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专题 1.7 绝对值（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】绝对值定义：一般地，数轴上表示数的 a的点与原点距离叫
做数 a 的绝对值，数 a 的绝对值记作 ，读作“a 的绝对
值”；
【知识点二】几何意义和代数意义
（1）几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离
原点越远，绝对值越大，反之越小；
（2）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的
相反数；0的绝对值是0.即 =
【知识点三】几点温馨提示
（1）互为相反数的两个数绝对值相等，反之，绝对值相等的两个数相等
或互为相反数；
（2）当绝对值符号里的数正负不能确定时，要分类讨论，即将分成大于
0，小于0，等于0三种情况讨论；
（3）任何一个有理数的绝对值都是非负数，即 a 取任意有理数，都有
，
（4）
两个负数相比较，绝对值大的反而小.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】求一个数的绝对值或由一个数的绝对值求原数【例1】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： ；若 ，则 ．
【答案】 4.5
【分析】根据绝对值的定义求解即可．
点拨 ；
∵ ，
∴ ．
故答案为：4.5； ．
【点拨】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正
数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，绝对值等于一
个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系．
【变式1】 的相反数是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查绝对值，相反数，根据绝对值和相反数的定义即可求解．
解：∵ ， 的相反数是 ，
∴ 的相反数是 ．
故选：A
【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）2.4到原点的距离是2.4，所以 ；
（2） 到原点的距离是3，所以 ；
（3）0到原点的距离是0，所以 ．
【答案】 2.4 3 0
【分析】根据绝对值的代数意义解答即可．绝对值的代数意义，一个正数的绝对值是它本身；一个
负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．解：（1）2.4到原点的距离是2.4，所以 ；
故答案为：2.4
（2） 到原点的距离是3，所以 ；
故答案为：3；
（3）0到原点的距离是0，所以 ．
故答案为：0．
【点拨】本题主要考查了绝对值，解决问题的关键是熟练掌握绝对值的代数意义．
【题型2】绝对值的几何意义
【例2】（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）绝对值是4的数有几个？各是什么？
（2）绝对值是0的数有几个？各是什么？
（3）是否存在绝对值是 的数？为什么？
【答案】（1）两个，4和 ；（2）一个，0；（3）不存在，理由见解析
【分析】（1）根据绝对值的定义以及性质解决此题；（2）根据绝对值的定义以及性质解决此题；
（3）根据绝对值的非负性解决此题．
解：（1）绝对值等于4的数有两个，分别是4和 ．
（2）绝对值是0的数有一个，是0．
（3）不存在绝对值是 的数，理由：任意实数的绝对值大于或等于0，是非负数．
【点拨】本题主要考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义以及性质是解决本题的关键．
【变式1】（22-23七年级上·广西玉林·期中）若 ，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据非负数的绝对值等于本身，可得 ，即可求解．
解：∵ ，
∴ ，
即 ．
故选：C．
【点拨】本题考查了绝对值的意义，正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它
的相反数；理解绝对值的意义是解题的关键．【变式2】已知 ， ，且 ，则 ， .
【答案】 -2018 -2019
【分析】根据绝对值意义求出各数.
解：因为 ，
所以x=±2018,y=±2019
因为
所以x=-2018，y=-2019
【点拨】考核知识点：绝对值.理解定义是关键.
【题型3】绝对值的非负性 ：
【例3】（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知 ，求 的
值．
【答案】 ， ， ．
【分析】点拨本题考查了非负数的性质，根据几个非负数的和等于 ，那么这几个非负数都等于 ，
得到 ， ， ，解之即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键．
解：∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ．
【变式1】（23-24七年级上·新疆克孜勒苏·阶段练习）若 与 互为相反数，求 的值
【答案】
【分析】此题主要考查了相反数的定义，绝对值的非负性，直接利用非负数的性质得出 ， 的值，
进而代入得出答案．
解：∵ 与 互为相反数，
∴ ，∴ ，
解得： ，
∴ ．
【变式2】（23-24七年级上·福建泉州·期中）如果x为有理数，式子 存在最大值，这
个最大值是（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【答案】C
【分析】本题考查的是绝对值的非负性的含义，理解 的最小值是0是解本题的关键．
解：∵x为有理数式子 存在最大值，
∴当 ， 最大为2023，
故选C．
【题型4】绝对值的化简
【例4】（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）已知a，b两数在数轴上的位置如图所示
求代数式
【答案】3
【分析】本题考查了利用数轴比较大小以及化简绝对值：先得 ，再逐一化简绝对值，运用
整式的加减混合运算合并同类项，即可作答．
解：根据a，b两数在数轴上的位置，得
则
【变式1】（2023·宁夏吴忠·模拟预测）已知有理数 ， 在数轴上如图表示，则 ．【答案】
【分析】本题考查运用数轴上的点表示实数，绝对值．先根据数轴确定出 的符号，再去绝对
值即可．解题的关键是掌握：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，零的绝对
值是零．
解：由图可知： ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式2】（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）如果 ，那么 的值是（ ）
A． 或3 B． 或3 C．1或3 D． 或
【答案】B
【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值．根据 ，即a、b全为正数时，或a、b为
一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可．
解： ，
设 时，
，
或 时，
，或 ，
时，
，
综上可得： 或 ，
故选：B．
【题型5】解绝对值方程
【例5】（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）关于 的方程 的解是 ．【答案】 或
【分析】本题考查了解绝对值方程．分 ， 和 时三种情况讨论，分别列得方程，
再解方程可得．
解：当 时，
，解得 ；
当 时,
，此方程无解；
当 时,
，解得 ；
故答案为： 或 ．
【变式1】（23-24七年级上·福建泉州·期中）若 ，则 ．
【答案】2010或2036
【分析】本题主要考查绝对值的性质，根据绝对值的意义进行化简即可．
解： ，
，
，
，
，
∴ ，
∴ 或2010．
故答案为：2010或2036．
【变式2】（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）已知 是方程 的解，则k的值
为（ ）
A．11或 B．9或 C．11或 D． 或9
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及绝对值求值，熟练掌握绝对值求解是解题的关键．
将 代入方程，根据绝对值的定义求解即可．解：将 代入方程，得 ，
，
解得 或 ．
故选：C．
【题型6】利用绝对值比较有理数的大小
【例6】（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）比较下列数的大小．
(1) 和 ； (2) 和 ； (3) 和 ．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【分析】本题考查了有理数的大小比较、化简绝对值、化简多重符号，熟练掌握正数大于零，负数
小于零，正数大于负数，两个负数进行比较，绝对值大的反而小，是解此题的关键．
（1）根据两个负数进行比较，绝对值大的反而小，即可得出答案；
（2）先将各数化简，再进行比较即可得出答案；
（3）先将各数化简，再进行比较即可．
解：（1） ， ， ，
；
（2） ， ， ，
；
（3） ， ，
．
【变式1】（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）比较大小：
（1）0 ；（2） ；（3） ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，“有理数的大小比较，正数大于0,0大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，据此逐题比较即可求解．
解：（1） ；
（2）因为 ，
所以 ，
所以 ；
（3）因为 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ； ；
【变式2】（23-24六年级上·山东烟台·期中）下列比较大小错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是有理数的大小比较，分别根据正数与负数、正数与正数、负数与负数比较大
小的法则对各选项进行逐一分析即可．
解：A、∵ ，∴ ，故本选项正确；
B、∵ ，∴ ，故本选项正确；
C、∵ ，∴ ，故本选项正确；
D、∵ ，∴ ，故本选项错误．
故选：D．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考【例1】（2024·四川德阳·中考真题）下列四个数中，比 小的数是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的法则是关键．根据有理数的大小比
较法则：正数>0>负数；然后根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得到答案．
解：∵ 正数>0>负数， ，
∴
∴ ，
∴比 小的是 ．
故选：D．
【例2】（2024·重庆·中考真题）下列四个数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查了有理数比较大小，解题的关键是掌握比较大小的法则．根据正数大于0，0大
于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得到答案．
解：∵ ，
∴最小的数是 ；
故选：A．
2、拓展延伸
【例1】解答下列问题
（1）若有理数 、 满足 ，且 ，求 的值．
（2）已知有理数 、 、 的在数轴上的位置如图所示，请化简： ．
【答案】（1）6或8． （2） ．【分析】（1）根据绝对值的性质解得x，y的值，分情况讨论得出符合条件的x，y的值，即可解．
（2）根据数轴可以判断a、b、c的正负情况，从而可以将绝对值符号去掉，本题得以解决．
解：（1）∵ ， ，
∴ 或 ， 或 ，
①当 ， 时， （舍去），
②当 时， ，
③当 时， ，
．
④当 时， ，
．
则②3④满足，则 或8．
（2）由题得： ，
∴
．
【点拨】考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点，可以将绝对值符号去掉，利用数
形结合的思想解答．
【例2】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）对数m、n，给出定义：若 ，则称 是 的“正
比数”；若 ，则称 是 的“反比数”．举例：因为 ，所以3是 的“正比数”；
因为 ，所以3是 的“反比数”．点A、B在数轴上的点表示的数分别是 、 （
且 ），点 是 的中点，在数轴上表示的数是 ．
(1)①若 是 的“正比数”， ，则 __________；
②若 是 的“反比数”， ，则 __________；(2)若 ，e是 的“反比数”，求 ；
(3)若 ，e是a、b两数中其中一个数的“正比数”，请直接写出 的值．
【答案】(1)① ；② ； (2)0或 ；(3)6或 或 或
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，新定义运算，解题的关键是理解绝对值的意义，注意进行
分类讨论．
（1）根据定义列式计算即可；
（2）先求出e的值，然后根据中点定义求出b的值即可；
（3）根据中点定义得出 ，分两种情况讨论：当e是a的“正比数”时，当e是b的“正比
数”时，分别列式计算即可．
解：（1）①∵ 是 的“正比数”，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
②∵ 是 的“反比数”，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）∵ ，e是 的“反比数”，
∴ ，
解得： ，
∵点A、B在数轴上的点表示的数分别是 、 ，点 是 的中点，在数轴上表示的数是 ，∴ ，
即 ，
解得： 或 ．
（3）∵点A、B在数轴上的点表示的数分别是 、 ，点 是 的中点，在数轴上表示的数是 ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴当e是a的“正比数”时， ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
解得： 或 ；
当e是b的“正比数”时， ，
即 ，
∴ ，
解得： 或 ；
综上分析可知，b的值为6或 或 或 ．
