文档文本内容
培优专题01 根据实际问题列代数式及代数式求值
（题型突破·举一反三）
题型01 列代数式中的数字问题
题型02 列代数式中的和倍差问题
题型03 列代数式中的百分率问题
题型04 列代数式中的几何面积问题
题型05 用代数式表示数、图形的规律
题型06 直接带入求值
题型07 整体带入求值
题型08 先计算再求值
题型09 求与相反数、倒数及绝对值有关的代数式
题型10 利用程序框图求值
▌题型01 列代数式中的数字问题
【典例1】（25-26 七年级上·河北秦皇岛·期末）已知一个三位数，其百位数字为x，十位数字比百位数字小
2，个位数字比百位数字的2 倍大3．用代数式表示这个三位数为（ ）
A．(
2)(2
3)
x x
x
-
+
B．100
10(
2)
2
3
x
x
x
+
-
+
+
C．100
10(
2)
2
3
x
x
x
+
+
+
-
D．100
10(
2)
2
3
x
x
x
+
-
+
-
【答案】B
【分析】本题考查了列代数式，十进制整数及表示方法，解题关键是掌握十进制数表示方法．
根据百位、十位、个位数字的关系，直接列出代数式表示三位数．
【详解】解：∵百位数字为x ，十位数字比百位数字小2，
∴十位数字为
2
x-
．
∵个位数字比百位数字的2 倍大3，
∴个位数字为2
3
x + ．
∴这个三位数为100´ 百位10
+
´十位+ 个位
100
10
2
2
3
x
x
x
=
+
-
+
+
，
故选：B．
【变式1】（23-24 六年级上·山东烟台·期末）在日历上，某些数据满足一定的规律，如图是2024 年1 月份
的日历，任选其中所含4 个数字的方框部分，设方框右上角的数字为m，则下列说法正确的是（ ）
A．方框左上角的数字为
1
m +
B．方框左下角的数字为
7
m +
C．方框右下角的数字为
8
m +
D．方框中4 个数字相加，和是4
12
m +
【答案】D
【分析】此题考查了列代数式和整式的加减运算，弄清日历结构是解答本题的关键．根据右上角的数字为
a，可知左上角的数字比右上角的数字小1，左下角的数字比右上角的数字大6，右下角的数字比右上角的数
字大7，由此可作判断．
【详解】解：A、左上角的数字为
1
m - ，故不正确；
B、左下角的数字为
6
m +
，故不正确；
C、右下角的数字为
7
m +
，故不正确；
D、方框中4 个位置的数相加
1
6
7
4
12
m
m
m
m
m
=
+
- +
+
+
+
=
+
，正确．
故选：D．
【变式2】（24-25 七年级上·黑龙江鹤岗·期中）若一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，
它的百位数字为a，十位数字为b ，个位数字为4 ，用含a，b 的式子表示这个三位数为___________
【答案】100
10
4
a
b
+
+
【分析】根据不同数位的计数单位，分别计算各数位对应的数值，再求和即可得到这个三位数。
【详解】解：已知三位数中百位数字的计数单位为100，十位数字的计数单位为10，个位数字的计数单位为1，
故当百位数字为a时，百位对应的数值为100a ，
当十位数字为b 时，十位对应的数值为10b，
当个位数字为4 时，个位对应的数值为4 ，
将三个数位的数值相加，可得这个三位数为： 100
10
4
a
b
+
+
．
【变式3】（24-25 七年级上·全国·课后作业）一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字比个位上的数
字大5，将十位上的数字和个位上的数字相加得到一个新的数，则原来的两位数与新的数的差为______．
【答案】9
45
a +
【分析】此题主要考查整式加减的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先得出十位上的数字为
5
a + ，再分别表示出原来的两位数和新的数，再列式化简，进而得出答案．
【详解】解：∵个位上的数字为a，十位上的数字比个位上的数字大5，
∴十位上的数字为
5
a + ，
∴原来的两位数为
5
10
11
50
a
a
a
+
´
+
=
+
，
∵将十位上的数字和个位上的数字相加得到一个新的数，
∴新的数为
5
2
5
a
a
a
+
+
=
+
，
∴
11
50
2
5
9
45
a
a
a
+
-
+
=
+
，
即原来的两位数与新的数的差为9
45
a +
，
故答案为：9
45
a +
．
【变式4】（25-26 七年级上·吉林长春·期末）一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．
(1)请用含a，b，c 的代数式表示这个三位数；
(2)现在把原三位数的百位数字、十位数字、个位数字分别调换到个位数字、百位数字、十位数字，得到一个
新三位数，请用含a，b，c 的代数式表示新三位数；
(3)计算新三位数与原三位数的差，这个差能被9 整除吗？说明理由．
【答案】(1)100
10
a
b
c
+
+
(2)100
10
b
c
a
+
+
(3)
能被9 整除，理由如下：
100
10
100
10
b
c
a
a
b
c
+
+
-
-
-
90
99
9
b
a
c
=
-
+
9 10
11
b
a
c
=
-
+
a
Q
、b、c 为整数，
10
11
b
a
c
\
-
+
为整数．
\新三位数与原三位数的差能被9 整除．
【分析】本题考查了列代数式，整式的加减运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，根据一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．得这个三位数为100
10
a
b
c
+
+ ．
（2）理解题意，根据一个新三位数百位数字为b，十位数字为c，个位数字为a，得这个三位数为100
10
b
c
a
+
+
．
（3）理解题意，
100
10
100
10
9 10
11
b
c
a
a
b
c
b
a
c
+
+
-
-
-
=
-
+
，又因为a、b、c 为整数，即10
11
b
a
c
-
+ 为
整数，故新三位数与原三位数的差能被9 整除，即可作答．
【详解】（1）解：∵一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．
∴用含a，b，c 的代数式表示这个三位数为100
10
a
b
c
+
+ ．
（2）解：由题意，一个新三位数百位数字为b，十位数字为c，个位数字为a，
∴用含a，b，c 的代数式表示新三位数为100
10
b
c
a
+
+
．
（3）略
▌题型02 列代数式中的和倍差问题
【典例2】（25-26 七年级上·河北唐山·期末）用代数式表示“a的平方的3倍与b 的一半的差”为（ ）
A．
1 3
2
a
b
-
B．
2
1
3
2
a
b
-
C．
2
1 3
2
a
b
-
D．
2
1
3
2
a
b
-
【答案】B
【分析】本题考查列代数式，需根据语句顺序逐步转化为数学表达式，明确运算顺序是关键．
【详解】解：
a
Q
的平方为
2
a
a
\
的平方的3倍为
2
3a
b
Q 的一半为1
2 b
a
\
的平方的3倍与b 的一半的差为
2
1
3
2
a
b
-
故选：B．
【变式1】（20-21 七年级上·陕西渭南·期末）已知小明的年龄是m岁，哥哥的年龄比小明年龄的3倍小8岁，
姐姐的年龄比小明年龄的2 倍多1岁，则小明的哥哥和姐姐的年龄和是（ ）
A．
5
7
m -
岁
B．
4
5
m -
岁
C．
5
3
m +
岁
D．
6
3
m -
岁
【答案】A
【分析】本题考查了列代数式，整式的加法运算，根据题意先列式表示出哥哥和姐姐的年龄，再相加即可求
解，掌握整式的加法运算法则是解题的关键．
【详解】解：由题意得，哥哥的年龄为
3
8
m -
岁，姐姐的年龄为
2
1
m +
岁，
∴小明哥哥和姐姐的年龄和为：
3
8
2
1
3
8
2
1
5
7
m
m
m
m
m
-
+
+
=
- +
+ =
-
，
故选：A ．
【变式2】（2025·河北邯郸·三模）一个三位数，百位上的数字为x ，十位上的数字是百位上的数字的2 倍，
个位上的数字比百位上的数字少3，这个三位数用含有x 的代数式表示为（ ）
A．112
30
x -
B．100
30
x -
C．121
3
x -
D．121
3
x +
【答案】C
【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，根据题意，分别用x 表示三位数的各个位上的数字，再按数位
组合成代数式并化简即可，依据题意，正确得出十位上和个位上的数字是解题关键．
【详解】解：∵百位数字为x ，对应数值为100x ，十位数字是百位的2 倍，即2x ，对应数值为10 2
20
x
x
´
=
，
个位数字比百位少3，即
3
x-
，对应数值为
1
3
3
x
x
´
-
=
- ，
∴这个三位数为100
20
3
121
3
x
x
x
x
+
+
-
=
- ，
故选：C ．
【变式3】（22-23 七年级上·安徽芜湖·期中）用文字语言叙述整式
2
2
2
x
y
+
的意义，其中正确的是（ ）
A．x 与2y 的平方和
B．x 的平方加2 的和乘以y 的平方
C．x 与2y 的和的平方
D．x 的平方与y 的平方的2 倍的和
【答案】D
【分析】利用代数式的意义对每一项分析解答即可．
【详解】解：∵x 与2y 的平方和可写为
2
2
x
y
+
,
故A 项不符合题意；
∵x 的平方加2 的和乘以y 的平方可写为
2
2
2
y
x +
，
故B 项不符合题意；
∵x 与2y 的和的平方可写为
2
2
x
y
+
，
故C 项不符合题意；
∵x 的平方与y 的平方的2 倍的和可写为
2
2
2
x
y
+
,
故D 项符合题意；
故选D ．
【点睛】本题考查了代数式的意义，正确理解题意是解题的关键．
▌题型03 列代数式中的百分率问题
【典例3】（25-26 七年级上·湖南永州·期末）某商品进价为a元，先按进价的1.2倍标价，然后再降价10元
销售，则现在的售价用代数式表示为_________元．
【答案】
1.2
10
a -
【分析】本题考查列代数式，关键是理清题目中的数量关系：售价=标价-降价金额，其中标价=进价1.2
´
．首
先根据进价计算出标价，再用标价减去降价的10元，即可得到现在的售价．
【详解】解：∵商品进价为a元，先按进价的1.2倍标价，
∴标价为1.2a 元；
∵然后再降价10元销售，
∴现在的售价为
1.2
10
a -
元．
故答案为：
1.2
10
a -
．
【变式1】（24-25 七年级上·浙江宁波·期末）打年糕是宁波过年的传统习俗， 预示着丰收， 希望来年有好
收成． 糯米做成年糕的过程中， 由于增加水分，会使重量增加20% ． 如果原有糯米x 斤，则做成年糕后
重量为_____斤（用含 x 的代数式表示）．
【答案】1.2x
【分析】本题考查了列代数式，找出数量关系是解题的关键．基本关系：做成年糕后重量=原有糯米的重量
1
20%
´
+
，据此求解即可．
【详解】解：如果原有糯米x 斤，则做成年糕后重量为
1
20%
1.2
x
x
+
=
，
故答案为：1.2x ．
【变式2】（25-26 七年级上·福建宁德·期中）一种商品每件成本a元，原来按成本增加20% 定出价格，现在
由于库存积压减价，按原价的80%出售，现售价是_____元．
【答案】0.96a
【分析】本题考查了列代数式，先根据成本增加20% 求出原价，再根据按原价的80%出售求出现售价．
【详解】原价为
1
20%
1.2
a
a
´
+
=
（元）；
现售价为1.2
80%
1.2
0.8
0.96
a
a
a
´
=
´
=
（元）．
故答案为0.96a ．
【变式3】（24-25 七年级上·江苏宿迁·期中）某种商品原价每件b 元，第一次降价是打8 折(按原价的80%
出售)，第二次降价每件又减10 元，这时的售价用含b 的代数式表示是______元．
【答案】(80%
10)
b -
【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意是关键；表示第一次降价后的价格为80%b 元，再表示第二降
价的价格，即可得到此时的售价．
【详解】解：由题意得：第一次降价后的价格为80%b 元，第二降价的价格为(80%
10)
b -
元，即此时售价为
(80%
10)
b -
元；
故答案为：(80%
10)
b -
．
【变式4】（25-26 七年级上·江西宜春·期中）某商场购进一批进价为m元/件的商品，以
n n
m
>
元/件的价
格进行销售，销售一段时间后发现销量不好，为了尽快回笼资金，准备打八折进行促销，则一件该商品打折
后的利润为________元．（用含
,
m n 的式子表示）
【答案】0.8n
m
-
【分析】本题考查了列代数式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出代数式是解题的关键．根据利润=
售价- 进价，商品打八折后，售价变为原售价的80%，即0.8n 元/件，进价仍为m元/件，由此即可得解．
【详解】解：根据题意，利润为
80
n
m
´
-
％
0.8n
m
=
-
元．
故答案为：0.8n
m
-
．
【变式5】（2025·安徽滁州·三模）某省2024 年上半年的GDP 总值为a 万亿元人民币，2024 年下半年的GDP
总值比2024 年上半年增长8.5%，预计2025 年上半年的GDP 总值比2024 年下半年增长6% ．若2025 年上
半年该省的GDP 总值为b 万亿元人民币，则a，b 之间的关系是（ ）
A．
1 8.5%
6%
b
a
=
+
+
B．
1 8.5%
1
6%
a
b
=
+
+
C．
1 8.5%
1 6%
b
a
=
-
-
D．
1 8.5%
1
6%
b
a
=
+
+
【答案】D
【分析】本题考查列代数式，解题的关键是理解增长率的含义进行推导．先利用2024 年上半年的GDP 总值
a将2024 年下半年的GDP 总值表示出来，再表示出2025 年上半年的GDP 总值即可得到a与b 的关系式．
【详解】解：
2024
Q
年上半年的GDP 总值为a万亿元人民币，2024 年下半年的GDP 总值比2024 年上半年增
长8.5%，
2024
\
年下半年的GDP 总值为(1
8.5%)
a
+
万亿元人民币，
Q 预计2025 年上半年的GDP 总值比2024 年下半年增长6% ，
\预计2025 年上半年的GDP 总值为(1
8.5%)(1
6%)
a
+
+
万亿元人民币，
2025
Q
年上半年该省的GDP 总值为b 万亿元人民币，
1 8.5% 1
6%
b
a
\ =
+
+
．
故选：D ．
【变式6】（2023 七年级上·湖南邵阳·竞赛）魏源是中国近代启蒙思想家、政治家、文学家，是近代中国“睁
眼看世界”的首批知识分子的代表．为了深入了解魏源先生，隆回魏源故居的游客常常络绎不绝．据统计，
今年8 月份游客量约为1.8万人，9 月份的游客量比8 月份下降%
a
，10 月份又比9 月份上升%
b
，设10 月
份的游客量为m万人，则（ ）
A．
1.8 1
%
%
m
a
b
=
-
+
B．
1.8 1
%
%
m
a
b
=
-
C．
1.8
%
%
m
a
b
=
-
+
D．
1.8 1
% 1
%
m
a
b
=
-
+
【答案】D
【分析】本题考查列代数式，根据所给数量关系先表示出9 月份的游客量，进而表示出10 月份的游客量，
由此可解．
【详解】解：由题意知，9 月份的游客量为
1.8 1
%
a
-
，
则10 月份的游客量为
1.8 1
% 1
%
a
b
-
+
，
故
1.8 1
% 1
%
m
a
b
=
-
+
，
故选：D．
▌题型04 列代数式中的几何面积问题
【典例4】（25-26 七年级上·河南郑州·期末）如图，空白部分的面积不可以表示为（ ）
A．2x
B．
2
2
x x
x
+
-
C．
2
3
6
x +
-
D．
2
x x +
【答案】D
【分析】本题考查了列代数式，根据长方形面积公式列代数式，可求得空白部分的面积表达式，选出符合题
意的选项．
【详解】解：如图所示，空白部分是一个长为2，宽为x 的长方形，
∴空白部分的面积
2x
=
，
也可以表示为：
2
(
2)
x x
x
+
-
、2(
3)
6
x +
- 、
2
(
3)(
2)
3(
2)
x
x
x
x
+
+
-
-
+
，
故A、B、C 不符合题意，D 符合题意，
故选：D．
【变式1】（24-25 七年级上·浙江绍兴·开学考试）（如图）将一个正方形的边长增加1.3cm ，得到一个新的
正方形．用含有字母a 的式子表示“增加的面积”，其中错误的是（ ）．
A．
2
1.3
2 1.3
a´
+
B．
2
2
1.3
a
a
+
-
C．
1.3
1.3
2
a
´
+
´
D．
1.3
1.3
a
a
+
+
´
【答案】C
【分析】本题考查正方形面积增加的计算方法，熟练掌握正方形和矩形的面积公式是解题的关键．通过不同
的方式表示增加的面积，逐个选项进行分析并找出错误的选项即可．
【详解】A.利用增加的面积
2
=
´ 长方形面积＋小正方形的面积，即增加的面积为：
2
1.3
2 1.3
a´
+
，所以本选
项不符合题意；
B.利用增加的面积=新的正方形的面积－原正方形的面积，即增加的面积为：
2
2
1.3
a
a
+
-
，所以本选项不
符合题意；
C.
1.3
1.3
2
a
´
+
´ ，多加了一个小正方形的面积，所以本选项符合题意；
D.
2
1.3
1.3
1.3
2 1.3
a
a
a
+
+
´
=
´ +
，即利用增加的面积
2
=
´ 长方形面积＋小正方形的面积，所以本选项不符
合题意；
故选：C．
【变式2】（2026 七年级上·全国·专题练习）如图，三角尺的面积（阴影部分）用代数式可表示为
_________________．（用含a、b、r 的代数式表示）
【答案】
2
1
π
2 ab
r
-
【分析】本题主要考查了列代数式，用三角形的面积减去圆的面积即可得到答案．
【详解】解：由题意得，三角尺的面积（阴影部分）用代数式可表示为
2
1
π
2 ab
r
-
，
故答案为：
2
1
π
2 ab
r
-
．
【变式3】（24-25 七年级上·河北邯郸·期末）如图所示是一个长方形．
（1）根据图中尺寸大小，用含x 的代数式表示阴影部分的面积S =_________；
（2）若
4
x =
，求S 的值_________．
【答案】
18
3x
+
30
【分析】本题考查了代数式表示，求代数式的值．
（1）根据图形的面积分割法，列出代数式表示阴影的面积即可．
（2）根据字母的值，求代数式的值即可．
【详解】（1）解：
1
1
6 12
12
6
6
18
3
2
2
S
x
x
=
´ ´
-
´
-
-
=
+
，
故答案为：18
3x
+
；
（2）解：当
4
x =
时，
18
3 4
30
S =
+ ´
=
，
故答案为：30．
【变式4】（24-25 七年级上·北京门头沟·期末）如图，正方形ABCD 的边长为a，根据图中数据，用含a，b
的代数式表示阴影部分的面积S =____________________．
【答案】
2
1
2
2 a
b
-
【分析】本题考查了列代数式．用正方形面积的一半减去小三角形的面积，即可得到答案．
【详解】解：阴影部分的面积
2
2
1
1
1
4
2
2
2
2
S
a
b
a
b
=
-
´ ´
=
-
．
故答案为：
2
1
2
2 a
b
-
．
【变式5】（25-26 七年级上·贵州遵义·期末）为优化厨房电器的空间适配性，某家电品牌在设计新款抽油烟
机时，需要精准计算其侧面截面的面积（该截面由长方形烟机主体区域与梯形进风区域组成）．已知设计图
纸中，长方形区域的宽为a，长为b ，梯形区域的上底与长方形的宽一致（为a），下底为2b ，高为4．请
根据这些参数完成截面面积的计算，为后续的安装空间预留材料用量估算提供数据支持．
(1)用含a，b 的代数式表示该截面的面积S；
(2)当
4
a =
，
5
b =
时，求该截面的面积．
【答案】(1)
2
4
ab
a
b
+
+
(2)48
【分析】本题考查了列代数式、代数式求值，熟练掌握该截面的面积的构成是解题关键．
（1）根据该截面的面积等于长方形区域的面积与梯形区域的面积之和，化简即可得；
（2）将
4
a =
，
5
b =
代入计算即可得．
【详解】（1）解：由题意得：
4
2
2
a
b
S
ab
+
=
+
2
2
ab
a
b
=
+
+
2
4
ab
a
b
=
+
+
．
（2）解：当
4
a =
，
5
b =
时，
2
4
4 5
2 4
4 5
48
S
ab
a
b
=
+
+
=
´ + ´ + ´ =
．
▌题型05 用代数式表示数、图形的规律
根据一系列数式关系或一组相关图形的变化期律，从中总结其所反映的规律.其中，以
图形为载体的数字规律最为常见，猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式
进行观察对比仿照数式规律的方法猜想得到最终结论，这类问题是近年来中考试题的热点，应予以关注.
【典例5】（25-26 七年级上·山西吕梁·期末）观察下列由字母“C ”和“ H ”组成的图形规律：
已知“C ”表示碳原子，“ H ”表示氢原子，在化学中由碳和氢组成的化合物称为烃．此规律对应的是一类常见
的烃——烷烃的分子通式．根据以上规律，第n个图形对应的烷烃化学式为：（ ）
A．
2
C H
n
n
B．
2
2
C H
n
n+
C．C H
n
n
D．
1
C H
n
n+
【答案】B
【分析】本题考查了规律型：图形的变化类．列举每个图形中“C”、“ H ”的个数，找到规律即可得出答案．
【详解】解：第①个图中“C”的个数为1，“ H ”的个数为4
2 1
2
=
´ +
，
第②个图中“C”的个数为2，“ H ”的个数为6
2
2
2
=
´
+
，
第③个图中“C”的个数为3，“ H ”的个数为8
2
3
2
=
´ +
，
……
则第n个图形中“C”的个数为n，字母“ H ”的个数是2
2
n +
，即
2
2
C H
n
n+ ．
故选：B．
【变式1】（25-26 七年级上·宁夏银川·期末）风从贺兰山来，把古罗马的阶梯染成金黄——这是大美银川收
到最浪漫的一封落日来信．我校七年级的一位同学用围棋子摆出了“大美银川”的大字，如图，按照某种规律
摆成的一行“大”字，按照这种规律，第n个“大”字棋子的个数是（ ）
A．2
5
n +
B．4
3
n +
C．3
5
n +
D．5
2
n +
【答案】B
【分析】本题考查了图形类规律探究．根据图形得出前几个图形棋子个数，找到规律第n个“大”字中的棋子
个数是
4
3
n +
，即可求解．
【详解】解：由题目得，第1 个“大”字中的棋子个数是7
4
3
=
+
；
第2 个“大”字中的棋子个数是11
2
4
3
=
´
+
；
第3 个“大”字中的棋子个数是15
3
4
3
=
´
+
；
LL，
进一步发现规律：第n个“大”字中的棋子个数是
4
3
n +
．
故选：B．
【变式2】（25-26 八年级上·山东临沂·期末）数学活动
我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
15 15
225
1 2 100
25
´
=
= ´ ´
+
．
25 25
625
2 3 100
25
´
=
=
´ ´
+
，
35 35
1225
3 4 100
25
´
=
= ´ ´
+
．
……
请你写出一般的规律__________．
【答案】
2
10
5
100
1
25
n
n n
+
=
+
+
【分析】本题考查数字变化规律的探究以及完全平方公式，关键是通过观察已知等式，提取共性特征，再用
字母表示数推导一般规律．观察给出的等式可知，左边均为个位数字是5 的两位数的平方，右边的结果可拆
分为“
1
100
25
´
+
´
+
十位数字
十位数字
”的形式．设该两位数的十位数字为n(n为正整数)，将这个两位数
表示为10
5
n +
，通过整式的乘方运算展开验证，即可得到通用的规律表达式．
【详解】解：设个位为5 的两位数的十位数字为n(n为正整数)，则该两位数可表示为10
5
n +
，
∵
2
2
2
2
(10
5)
(10 )
2 10
5
5
100
100
25
100
1
25
n
n
n
n
n
n n
+
=
+ ´
´ +
=
+
+
=
+
+
，
∴一般规律为
2
(10
5)
100
1
25
n
n n
+
=
+
+
．
故答案为：
2
(10
5)
100
1
25
n
n n
+
=
+
+
．
【变式3】（25-26 七年级上·福建厦门·期中）“中国结”寓意吉祥如意，中间的图案是一些小正方形.如图，将
一定数量的“中国结”按某规律放置，得到中间有规律的小正方形组合，其中部分小正方形涂有颜色：第1 个
图形共有涂色的小正方形5 个，第2 个图形共有涂色的小正方形9 个，第3 个图形共有涂色的小正方形13
个，…，按照这样的规律，第n 个图案中共有涂色的小正方形的个数是______．
【答案】4
1
n +
【分析】本题主要考查了图形的规律探索，合理分析图形数量变化的规律是解题的关键．
根据图形数量的变化寻找规律得出第n 图形中小正方形的个数即可．
【详解】解：第一个图形可以看作是5 个正方形，
第二个图形可看作是5
4 1
9
+ ´ =
个正方形，
第三个图形可看作是5
4 2
13
+ ´
=
个正方形，
……
第n 个图形可看作是
5
4
1
4
1
n
n
+ ´
-
=
+ .
故答案为：4
1
n + ．
【变式4】（25-26 七年级上·广东惠州·期末）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
(1)在④后面的横线上写出相应的等式；
①
2
1
1
=
；
②
2
1 3
2
+
=
；
③
2
1 3
5
3
+ +
=
；
④________；
(2)试用含有n 的式子表示这一规律：
1 3
5
7
9
2
1
________
n
+ + +
+
+¼+
-
=
；（n为正整数）
(3)请用上述规律计算：
①1 3
5
99
+ + +¼+
；
②21
23
25
97
99
+
+
+
+
+
K
．
【答案】(1)
2
1 3
5
7
4
+ +
+
=
(2)
2
n
(3)①2500；②2400
【分析】（1）根据已知等式填写即可；
（2）把已知等式发现规律即可；
（3）①根据99
2 50 1
=
´
- ，确定
50
n =
；
②转化成
1 3
5
99
1 3
5
19
+ + +¼+
-
+ + +¼+
的差，根据规律求解即可．
【详解】（1）解：由题知，第④个等式为：
2
1 3
5
7
4
+ +
+
=
；
（2）解：因为
2
1
1
=
；
2
1 3
2
+
=
；
2
1 3
5
3
+ +
=
；…，
所以
2
1 3
5
7
9
2
1
n
n
+ + +
+
+¼+
-
=
；
（3）解：①原式
2
50
2500
=
=
；
②原式
1 3
5
99
1 3
5
19
=
+ + +¼+
-
+ + +¼+
2
2
50
10
=
-
2500 100
=
-
2400
=
．
【变式5】（24-25 七年级上·福建泉州·期末）【观察思考】
如图，这是由正方形组成的一系列图案，其中第1 个图案有5 个正方形；第2 个图案有9 个正方形；第3 个
图案有13 个正方形；……按此规律排列下去．
【规律发现】
（1）第4 个图案有 个正方形；第n（n 是正整数）个图案有 （用含n 的式子表示）个正方形．
【规律应用】
（2）第100 个图案需要多少个正方形？
【答案】（1）
)
1
4
(
7
1
n +
，
；（2）401
【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现正方形的个数依次增加4 是解题的关键．
（1）根据所给图形，依次求出图形中正方形的个数，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
【详解】（1）由所给图形可知，
第1 个图案正方形的个数为：5
1 4 1
= ´
+ ；
第2 个图案正方形的个数为：9
2 4 1
=
´ + ；
第3 个图案正方形的个数为：13
3 4 1
= ´ + ；
所以第n 个图案正方形的个数为
4
1
n +
个．
当
4
n =
时，4
1
17
n + =
（个），
即第4 个图案正方形的个数为17 个．
故答案为：
)
1
4
(
7
1
n +
，
．
（2）当
100
n =
时，4
1
401
n + =
，
∴第100 个图案需要401 个正方形．
▌题型06 直接带入求值
求代数式的值的一般方法是“用数值代替代数式中的每个字母”，然后计算求得结果，
对于特殊的代数式，也可以采用如下方法来解:
1)给出代数式中所有字母的值，该类题一般是先化简代数式，再代入字母的值，然后进行计算.
2)给出代数式中所含几个字母之间的关系，不直接给出字母的值，该类题一般是把所要求的代数式通过恒等
变形，转化成为用已知关系表示的形式，再代入计算.
3)在给定条件中，字母之间的关系不明显，字母的值隐含在题设条件中，该类题应先由题设条件求出字母的
值，再求代数式的值.
【典例6】（25-26 七年级上·广东惠州·期中）当
1
a = ，
2
b = - ，则代数式2a
b 的值为（ ）．
A．1
-
B．1
C．2
D．
1
2
-
【答案】A
【详解】解：当
1
a = ，
2
b = - 时，2
2 1
1
2
a
b
´
=
= -
-
，故A 正确．
【变式1】（25-26 七年级上·广西贵港·期末）若有理数a，b 满足
3
4
a
b
=
=
，
，且a
b
>
，则a
b
+
的值为______．
【答案】1
-
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，代数求值，解题的关键是掌握求一个数的绝对值．
由绝对值的意义可得b 的取值，再根据a
b
>
的条件确定b 的值，代入计算a
b
+
．
【详解】解：∵
4
b =
，
∴
4
b =
或
4
b = - ，
∵
3
a =
，且a
b
>
，
当
4
b =
时，3
4
>
不成立；
当
4
b = - 时，3
4
> - 成立；
∴
4
b = - ，
则
3
4
1
a
b
+
=
+ -
= - ，
故答案为：1
- ．
【变式2】（25-26 七年级上·重庆巴南·期末）若a是最大的负整数，|
| 5
b = ，则a
b
-
的值为________．
【答案】6
- 或4
【分析】本题考查了有理数的加减，绝对值的化简，代数式求值．根据题意得
1
a = - ，
5
b = ± ，分别代入
a
b
-
，计算即可求解．
【详解】解：∵a是最大的负整数，
∴
1
a = - ，
∵|
| 5
b = ，
∴
5
b = ± ，
当
5
b =
时，
1 5
6
a
b
-
= - -
= - ，
当
5
b = - 时，
1
5
1 5
4
a
b
-
= - - -
= - +
=
，
故答案为：6
- 或4．
【变式3】（25-26 七年级上·江苏无锡·阶段检测）若含x 的代数式，满足当
4
x =
时，代数式的值为3
- ．请
写出一个符合条件的代数式：______．
【答案】
7
x -
（答案不唯一）
【分析】本题考查代数式代入求值，掌握相关知识是解决问题．根据当
4
x =
时，代数式的值为3
- ，可构造
代数式如
7
x -
即可．
【详解】解：∵当
4
x =
时，代数式的值为3
- ，
∴该代数式可以为
7
x -
（答案不唯一）．
故答案为：
7
x -
（答案不唯一）．
【变式4】（2025 七年级上·全国·专题练习）若a，b 互为倒数，则2025
3ab
-
+
的值为__________．
【答案】2022
-
【分析】本道题主要考查了倒数的定义及性质，解题的关键是熟记倒数的定义与性质；
根据倒数的定义，a 与b 互为倒数则
1
ab = ，代入计算即可．
【详解】因为a，b 互为倒数，
所以
1
ab = ．
所以2025
3
2025
3 1
2025
3
2022
ab
-
+
= -
+ ´ = -
+
= -
．
故答案为：2022
-
．
▌题型07 整体带入求值
【典例7】（25-26 七年级上·山西临汾·期末）代数式
2
2
x
x
-
+
的值为3，则代数式
2
2
2
5
x
x
-
- 的值为
____________．
【答案】3
-
【分析】本题考查整体代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．根据已知条件求出
2x
x
-
的值，再整
体代入所求代数式计算
【详解】解：由
2
2
3
x
x
-
+
=
得
2
1
x
x
-
= ，
代入
2
2
2
5
x
x
-
-
2
2
5
x
x
=
-
-
1
2
5
=
´ -
3
-
=
．
故答案为
3
- ．
【变式1】（25-26 七年级上·福建厦门·期末）若多项式a
b
+
的值为1，则多项式2026
2026
3
a
b
+
- 的值为_____
【答案】2023
【分析】本题考查了代数式求值．把多项式转化为
2026
3
a
b
+
- ，再把
1
a
b
+
= 代入计算即可求解．
【详解】解：由题意得
1
a
b
+
= ，
∴
2026
2026
3
2026
3
2026 1 3
2023
a
b
a
b
+
-
=
+
-
=
´ -
=
，
故答案为：2023．
【变式2】（25-26 七年级上·重庆合川·期末）若
2
4
5
x
x
-
+ 的值为7，则
2
1
2
3
2 x
x
-
+
+
的值为________．
【答案】2
【分析】本题考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整体代入的思想．
根据已知条件求出
2
4
x
x
-
的值，再整体代入代数式求值即可．
【详解】解：由
2
4
5
7
x
x
-
+
=
，得
2
x
4x
2
-
=
．
∴
2
2
1
1
1
2
3
4
3
2
3
1 3
2
2
2
2
x
x
x
x
-
+
+
= -
-
+
= -
´ +
= - +
=
．
故答案为：2．
【变式3】（24-25七年级上·全国·单元测试）若整式
3
2
2
xy
y
-
+
的值为5，则整式
3
3
6
8
xy
y
-
+
- 的值为________．
【答案】17
-
【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握求代数式值中的整体思想是解题的关键．
根据已知可得
3
2
5
2
3
xy
y
-
=
-
=
，然后把所求的式子变形为
3
3(
2
)
8
xy
y
-
-
- ，进行计算即可解答．
【详解】解：
3
2
2
5
-
+
=
Q xy
y
，
3
2
5
2
3
\
-
=
-
=
xy
y
，
3
3
6
8
\-
+
-
xy
y
3
3(
2
)
8
= -
-
-
xy
y
3 3
8
= - ´ -
9
8
= - -
17
= -
，
故答案为：17
-
．
【变式4】（25-26 七年级上·安徽六安·期末）我们知道：
4
2
4
2 1
5
x
x
x
x
x
+
-
=
+
-
=
，同理，若我们把
a
b
+
看成一个整体，则有
4
2
4
2 1
5
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
+
+
-
+
=
+
-
+
=
+
．这种解决问题的方法渗透了数
学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思
想”解答下面的问题：
(1)把
2
a
b
-
看成一个整体，合并
2
2
2
3
7
2
a
b
a
b
a
b
-
-
-
+
-
；
(2)已知：
2
2
5
x
y
+
=
，求代数式
2
3
6
21
x
y
-
-
+
的值；
(3)已知
2
3
a
b
-
=
，2
5
b
c
-
= - ，
10
c
d
-
=
，求
2
2
a
c
b
d
b
c
-
+
-
-
-
的值．
【答案】(1)
2
2 a
b
-
-
(2)6
(3)8
【分析】本题考查合并同类项，代数式的恒等变形，代数式的加减代换，掌握整体思想是解题关键．
（1）把
2
a
b
-
看作一个整体，直接合并同类项的系数，得到简化结果；
（2）将代数式
2
3
6
21
x
y
-
-
+
变形为
2
3
2
21
x
y
-
+
+
，再把
2
2
5
x
y
+
=
整体代入求值；
（3）把已知的
2
a
b
-
、2b
c
-
、c
d
-
看作整体，通过加减组合出a
c
- 和2b
d
-
，再代入目标式计算．
【详解】（1）解：
2
2
2
3
7
2
a
b
a
b
a
b
-
-
-
+
-
2
3
7
2
a
b
=
-
+
-
2
2 a
b
= -
-
．
（2）解：Q
2
2
5
x
y
+
=
，
\
2
3
6
21
x
y
-
-
+
2
3
2
21
x
y
= -
+
+
3 5
21
= - ´ +
6
=
．
（3）解：Q
2
3
a
b
-
=
，2
5
b
c
-
= - ，
10
c
d
-
=
，
\
2
2
3
5
2
a
b
b
c
a
c
-
+
-
=
-
=
+ -
= - ，
2
2
5 10
5
b
c
c
d
b
d
-
+
-
=
-
= - +
=
，
\
2
2
a
c
b
d
b
c
-
+
-
-
-
2
5
5
= - + - -
8
= ．
【变式5】（25-26 七年级上·广西梧州·期末）【阅读与思考】“整体思想”是数学中的重要思想，纵观全局，
通过整体观察、整体设元、整体代入、整体构造等方式使问题化繁为简，化难为易、这种方法也可以应用在
多项式的化简与求值中．例如：我们把
2
2
x
y
+
看作是一个整体，则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
+
-
+
=
-
´
+
= -
+
= -
-
．
请你尝试用整体思想解决一下问题：
(1)化简：
3
5
6
a
b
a
b
a
b
+
+
+
-
+
=___________；
(2)若
2
2
1
0
x
x
-
- =
，求代数式
2
6
3
2
11
x
x
x
+
-
+
+
的值；
(3)解方程：
1
1
3
2
3
2
2
3
7
9
5
5
x
x
x
-
+
-
+
=
．
【答案】(1)
2 a
b
+
(2)27
(3)
2
3
x =
【分析】本题考查了整体思想在多项式化简与求值中的应用，将式子中的某一部分看成一个整体进行运算是
解题的关键．
（1）把
a
b
+
看成一个整体，合并同类项即可求解；
（2）把
2
2
x
x
-
看成一个整体，利用分配律化简代数式为
2
2(
2 )
29
x
x
-
-
+
，然后代入化简即可求解；
（3）化简代数式，把3
2
x -
看成一个整体，即可求解．
【详解】（1）解：
3
5
6
a
b
a
b
a
b
+
+
+
-
+
(3
5
6)(
)
a
b
=
+
-
+
2 a
b
=
+
故答案为：
2 a
b
+
；
（2）解：已知
2
2
1
0
x
x
-
- =
，可得
2
2
1
x
x
-
= ．
把
2
2
x
x
-
作一个整体代入：
2
6
3
2
11
x
x
x
+
-
+
+
2
6
18
2
2
11
x
x
x
=
+
-
-
+
2
2
4
29
x
x
= -
+
+
2
2(
2 )
29
x
x
= -
-
+
2 1 29
= - ´ +
27
=
；
（3）
1
1
3
2
3
2
2
3
7
9
5
5
x
x
x
-
+
-
+
=
1
1
3
2
3
2
3
2
0
7
9
5
5
x
x
x
-
-
-
+
-
=
1
1
3
2
3
2
3
2
0
7
9
5
1
x
x
x
-
-
-
+
-
=
设3
2
x
a
-
=
1
1
0
1
7
9
5
a
a
a
-
+
=
解得：
0
a =
∴3
2
0
x -
=
解得：
2
3
x =
．
▌题型08 先计算再求值
【典例8】（24-25 七年级上·湖南娄底·期末）数学上把关于x 的代数式用记号
f x 来表示．当x
a
=
时，代
数式的值用
f a 表示．例如，代数式
2
3
1
f x
x
x
=
+
+ ，当
4
x =
时，代数式的值为
2
4
4
3 4 1
29
f
=
+ ´ + =
．已知代数式
3
1
f x
mx
nx
=
+
+ ，若
1
200
f
=
，则
1
f -
的值为_______．
【答案】198
-
【分析】本题主要考查了代数式的求值问题，解题的关键是化简代数式，整体代入．把
1
x= - 代入
3
1
f x
mx
nx
=
+
+ 计算，得
199
m
n
+
=
，即可确定出
1
f -
的值．
【详解】解：∵已知代数式
3
1
f x
mx
nx
=
+
+ ，且
1
200
f
=
，
∴
3
1
1
1 1
1
200
f
m
n
m
n
=
´
+ ´ + =
+
+ =
，
∴
199
m
n
+
=
，
∴
3
1
( 1)
1
1
1
199 1
198
f
m
n
m
n
-
=
´ -
+ ´ -
+ = -
+
+ = -
+ = -
，
故答案为：198
-
．
【变式1】（25-26 七年级上·安徽合肥·期末）当
1
x = 时，多项式
3
1
px
qx
+
+ 的值为2026，当
1
x = - 时，则多
项式
3
1
px
qx
+
- 的值为__________ ．
【答案】2026
-
【分析】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练运用有理数的运算．
由
1
x = 时多项式
3
1
px
qx
+
+ 的值为2026 ，可求出p
q
+
的值，再将
1
x = - 代入多项式
3
1
px
qx
+
- ，变形后代
入p
q
+
的值计算即可．
【详解】解：当
1
x = 时，
3
1
2026
px
qx
+
+ =
，即
31
1 1
2026
p
q
´
+
´ + =
，
∴
1
2026
p
q
+
+ =
，
∴
2025
p
q
+
=
，
∴当
1
x = - 时，
3
1
px
qx
+
-
3
1
1
1
p
q
=
´ -
+
´ -
-
1
p
q
= -
-
-
1
p
q
= -
+
-
2025 1
= -
-
2026
= -
．
故答案为：2026
-
．
【变式2】（25-26 七年级上·黑龙江牡丹江·期末）代数式
2
1
ax
bx
+
- ，当
1
x = 时的值为2025，则代数式
5
3
3
5
a
b
a
b
-
-
-
的值为________．
【答案】4052
【分析】本题考查了整体代入法求整式的值，由已知条件代入
1
x = 求得a
b
+
的值，再化简目标代数式并代
入计算即可．
【详解】解：当
1
x = 时，
1
2025
a
b
+
- =
，
所以
2026
a
b
+
=
．
原式
5
3
3
5
a
b
a
b
=
-
-
+
2
2
a
b
=
+
2 a
b
=
+
2 2026
=
´
4052
=
．
故答案为：4052 ．
【变式3】（25-26 七年级上·河南南阳·阶段检测）若
2
3
2
0
a
b
+
+
-
=
，则
2025
a
b
+
的值是________．
【答案】1
-
【分析】根据绝对值与有理数乘方的非负性，求出a和b 的值，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：
3
0
a +
³
Q
，
2
2
0
b -
³
，且
2
3
2
0
a
b
+
+
-
=
，
3
0
a
\
+
=
，
2
2
0
b -
=
，
可得：
3
0
a +
=
，
2
0
b -
=
，
解得：
3
a = - ，
2
b =
，
将
3
a = - ，
2
b =
代入
2025
a
b
+
，
可得：
2025
2025
3
2
1
1
- +
= -
= - ．
【变式4】（24-25 七年级上·四川自贡·开学考试）如果x 与y 互为倒数，且3
y
x
n
=
，那么24n =______．
【答案】8
【分析】根据倒数的定义得到
1
xy = ，再利用比例的基本性质将比例式转化为方程，求出n 的值后代入计算
24n 的结果．
【详解】解：∵x 与y 互为倒数，
∴
1
xy = ，
∵3
y
x
n
=
，
∴
3
xy
n
=
，即3
1
n = ，解得：
1
3
n =
．
∴
1
24
24
8
3
n =
´
=
．
▌题型09 求与相反数、倒数及绝对值有关的代数式
【典例9】（25-26 七年级上·贵州遵义·期末）已知a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，则
3
a
cd
b
+
-
-
的
值为_____．
【答案】2
-
【分析】本题考查了相反数和倒数的定义、代数式求值，熟练掌握相反数和倒数的定义是解题关键．根据相
反数和倒数的定义可得
0,
1
a
b
cd
+
=
= ，再代入计算即可得．
【详解】解：∵a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，
∴
0,
1
a
b
cd
+
=
= ，
∴
3
1
3
a
cd
b
a
b
+
-
-
=
+
-
-
1 3
a
b
=
+ - +
2
a
b
=
+
-
0
2
=
-
2
= - ，
故答案为：2
- ．
【变式1】（25-26 七年级上·陕西汉中·期中）已知a 与3
- 互为相反数，b 与
1
4
-
互为倒数，c 是最大的负整
数，则a
b
c
-
的值为_________．
【答案】7
-
【分析】本题考查了代数式求值，倒数、相反数，最大的负整数．
根据相反数、倒数、最大负整数的定义求出a、b、c 的值，再代入代数式进行有理数的混合运算求解．
【详解】解：由题意得
1
3
0,
1,
1
4
a
b
c
æ
ö
+ -
=
´ -
=
= -
ç
÷
è
ø
，
则
3,
4,
1
a
b
c
=
= -
= - ，
∴
3
4
7
1
a
b
c
- -
-
=
= -
-
．
【变式2】（25-26 七年级上·四川成都·期末）已知a
b
、互为相反数，x
y
、互为倒数，m到原点的距离为2
n
，
是最大的负整数，则2
2
+
-
+
+
=
a
b
xy
m
n
___________
【答案】
0或4
-
【分析】此题主要考查了有理数的四则混合运算、代数式求值，理解相反数、绝对值的意义和倒数的概念是
解题关键．根据相反数的概念，绝对值的意义，倒数的概念及负整数的定义分别求得
0,
1,
2,
1
a
b
xy
m
n
+
=
=
= ±
= - ，然后代入求值．
【详解】解：根据题意，得
0,
1,
2,
1
a
b
xy
m
n
+
=
=
= ±
= - ，
当
2
m =
时，则
2
2
2
2 0 1
2
1
0
a
b
xy
m
n
a
b
xy
m
n
+
-
+
+
=
+
-
+
+
=
´ - +
+ -
=
；
当
2
m = - 时，则
2
2
2
2 0 1
2
1
4
a
b
xy
m
n
a
b
xy
m
n
+
-
+
+
=
+
-
+
+
=
´ - + -
+ -
= - ；
综上，2
2
a
b
xy
m
n
+
-
+
+
的值为0或4
- ．
故答案为：0或4
- ．
【变式3】（25-26 七年级上·河南南阳·期末）已知a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，m的绝对值是5，且
0
m <
，则代数式
2026
3
2
a
b
cd
m
+
-
+
=______．
【答案】13
-
【分析】本题考查了代数式求值，相反数、倒数和绝对值的定义．根据相反数、倒数和绝对值的定义，得到
0
a
b
+
=
，
1
cd = ，
5
m = - ，代入代数式计算．
【详解】解：
a
Q
，b 互为相反数，
0
a
b
\ +
=
；
c
Q ，d 互为倒数，
1
cd
\
= ；
5
m =
Q
且
0
m <
，
5
m
\
= - ．
2026
3
2
2026 0
3 1
2
5
0
3 10
13
a
b
cd
m
\
+
-
+
=
´ - ´ + ´ -
=
- -
= -
．
故答案为：13
-
．
【变式4】（25-26 七年级上·安徽亳州·期末）设a为最小的正整数，b 是最大的负整数，c是绝对值最小的
数，则a
b
c
+
+
= __________
【答案】0
【分析】本题考查正整数、负整数、绝对值的定义以及有理数的加法运算．根据定义确定 a、b 、c 的值，
再代入计算．
【详解】解：依题意得：最小的正整数是1，所以
1
a = ；
最大的负整数是1
- ，所以
1
b = - ；
绝对值最小的数是0，所以
0
c =
．
因此
1
1
0
0
a
b
c
+
+
= + -
+
=
．
故答案为：0．
【变式5】（25-26 七年级上·河北邯郸·期末）已知a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，x 的绝对值是3，y 是
最大的负整数，则
2
2
6
x
cd
a
b
y
-
+
+
-
的值是___________．
【答案】4 或8
-
【分析】本题考查了相反数的定义、倒数的定义、绝对值的定义、有理数的混合运算．
先根据题意得出
0,
1,
3,
1
a
b
cd
x
y
+
=
=
= ±
= - ，再代入
2
2
6
x
cd
a
b
y
-
+
+
-
进行计算即可．
【详解】解：∵a
b
、互为相反数，、
c
d 互为倒数，x 的绝对值是3，y 是最大的负整数，
∴
0,
1,
3,
1
a
b
cd
x
y
+
=
=
= ±
= - ，
∴当
3
x =
时，
2
2
6
x
cd
a
b
y
-
+
+
-
2
2 3 1
6 0
1
=
´ - + ´ - -
4
=
，
当
3
x
-
=
时，
2
2
6
x
cd
a
b
y
-
+
+
-
2
2
3
1
6 0
1
=
´ -
- + ´ - -
6 1 1
= - - -
8
= - ．
故答案为：4 或8
- ．
▌题型10 利用程序框图求值
【典例10】（25-26 七年级上·福建漳州·期中）在计算机上设置运算程序，输入数据，计算机就会呈现运算
结果，就好像一个“数值转换机”，下面是一个“数值转换机”，下列输入的数据中，输出的结果为33 的是
（ ）
A．
3
a =
，
8
b =
B．
3
a = - ，
4
b = -
C．
3
a =
，
4
b =
D．
3
a = - ，
8
b =
【答案】C
【分析】根据程序求解即可．
【详解】解：当输入
3
a =
，
8
b =
，<
a b ，此时
2
2
2
1
2 8
1
2 64 1
128 1
129
b + =
´
+ =
´
+ =
+ =
，
10
3
10 3
3
33
a +
=
´ +
=
，两个结果不相等，无法输出，不符合要求；
当输入
3
a = - ，
4
b = - ，不满足<
a b ，此时无法计算，无法输出，不符合要求；
当输入
3
a =
，
4
b =
，<
a b ，此时
2
2
2
1
2 4
1
2 16 1
33
b + =
´
+ =
´
+ =
，
10
3
10 3
3
33
a +
=
´ +
=
，两个结果相等，可以输出，符合要求；
当输入
3
a = - ，
8
b =
，<
a b ，此时
2
2
2
1
2 8
1
2 64 1
128 1
129
b + =
´
+ =
´
+ =
+ =
，
10
3
10
3
3
30
3
27
a +
=
´ -
+
= -
+
= -
，两个结果不相等，无法输出，不符合要求．
【变式1】（25-26 七年级上·山东威海·期末）按如图所示的程序进行计算，如果第一次输入x 的值是3
- ，则
第2026 次计算后输出结果为（ ）
A．8
-
B．5
-
C．3
-
D．8
【答案】B
【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，代数式求值，仔细计算，观察出从第1 次输出开始，结果以
5
- 、8
- 、3
- 为一个循环组循环出现，总结规律后结合2026
3
675
1
¸ =
¼¼ ，即可得到答案．
【详解】解：第1 次输出的结果为：
3
3
1
5
2
´ -
- = - ，
第2 次输出的结果为：
3
5
1
8
2
´ -
- = - ，
第3 次输出的结果为：8
2
3
2
- +
= - ，
第4 次输出的结果为：
3
3
1
5
2
´ -
- = - ，
第5 次输出的结果为：
3
5
1
8
2
´ -
- = - ，
第6 次输出的结果为：8
2
3
2
- +
= - ，
……
归纳可知，从第1 次输出开始，结果以5
- 、8
- 、3
- 为一个循环组循环出现，
2026
3
675
1
¸ =
¼¼ ，
所以第2026 次计算后输出结果为5
- ，
故选：B．
【变式2】（25-26 七年级上·江苏镇江·期末）按下面的运算程序计算：
当输出的值是121 时，满足条件的正整数x 的值最多有（ ）个．
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
根据题中的程序图可直接进行求解．
【详解】解：由题意知2
7
121
x +
=
，
解得
57
x =
，
若2
7
57
x +
=
，
解得
25
x =
，
若2
7
25
x +
=
，
解得
9
x =
，
若2
7
9
x +
=
，
解得
1
x = ，
若2
7
1
x +
= ，解得
3
x
-
=
（舍去），
\满足条件的x 的值最多有4 个．
故选：C．
【变式3】（25-26 七年级上·山东滨州·期末）按如图所示的程序计算：若开始输入的x 值为2
- ，则最后输出
的结果是______．
【答案】80
【分析】根据运算步骤输入x ，按照逻辑图逐步计算至输出结果，得到答案．
【详解】解：当
2
x = - 时，
∵2
0
- <
，
∴计算
2
2
6
2
6
2
4 12
8
x
x
+
= -
+ ´ -
=
-
= - ，
∵8
50
- <
，
∴当
8
x = - 时，
∵8
0
- <
，
∴计算
2
2
6
8
6
8
64
48
16
x
x
+
= -
+ ´ -
=
-
=
，
∵16
50
<
，
∴当
16
x =
时，
∵16
0
>
，
∴计算
6
16
16
6
16 10
80
2
2
2
x x -
´
-
´
=
=
=
，
∵80
50
>
，
∴结果为80．
【变式4】（25-26 七年级上·浙江绍兴·期末）数学兴趣小组设计了一台“智能运算器”，输入一对数
,x y ，
它会按照以下程序操作：
若输入一对数
,x y ，且
4
x <
，输出结果为5，则满足条件的正整数对
,x y 为__________．
【答案】
3,2
【分析】本题考查了一元一次方程与实际问题；关键是根据x 的取值进行分类讨论；根据
4
x <
且x 为正整数，
分别求出y 的值，再根据y 是正整数和,x y 的大小逐一判断即可．
【详解】解：∵
4
x <
且x 为正整数，
∴当
3
x =
时，
若x
y
>
，则
2
2
5
x
y
-
=
，即：9
2
5
y
-
=
，
2
y =
，符合题意；
若x
y
<
，则
2
2
1
5
x
y
-
- =
，即：9
2
1
5
y
-
- =
，解得：
3
2
y =
（舍）；
当
2
x =
时，
若x
y
>
，则
2
2
5
x
y
-
=
，即：4
2
5
y
-
=
，解得：
1
2
y = -
（舍）；
若x
y
<
，则
2
2
1
5
x
y
-
- =
，即：4
2
1
5
y
-
- =
，解得
1
y = - （舍）；
当
1
x = 时，
若x
y
>
，则
2
2
5
x
y
-
=
，即：1
2
5
y
-
=
，解得：
2
y = - （舍）；
若x
y
<
，则
2
2
1
5
x
y
-
- =
，即：1
2
1
5
y
-
- =
，解得：
5
2
y = -
（舍）；
综上：满足条件的为：
3,2 ，
故答案为：
3,2 ．
【变式5】．（25-26 七年级上·河北唐山·期末）如图，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输
入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“★”代表一个有理数．
根据该程序，解答下列问题：
(1)若输入的数是2 ，★表示的数为1，求输出的结果；
(2)若输入的数是6
- ，且输出结果为5，求★表示的数；
(3)若输入的数是m，★表示的数为n，当输出结果为0时，直接写出m与n之间的数量关系．
【答案】(1)0
(2) 10
-
(3)
2
3
n
m
=
-
【分析】本题考查流程图与有理数的混合运算，一元一次方程的应用，正确理解题意是关键．
（1）按照流程图进行计算即可；
（2）设★表示的数为x ，根据题意列出方程并求解即可；
（3）根据流程图写出等式并化简即可．
【详解】（1）解：根据流程图可得，计算过程为
2
4
2 1 3
8
2 1
3
4 1 3
0
´ -
¸
+ -
= -
¸
+ - -
= - + +
=
，
∴输出的结果为0；
（2）解：设★表示的数为x ，
根据题意，可列方程：
6
4
2
3
5
- ´ -
¸
+
- -
=
x
，
化简，得12
3
5
x
+
+
=
，
解得
10
x
-
=
，
∴★表示的数为10
-
；
（3）解：根据流程图可得
4
2
3
0
´ -
¸
+
- -
=
m
n
，
化简，得2
3
0
m
n
-
+
+
=
，
∴
2
3
n
m
=
- ．
