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培优专题04 有理数14 种章节易错题专项巩固训练
（题型突破·举一反三）
题型01 反向表述的相反意义的量
题型02 理解0 的意义
题型03 有理数的分类
题型04 数轴的三要素及画法
题型05 数轴上两点之间的距离
题型06 利用数轴上的点表示有理数
题型07 根据点在数轴的位置判断式子正负
题型08 化简多重符号
题型09 由绝对值等式判断字母取值范围
题型10 利用数轴化简绝对值
题型11 含绝对值的化简问题
题型12 绝对值的几何意义
题型13 利用分类讨论解决绝对值方程
题型14 绝对值与代数式综合
▌题型01 反向表述的相反意义的量
用正、负数表示具有相反意义的量，在描述指定方向变化的情况时，一般地，用正数表
示，也可以用指定方向的相反方向的负数表示.
【典例1】（22-23 七年级上·全国·课后作业）入秋以后，某地菠菜喜获丰收，价格增长
1
- 元/千克，意思
就是（ ）
A．菠菜的价格降低1
- 元/千克
B．菠菜的价格增长1元/千克
C．菠菜的价格降低1元/千克
D．以上说法都正确
【答案】C
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，据此可以得到正确答案．
【详解】解：若价格增长为正，则价格下降为负，
故菠菜的价格增长
1
- 元/千克，意思就是菠菜的价格降低 1 元/千克，
故选：C．
【点睛】此题考查了正数和负数的知识点，解题关键是理解“正”和“负”的相对性．
【变式1】（25-26 七年级上·山东德州·期中）湖水涨了2m
-
的意义是（ ）
A．湖水涨了2m
B．湖水水位无变化
C．湖水下降了2m
D．湖水涨了4m
【答案】C
【分析】本题考查正负数的实际应用，“涨了”表示水位上升，但负数表示相反方向，即下降．
【详解】解：∵“涨了”表示水位上升，而涨了“ 2m
-
”表示下降2m，
∴“涨了2m
-
”实际表示湖水下降了2m，
故选：C．
【变式2】（第01 讲有理数-华东师大版七年级上册课中及课后分层同步练）如果规定前进、收入、盈利、
公元后为正，那么下列各语句中错误的是（ ）
A．前进-18 米的意义是后退18 米
B．收入-4 万元的意义是支出4 万元
C．盈利的相反意义是亏损
D．公元-300 年的意义是公元后300 年
【答案】D
【详解】解：A、前进的相反意义是后退，则本语句正确；
B、收入-4 万元的意义是支出4 万元，则本语句正确；
C、盈利的相反意义是亏损，则本语句正确；
D、公元前-300 年的意义是公元前300 年，此句错误．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正负数的意义，掌握正数与负数表示意义相反的两种量是解答本题的关键．
【变式3】（24-25 七年级上·山东聊城·阶段检测）吐鲁番盆地的海拔高度为155m
-
的意义是__________．
【答案】吐鲁番盆地低于海平面155m
【分析】此题主要考查了相反意义的量，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意
义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据海平面以上记为正，
海平面以下记为负解答即可．
【详解】解：吐鲁番盆地的海拔高度为155m
-
的意义是吐鲁番盆地低于海平面155m ．
故答案为：吐鲁番盆地低于海平面155m ．
【变式4】（24-25 七年级上·广东江门·阶段检测）产值增加10
-
万元的意义是__________．
【答案】产值减少10 万元
【分析】本题主要考查了正负数的意义，正负数表示相反意义的两个量，根据增加10
-
万元即表示与增加相
反的意义的意思回答即可．
【详解】解：产值增加10
-
万元的意义是产值减少10 万元，
故答案为：产值减少10 万元．
▌题型02 理解0 的意义
0 既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点，0 是自然数，是有理数
【典例2】（25-26 七年级上·浙江金华·期末）下列关于0 的说法正确的是（ ）
A．0 是最小的正整数
B．0 没有相反数
C．0 既不是正数，也不是负数
D．0
a
> -
【答案】C
【分析】本题主要考查有理数的分类，相反数的定义．根据有理数的分类，相反数的定义对各选项依次判断
即可解答．
【详解】解：A、最小的正整数是1，原说法错误，该选项不符合题意；
B、0 的相反数是0，原说法错误，该选项不符合题意；
C、0 既不是正数，也不是负数，原说法正确，该选项符合题意；
D、当
0
a =
时，
0
a
- =
，原说法错误，该选项不符合题意；
故选：C．
【变式1】（2025 七年级上·全国·专题练习）下列对“0”的说法正确的个数是________
①0 是正数与负数的分界；②0 只表示“什么也没有”；③0 可以表示特定的意义，如0℃；④0 是正数．
【答案】2
【分析】本题考查了正数和负数、0 的意义等知识点，掌握零的意义是解题的关键．
根据0 的意义逐项判断即可解答．
【详解】解：①因为正数大于0，负数小于0，所以0 是正数与负数的分界，故①正确；
②0 除了表示 “什么也没有”，还可以表示其他意义，如0℃等，故②错误；
③0 可以表示特定的意义，如0℃，故③正确；
④0 既不是正数，也不是负数，故④错误，
综上所述：正确的有①③，共2 个．
故答案为：2．
【变式2】（25-26 七年级上·全国·单元测试）下列关于“0”的说法正确的有________个．
①0 是正数和负数的分界点；②0 是正数；③0 是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0 既
是整数也是偶数；⑥0 不是负数．
【答案】4
【分析】本题考查了对数字0 的认识，注意：负数都小于零，正数都大于零，零既不是正数也不是负数，整
数包括正整数、零、负整数；零不仅表示没有，还表示一个介于负数与正数之间的一个数．
依据题意，零大于负数，小于正数，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数，零是自然数，
零是偶数，从而即可根据以上内容判断求解．
【详解】0 是正数和负数的分界点，故①正确；
0 既不是正数，也不是负数，故②错误，⑥正确；
0 是自然数，故③正确；
存在既不是正数也不是负数的数，即0，故④错误；
0 既是整数也是偶数，故⑤正确；
故答案为：4．
【变式3】（25-26 七年级上·河北沧州·阶段检测）下列关于“0”的说法：①是正数，是整数；②不是正数，
不是负数；③是自然数，是整数；④不是负数，是有理数．正确的个数是（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】B
【分析】本题考查了关于“0”的认识，涉及到有理数的分类等知识，根据有理数的分类逐项判断即可求解﹒
【详解】解：0 不是正数，是整数，故①错误；
0 既不是正数，也不是负数，故②正确；
0 是自然数，是整数，故③正确；
0 不是负数，是有理数，故④正确﹒
故选：B
▌题型03 有理数的分类
类似2
π的含π式子不是有理数.
【典例3】（25-26 六年级下·黑龙江绥化·期中）在
2
2
- -
，
7
- -
，
1
- + ，
2
3
-
，
11
5
æ
ö
- +
ç
÷
è
ø 中，负数的个数
是（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】A
【分析】先根据乘方，绝对值，相反数的定义化简每个数，再根据负数的定义统计个数即可．
【详解】解：∵
2
2
4
- -
= - ，
7
7
- -
= - ，
1
1
- + = - ，
2
2
3
3
-
=
，
11
11
5
5
æ
ö
- +
= -
ç
÷
è
ø
，
∴负数为
2
2
- -
，
7
- -
，
1
- + ，
11
5
æ
ö
- +
ç
÷
è
ø ，共4 个．
【变式1】（25-26 七年级上·云南昭通·阶段检测）在34
-
，0，1
4 ，
1
2
-
，
7
10
+
，2
- ，1，0.833，
3
4 4
+
，10.5
-
中，正数有（ ）个．
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】本题考查了正数：大于0 的数为正数，熟练掌握正数的定义是解题关键．根据正数的定义解答即可
得．
【详解】解：34
-
，
1
2
-
，2
- ，10.5
-
都小于0，都是负数，
0 既不是正数，也不是负数，
1
4 ，
7
10
+
，1，0.833，
3
4 4
+
都大于0，都是正数，共有5 个，
故选：C．
【变式2】（25-26 七年级上·甘肃酒泉·阶段检测）下列6 个数：7
4 、1.010010001、
4
3
-
，0、2p
-
、3.3& ，其
中有理数有（ ）个．
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的分类等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
根据有理数的意义，将所给的数一一分析，再作出判断．
【详解】解：7
4 是分数，属于有理数；
1.010010001是有限小数，属于有理数；
4
3
-
是分数，属于有理数；
0 是整数，属于有理数；
2p
-
中p 是无限不循环小数，
故2p
-
不属于有理数；
3.3& 是无限循环小数，属于有理数；
综上所述，共有5 个有理数，
故选：C．
【变式3】（25-26 七年级上·广东揭阳·期末）设a是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，c是最小的
正整数，则a
c
b
+ -
= ______．
【答案】0
【分析】本题考查有理数的基本概念，包括最大的负整数、绝对值最小的有理数、最小的正整数，先确定, ,
a b c
的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵a是最大的负整数，∴
1
a
-
=
；
∵b 是绝对值最小的有理数，∴
0
b =
；
∵c是最小的正整数，∴
1
c = ；
将其代入a
c
b
+ -
，得1 1 0
0
- + -
=
；
故答案为：0．
【变式4】（25-26 七年级上·四川达州·期中）在
3
1
π
3
, 8,2025,0,
2 , 13,
, 6.9,
7
4
5
-
- - -
+
-
中，非负整数有a个，
分数有b 个，则a
b
-
值为_____．
【答案】1
【分析】本题主要考查了有理数分类、相反数、绝对值、代数式求值等知识点，掌握有理数的分类是解题的
关键．先化简数字并分类，找出非负整数和分数的个数，从而确定a、b 的值，再代入求值即可．
【详解】解：3
3 7 （分数）、8
- （负整数）、2025 （非负整数）、0（非负整数）、
2
2
- - -
=
（非负整
数）、13
+
（非负整数）、1
4 （分数）、6.9
-
（分数）、5
p （无理数，不是分数，也不是整数），
综上，非负整数有
2025,0,
2 , 13
- - -
+
，共 4 个，
分数有
3 1
3
,
, 6.9
7 4 -
，共 3 个，
即
4,
3
a
b
=
=
，
则
4
3
1
a
b
-
=
-
= ．
故答案为：1．
【变式5】（25-26 七年级上·河南南阳·阶段检测）把下面各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）：
18
-
，3.14，0，2024 ，
3
5
-
，80%，2
p ，
5
-
，
7
- -
．
负整数集合{______________…}
整数集合{______________…}
正分数集合{______________…}
非负整数集合{______________…}
有理数集合{______________…}
【答案】
见解析
【分析】根据整数，正分数，非负整数，有理数的定义进行分类，需注意2
p 是无限不循环小数，不属于有理
数，解题时先化简各待分类的数，再根据定义分类．
【详解】解：先化简各数，可得
5
5
-
= - ，
7
7
- -
=
，
4
80%
5
=
，
因此按定义分类如下：
负整数集合{ 18
-
，
5
-
……}，
整数集合{ 18
-
，0，2024 ，
5
-
，
7
- -
……}，
正分数集合{3.14，80%……}，
非负整数集合{0，2024 ，
7
- -
……}，
有理数集合{ 18
-
，3.14，0，2024 ，
3
5
-
，80%，
5
-
，
7
- -
……}．
▌题型04 数轴的三要素及画法
画数轴时，关键是要体现出数轴的三要素:原点、正方向和单位长度.如果用数轴表示数，
那么步骤可归纳为:一画、二定、三选、四统一、五标数.
【典例4】（26-27 七年级·全国·暑假作业）下列图形中是数轴的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：数轴的三要素是：原点、单位长度和正方向．A 选项的图中符合所有条件，是数轴；
B 选项图中没有原点，
C 选项图中单位长度不一样长，
D 选项图中原点左边数据标错，则B、C、D 三个选项图中均不是数轴．
【变式1】（25-26 六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）悦悦在直线上分别标出了几组正、负数，标注的位置正确
且合理的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：根据数轴定义，负数位于原点的左侧，正数位于原点的右侧，
∴选项A 和选项C 错误；
选项B 单位长度错误，间隔不相等；
选项D 正确．
【变式2】（23-24 七年级上·四川眉山·阶段检测）如图所示，所画数轴完全正确的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】本题主要考查了数轴的三要素和画法．根据数轴的特点“规定了原点、正方向、单位长度的直线叫
做数轴”进行解答即可．
【详解】解：（1）（3）单位长度不统一，错误；
（2）不符合数轴上右边的数总比左边的数大的特点，错误；
（4）符合数轴的特点，正确．
综上，只有一个是正确的．
故选：A．
【变式3】（25-26 七年级上·山东济宁·阶段检测）画数轴，在数轴上表示出下列有理数：2
- ，
1
3 2
-
，0，
1
4 3
-
，
1
2
【答案】见解析
【分析】本题考查了数轴的有关知识，熟练掌握数轴上的数的分布特点是解题的关键．根据数轴与有理数的
关系进行画图即可．
【详解】解：如图所示，
▌题型05 数轴上两点之间的距离
由于距离没有方向性，所以数轴上到已知点距离相等的点一般有两个，因此要注意考虑
所有可能出现的结果．
【典例5】（2026·陕西咸阳·模拟预测）数轴上到原点距离为3 个单位长度的点表示的数是_____.
【答案】3
±
【分析】根据数轴上点到原点距离的定义，结合绝对值的性质求解，所求数的绝对值等于3，即可得到对应
的数．
【详解】设该点表示的数为x ，由题意得
3
x =
，
解得
3
x =
或
3
x = - ，
∴数轴上到原点距离为3 个单位长度的点表示的数是3
± ．
【变式1】（25-26 六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在直线上A、B 两点分别表示的数是7 和9，在直线上有
另外一点C 到A、B 的距离和是4，则点C 表示的数是________
【答案】6 或10
【分析】先计算A ，B 两点间的距离，可知点C 不在线段AB 上，分点C 在点A 左侧，点C 在点B 右侧两种
情况列方程求解即可．
【详解】解：设点C 表示的数为x ．
由题意得，点A 表示7 ，点B 表示9，
则A ，B 两点间的距离
9
7
2
AB =
-
=
．
∵
4
2
AC
BC
+
=
>
，
∴点C 不在线段AB 之间，
分两种情况讨论：
①当点C 在点A 左侧，即
7
x <
时，
7
AC
x
=
-
，
9
BC
x
=
-
，
可得方程
7
9
4
x
x
-
+
-
=
，
解得
6
x =
．
②当点C 在点B 右侧，即
9
x >
时，
7
AC
x
=
- ，
9
BC
x
=
-
，
可得方程
7
9
4
x
x
-
+
-
=
，
解得
10
x =
．
综上，点C 表示的数是6或10．
【变式2】（2026·广东·一模）如图，在数轴上，点A、B 分别表示a、b，且
0
a
b
+
=
，若
4
AB =
，则点A
表示的数为________．
【答案】2
-
【分析】根据数轴上两点的距离可知
4
b
a
-
= ，再结合
0
a
b
+
=
，求出a的值即可得出答案．
【详解】解：∵
0
a
b
+
=
，
∴b
a
-
=
，
∵
4
AB =
，
∴
4
b
a
-
= ，
∴
4
a
a
- -
=
，
解得
2
a = - ，
∴点A 表示的数为2
- ．
【变式3】（25-26 七年级上·四川眉山·期中）在数轴上点A 表示2
- ，点B，C 表示的数互为相反数，且C
与A 之间的距离为2，则点B 表示的数为____________．
【答案】4 或0
【分析】先根据点A 表示的数与点C 和点A 的距离求出点C 表示的数，再根据相反数的定义求出点B 表示的
数．
【详解】解：设点C 表示的数是c，点B 表示的数是b ，
Q 点A 表示的数是2
- ，点C 与点A 之间的距离为2 ，
2
2
c
\ - -
=
，
解得
0
c =
或
4
c = - ，
Q 点B 和点C 表示的数互为相反数，
\当
0
c =
时，
0
b =
．当
4
c = - 时，
4
b =
．
\点B 表示的数是4 或0．
▌题型06 利用数轴上的点表示有理数
【典例6】（26-27 六年级上·上海青浦·开学考试）下面直线上点A 表示的数是 ______，若C 点在线段AB 的
中点，则C 点表示的数是 ______．
【答案】
2
-
0.5/ 1
2
【分析】利用数轴上的点表示数和线段中点的计算可得答案．
【详解】解：由图可知，点A 表示的数是2
- ，点B 表示的数为3，
∵C 点在线段AB 的中点，
∴C 点表示的数是
2
3
2
0.5
- +
¸
=
．
【变式1】（2026·青海西宁·二模）在数轴上，点A 与点B 位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点A
表示的数是6，则点B 表示的数是________．
【答案】6
-
【分析】根据题意得到点A 与点B 表示的数互为相反数是解题的关键.
【详解】解：∵点A 与点B 位于原点的两侧，且到原点的距离相等，
∴点A 与点B 表示的数互为相反数，
又∵点A 表示的数为6，
∴点B 表示的数是6
- ．
【变式2】（25-26 七年级下·河北石家庄·开学考试）点A
B
、分别是数3
12
-
-
，
在数轴上对应的点，使线段AB
沿数轴向右移动到A B
¢ ¢ ，且线段A B
¢ ¢ 的中点对应的数是3，则点A¢对应的数是___________，点A 移动的距
离是___________．
【答案】
15
2
21
2
【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段AB 的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据
线段平移的性质得到点A 移动的距离，最后计算得到点A¢对应的数．
【详解】解：根据题意，点A 对应数为3
- ，点B 对应数为12
-
，
由数轴上两点中点的计算公式，可得线段AB 的中点对应的数为：
1
15
3
12
.
2
2
é
ù
´
-
+ -
= -
ë
û
已知平移后线段A B
¢ ¢ 的中点对应的数是3，因此中点移动的距离为：
15
21
3
.
2
2
æ
ö
- -
=
ç
÷
è
ø
线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A 移动的距离为21.
2
点A¢对应的数为点A 对应的数加上移动距离，即：
21
15
3
.
2
2
- +
=
【变式3】（25-26 七年级上·江苏无锡·期末）小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
如图，在数轴上，两个有理数从左到右依次是1
- ，b ，折叠这条数轴所在纸面，若使1
- 表示的点与7 表示
的点重合，折痕与数轴的交点表示的数为n，则n =________；此时，数b 表示的点与数2026
-
表示的点重合，
则b = ________．
【答案】
3
2032
【分析】折叠后重合的两点关于折痕与数轴的交点对称，即该交点是这两个点的中点，可通过两点的算术平
均数计算对称中心或未知对称点．
【详解】解：∵折叠后1
- 表示的点与7 表示的点重合，
∴折痕与数轴的交点n是这两个点的中点，
∴
1
7
6
3
2
2
n
- +
=
=
= ；
∵数b 表示的点与数2026
-
表示的点关于
3
n =
对称，
∴
2026
3
2
b + -
=
，解得：
2032
b =
．
▌题型07 根据点在数轴的位置判断式子正负
给数轴上字母赋予符合位置的具体数字，代入直接判断正负。
【典例7】（2026·福建·中考真题）实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
0
a
b
+
>
B．
0
a
b
-
<
C．
0
ab >
D．
0
a
b <
【答案】D
【分析】先利用数轴确定a、b 的取值范围，然后逐项判断即可．
【详解】解：由数轴可得：
1
0
1
b
a
< - <
<
< ，
∴
0
a
b
+
<
，
0
a
b
-
>
，
0
ab <
，
0
a
b <
，
∴选项A、B、C 说法错误；选项D 说法正确．
【变式1】（25-26 七年级上·四川宜宾·期中）点A，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a
和b．对于下列四个结论：①
0
b
a
-
>
；②a
b
<
；③
0
a
b
+
>
；④
1
b
a > - ．其中正确的是（ ）
A．①②③④
B．①②③
C．①③④
D．②③④
【答案】B
【分析】根据数轴上有理数的位置，
0
3
a
b
- 3＜＜＜＜，计算判断即可．
【详解】解：根据图示，可得
0
3
a
b
- 3＜＜＜＜，
∴
0
b
a
-
>
；a
b
<
，
0
a
b
+
>
，
故
1
b
a > ，
1
1
- = ，
由b
a 是一个负数，根据两个负数比较，绝对值大的反而小，
得
1
b
a < - ；
【变式2】（25-26 七年级上·山东德州·期末）如图，数轴上点A，B 表示的数分别为a，b，且OA
OB
>
，则
下列结论正确的是（ ）
A．a
b
<
B．
0
a
b
+
<
C．
0
b
a
-
<
D．
2
0
a b <
【答案】B
【分析】本题考查了数轴、绝对值、有理数的运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据数轴可得，
0
0
a
b
a
b
<
>
>
，
，
，再根据绝对值和有理数的运算，对选项逐个分析判断即可．
【详解】解：由数轴可知，
0
0
a
b
a
b
<
>
>
，
，
A、a
b
>
，故此选项结论不正确，不符合题意；
B、
0
a
b
+
<
，故此选项结论正确，符合题意；
C、
0
b
a
-
>
，故此选项结论不正确，不符合题意；
D、
2
0
a b >
，故此选项结论不正确，不符合题意；
故选：B．
【变式3】（25-26 七年级上·河南南阳·期末）已知a，b 在数轴上表示的点的大致位置如图所示，则下列等
式成立的是（ ）
A．
a
b
a
b
+
= -
-
B．a
b
a
b
+
=
+
C．
a
b
b
a
+
= -
-
D．a
b
a
b
-
=
-
【答案】A
【分析】本题考查数轴上表示的数，有理数的加减法则的应用，根据数轴可得
0
a
b
<
<
，a
b
>
，进而根据
有理数的加减法则进行计算即可求解．
【详解】解：由数轴可得
0
a
b
<
<
，a
b
>
因为a是负数，b 是正数，且a
b
>
，所以
(
)
a
b
a
b
+
= -
-
，故A 正确，B，C 错误；
因为
0
a
b
<
<
，a
b
>
，所以
|
|
|
|
a
b
a
b
b
a
-
=
+ -
= -
+
，故D 错误；
故选：A．
【变式4】（25-26 七年级上·湖北荆门·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难
入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b 的点如图所示，把a，a
- ，b，b
- 按
照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A．b
a
a
b
- < - <
<
B．a
b
a
b
- < - <
<
C．b
a
a
b
- <
< - <
D．b
b
a
a
- <
< - <
【答案】C
【分析】本题主要考查了数轴和相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想．
在数轴上表示出相反数，然后利用数轴表示出各数的大小即可．
【详解】解：根据数轴可得，
0
b
a
a
b
- <
<
< - <
，
对应的是选项C，
故选：C．
▌题型08 化简多重符号
在进行多重符号化简时，首先要注意，一个数前面不管有多少个“+”，都可以把“+”去掉，
其次要看“-”的个数，当“-”的个数为偶数时，结果取“+”，当“-”的个数为奇数时，结果取“-”，简称“奇负偶正”.
【典例8】（25-26 七年级上·贵州遵义·期末）下列化简结果错误的是（ ）
A．
2026
2026
- -
= -
B．
2026
2026
- -
=
C．
2026
2026
- +
= -
D．
2026
2026
+ -
= -
【答案】A
【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握化简多重符号法则是解题关键．根据化简多重符号的法则逐项
判断即可得．
【详解】解：A、
2026
2026
2026
- -
=
¹ -
，则此项错误，符合题意；
B、
2026
2026
- -
=
，则此项正确，不符合题意；
C、
2026
2026
- +
= -
，则此项正确，不符合题意；
D、
2026
2026
+ -
= -
，则此项正确，不符合题意；
故选：A．
【变式1】（25-26 七年级上·湖北武汉·阶段检测）化简下列各数：
(1)
3
15
é
ù
æ
ö
+ - -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
；
(2)
5.8
é
ù
- + -
ë
û ；
(3)
2
3
é
ù
æ
ö
- - + -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
；
(4)
20
é
ù
+ - + -
ë
û
【答案】(1) 3
15
(2)5.8
(3)
2
3
-
(4)20
【分析】本题主要考查了相反数和绝对值，正确掌握相反数的定义和绝对值的意义是解题关键．
（1）根据相反数的定义，化简多重符号；
（2）根据相反数的定义，化简多重符号；
（3）根据相反数的定义，化简多重符号，再求绝对值；
（4）根据相反数的定义，化简多重符号，再求绝对值，即可求解．
【详解】（1）解：
3
3
1
1
5
5
é
ù
æ
ö
+ - -
=
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
；
（2）解：
5.8
5.8
é
ù
- + -
=
ë
û
；
（3）解：
2
2
3
3
é
ù
æ
ö
- - + -
= -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
；
（4）解：
20
20
é
ù
+ - + -
=
ë
û
．
【变式2】（25-26 七年级上·全国·课后作业）化简下列各数：
(1)
3.5
- +
；
(2)
11
- -
；
(3)
3
15
é
ù
æ
ö
+ - -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
；
(4)
5.8
é
ù
- + -
ë
û ；
(5)
2
3
é
ù
æ
ö
- - + -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
；
(6)
20
é
ù
+ - + -
ë
û
【答案】(1) 3.5
-
(2)11
(3) 3
15
(4)5.8
(5)
2
3
-
(6)20
【分析】本题主要考查了相反数和绝对值，正确掌握相反数的定义和绝对值的意义是解题关键．
（1）直接利用相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而化简答案．
（2）直接利用相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而化简答案．
（3）直接利用相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而化简答案．
（4）直接利用相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而化简答案．
（5）原式先去小括号得
2
3
é
ù
- - -
ê
ú
ë
û ，再去中括号得
2
3
-
，最后化去绝对值符号即可得答案．
（6）原式先去小括号得
20
+ - -
，再去中括号得
20
+
，最后化去绝对值符号即可得答案．
【详解】（1）解：
3.5
3.5
- +
= -
；
（2）解：
11
11
- -
=
；
（3）解：
3
15
é
ù
æ
ö
+ - -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
3
15
æ
ö
= + +
ç
÷
è
ø
3
15
=
；
（4）解：
5.8
é
ù
- + -
ë
û
5.8
= - -
5.8
=
；
（5）解：
2
3
é
ù
æ
ö
- - + -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
2
3
æ
ö
= - - -
ç
÷
è
ø
2
3
= -
2
3
= -
；
（6）解：
20
é
ù
+ - + -
ë
û
20
= + - -
20
= +
20
=
．
【变式3】（24-25 七年级上·江西南昌·阶段检测）化简下列各数：
(1) ( 12)
- +
(2) ( 7)
+ +
(3) ( 25)
+ -
(4) ( 16)
- -
(5)
5
7
é
ù
æ
ö
- - -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
(6)
2
- + -
é
ù
ë
û
【答案】(1) 12
-
(2)7
(3) 25
-
(4)16
(5)
5
7
-
(6) 2
【分析】本题考查了相反数的知识：在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，根据相反数的定义解答
即可．
（1）根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；
（2）直接去掉“+”和括号即可得答案；
（3）直接去掉“+”和括号即可得答案；
（4）根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；
（5）根据相反数的意义从内往外依次去括号即可；
（6）根据相反数的意义从内往外依次去括号即可．
【详解】（1）解：( 12)
12
- +
= -
；
（2）解：( 7)
7
+ +
=
；
（3）解：( 25)
25
+ -
= -
，
（4）解：( 16)
16
- -
=
（5）解：
5
5
5
7
7
7
é
ù
æ
ö
é ù
- - -
= -
= -
ç
÷
ê
ú
ê ú
è
ø
ë û
ë
û
；
（6）解：
[ ( 2)]
2
2
- + -
= - -
=
▌题型09 由绝对值等式判断字母取值范围
容易忽视关键数0
【典例9】（25-26 七年级上·重庆·阶段检测）若有理数a满足a
a
=
，则a的取值范围是（ ）
A．
0
a ³
B．
0
a >
C．
0
a £
D．
0
a <
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的性质．根据有理数的性质解答即可．
【详解】解：∵a
a
=
，
∴
0
a ³
．
故选：A
【变式1】（23-24 七年级上·四川绵阳·期中）若
1
a
a = - ，则a的取值范围是（ ）
A．
0
a >
B．
0
a <
C．
0
a ³
D．
0
a £
【答案】B
【分析】此题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是正数，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，
熟记绝对值的性质是解题的关键．
【详解】解：∵
1
a
a = - ，
∴|
|
a
a
= - ，
0
a ¹
，
∴
0
a <
．
故选：B．
【变式2】（24-25 七年级上·甘肃武威·期末）若
5
|
|
5
x
x
-
=
- ，则x 的取值范围是_____．
【答案】
5
x ³
【分析】本题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的非负性是解题的关键．
根据绝对值的非负性列不等式求解即可．
【详解】解：∵
5
|
|
5
x
x
-
=
- ，
∴
5
0
x -
³
，
∴
5
x ³
．
故答案为：
5
x ³
．
【变式3】（24-25 七年级上·北京·期中）若
3
3
x
x
-
=
-
成立，那么x 的取值范围是_______．
【答案】
3
x ³
【分析】此题考查了绝对值的性质，根据题意得出
3
³
x
，得到
3
x ³
或
3
x
-
£
，然后分情况验证即可．
【详解】∵
3
3
0
x
x
-
=
-
³
成立，
∴
3
³
x
∴
3
x ³
或
3
x
-
£
∴当
3
x ³
时，
3
3
x
x
-
=
- ，
3
3
x
x
-
=
- ，等式成立；
当
3
x
-
£
时，
3
3
x
x
-
= - - ，
3
3
x
x
-
= - +
，等式不成立；
综上所述，x 的取值范围是
3
x ³
．
故答案为：
3
x ³
．
【变式4】（25-26 七年级上·江苏南京·阶段检测）若有理数x 满足
2025
2025
x
x
+
=
-
，则x 的取值范围是
_______．
【答案】
0
x £
【分析】本题考查了绝对值的意义．分三种情况进行讨论：当
2025
x ³
时，当0
2025
x
<
<
时，当
0
x £
时，
分别进行求解即可．
【详解】解：当
2025
x ³
时，原式可变为
2025
2025
x
x
+
=
-
，
此方程无解；
当0
2025
x
<
<
时，原式可变为
2025
2025
x
x
+
=
-
，
解得：
0
x =
，不符合题意；
当
0
x £
时，原式可变为
2025
2025
x
x
- +
=
-
，
方程一定成立；
综上分析可知：有理数x 满足
2025
2025
x
x
+
=
-
，则x 的取值范围是
0
x £
．
故答案为：
0
x £
．
▌题型10 利用数轴化简绝对值
通过数轴来确定各个字母表示的数或绝对值内式子的正负性来去掉绝对值符号.
【典例10】（25-26 七年级上·江苏泰州·期末）结合数轴化简
1
b
a
b
-
+
-
的结果是_____．
【答案】1
a
-
/
1
a
- +
【分析】本题考查了数轴和绝对值，利用数轴知识和绝对值的定义解答．
【详解】解：由数轴图可知
1,0
1
a
b
< -
<
< ，
∴
0
b
a
-
>
，
1
0
b - <
∴|
|
|
1|
b
a
b
-
+
-
1
b
a
b
=
-
+ -
1 a
= -
．
故答案为：1 a
-
．
【变式1】（25-26 七年级上·四川成都·期末）有理数a
b
c
，，在数轴上的位置如图所示，化简：
a
b
a
c
c
b
+
-
-
+
-
= ___________
【答案】2a
-
【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的符号，化简绝对值，解题的关键是掌握用数轴上的点表示的数
左边小于右边，以及绝对值的意义．根据各点在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小，进而可得出结
论．
【详解】解：∵
0
c
b
a
<
<
<
，c
b
a
>
>
，
∴
0
a
b
+
<
，
0
a
c
-
>
，
0
c
b
-
<
，
∴a
b
a
c
c
b
+
-
-
+
-
a
b
a
c
c
b
= -
+
-
-
-
-
a
b
a
c
c
b
= - -
-
+
- +
2a
= -
，
故答案为：2a
-
．
【变式2】（25-26 七年级上·安徽合肥·期末）有理数, ,
a b c 在数轴上的位置如图所示，则化简
2
2
a
b
a
c
c
b
+
-
-
+
-
的结果为__________．
【答案】3b
-
【分析】本题考查了化简绝对值，整式的加减计算，关键是熟练应用运算法则进行化简；根据代数式的正负
进行绝对值的化简后进行整式的加减即可．
【详解】解：由数轴可知：
0
a
b
c
<
<
<
且b
a
c
<
<
，
∴
0
a
b
+
<
，
2
0
a
c
-
<
，
0
c
b
-
>
，
∴原式
2
2
a
b
a
c
c
b
= -
+
+
-
+
-
2
2
2
a
b
a
c
c
b
= - - +
-
+
-
3b
= -
，
故答案为：3b
-
．
【变式3】（25-26 七年级上·四川宜宾·期末）已知a、b、c 的大小关系如图，满足
0
a
b
c
+
+
=
，化简
a
b
c
b
c
c
a
a
b
+
+
=
+
+
+
________．
【答案】1
【分析】本题考查了根据数轴判断式子正负，带字母的绝对值的化简问题．
根据
0
a
b
c
+
+
=
得到b
c
a
+
= - ，c
a
b
+
= - ，a
b
c
+
= - ，由数轴可知
0
b
a
c
<
<
<
，即
0
a
- <
，
0
b
-
>
，
0
c
- <
，进而根据绝对值的意义计算即可．
【详解】解：∵
0
a
b
c
+
+
=
，
∴b
c
a
+
= - ，c
a
b
+
= - ，a
b
c
+
= - ，
由数轴可知
0
b
a
c
<
<
<
，
∴
0
a
- <
，
0
b
-
>
，
0
c
- <
，
∴
a
b
c
b
c
c
a
a
b
+
+
+
+
+
a
b
c
a
b
c
=
+
+
-
-
-
a
c
a
c
b
b
=
+
+
-
1 1 1
= - +
1
= ．
故答案为：1．
【变式4】（25-26 七年级上·四川成都·期中）有理数a、b、c 在数轴上的对应点如图所示，化简：
|
| 2 |
| 3|
|
a
b
a
c
a
b
c
-
+
+
-
+
-
= ________．
【答案】4
5
b
c
-
/ 5
4
c
b
-
+
【分析】本题考查了有理数与数轴，绝对值化简，根据有理数在数轴上的位置，确定代数式的符号是解题的
关键．
根据a、b、c 在数轴上的对应点的位置，判断
,
,
a
b a
c a
b
c
-
+
+
- 的符号，再根据绝对值的意义进行计算化简，
即可解题．
【详解】解：由数轴可知，
0
a
b
c
<
<
<
，a
c
>
，
所以
0,
0,
0
a
b
a
c
a
b
c
-
<
+
<
+
-
<
，
|
| 2 |
| 3|
|
a
b
a
c
a
b
c
-
+
+
-
+
-
2
3
a
b
a
c
a
b
c
= -
-
-
+
+
+
-
2
2
3
3
3
a
b
a
c
a
b
c
= - +
-
-
+
+
-
2
3
3
2
3
a
a
a
b
b
c
c
= - -
+
+
+
-
-
4
5
b
c
=
-
．
故答案为：4
5
b
c
-
．
▌题型11 含绝对值的化简问题
【典例11】（2026 七年级上·吉林长春·专题练习）
a
b
a
b
a
b
a
b
+
+
+
+
可能的值有___________个．
【答案】4
【分析】本题需根据a、b 的正负性分情况讨论，利用绝对值的性质化简式子，再确定所有可能的结果并统
计个数．
【详解】根据绝对值的非负性及有理数除法法则，分以下情况讨论：
1. 当
0
a >
，
0
b >
时，
1 1 1
3
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
+
+
+
=
+
+
= + + =
+
+
；
2. 当
0
a >
，
0
b <
时，
若a
b
>
，则
0
a
b
+
>
，
1 1 1
1
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
+
+
+
=
+
+
= - + =
+
-
+
；
若a
b
<
，则
0
a
b
+
<
，
1 1 1
1
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
+
+
+
=
+
+
= - - = -
+
-
-
+
；
若a
b
=
，则
0
a
b
+
=
，此时
a
b
a
b
+
+
无意义，舍去该情况；
3. 当
0
a <
，
0
b >
时，
- 若b
a
>
，则
0
a
b
+
>
，
1 1 1
1
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
+
+
+
=
+
+
= - + + =
+
-
+
；
若b
a
<
，则
0
a
b
+
<
，
1 1 1
1
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
+
+
+
=
+
+
= - + - = -
+
-
-
+
；
-若a
b
=
，则
0
a
b
+
=
，式子无意义，舍去该情况；
4. 当
0
a <
，
0
b <
时
1 1 1
3
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
+
+
+
=
+
+
= - - - = -
+
-
-
-
+
．
综上，式子可能的值为3、1、1
- 、3
- ，共4 个．
【变式1】（25-26 七年级上·四川达州·期末）已知a、b、c 为非零有理数，
bc
abc
ab
ca
ab
bc
ca
abc
+
+
+
的值为________．
【答案】4 或2
± 或0
【分析】本题考查有理数的运算，分三个有理数同正，同负，一正两负，一负两正，四种情况进行讨论求解
即可．
【详解】解：当a、b、c 同正时，原式
1 1 1 1
4
= + + + =
；
当a、b、c 同负时，原式
1 1 1 1
2
= + + - =
；
当a、b、c 一正两负时，不妨设a 为正，则原式
1 1 1 1
0
= - + - + =
；
当a、b、c 一负两正时，不妨设a 为负，则原式
1 1 1 1
2
= - + - - = - ；
综上：
bc
abc
ab
ca
ab
bc
ca
abc
+
+
+
的值为4 或2
± 或0；
故答案为：4 或2
± 或0．
【变式2】（25-26 七年级上·山东日照·期末）若
6
x £ - ，则化简
6
1
x
x
+
-
-
=_____．
【答案】7
-
【分析】本题主要考查了绝对值的化简，
根据绝对值的定义，由于
6
x £ - ，可判断
6
0
x +
£
和
1
7
0
x - £ - <
，从而化简绝对值表达式．
【详解】解：∵
6
x £ - ，
∴
6
0
x +
£
，
6
6
6
x
x
x
+
= -
+
= - -
，
1
7
0
x - £ - <
，
1
1
1
x
x
x
-
= -
-
= - + ，
则
6
1
6
1
6
1
7
x
x
x
x
x
x
+
-
-
= - -
- - +
= - -
+
- = - ．
故答案为：7
- ．
【变式3】（25-26 七年级上·湖南怀化·期末）若三个有理数a，b，c，满足
1
abc
abc = ，则
a
b
c
abc
a
b
c
abc
+
+
-
= ________．
【答案】2 或2
-
【分析】本题考查了带有字母的绝对值化简问题，多个有理数的乘法运算，已知式子的值，求代数式的值，
分式的求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
根据题意，分a，b，c 均为正数与a，b，c 有两个负数和一个正数，两种情况，分别计算两种情况下表达式
的值．
【详解】解：因为
1
abc
abc = ，所以
0
abc >
，
因此a，b，c 均为正数或有两个负数和一个正数．
当a，b，c 均为正数时，
1
a
a = ，
1
b
b = ，
1
c
c = ，
1
abc
abc = ，
所以原式
1 1 1 1
2
= + + - =
；
当a，b，c 有两个负数和一个正数时，
不妨设
0
a <
，
0
b <
，
0
c >
，
则
1
a
a = - ，
1
b
b = - ，
1
c
c = ，
1
abc
abc = ，
所以原式
1 1 1 1
2
= - - + - = - ．
因此，原式的值为2 或2
- ，
故答案为：2 或2
- ．
▌题型12 绝对值的几何意义
【典例12】（25-26 七年级上·重庆开州·期末）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，
数轴上A、B 两点对应的数分别为a
b
、，且A
B
、两点之间的距离可以表示为AB ，则
|
|
AB
a
b
=
-
（或
|
|
b
a
-
）．
（1）求
| 5
3 |
- -
= ___；
（2）|
4 |
|
3|
x
x
-
+
+
的最小值是___．
【答案】
8
7
【分析】本题考查绝对值的几何含义，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）根据阅读材料，利用绝对值的几何意义进行解答计算即可；
（2）根据绝对值的几何意义，分成
3
x
-
<
、3
4
x
- £
£
、
4
x >
三种情况分别讨论即可．
【详解】解：（1）∵
5
3
- -
表示5，3
- 所对应的点之间的距离，
∴
5
3
5
3
8
8
- -
=
+
=
=
，
故答案为：8．
（2）|
4 |
|
3|
x
x
-
+
+
可以看作x 对应的点到4 和3
- 对应的点的距离之和，
当
3
x
-
<
时，则
4
0
x -
<
，
3
0
x +
<
，
∴
|
4 |
|
3|
4
3
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
-
+
+
= -
-
-
+
= - +
-
-
= -
+
∵
3
x
-
<
，
∴2
1
7
x
-
+ >
；
当3
4
x
- £
£
时，则
4
0
x -
£
，
3
0
x +
³
，
∴
|
4 |
|
3|
4
3
4
3
7
x
x
x
x
x
x
-
+
+
= -
-
+
+
= - +
+
+
=
；
当
4
x >
时，则
4
0
x -
>
，
3
0
x +
>
，
∴
|
4 |
|
3|
4
3
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
-
+
+
=
-
+
+
=
-
+
+
=
- ，
∵
4
x >
，
∴2
1
7
x - >
；
∴|
4 |
|
3|
x
x
-
+
+
的最小值为7 ，
故答案为：7 ．
【变式1】（25-26 七年级上·湖北孝感·期末）点A、B 在数轴上分别表示有理数a，b，那么A、B 两点之间
的距离可以表示为AB
a
b
=
-
．
（1）x 是一个有理数，若x 在3
- 与1 之间，则
1
3
x
x
-
+
+
= __________．
（2）若
1
x
a
x
+
+
+
的最小值为3，则a 的值为__________．
【答案】
4
2
- 或4
【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，化简绝对值，一元一次方程的应用，整式的加减运算，熟知绝
对值的相关知识是解题的关键．
（1）根据绝对值的定义先化简绝对值，再根据整式的加减运算法则求解即可；
（2）根据绝对值的几何意义可得当x 在a
- 与1
- 之间时，
1
x
a
x
+
+
+
有最小值，最小值为
1
a - ，则可得到
1
3
a -
= ，解方程即可得到答案．
【详解】解：（1）∵x 在3
- 与1 之间，
∴
1
3
1
3
1
3
4
x
x
x
x
x
x
- +
+
= -
-
+
+
= - + +
+
=
，
故答案为：4；
（2）∵
1
x
a
x
+
+
+
表示的是数轴上表示数x 的点到表示数1
- 的点和到表示数a
- 的点的距离之和，
∴当x 在a
- 与1
- 之间时，
1
x
a
x
+
+
+
有最小值，最小值为
1
1
a
a
- - -
=
-
，
∵
1
x
a
x
+
+
+
的最小值为3，
∴
1
3
a -
= ，
∴
1
3
a - =
或
1
3
a - = - ，
解得
2
a = - 或
4
a =
．
故答案为：2
- 或4．
【变式2】（25-26 七年级上·湖南邵阳·期末）满足2
1
2
5
6
x
x
+
+
-
=
的整数x 的值有________．
【答案】0，1，2
【分析】本题考查换元法和绝对值的几何意义，设
2
t
x
=
，确定t 的取值范围，再结合整数条件求解x．
【详解】解：设
2
t
x
=
，则原方程化为
1
5
6
t
t
+
+
-
=
．
∵
1
t +
表示点t 到点1
- 的距离，
5
t -
表示点t 到点5 的距离，
点1
- 与点5 之间的距离为
5
1
6
- -
=
，
∴当1
5
t
- £ £
时，距离和恒为 6．
∴1
5
t
- £ £
．
∵
2
t
x
=
且x 为整数，故t 为偶数整数
∴
0
t =
或2 或4，
∴
0
x =
或1 或2，
验证：当
0
x =
时，2 0 1
2 0
5
1
5
1 5
6
´ +
+
´ -
=
+ -
= +
=
；
当
1
x = 时，2 1 1
2 1 5
3
3
3
3
6
´ +
+
´ -
=
+ -
=
+
=
；
当
2
x =
时，2 2 1
2 2
5
5
1
5 1
6
´ +
+
´ -
=
+ - =
+ =
，均成立．
故答案为：0，1，2．
【变式3】（25-26 七年级上·湖北武汉·阶段检测）
2020
2
2021
3
2022
4
2023
5
2024
x
x
x
x
x
-
+
-
+
-
+
-
+
-
的最小值为______
【答案】15
【分析】本题考查绝对值及数轴上点的距离，题目难度较大，解题关键理解绝对值的几何意义．数轴上有奇
数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，据此求解即可．
【详解】解：
2020
2
2021
3
2022
4
2023
5
2024
x
x
x
x
x
-
+
-
+
-
+
-
+
-
可以看成数轴上一个表示x 的点到1
个2020 、2 个2021、3 个2022 、4 个2023、5 个2024 的距离之和，共1
2
3
4
5
15
+
+ +
+
=
个点，
∵数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，15 个点正中间的是第8 个点，
∴当
2023
x =
时，
2020
2
2021
3
2022
4
2023
5
2024
x
x
x
x
x
-
+
-
+
-
+
-
+
-
有最小值，
最小值
2023
2020
2 2023
2021
3 2023
2022
4 2023
2023
5 2023
2024
-
+
-
+
-
+
-
+
-
=
3
2 2
3 1 4 0
5 1 15
=
+ ´ + ´ + ´ + ´ =
，
故答案为：15．
▌题型13 利用分类讨论解决绝对值方程
在解含有两个及以上绝对值符号的方程时，要在未知数取值的不同范围内，分别化简方
程，并求出化简后的方程的解，要注意检验所求出的解是否在限定范围内，若不在该范围内，则所求出的解
不是原方程的解，应舍去.
【典例13】（25-26 七年级上·江苏苏州·期末）若
4
1
a -
= ，则a =__________．
【答案】3 或5
【分析】本题考查了绝对值方程等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
根据绝对值的定义，将方程
4
1
a -
= 转化为两个一元一次方程求解．
【详解】解：∵
4
1
a -
= ，
∴
4
1
a -
= 或
4
1
a -
= - ．
4
1
a -
= ，
解得：
5
a =
；
4
1
a -
= - ，
解得：
3
a =
，
故答案为：
3
a =
或5．
【变式1】（25-26 七年级上·重庆·期末）若有理数a满足2
3
a
a
=
+ ，则
2
a 的值为__________．
【答案】1 或9
【分析】本题考查含绝对值的方程、解一元一次方程、代数式求值，解绝对值方程需分情况讨论a 的符号，
然后解一元一次方程，最后代入a 的值计算平方．
【详解】解：当
0
a ³
时，a
a
=
，代入方程，得2
3
a
a
=
+
解得
3
a =
，则
2
23
9
a =
=
；
当
0
a <
时，a
a
= - ，代入方程得2
3
a
a
-
=
+ ，
解得
1
a = - ，则
2
2
1
1
a = -
= ．
故答案为：1 或9．
【变式2】（25-26 七年级上·全国·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，我们可以从两个角度来看
|
|
-
a
b ．从数的角度上看，可以对a
b
-
值的正负性进行分类讨论，从而去掉绝对值符号；从形的角度上看，
可以看作是数轴上两点的距离，即点A、B 在数轴上分别对应的数为a、b，则AB 两点间的距离可表示为
|
|
-
a
b ．请你利用以上方法解方程：|
1|
| 2
1| 2
x
x
+
+
-
=
得，x =_______．
【答案】
0 或2
3
【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，理解题意，掌握绝对值方程的计算是关键．
从数的角度，通过分类讨论绝对值内表达式的正负性求解；从形的角度，利用数轴上两点距离的意义理解方
程．
【详解】解：方程为
1
2
1
2
x
x
+ +
-
=
，
绝对值零点为
-1
x =
和
1
2
x =
，将数轴分为三个区间讨论：
当
1
x < - 时，
1
1
x
x
+
= - - ，2
1
2
1
x
x
-
= -
+ ，方程化为
1 2
1
2
x
x
- - -
+ =
，
整理得3
2
x
-
=
，解得
2
3
x = -
，不符合题意，舍去；
当
1
2
x
£
<
- 1
时，|
1|
1
x
x
+
=
+ ，2
1
2
1
x
x
-
= -
+ ，方程化为
1 2
1
2
x
x
+ -
+ =
，
整理得
2
2
x
- +
=
，解得
0
x =
，符合题意；
当
1
2
x ³
时，|
1|
1
x
x
+
=
+ ，2
1
2
1
x
x
-
=
- ，方程化为
1
2
1
2
x
x
+ +
- =
，
整理得3
2
x =
，解得
2
3
x =
，符合题意；
故方程为
0
x =
或
2
3
x =
．
从形的角度，设数轴上点P 对应x，点A 对应1
- ，点B 对应1
2 ，
1
2
1
2
2
x
x
-
=
-
，即点P 到点B 距离的2 倍，
∴方程的几何意义为：
2
2
PA
PB
+
=
，
当
1
x < - 时，方程为
1
1
2
2
2
x
x
æ
ö
- -
+
-
=
ç
÷
è
ø
，解得
2
3
x = -
(舍去)；
当
1
1
2
x
- £
£
时，方程为
1
1
2
2
2
x
x
æ
ö
+
+
-
=
ç
÷
è
ø
，解得
0
x =
；
当
1
2
x >
时，方程为
1
1
2
2
2
x
x
æ
ö
+
+
-
=
ç
÷
è
ø
，解得
2
3
x =
；
故答案为：0 或2
3 ．
【变式3】（25-26 七年级上·安徽芜湖·期末）点A、B 在数轴上分别表示有理数a、b，A、B 两点之间的距
离表示为AB ，在数轴上A、B 两点之间的距离AB
a
b
=
-
．例如：数轴上表示1
- 与2
- 的两点间的距离
1 ( 2)
1
= - - -
= ；而
2
( 2)
x
x
+
=
- -
，所以
2
x +
表示x 与2
- 两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问
题：
(1)数轴上表示1 和5
- 的两点之间的距离是 ．
(2)若数轴上表示点x 的数满足
1 =3
x-
，那么x = ．
(3)
1
2025
x
x
+ +
-
的最小值为 ．
(4)
1
2025
2029
x
x
+ +
-
=
，则x 的值为 ．
【答案】(1)6
(2)4 或2
-
(3)2026
(4) 2.5
-
或2026.5
【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，两点间的距离公式，绝对值方程，运用了数形结合和分类讨
论的思想．理解和掌握求数轴上两点的距离是解题的关键．
（1）根据题中结论解答即可；
（2）
1 =3
x-
的意义为：在数轴上表示x 和表示1 的两点的距离为3，据此解答可得；
（3）
1
2025
x
x
+ +
-
表示x 与1
- 两点的距离与x 与2025 两点的距离之和，
再分x 在1
- 和2025 之间和x 不在1
- 和2025 之间分别求解，综合可得结果；
（4）由（3）的结论确定表示x 的点在1
- 的左侧或在2025 的右侧，再分类求解即可；
【详解】（1）解：由题得，
1
5
1 5
6
- -
=
+
=
，
\数轴上表示1 和5
- 的两点之间的距离是6．
故答案为：6．
（2）解：由
1 =3
x-
得，数轴上表示x 和1 的两点之间的距离是3．
4
x
\
=
或
2
x = - ．
故答案为：4 或2
- ．
（3）解：
1
2025
x
x
+ +
-
表示x 与1
- 两点的距离与x 与2025 两点的距离之和，
当x 在1
- 和2025 之间时，
1
2025
1
2025
2026
x
x
x
x
+
+
-
=
+
+
-
=
；
当x 不在1
- 和2025 之间，
1
2025
x
x
+ +
-
的值大于1
- 与2025 两点的距离，又
1 2025
2026
- -
=
，
\当x 不在1
- 和2025 之间，
1
2025
x
x
+ +
-
的值大于2026；
综上可知，当x 在1
- 和2025 之间时，
1
2025
x
x
+ +
-
的值最小，最小值为2026．
故答案为：2026．
（4）解：由（3）知，若
1
2025
2029
x
x
+ +
-
=
，
则数x 在1
- 的左侧或在2025 的右侧，即
1
x
-
<
或
2025
x >
，
当
1
x
-
<
时，
1
2025
1
2025
2
2024
x
x
x
x
x
+
+
-
= -
+
-
-
= -
+
，
由2
2024
2029
x
-
+
=
，解得
2.5
x = -
；
当
2025
x >
时，
1
2025
1
2025
2
2024
x
x
x
x
x
+
+
-
=
+
+
-
=
-
，
由2
2024
2029
x -
=
，解得
2026.5
x =
；
综上可知，x 的值为2.5
-
或2026.5 ．
▌题型14 绝对值与代数式综合
【典例14】（25-26 七年级上·广西贵港·期末）若有理数a，b 满足
3
4
a
b
=
=
，
，且a
b
>
，则a
b
+
的值为______．
【答案】1
-
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，代数求值，解题的关键是掌握求一个数的绝对值．
由绝对值的意义可得b 的取值，再根据a
b
>
的条件确定b 的值，代入计算a
b
+
．
【详解】解：∵
4
b =
，
∴
4
b =
或
4
b = - ，
∵
3
a =
，且a
b
>
，
当
4
b =
时，3
4
>
不成立；
当
4
b = - 时，3
4
> - 成立；
∴
4
b = - ，
则
3
4
1
a
b
+
=
+ -
= - ，
故答案为：1
- ．
【变式1】（23-24 七年级上·河北沧州·期末）若
2
9
x =
，
2
y =
，且x
y
<
，则x
y
-
的值为______．
【答案】5
- 或1
-
【分析】本题考查了乘方，绝对值，有理数的大小比较，有理数的减法运算，解题的关键是熟练掌握以上知
识点．根据乘方，绝对值和有理数的大小比较分别求出x，y，再根据有理数的减法运算求解即可．
【详解】解：∵
2
9
x =
，
∴
3
x =
或
3
x
-
=
，
∵
2
y =
，
∴
2
y =
或
2
y = - ，
又∵ x
y
<
，
\
3
x
-
=
，
2
y = - 或
3
x
-
=
，
2
y =
，
当
3
x
-
=
，
2
y = - 时，
3
2
1
x
y
-
= - - -
= - ，
当
3
x
-
=
，
2
y =
时，
3
2
5
x
y
-
= - -
= - ，
故答案为：5
- 或1
- ．
【变式2】（25-26 七年级上·重庆江北·期末）若
2
9,
2
3
x
y
=
-
=
，且满足xy
xy
= -
，则x
y
-
的值为__________．
【答案】4 或8
-
【分析】本题考查有理数的乘方，有理数的加减运算，绝对值的意义，正确计算是解题的关键．
先求出
3
x = ± ，
1
y = - 或
5
y =
，再根据xy
xy
= -
可得x、y 异号，即可得
3
x =
，
1
y = - 或
3
x
-
=
，
5
y =
，再
代入求值即可．
【详解】解：∵
2
9
x =
，
2
3
y -
=
，
∴
3
x = ± ，
1
y = - 或
5
y =
，
又∵
0
xy
xy
= -
³
，
∴
0
xy £
，
∴
3
x =
，
1
y = - 或
3
x
-
=
，
5
y =
，
∴
3
1
4
x
y
-
=
- -
=
或
3
5
8
x
y
-
= - -
= -
∴x
y
-
的值为4 或8
- ．
故答案为：4 或8
- ．
【变式3】（25-26 七年级上·贵州毕节·阶段检测）已知
4,
5
x
y
=
=
，且x
y
<
，则x
y
x
y
-
+
的值为___________．
【答案】
1
9
-
或9
-
【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的混合运算，根据绝对值的意义，以及x
y
<
，求出,x y 的值，再
根据有理数的混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵
4,
5
x
y
=
=
，
∴
4,
5
x
y
= ±
= ± ，
∵x
y
<
，
∴
4,
5
x
y
= ±
=
，
∴
4
5
1
4
5
9
x
y
x
y
-
-
=
= -
+
+
或
4
5
9
4
5
x
y
x
y
-
- -
=
= -
+
- +
；
故答案为：
1
9
-
或9
- ．
