文档文本内容
培优专题03 绝对值的性质与几何意义
（题型突破·举一反三）
题型01 利用绝对值的非负性求解（选择填空高频・夯实根基）
题型02 已知一个数的绝对值求这个数基础易错题・概念巩固）
题型03 数轴位置型绝对值化简（期中必考基础・核心工具）
题型04 解绝对值方程（期中重难点）
题型05 绝对值与代数式运算综合（中档解答常考）
题型06 零点分段法化简绝对值（期中压轴核心难点）
题型07 |a|/a 型绝对值化简（符号判断经典模型）
题型08 绝对值的最值问题（期中重难点）
题型09 与绝对值有关的新定义问题（拓展创新・区分题型）
题型10 数轴与绝对值综合问题（月考 / 期中压轴必考・核心难点）
▌题型01 利用绝对值的非负性求解
【典例1】（25-26 七年级下·四川广安·期末）如果
2
1
2
0
a
b
- +
+
=
，则
2026
a
b
+
的平方根是_________．
【变式1】（24-25 六年级上·山东烟台·期中）若a ，b 为有理数，且
3
4
0
a
b
-
+
-
=
，则b
a
-
= ________．
【变式2】（25-26 七年级上·河南南阳·期末）若
3
a -
与
4
b +
互为相反数，则
1
b
a
-
- 的结果为________．
【变式3】（25-26 七年级上·浙江温州·期末）根据下边的数值转换器，当输入的x、y 满足
2
1
1
0
2
x
y
æ
ö
+
+
-
=
ç
÷
è
ø
时，求输出的结果_______．
【变式4】（25-26 七年级上·宁夏银川·期末）2025 年是中华人民共和国成立76 周年（也是中华全国总工会
成立100 周年），已知
2
76
100
0
x
y
+
+
-
=
若x ，y 为有理数，则
2
x
y
+
= ______
▌题型02 已知一个数的绝对值求这个数
【典例2】（25-26 七年级上·河南平顶山·期末）若
3
x =
，则x 的值是_________．
【变式1】（25-26 七年级上·辽宁大连·阶段检测）若
3
5
4
4
a -
=
，则a = ______________．
【变式2】（23-24 七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若
3
3
a
a
-
=
-
，则a 的取值范围是（ ）
A．
3
a >
B．
3
a <
C．
3
a ³
D．
3
a £
【变式3】（25-26 七年级上·江苏南京·阶段检测）若有理数x 满足
2025
2025
x
x
+
=
-
，则x 的取值范围是
_______．
▌题型03 数轴位置型绝对值化简
【典例3】（25-26 七年级上·四川宜宾·期中）有理数a ，b 对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简
1
2
b
a
a
b
-
- -
-
-
的结果是（ ）
A．1
B．2
3
a -
C．1
-
D．2
1
b -
【变式1】（24-25 七年级上·四川绵阳·期中）已知a
b
c
，，三个有理数在数轴上的对应位置如图所示，化简：
a
b
c
a
b
a
+
-
-
+
-
的结果为（ ）
A．3a
c
-
-
B．a
c
- -
C．
2
a
b
c
-
-
D．
2
a
b
c
+
-
【变式2】（25-26 七年级上·四川成都·期末）有理数a
b
c
，，在数轴上的位置如图所示，化简：
a
b
a
c
c
b
+
-
-
+
-
= ___________
【变式3】（25-26 七年级上·安徽合肥·期末）有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简：
2
b
c
a
b
c
a
-
-
+
+ -
= _____．
【变式4】（25-26 七年级上·河南信阳·期末）在数轴上，a，b，c 对应的数如图所示，b，c 所对应的点到原
点的距离相等．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4 和1 的两点之间的距离是_____：表示3
- 和2 两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表
示数m 和数n 的两点之间的距离等于m
n
-
．如果表示数a 和1
- 的两点之间的距离是3，那么a =_____；
(2)确定符号：a _____0，c
a
+
_____0，b
c _____ 1
- ，ac _____0；（填“>”“<”或“=”）
(3)化简：
3
3
a
b
c
b
+
+
-
．
▌题型04 解绝对值方程
【典例4】（25-26 七年级上·福建泉州·期中）适合2
5.5
2
2.5
8
a
a
+
+
-
=
的整数a 的值有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．7 个
D．9 个
【变式1】（25-26 七年级上·重庆·期末）若有理数a 满足2
3
a
a
=
+
，则
2
a 的值为__________．
【变式2】（25-26 七年级上·甘肃兰州·期末）解方程
(1)
1
2
x -
=
；
(2)
1
2
3
x
x
x
-
+
+
=
+
．
【变式3】（25-26 七年级上·吉林·期末）对于有理数a ，b ，c ，我们规定：a
b
c
a
b
c
Å Å
=
-
-
．
例如：1
2
3
1
2
3
1 1
0
Å
Å
=
-
-
=
-
=
．
【知识运用】（1）①计算：0
1
2
Å Å
= ________．
②若
1
1
3
x Å Å =
，求x 的值．
【综合运用】（2）若
3
4
2
x Å Å
=
，求x 的值．
【知识迁移】（3）若1
3
0
x
Å Å
=
，则x 的值为________．
【知识拓展】（4）当
1
1
a
x
Å
Å = 有且只有三个不相等的解时，直接写出a 的值．
▌题型05 绝对值与代数式运算综合
【典例5】（24-25 六年级上·山东烟台·阶段检测）若
7
5
x
，y
=
=
，且
0
x
y
+
<
，那么x
y
+
的值是________．
【变式1】（25-26 七年级上·河南南阳·期末）已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是5，且
0
m <
，则代数式
2026
3
2
a
b
cd
m
+
-
+
=______．
【变式2】（2025 七年级上·全国·专题练习）（1）
2
a =
，|
| 3
b =
，若a
b
>
，则b 的值是 ；
（2）
1
a = ，|
| 2
=
b
，若a
b
<
，则b 的值是 ；
（3）|
| 2
a =
，|
| 1
=
b
，若a
b
>
，求a ，b 的值；
（4）|
| 2
a =
，|
| 1
=
b
，若a
b
<
，求b 的值．
【变式3】（25-26 七年级上·陕西咸阳·期中）已知
4
a =
，
8
b = ．
(1)若a
b
>
，求a
b
-
的值；
(2)若a
b
b
a
-
=
-
，求a
b
+
的值．
【变式4】（25-26 七年级上·广东揭阳·阶段检测）已知
6
a =
，
10
b =
．
(1)若a
b
>
，求ab 的值；
(2)若
0
ab <
，求a
b
-
的值；
(3)若a，b 同号，求a
b 的值的倒数；
(4)若a
b
b
a
-
=
-
，直接给出a
b
+
的值．（无需过程）
▌题型06 零点分段法化简绝对值
步骤: 求出每个绝对值等于0 时x 的对应值，把所有的对应值从小到大排列，如果题目中有奇数个零点，则
取“中间点”的对应值时，整个式子取最小值，如果题目中有偶数个零点，则取“中间段”里的任意值，整
个式子都能取到最小值.
简单来说就是: 若绝对值的个数为奇数，则当x 对应的点取中间点时，式子有最小值；
若绝对值的个数为偶数，则当x 对应的点在中间段(包括端点)时，式子有最小值.
解题大招：奇取中间点，偶取中间段.
注意：若x 的系数不为1，可以将其拆分为多个系数为1 的含绝对值的代数式之和，这时候相等的零点的值
依旧一一罗列.
【典例6】（2025 七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道
0
0
0
0
x x
x
x
x x
ì
>
ï
=
=
í
ï-
<
î
，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式
1
2
x
x
- +
+
时，可令
1
0
x - =
和
2
0
x +
=
，分别求得
1
x = 和
2
x = - ，我们称1, 2
- 分别为
1
x - 与
2
x +
的零点值．
在数轴上分别找出零点值1, 2
- 对应点，这两点将数轴分为三部分（如图），在有理数范围内，这三部分可将
全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3 种情况：（1）
2
x
-
<
；（2）2
1
x
- £
< ；（3）
1
x ³ ．从而化简代
数式
1
2
x
x
- +
+
可分以下3 种情况：
(1)直接写出2
4
x +
和
4
x -
的零点值分别为______和______；
(2)化简代数式2
4
4
x
x
+
-
-
；
(3)解方程2
4
4
9
x
x
+
-
-
=
．
【变式1】（26-27 七年级·全国·暑假作业）当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道，
世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚．
距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．我们可以
从图形和代数化简两个角度来计算距离：
①已知点A
B
，
在数轴上分别表示有理数a
b
，，A
B
，
两点之间的距离表示为
|
|
AB
a
b
=
-
，例如|
2 |
x -
表示x
到2 的距离，而|
1| |
( 1) |
a
a
+
=
- -
则表示a 到1
- 的距离；
②我们知道：
(
0)
0
0
(
0)
x x
x
x
x x
>
ì
ï
=
=
í
ï-
<
î
，于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式．
例如化简|
1|
|
2 |
x
x
+
+
-
时，可先令
1
0
x + = 和
2
0
x -
=
，分别求得=
1
x - ，
2
x =
（称1
- 和2 分别为|
1|
|
2 |
x
x
+
+
-
的零点值），在实数范围内，零点值=
1
x - 和
2
x =
可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①
1
x
-
<
；②1
2
x
- £
<
；③
2
x ³
．从而化简|
1|
|
2 |
x
x
+
+
-
可分以下3种情况：
①当
1
x
-
<
时，原式
(
1)
(
2)
2
1
x
x
x
-
-
-
=
+
-
=
+ ；
②当1
2
x
- £
<
时，原式
1 (
2)
3
x
x-
=
+ -
=
；
③当
2
x ³
时，原式
1
2
2
1
x
x
x
-
-
=
+ +
=
．
综上，原式=
2
1(
1)
3( 1
2)
2
1(
2)
x
x
x
x
x
-
+
< -
ì
ï
- £
<
í
ï
-
³
î
结合以上材料，回答以下问题：
(1)化简代数式|
1|
|
2 |
x
x
+
+
-
；
(2)化简代数式|
1| 2 |
1|
x
x
+
-
-
．
【变式2】（25-26 七年级上·四川凉山·期末）阅读下列材料．
我们知道
(
0)
0
0
(
0)
x x
x
x
x x
>
ì
ï
=
=
í
ï-
<
î
，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式
1
2
x
x
+
=
-
时，可令
1
0
x + = 和
2
0
x -
=
，分别求得
1
x = - 和
2
x =
（称1
- ，2 分别为
1
x +
与
2
x -
的零点
值）．在有理数范围内，零点值
1
x = - 和
2
x =
可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
1
x
-
<
；1
2
x
- £
<
；
2
x ³
，从而在化简
1
2
x
x
+
+
-
时，可分以下三种情况：
①当
1
x
-
<
时，原式
1
2
2
1
x
x
x
= -
+
-
-
= -
+ ；②当1
2
x
- £
<
时，原式
1
2
3
x
x
=
+
-
-
=
；
③当
2
x ³
时，原式
1
2
2
1
x
x
x
=
+
+
-
=
- ；
2
1(
1)
1
2
3( 1
2)
2
1
2
x
x
x
x
x
x
x
ì-
+
< -
ï
\
+
+
+
=
- £
<
í
ï
-
³
î
，通过以上阅读，解决问题：
(1)直接写出
3
x -
的零点值是x =；
(2)化简
1
5
x
x
- -
+
；
(3)直接写出代数式
3
2
1
x
x
x
-
+
+
+
+
的化简结果
【变式3】（24-25 七年级上·湖北孝感·期末）阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道
0
0
0
0
x x
x
x
x x
ì
>
ï
=
=
í
ï-
<
î
，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式
1
2
x
x
-
+
+
时，可令
1
0
x - =
和
2
0
x +
=
，分别求得
1
x = 和
2
x = - ，我们称1, 2
- 分别为
1
x -
与
2
x +
的零点值．
在数轴上分别找出零点值1, 2
- 对应点，这两点将数轴分为三部分（如图），在有理数范围内，这三部分可将
全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3 种情况：（1）
2
x
-
<
；（2）2
1
x
- £
< ；（3）
1
x ³ ．从而化简代
数式
1
2
x
x
-
+
+
可分以下3 种情况：
（1）当
2
x
-
<
时，原式
1
2
2
1
x
x
x
= -
-
-
+
= -
- ；
（2）当2
1
x
- £
< 时，原式
1
2
3
x
x
= -
-
+
+
=
；
（3）当
1
x ³ 时，原式
1
2
2
1
x
x
x
=
- +
+
=
+ ．
综上讨论，原式
2
1
2
3
2
1
2
1
1
x
x
x
x
x
ì-
-
< -
ï
=
- £
<
í
ï
+
³
î
．
通过以上阅读，请你解决以下问题：
(1)直接写出2
4
x +
和
4
x -
的零点值分别为______和______；
(2)化简代数式2
4
4
x
x
+
-
-
；
(3)解方程2
4
4
9
x
x
+
-
-
=
．
▌题型07 |a|/a 型绝对值化简
【典例7】（25-26 七年级上·云南昆明·阶段检测）在学习一个数的绝对值过程中，化简a 时，可以这样分类：
当
0
a >
时，a
a
=
，当
0
a =
时，
0
a =
；当
0
a <
时，a
a
= - ．请用这种方法解决下列问题．
(1)当
5
a =
时，则
a
a = ；当
3
a = - 时，则
a
a = ．
(2)已知a ，b 是有理数，当
0
ab <
时，试求
a
b
a
b
-
的值．
(3)已知a ，b ，c 都不等于零，且
a
b
c
abc
a
b
c
abc
+
+
-
的最大值是m ，最小值为n ，求
m
n
mn 的值．
【变式1】（25-26 六年级上·山东烟台·期末）在数学学习中，常用到分类讨论的数学方法，以化简x 为
例．当
0
x >
时，x
x
=
；当
0
x =
时，
0
=
x
；当
0
x <
时，x
x
= - ．
知识储备：在小学学过一个非零数字除以它本身等于1，我们学习了用字母表示数，这句话可以表示为
1
0
a
a
a =
¹
求解下列问题：
(1)当
5
x = 时，
x
x 值为_____，当
5
x = - 时，
x
x 的值为_____，当x 为不等于0 的有理数时，
x
x 的值为_____；
(2)已知
0,
0
x
y
z
xyz
+
+
=
>
，求
y
z
x
z
x
y
x
y
z
+
+
+
+
-
的值；
(3)已知：
1
2
2024
2025
,
,
,
,
x x
x
x
L
，这2025 个数都是不等于0 的有理数，若这2025 个数中有n 个正数，
2024
2025
1
2
1
2
2024
2025
x
x
x
x
m
x
x
x
x
=
+
+
+
+
L
，则m 的值为_____．（请用含n 的式子表示）．
【变式2】（25-26 七年级上·湖南湘西·阶段检测）已知：
3
2
a
b
b
c
c
a
m
c
a
b
+
+
+
=
+
+
，且
0
a
b
c
+
+
=
，
0
abc >
，求m 可能的值．
【变式3】（25-26 七年级上·吉林长春·期中）请利用绝对值的性质，解决下面问题：
(1)已知a ，b 是有理数，当
0
a >
时，则
a
a =______；当
0
b <
时，则
b
b = ______．
(2)已知a ，b ，c 是有理数，
0
a
b
c
+
+
=
，
0
abc <
，求
b
c
a
c
a
b
a
b
c
+
+
+
+
+
的值．
(3)如果a ，b ，c 是有理数且
0
abc ¹
，那么a
b
c
abc
a
b
c
abc
+
+
-
的值是______．
【变式4】（25-26 七年级上·全国·寒假作业）阅读材料：
,
0
0,
0
,
0
x x
x
x
x x
>
ì
ï
=
=
í
ï-
<
î
，即当
0
x >
时，
1
x
x
x
x
=
= ；当
0
x <
时，
1
x
x
x
x
=
= -
-
．用这个结论解决下面的问题：
(1)如果
1
a
a = - ，那么a 的取值范围是 ．
(2) ,a b 是有理数，当
0
ab ¹
时，
b
a
a
b
+
的值为 ．
(3) , ,
a b c 是三个非零的有理数，
0
a
b
c
+
+
=
且
1
abc
abc = - ，求
b
c
a
c
a
b
a
b
c
+
+
+
-
-
的值．
(4) , , ,
a b c d 为四个非零的有理数，求
a
b
c
d
a
b
c
d
+
+
+
的值．
▌题型08 绝对值的最值问题
【典例8】（24-25 七年级上·重庆·期中）若
2
3
4
5
M
x
N
x
x
M
=
+
+
=
-
+
-
，
，
的最小值与N 的最小值分别
为（ ）
A．2，4
B．2，1
C．3，5
D．3，1
【变式1】（24-25 七年级上·江苏南京·阶段检测）已知a 是一个有理数，则关于3
1
a
-
+
的值的说法，正确
的是（ ）
A．有最小值2
B．有最大值2
C．有最小值3
D．有最大值3
【变式2】（26-27 七年级·全国·小升初衔接）（1）若
6
m -
有最小值，则当m = __________时，取最小值，
最小值为____________．
（2）若
2
6
0
m
n
-
+
-
=
，则m = ___________，n = __________．
（3）5
m
-
有最_________（填“大”或“小”）值，这个最（大）小值是____________．
【变式3】（25-26 七年级上·四川成都·阶段检测）若
3
6
9
x
x
+
+
-
=
，则x 的最小值为__________；若
3
6
x
x
m
x
+
+
-
+
-
的最小值为11，则m 的值为__________．
【变式4】（24-25 七年级上·江苏盐城·阶段检测）数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记
作a ，数轴上表示数a 的点与表示数b 的点距离记作a
b
-
：
(1)数轴上表示x 和3 的两点A 和B 之间的距离是______；如果
2
AB =
，那么x 为______；
(2)当x 满足条件______时，
1
3
x
x
+
+
-
取最小值，最小值是______；
(3)当x 满足条件______时，
1
3
7
x
x
x
+
+
-
+
+
取最小值，最小值是______；
(4)
1
2
3
x
x
+
+
-
的最小值是______；
(5) 1
1
1
1
2
3
x
x
-
+
+
的最小值是______．
▌题型09 与绝对值有关的新定义问题
【典例9】（25-26 七年级上·四川南充·期末）对于任意有理数x ，定义它的“对称差”为：
Δ x
x
x
=
-
，例
如：
Δ 3
3
3
0,Δ
2
2
2
4
=
-
=
-
= - - -
=
．若
Δ
8
a =
，则a 的值为（ ）
A．4
-
B．2
-
C．6
-
D．1
-
【变式1】（25-26 七年级上·福建龙岩·阶段检测）定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，都有
a
b
a
b
a
b
=
-
+
+
æ
．下列结论正确的是_____________
①若
0
a
b =
æ
，则
0
a
b
=
=
；②
2
a
a
a
-
=
æ
；③若a，b 异号，则
2
a
b
a
=
æ
或
2
a
b
b
=
æ
；
④对于任意有理数, ,
a b c ，总有
a
b
c
a
b
a
c
+
=
+
æ
æ
æ
；
【变式2】（25-26 七年级上·北京·期末）对任意两个有理数a，b 定义一种新运算：
4
a
b
a
b
a
b
+
-
-
=
e
．
(1)计算：
3
1
-
=
e
______；
(2)有下列四个结论（括号的作用与它在有理数运算中的作用相同）：
①a
b
b
a
=
e
e ；
②
a
b
b
a
-
-
= -
e
e
；
③
2
a
b
a
c
a
b
c
+
+
=
e
e
e
；
④
1
1
2
2
a
b
c
a
b
c
æ
ö
æ
ö
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
e
e
e
e
．
其中所有正确结论的序号是______．
【变式3】（25-26 七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算：a
b
a
b
a
b
Å
=
+
-
+
．
(1)计算
4
1
Å -
的值；
(2)已知有理数a
b
、在数轴上满足
0,
0,
a
b
a
b
<
>
>
，化简a
b
Å
．
【变式4】（24-25 七年级上·浙江杭州·期中）对于任意有理数m，n 定义一种新运算：
m
n
n
m
m
n
Å
=
-
-
+
．
(1)若
6
a = - ，
7
b =
，求a
b
Å
的值；
(2)已知点A，点B 在数轴上表示的数分别为1
- ，x，且A，B 两点的距离是7，y 是
5
- - -
é
ù
ë
û 的相反数，求
1
x
y
Å
Å -
的值．
▌题型10 数轴与绝对值综合问题
【典例10】（25-26 七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
【阅读】5
2
-
表示5 与2 差的绝对值，也可理解为5 与2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离；5
2
+
可
以看作
5
2
- -
，表示5 与2
- 的差的绝对值，也可理解为5 与2
- 两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】（1）数轴上表示3
- 和2 的两点之间的距离是____；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的
距离等于m
n
-
．如果表示数a 和1
- 的两点之间的距离是3，那么a 的值为____．
（2）若
3
2
a-
=
，
2
1
b +
= ，且数a ，b 在数轴上表示的点分别是点A 、点B ，则A ，B 两点间的最大距离
是____，最小距离是____．
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x ，使得
2
5
7
x
x
+
+
-
=
，这些点表示的数的和是____．
【应用】（4）小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作x ，妈妈上
班地点记作1，小明学校记作2 ，那么距离和
1
2
x
x
- +
-
的最小值是____．
【拓展】（5）
1
2
3
4
10
x
x
x
x
x
- +
-
+
-
+
-
+
+
-
L
的最小值是____．
【变式1】（25-26 七年级上·安徽合肥·期中）阅读材料1：对数轴上的点P 进行如下操作：将点P 沿数轴水
平方向，以每秒m 个单位长度的速度，向右平移n 秒，得到点P¢，称这样的操作为点P 的“ m 速移”， 点P¢
称为点P 的“ m 速移”点．
阅读材料2 ：若点M
N
、
表示的数分别为1 3
- 、，则线段MN 的长度可以这样计算：
1 3
4
- -
=
或3
( 1)
4
- -
=
，
那么当点M
N
、
表示的数分别为m
n
、时，线段MN 的长度可以表示为m
n
-
或n
m
-
．
(1)当
1
m = ，
3
n =
时，
①如果点A 表示的数为5
- ，那么点A 的“ m 速移”点A¢表示的数为 ；
②点B 的“ m 速移”点B¢表示的数为4 ，那么点B 表示的数为 ；
(2)数轴上的点M 表示的数为1，C 表示的数为x ，点C 向右平移3秒，得到点C 的“2 速移”点C¢ ，那么C M
¢
的长度可以表示为 ；
(3)数轴上E
F
，
两点间的距离为2026 ，且点E 在点F 的左侧，点E
F
，
通过“2 速移”分别向右平移1t ，2t 秒得
到点E¢ ，F¢，如果
2
E F
EF
¢ ¢ =
，请直接用等式表示1t ，2t 的数量关系．
【变式2】（25-26 七年级上·江西赣州·期中）【阅读材料】借助数轴能更好地理解绝对值的几何意义．
数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a ．
如：5 表示数轴上5 这个点与原点的距离，即5
5
=
．
一般地，数轴上表示数m 的点与表示数n 的点之间的距离等于m
n
-
．
如：数轴上表示3 的点与表示2
- 的点之间的距离为
3
2
5
- -
=
．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)数轴上表示5
- 的点与表示3 的点之间的距离是________；数轴上表示x 的点与表示2 的点之间的距离可
以表示为________；若
2
5
x
=
，则x =________．
(2)【拓展延伸】
①若
1
3
4
x
x
+
+
-
=
，求x 的取值范围；
②对于实数x，
2
1
4
x
x
x
+
+
-
+
-
的最小值是________，此时x =________．
【方法指导】
对于问题（2），
1
3
x
x
+
+
-
可以理解为：数轴上表示数x 的点到表示1
- 的点和到表示3 的点的距离之和．
要使这个距离之和等于4，x 应该取什么位置呢？
(3)综合应用：江西某快递公司在一条东西走向的街道上设置配送点，该街道上有A，B，C，D，E 五个小区，
它们在数轴上对应的位置如图所示（单位：百米）：
若快递公司只能在其中一个小区设配送点，为使配送点到五个小区的距离之和最小，应选择在哪个小区设置
配送点？请说明理由．
【变式3】（25-26 七年级上·河南漯河·期末）如图：数轴上A ，B ，C 三点分别表示的数为4
- 、4 、7 ，点
P 表示的数为x ．
【阅读材料】：在数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做a 的绝对值，记为a ，数轴上表示数a 的点与表示
数b 的点的距离记为a
b
-
（或b
a
-
），数轴上数x 表示的点到表示数a 的点与表示数b 的点的距离之和记
为x
a
x
b
-
+
-
．
(1)填空：BC = ______；AB = ______；
(2)若点Q 表示的数为y ，当
2
4
8
y
y
y
+
+
-
+
-
取最小值时，y =_____；
(3)动点M 从点A 出发，以每秒0.5个单位长度的速度向右运动，求当经过多少秒时，点M 到点B 、点C 的
距离之和为8 ．
