问题中，一般将工作总量看作单位1.
【典例2】（25-26 七年级上·河南驻马店·期末）整理一批图书，由一个人做要
小时完成．现计划由一
部分人先做
小时，再增加人和他们一起做
小时，完成这项工作．
(1)若把整理这批图书的工作总量看作单位1，一个人的工作效率是________；
(2)假设这些人的工作效率相同，具体先安排多少人工作．
【答案】(1)
；
(2) 人．
【分析】本题主要考查了一元一次方程，根据题意正确列出方程是解题的关键．
（1）由一个人做要
小时完成，一个人的工作效率是
；
（2）设先由
人工作
小时，列出方程解答即可．
【详解】（1）解：一个人的工作效率是
；
（2）设先由
人工作
小时，
由题意得：
，
解得：
，
答：先由人工作
小时，再增加人和他们一起工作
小时，完成这项工作．
【变式1】（25-26 七年级上·湖南常德·期末）常德市为迎接湘超联赛，计划对市体育馆进行升级改造，
甲、乙两个工程队共同承包这个工程．若甲队独做需要
天完成，乙队独做需要
天完成．
(1)若甲、乙两队同时施工
天，余下的工程由乙队完成，则乙队还需要几天能够完成任务?
(2)在（）的条件下，已知甲队单独施工每天需费用
万元，乙队单独施工每天需费用
万元．问：完成该
项工程总共需要花费多少万元？
【答案】(1)乙队还需要
天完成任务；
(2)完成该项工程总共需要花费
万元．
【分析】本题考查的知识点是工程问题(一元一次方程的应用)、 有理数的混合运算法则，解题关键是结合题
意建立一元一次方程．
（1）设乙队还需要
天完成任务，结合题意建立一元一次方程后求解即可；
（2）结合题意，利用有理数的混合运算法则计算即可得解．
【详解】（1）解：设乙队还需要
天完成任务，
则依题意得
，
解得
，
故乙队还需要
天完成任务；
（2）解：完成该项工程总共需要花费
（万元），
故完成该项工程总共需要花费
万元．
【变式2】（25-26 七年级上·河南商丘·期末）在科技飞速发展的当下，芯片作为信息技术产业的核心，
其研发水平直接关系到国家科技竞争力与产业话语权．为突破关键核心技术瓶颈，甲、乙两个科研团队携手
开展一款高端芯片的研发工作．已知甲科研团队单独完成这款芯片的研发需要20 个月，乙科研团队单独完
成这项研发需要30 个月．
(1)若甲科研团队先做5 个月，剩余部分再由甲、乙两个团队合作，还需要多少个月才能完成？
(2)甲、乙两个科研团队共同完成，若甲科研团队工作的总月数是乙科研团队工作的总月数的
，求甲、乙科
研团队各工作了多少个月．
【答案】(1)9 个月
(2)甲科研团队工作了10 个月，乙科研团队工作了15 个月
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键．
（1）设还需要x 个月才能完成，根据题意可求出甲、乙的工作效率，再根据甲、乙的工作总量之和为1 建
立方程求解即可；
（2）设乙科研团队工作了m 个月，则甲科研团队工作了
个月，根据甲、乙的工作总量之和为1 建立方
程求解即可．
【详解】（1）解：设还需要x 个月才能完成，
由题意得，
，
解得
，
答：还需要9 个月才能完成；
（2）解：设乙科研团队工作了m 个月，则甲科研团队工作了
个月，
由题意得，
，
解得
，
∴
，
答：甲科研团队工作了10 个月，乙科研团队工作了15 个月．
【变式3】（25-26 七年级上·河南许昌·期末）某印刷厂承接一批图书印刷任务，甲车间每天可印刷150
本，乙车间每天可印刷120 本．单独印刷，甲车间比乙车间少用3 天完成．
(1)这批图书共有多少本？
(2)若先由甲乙两车间合作印刷2 天，剩下的由乙车间单独完成，还需多少天（保留整数）？
(3)已知甲车间每天印刷成本800 元，乙车间每天印刷成本600 元，有三种方案：①甲单独完成；②乙单独完
成；③按（2）的方式完成．哪种方案成本最低？
【答案】(1)这批图书共有1800 本
(2)还需11 天
(3)方案②成本最低
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．
（1）设单独印刷，甲车间需
天，乙车间需
天，根据题意列方程求出
，再乘以甲车间工作效率
即可；
（2）求出剩下的图书，进而除以乙车间工作效率计算即可；
（3）求出三种方案各自的成本，进而判断即可．
【详解】（1）解：设单独印刷，甲车间需
天，乙车间需
天，
∵甲车间每天可印刷150 本，乙车间每天可印刷120 本，
∴
，
解得
，
∴这批图书共有
本；
（2）解：∵甲乙两车间合作印刷2 天，
∴剩下的图书有
本，
∴还需
天；
（3）解：由（1）知甲车间需
天，乙车间需
天，
则①甲单独完成：
（元）；
②乙单独完成：
（元）；
③按（2）的方式完成：
（元）；
可知方案②成本最低．
▌题型03 营销问题
利润=售价-进价（成本）
总利润=单件利润×销售量
利润率=（利润÷成本价）×100%
销售额=销售价×销售数量
销售利润=（销售价-成本价）×销售数量
商品打几折就是按照原价的百分之几十出售
【典例3】（25-26 七年级上·山东青岛·开学考试）商店进了一批商品，按
加价出售．在售出八成后，
为了尽快销完，决定五折处理剩余商品，而且商品全部出售后，突然被征收了150 元的附加税，这使得商店
的实际利润只是预期利润的一半，那么这批商品的进价是多少元？
【答案】这批商品的进价是2500 元
【分析】设这批商品的进价为
元，先计算出所有商品全部售出后的实际总收入，根据“利润
总收入总
成本”，结合实际利润为预期利润的一半、附加税计入成本的条件，列出一元一次方程求解即可．
【详解】解：设这批商品的进价是
元，
∴预期利润为
；
实际总收入为
；
实际总成本为
；
实际利润为
，
∴
解得
．
答：这批商品的进价是2500 元．
【变式1】（25-26 七年级上·四川凉山·期末）宁南享有 “中国蚕桑之乡” 的美誉，宁南桑葚深受消费
者喜爱．今年果农张伯伯对一批桑葚进行分装销售（这批桑葚包括A，B 两种），第一天完成了这批桑葚总
量的
，第二天完成了剩余量的
，最后还剩下 80 千克在第三天完成分装．
(1)求这批桑葚共有多少千克？
(2)某水果批发店用 4400 元购进这批桑葚，这两种桑葚的进价、售价如下表所示：
进价（元/千克）
售价（元/千克）
A 种桑葚
6
10
B 种桑葚
8
13
在销售过程中两种桑葚均有
的损耗，求这家水果店销售完这批桑葚可以获得多少利润？
【答案】(1)这批桑葚共有600 千克
(2)这家水果店销售完这批桑葚可以获得2440 元利润
【分析】（1）设这批桑葚共有x 千克，利用总量减去第一天、第二天完成的量等于第三天的量列出方程求
解即可；
（2）先求出A、B 种桑葚的数量，再利用总售价减去总进价列式计算即可．
【详解】（1）解：设这批桑葚共有x 千克，根据题意得：
解得：
，
答：这批桑葚共有600 千克；
（2）设A 种桑葚有m 千克，则B 种桑葚有
千克，
，
解得：
则B 种桑葚质量为
（千克），
利润
（元），
答：这家水果店销售完这批桑葚可以获得2440 元利润．
【变式2】（25-26 七年级上·贵州遵义·期末）“禾下乘凉梦，一稻一人生”．“共和国勋章”获得者，
“杂交水稻之父”袁隆平尽毕生之力让中国人端牢了自己的饭碗．
年金秋八月，遵义海龙贡米迎来了
丰收时节，某种植区种植了
、
两种水稻，并将两种水稻加工成大米后售卖，其中大米
的售价6 元/千
克，大米
的售价8 元/千克．
(1)若该种植区售出
，
两种大米共
千克，共收款
元．求
，
两种大米各卖出多少千克；
(2)已知大米
的成本为2 元/千克，若售出
千克大米
的利润比售出
千克大米
的利润多
元，则
大米
的成本是多少元/千克？
【答案】(1)
种大米卖出
千克，
种大米卖出
千克；
(2)大米
的成本是3 元/千克．
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是根据题意准确找出等量关系并列出方程求解．
（1）
、
两种大米的总销售量为
千克，
、
两种大米的总销售额为
元，通过设其中一种大米的
销售量为未知数，利用总销售量表示另一种的销售量，再结合总销售额列方程求解；
（2）小问2 的等量关系为：售出
千克大米
的利润-售出
千克大米
的利润=
元，根据
“
”的公式，分别表示出两种大米的利润，再结合等量关系列方程求解．
【详解】（1）解：设
种大米卖出
千克，则
种大米卖出
千克，
根据题意列方程得：
，
解得：
，
则
；
答：A 种大米卖出
千克，
种大米卖出
千克．
（2）解：设大米
的成本是
元/千克，
∵大米
的成本为2 元/千克，售价为6 元/千克，
∴售出
千克大米
的利润为
(元)；
每千克大米
的利润为
元，售出
千克大米
的利润为
元，
根据题意列方程得：
，
解得：
；
答：大米
的成本是3 元/千克．
【变式3】（25-26 七年级上·湖南长沙·期末）为了迎接新学期，书店计划购进A，B 两类书刊，A 类书刊
和B 类书刊的售价分别是15 元/本和20 元/本，且每本B 类书刊的进价比每本A 类书刊贵2 元．已知购买
300 本A 类书刊和200 本B 类书刊共需要4400 元．
(1)每本A 类书刊、B 类书刊的进价各是多少元？
(2)因销售情况良好，书店又购进A 类书刊350 本，B 类书刊250 本．为了更快售罄，书店决定在保持A 类书
刊售价不变的基础上，对B 类书刊打折出售．若这600 本书刊全部售完后总利润为4200 元，则B 类书刊打
几折？
【答案】(1)每本A 类书刊进价8 元，每本B 类书刊进价10 元
(2)B 类书刊打
折
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准题中的等量关系．
（1）先理解题意，再设每本
类书刊的进价是
元，则每本
类书刊的进价是
元，根据购买
本
类书刊和
本
类书刊共需要
元，进行列式计算，即可作答．
（2）设
类书刊打了
折，根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设每本
类书刊的进价是
元，则每本
类书刊的进价是
元．
根据题意，得
，
解得
，
（元）
答：每本
类书刊的进价为元，每本
类书刊的进价是
元．
（2）解：设
类书刊打了
折，
根据题意，得
，
解得
．
答：
类书刊打了
折．
▌题型04 比赛积分
比赛总场数=胜场总数+平场总数+负场总数;比赛总分=胜场积分+平场积分+负场积分.
【典例4】（25-26 七年级上·安徽合肥·期末）为提升学生身体素质，落实教育部门有关“中小学生每天
综合体育活动时间不低于2 小时”的文件精神，肥东某中学利用课后服务时间，开展班级篮球赛，共16 个
班级参加．比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3 分，负一场积1 分，某班在15 场比赛中获
得总积分为37 分，求该班胜、负场数分别是多少场？
【答案】该班胜场数是11 场，负场数为4 场
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该班胜场数是x 场，则负场数为
场，利用总积分
胜场数
负场数，可列出关于x 的一元一次方程，解之可得出x 的值（即胜场数），再将其代入
中，即可求出负场数．
【详解】解：设该班胜场数是x 场，则负场数为
场，
根据题意得：
，
解得：
，
∴
（场）．
答：该班胜场数是11 场，负场数为4 场．
【变式1】（25-26 七年级上·福建福州·期末）我校开展“书香校园”文学阅读与知识竞赛活动．知识竞
赛为百分制，共设20 道选择题，各题分值相同，每题必答．
，
，
三位参赛者得分情况如下表所示：
参赛者
答对题数
答错题数
得分
20
0
100
19
1
94
58
(1)这次竞赛中答对一题得_____分，答错一题得_____分；
(2)求参赛者
答对的题数．
【答案】(1)5，
(2)参赛者
答对13 题
【分析】本题考查了有理数四则混合运算的实际应用，比赛积分(一元一次方程的应用)等知识点，解题关键
是掌握上述知识点并能运用其来求解．
（1）由参赛者A 可求得答对一题得分，由参赛者B 可求得答错一题得分；
（2）设参赛者
答对
题，根据题意列出一元一次方程求解．
【详解】（1）解：由参赛者A 可得，答对一题得
分，
由参赛者B 可得，答错一题得
分，
故答案为：5，
；
（2）解：设参赛者
答对
题，
依题意得：
．
解得：
．
答：参赛者
答对13 题．
【变式2】（25-26 七年级上·河南安阳·期末）2026 年安阳市“甲骨文杯”中学生篮球联赛采用单循环赛
制，每队均赛12 场，胜一场积3 分，平一场积1 分，负一场积0 分．下表是部分球队的参赛成绩：
队名
比赛场次
胜场
平场
负场
积分
安阳一中
12
8
2
2
26
林州二中
12
6
m
2
22
滑县实验中
学
12
n
1
3
25
根据表格信息，解答下列问题：
(1)求表格中m 为______，n 为______．
(2)某队在本次联赛中胜场数是负场数的2 倍，总积分为18 分，求该队的胜场、平场、负场数；
(3)若某队打完12 场比赛后，胜场是平场的3 倍，总积分能否为32 分？请说明理由．
【答案】(1)4，8
(2)胜4 场，平6 场，负2 场
(3)
解：总积分不能为32 分．理由如下：
设平场y 场，则胜场
场，负
场，
列方程：
，解得：
，
由于
不是整数，不符合场数为正整数的实际情况，因此该队总积分不能为32 分．
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准数量关系是解题的关键．依据比赛总场次
胜场数
平场
数
负场数、总积分
胜场积分
平场积分
负场积分，通过设未知数建立方程求解即可．
【详解】（1）解：依题意，得
，
解得
由
，
解得，
，
故答案为：
；
（2）解：设负场数为x 场，则胜场数为
场，平场为
场，
列方程：
，解得
．
平场：
（场），胜场：
（场）．
答：胜4 场，平6 场，负2 场．
（3）略
【变式3】（25-26 七年级上·湖南长沙·期末）2025 年“湘超”（湖南省足球联赛）火爆湖湘大地，作为
省内顶级足球赛事，每场比赛都精彩纷呈，吸引了大批球迷关注．据悉，该联赛分为常规赛和淘汰赛，在
13 轮常规赛中，位于八强的球队积分榜如图，已知胜一场积分比平一场积分多2 分，负一场不积分，完成
下列问题：
(1)请你根据图中信息，求出胜一场和平一场各积多少分?
(2)12 月27 日晚，随着永州队的夺冠，湘超正式落下帷幕，请根据图片中的相关信息，判断永州队在常规赛
中胜场总积分能等于它的平场总积分吗?请说明理由．
【答案】(1)平一场积分，胜一场积3 分
(2)永州队胜场总积分不能等于平场总积分，理由：
由图可得，永州队负3 场，
设永州队胜
场，平
场，
∴
，
若胜场总积分等于平场总积分，
则
，
∴
解得
，
∵
必须是正整数，
不是整数，
∴永州队胜场总积分不能等于平场总积分．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解决本题的关键．
（1）设平一场积
分，由题意可得胜一场积
分，根据图片列方程求解即可；
（2）由图可得，永州队负3 场，设永州队胜
场，平
场，再根据“若胜场总积分等于平场总积分”进行列
式求解即可．
【详解】（1）解：设平一场积
分，
∵胜一场比平一场多2 分，
∴胜一场积
分．
由图可得，长沙的总积分为35，胜11 场，平2 场，
∴
解得
，
∴平一场积分，胜一场积
分；
（2）略
▌题型05 方案选择问题
在解决实际问题时，我们常常会遇到合理安排、最优选择等问题，这些都需要通过列方
程进行计算、分析和比较，从而找到最优方案.
【典例5】（25-26 七年级上·河南新乡·期末）2026 年寒假即将来临，某商场特别关注“寒假经济”带来
的效益，在青少年商品专场适时开展商品促销活动．（每名顾客只能参加一种促销活动）
活动一：全场消费金额满100 元，立减50 元；
活动二：全场打六折．
(1)洋洋发现了一套心仪的图书，标价94 元，在收银台结账时，洋洋看见一些精美笔记本，标价为每本8 元，
洋洋如果多买一本笔记本，是否比只购买图书便宜？
(2)若商品标价为
元，试分别写出两种促销活动需要支付的金额，猜想如何依据图书的原价
选择省钱的购买方式，并通过计算验证你的想法．
【答案】(1)多买一本笔记本比只购买图书便宜
(2)当
时，活动一省钱；当
时，两种费用一样多；当
时，活动二省钱
【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，一元一次方程的应用和不等式的应用．
（1）只购买图书则只能使用活动二，购买笔记本则应使用活动一，分别求出每种情况的价格，进而比较即
可；
（2）求出两种方式各自的费用，进而列方程解答即可．
【详解】（1）解：只购买图书采用活动二的费用为
（元）．
多买一本笔记本采用活动一的费用为
（元）．
因为
，
所以多买一本笔记本比只购买图书便宜；
（2）若商品标价为
元，采用活动一的费用为
元，
采用活动二的费用为
元，
则
，
解得：
，
所以当
时，活动一省钱；
当
时，两种费用一样多；
当
时，活动二省钱．
【变式1】（25-26 七年级上·陕西咸阳·期末）某商场销售一种洗地机和加湿器，洗地机每台售价800 元，
加湿器每台售价150 元，为应对竞争，该商场引入“胖东来”营业模式后重新开业搞促销活动，活动期间向
客户提供以下两种优惠方案：
方案一：买一台洗地机送一台加湿器；
方案二：洗地机和加湿器都按售价的
付款．
促销活动期间，某客户要到该商场购买洗地机3 台，加湿器
台
．
(1)用含
的代数式分别表示该客户按方案一、方案二购买所需的费用；
(2)当
为何值时，该客户选择两种购买方案所需的费用相同？
【答案】(1)按方案一购买所需的费用为
元，按方案二购买所需的费用为
元
(2)
【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，理解题意正确列出代数式是解题的关键．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）结合（1）中的代数式即可求解．
【详解】（1）解：按方案一购买所需的费用为
元；
按方案二购买所需的费用为
元；
答：按方案一购买所需的费用为
元，按方案二购买所需的费用为
元；
（2）解：由题意得，
，
解得
，
答：当
时，该客户选择两种购买方案所需的费用相同．
【变式2】（25-26 七年级上·湖南长沙·期末）延庆区张山营镇是著名的“苹果之乡”，出产的苹果色泽
鲜艳、品种优良，红富士苹果获得“中华名果”的称号，秋收季节，某公司打算到张山营果园基地购买一批
苹果．果园基地对购买量在1000 千克（含1000 千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克10 元，由
基地送货上门；方案二：每千克8 元，由顾客自己运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000
元．设公司购买x（
）千克苹果，试回答以下问题：
(1)公司若按照方案一购买，需支付_____元，若按照方案二购买，需支付_____元；
(2)公司购买多少千克苹果时，选择两种购买方案所需的费用相同？
(3)如果公司打算购买3000 千克苹果，选择哪种方案省钱？为什么？
【答案】(1)
，
(2)2500
(3)解：方案二，理由：
公司打算购买3000 千克苹果，
∴方案一：
（元），
方案二：
（元），
∵
，
∴方案二更省钱．
【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，有理数的混合运算的应用．
（1）根据题意设公司购买
千克苹果，根据题意列出代数式，即可求解．
（2）根据两种购买方案所需的费用相同，再根据题意列出一元一次方程并正确解出即为本题答案；
（3）分别列式求出两种方案分别多少钱，再比较大小即可得到本题答案．
【详解】（1）解：设公司购买
千克苹果，
方案一：
，
方案二：
，
故答案为：
，
．
（2）解：选择两种购买方案所需的费用相同，依题意得，
，解得：
，
答：公司购买2500 千克苹果时，选择两种购买方案所需的费用相同．
（3）略
【变式3】（25-26 七年级上·广东肇庆·期末）某购物平台推出以下两种图书促销方式：
方式一：满100 元减50 元．
方式二：单件图书打六折（即按原价的
计算）．
请回答下列问题：
(1)若购买一册书的原价是80 元，分别计算按方式一和方式二进行购买所需支付的金额．
(2)设购买的图书原价为t 元
，按原价是否满100 元分两种情况，分别写出按方式一、方式二购买时需
支付的金额（用含t 的代数式表示），填写在下表：
原价t 的范围
方式一支付金额
方式二支付金额
(3)购买图书的原价在什么范围内，两种方式支付的金额相同？
(4)根据以上结果，分析如何根据图书原价选择更省钱的购买方式．
【答案】(1)按方式一购买需要支付的金额为80 元，按方式二购买需要支付的金额为
元
(2)解：根据题意，补全表格如下：
原价t 的范围
方式一支付金额
方式二支付金额
(3)
元时，按两种方式支付金额相同
(4)当
时，按方式二购买更省钱，当
时按方式一购买更省钱，当
时，两种方式费
用一样，当
时，按照方案式购买更省钱
【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用；
（1）根据题意列算式求解即可；
（2）根据题意列出代数式，完成列表；
（3）根据题意列出方程，解方程，即可求解；
（4）根据题意分情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：按方式一购买需要支付的金额为：80 元．
按方式二购买需要支付的金额为：
元．
（2）略
（3）解：根据题意，得
，
解得：
答：
元时，按两种方式支付金额相同；
（4）解：由题意，结合（2），得
当
时，方式一是按原价购买，方式二是打六折购买，故方式二购买更省钱；
由
得
，
由
，
由
得
，
答：当
时，按方式二购买更省钱；
当
时，按方式一购买更省钱；
当
时，两种方式费用一样；
当
时，按照方式二购买更省钱．
▌题型06 数字问题
一个两位数，十位数字是a，个位数字是b，那么这个数可表示为10a+b
一个三位数，百位数字是x， 十位数字是y，个位数字是z，那么这个数可表示为100x+10y+z
在九宫格中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等
【典例6】（25-26 七年级上·河南平顶山·期末）学习完有理数的运算后，老师给大家留了一道计算题：
。
小明准备做题时发现有一个数(题中的？)看不清了．
(1)他马上问小刚，小刚说记得是
．按小刚的说法，小明计算出了结果：(请把计算过程补充完整)
(2)这时，小红过来了，她说，我都算完了，我记得结果是
．那按照小红的说法，小明找出了题中看不清
的那个数，请写出小明找出这个数的完整过程．
最后，小明陷入了沉思，到底谁说的是对的呢，看来自己以后一定要细心．抄题时，字迹一定要工整．
【答案】(1)
解：
；
(2)
解：设题中看不清的数为
，
根据题意列方程得：
，
移项得：
，
两边同时除以
得：
，
移项得：
；
答：看不清的数为
．
【分析】本题考查有理数的混合运算及一元一次方程的应用，关键是掌握有理数的运算顺序(先乘方，再乘
除，最后加减，有括号先算括号内的)．
（1）直接按照有理数混合运算的顺序，先计算括号内的分数减法，再进行乘法运算，接着计算乘方，最后
计算减法即可得到结果；
（2）设看不清的数为未知数，根据已知的运算结果列出一元一次方程，再通过移项、化简等步骤求解方程，
即可得到未知的数．
【详解】（1）略
（2）略
【变式1】（25-26 七年级上·江西九江·期末）将连续的奇数
排成如图所示的数表．
(1)十字形框中的五个数之和与中间数15 有什么关系？
(2)设中间数为
，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？
(3)十字形框中的五个数之和能等于2022 吗？能等于2025 吗？
【答案】(1)这五个数之和是中间数15 的5 倍
(2)5a
(3)不能；能
【分析】本题考查了列代数式、数字的规律，整式的加减，及一元一次方程的应用；
（1）求出这个数的和即可得；
（2）若设中间的数为
，则上面的为
，下面的为
，左面的为
，右面的为
，据此可得；
（3）根据五个数的和分别为
、
列方程求解后，求出a 的值即可判断．
【详解】（1）解：由题意，得
，
．
因此十字形框中的五个数之和是中间数15 的5 倍．
（2）解：设框住的五个数的中间数为
，则其余的4 个数分别为
．
由题意，得
．
（3）解：十字形框中的五个数之和不能等于2022，因为2022 不是5 的倍数；
能等于2025，因为2025 是5 的倍数，且中间数为405，是奇数，405 在第三列，
故可以得出5 个数之和等于2025．
【变式2】（25-26 七年级上·四川广元·期中）我们知道
，
．
(1)一个两位数个位上的数字是1，十位上的数字是
．把1 与
对调，原两位数比新两位数大9，的值是多
少？请你用方程解决这个问题．
(2)如果一个两位数十位上的数字是
、个位上的数字是
，现把
与
对调，计算原两位数与新两位数的
差．并判断这个差能被9 整除吗？说明原因．
【答案】(1)2
(2)
解：差为
，能被9 整除，理由如下：
两位数与新两位数的差为：
，
根据题意可知
、
均为整数，
所以
能被9 整除．
【分析】本题考查了数字问题的数量关系的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据数字问题
的数量关系建立方程是关键．
（1）根据数位问题，数字的表示方法，及“原两位数比新两位数大9”列方程求解即可；
（2）根据题意分别表示出原两位数和新两位数，并作差化简，即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得，
，
解得
，
即
的值是2；
（2）略
【变式3】（24-25 七年级上·河北沧州·期末）将连续的奇数按下表方式排列，用正方形任意圈出四个数，
如图，若圈出的四个数中，第一行第一列上的数表示为a，其余各数分别用b，c、d 表示．
(1)观察与发现：分别用含a 的代数式表示b、c、d 三个数：
______；
_____；
_____；
(2)归纳与总结：求这四个数的和（用含a 的代数式表示，并化简）；
(3)这四个数的和会等于112 吗？如果会，请求出a 值，如果不能，请说明理由．（列方程解答）
【答案】(1)
；
(2)
，
；
(3)这四个数的和不会等于112，理由如下
【分析】本题考查列代数式及一元一次方程的应用，解题的关键是观察表格，得到表格中数的关系，再列方
程解决问题．
（1）观察表格直接得到答案；
（2）将四个数相加，合并同类项即可；
（3）根据四个数的和等于112，列出方程，再检验即可．
【详解】（1）解：由图可得：第一行第一列上的数表示为
，则
，
，
，
故答案为：
，
，
；
（2）解：四个数的和是
，
（3）解：这四个数的和不会等于112，理由如下：
，
，
解得
，
这四个数是22，24，32，34，
表中的数是连续的奇数，
故用正方形圈出的四个数的和不会等于112．
▌题型07 分段计费问题
基本数量关系:费用=不超过规定部分的费用+超过规定部分的费用.
常见类型：1）已知用电量(用水量、上网时间等)，求应缴的费用；
2）已知缴费的钱数，求用电量(用水量、上网时间等).
【小结】阶梯收费问题，需要判断出收费区间，再列方程进行解答;如果先解答，那么解答之后需要判断解
是否符合题目要求的区间.
【典例7】（25-26 七年级上·四川成都·开学考试）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如
下表：
档次
月用电量
电价（元/度）
第1 档
不超过240 度的部分
a
第2 档
超过240 度但不超过400 度的部分
0.65
第3 档
超过400 度的部分
已知10 月份该市居民老李家用电200 度，交电费120 元；
(1)表中a 的值为______；若用电420 度，则应缴电费______元；
(2)若11 月份老李家交电费183 元，求老李家11 月份的用电量．
【答案】(1)
；
(2)
老李家11 月份的用电量为300 度
【分析】（1）利用10 月的用电数据列等式求
，再按阶梯电价分三档计算420 度的总电费；
（2）先通过临界电费判断用电量所属档位，再列一元一次方程求解；
【详解】（1）解：∵用电200 度未超过240 度，属第1 档，
∴
，解得
，
用电420 度时，分三档计费： 第1 档费用：
（元），
第2 档费用：
（元），
第3 档费用：
（元），
总电费：
（元）；
（2）解：用电240 度时，电费为
（元），
用电400 度时，电费为
（元），
∵
，
∴11 月份用电量在第2 档，
设11 月份用电量为
度，
则
，
解得
，
答：老李家11 月份的用电量为300 度．
【变式1】（25-26 七年级上·贵州遵义·期末）水是生命之源，日常生活中我们都应该节约用水．为增强
公民节水意识，合理利用水资源，遵义市为倡导全民节水，居民生活用水按户收费，并按阶梯计价，收费标
准如下：
收费方式
年用水量
单价（元
）
第一阶梯
（包含
，不包含
）
第二阶梯
（包含
，不包含
）
第三阶梯
以上（不包含
）
（例如：该城市某户家庭年用水量为
，则实际应交水费为
元）
(1)若某年用水量为
时，则该年实际应交水费为 元；若某年用水量为
时，则该年实际应交水费
为 元；
(2)已知某户居民某年的实际应交水费为
元，则这户居民该年用水量是多少立方米？
(3)若该城市某户居民某年的年用水量为
立方米，这户居民的该年应交水费是多少元？（用含
的代数式表
示并化简）
【答案】(1)
，
(2)
立方米
(3)当
时，应交水费为
元；当
时，应交水费为
元；当
时，应交
水费为
元
【分析】本题是阶梯收费的实际应用问题，解题的关键是根据不同用水量对应的阶梯单价进行计算．
（1）直接根据对应阶梯单价计算水费即可解答；
（2）先判断水费所在的阶梯范围，再通过列方程求解用水量即可解答；
（3）需分三种情况讨论，根据不同的用水量范围列出对应的水费代数式并化简即可求解 ．
【详解】（1）解：当用水量为
时， 应交水费为
（元），
当用水量为
时， 应交水费为
（元），
答：用水量为
时应交水费
元，用水量为
时应交水费
元；
（2）解：先计算第二阶梯最高水费：
（元），
，
该户居民用水量在第三阶梯，
设这户居民该年用水量为
，
根据题意列方程：
，
解得
，
答：这户居民该年用水量是
立方米；
（3）解：分三种情况讨论：
①当
时，应交水费为
元；
②当
时，应交水费为
元；
③当
时，应交水费为
元；
综上所述，当
时，应交水费为
元；当
时，应交水费为
元；当
时，应交水费为
元．
【变式2】（25-26 七年级上·四川乐山·期末）为促进资源节约，根据国家发改委实施“阶梯电价”的有
关文件要求，乐山市结合地方实际，决定从
年5 月1 日起执行居民生活用电“阶梯电价”收费标准，
具体收费标准见下表．若
年6 月份，乐山市一户居民用电
千瓦时，交电费
元．
一户居民一个月用电量的范围
电费价格(单位：元/千瓦时)
不超过
千瓦时
超过
千瓦时但不超过
千瓦时的部分
超过
千瓦时的部分
(1)在表中，
______，若一户居民用电
千瓦时，则应交电费______元；
(2)若一户居民某月用电量超过
千瓦时，设用电量为
千瓦时，请你用含
的代数式表示这户居民应交的
电费：
(3)试行“阶梯电价”收费以后，乐山市一户居民在某月用电后计算发现，当月平均电价为
元/千瓦时．则
该户居民这个月用电量为多少千瓦时？
【答案】(1)
，
；
(2)(
)元；
(3)
千瓦时
【分析】本题考查阶梯电价的分段计费问题，涉及一元一次方程的实际应用，核心是根据不同用电量档位的
收费标准，分情况计算电费或列方程求解．
（1）利用
千瓦时的总电费列出关于
的一元一次方程，求解得到
的值；再根据第一档电价计算
千
瓦时的电费；
（2）对于超过
千瓦时的用电量，分三档计算各段电费，再合并化简得到总电费的代数式；
（3）先通过计算
千瓦时的平均电价，判断该户居民用电量所在档位，再根据平均电价列出方程求解，
最后验证结果的合理性．
【详解】（1）解：∵用电
千瓦时，其中
千瓦时按
元/千瓦时收费，超过
的
千瓦时按
元/千
瓦时收费，总电费为
元，
∴
，解得
；
若用电
千瓦时，∵
，
∴应交电费
元；
故答案为：
，
；
（2）解：∵用电量
千瓦时，
∴总电费为
元；
（3）解：先判断用电量档位：
当用电量为
千瓦时，总电费为
(元)，
平均电价为
元/千瓦时，
∵
，
∴该户居民用电量超过
千瓦时，
设该户居民这个月用电量为
千瓦时，
根据题意列方程：
，
解得
，
经检验，
，符合题意；
答：该户居民这个月用电量为
千瓦时．
【变式3】（25-26 七年级上·全国·期末）（日常生活情境）北京市居民生活用气阶梯价格制度将正式实
施，一般生活用气收费标准如下表所示，比如6 口以下的户年天然气用量在第二档时，其中
立方米按
元/
收费，超过
立方米的部分按
元/
收费．小冬一家有五口人，他想帮父母计算一下实行阶梯价
后，家里天然气费的支出情况．
(1)如果他家
年全年使用
立方米天然气，那么需要交多少元天然气费？
(2)如果他家
年全年使用
立方米天然气，那么需要交多少元天然气费？
(3)如果他家
年需要交
元天然气费，他家
年用了多少立方米天然气？
【答案】(1)需要交
元天然气费
(2)需要交
元天然气费
(3)小冬家
年用了
立方米天然气
【分析】本题考查分段计费问题，关键是根据不同的用气量区间，对应不同的单价进行计算；对于已知费用
求用气量的问题，需要先判断费用所在的区间，再列方程求解．
（1）根据一般生活用气收费标准，可得小冬一家需要交天然气费
，计算即可；
（2）根据一般生活用气收费标准，可得小冬一家需要交天然气费
，计算即可；
（3）设小冬家
年用了
立方米天然气．首先判断出小冬家
年所用天然气超过了
立方米，然后
根据他家
年需要交
元天然气费建立方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵小冬家是5 口人，属于“6 口以下”，且
立方米在第一档(
立方米)范围内，
∴费用为
(元)．
答：需要交
元天然气费．
（2）解：∵
立方米在第二档(
立方米)范围内，
其中
立方米按
元/
收费，超过
的部分按
元/
收费，
∴费用为
(元)．
答：需要交
元天然气费．
（3）解：设小冬家
年用了
立方米天然气．
∵
，
∴小冬家
年所用天然气超过了
立方米．
根据题意得
，
即
，解得
．
答：小冬家
年用了
立方米天然气．
▌题型08 行程问题
【典例8】（26-27 七年级上·广东深圳·开学考试）某人骑自行车从甲地到乙地，他从甲地出发，用
分
钟走完全程的
，然后加快速度，每分钟比原来多行了
米，又走了
分钟后，离乙地还有
千米．甲、
乙两地相距多少千米？
【答案】
千米
【分析】根据路程
速度
时间，结合总路程等于三段路程之和，列出一元一次方程，进而求出甲乙两地的
距离．
【详解】解：设甲、乙两地相距
米，
千米
米，
原来的骑行速度为：
（米/分钟），
列方程：
，
去括号，得：
，
合并同类项，得：
，
移项，得：
，
合并同类项，得：
，
系数化为，得：
，
米
千米，
答：甲、乙两地相距
千米．
【变式1】（25-26 七年级上·四川成都·开学考试）小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝
彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗？小刚经过查阅资料
得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州．如果李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为
14 千米/小时，从宜昌到荆州的速度约为10 千米/小时．从奉节到荆州的水上距离约为350 千米．经过分析
资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多
．根据小刚的假设，回答下列问题：
(1)奉节到宜昌的水上距离是多少千米？
(2)李白能在一日（24 小时）之内从白帝城到达江陵吗？如果能，请说明理由；如果不能，请计算出李白从
白帝城到达江陵需要的时间．
【答案】(1)奉节到宜昌的水上距离为
(2)李白不能在一日之内从白帝城到达江陵，
【分析】（1）奉节到宜昌的水上距离为
千米，根据李白从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多
列出方
程，解方程即可;
（2）用两段时间之和计算即可.
【详解】（1）解：设奉节到宜昌的水上距离是
．
根据题意得：
，解得
．
答：奉节到宜昌的水上距离为
．
（2）解：
，
∴李白不能在一日之内从白帝城到达江陵．李白从白帝城到达江陵需要的时间为
．
【变式2】（25-26 七年级上·山西忻州·期末）综合与实践
问题情境
迎泽公园作为太原市核心城区的大型综合性公园，兼具生态、休闲、文化、健身等多重作用．迎泽公园内有
一条全长约
的墨绿色塑胶跑道（跑道首尾相连），环绕全园，深受跑步爱好者的喜爱．周日，小王和
爸爸去迎泽公园这条墨绿色塑胶跑道上进行慢走，已知小王的速度为
，爸爸的速度为
．
问题解决
(1)如果小王和爸爸从同一起点同时出发，沿相反方向慢走．那么小王慢走后多长时间与爸爸首次相遇？
(2)如果小王和爸爸从同一起点出发，爸爸先走10 分钟，然后小王沿相同方向慢走．
①小王用多长时间能追上爸爸？
②在爸爸首次回到起点前，当小王和爸爸之间的路程相距
时，请直接写出此时小王出发了多长时间．
【答案】(1)小王慢走
后与爸爸首次相遇
(2)①小王用
能追上爸爸；②小王出发了
或
【分析】本题考查了一元一次方程与实际问题，关键是审明题意找到恰当的等量关系列方程；
（1）根据两人的路程之和等于跑道全长列方程；
（2）①根据两人的路程相等列方程；②两人相距一定的距离需分情况讨论列方程求解.
【详解】（1）解：设小王慢走后
与爸爸首次相遇，
，
解得：
，
答：小王慢走后
与爸爸首次相遇；
（2）①解：设小王用
能追上爸爸，
，
解得：
，
答：小王用
能追上爸爸；
②解：设小王出发
，
当爸爸在小王前面时，
，
解得：
；
当爸爸在小王后面时，
，
解得：
，
综上：
或
，
答：小王出发了
或
.
【变式3】（25-26 七年级上·重庆·期末）列方程解决问题：
小维和小浩分别从甲、乙两地同时出发，小维骑自行车，小浩步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发0.5
小时后两人相遇．已知小维骑自行车比小浩步行每小时多行进10 千米，甲、乙两地相距7.5 千米．
(1)两人每小时分别行进多少千米？
(2)相遇后，两人保持原速度原方向继续前进，小维到达乙地后休息0.4 小时，再沿原路以15 千米/小时的速
度返回甲地，求小维返回甲地时，小浩距离甲地的距离．
【答案】(1)小维每小时行进12.5 千米，小浩每小时行进2.5 千米
(2)小维返回甲地时，小浩距离甲地的距离为3.75 千米
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，找到题中的等量关系，正确列出方
程．
（1）设小维每小时行进
千米，则小浩每小时行进
千米，根据题意，列出方程求解即可；
（2）设小维返回甲地时，小浩距离甲地的距离为
千米，根据题意，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设小维每小时行进
千米，则小浩每小时行进
千米，
由题意得：
，
解得：
，
小浩每小时行进
千米，
答：小维每小时行进12.5 千米，小浩每小时行进2.5 千米；
（2）解：设小维返回甲地时，小浩距离甲地的距离为
千米，
由题意得：
，
解得：
，
答：小维返回甲地时，小浩距离甲地的距离为3.75 千米．
▌题型09 日历问题
【典例9】（25-26 七年级上·浙江丽水·期末）将连续偶数
，
，
，，…排成如下数表：
(1)将平行四边形框上、下、左、右平移，可框住数表中的三个数，设中间的数为
，求出平行四边形框中三
个数之和；
(2)平行四边形框中的三个数的和能等于
吗？若能，写出这三个数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)能等于
，这三个数分别为
，
，
【分析】本题考查一元一次方程应用中的日历问题，观察数表寻找规律是关键．
（1）设中间的数为
，则另外两个数分别为
，
，将三个数相加，即可用含
的代数式表示出平
行四边形框中三个数之和；
（2）根据（1）的结论，求出
的值为
，观察数表规律，找到数字
的位置，并判断能否取到这三个
数即可．
【详解】（1）解：由数表的规律可知，平行四边形左上角的数为
，右下角的数为
，
∴三个数的和为
；
（2）解：假设三个数的和能等于
，
由（1）可知，三个数的和为
，
∴
，
解得
，
∴
，
，
观察数表发现，
在第行第
个数的位置，是中间位置，
∴假设成立，三个数的和能等于
，三个数分别为
，
，
．
【变式1】（25-26 七年级上·湖北襄阳·期末）如图，在2026 年1 月的月历中，相邻三行里同一列的三个
日期数之和能否为30？如果能，这三个日期数分别是多少？如果不能，请说明理由．
【答案】能，三个日期数分别是3、10、17
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程，注意相邻三行
里同一列的三个日期之间相差7．
设中间的数为x，其它两个为
与
，表示出三个日期数之和，根据三个日期数之和为30，列出方
程，如果求出的解符合题意，那么相邻三行里同一列的三个日期数之和能为30，否则不能．
【详解】解：设中间的数为x，其它两个为
与
，
根据题意得：
，
解得
，
则
，
，
观察日历可知这三个数符合题意．
答：能，这三个数分别是3，10，17．
【变式2】（25-26 七年级上·浙江宁波·期末）如图1，这是2026 年1 月的月历表，用如图2 所示的“
”
字型去框出月历表中的五个数，设这五个数由小到大依次为
．
(1)若设
所表示的数为
，则
表示的数为__________（用
的代数式表示）．
(2)若这五个数的和为115，求
所表示的数．
(3)代数式
的值是否为定值？若是，求出它的值：若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)15
(3)是定值，它的值为
【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用、整式加减的应用，正确建立方程和列出代数式是解题
关键．
（1）观察月历表可得
表示的数比
所表示的数大8，由此即可得；
（2）设
所表示的数为
，则
所表示的数为
，
所表示的数为
，
所表示的数为
，
所
表示的数为
，根据题意建立方程，解方程即可得；
（3）设
所表示的数为
，则
所表示的数为
，
所表示的数为
，
所表示的数为
，
所表
示的数为
，代入计算整式的加减即可得．
【详解】（1）解：由月历表可知，
表示的数比
所表示的数大8，
∵
所表示的数为
，
∴
表示的数为
，
故答案为：
．
（2）解：设
所表示的数为
，则
所表示的数为
，
所表示的数为
，
所表示的数为
，
所表示的数为
，
∵这五个数的和为115，
∴
，
解得
，
∴
所表示的数为15．
（3）解：设
所表示的数为
，则
所表示的数为
，
所表示的数为
，
所表示的数为
，
所表示的数为
，
∴
，
∴代数式
的值是定值，它的值为
．
【变式3】（25-26 七年级上·河北沧州·期中）如下图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月
历中任意圈出5 个数，设“凹”字型框中的五个数分别为
．
(1)若
，则
___________，
___________；
若
，则
___________（用含
的式子表示）；
(2)在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5 个数字之和可能为116，你同意他的说法吗？请说明理
由；
(3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为
，且
，则
___________．
【答案】(1)9，16，
(2)不同意，理由见解析
(3)14
【分析】本题考查了一元一次方程与日历问题，整式加减无关型的问题，列代数式，正确掌握相关性质内容
是解题的关键．
（1）根据月历，找出各数之间的数量关系求解即可；
（2）根据各数之间的关系，列出方程然后求解，最后进行比较即可；
（3）根据各数之间的关系表示出
，然后整理整式即可．
【详解】（1）解：根据题意得，
若
，则
，
；
若
，则
；
故答案为：9，16，
；
（2）解：不同意，理由如下：
根据题意得，
，
解得
，
26 位于月历的最右边，与
的位置不符，
∴5 个数字之和不可能为116；
（3）解：根据题意得，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
故答案为：14．
▌题型10 和差倍分问题
1）甲是乙的a 倍：甲=乙×a
2）甲比乙多1/a：甲=乙×（1+1/a）
3）甲比乙少1/a：甲=乙×（1-1/a）
【典例10】（25-26 七年级上·江苏南京·期末）某课外活动小组中女生人数占全组人数的一半，如果再增
加6 名女生，那么女生人数就占全组人数的
，设活动小组中男生人数为x 人，求这个课外活动小组的人数．
【答案】这个课外活动小组的人数为12 人
【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意得活动小组中男生人数为x 人，则女生人数为x 人，再增
加6 名女生后女生人数为
人，课外活动小组总人数为
人，根据“再增加6 名女生，那么女
生人数就占全组人数的
”列方程求解即可．
【详解】解：根据题意得：
，
解得：
，
这个课外活动小组的人数：
（人）．
答：这个课外活动小组有12 人．
【变式1】（25-26 七年级上·北京·期末）在2026 年元旦文艺汇演中，我校信息社团打造的校园AI 数字
人“小七”惊艳亮相，其炫酷造型与灵活交互瞬间点燃现场氛围，赢得阵阵喝彩．当天“小七”的信息搜索
量，比社团成员小宇科普分享搜索量的5 倍少20 次；若小宇的搜索量增加40 次，小七的搜索量减少10 次，
此时小七的搜索量恰好是小宇新搜索量的4 倍，求小宇的搜索量和小七的搜索量各是多少次？
【答案】小宇原本的搜索量是190 次，小七的搜索量是930 次
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设小宇原本的搜索量为x 次，则小七的搜索量为
次，分
析变化后的搜索量，根据“变化后小七的搜索量是小宇搜索量的4 倍”，可列出方程，最后求解方程并求得
小宇和小七的搜索量．
【详解】解：设小宇原本的搜索量为x 次，则小七的搜索量为
次，
根据题意列方程得：
，
解得：
，
∴小七的搜索量为：
（次）
即小宇原本的搜索量是190 次，小七的搜索量是930 次．
【变式2】（25-26 七年级上·河北保定·期末）已知训练场球筐中有A、B 两种品牌的乒乓球共101 个，
设A 品牌乒乓球有
个．
(1)淇淇说：“筐里B 品牌球是A 品牌球的两倍，”嘉嘉根据她的说法列出了方程：
，请用嘉嘉
所列方程分析淇淇的说法是否正确；
(2)据工作人员透露：B 品牌球的一半比A 品牌球多10 个，试求A 品牌球有几个．
【答案】(1)不正确
(2)A 品牌球有27 个
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据等量关系建立等式．
（1）根据一元一次方程的解法求解
的值即可判断说明是否正确；
（2）设A 品牌乒乓球有
个，则B 品牌乒乓球有
个，根据“B 品牌球的一半比A 品牌球多10 个”建
立方程求解即可．
【详解】（1）解：
，
移项得：
，
合并同类项得：
，
解得：
，
不是整数，故淇淇的说法不正确；
（2）解：设A 品牌乒乓球有
个，则B 品牌乒乓球有
个，
∴
，
去分母得：
，
移项得：
，
合并同类项得：
，
解得：
，
答：A 品牌球有27 个．
【变式3】（25-26 七年级上·山东德州·期末）为推进全民健身，某机构推出了“全民捐步公益行”活动：
参与者可根据一天中走路的步数，给公益事业捐款．
(1)观察如图小亮和小明的对话，请计算每捐
步，相当于捐款多少元；
(2)某天，小亮和小明二人共同捐款6 元，已知小亮的步数比小明的2 倍少
步，求小亮当天走了多少步？
【答案】(1)
元
(2)
步
【分析】本题考查了有理数的四则混合运算的应用、一元一次方程的实际应用，关键是通过步数与捐款的数
量关系建立等式，解决实际问题．
（1）根据两人的对话列算式求解即可．
（2）先根据第一问的结果确定每
步捐款
元，再设小明当天走了
步，用含
的式子
表示
小亮的步数；最后根据“两人共同捐款6 元”的等量关系，列出一元一次方程
，解方程求出
后，再计算小亮的步数．
【详解】（1）解：根据题意，
（元），
答：每捐
步相当于捐款
元．
（2）解：设小明当天走了
步，则小亮走了
步．
根据题意，得
，
化简得
，解得
．
因此小亮的步数为
步．
答：小亮当天走了
步．
▌题型11 年龄问题
解题方法：
1.设未知数：一般设现在其中一人的年龄，然后表示出另一人的年龄，有时候设过去和未来的时间差；
2.表示过去或者未来的年龄；
3.列方程：知道年龄差，利用过去或者未来的年龄关系列方程；不知道年龄差，根据年龄差值不变列方程；
4.解方程.
【典例11】（26-27 七年级·全国·小升初衔接）马丁一家人坐火车回家乡．车上有个很唠叨的人，不停地
问这问那，最后问起马丁一家人的年龄．马丁有些不耐烦，就说：“我儿子的年龄是我女儿年龄的5 倍，我
妻子的年龄是我儿子年龄的5 倍，我的年龄是我妻子年龄的
倍，把我们的年龄都加起来，正好是祖母的
年龄，今天她正要庆祝61 岁的生日．”那人想了一会儿想不出来，你知道马丁多少岁吗？
【答案】30 岁
【分析】设马丁的女儿
岁，则马丁的儿子
岁，马丁的妻子
岁，马丁
岁，根据马丁
一家四口的年龄之和等于祖母的年龄建立方程求解即可．
【详解】解：设马丁的女儿
岁，则马丁的儿子
岁，马丁的妻子
岁，马丁
岁，
由题意得，
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
（岁），
答：马丁30 岁．
【变式1】（26-27 七年级·江苏·小升初衔接）爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和
岁，当爸爸的年龄
是哥哥年龄的3 倍时，妹妹是9 岁，当哥哥的年龄是妹妹年龄的2 倍时，爸爸是
岁，现在三人的年龄各
是多少岁？
【答案】妹妹
岁、哥哥
岁、爸爸
岁
【分析】本题考查年龄问题，熟练掌握年龄变化的规律：“三人增长的岁数一样，也就是爸爸增长的岁数
哥哥的增长岁数
妹妹增长的岁数”是解题的关键．当妹妹9 岁时，设哥哥的年龄是
岁，爸爸的年龄是
岁，当哥哥的年龄是妹妹年龄的2 倍，爸爸是
岁时，爸爸增长了
岁，分别列出妹妹和哥哥的年龄，
根据哥哥的年龄是妹妹年龄的2 倍列出数量关系式求出
，求出妹妹9 岁时三人年龄，再求
岁时即可．
【详解】解：当妹妹9 岁时，设哥哥的年龄是
岁，爸爸的年龄是
岁，
当哥哥的年龄是妹妹年龄的2 倍，爸爸是
岁时，爸爸增长了
岁，
妹妹和哥哥也都增长了
岁，
这时候妹妹的年龄是
岁，哥哥的年龄是
岁，
根据“哥哥的年龄是妹妹年龄的2 倍”列式为：
，
解得：
，
则当妹妹9 岁时，哥哥的年龄是
岁，
爸爸的年龄是
（岁），
三人年龄和为
（岁），
当三人年龄和为
时，三人每人增长
（岁），
则妹妹年龄为：
（岁），
哥哥年龄为：
（岁），
爸爸年龄为：
（岁），
答：现在妹妹
岁、哥哥
岁、爸爸
岁．
【变式2】（24-25 六年级下·山东青岛·期中）有一户人家，父亲和儿子同一天过生日．若父子两人的年
龄加起来是100 岁，则称为“百岁父子”．已知父亲38 岁时，儿子10 岁，现在父亲是儿子年龄的2 倍，请
解决如下问题：
(1)现在父亲多少岁？
(2)再过几年，父子两人可以称为“百岁父子”？
【答案】(1)父亲现在的年龄为56 岁
(2)8 年
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：
（1）设现在儿子
岁，根据父子年龄差始终不变列方程求解即可；
（2）设再过
年父子两人可以称为“百岁父子”，根据父子两人年龄和为100 岁列方程求解即可．
【详解】（1）解：设现在儿子
岁，则父亲
岁．
根据题意，得
，
解得
，
答：父亲现在的年龄为56 岁．
（2）解：设再过
年父子两人年龄和为100 岁．
则
解得
答：再求再过8 年成为“百岁父子”．
【变式3】（24-25 七年级上·安徽蚌埠·期末）综合与实践
【项目背景】
干支纪年是中国传统的纪年方法，由十个天干和十二个地支搭配而成(如下图)．
十个天干与十二个地支中的前十个分别按顺序搭配，例如天干之“甲”与地支之“子”相搭配，便形成了干
支纪年的第一个组合“甲子”，然后“乙”与“丑”搭配，形成“乙丑”，等等，第一个十年如下：
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
甲
子
乙
丑
丙
寅
丁
卯
戊
辰
己
巳
庚
午
辛
未
壬
申
癸
酉
第二个十年是把前一个十年未参与的“戌”和“亥”排在地支最前面，后面依次是“子、丑、寅、……”，
天干和地支仍按顺序搭配，得到组合如下：
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
甲
戌
乙
亥
丙
子
丁
丑
戊
寅
己
卯
庚
辰
辛
巳
壬
午
癸
未
第三个十年从“甲申”开始，依此类推，周而复始．
【内容理解】
（1）干支纪年中， “甲丑”年(填“有”或“没有”)；干支纪年的一个周期为 年；
【问题探究】
（2）中国人民解放军诞生于丁卯年，建军70 周年是 年(填干支组合)；在一个周期内，“甲子”年是第1 年，
“戊戌”年是第 年(填序号)．
【知识运用】
（3）小红是七年级学生，她的弟弟比她小5 岁，甲辰年小红和弟弟的年龄之和刚好是爸爸年龄的一半，20
年以后，小红和弟弟年龄之和比爸爸的年龄大1 岁．用干支纪年表示，小红是哪一年出生的？
【答案】（1）没有，
（2）丁丑，
（3）壬辰年
【分析】本题考查考查了规律型：数字的变化类，一元一次方程的应用，读懂题目介绍的干支纪年法是解题
的关键．
（1）根据干支纪年表即可得到答案；
（2）由干支纪年表中的信息即可得到答案；
（3）设甲辰年小红的年龄为
，则弟弟的年龄为
，爸爸的年龄为
，根据题意列方程，解方
程，再根据干支纪年表中的信息，即可得到答案．
【详解】解：（1）如干支纪年表所示，
干支纪年中没有甲丑年，干支纪年的一个周期为
年，
故答案为：没有，
；
（2）如干支纪年表所示，中国人民解放军诞生于丁卯年，建军70 周年是丁丑年，在一个周期内，“甲子”
年是第1 年，“戊戌”年是第
年，
故答案为：丁丑，
；
（3）设甲辰年小红的年龄为
，则弟弟的年龄为
，爸爸的年龄为
，根据题意列方程得
，
解得：
，
如干支纪年表所示
年之前为壬辰年，
小红是壬辰年出生的．
▌题型12 古代问题
列方程解应用题时，理解题意是关键，一些应用题是以一段生活实际情形、一个典故或
者一个游戏编制而成，这类应用题称为情境应用题，解情境应用题时要注意对信息的取舍，从不同的角度提
出问题、分析问题，恰当地理解和应用数学知识.
【典例12】（25-26 七年级上·新疆·阶段检测）《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，
其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数、鸡价各几何？”译文
为：有若干人一起买一只鸡，若每人出9 钱，则多出11 钱；若每人出6 钱，则还差16 钱．求买鸡的人数、
一只鸡的价格各是多少？
【答案】买鸡的人数为9 人，一只鸡的价格为70 钱
【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找出等量关系，列出方程求解．
设买鸡的人数为
人，根据两种购买方式，列出方程求解即可．
【详解】解：设买鸡的人数为
人，根据题意得，
，
解得
，
，
∴买鸡的人数为9 人，一只鸡的价格为70 钱．
【变式1】（2024·江苏淮安·中考真题）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：
“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客
人．若2 个人共用1 个盘子，则少2 个盘子；若3 个人共用1 个盘子，则多出来3 个盘子，问客人和盘子各
有多少？”请你解答这个问题．
【答案】客人共有30 位，盘子共有13 个．
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有x 位客人，根据盘子的数量为定值，列出方程进行求解
即可．
【详解】解：设共有x 位客人．
依题意，得
，解得
，
所以
．
答：客人共有30 位，盘子共有13 个．
【变式2】（25-26 七年级上·全国·课后作业）古代民间流传着这样一道题：“李白街上走，提壶去打
酒．遇店加一倍，见花喝一斗．三遇店和花，喝光壶中酒．试问酒壶中，原有多少酒？”意思是李白在街上
走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到店就将壶中的酒加一倍，每次看见花就喝去一斗．这样，他先遇到店，
再看见花，共反复三次，在最后一次看到花时，把酒喝完了．壶中原来有多少斗酒？请解答上述问题．
【答案】壶中原来有
斗酒．
【分析】根据题意，设壶中原来有
斗酒，第一次遇到店加一倍成
斗酒，然后见到花喝去一斗还有
斗酒，依次类推，第三次壶中有
斗酒，列方程即可.
【详解】解：设壶中原来有
斗酒，则他第一次遇店又见花后，壶中有
斗酒；
第二次遇店又见花后，壶中有
斗酒；
第三次遇店又见花后，壶中有
斗酒．
由题意，得
，解得
．
故壶中原来有
斗酒．
【点睛】本题考查了列一元一次方程的应用题——古代问题，读懂题意，列出第三次壶中酒是解题关键．
【变式3】（24-25 六年级上·黑龙江绥化·期中）《趣味数学》古希腊数学家丢番图的墓志铭中写到：他
一生的六分之一是童年，十二分之一是无忧无虑的少年，又过了一生的七分之一组建幸福的家庭，五年后儿
子出生，不料儿子先其父而死，此时儿子只活了父亲岁数的一半，丢番图在悲痛中又度过了四年，最终离开
了人世．请你算一算丢番图这一生的年龄是多少岁？
【答案】84 岁
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题目给出的条件，找出丢番图的年龄的表达式，根据等量关
系，列出方程再求解．
【详解】解：设丢番图的年龄是x 岁，
根据题意列方程得：
，
解得：
，
答：丢番图这一生的年龄是84 岁．
▌题型13 几何问题
观察图形，用含未知数的式子表示图形的边长，通过题目中的已知条件(通常是长或宽
对应相等)建立等量关系
【典例13】（25-26 七年级上·四川凉山·期末）如图，点
是线段
的中点，点
在线段
上，点
是
线段
的中点．
(1)若
，求
的长；
(2)若
，求
的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据点
是线段
的中点，求出
，根据点
是线段
的中点，求出
，根据
，即可；
（2）根据题意，设
，则
，推出
，根据
，解出未知数，求出
，
则
，即可．
【详解】（1）解：∵点
是线段
的中点，
∴
，
∴
，
∵点
是线段
的中点，
∴
，
∴
．
（2）解：由于
，设
，则
，
∵点
是线段
的中点，
∴
，
∵
，
∴
，
解得
，
即
，
∴
，
∴
．
【变式1】（25-26 七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知
，
平分
，
，求
的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和与差、一元一次方程的应用，根据
，
可设
，
，根据角之间的关系可得
，角平分线的定义可得：
，解方程即可得到
，根据
即可求出结果．
【详解】解：
，
设
，
，
，
平分
，
，
，
解得：
，
．
【变式2】（25-26 七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，一根竹竿
插入一水池底部的淤泥中，竹竿的入泥
部分
的长度占全长
的
，露出水面的部分
的长度为
．
(1)若淤泥以上的入水部分的长度比入泥部分的长度短
，求竹竿的长．
(2)若将此竹竿向上拔高
，则淤泥以上的入水部分的长度比入泥部分的长度长
，求竹竿的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是线段的和差运算，一元一次方程的应用．
（1）由题意可得：
，
，
，再利用线段的和差建立方程求解即可．
（2）由题意可得：
，
，
，再利用线段的和差建立方程求解
即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
，
，
∵淤泥以上的入水部分的长度比入泥部分的长度短
，
∴
，
∴
，
解得：
．
（2）解：由题意可得：
，
，
，
∴
，
∴
，
解得：
．
【变式3】（25-26 七年级上·广东湛江·期末）已知点
是直线
上一点，射线
平分
．
(1)如图①所示，射线
在
内部，
，若
．求
的度数；
(2)如图②所示，射线
在直线
下方，
，求
的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角平分线的定义及平角的定义，角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）设
，则
，利用
列出方程，求解得到
，据此求解即可；
（2）由题意设
，
，
，利用角平分线的定义求得
，
再利用平角的定义列式计算求得
，据此求解即可．
【详解】（1）解：设
，则
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
的度数为
；
（2）解：∵
，
设
，
，
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
解得
，
∴
．
▌题型14 动点问题
【典例14】（25-26 七年级上·宁夏吴忠·期末）如图数轴上有A、B、C 三点，点A 和点B 间相距20 个单
位长度，且点A、B 表示的有理数互为相反数，
，数轴上有一动点M 从点A 以4 个单位/秒的速度
沿数轴向右运动，点N 从点C 以2 个单位/秒的速度沿数轴向左同时运动，设运动时间为t 秒
．
(1)点A 表示的数是_______，点B 表示的数是_______，点C 表示的数是_______；
(2)当点M 与点N 的距离是6 个单位长度时，求运动时间t；
(3)若点M 到点C 后按原速返回，点N 继续按原速向左运动，当点M 追上点N 时，求点N 运动时间t．
【答案】(1)
，10，30；
(2)
秒或
秒
(3)20 秒
【分析】（1）根据点A 和点B 间相距20 个单位长度，且点A、B 表示的有理数互为相反数，可得点A，点
B 表示的数，再根据
，可得
，结合点B 表示的数即可求解点C 表示的数；
（2）先表示出点M 表示的数与点N 表示的数，再由M 与N 的距离列式求解即可；
（3）先求解出点M 到达点C 的时间，由此可表示此时点N 表示的数，再由当M 追上N 时所用时间求解即
可．
【详解】（1）解：∵点A 和点B 间相距20 个单位长度，且点A、B 表示的有理数互为相反数，
∴点A 表示的数是
，点B 表示的数是10，
∵
，
∴
，且点C 在点B 的右侧，
∴
，即点C 表示的数是30；
（2）解：∵点M 从点A 以4 个单位/秒的速度沿数轴向右运动，
∴点M 表示的数为
，
∵点N 从点C 以2 个单位/秒的速度沿数轴向左同时运动，
∴点N 表示的数为
，
∵M 与N 的距离是6 个单位长度，
∴
，即
，
则有
或
，
解得
或
，
∴运动时间t 为
秒或
秒；
（3）解：当点M 到达点C 时，所用的时间为
秒，
此时点N 向左运动了
个单位长度，即追击距离为20，
∵点M 到点C 后按原速返回，点N 继续按原速向左运动，
∴点M 追上点N 的时间为
秒，
∴当点M 追上点N 时，运动时间
秒．
【变式1】（25-26 七年级上·广东惠州·期中）【知识背景】数轴上，点
表示的数为
，则
两点的距离
，
的中点
表示的数为
．
【知识运用】已知数轴
两点对应数分别为
和
，
，为数轴上一动点，对应数为
．
(1)
_______，
________；
(2)若点
为线段
的中点，则
点对应的数
为_________．若
为线段
的中点时，则
点对应的数
为________；
(3)若点
、点
同时向左运动，点
的速度为1 个单位长度/秒，点
的速度为3 个单位长度/秒，则经过多
长时间，点
到线段
中点
的距离恰好是1 ？
【答案】(1)
，
(2) ，
(3)经过
或
秒后，点
到线段
中点
的距离恰好是1
【分析】（1）根据非负数的性质即可求解；
（2）根据线段中点坐标公式即可求解；
（3）设经过秒后，点
到线段
中点
的距离恰好是1，秒后，点
的位置为：
，点
的位置为：
，点
的位置为：
，由题意列出方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：∵
，
∴
，
，
∴
，
；
（2）解：由题意得：点
表示的数是
，点
表示的数是
，点
表示的数是
，
若点
为线段
的中点，则
点对应的数
，
若
为线段
的中点时，则
，
解得：
；
（3）解：设经过秒后，点
到线段
中点
的距离恰好是1，
秒后，点
的位置为：
，点
的位置为：
，
∴点
的位置为：
，
由题意得：
，
解得：
或
，
∴经过
或
秒后，点
到线段
中点
的距离恰好是1．
【变式2】（25-26 七年级上·江西吉安·期末）如图1，
，过点O 在
的内部作射线
，使得
，射线
从射线
开始以每秒
的速度绕着点O 顺时针转动，当
为
平角时
停止转动，设转动的时间为t 秒．
(1)当射线
位于射线
的左侧时，
______ （用含t 的式子表示）；
(2)当射线
平分
时，求t 的值；
(3)如图2，射线
从射线
开始以每秒
的速度与射线
同时开始绕着点O 顺时针转动，同时停止，
当
时，求t 的值．
【答案】(1)
(2)35
(3)当
时，
或90
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含的代数式表示相关角的度数．
（1）先求出求出
度数，再根据
，列出方程，即可；
（2）根据角平分线的定义可得
，列出方程，即可；
（3）分三种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵∠AOB = 120° ，∠AOC =
∠BOC，
∴
，
∴
，
∵射线
从射线
开始以每秒
的速度绕着点O 顺时针转动，
∴
，
∴当射线
位于射线
的左侧时，
，
（2）解：∵射线
平分
，
，
，
解得
；
（3）解：由题意得
，
①当
未转动到
时，
，
∵
，
∴
，
解得
；
②当
与
重合时，则
，
∴
，不符合题意，应舍去；
③当
越过
时，
，
∵
，
∴
，
解得
；
综上所述， 当
时，
或90．
【变式3】（25-26 七年级上·湖南湘潭·期末）【问题提出】
（1）如图1，数轴上点A 表示的数为12，点B 表示的数为
，点C 是线段
的中点．若点P 从点A 出
发，以每秒7 个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点Q 从点C 出发，以每秒5 个单位长度的速度也
沿数轴向左运动，几秒后，P、Q 两点之间的距离为2？
【方法迁移】
（2）如图2，
，
平分
．现有射线
从
出发，以每秒
的速度绕点G 顺时针
旋转，同时，射线
从
出发，以每秒
的速度也绕点G 顺时针旋转，当
旋转一周时，这两条射
线同时停止旋转．问经过几秒后，射线
、
所成的角为
？
【答案】（1）4 秒或6 秒；（2）7 秒或17 秒
【分析】本题考查数轴上的动点问题，与角有关的动线问题，掌握动点，动线问题的分析方法是解题关键．
（1）利用动点的运动状况，设出点P，Q 在数轴上表示的数，再列式计算即可．
（2）利用动线的运动状况，设出对应的角度，再列式计算即可．
【详解】解：【问题提出】（1）∵点C 是
的中点，
∴点C 表示的数为
，
设运动t 秒，则点P 表示的数为
，点Q 表示的数为
，
分两种情况：
第一种，当点P 在点Q 右侧时，
，
解得
；
第二种，当点P 在点Q 左侧时，
，
解得
，
故4 秒或6 秒后，P，Q 两点之间的距离为2；
【方法迁移】（2）
（秒），
∵
平分
，
∴
，
设运动m 秒，则
与
在顺时针方向上的夹角为
，
与
在顺时针方向上的夹角为
，
由题意，分两种情况：
第一种，
在
的逆时针方向，
此时
，
解得
；
第二种，
在
的顺时针方向，
此时
，
解得
，
故7 秒或17 秒后，射线
，
所成的角为
．
