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专题 01 绝对值的三种化简方法
绝对值版块的内容在我们这学期比重较大，尤其是绝对值的化简。并且，在压轴题中，常见的题型是
利用数轴化简绝对值和利用其几何意义化简绝对值，本专题就这两块难点详细做出分析。
【知识点梳理】
1.绝对值的定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|
2.绝对值的意义
①代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；
②几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离
原点的距离越近，绝对值越小。
3.绝对值的化简：
类型一、利用数轴化简绝对值
例1．有理数a、b、c在数轴上位置如图，则 的值为（ ）．
A． B． C．0 D．
【答案】A
【详解】根据数轴上点的位置得： ，且 ，
则 ， ， ，
则 ．
故选A．
例2．有理数 ， 在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式 的值是( )
A．-1 B．1 C．3 D．-3
【答案】D
【详解】解：根据数轴可知：－1”或“<”填空： ， ， ．
（2）化简：
【答案】（1）＜，＜，＞；（2）2c-2b-2a
【详解】解：由图可知，a＜0，b＞0，c＞0，且|b|＜|a|＜|c|，
（1）b−c＜0，a＋b＜0，−a＋c＞0；故答案为：＜，＜，＞；
（2） ＝c−b−a-b-a+c=2c-2b-2a．
【变式训练3】有理数 ， 在数轴上的对应点如图所示：
（1）填空： ______0； ______0； ______0；（填“＜”、“＞”或“＝”）
（2）化简：
【答案】（1）<，<，>；（2）
【详解】（1）从数轴可知： ， ，故答案为：<，<，>；（2） ，
．
【变式训练4】有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
(1)用“＞”或“＜”填空a_____0，b_____0，c﹣b______0，ab_____0．
(2)化简：|a|+|b+c|﹣|c﹣a|．
【答案】(1)＜，＞，＞，＜；(2)b
【解析】(1)解：由有理数a、b、c在数轴上的位置可知，a＜0＜b＜c，
∴c﹣b＞0，ab＜0
故答案为：＜，＞，＞，＜；
(2)由有理数a、b、c在数轴上的位置可得，
b+c＞0，c﹣a＞0，
∴|a|+|b+c|﹣|c﹣a|＝﹣a+b+c﹣c+a＝b．
类型二、利用几何意义化简绝对值
例1.同学们都知道，|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两
点之间的距离．试探索
（1）求|5-（-2）|=________；
（2）同样道理|x+1008|=|x-1005|表示数轴上有理数x所对点到-1008和1005所对的两点距离相等，则
x=________；
（3）类似的|x+5|+|x-2|表示数轴上有理数x所对点到-5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件
的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7，这样的整数是__________．
（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说
明理由．
【答案】（1）7；（2） ；（3）-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2；（4）有最小值，最小值为3．
【详解】（1）|5-（-2）|= =7，故答案为：7
（2）∵|x+1008|=|x-1005|表示数轴上有理数x所对点到-1008和1005所对的两点距离相等，
∴x所对点为-1008和1005所对点的中点，∴x+1008＞0，x-1005＜0，∵|x+1008|=|x-1005|，∴x+1008=-（x-1005），解得： ，答案为：
（3）当x+5=0时，x=-5，当x-2=0时，x=2，
当x＜-5时，|x+5|+|x-2|=-（x+5）-（x-2）=7，-x-5-x+2=7，解得：x=5（范围内不成立，舍去）
当-5≤x＜2时，∴|x+5|+|x-2|=（x+5）-（x-2）=7，x+5-x+2=7，7=7，
∵x为整数，∴x=-5，-4，-3，-2，-1，0，1
当x≥2时，∴|x+5|+|x-2|=（x+5）+（x-2）=7，x+5+x-2=7，2x=4，解得：x=2，
综上所述：符合条件的整数为-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，
故答案为：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2
（4）∵|x-3|+|x-6|表示数轴上有理数x所对点到3和6所对的两点距离之和，
∴由（2）得3≤x≤6时|x-3|+|x-6|的值最小，
∴|x-3|+|x-6|=x-3-(x-6)=3，∴|x-3|+|x-6|有最小值，最小值为3．
【变式训练1】阅读下面的材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B两点中有一点在原点
时，不妨设点A在原点，如图1，∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时：
①如图2，点A、B都在原点的右边：
∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；
②如图3，点A、B都在原点的左边：
∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；
③如图4，点A、B在原点的两边：
∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣，
综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．
回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数
轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；
(2)数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2， 那么x为__________．
(3)当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是__________．【答案】(1)3，3，4；(2) ，1或-3；(3)
【解析】(1)解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为 ，
数轴上表示-2和-5的两点之间的距离为 ，
数轴上表示1和-3的两点之间的距离为 ；
故答案为：3，3，4；
(2)解：数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是 ，
根据题意得 ，即 ，所以x=1或-3，
故答案为 ，1或-3；
(3)解：代数式∣x+1∣+∣x-2∣可以看成x到-1和2的距离和，只有在-1和2之间才会有最小距离3，所以x的
取值为 ，
故答案为： ．
【变式训练2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是 ；一般地，
数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离
可以表示为 ，表示数y与﹣1两点之间的距离可以表示为 ．
（2）如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝ ；若数轴上表示数a的点位于﹣4与2
之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；
（3）当a＝ 时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是 ．
【答案】（1）3，5，|x-5|，|y+1|；（2）1或-5；|a+4|+|a-2|=6；（3）1，9．
【详解】（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是4-1=3；表示-3和2两点之间的距离是2-（-3）=5；
一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为|m-n|．那么，数轴上表示数x与5两点之间
的距离可以表示为|x-5|，表示数y与-1两点之间的距离可以表示为|y+1|．
故答案为：3，5，|x-5|，|y+1|；
（2）如果表示数a和-2的两点之间的距离是3，那么|a-（-2）|=3，∴|a+2|=3，∴a+2=3或a+2=-3，解得a=1或a=-5；
∵|a+4|+|a-2|表示数a与-4的距离与a和2的距离之和，
若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，则|a+4|+|a-2|的值等于2和-4之间的距离，等于6．
即|a+4|+|a-2|=6，故答案为：1或-5；
（3）|a+5|+|a-1|+|a-4|表示一点到-5，1，4三点的距离的和，
∴当a=1时，该式的值最小，最小值为6+0+3=9．
∴当a=1时，|a+5|+|a-1|+|a-4|的值最小，最小值是9．故答案为：1，9．
【变式训练3】（问题提出） 的最小值是多少？
（阅读理解）为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手． 的几何意义是 这个数在数轴上对应的
点到原点的距离，那么 可以看作 这个数在数轴上对应的点到1的距离； 就可以看作 这
个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究 的最小值．
我们先看 表示的点可能的3种情况，如图所示：
（1）如图①， 在1的左边，从图中很明显可以看出 到1和2的距离之和大于1．
（2）如图②， 在1，2之间（包括在1，2上），看出 到1和2的距离之和等于1．
（3）如图③， 在2的右边，从图中很明显可以看出 到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出
结论：当 在1，2之间（包括在1，2上）时， 有最小值1．
（问题解决）
（1） 的几何意义是 ，请你结合数轴探究： 的最小值是 ．
（2）请你结合图④探究 的最小值是 ，由此可以得出 为 ．（3） 的最小值为 ．
（4） 的最小值为 ．
（拓展应用）如图，已知 使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出 的取值范围是 ．
【答案】（1）a这个数在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和，3；（2）2，2；（3）6；（4）
1021110；拓展应用 ．
【详解】（1） 的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和；
当a在4和7之间时（包括4，7上），
可以看出a到4和7的距离之和等于3，此时 取得最小值是3；
故答案为：a这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和，最小值是3.
（2）当a取中间数2时，绝对值最小， 的最小值是1+0+1=2；
如图所示：
故答案为：2，2；
（3）当a取最中间数时，绝对值最小，
的最小值是 ；
（4）当a取中间数1011时，绝对值最小， 的最小值为：1010+1009+1008+1007+……+1+0+1+2+3+……+1010= ；
拓展应用
∵a使它到-1，2的距离之和小于4，∴ ，
∴①当 时，则有 ，解得： ，∴ ；
②当 时，则有 ，∴ ，
③当 时，则有 ，解得： ，∴ ，
综上： ，数轴上表示如下：
类型三、分类讨论法化简绝对值
例1.化简： .
【答案】
【解析】试题解析：①当 时，原式
②当 时，原式
③当 时，原式
④当 时，原式
综上所述：
【变式训练1】若 ，则 的值为_________．
【答案】0或2或4【详解】∵ ，
∴a、b、c三个数中必定是一正两负，
∴当 时， ，此时
当 时， ，此时
当 时， ，此时
故答案为：0或2或4
【变式训练2】（1）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求 的值．
请补充以下解答过程（直接填空）
①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x= ；②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，x=
；③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x= ；综上，当a，b均不为零，求x的值为
．
（2）请仿照解答过程完成下列问题：
①若a，b，c均不为零，求 的值．
②若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式 的值．
【答案】（1）①2，②0，③-2，2或0或-2；（2）①1或3或-3或-1；②-1或1
【详解】（1）①∵a、b都是正数，∴ =a， =b，∴ =1+1=2，
故答案为：2；
②设a是负数，b是正数，∴ =-a， =b，∴ =-1+1=0，故答案为：0；
③∵a、b都是负数，∴ =-a， =-b，∴ =-1-1=-2，故答案为：-2；
综上，当a，b均不为零，求x的值为2或0或-2；
（2）①由题意可得：a、b、c的符号分为四种情况：
当a、b、c都是正数时， =1+1-1=1，
当a、b、c为两正一负且a、b为正c为负时， =1+1+1=3，当a、b、c为一正两负且a、b为负c为正时， =-1-1-1=-3,
当a、b、c都是负数时， =-1-1+1=-1，
综上， 的值为1或3或-3,或-1；
②∵a，b，c均不为零，且a+b+c=0，
∴ = ，
∴当a、b、c为两正一负时， =-1-1+1=-1，
当a、b、c为一正两负 =-1+1+1=1，
综上， 的值为-1或1.
