培优专题03 绝对值的性质与几何意义
（题型突破·举一反三）
题型01 利用绝对值的非负性求解（选择填空高频・夯实根基）
题型02 已知一个数的绝对值求这个数基础易错题・概念巩固）
题型03 数轴位置型绝对值化简（期中必考基础・核心工具）
题型04 解绝对值方程（期中重难点）
题型05 绝对值与代数式运算综合（中档解答常考）
题型06 零点分段法化简绝对值（期中压轴核心难点）
题型07 |a|/a 型绝对值化简（符号判断经典模型）
题型08 绝对值的最值问题（期中重难点）
题型09 与绝对值有关的新定义问题（拓展创新・区分题型）
题型10 数轴与绝对值综合问题（月考 / 期中压轴必考・核心难点）
▌题型01 利用绝对值的非负性求解
【典例1】（25-26 七年级下·四川广安·期末）如果
2
1
2
0
a
b
- +
+
=
，则
2026
a
b
+
的平方根是_________．
【答案】1
±
【分析】根据绝对值和偶次幂的非负性，求出a ，b 的值．代入代数式计算出结果后，再求该结果的平方根
即可．
【详解】解：由题意可得
1
0
a -
³
，
2
(
2)
0
b +
³
，
2
1
(
2)
0
a
b
- +
+
=
Q
，
∴
1
0
a- =
，
2
0
b +
=
，
解得
1
a = ，
2
b = - ．
将
1
a = ，
2
b = - 代入得：
2026
2026
2026
(
)
(1
2)
( 1)
1
a
b
+
=
-
= -
= ．
2
( 1)
1
±
=
Q
，
2026
a
b
\
+
的平方根是1
± ．
【变式1】（24-25 六年级上·山东烟台·期中）若a ，b 为有理数，且
3
4
0
a
b
-
+
-
=
，则b
a
-
= ________．
【答案】1
【详解】解：由绝对值的非负性可知，
3
0
a -
³
，
4
0
b -
³
，
Q
3
4
0
a
b
-
-
+
=
，
\
3
0
a -
=
，
4
0
b -
=
，
解得
3
a = ，
4
b =
，
代入得
4
3
1
b
a
-
=
-
= ．
【变式2】（25-26 七年级上·河南南阳·期末）若
3
a -
与
4
b +
互为相反数，则
1
b
a
-
- 的结果为________．
【答案】8
-
【分析】本题求代数式的值，互为相反数的定义和绝对值的非负性，利用互为相反数的定义得
3
4
0
a
b
-
+
+
=
，
由绝对值的非负性得
3
0
a -
=
，
4
0
b +
=
，确定a 和b 的值，再代入计算即可．
【详解】解：因为
3
a-
与
4
b +
互为相反数，
所以
3
4
0
a
b
-
+
+
=
，
所以
3
0
a -
=
，
4
0
b +
=
，
解得
3
a = ，
4
b = - ．
所以
1
4
3 1
8
b
a
-
- = -
- - = - ．
故答案为
8
- ．
【变式3】（25-26 七年级上·浙江温州·期末）根据下边的数值转换器，当输入的x、y 满足
2
1
1
0
2
x
y
æ
ö
+
+
-
=
ç
÷
è
ø
时，求输出的结果_______．
【答案】3
2
【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，先根据非负数的性质求出
1
x = - ，
1
2
y =
，再代入
2
2
1
2
x
y
+
+
¸
计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵
2
1
1
0
2
x
y
æ
ö
+
+
-
=
ç
÷
è
ø
，且
1
0
x +
³
，
2
1
0
2
y
æ
ö
-
³
ç
÷
è
ø
，
∴
1
0
x + = ，
1
0
2
y -
=
，
∴
1
x = - ，
1
2
y =
，
代入
2
2
1
2
x
y
+
+
¸
可得
2
1
3
1
2
1
2
1 1 1
2
2
2
é
ù
-
+ ´
+
¸
=
+ +
¸
=
ê
ú
ë
û
，
故答案为：3
2 ．
【变式4】（25-26 七年级上·宁夏银川·期末）2025 年是中华人民共和国成立76 周年（也是中华全国总工会
成立100 周年），已知
2
76
100
0
x
y
+
+
-
=
若x ，y 为有理数，则
2
x
y
+
= ______
【答案】124
【分析】该题考查了非负数的性质，代数式求值，利用非负数的性质，绝对值和平方数均为非负数，它们的
和为零则每个部分均为零，从而求出x 和y 的值，再代入
2
x
y
+
求解即可．
【详解】解：∵
2
76
100
0
x
y
+
+
-
=
，
∴
2
76
0,
100
0
x
y
+
=
-
=
，
解得：
76
100
x
y
= -
=
,
，
则
76
2 100
76
200
124
2
x
y
+
= -
+ ´
= -
+
=
．
故答案为：124．
▌题型02 已知一个数的绝对值求这个数
【典例2】（25-26 七年级上·河南平顶山·期末）若
3
x =
，则x 的值是_________．
【答案】3 或3
-
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，根据绝对值的定义，一个数的绝对值表示它到原点的距离，因此方
程
3
x =
有两个解．
【详解】解：由绝对值的定义可知，
3
x =
表示x 到原点的距离为3，
∴
3
x =
或
3
x
-
=
．
故答案为：3 或3
- ．
【变式1】（25-26 七年级上·辽宁大连·阶段检测）若
3
5
4
4
a -
=
，则a = ______________．
【答案】2 或
1
2
-
【分析】根据绝对值的定义，绝对值为正数的数有两个，且互为相反数，据此列出两个一元一次方程，分别
求解即可得到a 的值．
【详解】解：
3
5
4
4
a -
=
∴
3
5
4
4
a -
=
或
3
5
4
4
a -
= -
解
3
5
4
4
a -
=
得：
5
3
2
4
4
a =
+
=
解
3
5
4
4
a -
= -
得：
5
3
1
4
4
2
a = -
+
= -
∴
2
a =
或
1
2
a = -
．
【变式2】（23-24 七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若
3
3
a
a
-
=
-
，则a 的取值范围是（ ）
A．
3
a >
B．
3
a <
C．
3
a ³
D．
3
a £
【答案】D
【分析】根据
3
3
a
a
-
=
-
，可得3
0
a
-
³
，即可求得a 的取值范围．
【详解】解：∵
3
3
a
a
-
=
-
，
∴3
0
a
-
³
，
∴
3
a £ ，
故选：D．
【点睛】此题考查了绝对值的性质，关键是熟知绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝
对值是它的相反数，0 的绝对值是0．
【变式3】（25-26 七年级上·江苏南京·阶段检测）若有理数x 满足
2025
2025
x
x
+
=
-
，则x 的取值范围是
_______．
【答案】
0
x £
【分析】本题考查了绝对值的意义．分三种情况进行讨论：当
2025
x ³
时，当0
2025
x
<
<
时，当
0
x £
时，
分别进行求解即可．
【详解】解：当
2025
x ³
时，原式可变为
2025
2025
x
x
+
=
-
，
此方程无解；
当0
2025
x
<
<
时，原式可变为
2025
2025
x
x
+
=
-
，
解得：
0
x =
，不符合题意；
当
0
x £
时，原式可变为
2025
2025
x
x
- +
=
-
，
方程一定成立；
综上分析可知：有理数x 满足
2025
2025
x
x
+
=
-
，则x 的取值范围是
0
x £
．
故答案为：
0
x £
．
▌题型03 数轴位置型绝对值化简
【典例3】（25-26 七年级上·四川宜宾·期中）有理数a ，b 对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简
1
2
b
a
a
b
-
- -
-
-
的结果是（ ）
A．1
B．2
3
a -
C．1
-
D．2
1
b -
【答案】C
【分析】由数轴可得，
0
b
a
-
<
，1
0
a
-
<
，
2
0
b -
<
，根据负数的绝对值等于它的相反数去绝对值符号，合
并同类项即可得出答案．
【详解】解：由数轴可得，
1
b
-
<
，1
2
a
<
<
，
∴
0
b
a
-
<
，1
0
a
-
<
，
2
0
b -
<
，
∴
1
2
b
a
a
b
-
- -
-
-
1
2
a
b
a
b
=
-
+ -
+
-
1
= - ．
【变式1】（24-25 七年级上·四川绵阳·期中）已知a
b
c
，，三个有理数在数轴上的对应位置如图所示，化简：
a
b
c
a
b
a
+
-
-
+
-
的结果为（ ）
A．3a
c
-
-
B．a
c
- -
C．
2
a
b
c
-
-
D．
2
a
b
c
+
-
【答案】B
【分析】本题主要考查了绝对值的化简，根据数轴上的点确定式子的值，整式的加减，先观察数轴可知
0
a
c
b
<
<
<
，且a
b
c
>
>
，进而得出
0,
0,
0
a
b
c
a
b
a
+
<
-
>
-
>
，再去掉绝对值计算即可．
【详解】解：观察数轴可知
0
a
c
b
<
<
<
，且a
b
c
>
>
，
∴
0,
0,
0
a
b
c
a
b
a
+
<
-
>
-
>
，
∴a
b
c
a
b
a
+
-
-
+
-
(
)
a
b
c
a
b
a
= - -
-
-
+
-
a
b
c
a
b
a
= - - - +
+
-
a
c
= -
-
．
故选：B．
【变式2】（25-26 七年级上·四川成都·期末）有理数a
b
c
，，在数轴上的位置如图所示，化简：
a
b
a
c
c
b
+
-
-
+
-
= ___________
【答案】2a
-
【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的符号，化简绝对值，解题的关键是掌握用数轴上的点表示的数
左边小于右边，以及绝对值的意义．根据各点在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小，进而可得出结
论．
【详解】解：∵
0
c
b
a
<
<
<
，c
b
a
>
>
，
∴
0
a
b
+
<
，
0
a
c
-
>
，
0
c
b
-
<
，
∴a
b
a
c
c
b
+
-
-
+
-
a
b
a
c
c
b
= -
+
-
-
-
-
a
b
a
c
c
b
= - - -
+ - +
2a
= -
，
故答案为：2a
-
．
【变式3】（25-26 七年级上·安徽合肥·期末）有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简：
2
b
c
a
b
c
a
-
-
+
+ -
= _____．
【答案】2c
a
-
/
2
a
c
- +
【分析】本题考查了数轴，化简绝对值，整式的加减混合运算，正确从数轴可得, ,
a b c 的大小关系以及符号
是解题的关键．
由数轴可得，
0
a
b
c
<
<
<
，则
0
b
c
-
<
，
2
0
b
c
a
+
-
>
，再化简绝对值，进行整式的加减混合运算．
【详解】解：由数轴可得，
0
a
b
c
<
<
<
，
∴
0
b
c
-
<
，
2
0
b
c
a
+
-
>
，
∴
2
b
c
a
b
c
a
-
-
+
+ -
2
b
c
a
b
c
a
= -
-
- -
+
+ -
2
b
c
a
b
c
a
= - +
+
+
+
-
2c
a
=
-
，
故答案为：2 -
c
a ．
【变式4】（25-26 七年级上·河南信阳·期末）在数轴上，a，b，c 对应的数如图所示，b，c 所对应的点到原
点的距离相等．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4 和1 的两点之间的距离是_____：表示3
- 和2 两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表
示数m 和数n 的两点之间的距离等于m
n
-
．如果表示数a 和1
- 的两点之间的距离是3，那么a =_____；
(2)确定符号：a _____0，c
a
+
_____0，b
c _____ 1
- ，ac _____0；（填“>”“<”或“=”）
(3)化简：
3
3
a
b
c
b
+
+
-
．
【答案】(1)3；5；2 或4
-
(2)< < = <
，，，
(3)
2
3
a
b
c
- +
+
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，绝对值的意义，整式的加减；理解题意，掌握数轴上两点
之间的距离公式是解题关键．
（1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可；
（2）根据数轴上, ,
a b c 取值范围进行解答即可；
（3）根据绝对值的题意去绝对值符号即可．
【详解】（1）解：根据数轴上两点间距离公式得：
数轴上表示4 和1 的两点之间的距离是4 1
3
- =
；
表示3
- 和2 两点之间的距离是
3
2
5
5
- -
= -
=
；
如果表示数a 和1
- 的两点之间的距离是3，则有：
1
3
a
- -
=
，
解得，
2
a =
或
4
a = - ；
故答案为：3；5；2 或4
- ；
（2）解：由数轴得，
0
a
b
c
<
<
<
，a
b
>
，b
c
=
，a
c
>
，
故可得，
0
a <
，
0
a
c
+
<
，
1
b
c = - ，
0
ac <
故答案为：< < = <
，，，；
（3）解：因为，
0
a
b
c
<
<
<
，b
c
=
，
∴
0
a
b
+
<
，
所以，
3
3
a
b
c
b
+
+
-
3
3
a
b
c
b
= -
+
+
+
3
3
a
b
c
b
= - -
+
+
2
3
a
b
c
= - +
+
．
▌题型04 解绝对值方程
【典例4】（25-26 七年级上·福建泉州·期中）适合2
5.5
2
2.5
8
a
a
+
+
-
=
的整数a 的值有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．7 个
D．9 个
【答案】A
【分析】本题考查了绝对值的几何意义和数轴上两点间的距离，通过绝对值方程的几何意义，确定a 的取值
范围，再求整数a 的个数．
【详解】解：Q 2
5.5
2
2.5
8
a
a
+
+
-
=
，
\原方程可理解为数轴上表示2a的点到表示5.5
-
和2.5 的点的距离之和为8，
Q点5.5
-
和2.5 之间的距离恰好为
2.5
5.5
8
- -
=
，
\表示2a的点必在这两点之间（含端点），
即5.5
2
2.5
a
-
£
£
，
解得2.75
1.25
a
-
£
£
，
Qa 为整数，
\
2, 1,0,1
a = -
-
，共4 个，
故选：A．
【变式1】（25-26 七年级上·重庆·期末）若有理数a 满足2
3
a
a
=
+
，则
2
a 的值为__________．
【答案】1 或9
【分析】本题考查含绝对值的方程、解一元一次方程、代数式求值，解绝对值方程需分情况讨论a 的符号，
然后解一元一次方程，最后代入a 的值计算平方．
【详解】解：当
0
a ³
时，a
a
=
，代入方程，得2
3
a
a
=
+
解得
3
a = ，则
2
23
9
a =
=
；
当
0
a <
时，a
a
= - ，代入方程得2
3
a
a
-
=
+ ，
解得
1
a = - ，则
2
2
1
1
a = -
= ．
故答案为：1 或9．
【变式2】（25-26 七年级上·甘肃兰州·期末）解方程
(1)
1
2
x -
=
；
(2)
1
2
3
x
x
x
-
+
+
=
+
．
【答案】(1)
3
x =
或
1
x = -
(2)
0
x =
或
2
x =
【分析】本题考查了解含绝对值的一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．
（1）根据题意，分类讨论当
1
x ³ 时，当
1
x < 时，化简原方程求解即可；
（2）根据题意，分类讨论当
2
x £ - 时，当2
1
x
- <
£ 时，当
1
x > 时，化简原方程求解即可．
【详解】（1）解：
1
2
x -
=
，
当
1
x ³ 时，
1
2
x - =
，
解得
3
x =
，
当
1
x < 时，1
2
x
-
=
，
解得
1
x = - ，
综上，
3
x =
或
1
x = - ；
（2）解：
1
2
3
x
x
x
-
+
+
=
+
，
当
2
x £ - 时，
1
2
3
x
x
x
-
-
-
+
=
+ ，
解得
4
3
x = -
（不合题意，舍去），
当2
1
x
- <
£ 时，
1
2
3
x
x
x
-
-
+
+
=
+ ，
解得
0
x =
，
当
1
x > 时，
1
2
3
x
x
x
-
+
+
=
+ ，
解得
2
x =
，
综上，
0
x =
或
2
x =
．
【变式3】（25-26 七年级上·吉林·期末）对于有理数a ，b ，c ，我们规定：a
b
c
a
b
c
Å Å
=
-
-
．
例如：1
2
3
1
2
3
1 1
0
Å
Å
=
-
-
=
-
=
．
【知识运用】（1）①计算：0
1
2
Å Å
= ________．
②若
1
1
3
x Å Å =
，求x 的值．
【综合运用】（2）若
3
4
2
x Å Å
=
，求x 的值．
【知识迁移】（3）若1
3
0
x
Å Å
=
，则x 的值为________．
【知识拓展】（4）当
1
1
a
x
Å
Å = 有且只有三个不相等的解时，直接写出a 的值．
【答案】
（1）① 1；② 3 或3
- ；（2）3 或1
- ；（3）4 或2；（4）1
【分析】本题主要考查了新定义运算、含有绝对值的方程、解一元一次方程等内容，熟练掌握相关知识是解
题的关键．
（1）①根据新定义运算法则求解即可；②根据新定义运算法则列出关于x 的方程，求解即可；
（2）根据新定义运算法则列出关于x 的方程，求解即可；
（3）根据新定义运算法则列出关于x 的方程，求解即可；
（4）由题意得
1
1
a
x
-
-
= ，得到
1
1
x
a
-
=
- 或
1
1
x
a
-
=
+ ，根据方程有且只有三个不相等的解可知有一个
绝对值方程为0，继而分类讨论求解即可．
【详解】解：（1）①∵a
b
c
a
b
c
Å
Å
=
-
-
，
0
1
2
0
1
2
0 1
1
\ Å Å
=
-
-
=
-
= ，
故答案为：1；
②∵
1
1
3
x Å Å =
，
∴
1 1
3
x -
-
= ，
∴
0
3
x -
=
，即
3
x =
，
∴x 的值为3或3
- ；
（2）解：∵
3
4
2
x Å Å
=
，
3
4
2
x
\
-
-
=
，
1
2
x
\
-
=
，
∴
1
2
x - =
或
1
2
x - = - ，
∴
3
x = 或
1
x = - ，
∴x 的值为3或1
- ；
（3）解：∵1
3
0
x
Å Å
=
，
1
3
0
x
\ -
-
=
，
1
3
x
\ =
-
，
3
1
x
\ -
= - 或3
1
x
-
= ，
∴
4
x =
或
2
x =
，
故答案为：4 或2 ；
（4）解：∵
1
1
a
x
Å
Å = ，
1
1
a
x
\
-
-
= ，
1
1
a
x
\ -
-
= 或
1
1
a
x
-
-
= - ，
1
1
x
a
\
-
=
- 或
1
1
x
a
-
=
+ ，
Q原方程存在三个不等解，
1
0
a
\ - =
或
1
0
a + =
，
1
0
x -
³
Q
，
1
1
a
a
+ >
- ，
∴
1
0,
1
0
a
a
+ ³
- ³
，
1
0
a
\ - =
，
1
a
\
= ，
1
0
x
\
-
=
或
1
2
x -
=
，
1
x
\
= 或3或1
- （符合题意），
∴a 的值为1．
▌题型05 绝对值与代数式运算综合
【典例5】（24-25 六年级上·山东烟台·阶段检测）若
7
5
x
，y
=
=
，且
0
x
y
+
<
，那么x
y
+
的值是________．
【答案】2
- 或12
-
【分析】根据绝对值的定义确定x 和y 的所有可能取值，再结合
0
x
y
+
<
的条件筛选出符合的取值，最后计
算x
y
+
的值即可.
【详解】解：∵
7
5
x
y
=
=
，
，
∴
7
5
x
y
= ±
= ±
，
．
∵
0
x
y
+
<
，
∴
7
5
x
y
= -
=
，
或
7
5
x
y
= -
= -
，
．
当
7
5
x
y
= -
=
，
时，
7
5
2
x
y
+
= - +
= - ；
当
7
5
x
y
= -
= -
，
时，
7
5
12
x
y
+
= - + -
= -
．
故答案为12
-
或2
- ．
【变式1】（25-26 七年级上·河南南阳·期末）已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是5，且
0
m <
，则代数式
2026
3
2
a
b
cd
m
+
-
+
=______．
【答案】13
-
【分析】本题考查了代数式求值，相反数、倒数和绝对值的定义．根据相反数、倒数和绝对值的定义，得到
0
a
b
+
=
，
1
cd = ，
5
m = - ，代入代数式计算．
【详解】解：
a
Q
，b 互为相反数，
0
a
b
\ +
=
；
c
Q ，d 互为倒数，
1
cd
\
= ；
5
m =
Q
且
0
m <
，
5
m
\
= - ．
2026
3
2
2026 0
3 1
2
5
0
3 10
13
a
b
cd
m
\
+
-
+
=
´ - ´ + ´ -
=
- -
= -
．
故答案为：13
-
．
【变式2】（2025 七年级上·全国·专题练习）（1）
2
a =
，|
| 3
b =
，若a
b
>
，则b 的值是 ；
（2）
1
a = ，|
| 2
=
b
，若a
b
<
，则b 的值是 ；
（3）|
| 2
a =
，|
| 1
=
b
，若a
b
>
，求a ，b 的值；
（4）|
| 2
a =
，|
| 1
=
b
，若a
b
<
，求b 的值．
【答案】（1）3
- （2）2（3）
2
a =
，
1
b = ± （4）
1
b = ±
【分析】本题考查绝对值，有理数比较大小，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．
（1）根据绝对值的定义得到
3
b = ± ，又因为a
b
>
，则b 的值可求；
（2）根据绝对值的定义知
2
b = ± ，再根据a
b
<
，则b 的值可求；
（3）根据绝对值的定义得
2
a = ± ，
1
b = ± ，根据a
b
>
即可求得a ，b 的值；
（4）根据绝对值的定义得
2
a = ± ，
1
b = ± ，根据a
b
<
求a ，b 的值即可．
【详解】解：（1）|
| 3
b =
Q
，
3
b
\
= ± ．
2
a =
Q
，a
b
>
，
3
b
\
= - ．
故答案为：3
- ；
（2）|
| 2
b =
Q
，
2
b
\ = ± ．
1
a =
Q
，a
b
<
，
2
b
\
=
；
故答案为：2；
（3）|
| 2
a =
Q
，|
| 1
=
b
，
2
a
\
= ± ，
1
b = ± ．
a
b
>
Q
，
2
a
\
=
，
1
b = ± ；
（4）|
| 2
a =
Q
，|
| 1
=
b
，
2
a
\
= ± ，
1
b = ± ．
a
b
<
Q
，
2
a
\
= - ，
1
b = ± ．
【变式3】（25-26 七年级上·陕西咸阳·期中）已知
4
a =
，
8
b = ．
(1)若a
b
>
，求a
b
-
的值；
(2)若a
b
b
a
-
=
-
，求a
b
+
的值．
【答案】(1)4 或12
(2)4 或12
【分析】本题考查了求代数式的值，绝对值，正确求出a 、b 的值是解题的关键．
（1）根据绝对值的定义求出a 、b 的值，再根据a
b
>
进一步确定a 、b 的值，然后分别代入计算即可；
（2）根据绝对值的定义求出a 、b 的值，再根据a
b
b
a
-
=
-
进一步确定a 、b 的值，然后分别代入计算即
可．
【详解】（1）解：∵
4
a =
，
8
b = ，
∴
4
a = ± ，
8
b = ± ，
∵a
b
>
，
∴
4
a =
，
8
b = - 或
4
a = - ，
8
b = - ，
当
4
a =
，
8
b = - 时，
4
( 8)
4
8
12
a
b
-
=
- -
=
+
=
；
当
4
a = - ，
8
b = - 时，
4
8
4
8
4
a
b
-
= - - -
= - +
=
；
综上，a
b
-
的值是4 或12；
（2）解：∵
4
a =
，
8
b = ，
∴
4
a = ± ，
8
b = ± ，
∵a
b
b
a
-
=
-
，
∴
0
a
b
-
<
，
∴a
b
<
，
∴
4
a =
，
8
b =
或
4
a = - ，
8
b =
，
当
4
a =
，
8
b =
时，
4
8
12
a
b
+
=
+
=
；
当
4
a = - ，
8
b =
时，
4
8
4
a
b
+
= - +
=
；
综上，a
b
+
的值是4 或12．
【变式4】（25-26 七年级上·广东揭阳·阶段检测）已知
6
a =
，
10
b =
．
(1)若a
b
>
，求ab 的值；
(2)若
0
ab <
，求a
b
-
的值；
(3)若a，b 同号，求a
b 的值的倒数；
(4)若a
b
b
a
-
=
-
，直接给出a
b
+
的值．（无需过程）
【答案】(1) 60
±
；
(2)16；
(3) 5
3 ；
(4)16 或4
【分析】本题考查了绝对值，有理数的乘除，有理数的加减，倒数，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
（1）根据绝对值的性质求出a 、b 的值，再根据a
b
>
进一步确定a 、b 的值，最后计算ab 即可；
（2）根据绝对值的性质求出a 、b 的值，再根据
0
ab <
进一步确定a 、b 的值，最后计算|
|
-
a
b 即可；
（3）根据绝对值的性质求出a 、b 的值，再根据,a b 同号进一步确定a 、b 的值，最后计算a
b ，并求其倒数
即可；
（4）根据绝对值的性质求出a 、b 的值，再根据|
|
a
b
b
a
-
=
-
进一步确定a 、b 的值，最后计算a
b
+
即可；
【详解】（1）解：∵|
| 6,|
| 10
a
b
=
=
，
6,
10
a
b
\
= ±
= ±
，
a
b
>
Q
，
∴
6,
10
a
b
=
= -
或
6,
10
a
b
= -
= -
，
当
6,
10
a
b
=
= -
时，
6 ( 10)
60
ab =
´ -
= -
；
当
6,
10
a
b
= -
= -
时，
6 ( 10)
60
ab = - ´ -
=
；
综上，ab 的值为60
±
；
（2）解：∵|
| 6,|
| 10
a
b
=
=
，
6,
10
a
b
\
= ±
= ±
，
0
ab <
Q
，
∴
6,
10
a
b
=
= -
或
6,
10
a
b
= -
=
，
当
6,
10
a
b
=
= -
时，|
| | 6
( 10) | | 6 10 | |16 | 16
a
b
-
=
- -
=
+
=
=
；
当
6,
10
a
b
= -
=
时，|
| | 6 10 | | 6
( 10) | | 16 | 16
a
b
-
= - -
= - + -
= -
=
；
综上，|
|
-
a
b 的值为16；
（3）解：|
| 6,|
| 10
a
b
=
=
Q
，
6,
10
a
b
\
= ±
= ±
，
,a b
Q
同号，
6,
10
a
b
\
=
=
或
6,
10
a
b
= -
= -
，
当
6,
10
a
b
=
=
时，
6
3
10
5
a
b =
=
，其倒数为5
3 ；
当
6,
10
a
b
= -
= -
时，
6
3
10
5
a
b
-
=
=
-
，其倒数为5
3 ；
综上，a
b 的值的倒数为5
3 ；
（4）解：|
| 6,|
| 10
a
b
=
=
Q
，
6,
10
a
b
\
= ±
= ±
，
|
|
a
b
b
a
-
=
-
Q
，
0
a
b
\ -
£
，
即a
b
£
，
6,
10
a
b
\
=
=
或
6,
10
a
b
= -
=
，
当
6,
10
a
b
=
=
时，
6 10
16
a
b
+
=
+
=
；
当
6,
10
a
b
= -
=
时，
6 10
4
a
b
+
= - +
=
；
综上，a
b
+
的值为16 或4．
▌题型06 零点分段法化简绝对值
步骤: 求出每个绝对值等于0 时x 的对应值，把所有的对应值从小到大排列，如果题目中有奇数个零点，则
取“中间点”的对应值时，整个式子取最小值，如果题目中有偶数个零点，则取“中间段”里的任意值，整
个式子都能取到最小值.
简单来说就是: 若绝对值的个数为奇数，则当x 对应的点取中间点时，式子有最小值；
若绝对值的个数为偶数，则当x 对应的点在中间段(包括端点)时，式子有最小值.
解题大招：奇取中间点，偶取中间段.
注意：若x 的系数不为1，可以将其拆分为多个系数为1 的含绝对值的代数式之和，这时候相等的零点的值
依旧一一罗列.
【典例6】（2025 七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道
0
0
0
0
x x
x
x
x x
ì
>
ï
=
=
í
ï-
<
î
，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式
1
2
x
x
- +
+
时，可令
1
0
x - = 和
2
0
x +
=
，分别求得
1
x = 和
2
x = - ，我们称1, 2
- 分别为
1
x - 与
2
x +
的零点值．
在数轴上分别找出零点值1, 2
- 对应点，这两点将数轴分为三部分（如图），在有理数范围内，这三部分可将
全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3 种情况：（1）
2
x
-
<
；（2）2
1
x
- £
< ；（3）
1
x ³ ．从而化简代
数式
1
2
x
x
- +
+
可分以下3 种情况：
(1)直接写出2
4
x +
和
4
x -
的零点值分别为______和______；
(2)化简代数式2
4
4
x
x
+
-
-
；
(3)解方程2
4
4
9
x
x
+
-
-
=
．
【答案】(1) 2
- ，4
(2)原式
8
2
3
2
4
8
4
x
x
x
x
x
x
ì- -
-
ï
=
- £
í
ï
+
³
î
＜
＜
(3)
17
x = -
或
3
x =
【分析】本题主要考查绝对值及一元一次方程，理解零点及化简带绝对值的代数式的方法是解答本题的关键．
（1）阅读材料，根据零点值的求法，即绝对值里面的代数式等于0 ，即可解答．
（2）根据阅读材料中，化简绝对值的代数式的方法，根据x 的取值范围，分为三种情况，根据绝对值的性
质解答即可．
（3）根据（2）中的化简结果列方程求解即可．
【详解】（1）解：分别令2
4
0
x +
=
和
4
0
x -
=
，
解得
2
x = - 和
4
x =
，
则2
4
x +
和
4
x -
的零点值分别为2
- 和4 ．
（2）解：由（1）知2
4
x +
和
4
x -
的零点值分别为2
- 和4 ；
①当
2
x
-
<
时，原式
2
4
4
2
4
4
8
x
x
x
x
x
= -
+
-
-
= -
-
-
+
= - - ，
②当2
4
x
- £
<
时，原式
2
4
4
3
x
x
x
=
+
-
-
=
，
③当
4
x ³
时，原式
2
4
4
8
x
x
x
=
+
-
-
=
+
，
综上讨论，原式
8
2
3
2
4
8
4
x
x
x
x
x
x
ì- -
-
ï
=
- £
í
ï
+
³
î
＜
＜
．
（3）解：当
2
x
-
<
时，原方程即为
8
9
x
- -
=
，解得
17
x = -
，
当2
4
x
- £
<
时，原方程即为3
9
x =
，解得
3
x =
，
当
4
x ³
时，原方程即为
8
9
x +
=
，解得
1
x = ，不符合题意，舍去，
所以，原方程分解为
17
x = -
或
3
x =
．
【变式1】（26-27 七年级·全国·暑假作业）当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道，
世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚．
距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．我们可以
从图形和代数化简两个角度来计算距离：
①已知点A
B
，
在数轴上分别表示有理数a
b
，，A
B
，
两点之间的距离表示为
|
|
AB
a
b
=
-
，例如|
2 |
x -
表示x
到2 的距离，而|
1| |
( 1) |
a
a
+
=
- -
则表示a 到1
- 的距离；
②我们知道：
(
0)
0
0
(
0)
x x
x
x
x x
>
ì
ï
=
=
í
ï-
<
î
，于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式．
例如化简|
1|
|
2 |
x
x
+
+
-
时，可先令
1
0
x + = 和
2
0
x -
=
，分别求得=
1
x - ，
2
x =
（称1
- 和2 分别为|
1|
|
2 |
x
x
+
+
-
的零点值），在实数范围内，零点值=
1
x - 和
2
x =
可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①
1
x
-
<
；②1
2
x
- £
<
；③
2
x ³
．从而化简|
1|
|
2 |
x
x
+
+
-
可分以下3种情况：
①当
1
x
-
<
时，原式
(
1)
(
2)
2
1
x
x
x
-
-
-
=
+
-
=
+ ；
②当1
2
x
- £
<
时，原式
1 (
2)
3
x
x-
=
+ -
=
；
③当
2
x ³
时，原式
1
2
2
1
x
x
x
-
-
=
+ +
=
．
综上，原式=
2
1(
1)
3( 1
2)
2
1(
2)
x
x
x
x
x
-
+
< -
ì
ï
- £
<
í
ï
-
³
î
结合以上材料，回答以下问题：
(1)化简代数式|
1|
|
2 |
x
x
+
+
-
；
(2)化简代数式|
1| 2 |
1|
x
x
+
-
-
．
【答案】(1)
2
1(
1)
1
2
3( 1
2)
2
1
2
x
x
x
x
x
x
x
ì-
+
< -
ï
+ +
-
=
- £
<
í
ï
-
³
î
；
(2)
3(
1)
1
2
1
3
1( 1
1)
3
1
x
x
x
x
x
x
x
x
ì -
< -
ï
+
-
-
=
-
- £
<
í
ï- +
³
î
．
【分析】（1）根据题目中的范例解得即可求解；
（2 ）根据题目中的范例解得即可求解；
本题考查了化简绝对值，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：当
1
x
-
<
时，原式
1
(
2)
2
1
x
x
x
= -
-
-
-
= -
+ ；
当1
2
x
- £
<
时，原式
1 (
2)
3
x
x-
=
+ -
=
；
当
2
x ³
时，原式
1
(
2)
2
1
x
x
x
=
+
+
-
=
- ；
∴
2
1(
1)
1
2
3( 1
2)
2
1
2
x
x
x
x
x
x
x
ì-
+
< -
ï
+ +
-
=
- £
<
í
ï
-
³
î
；
（2）解：当
1
x
-
<
时，原式
1
2(
1)
3
x
x
x
= -
-
+
-
=
- ；
当1
1
x
- £
< 时，原式
1
2
1
3
1
x
x
x
=
+ +
-
=
- ；
当
1
x ³ 时，原式
1
2(
1)
3
x
x
x
=
+
-
-
= -
+ ，
∴
3(
1)
1
2
1
3
1( 1
1)
3
1
x
x
x
x
x
x
x
x
ì -
< -
ï
+
-
-
=
-
- £
<
í
ï- +
³
î
．
【变式2】（25-26 七年级上·四川凉山·期末）阅读下列材料．
我们知道
(
0)
0
0
(
0)
x x
x
x
x x
>
ì
ï
=
=
í
ï-
<
î
，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式
1
2
x
x
+
=
-
时，可令
1
0
x + = 和
2
0
x -
=
，分别求得
1
x = - 和
2
x =
（称1
- ，2 分别为
1
x +
与
2
x -
的零点
值）．在有理数范围内，零点值
1
x = - 和
2
x =
可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
1
x
-
<
；1
2
x
- £
<
；
2
x ³
，从而在化简
1
2
x
x
+
+
-
时，可分以下三种情况：
①当
1
x
-
<
时，原式
1
2
2
1
x
x
x
= -
+
-
-
= -
+ ；②当1
2
x
- £
<
时，原式
1
2
3
x
x
=
+
-
-
=
；
③当
2
x ³
时，原式
1
2
2
1
x
x
x
=
+
+
-
=
- ；
2
1(
1)
1
2
3( 1
2)
2
1
2
x
x
x
x
x
x
x
ì-
+
< -
ï
\
+
+
+
=
- £
<
í
ï
-
³
î
，通过以上阅读，解决问题：
(1)直接写出
3
x -
的零点值是x =；
(2)化简
1
5
x
x
- -
+
；
(3)直接写出代数式
3
2
1
x
x
x
-
+
+
+
+
的化简结果
【答案】(1)3
(2)
6(
5)
1
5
2
4( 5
1)
6
1
x
x
x
x
x
x
ì
< -
ï
-
-
+
= -
-
- £
<
í
ï-
³
î
(3)
3 (
2)
4( 2
1)
3
2
1
6( 1
3)
3
3
x x
x
x
x
x
x
x
x
x x
-
< -
ì
ï- +
- £
< -
ï
-
+
+
+
+
= í +
- £
<
ï
ï
³
î
【分析】本题解题的关键是找出各个绝对值表达式中的零点值，将数轴划分为若干区间，在每个区间内去掉
绝对值符号，化简代数式，最后合并结果．
(1)直接根据定义求零点值；
(2)涉及两个绝对值之差，需分情况讨论；
(3)包含三个绝对值之和，涉及三个零点值，需划分四个区间进行讨论．
【详解】（1）解：令
3
0
x -
=
，解得
3
x =
，
因此
3
x -
的零点值是
3
x =
．
（2）解：令
1
0
x - = 和
5
0
x +
=
，
解得
1
x = 和
5
x = - ．
这两个值将实数轴分为三个区间：
5
5
1
1
x
x
x
< -
-
£
<
³
，
，
．
当
5
x < - 时，
1
0
5
0
x
x
- <
+
<
，
，
1
1
1
x
x
x
\
-
= -
-
= - + ，
5
5
5
x
x
x
+
= -
+
= - - ，
原式
1
5
1
5
6
x
x
x
x
= - +
- - -
= - + +
+
=
．
当5
1
x
- £
< 时，
1
0
5
0
x
x
- <
+
³
，
，
1
1
x
x
\
-
= - + ，
5
5
x
x
+
=
+ ，
原式
1
5
1
5
2
4
x
x
x
x
x
= - +
-
+
= - + -
-
= -
-
．
当
1
x ³ 时，
1
0
5
0
x
x
- ³
+
³
，
，
1
1
x
x
\
-
=
- ，
5
5
x
x
+
=
+ ，
原式
1
5
1
5
6
x
x
x
x
=
-
-
+
=
- -
-
= - ．
6
5
1
5
2
4( 5
1)
6(
1)
x
x
x
x
x
x
ì
< -
ï
\
-
-
+
= -
-
- £
<
í
ï
-
³
î
（3）解：令
3
0
2
0
1
0
x
x
x
-
=
+
=
+ =
，
，
，解得
3
2
1
x
x
x
=
= -
= -
，
，
．因此分成四个区间：
2
2
1
1
3
3
x
x
x
x
< -
-
£
< - - £
<
³
；
；
；
．
当
2
x
-
<
时，
3
0
2
0
1
0
x
x
x
- <
+
<
+ <
，
，
，
3
3
x
x
\
-
= - + ，
2
2
x
x
+
= - - ，
1
1
x
x
+
= - - ，
原式
3
2
1
3
0
3
x
x
x
x
x
= - +
+ - -
+ - -
= -
+
= -
．
当2
1
x
- £
< - 时，
2
0
x +
³
，但
1
0
3
0
x
x
+ <
- <
，
，
3
3
x
x
\
-
= - + ，
2
2
x
x
+
=
+ ，
1
1
x
x
+
= - - ，
原式
3
2
1
3
2 1
4
x
x
x
x
x
x
x
= - +
+
+
+ - -
= - +
-
+
+
-
= - +
．
当1
3
x
- £
< 时，
1
0
2
0
3
0
x
x
x
+ ³
+
³
- <
，
，
，
3
3
x
x
\
-
= - + ，
2
2
x
x
+
=
+ ，
1
1
x
x
+
=
+ ，
原式
3
2
1
3
2 1
6
x
x
x
x
x
x
x
= - +
+
+
+
+
= - +
+
+
+
+
=
+
．
当
3
x ³ 时，此时所有表达式非负，
3
3
x
x
\
-
=
- ，
2
2
x
x
+
=
+ ，
1
1
x
x
+
=
+ ，
原式
3
2
1
3
0
3
x
x
x
x
x
=
-
+
+
+
+
=
+
=
．
3
2
3
2
1
4( 2
1)
6( 1
3)
3 (
3)
x x
x
x
x
x
x
x
x
x x
ì
ï
-
< -
ïï
\
-
+
+
+
+
= - +
- £
< -
í
ï
+
- £
<
ï
³
ïî
【变式3】（24-25 七年级上·湖北孝感·期末）阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道
0
0
0
0
x x
x
x
x x
ì
>
ï
=
=
í
ï-
<
î
，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式
1
2
x
x
-
+
+
时，可令
1
0
x - = 和
2
0
x +
=
，分别求得
1
x = 和
2
x = - ，我们称1, 2
- 分别为
1
x -
与
2
x +
的零点值．
在数轴上分别找出零点值1, 2
- 对应点，这两点将数轴分为三部分（如图），在有理数范围内，这三部分可将
全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3 种情况：（1）
2
x
-
<
；（2）2
1
x
- £
< ；（3）
1
x ³ ．从而化简代
数式
1
2
x
x
-
+
+
可分以下3 种情况：
（1）当
2
x
-
<
时，原式
1
2
2
1
x
x
x
= -
-
-
+
= -
- ；
（2）当2
1
x
- £
< 时，原式
1
2
3
x
x
= -
-
+
+
=
；
（3）当
1
x ³ 时，原式
1
2
2
1
x
x
x
=
- +
+
=
+ ．
综上讨论，原式
2
1
2
3
2
1
2
1
1
x
x
x
x
x
ì-
-
< -
ï
=
- £
<
í
ï
+
³
î
．
通过以上阅读，请你解决以下问题：
(1)直接写出2
4
x +
和
4
x -
的零点值分别为______和______；
(2)化简代数式2
4
4
x
x
+
-
-
；
(3)解方程2
4
4
9
x
x
+
-
-
=
．
【答案】(1) 2
- ，4
(2)原式
8(
2)
3 ( 2
4)
8(
4)
x
x
x
x
x
x
- -
< -
ì
ï
=
- £
<
í
ï
+
³
î
(3)
17
x = -
或
3
x =
【分析】本题主要考查绝对值及一元一次方程，理解零点及化简带绝对值的代数式的方法是解答本题的关键．
（1）阅读材料，根据零点值的求法，即绝对值里面的代数式等于0 ，即可解答；
（2）根据阅读材料中，化简绝对值的代数式的方法，根据x 的取值范围，分为三种情况，根据绝对值的性
质解答即可；
（3）根据（2）中的化简结果列方程求解即可．
【详解】（1）解：分别令2
4
0
x +
=
和
4
0
x -
=
，
解得
2
x = - 和
4
x =
，
则2
4
x +
和
4
x -
的零点值分别为2
- 和4 ；
（2）解：由（1 ）知2
4
x +
和
4
x -
的零点值分别为2
- 和4 ；
①当
2
x
-
<
时，原式
(2
4)
(4
)
2
4
4
8
x
x
x
x
x
= -
+
-
-
= -
-
-
+
= - - ；
②当2
4
x
- £
<
时，原式
2
4
(4
)
3
x
x
x
=
+
-
-
=
；
③当
4
x ³
时，原式
2
4
(
4)
8
x
x
x
=
+
-
-
=
+
．
综上讨论，原式
8(
2)
3 ( 2
4)
8(
4)
x
x
x
x
x
x
- -
< -
ì
ï
=
- £
<
í
ï
+
³
î
；
（3）解：当
2
x
-
<
时，原方程即为
8
9
x
- -
=
，解得
17
x = -
当2
4
x
- £
<
时，原方程即为3
9
x =
，解得
3
x =
当
4
x ³
时，原方程即为
8
9
x +
=
，解得
1
x = ，不符合题意，舍去．
所以，原方程分解为
17
x = -
或
3
x =
▌题型07 |a|/a 型绝对值化简
【典例7】（25-26 七年级上·云南昆明·阶段检测）在学习一个数的绝对值过程中，化简a 时，可以这样分类：
当
0
a >
时，a
a
=
，当
0
a =
时，
0
a =
；当
0
a <
时，a
a
= - ．请用这种方法解决下列问题．
(1)当
5
a =
时，则
a
a = ；当
3
a = - 时，则
a
a = ．
(2)已知a ，b 是有理数，当
0
ab <
时，试求
a
b
a
b
-
的值．
(3)已知a ，b ，c 都不等于零，且
a
b
c
abc
a
b
c
abc
+
+
-
的最大值是m ，最小值为n ，求
m
n
mn 的值．
【答案】(1)1；1
-
(2)2 或2
-
(3) 1
-
【分析】此题主要考查了绝对值的意义和有理数的混合运算，
（1）直接将
5
a =
，
3
a = - 代入求出答案；
（2）分
0,
0
a
b
>
<
或
0,
0
a
b
<
>
两种情况求解即可；
（3）分类讨论求出
a
b
c
abc
a
b
c
abc
+
+
-
的值，从而得出
2,
2
m
n
=
= - ，然后代入
m
n
mn 计算即可．
【详解】（1）解：当
5
a =
时，则
5
5
1
5
5
a
a =
=
= ；
当
3
a = - 时，则
3
3
1
3
3
a
a
-
-
=
=
= -
-
．
故答案为：1；1
- ；
（2）解：因为
0
ab <
，
所以a ，b 异号．
当
0,
0
a
b
>
<
时，
1,
1
a
a
b
b
a
a
b
b
=
=
=
= -
-
，
所以
1 ( 1)
2
a
b
a
b
-
= - -
=
．
当
0,
0
a
b
<
>
时，
1,
1
a
a
b
b
a
a
b
b
=
= -
=
=
-
，
所以
1 1
2
a
b
a
b
-
= - - = - ．
综上可知，
a
b
a
b
-
的值为2 或2
- ；
（3）解：a，b，c 同正，原式
1 1 1 1
2
a
b
c
abc
a
b
c
abc
=
+
+
-
= + + - =
；
a，b，c 同负，原式
1 1 1 1
2
a
b
c
abc
a
b
c
abc
=
+
+
-
= - - - + = -
-
-
-
-
；
a，b，c 两正一负，不妨设
0,
0,
0
a
b
c
>
>
<
，
原式
1 1 1 1
2
a
b
c
abc
a
b
c
abc
=
+
+
-
-
-
= + - + =
；
a，b，c 两负一正，不妨设
0,
0,
0
a
b
c
<
<
>
，原式
1 1 1 1
2
a
b
c
abc
a
b
c
abc
=
+
+
-
= - - + - = -
-
-
．
因为
a
b
c
abc
a
b
c
abc
+
+
-
的最大值是m ，最小值为n ，
所以
2,
2
m
n
=
= - ，
所以
2
2
4
1
2
2
4
m
n
mn
-
=
=
= -
´ -
-
．
【变式1】（25-26 六年级上·山东烟台·期末）在数学学习中，常用到分类讨论的数学方法，以化简x 为
例．当
0
x >
时，x
x
=
；当
0
x =
时，
0
=
x
；当
0
x <
时，x
x
= - ．
知识储备：在小学学过一个非零数字除以它本身等于1，我们学习了用字母表示数，这句话可以表示为
1
0
a
a
a =
¹
求解下列问题：
(1)当
5
x = 时，
x
x 值为_____，当
5
x = - 时，
x
x 的值为_____，当x 为不等于0 的有理数时，
x
x 的值为_____；
(2)已知
0,
0
x
y
z
xyz
+
+
=
>
，求
y
z
x
z
x
y
x
y
z
+
+
+
+
-
的值；
(3)已知：
1
2
2024
2025
,
,
,
,
x x
x
x
L
，这2025 个数都是不等于0 的有理数，若这2025 个数中有n 个正数，
2024
2025
1
2
1
2
2024
2025
x
x
x
x
m
x
x
x
x
=
+
+
+
+
L
，则m 的值为_____．（请用含n 的式子表示）．
【答案】(1)1，1
- ，1
±
(2) 1
- 或3
(3) 2
2025
n -
【分析】本题主要考查了绝对值的性质、代数式求值等知识，理解题意，熟练运用分类讨论的数学方法分析
问题是解题关键．
（1）结合题意，根据绝对值的性质化简求值即可；
（2）首先将原式化简，然后结合题意，分“x 为正数，y，z 为负数”，“y 为正数，x，z 为负数”， “z 为正数，
x，y 为负数”三种情况逐一分析计算即可；
（3）根据题意，这2025 个数中有n 个正数，有
2025
n
-
个负数，然后整理化简即可获得答案．
【详解】（1）解：当
5
x = 时，
5
5
1
5
5
x
x =
=
= ，
当
5
x = - 时，
5
5
1
5
5
x
x
-
-
=
=
= -
-
，
当x 为不等于0 的有理数时，
若
0
x >
，则
1
x
x
x
x
=
= ；
若
0
x <
，则
1
x
x
x
x
=
= -
-
．
即
x
x 的值为1
± ．
故答案为：1，1
- ，1
± ；
（2）解：
0
x
y
z
+
+
=
Q
，
y
z
x
\
+
= - ，x
z
y
+
= - ，x
y
z
+
= - ．
y
z
x
z
x
y
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
+
+
-
-
-
\
+
-
=
+
-
= -
-
+
．
0
xyz >
Q
，
x
\ ，y，z 的正负性可能为：
当为x 正数，y，z 为负数时，原式
1 1 1
1
= - + - = - ；
当为y 正数，x，z 为负数时，原式
1 1 1
1
= - - = - ；
当为z 正数，x，y 为负数时，原式
1 1 1
3
= + + =
．
综上所示，原式的值为1
- 或3；
（3）解：根据题意，这2025 个数中有n 个正数，有
2025
n
-
个负数，
即
2024
2025
1
2
1
2
2024
2025
x
x
x
x
m
x
x
x
x
=
+
+
+
+
L
中有n 个1，有
2025
n
-
个1
- ．
1
2025
2025
2
2025
m
n
n
n
n
n
\
=
+ -
´
-
=
-
+
=
-
．
故答案为：2
2025
n -
．
【变式2】（25-26 七年级上·湖南湘西·阶段检测）已知：
3
2
a
b
b
c
c
a
m
c
a
b
+
+
+
=
+
+
，且
0
a
b
c
+
+
=
，
0
abc >
，求m 可能的值．
【答案】m 的值可能为0 或2
- 或4
- ．
【分析】本题考查了绝对值，有理数的运算．首先根据题意得到a 、b 、c 三数中只有2 负1 正，然后由
0
a
b
c
+
+
=
得到a
b
c
+
= - ，b
c
a
+
= - ，a
c
b
+
= - ，得到
3
2
c
a
b
m
c
a
b
-
-
-
=
+
+
，然后分三种情况讨论求解
即可．
【详解】解：∵
0
abc >
，
0
a
b
c
+
+
=
，
a
\
、b 、c 三数中只有2 负1 正，
0
a
b
c
+
+
=
Q
，
a
b
c
\ +
= - ，b
c
a
+
= - ，a
c
b
+
= - ，
∴
3
2
c
a
b
m
c
a
b
-
-
-
=
+
+
，
∴当
0
a <
，
0
b <
，
0
c >
时，
3
2 1
0
3
2
c
a
b
m
c
a
b
+
=
-
-
-
+
-
=
=
-
；
当
0
a <
，
0
b >
，
0
c <
时，
3
2 1
4
3
2
c
a
b
m
c
a
b
-
= - -
-
+
+
+
=
= -
-
；
当
0
a >
，
0
b <
，
0
c <
时，
3
2 1
2
3
2
c
a
b
m
c
a
b
-
= - +
-
+
+
-
=
= -
-
；
∴m 的值可能为0 或2
- 或4
- ．
【变式3】（25-26 七年级上·吉林长春·期中）请利用绝对值的性质，解决下面问题：
(1)已知a ，b 是有理数，当
0
a >
时，则
a
a =______；当
0
b <
时，则
b
b = ______．
(2)已知a ，b ，c 是有理数，
0
a
b
c
+
+
=
，
0
abc <
，求
b
c
a
c
a
b
a
b
c
+
+
+
+
+
的值．
(3)如果a ，b ，c 是有理数且
0
abc ¹
，那么a
b
c
abc
a
b
c
abc
+
+
-
的值是______．
【答案】(1)1；1
-
(2) 1
-
(3) 2
±
【分析】本题考查了绝对值，有理数的加法，有理数的乘法，掌握相应的运算法则是关键．
（1）根据绝对值的性质化简求值即可；
（2）根据有理数的加法和乘法运算法则可得三个数中必定有两个正数，一个负数，可设
0
a >
，
0
b >
，
0
c <
，再根据绝对值的性质化简求值即可；
（3）分四种情况，根据绝对值的性质化简求值即可．
【详解】（1）解：
0
a >
Q
，
1
a
a
a
a
\
=
= ；
0
b <
Q
，
1
b
b
b
b
\
=
= -
-
；
（2）解：
0
a
b
c
+
+
=
Q
，
b
c
a
\ +
= - ，a
c
b
+
= - ，a
b
c
+
= - ，
由
0
abc <
可知，, ,
a b c 中有一个负数或三个负数；
若, ,
a b c 均为负数，则
0
a
b
c
+
+
<
与
0
a
b
c
+
+
=
矛盾，
故, ,
a b c 中必为两正一负，
分情况讨论：
①
0
a >
，
0
b >
，
0
c <
，
1 1 1
1
b
c
a
c
a
b
a
b
c
a
b
c
a
b
c
+
+
+
-
-
-
\
+
+
=
+
+
= - - + = -
-
；
②
0
a <
，
0
b >
，
0
c >
，
1 1 1
1
b
c
a
c
a
b
a
b
c
a
b
c
a
b
c
+
+
+
-
-
-
\
+
+
=
+
+
= - - = -
-
；
③
0
a >
，
0
b <
，
0
c >
，
1 1 1
1.
b
c
a
c
a
b
a
b
c
a
b
c
a
b
c
+
+
+
-
-
-
\
+
+
=
+
+
= - + - = -
-
综上，
b
c
a
c
a
b
a
b
c
+
+
+
+
+
的值为1
- ；
（3）解：①当a ，b ，c 都为正数时，则原式
1 1 1 1
2
= + + - =
；
②当a ，b ，c 中只有一个负数时，
当a 是负数，则原式
1 1 1 1
2
= - + + + =
；
当b 是负数，则原式
1 1 1 1
2
= - + + =
；
当c 是负数，则原式
1 1 1 1
2
= + - + =
；
③当a ，b ，c 中有两个负数时，
当a ，b 是负数，则原式
1 1 1 1
2
= - - + - = - ；
当a ，c 是负数，则原式
1 1 1 1
2
= - + - - = - ；
当b ，c 是负数，则原式
1 1 1 1
2
= - - - = - ；
④当a ，b ，c 都是负数时，则原式
1 1 1 1
2
= - - - + = - ；
综上所述，所求式子的值是2
± ．
【变式4】（25-26 七年级上·全国·寒假作业）阅读材料：
,
0
0,
0
,
0
x x
x
x
x x
>
ì
ï
=
=
í
ï-
<
î
，即当
0
x >
时，
1
x
x
x
x
=
= ；当
0
x <
时，
1
x
x
x
x
=
= -
-
．用这个结论解决下面的问题：
(1)如果
1
a
a = - ，那么a 的取值范围是 ．
(2) ,a b 是有理数，当
0
ab ¹
时，
b
a
a
b
+
的值为 ．
(3) , ,
a b c 是三个非零的有理数，
0
a
b
c
+
+
=
且
1
abc
abc = - ，求
b
c
a
c
a
b
a
b
c
+
+
+
-
-
的值．
(4) , , ,
a b c d 为四个非零的有理数，求
a
b
c
d
a
b
c
d
+
+
+
的值．
【答案】(1)
0
a <
(2)2 ，0 ，2
-
(3) 1
- 或3
(4)4 ，2 ，0 ，2
- ，4
-
【分析】本题考查绝对值的非负性以及有理数的运算等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题
关键．
（1）根据绝对值性质，当
1
a
a
a
a
-
=
= - 时，判断a 为负；
（2 ）分a
b
、为正负的四种情况，计算
b
a
a
b
+
的值；
（3）由
0
a
b
c
+
+
=
化简式子，结合
1
abc
abc = - 判断a
b
c
、、符号组合求值；
（4 ）分析a
b
c
d
、、、正负的组合，确定
a
b
c
c
a
b
c
a
+
+
+
的可能值．
【详解】（1）解：根据绝对值的定义：当
0
a >
时，
1
a
a
a
a
=
= ；
当
0
a <
时，
1
a
a
a
a
-
=
= - ．
题目中
1
a
a = - ，
∴a 必须满足
0
a <
．
故答案为：
0
a <
；
（2）解：∵
0
ab ¹
∴a 和b 均不为0 ，
a
a 和b
b 的取值均为1或1
- ，分四种情况讨论：
0
a >
，
0
b >
：
1 1
2
b
a
a
b
+
= + =
；
0
a >
，
0
b <
：
1
1
0
b
a
a
b
+
= + -
=
；
0
a <
，
0
b >
：
1 1
0
b
a
a
b
+
= - + =
；
0
a <
，
0
b <
：
1
1
2
b
a
a
b
+
= - + -
= - ．
故答案为：2 ，0 ，2
- ；
（3）解：化简表达式：由
0
a
b
c
+
+
=
，得：
,
,
b
c
a a
c
b a
b
c
+
= -
+
= -
+
= - 代入原式：
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
-
-
-
-
-
= -
+
+
，
分析符号：由
1
abc
abc = - ，得
0
abc <
，即a
b
c
、、中有一个或三个负数．
若有三个负数，则
0
a
b
c
+
+
<
，与
0
a
b
c
+
+
=
矛盾，故恰有一个负数，
假设
0,
0,
0
a
b
c >
，则：
1
1 1
3
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
-
-
-
-
-
= -
+
+
= - -
+ + =
，
假设
0,
0,
0
b
a
c >
，则：
1 1 1
1
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
-
-
-
-
-
= -
+
+
= - - + = - ，
假设
0,
0,
0
c
a
b >
，则：
1 1 1
1
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
-
-
-
-
-
= -
+
+
= - + - = - ，
最后化简的值均为1
- 或3，
因此，原式值为1
- 或3．
（4）解：
a
b
c
d
a
b
c
d
+
+
+
当, , ,
a b c d 全为正，值为1 1 1 1
4
+ + + =
；
当三正一负，值为
1 1 1
1
2
+ + + -
=
；
当两正两负，值为
1 1
1
1
0
+ + -
+ -
=
；
当一正三负，值为
1
1
1
1
2
+ -
+ -
+ -
= -
当全为负，值为
1
1
1
1
4
- + -
+ -
+ -
= - ，
所以值为4
± 或2
± 或0 ．
故答案为：4 ，2 ，0 ，2
- ，4
- ．
▌题型08 绝对值的最值问题
【典例8】（24-25 七年级上·重庆·期中）若
2
3
4
5
M
x
N
x
x
M
=
+
+
=
-
+
-
，
，
的最小值与N 的最小值分别
为（ ）
A．2，4
B．2，1
C．3，5
D．3，1
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值的非负性，数轴上两点间的距离，由绝对值的非负性可求出M 的最小值，由数
轴上两点间的距离可求出N 的最小值．
【详解】解：∵
2
0
x +
³
，
∴
2
3
3
M
x
=
+
+
³
，即M 的最小值为3；
∵
4
5
x
x
-
+
-
表示数轴上数x 对应的点到数4 和5 对应点的距离之和，这个和的最小值是5
4
1
-
= ，
∴N 的最小值为1．
故选D．
【变式1】（24-25 七年级上·江苏南京·阶段检测）已知a 是一个有理数，则关于3
1
a
-
+
的值的说法，正确
的是（ ）
A．有最小值2
B．有最大值2
C．有最小值3
D．有最大值3
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值的性质．根据绝对值的非负数的性质解答即可．
【详解】解：∵
1
0
a +
³
，
∴
1
0
a
-
+
£
，
∴3
1
3
a
-
+
£
，
∴3
1
a
-
+
有最大值3，
故选：D．
【变式2】（26-27 七年级·全国·小升初衔接）（1）若
6
m -
有最小值，则当m = __________时，取最小值，
最小值为____________．
（2）若
2
6
0
m
n
-
+
-
=
，则m = ___________，n = __________．
（3）5
m
-
有最_________（填“大”或“小”）值，这个最（大）小值是____________．
【答案】
6
0
2
6
大
5
【分析】本题主要考查了绝对值的非负数：
（1）根据
6
0
m -
³
得到若
6
m -
有最小值，则
6
0
m -
=
，据此可得答案；
（2）根据绝对值的非负性可得
2
6
0
m
n
-
=
-
=
，则
2
0
6
0
m
n
-
=
-
=
，
，据此可得答案；
（3）根据绝对值的非负性可得5
5
m
-
£
，据此可得答案．
【详解】解：（1）∵
6
0
m -
³
，
∴若
6
m -
有最小值，则
6
0
m -
=
，
∴
6
0
m -
=
，
∴
6
m =
，
∴当
6
m =
时，
6
m -
取最小值，最小值为0，
故答案为：6；0；
（2）∵
2
6
m
n
-
+
-
，
2
0
6
0
m
n
-
³
-
³
，
，
∴
2
6
0
m
n
-
=
-
=
，
∴
2
0
6
0
m
n
-
=
-
=
，
，
∴
2
6
m
n
=
=
，
，
故答案为：2；6；
（3）∵
0
m ³
，
∴
0
m
-
£
，
∴5
5
m
-
£
，
∴5
m
-
有最大值，最大值为5，
故答案为：大；5．
【变式3】（25-26 七年级上·四川成都·阶段检测）若
3
6
9
x
x
+
+
-
=
，则x 的最小值为__________；若
3
6
x
x
m
x
+
+
-
+
-
的最小值为11，则m 的值为__________．
【答案】
3
-
5
- 或8/8 或5
-
【分析】本题考查绝对值意义，一元一次方程的应用，理解绝对值的几何意义，掌握解一元一次方程的步骤，
利用分类讨论思想解题是关键．
根据两点间距离的意义可求出x 的值；分
3, 3
6,
6
m
m
m
< -
- £
£
>
三种情况，结合绝对值的意义可求出m 的
值．
【详解】解：∵
3
6
x
x
+
+
-
表示数x 表示的点到数3
- 和6 表示的点的距离之和，且
6
3
6
3
9
- -
=
+
=
，
∴当3
6
x
- £
£
时，
3
6
9
x
x
+
+
-
=
，
∴x 的最小值为3
- ；
∵
3
6
x
x
m
x
+
+
-
+
-
可以看作数轴上表示m 表示的点到数3
- ，6 和m 表示的点的距离之和，且
3
6
x
x
m
x
+
+
-
+
-
的最小值为11，
①当
3
m
-
<
时，则
3
x
-
=
时，原式有最小值11，
此时
3
6
3
3
3
3
6
0
3
9
11
x
x
m
x
m
m
+
+
-
+
-
= - +
+ - -
+ - -
=
- -
+
=
，
解得
5
m
-
=
；
②当3
6
m
- £
£
时，则x
m
=
时，原式有最小值11，
此时
3
6
3
6
3
0
6
11
x
x
m
x
m
m
m
m
m
m
+
+
-
+
-
=
+
+
-
+
-
=
+ +
-
+
=
，
此时方程无解；
③当
6
m >
时，则
6
x =
时，原式有最小值11，
此时
3
6
6
3
6
6
6
9
6
0
11
x
x
m
x
m
m
+
+
-
+
-
=
+
+
-
+
-
=
+
-
+
=
，
解得
8
m =
；
综上，m 的值为5
- 或8，
故答案为：3
- ；5
- 或8．
【变式4】（24-25 七年级上·江苏盐城·阶段检测）数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记
作a ，数轴上表示数a 的点与表示数b 的点距离记作a
b
-
：
(1)数轴上表示x 和3 的两点A 和B 之间的距离是______；如果
2
AB =
，那么x 为______；
(2)当x 满足条件______时，
1
3
x
x
+
+
-
取最小值，最小值是______；
(3)当x 满足条件______时，
1
3
7
x
x
x
+
+
-
+
+
取最小值，最小值是______；
(4)
1
2
3
x
x
+
+
-
的最小值是______；
(5) 1
1
1
1
2
3
x
x
-
+
+
的最小值是______．
【答案】(1)|
3|
x -
；5 或1
(2) 1
3
x
- £
£ ；4
(3)
1
x = - ；10
(4)4
(5) 5
3
【分析】本题考查的是两点间的距离公式，解题的关键明白两点间的距离就是两点表示的两个数差的绝对值．
（1）利用两点间的距离公式求解即可；
（2）当有两个点时，距离和最小，就取以这两点为端点的线段上的任意点；
（3）当有三个点时，距离和最小，就取中间的点；
（4）化为一个点到多个点的距离和最小形式，根据求一个点到多个点距离和最小时，取中间的点，和最小
即可求解；
（5）化为一个点到多个点的距离和最小形式，根据求一个点到多个点距离和最小时，取中间的点，和最小
即可求解．
【详解】（1）解：
|
3|
AB
x
=
-
，
2
AB =
Q
，
|
3| 2
x
\
-
=
，
5
x
\
=
或
1
x = ；
故答案为：|
3|
x -
；5 或1；
（2）解：
1
3
( 1)
3
x
x
x
x
+
+
-
=
- -
+
-
表示x 到1
- ，3 这两个数的距离的和，
当1
3
x
- £
£ 时，到这两个数的距离的和最小，
最小值为|
1|
|
3|
1 3
4
x
x
x
x
+
+
-
=
+ + -
= ；
故答案为：1
3
x
- £
£ ；4；
（3）解：
1
3
7
7
1
3
x
x
x
x
x
x
+ +
-
+
+
=
+
+
+
+
-
表示到7
- ，1
- ，3 这三个数的距离的和，
当x 取中间数1
- 时，到三个数的距离的和最小，
最小值为| 1
( 7) |
| 3
( 1) | 6
4
10
- - -
+
- -
=
+
=
；
故答案为：
1
x = - ；10；
（4）
1
2
3
x
x
+
+
-
1
3
3
x
x
x
=
+
+
-
+
-
同理（3）得：当
3
x =
时，
1
3
3
x
x
x
+
+
-
+
-
取最小值4，
（5）解：1
1
1
1
2
3
x
x
-
+
+
1
1
2
3
2
3
x
x
=
-
+
+
1 (3
2
2
3)
6
x
x
=
-
+
+
1 (
2
2
2
3
3)
6 x
x
x
x
x
=
-
+
-
+
-
+
+
+
+
同理（3）得：当
2
x =
时，1
5
(
2
2
2
3
3)
6
3
x
x
x
x
x
-
+
-
+
-
+
+
+
+
=
，
即1
1
1
1
2
3
x
x
-
+
+ 的最小值是5
3 ．
▌题型09 与绝对值有关的新定义问题
【典例9】（25-26 七年级上·四川南充·期末）对于任意有理数x ，定义它的“对称差”为：
Δ x
x
x
=
-
，例
如：
Δ 3
3
3
0,Δ
2
2
2
4
=
-
=
-
= - - -
=
．若
Δ
8
a =
，则a 的值为（ ）
A．4
-
B．2
-
C．6
-
D．1
-
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次方程，对新定义的理解能力，分当
0
a ³
时和当
0
a <
时两种情况，根据“对称
差”的定义讨论求解即可．
【详解】∵
Δ
8
a
a
a
=
-
=
，
当
0
a ³
时，a
a
=
，
Δ
0
a
a
a
=
-
=
，与
Δ
8
a =
矛盾，
∴
0
a <
，
当
0
a <
时，a
a
= - ，
∴
Δ
2
2
a
a
a
a
a
=
- -
=
= -
，
∴2
8
a
-
=
，
∴
4
a = - ．
故选：A．
【变式1】（25-26 七年级上·福建龙岩·阶段检测）定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，都有
a
b
a
b
a
b
=
-
+
+
æ
．下列结论正确的是_____________
①若
0
a
b =
æ
，则
0
a
b
=
=
；②
2
a
a
a
-
=
æ
；③若a，b 异号，则
2
a
b
a
=
æ
或
2
a
b
b
=
æ
；
④对于任意有理数, ,
a b c ，总有
a
b
c
a
b
a
c
+
=
+
æ
æ
æ
；
【答案】①③/③①
【分析】本题考查新定义运算，涉及绝对值的性质．需逐一验证每个结论的正确性．
【详解】解：对于结论①：若
0
a
b =
æ
，则
0
a
b
a
b
-
+
+
=
．
由于绝对值非负性，故
0
a
b
-
=
且
0
a
b
+
=
，
即
0
a
b
-
=
且
0
a
b
+
=
，
解得
0,
0
a
b
=
=
，
因此结论①正确．
对于结论②：
2
0
2
a
a
a
a
a
a
a
a
-
=
- -
+
+ -
=
+
=
æ
．
当
0
a <
时，2
2
2
a
a
a
= -
¹
，因此结论②错误．
对于结论③：若 a，b 异号．
当a
b
>
时，
2
a
b
a
=
æ
；
当a
b
<
时，
2
a
b
b
=
æ
；
当a
b
=
时，
2
2
a
b
a
b
=
=
æ
．
因此
2
a
b
a
=
æ
或2 b ，
综上，结论③正确．
对于结论④：取
2,
1,
1
a
b
c
=
=
= - ，
则
2
0
4
a
b
c
+
=
=
æ
æ
，
而
2
1
2
1
4
4
8
a
b
a
c
+
=
+
-
=
+
=
æ
æ
æ
æ
，两者不相等，因此结论④错误．
故答案为：①③．
【变式2】（25-26 七年级上·北京·期末）对任意两个有理数a，b 定义一种新运算：
4
a
b
a
b
a
b
+
-
-
=
e
．
(1)计算：
3
1
-
=
e
______；
(2)有下列四个结论（括号的作用与它在有理数运算中的作用相同）：
①a
b
b
a
=
e
e ；
②
a
b
b
a
-
-
= -
e
e
；
③
2
a
b
a
c
a
b
c
+
+
=
e
e
e
；
④
1
1
2
2
a
b
c
a
b
c
æ
ö
æ
ö
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
e
e
e
e
．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】(1)
1
2
-
(2)①④
【分析】本题考查了新运算定义，绝对值的化简及整式的化简．
（1）直接代入新运算定义计算；
（2）利用新运算分别计算各式子，逐一验证各结论．
【详解】（1）解：根据定义
4
a
b
a
b
a
b
+
-
-
=
e
，代入得
3
1
3
1
2
4
1
3
1
4
4
2
+ -
-
- -
-
-
=
=
= -
e
，
故答案为：
1
2
-
．
（2）解：结论①：
4
a
b
a
b
a
b
+
-
-
=
e
，
4
b
a
b
b
a
a
+
-
-
=
e
，
∵b
a
a
b
-
=
-
，
∴a
b
a
b
b
a
b
a
+
-
-
=
+
-
-
，
∴a
b
b
a
=
e
e ，正确；
结论②：
4
4
a
b
a
b
a
b
b
a
a
b
- + -
- - - -
- -
-
-
-
-
=
=
e
，
4
b
a
b
a
b
a
- -
+
-
-
=
e
，
4
a
b
b
a
- -
-
-
与
4
b
a
b
a
- -
+
-
，仅当
0
b
a
-
=
，即a
b
=
时相等，一般情况下不相等，错误；
结论③：
4
4
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
+
+ -
-
+
+
+ -
-
-
+
=
=
e
，
2
4
4
2
2
8
a
b
a
b
a
c
a
c
a
b
c
a
b
a
c
a
b
a
c
+
-
-
+ -
-
+
+
+ -
-
-
-
+
=
=
e
e
，
4
4
2
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
b
c
+
+ -
-
-
+
+ -
-
-
+
=
=
，
2
8
4
a
b
c
a
b
a
c
b
c
+
+ -
-
-
-
+
=
，
∴
2
4
b
c
b
c
+
+
¹
，
仅当
1
a = ，
2
b =
，
3
c =
时，
2
4
8
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
a
c
+
+ -
-
-
+
+ -
-
-
-
=
，一般情况下不相等，错误；
结论④：
1
1
4
2
4
2
1
2
4
a
b
a
b
a
b
a
b
c
c
a
b
c
+
-
-
+
-
-
+
-
-
æ
ö =
ç
÷
è
ø
e
e
，
1
1
2
4
2
4
1
2
4
b
c
b
c
b
c
b
c
a
a
a
b
c
+ -
-
+ -
-
+
-
-
æ
ö
=
ç
÷
è
ø
e
e
，
1
1
4
2
4
2
4
4
a
b
a
b
a
b
a
b
c
c
c
+
-
-
+
-
-
+
-
-
=
，
1
1
2
4
2
4
4
4
b
c
b
c
b
c
b
c
a
a
c
+ -
-
+ -
-
+
-
-
=
，
∴4
4
c
c
=
，正确，
∴正确结论的序号是①④，
故答案为：①④．
【变式3】（25-26 七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算：a
b
a
b
a
b
Å
=
+
-
+
．
(1)计算
4
1
Å -
的值；
(2)已知有理数a
b
、在数轴上满足
0,
0,
a
b
a
b
<
>
>
，化简a
b
Å
．
【答案】(1)
4
1
2
Å -
=
；
(2)
2
a
b
b
Å
=
【分析】（1）根据新定义求解即可；
（2）先判断a
b
+
的范围，再根据新定义求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
4
1
Å -
4
1
4
1
=
+ - -
+ -
4 1 3
=
+ -
2
=
；
（2）解：∵
0,
0,
a
b
a
b
<
>
>
，
∴
0
a
b
+
<
，
∴a
b
Å
a
b
a
b
=
+
-
+
a
b
a
b
= - +
- - -
a
b
a
b
= - +
+
+
2b
=
．
【变式4】（24-25 七年级上·浙江杭州·期中）对于任意有理数m，n 定义一种新运算：
m
n
n
m
m
n
Å
=
-
-
+
．
(1)若
6
a = - ，
7
b =
，求a
b
Å
的值；
(2)已知点A，点B 在数轴上表示的数分别为1
- ，x，且A，B 两点的距离是7，y 是
5
- - -
é
ù
ë
û 的相反数，求
1
x
y
Å
Å -
的值．
【答案】(1)12
(2) 20
-
或2
-
【分析】本题主要考查了新定义运算、实数加减运算、数轴、相反数的定义．掌握新定义运算规则及实数加
减法运算法则是解题的关键，同时，需注意“分类讨论”思想的运用．
（1）根据新定义运算公式将
6
a = - ，
7
b =
代入定义公式进行加减运算即可；
（2）根据数轴上两点间的距离及相反数的定义求解出x ，y 的值，然后，根据定义公式及“分类讨论”思想的
运用，依次计算出运算结果即可．
【详解】（1）解：
m
n
n
m
m
n
Å
=
-
-
+
Q
，
6
a = - ，
7
b =
，
6
7
7
6
6
7
13 1
12
a
b
é
ù
\ Å
= -
Å
=
- -
- - +
=
- =
ë
û
；
（2）∵点A，点B 在数轴上表示的数分别为1
- ，x，且A，B 两点的距离是7，
1
7
x
\ - -
=
，
8
x
\
= - 或
6
x =
．
y
Q
是
5
- - -
é
ù
ë
û 的相反数，且
5
5
- - -
= -
é
ù
ë
û
，
5
y
\
=
．
当
8
x = - 时，
8
5
5
8
8
5
13
3
10
x
y
Å
= -
Å
=
- -
- - +
=
-
=
é
ù
ë
û
，
1
10
1
1 10
10
1
11 9
20
x
y
\
Å
Å -
=
Å -
= - -
-
+ -
= -
-
= -
，
当
6
x =
时，
6
5
5
6
6
5
1
11
12
x
y
Å
=
Å
=
-
-
+
= -
-
= -
，
1
12
1
1
12
12
1
11 13
2
x
y
\
Å
Å -
= -
Å -
= - - -
- -
+ -
=
-
= -
é
ù
ë
û
．
综上所述，
1
x
y
Å
Å -
的值为20
-
或2
- ．
▌题型10 数轴与绝对值综合问题
【典例10】（25-26 七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
【阅读】5
2
-
表示5 与2 差的绝对值，也可理解为5 与2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离；5
2
+
可
以看作
5
2
- -
，表示5 与2
- 的差的绝对值，也可理解为5 与2
- 两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】（1）数轴上表示3
- 和2 的两点之间的距离是____；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的
距离等于m
n
-
．如果表示数a 和1
- 的两点之间的距离是3，那么a 的值为____．
（2）若
3
2
a-
=
，
2
1
b +
= ，且数a ，b 在数轴上表示的点分别是点A 、点B ，则A ，B 两点间的最大距离
是____，最小距离是____．
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x ，使得
2
5
7
x
x
+
+
-
=
，这些点表示的数的和是____．
【应用】（4）小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作x ，妈妈上
班地点记作1，小明学校记作2 ，那么距离和
1
2
x
x
- +
-
的最小值是____．
【拓展】（5）
1
2
3
4
10
x
x
x
x
x
- +
-
+
-
+
-
+
+
-
L
的最小值是____．
【答案】（1）5 ，4
- 或2 ；（2 ）8 ，2 ；（3）12；（4 ）1；（5 ）25．
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值，解题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值
符号，解题过程中要注意分类讨论．
（1）根据绝对值的意义即可求解；
（2 ）由
3
2
a -
=
，
2
1
b +
= ，得
5
a =
或
1
a = ，
1
b = - 或
3
b = - ，当
5
a =
，
3
b = - 时，A ，B 两点间有最大
距离；当
1
a = ，
1
b = - 时，A ，B 两点间有最小距离；
（3）当
2
5
7
x
x
+
+
-
=
，则有2
5
x
- £
£
，然后求出整数点x 的值，再相加即可；
（4 ）当1
2
x
£
£
时，距离和
1
2
x
x
- +
-
有最小值，再利用两点之间的距离即可求解；
（5 ）当5
6
x
£
£
时，距离和
1
2
3
4
10
x
x
x
x
x
- +
-
+
-
+
-
+
+
-
L
有最小值，再利用两点之间的距离即可
求解．
【详解】解：（1）数轴上表示3
- 和2 的两点之间的距离是
3
2
5
- -
=
，
表示数a 和1
- 的两点之间的距离是3，则有
1
3
a - -
=
，
∴
4
a = - 或
2
a =
，
故答案为：5 ，4
- 或2 ；
（2 ）∵
3
2
a -
=
，
2
1
b +
= ，
∴
5
a =
或
1
a = ，
1
b = - 或
3
b = - ，
∴当
5
a =
，
3
b = - 时，A ，B 两点间有最大距离
5
3
8
- -
=
，
当
1
a = ，
1
b = - 时，A ，B 两点间有最小距离
1
1
2
- -
=
，
故答案为：8 ，2 ；
（3）∵
2
5
7
x
x
+
+
-
=
，
∴2
5
x
- £
£
，
∴符合条件的整数点x 的值为2
- ，1
- ，0 ，1，2 ，3，4 ，5 ，
∴点表示的数的和是
2
1
0
1
2
3
4
5
12
- + -
+
+ +
+
+
+
=
，
故答案为：12；
（4 ）由
1
2
x
x
- +
-
表示x 与1，2 的距离之和，
当1
2
x
£
£
时，距离和
1
2
x
x
- +
-
有最小值2 1
1
-
= ，
故答案为：1；
（5 ）当5
6
x
£
£
时，距离和
1
2
3
4
10
x
x
x
x
x
- +
-
+
-
+
-
+
+
-
L
有最小值，为
10 1
9
2
8
3
7
4
6
5
9
7
5
3 1
25
- +
-
+
-
+
-
+
-
=
+
+ + + =
，
故答案为：25．
【变式1】（25-26 七年级上·安徽合肥·期中）阅读材料1：对数轴上的点P 进行如下操作：将点P 沿数轴水
平方向，以每秒m 个单位长度的速度，向右平移n 秒，得到点P¢，称这样的操作为点P 的“ m 速移”， 点P¢
称为点P 的“ m 速移”点．
阅读材料2 ：若点M
N
、
表示的数分别为1 3
- 、，则线段MN 的长度可以这样计算：
1 3
4
- -
=
或3
( 1)
4
- -
=
，
那么当点M
N
、
表示的数分别为m
n
、时，线段MN 的长度可以表示为m
n
-
或n
m
-
．
(1)当
1
m = ，
3
n =
时，
①如果点A 表示的数为5
- ，那么点A 的“ m 速移”点A¢表示的数为 ；
②点B 的“ m 速移”点B¢表示的数为4 ，那么点B 表示的数为 ；
(2)数轴上的点M 表示的数为1，C 表示的数为x ，点C 向右平移3秒，得到点C 的“2 速移”点C¢ ，那么C M
¢
的长度可以表示为 ；
(3)数轴上E
F
，
两点间的距离为2026 ，且点E 在点F 的左侧，点E
F
，
通过“2 速移”分别向右平移1t ，2t 秒得
到点E¢ ，F¢，如果
2
E F
EF
¢ ¢ =
，请直接用等式表示1t ，2t 的数量关系．
【答案】(1)①2
- ；②1
(2)
5
x +
(3) 1
2
3039
t
t
-
=
或2
1
1013
t
t
-
=
【分析】（1）根据“ m 速移”点定义及数轴上两点间距离公式解答即可；
（2 ）根据“ m 速移”点定义及数轴上两点间距离公式解答即可；
（3）设点E
F
，
在数轴上表示的数为a ，则点F 在数轴上表示的数为
2026
a +
，再根据“ m 速移”点定义及数
轴上两点间距离公式解答即可；
本题数轴与有理数，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，理解新定义是解题的关键．
【详解】（1）解：①由题意可得，点A¢表示的数为5 1 3
2
- + ´ = - ，
故答案为：2
- ；
②由题意可得，点B 表示的数为4 1 3
1
- ´ = ，
故答案为：1；
（2）解：由题意可得，点C¢ 表示的数为
2 3
6
x
x
+ ´
=
+
，
∴C M
¢
的长度可以表示为
6 1
5
x
x
+
-
=
+
，
故答案为：
5
x +
；
（3）解：设点E 在数轴上表示的数为a ，则点F 在数轴上表示的数为
2026
a +
，
∴点E¢ ，F¢在数轴上表示的数分别为
1
2
a
t
+
，
2
2026
2
a
t
+
+
，
∵
2
E F
EF
¢ ¢ =
，
∴
2
1
2026
2
2
2 2026
a
t
a
t
+
+
-
+
=
´
，
即
2
1
2026
2
2
4052
t
t
+
-
=
，
∴
2
1
2026
2
2
4052
t
t
+
-
= -
或
2
1
2026
2
2
4052
t
t
+
-
=
，
∴1
2
3039
t
t
-
=
或2
1
1013
t
t
-
=
．
【变式2】（25-26 七年级上·江西赣州·期中）【阅读材料】借助数轴能更好地理解绝对值的几何意义．
数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a ．
如：5 表示数轴上5 这个点与原点的距离，即5
5
=
．
一般地，数轴上表示数m 的点与表示数n 的点之间的距离等于m
n
-
．
如：数轴上表示3 的点与表示2
- 的点之间的距离为
3
2
5
- -
=
．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)数轴上表示5
- 的点与表示3 的点之间的距离是________；数轴上表示x 的点与表示2 的点之间的距离可
以表示为________；若
2
5
x
=
，则x =________．
(2)【拓展延伸】
①若
1
3
4
x
x
+
+
-
=
，求x 的取值范围；
②对于实数x，
2
1
4
x
x
x
+
+
-
+
-
的最小值是________，此时x =________．
【方法指导】
对于问题（2），
1
3
x
x
+
+
-
可以理解为：数轴上表示数x 的点到表示1
- 的点和到表示3 的点的距离之和．
要使这个距离之和等于4，x 应该取什么位置呢？
(3)综合应用：江西某快递公司在一条东西走向的街道上设置配送点，该街道上有A，B，C，D，E 五个小区，
它们在数轴上对应的位置如图所示（单位：百米）：
若快递公司只能在其中一个小区设配送点，为使配送点到五个小区的距离之和最小，应选择在哪个小区设置
配送点？请说明理由．
【答案】(1)8，
2
x -
，7 或3
-
(2)①x 的取值范围是1
3
x
- £
£ ；②6，1；x 应该取1
- 和3 之间的位置（包括1
- 和3）
(3)应该选择在小区C 设置配送点，理由：
设在小区A，B，C，D，E 设配送点，距离之和分别为：
小区A ：
4
4
4
1
4
0
4
2
4
5
0
3
4
6
9
22
- - -
+ - - -
+ - -
+ - -
+ - -
=
+ +
+
+
=
，
小区B ：
1
4
1
1
1 0
1
2
1 5
3
0 1 3
6
13
- - -
+ - - -
+ - -
+ - -
+ - -
=
+
+ + +
=
，
小区C ：
0
4
0
1
0
0
0
2
0
5
4 1
0
2
5
12
- -
+
- -
+
-
+
-
+
-
=
+ +
+
+
=
，
小区D ：
2
4
2
1
2
0
2
2
2
5
6
3
2
0
3
14
- -
+
- -
+
-
+
-
+
-
=
+ +
+
+
=
，
小区E ：
5
4
5
1
5
0
5
2
5
5
9
6
5
3
0
23
- -
+
- -
+
-
+
-
+
-
=
+
+
+ +
=
，
因为12
13
14
22
23
<
<
<
<
，
所以应该选择在小区C 设置配送点．
【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，绝对值的应用，熟练掌握绝对值的几何
意义是解题的关键．
（1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解前两空；第三空根据绝对值的概念求解即可；
（2）根据数轴上的两点距离的几何意义可直接进行求解；
（3）设在小区A，B，C，D，E 设配送点，分别计算相应的距离之和，即可得到答案．
【详解】（1）解：数轴上表示5
- 的点与表示3 的点之间的距离是
5
3
8
- -
=
；
数轴上表示x 的点与表示2 的点之间的距离可以表示为
2
x -
；
若
2
5
x
=
，则
2
5
x -
=
或
2
5
x -
= - ，
所以
7
x =
或
3
x
-
=
．
故答案为：8；
2
x -
；7 或3
- ．
（2）解：①由题意知，
1
3
4
x
x
+
+
-
=
即数轴上表示x 的点到1
- 和3 两点的距离之和为4，
而1
- 与3 之间的距离为4，
所以x 的取值范围是1
3
x
- £
£ ；
②
2
1
4
x
x
x
+
+
-
+
-
表示数轴上表示x 的点到2
- ，1 和4 三点的距离之和
当表示x 的点正好在表示1 的点处时，三个距离之和最小，最小值是6，此时
1
x = ．
故答案为：6；1．
1
3
x
x
+
+
-
可以理解为：数轴上表示数x 的点到表示1
- 的点和到表示3 的点的距离之和，要使这个距离之
和等于4，x 应该取1
- 和3 之间的位置（包括1
- 和3）．
（3）略
【变式3】（25-26 七年级上·河南漯河·期末）如图：数轴上A ，B ，C 三点分别表示的数为4
- 、4 、7 ，点
P 表示的数为x ．
【阅读材料】：在数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做a 的绝对值，记为a ，数轴上表示数a 的点与表示
数b 的点的距离记为a
b
-
（或b
a
-
），数轴上数x 表示的点到表示数a 的点与表示数b 的点的距离之和记
为x
a
x
b
-
+
-
．
(1)填空：BC = ______；AB = ______；
(2)若点Q 表示的数为y ，当
2
4
8
y
y
y
+
+
-
+
-
取最小值时，y =_____；
(3)动点M 从点A 出发，以每秒0.5个单位长度的速度向右运动，求当经过多少秒时，点M 到点B 、点C 的
距离之和为8 ．
【答案】(1)3，8
(2)4
(3)11或27
【分析】本题主要考查整式的加减运算，绝对值、数轴上两点之间的距离公式．
(1)根据阅读材料中数轴上两点之间的距离公式计算即可；
(2)根据x 的取值范围，分情况去掉绝对值符号，计算
2
4
8
y
y
y
+
+
-
+
-
的取值范围，得出当
2
4
8
y
y
y
+
+
-
+
-
取最小值时y 的值；
(3)设运动t 秒时，点M 表示的数为4
0.5t
- +
，根据数轴上两点之间的距离公式分情况求出t 的值．
【详解】（1）解：Q数轴上A ，B ，C 三点分别表示的数为4
- 、4 、7 ，
7
4
3
3
BC
\
=
-
=
=
，
4
4
8
8
AB = - -
= -
=
，
故答案为：3，8 ；
（2）解：当
2
y < - 时，
可得：
2
0
y +
<
，
4
0
y -
<
，
8
0
y -
<
，
2
4
8
y
y
y
\
+
+
-
+
-
2
4
8
y
y
y
é
ù
é
ù
= -
+
+ -
-
+ -
-
ë
û
ë
û
2
4
8
y
y
y
= - -
-
+
-
+
3
10
y
= -
+
，
2
y < -
Q
，
3
6
y
\-
>
，
3
10
6 10
16
y
\-
+
>
+
=
；
当2
4
y
- £
<
时，
可得：
2
0
y +
³
，
4
0
y -
<
，
8
0
y -
<
，
2
4
8
y
y
y
\
+
+
-
+
-
2
4
8
y
y
y
é
ù
é
ù
=
+
+ -
-
+ -
-
ë
û
ë
û
2
4
8
y
y
y
=
+
-
+
-
+
14
y
= - +
，
2
4
y
- £
<
Q
，
4
2
y
\- < -
£
10
14
16
y
\
< - +
£
；
当4
8
y
£
<
时，
可得：
2
0
y +
³
，
4
0
y -
³
，
8
0
y -
<
，
2
4
8
y
y
y
\
+
+
-
+
-
2
4
8
y
y
y
é
ù
=
+
+
-
+ -
-
ë
û
2
4
8
y
y
y
=
+
+
-
-
+
6
y
=
+
，
4
8
y
£
<
Q
，
10
6
14
y
\
£
+
<
；
当
8
y ³
时，
可得：
2
0
y +
³
，
4
0
y -
³
，
8
0
y -
>
，
2
4
8
y
y
y
\
+
+
-
+
-
2
4
8
y
y
y
=
+
+
-
+
-
2
4
8
y
y
y
=
+
+
-
+
-
3
10
y
=
-
，
8
y ³
Q
，
3
10
14
y
\
-
³
；
综上所述，当
4
y =
时，
2
4
8
y
y
y
+
+
-
+
-
取最小值，最小值为10，
故答案为：4 ；
（3）解：设运动t 秒时，点M 表示的数为4
0.5t
- +
，
则
4
0.5
4
0.5
8
MB
t
t
= - +
-
=
-
，
4
0.5
7
0.5
11
MC
t
t
= - +
-
=
-
，
Q点M 到点B 、点C 的距离之和为8 ，
0.5
8
0.5
11
8
t
t
\
-
+
-
=
，
当
16
t <
时，
可得：0.5
8
0
t -
<
，0.5
11
0
t -
<
，
0.5
8
0.5
11
0.5
8
0.5
11
19
8
t
t
t
t
t
\
-
+
-
= -
+ -
+
= - +
=
，
解得：
11
t =
；
当16
22
t
£ £
时，
可得：0.5
8
0
t -
³
，0.5
11
0
t -
£
，
0.5
8
0.5
11
0.5
8
0.5
11
3
t
t
t
t
\
-
+
-
=
- -
+
=
，
\点M 到点B 、点C 的距离之和不能为8 ；
当
22
t >
时，
可得：0.5
8
0
t -
³
，0.5
11
0
t -
³
，
0.5
8
0.5
11
0.5
8
0.5
11
19
8
t
t
t
t
t
\
-
+
-
=
- +
-
= -
=
，
解得：
27
t =
；
综上所述，当
11
t =
或27时，点M 到点B 、点C 的距离之和为8 ．
