文档内容
3.4 实际问题与一元一次方程（第 4 课时）电话计费问题
导学案
学习目标
1. 体会分类讨论思想和方程思想在解决问题中的作用，能够根据已知条件选择分类关键点
对“电话计费问题”进行整体分析，从而得出整体选择方案.
2. 进一步深化对数学建模方法的体验，增强应用方程模型解决问题的意识和能力.
重点难点突破
★知识点1：解决优化方案问题的一般步骤
①运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况；②用特殊值试探法选择
方案，取小于（或大于）一元一次方程解的比值，比较两种方案的优劣后下结论．
★知识点2：方法指导
了解实际背景，创设具体情境，有助于理解问题本身的意义，也是解决这类问题的捷径.
核心知识
用一元一次方程解决实际问题的基本过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即
， ， ， ， . 正确分析问题中的 关系是列方程
的基础.
思维导图
新知探究
问题1：下面表格给出的是两种移动电话的计费方式：你了解表格中这些数字的含义吗?
问题2：你觉得选择哪种计费方式更省钱呢？
问题3：通过大家的讨论，你对电话计费问题有什么新的认识？
问题4：设一个月内用移动电话主叫为t min（t是正整数）．当t在不同时间范围内取值时，
按方式一和方式二如何计费？
问题5：观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计
算验证你的看法.
问题6：综合以上的分析，可以发现：
时，选择方式一省钱；
时，选择方式二省钱；
时，方式一、方式二均可．
总结归纳
（1）解决本题的过程中你觉得最难突破的步骤是哪些？本题中运用了哪些方法突破这些难
点？
（2）电话计费问题的解决过程中运用一元一次方程解决了什么问题？
针对训练
1. 小明和小强为了买同一种火车模型，决定从春节开始攒钱，小明原有200元，以后每月
存50元；小强原有150元，以后每月存60元．设两人攒钱的月数为x（个）（x为整数）．
（1）根据题意，填写下表：（2）在几个月后小明与小强攒钱的总数相同？此时他们各有多少钱？
（3）若这种火车模型的价格为780元，他们谁能够先买到该模型？
2. 移动公司推出两种智能手机上网流量包：
如何选择流量包更划算？
当堂巩固
1. 小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费x元；超过
5吨，超过部分每吨加收2元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意
列出关于x的方程正确的是（ ）
A．5x+4（x+2）=44 B．5x+4（x－2）=44
C．9（x+2）=44 D．9（x+2）－4×2=44
2. 某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每户每月用水不
超过 7m3，则按 2 元/m3 收费；若每户每月用水超过 7 m3，则超过的部分按 3元/m3 收费.
如果某居民户去年 12 月缴纳了 53 元水费，那么这户居民去年 12 月的用水量为
m3.
3. 某市生活拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一. A计时制：0.05 元/分钟；B包
月制：60 元/月(限一部个人住宅电话上网). 此外，两种上网方式都得加收通信费 0.02
元/分钟．（1）某用户某月上网时间为x小时，请分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；
（2）你认为采用哪种方式比较合算？
4. 用A4纸在某复印社复印文件，复印页数不超过20时每页收费0.12元；复印页数超过
20时，超过部分每页收费0.09元. 在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页
收费0.1元. 问：如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？（复印的页数
不为零）
5. 小明可以到甲或乙商店购买练习本. 已知两商店的标价都是每本1元，甲商店的优惠方
法是：购买10本以上时，从第11本开始按标价的70%出售；乙商店的优惠方法是：从第
一本开始就按标价的80%出售.
（1）小明要买20本时，到哪家商店购买省钱；
（2）买多少本时，到两个商店花的钱一样多；
（3）小明现有24元钱，最多可买多少本练习本.
感受中考（2022•绥化）在长为2，宽为x（1＜x＜2）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形
纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的
正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则 x的
值为 ．
课堂小结
1. 解决电话计费问题需要明确“哪种计费方式更省钱”与“主叫时间”有关.
2. 此类问题的关键是能够根据已知条件找到合适的分段点，然后建立方程模型分类讨论，
从而得出整体选择方案.
【参考答案】
核心知识
设未知数；列方程；解方程；检验所得结果；确定答案；相等.
针对训练
1. 解：（1）见下表：
（2）根据题意，得200+50x=150+60x，
解得x=5．
所以150+60x=450．
答：在5个月后小明与小强攒钱的总数相同，此时每人有450元钱．
（3）根据题意，由200+50x=780，解得x=11.6，故小明在12个月后攒钱的总数超过780元.
由150+60x=780，解得x=10.5，
故小强在11个月后攒钱的总数超过780元.
所以小强能够先买到该模型．
2. 解：设一个月内使用的流量为 x M，根据题意，当x在不同范围内取值时，两种流量包
计费如下表：（1）当 x≤320 时，流量包A 计费少（30元）；
（2）当 320＜x＜420 时，流量包A 计费少（＜50元）；
（3）当 x = 420时，两种流量包计费相等，都是50元．
当堂巩固
1. A；
2. 20；
3. 解：（1）采用计时制：(0.05＋0.02)×60x＝4.2x，
采用包月制：60＋0.02×60x＝60＋1.2x；
（2）由 4.2x ＝ 60＋1.2x，得 x＝20. 又由题意可知，上网时间越长，采用包月制越合
算．所以，
当 0 < x < 20 时，采用计时制合算；
当 x＝20 时，采用两种方式费用相同；
当 x > 20 时，采用包月制合算．
4. 解：设复印页数为x，依题意，列表得：
（1）当x＜20 时，0.12x 大于 0.1x 恒成立，图书馆价格便宜；
（2）当x = 20 时，图书馆价格便宜；
（3）当x大于20时，依题意得 2.4+0.09(x－20)＝0.1x.
解得 x＝60
所以，当x大于20且小于60时，图书馆价格便宜；
当x等于60时，两者价格相同；
当x大于60时，复印社价格便宜.
综上所述：当 x 小于60页时，图书馆价格便宜；
当 x 等于60时，两者价格相同；
当 x 大于60时，复印社价格便宜.
5.（1）小明要买 20 本时，到乙家商店购买省钱；
（2）买30本时，到两个商店花的钱一样多；
（3）小明现有24元钱，最多可买 30 本练习本.感受中考
【解答】解：第一次操作后的两边长分别是x和（2－x），第二次操作后的两边长分别是
（2x－2）和（2－x）．
当2x－2＞2－x时，有2x－2＝2(2－x)，解得x＝1.5，
当2x－2＜2－x时，有2(2x－2)＝2－x，解得x＝1.2．
故答案为：1.2或者1.5．
