文档内容
3.4 实际问题与一元一次方程（第 1 课时）产品配套问题和工程问题
导学案
学习目标
1. 理解配套问题、工程问题的背景.
2. 分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依据的主要等量关系列方程解决问题.
3. 掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.
重点难点突破
★知识点1：找出相等关系列方程
首先恰当设元，并用未知数表示相关的量。其次，找等量关系是关键，善于分析问题中的不变量，利用不
变量列方程；善于利用“总量等于各个分量之和”列方程；善于用不同的方式表示同一个量，由此得到相
等关系列方程. 另外，熟练掌握各类实际问题中的基本关系式，也能为正确列方程打下基础.
★知识点2：利用方程解决实际问题的基本思路
①首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为 x，然后，
用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．②对于各种
各样类型的实际问题，掌握其基本关系式是关键.③用“x”表示某些量作为已知量参与运算，使关系更简
洁、明朗，随着问题的复杂化更显示出比算术方法的优越性.
核心知识
1. 工作量、工作效率和工作时间之间的关系： .
2. 人均效率是个平均值，它表示平均每人每单位时间的工作量，如一件工作 m人n小时完成，那么人均效
率为 .
3. 解一元一次方程的一般步骤是 .
4. 用一元一次方程解决实际问题的基本过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即 ，
， ， ， . 正确分析问题中的 关系是列方程的基础.思维导图
回顾旧知
1. 一项工作甲单独做需要5天完成，乙单独做需要10天完成，那么甲每天的工作效率是 ，乙每天
的工作效率是 ，两人合作3天完成的工作量是 ，此时剩余的工作量是 .
2. 一项工作甲单独做需要a天完成，乙单独做需要b天完成，那么甲每天的工作效率是____，乙每天的工
作效率是____，两人合作3天完成的工作量是_________，此时剩余的工作量是_________.
工作量、工作时间、工作效率的关系：
1. 工作量=___________ × ____________；
2. 工作时间=___________÷____________；
3. 工作效率=___________÷____________.
典例分析
例1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺钉或2 000个螺母. 1个螺钉需要配 2个螺母，为
使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
针对训练一
1.如图，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，求白皮，黑皮各多少块？
2. 一套仪器由一个 A 部件和三个 B 部件构成. 用1 立方米钢材可做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件.
现要用 6 立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做 A 部件，多少钢材做B部件，才能恰好配成这种仪
器？共配成多少套？
典例分析
例2：整理一批图书，由一个人做要 40 h 完成. 现计划由一部分人先做 4 h，然后增加 2人与他们一起
做8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
针对训练二
1. 加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务．
问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？2. 有一批零件加工任务，甲单独做需要40h完成，乙单独做需要30h完成. 甲做了几小时后，因另有紧急
任务离开，剩下的任务由乙单独完成，乙比甲多做了2h. 求甲做了几小时？
当堂巩固
1. 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天. 如果由这两个工程队从
两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？
2. 收割一块水稻田，若每小时收割4亩，预计若干小时完成，收割 后，改用新式农机，工作效率提高到
原来的 倍，因此比预计时间提早1小时完成. 求这块水稻田的面积．
能力提升
1. 某人一天能加工甲种零件 50个或加工乙种零件20个，1 个甲种零件与 2 个乙种零件配成一套，30天
制 作最多的成套产品，若设 x 天制作甲种零件，则可列方程为 .
2. 一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果两人合做8天后，余下的工作再由甲独做x天完成，那么所列方程为 .
3. 某家具厂生产一种方桌，1立方米的木材可做50个桌面或300条桌腿，现有10立方米的木材，怎样分
配生产桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面、桌腿刚好配套，共可生产多少张方桌？（一张方桌有 1个桌
面，4条桌腿）
4. 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、
乙合做. 剩下的部分需要几小时完成？
5. 一个道路工程，甲队单独施工9天完成，乙队单独做24天完成．现在甲乙两队共同施工3天，因甲另
有任务，剩下的工程由乙队完成，问乙队还需几天才能完成？
感受中考
1．（2022•南充）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，
问鸡兔各几何．”设鸡有x只，可列方程为（ ）
A．4x＋2(94－x)=35 B．4x＋2(35－x)=94
C．2x＋4(94－x)=35 D．2x＋4(35－x)=94
2.（2分）（2021•北京16/28）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a
吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时．
第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间
相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 ．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．
若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则 的值为 ．
3.（8分）（2019•安徽省17/23）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修
建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工
作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程
队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
课堂小结
1. 本节课学习的主要内容是什么？
2. 分析实际问题中的数量关系，常用的方法是什么？需要注意哪些问题？
3. 通过本节课的学习，尝试用自己的语言描述，如何建立方程模型来解决实际问题？
【参考答案】
核心知识
1. 工作量＝工作效率×工作时间；
2. ；
3. 去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1；
4. 设未知数；列方程；解方程；检验所得结果；确定答案；相等.
回顾旧知1. ； ； ； ．
2. ； ； ； ．
工作量、工作时间、工作效率的关系：
1. 工作时间；工作效率．
2. 工作量；工作效率．
3. 工作量；工作时间．
典例分析
例1：解：设应安排 x 名工人生产螺钉，(22－x)名工人生产螺母.
依题意，得 2000(22－x)＝2×1200x .
解方程，得 x＝10.
所以 22－x＝12.
答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.
针对训练一
1.解：设足球上黑皮有x块，则白皮为(32－x)块，
五边形的边数共有5x条，六边形边数有6(32－x)条．
依题意，得 2×5x=6（32－x）,
解得x=12，则32－x=20.
答：白皮20块，黑皮12块.
2.解：设应用 x 立方米钢材做 A 部件，则应用(6－x)立方米做 B 部件.
根据题意，列方程： 3×40x = (6－x)×240.
解得 x = 4.
则 6－x = 2.
共配成仪器：4×40=160 （套）.
典例分析例2：解：设先安排 x 人做4 h，根据题意得等量关系：
前部分工作总量+后部分工作总量=总工作量1
可列方程 ，
解方程，得
4x＋8(x＋2)＝40，
4x＋8x＋16＝40，
12x＝24，
x＝2.
答：应先安排 2人做4小时.
针对训练二
1.解：设乙需工作x天后甲再继续加工才可正好按期完成任务，则甲做了（12－x）天.
依题意，得
.
解得 x=8.
答：乙需工作8天后甲再继续加工才可正好按期完成任务.
2.解：设甲做了x h.
依题意，得 .
解方程，得 x＝16.
答：甲做了16小时.
当堂巩固
1.解：设要 x 天可以铺好这条管线，由题意得：
.
解方程，得 x = 8.答：要8天可以铺好这条管线.
2.解：设这块水稻田的面积为x亩.
依题意，得 .
解方程，得 x＝36.
答：这块水稻田的面积为36亩.
能力提升
1. 2×50x = 20(30－x)
2.
3. 解：设用 x 立方米的木材做桌面，则用 (10－x) 立方米的木材做桌腿.
根据题意，得 4×50x = 300(10－x)，
解得 x =6，所以 10－x = 4，
可做方桌为50×6=300（张）.
答：用6立方米的木材做桌面，4立方米的木材做桌腿，可做300张方桌.
4. 解：设剩下的部分需要x小时完成，根据题意得：
.
解得x = 6.
答：剩下的部分需要6小时完成.
5. 解：设乙队还需x天才能完成，由题意得：
.
解得 x = 13.
答：乙队还需13天才能完成．
感受中考1．【解答】解：因为上有三十五头，且鸡有x只，
所以兔有(35－x)只．
依题意得：2x＋4(35－x)=94．
故选：D．
2.【解答】解：设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5－x）吨，4x+1＝2（5－
x）+3，
解得：x＝2，
所以分配到B生产线的吨数为5－2＝3（吨），
所以分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为2：3；
所以第二天开工时，给A生产线分配了（2+m）吨原材料，给B生产线分配了（3+n）吨原材料，
因为加工时间相同，
所以4（2+m）+1＝＝2（3+n）+3，
解得：m= n，
所以 ，
故答案为：2：3； ．
3.【解答】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x－2）米，
由题意，得2x+（x+x－2）＝26，
解得x＝7，
所以乙工程队每天掘进5米，
（天）
答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．
