培优专题02 代数式章节10 种易错题专项巩固训练
（题型突破·举一反三）
题型01 代数式的识别
题型02 代数式的书写方法
题型03 用字母表示数
题型04 列代数式
题型05 代数式表示的实际意义
题型06 反比例关系
题型07 用代数式表示数的规律
题型08 用代数式表示图形的规律
题型09 已知字母的值求代数式的值
题型10 已知式子的值求代数式的值
▌题型01 代数式的识别
式子中仅含数、字母和运算符号，且无等号、不等号，单独的数或字母也属于代数式.
【典例1】（25-26 六年级下·黑龙江绥化·期末）下列式子：①3a 、②
1
0
x -
=
、③
2
m
n
+
>
、④1
2 xy 、
⑤0、⑥2
x
y
x
+
，其中代数式的个数是（ ）．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C
【分析】根据代数式的定义，先排除含等号、不等号的，再判断剩余式子是否符合要求，统计个数．
【详解】解：①3a 是代数式；
②
1
0
x -
=
不是代数式；
③
2
m
n
+
>
不是代数式；
④1
2 xy 是代数式；
⑤0是单独的数，是代数式；
⑥2
x
y
x
+
是代数式；
综上，符合条件的代数式共4 个．
【变式1】（25-26 七年级上·湖南·期中）在以下各式中属于代数式的是（ ）
①
1
2
S
ah
=
；②
+
=
+
a
b
b
a ；③a ；④1
a ；⑤0；⑥a
b
+
；⑦a
b
ab
+
A．①②③④⑤⑥⑦B．②③④⑤⑥
C．③④⑤⑥⑦
D．①②
【答案】C
【分析】本题考查了代数式的概念，根据代数式的定义逐一排除即可，解题的关键是正确理解代数式是由数
字、字母和运算符号组成的式子，不包含等号或不等号．
【详解】解：∵代数式是由数字、字母和运算符号组成的式子，
∴①
1
2
S
ah
=
含有等号，是等式，不是代数式；
②
+
=
+
a
b
b
a 含有等号，是等式，不是代数式；
③a 是字母，是代数式；
④1
a 是分式，是代数式；
⑤0是数字，是代数式；
⑥a
b
+
是和式，是代数式；
⑦a
b
ab
+
是分式，是代数式；
∴属于代数式的是③④⑤⑥⑦，
故选：C ．
【变式2】（20-21 七年级下·广东深圳·开学考试）若代数式中的任意两个字母互换，代数式不变，则称这个
代数式为完全对称式，如a
b
c
+
+
就是完全对称式，下列三个代数式：①
2
a
b
+
；②
2
a
b
-
；
③ab
bc
ca
+
+
；④
2
2
2
a b
b c
c a
+
+
，其中是完全对称式的有______．
【答案】①②③
【分析】对所给的代数式，任意交换两个字母，然后进行分析判断即可得到答案．
【详解】解：①代数式
2
a
b
+
交换字母顺序后得
2
b
a
+
，因为
2
2
=
b
a
a
b
+
+
，所以代数式
2
a
b
+
是完
全对称式；
②代数式
2
a
b
-
交换字母顺序后得
2
b
a
-
，因为
2
2
2
=
b
a
a
b
a
b
-
-
-
=
-
é
ù
ë
û
，所以代数式
2
a
b
-
是完全
对称式；
③ab
bc
ca
+
+
中，任意交换a
b
c
，，，得到的代数式都是ab
bc
ca
+
+
，故ab
bc
ca
+
+
是完全对称式；
④
2
2
2
a b
b c
c a
+
+
，交换a
b
，得到
2
2
2
b a
a c
c b
+
+
，与原代数式不一样，所以
2
2
2
a b
b c
c a
+
+
不是完全对称式．
所以是完全对称式的是：①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查代数式的基本概念，根据所给的完全对称式的定义进行判断分析是解题的关键．
【变式3】（24-25 七年级上·内蒙古包头·期中）式子5
a ，0，1
x ，2
7
ab +
，3
2
5
a
b
-
=
，
2
4
π
x ，
y
- ，
5
3a
b
+
，
2
7
x
-
<
中，代数式有m个，整式有n个，则m n
-
=_______．
【答案】2
【分析】本题考查了代数式的识别，一般地，用运算符号加、减、乘、除、乘方、开方把数或者表示数的字
母连接起来，所得到的式子叫做代数式．含“=”、“ >”、“<”、“³”、“£”的式子都不是代数式．整式的定义：
单项式和多项式统称为整式．利用代数式、整式的定义得出答案．
【详解】解：式子5
a ，0，1
x ，2
7
ab +
，3
2
5
a
b
-
=
，
2
4
π
x ，
y
- ，
5
3a
b
+
，2
7
x
-
<
中，
代数式：5
a ，0，1
x ，2
7
ab +
，
2
4
π
x ，
y
- ，
5
3a
b
+
，共7 个，
7
m =
，
整式：5
a ，0，2
7
ab +
，
2
4
π
x ，
y
- ，共5 个，则
5
n =
，
∴
7
5
2
m
n
-
=
-
=
，
故答案为：2．
【变式4】（24-25 七年级上·全国·单元测试）下列各式，哪些是代数式？
（1）
6
x +
； （2）
2
2
a
b
b
a
+
=
+
； （3）4
1
7
x + >
；
（4）0； （5）2
3
x
-
； （6）4
3
0
a +
¹ ；
（7）
32
6
- ； （8）8
2
0
m
n
+
<
； （9）
2
2
2
4
a
ab
b
-
+
；
（10）
2
1
4
4
m
m
-
+
； （11）
2
2
2
1
a
b
a
b
-
-
-
+ ； （12）
2
2
16
8
cm
x
x
-
+
．
【答案】（1）、（4）、（5）、（7）、（9）、（10）、（11）
【分析】根据代数式的概念解答即可．
【详解】解：（1）
6
x +
；（4）0；（5）2
3
x
-
；（7）
32
6
- ；（9）
2
2
2
4
a
ab
b
-
+
；（10）
2
1
4
4
m
m
-
+
；
（11）
2
2
2
1
a
b
a
b
-
-
-
+ ；是代数式．
（2）
2
2
a
b
b
a
+
=
+
；是等式，不是代数式；
（3）4
1
7
x + >
；（6）4
3
0
a +
¹ ；（8）8
2
0
m
n
+
<
；是不等式，不是代数式；
（12）
2
2
16
8
cm
x
x
-
+
，带单位，不是代数式；
（1）、（4）、（5）、（7）、（9）、（10）、（11）是代数式．
【点睛】此题考查代数式问题，解题的关键是掌握代数式的定义解答．用运算符号把数字与字母连接而成的
式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．
▌题型02 代数式的书写方法
1）数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号.
2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1 或-1 时，通常省略不写.
3）除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把带分数化为假分数.
4）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位.反之，可直接写单位.
【典例2】（23-24 七年级上·上海·阶段检测）下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（ ）
2
x
y
´
+
，
2
1a b
-
，
2
ab
c
¸
，
3
xy × ，2
13 xy ，
5
7
a
b
+
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】根据代数式的书写规范，逐一判断每个式子，统计符合要求的个数即可．代数式书写规则为：乘号
通常省略不写或写为g ，数字需写在字母前方；除法运算写成分数形式；系数为1
± 时1省略不写；带分数
需化为假分数．
【详解】解：逐个判断式子：∵
2
x
y
´
+
保留乘号´ ，不符合书写要求；
2
1a b
-
中系数1
- 的1未省略，不符合书写要求；
2
ab
c
¸
未将除法写为分数形式，不符合书写要求；
3
xy × 中数字3未写在字母前方，不符合书写要求；
2
13 xy 未将带分数化为假分数，不符合书写要求；
只有
5
7
a
b
+
符合所有书写要求，共1个符合要求．
【变式1】（25-26 七年级上·青海西宁·期中）有下列五个式子：①
2023
a×
；②
1
6
xy + ；③10
a
¸
（a不等
于0）；④1
19 a ；⑤n
- ；其中不符合代数式的书写格式的有（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题考查代数式的书写规范，关键是掌握代数式书写的核心规则：数字与字母相乘时数字需写在字
母前面，带分数要化为假分数；除法运算需写成分数形式，不能用“÷”；系数为1
- 时可简化为“-字母”的形式．
【详解】解：对于①
2023
a×
：代数式中数字因数应写在字母因数的前面，正确写法为2023a 或2023 a
×
，故
①不符合书写格式；
对于②
1
6
xy + ：该式为分数形式，分子是多项式，符合代数式书写格式；
对于③
10
0
a a
¸
¹
：代数式中除法运算需写成分数形式，正确写法为10
a ，故③不符合书写格式；
对于④1
19 a ：带分数与字母相乘时，应将带分数化为假分数，正确写法为10
9 a ，故④不符合书写格式；
对于⑤n
- ：系数为1
- 时，可直接写为n
- ，符合代数式书写格式．
综上，不符合书写格式的有①③④，共3 个．
故选：C．
【变式2】（2025 六年级上·上海·专题练习）下列式子是否书写规范呢？若不规范，请将它们的规范写法填
在横线处；
(1)
20
a´
；
(2) 1
13 x ；
(3) 1mn
-
；
(4) s
t
¸ ；
【答案】(1) 20a
(2) 4
3 x
(3) mn
-
或nm
-
(4) s
t
【分析】本题考查代数式的书写规范，包括乘号省略、数字与字母的位置、带分数化假分数、除法写成分数
等．
（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“g”或者省略不写，数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；
（2）带分数要写成假分数的形式；
（3）1 通常省略不写；
（4）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．
【详解】（1）解：
20
a´
不规范，数字应写在字母前面，乘号省略，应写为20a ．
故答案为：20a ．
（2）解：1
13 x 不规范，带分数应写成假分数，即4
3 x．
故答案为：4
3 x．
（3）解：1mn
-
不规范，1 应省略不写，应写为mn
-
或nm
-
．
故答案为：mn
-
或nm
-
．
（4）解：s
t
¸ 不规范，除法应写成分数形式，即s
t ．
故答案为：s
t ．
【变式3】（23-24 七年级上·全国·课堂例题）下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处：
（1）7 3
× ；__________________
（2）2
13 b ；__________________
（3）2
x y ；__________________
（4）2m
n
¸
；__________________
（5）1ab
-
；__________________
（6）
10
x +
米．__________________
【答案】
7
3
´
5
3b
2xy
2m
n
ab
-
10
x +
米
【分析】根据代数式的书写格式解答即可
【详解】解：（1）7 3
× 应写作：7
3
´ ；(数字与数字的乘法用“´”)
故答案为：7
3
´ ；
（2）2
13 b 应写作：5
3b，(带分数要化成假分数)
故答案为：5
3b；
（3）2
x y 应写作：2xy ，(数字因式写在前面)
故答案为：2xy ；
（4）2m
n
¸
应写作：2m
n ，(除法写成分数形式)
故答案为：2m
n ；
(5) 1ab
-
应写作：ab
-
，(乘法中1 省略不写)
故答案为：ab
-
；
(6)
10
x +
米应写作：
10
x +
米，(多项式后带单位要加括号)
故答案为：
10
x +
米．
【点睛】本题考查了代数式．解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简
写成“g”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运
算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式，1 通常省略不写；(4)多项式后带单位时，这个
多项式要加括号．
▌题型03 用字母表示数
【典例3】（25-26 七年级上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）任意三个连续自然数，最小的是a，那么最大的数
表示为（ ）
A．
1
a +
B．
2
a +
C．
3
a +
D．2a
【答案】B
【分析】本题考查了用字母表示数，由任意三个连续自然数，最小的是a，则最大的数为
2
a +
，从而求解，
掌握连续自然数的特征是解题的关键．
【详解】解：由任意三个连续自然数，最小的是a，则最大的数为
2
a +
，
故选：B ．
【变式1】（25-26 七年级上·广东揭阳·开学考试）已知a是非零自然数，以下四道算式中，结果最大的是
（ ）．
A．
1
3
a ¸
B．
3
4
a ¸
C．
1
3
a´
D．
2
a´
【答案】A
【分析】本题考查了字母表示数，将各选项转化为乘法运算后比较系数大小即可确定结果最大的选项，掌握
知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：A 、
1
3
3
3
a
a
a
¸
=
´ =
；
B 、
3
4
4
4
3
3
a
a
a
¸
=
´
=
；
C 、
1
1
3
3
a
a
´
=
；
D 、
2
2
a
a
´
=
；
∵a是非零自然数，
∴
4
1
3
2
3
3
a
a
a
a
>
>
>
，
∴结果最大的是3a ，
故选：A ．
【变式2】（25-26 七年级上·北京·阶段检测）一个三位数，百位上的数是a，十位上的数是b ，个位上的数
是c，这个三位数用字母表示为（ ）
A．abc
B．100a
bc
+
C．100abc
D．100
10
a
b
c
+
+
【答案】D
【分析】本题考查了列代数式，也就是把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表
示出来；
百位上的数字是a，表示a个百，十位上的数字是b ，表示b 个十，个位上的数字是c，表示c个一，所以表
示这个三位数的式子应该是100
10
a
b
c
+
+ ．
【详解】因为百位上的数字是a，表示a个百，即100a ，
因为十位上的数字是b ，表示b 个十，即10b，
因为个位上的数字是c，表示c个一，即c，
所以表示这个三位数的式子应该是100
10
a
b
c
+
+ ．
故选：D．
【变式3】（25-26 七年级上·江苏连云港·期中）加法交换律：“交换两个加数的位置，和不变”，用字母可以
表示为
+
=
+
a
b
b
a ．有理数的减法法则：“减去一个数，等于加上这个数的相反数”．用字母表示这一法则，
可表示为______．
【答案】
-
=
+ -
a
b
a
b
【分析】本题主要考查了用字表示运算法则，解题的关键是掌握理解题意，列出法则．
根据有理数减法法则“减去一个数，等于加上这个数的相反数”，直接用字母表示这一法则．
【详解】解：有理数减法法则规定，减去一个数等价于加上这个数的相反数，
设被减数为a，减数为b ，则b 的相反数为b
- ，因此法则用字母表示为
-
=
+ -
a
b
a
b ，
故答案为：
-
=
+ -
a
b
a
b ．
【变式4】（26-27 七年级上·全国·课堂例题）已知：28
2 10
8
=
´
+
，
2
864
8 10
6 10
4
= ´
+ ´
+
．
（1）类似地，5984 = ______
3
10
´
+ ______
2
10
´
+ ______ 10
´
+ ______；
（2）某三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则这个三位数可表示为_______．
【答案】
5
9
8
4
100
10
c
b
a
+
+
【分析】此题考查数字的变化规律，以及用代数式表示三位数，掌握十进制计数法和科学记数法是解决问题
的关键．
（1）先根据已知数的组成规律确定5984各数位上的数字按要求表示即可；
（2）根据数位的意义，用字母表示三位数．
【详解】解：（1）5984是四位数，5在千位上，表示有5个千，即
3
5 10
´
；
9在百位上，表示有9个百，即
2
9 10
´
；
8在十位上，表示有8个十，即8 10
´
；
4 在个位上，表示有4 个一；
∴5984 =
3
5 10
´
+
2
9 10
´
+ 8 10
4
´
+
；
（2）某三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则这个三位数可表示为100
10
c
b
a
+
+
．
故答案为：5，9，8，4 ，100
10
c
b
a
+
+
．
▌题型04 列代数式
1）认真审题，仔细分析问题中的基本术语(和、差、积、商、大、小、多、少、几倍、
几分之几等)的含义.
2）要注意问题中的语言表示的运算顺序，一般来说，先读的先写.
3）列代数式时，要注意字母的确定性，即在同一个式子或具体问题中，相同的量一定要用相同的字母表示，
而不同的量要用不同的字母表示，例如，用a 表示长方形的长，那么就不能再用a 表示长方形的宽.
【典例4】（25-26 七年级上·湖北荆州·期末）智慧农业大棚采用自动温控系统．某日棚内温度变化规律为：
每小时上升2 C
°
或下降1 C
°
．若初始温度为10 C
° ，经过t 小时后的温度可能表示为（ ）C
°
A．
10
2t
+
B．
10
t
-
C．
10
2t
+
或
10
t
-
D．
10
2
1
t
+
-
【答案】C
【分析】分两种情况：①若某日棚内温度变化规律为：每小时上升2 C
°
，②若某日棚内温度变化规律为：
每小时下降1 C
°
，分别列出代数式即可得．
【详解】解：①若某日棚内温度变化规律为：每小时上升2 C
°
，
则经过t 小时后的温度可能表示为
10
2t
C
+
°
；
②若某日棚内温度变化规律为：每小时下降1 C
°
，
则经过t 小时后的温度可能表示为
10
t
C
-
°
；
综上，经过t 小时后的温度可能表示为
10
2t
C
+
°
或
10
t
C
-
°
．
【变式1】（24-25 七年级上·江苏淮安·期中）某校组织了师生共a人来到荷花荡景区游玩，已知租用的每辆
观光车可乘坐b 人，师生全部上车后还剩一个位置，由此可知租用的观光车的辆数为（ ）．
A．
1
a
b
+
B．
1
a
b +
C．
1
a
b
-
D．
1
-
a
b
【答案】A
【详解】解：∵师生共a人，全部上车后还剩1个位置，
∴所有租用观光车的总座位数为
1
a +
个，
∵每辆观光车可乘坐b 人，
∴租用观光车的辆数为
1
a
b
+ 辆．
【变式2】（25-26 七年级上·河南信阳·期末）某轮船先顺水航行4h ，后逆水航行2h ，已知轮船在静水中的
速度为km/h
a
．水流速度为km/h
b
，则轮船共航行了（ ）km ．
A．2
6
a
b
+
B．6
2
a
b
+
C．6
2
a
b
-
D．2
6
a
b
-
【答案】B
【分析】本题考查了列代数式，整式加减的实际应用，需先根据顺水、逆水速度与静水速度、水流速度的关
系，分别计算两段航行的路程，再求和得到总航行路程．
【详解】解：根据题意得，顺水速度为
km/h
a
b
+
，逆水速度为
km/h
a
b
-
，
∴顺水航行的路程为
4
4
4
a
b
a
b
+
=
+
，逆水航行的路程为
2
2
2
a
b
a
b
-
=
-
，
∴总航行路程为4
4
2
2
6
2
a
b
a
b
a
b
+
+
-
=
+
．
故选：B．
【变式3】（25-26 七年级上·山西吕梁·期末）某银行三年期的存款年利率是1.95% ，小林把压岁钱a元存入
该银行，存定期三年，到期后小林可得本息和一共多少元？已知到期后本息和计算公式：本息和=本金+ 利
息，其中利息=本金´年利率´存期．下面列式正确的是（ ）
A．
1.95% 3
a´
´
B．
1.95%
a
a
+ ´
C．
1.95% 3
a
a
+ ´
´
D．
1 1.95%
3
a´
+
´
【答案】C
【分析】本题考查根据本息和公式及列代数式，关键是熟练应用公式解题；根据利息公式求出利息，再结合
本息和公式列出式子即可．
【详解】解：∵利息=本金´年利率´存期，本金为a元，年利率1.95% ，存期3年
∴本息和
1.95% 3
a
a
=
+ ´
´
故选：C．
【变式4】（25-26 七年级上·河北唐山·期末）用代数式表示“a的平方的3倍与b 的一半的差”为（ ）
A．
1 3
2
a
b
-
B．
2
1
3
2
a
b
-
C．
2
1 3
2
a
b
-
D．
2
1
3
2
a
b
-
【答案】B
【分析】本题考查列代数式，需根据语句顺序逐步转化为数学表达式，明确运算顺序是关键．
【详解】解：
a
Q
的平方为
2
a
a
\
的平方的3倍为
2
3a
b
Q 的一半为1
2 b
a
\
的平方的3倍与b 的一半的差为
2
1
3
2
a
b
-
故选：B．
【变式5】（25-26 七年级上·四川绵阳·期末）如图，某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯
道组成，其中直道的长为a，半圆形弯道的直径为b，用代数式表示这条跑道围成图形的面积为（ ）
A．
π
ab
b
+
B．
2
π
ab
b
+
C．
2
1
π
4 ab
b
+
D．
2
1 π
4
ab
b
+
【答案】D
【分析】本题考查列代数式．根据图形可知这条跑道的面积为两个半圆的面积+矩形的面积，两个半圆正好
是一个圆，然后列出代数式即可．
【详解】解：由图可得，这条跑道的面积为：
2
1 π
4
ab
b
+
．
故选：D．
【变式6】（25-26 七年级上·四川绵阳·期末）如图，把四张形状、大小完全相同的白色小长方形（长为
3cm ，宽为1cm ）卡片不重叠地放在一个底面为长方形（宽为
cm
m
）的盒子底部，盒子底面未被卡片覆盖
的部分用阴影表示，则阴影部分的面积的和为（ ）
2
cm ．
A．4
12
m -
B．5
6
m -
C．
3
2
2
6
m
m
-
+
-
D．
3
6
2
2
m
m
- +
-
【答案】C
【分析】本题考查了列代数式．先求得长方形A 的面积为
3
2
m -
，长方形B 的面积为
2
3
m -
，据此即可
计算出阴影部分的面积．
【详解】解：长方形A 的面积为
3
2
m -
，长方形B 的面积为
2
3
m -
，
∴阴影部分的面积的和为
3
2
2
3
3
2
2
6
m
m
m
m
-
+
-
=
-
+
-
，
故选：C．
【变式7】（25-26 七年级上·山东日照·期末）某品牌智能手表原售价为m元，春节前品牌方举行“迎新双优
惠”促销活动，即原售价先打七折，再优惠n元，那么该手表优惠后售价为（ ）
A．10
7 m
n
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 元
B．
10
7
m
n
-
元
C．
7
10 m
n
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 元
D．
7
10 m
n
-
元
【答案】C
【分析】本题考查列代数式，需根据促销活动的先后顺序，逐步计算优惠后的售价．
【详解】解：∵原售价为m元，先打七折
∴打七折后的价格为7
10 m 元
∵再优惠n元
∴优惠后售价为
7
10 m
n
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 元
故选：C．
【变式8】（25-26 七年级上·安徽淮北·期末）某商店购进一批书包，每个成本a 元，将该书包按进价提高20%
作为标价，然后再按标价9 折出售，则这种书包每个可盈利（ ）
A．8%a 元
B．10%a 元
C．18%a 元
D．20%a 元
【答案】A
【分析】本题考查了列代数式，根据进价求出标价，再根据标价求出售价，最后利用“盈利=售价-成本”计
算盈利金额．
【详解】解：∵每个书包成本为a元，按进价提高20% 作为标价
∴标价为
1
20%
1.2
a
a
´
+
=
元
∵按标价9 折出售
∴售价为1.2
0.9
1.08
a
a
´
=
元
∴盈利为1.08
0.08
8%
a
a
a
a
-
=
=
元．
故选：A．
【变式9】（25-26 七年级上·河南周口·期末）某种商品的进价为每件a 元，在销售旺季，提价30%销售；旺
季过后，以八折的价格开展促销活动．这时这件商品的售价为________元．（用含a 的式子表示）
【答案】
1.04a
【分析】本题考查列代数式，能正确地列出数量关系式是解题的关键，先根据进价和提价比例求出旺季零售
价，再结合折扣计算促销时的售价即可．
【详解】解：由题意得，旺季零售价为
1 30%
1.3
a
a
+
=
(元)，促销时的售价为1.3
80%
1.04
a
a
´
=
(元)．
故答案为：1.04a ．
【变式10】（25-26 七年级上·陕西西安·期末）如图，公园有一块长为
2
1
a -
米，宽为a米的长方形土地(一
边靠着墙)，现将三面均留出宽为b 米的小路，余下部分设计成花圃ABCD ，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围
起来．则篱笆的总长度为_____米．(用含,a b 的式子表示)
【答案】4
4
1
a
b
-
-
【分析】本题考查整式的加减在实际问题中的应用，关键是明确花圃各边长度与原土地边长、小路宽度的数
量关系．先根据题意分别求出花圃不靠墙的三条边的长度，再将三条边的长度相加，通过整式的加减运算化
简得到篱笆的总长度．
【详解】解：由题意可知，花圃垂直于墙的两条边的长度均为
a
b
-
米，平行于墙的不靠墙边的长度为
2
1 2
a
b
- -
米，
则篱笆的总长度为：
2
1 2
2
2
1 2
2
2
4
4
1
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
- -
+
-
=
- -
+
-
=
-
- ；
故答案为：4
4
1
a
b
-
- ．
▌题型05 代数式表示的实际意义
【典例5】（25-26 七年级上·北京石景山·期末）对单项式“3a ”可以解释为：一支碳素笔a元，买了3 支碳素
笔，共消费3a 元．请你再对“3a ”赋予一个实际意义___________．
【答案】一个笔记本a 元，买了3 本，共付款3a 元（答案不唯一）
【分析】本题考查代数式的实际意义，需结合生活实际，根据单项式的特点赋予合理情境．
【详解】解：例如，一个笔记本a 元，购买3 本，总费用为3a 元，
故答案为：一个笔记本a 元，买了3 本，共付款3a 元（答案不唯一）．
【变式1】（25-26 七年级上·四川凉山·期末）下列代数式的意义叙述错误的是（ ）
A．2
3
a + 的意义是a的2 倍与3的和
B．
2
1
a - 的意义是a的平方与1的差
C．5ab 的意义是a与b 的积的5倍
D．
2
a
b
+
的意义是a与b 的和的平方
【答案】D
【分析】根据运算顺序准确理解代数式所表达的数量关系，需逐一分析各选项的叙述是否匹配代数式的运算
逻辑．
【详解】解：选项A：2
3
a + 的意义是a的2 倍与3 的和，叙述正确；
选项B：
2
1
a - 的意义是a的平方与1 的差，叙述正确；
选项C：5ab 的意义是a与b 的积的5 倍，叙述正确；
选项D：
2
a
b
+
表示a与b 的平方的和，而“a与b 的和的平方”对应的代数式是
2
(
)
a
b
+
，两者运算顺序不同，
该叙述错误．
【变式2】（25-26 七年级上·江苏南通·期末）下列各项中，能用2
6
a
a
+
表示的是（ ）
A．整条线段的长度：
B．整条线段的长度：
C．长方形的周长：
D．整个图形的面积 ：
【答案】D
【分析】本题考查了代数式的意义，熟练掌握线段长度的和，长方形周长，面积计算是解题的关键．根据线
段的和，长方形的周长，长方形的面积的计算公式解答即可．
【详解】解：A、整条线段的长度：
，表示为2
6
8
a
a
+
+
=
+
，不符合题意；
B、整条线段的长度：
，表示为2
3
4
9
a
a
a
a
+
+
=
，不符合题意；
C、这个长方形的周长：
，表示为
2 3
2
6
a
a
+
=
+
，不符合题意；
D、这个图形的面积：
，表示为2
6
a
a
+
，符合题意．
故选：D．
【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）某商场举办“元旦迎新”促销活动，将原价为x 元的大衣以3
50
5 x
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
元的价格出售，则下列说法中，能正确表达该大衣促销方法的是（ ）
A．原价减50 元后再打六折
B．原价打六折后再减50 元
C．原价减50 元后再打四折
D．原价打四折后再减50 元
【答案】B
【分析】本题考查代数式的含义．熟练掌握定义是关键．根据代数式3
50
5 x
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 的运算顺序，分析其对应的
促销方法即可．
【详解】解：∵3
0.6
5 =
，即六折，
∴3
5 x 表示原价打六折后的价格，
∴3
50
5 x
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 表示原价打六折后再减去50 元．
故选：B．
【变式4】（25-26 七年级上·山东德州·期末）代数式
50
3a
-
可以表示不同实际问题中的数量或数量关
系．下列赋予
50
3a
-
实际意义的例子中不正确的是（ ）
A．用50 元购买3件单价为a元的商品，剩余
50
3a
-
元
B．周长是50 的长方形，一边长为3a ，另一边长为
50
3a
-
C．数学项目式学习活动中，某班有50 人参加，老师把女生分为3组，每组a人，则
50
3a
-
表示男生人
数
D．一辆汽车以每小时a公里的速度行驶了3小时，那么它行驶的总距离为3a 公里，如果总路程为50 公
里，那么剩余路程为
50
3a
-
公里
【答案】B
【分析】本题考查代数式，利用总价与单价数量关系、长方形周长公式、路程与速度时间关系等分别列出代
数式即可．根据题意写出代数式是解题的关键．
【详解】解：A．∵3件单价为a元的商品总价为3a 元，总钱数为50 元，
∴剩余钱数为
50
3a
-
元，
故该选项中赋予
50
3a
-
实际意义的例子正确，不符合题意；
B．∵长方形周长公式为
2
C =
+
长
宽，
∴当周长
50
C =
时，长+宽
50
2
25
=
¸
=
，
∵一边长为3a ，
∴另一边长应为
25
3a
-
，
故该选项中赋予
50
3a
-
实际意义的例子不正确，符合题意；
C．∵总人数为50 人，老师把女生分为3组，每组a人，则女生人数为3a 人，
∴男生人数为
50
3a
-
人，
故该选项中赋予
50
3a
-
实际意义的例子正确，不符合题意；
D．∵总路程为50 公里，一辆汽车以每小时a公里的速度行驶了3小时，则已行驶路程为3a 公里，
∴剩余路程为
50
3a
-
公里，
故该选项中赋予
50
3a
-
实际意义的例子正确，不符合题意．
故选：B．
【变式5】（25-26 七年级上·天津西青·期末）下列对代数式
2
1
m -
的意义描述正确的是（ ）
A．代数式
2
1
m -
的意义可以描述为“m的2 倍与1 的差”
B．某个班级原有m名男生，开学初转走1 名男生，则这个班级的总人数可以表示为
2
1
m -
C．若长方形的长为m，宽为1，则这个长方形的周长可以表示为
2
1
m -
D．甲超市某件商品单价为m元，乙超市出售同样商品的单价比甲超市便宜1 元，那么在乙超市购买两
件这个商品共花费
2
1
m -
元
【答案】D
【分析】本题考查代数式的实际意义，需根据代数式
2
1
m -
的含义判断各选项描述是否正确即可．
【详解】解：代数式
2
1
m -
表示先计算m与1的差，再乘以2，
A．描述为“m的2 倍与1 的差”，即2
1
m - ，与题意不符，故A 不符合题意；
B．班级总人数未明确与男生人数的关系，描述不合理，故B 不符合题意；
C．长方形周长应为
2
1
m +
，而非
2
1
m -
，故C 不符合题意；
D．乙超市单价为
1
m-
元，购买两件花费
2
1
m -
元，符合代数式意义，故D 符合题意．
故选：D．
【变式6】（24-25 七年级上·福建漳州·期中）商店对商品尾货进行亏本促销活动，促销的方法是将成本为x
元的商品提价50%后标价，再以
0.9
30
x -
元的促销价出售，则下列说法中，①标价减去30 元后再打9 折；
②标价打9 折后再减去30 元；③标价减去50 元后再打6 折；④标价打6 折后再减去30 元．能正确表达
该商店促销方法的是_______．（填序号）
【答案】③④/④③
【分析】此题主要考查了代数式，成本为x 元的商品提价50%后标价为
1 50%
1.5
x
x
+
=
，分别列出四个说
法的促销价，再可判断即可．
【详解】解：成本为x 元的商品提价50%后标价为
1 50%
1.5
x
x
+
=
，
①标价减去30 元后再打9 折，则促销价为：
1.5
30
0.9
1.35
27
0.9
30
x
x
x
-
´
=
-
¹
-
，
故①不符合；
②标价打9 折后再减去30 元，则促销价为：0.9 1.5
30
1.35
30
0.9
30
x
x
x
´
-
=
-
¹
-
，
故②不符合；
③标价减去50 元后再打6 折，则促销价为：
1.5
50
0.6
0.9
30
x
x
-
´
=
-
，
故③符合；
④标价打6 折后再减去30 元，则促销价为：0.6 1.5
30
0.9
30
x
x
´
-
=
-
，
故④符合；
综上，能正确表达该商店促销方法的是③④．
故答案为：③④．
▌题型06 反比例关系
【典例6】（25-26 七年级上·江西上饶·期末）下列选项中，属于反比例关系的是（ ）
A．圆的面积S与它的半径r
B．某件商品的单价一定时，商品总价w 与数量b
C．速度一定时，路程S与时间t
D．长方形的面积一定时，它的长a与宽b
【答案】D
【分析】本题考查正比例关系与反比例关系的判断，关键是牢记两种关系的定义：若两个变量的比值为非零
定值，则二者成正比例关系；若两个变量的乘积为非零定值，则二者成反比例关系．
【详解】解：正比例关系的定义是两个变量的比值为非零定值，反比例关系的定义是两个变量的乘积为非零
定值；
A、圆的面积公式为
2
π
S
r
=
，S与r 的乘积不是定值，且S与
2r 的比值为π，
S
\
与r 不属于反比例关系；
B、设商品单价为k (
0
k >
且为定值)，则w
kb
=
，
w
k
b =
Q
，
w
\
与b 成正比例关系，不属于反比例关系；
C、设速度为v(
0
v >
且为定值)，则S
vt
=
，
S
v
t =
Q
，
S
\
与t 成正比例关系，不属于反比例关系；
D、设长方形面积为k (
0
k >
且为定值)，则ab
k
=
，
a
Q
与b 的乘积为定值k ，
\长方形的长与宽成反比例关系；
故选：D．
【变式1】（25-26 七年级上·山西忻州·期末）某校七年级同学参加队列操表演，按每排人数相等的规定排列，
每排的人数与排数如下表所示：
每排的人数/人
40
25
20
10
…
排数/排
5
a
10
20
…
则表格中a的值为（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
【答案】B
【分析】本题考查反比例关系的实际应用，解决问题的关键是抓住总人数不变，利用每排人数´排数=总人
数的等量关系求解．
【详解】解：∵总人数=每排人数×排数
∴由第一组数据得总人数为40 5
200
´ =
（人）
∵当每排人数为25 人时，总人数不变
∴
200
25
8
a =
¸
= ，
故选：B．
【变式2】（25-26 七年级上·河南许昌·期末）已知x 和y 两个量成反比例关系，当
6
x = - 时，
8
y =
；当
12
y = -
时，x =（ ）
A．4
B．4
-
C．9
D．9
-
【答案】A
【分析】本题考查反比例关系的应用，先根据反比例关系的定义确定表达式，求出比例常数，再代入已知的
y 值计算x 即可．
【详解】解：∵x 和y 成反比例关系，
∴设
0
k
y
k
x
=
¹
，
∵当
6
x = - 时，
8
y =
，
∴8
6
k
= - ，则
48
k = -
，
∴
48
y
x
= -
，
当
12
y = -
时，由
48
12
x
-
= -
得
4
x =
，
故选：A．
【变式3】（2026 七年级上·全国·专题练习）下列y
x
与关系式：
3
1,
1,
0,
2,
6 ,
1,
y
y
x
xy
xy
xy
y
x
y
x
x
=
+
= -
=
=
=
=
=
其中，成反比例关系的有（ ）个
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【详解】本题主要考查了反比例关系的定义，两个变量的乘积为常数且不为零，即形式为xy
k
=
（x、y 为变
量，k 为常量，且
0
k ¹
）或
0
k
y
k
x
=
¹
，那么这两个变量成反比例，据此逐一判断即可．
解：成反比例关系的有
3
1,
2,
xy
xy
y
x
= -
=
=
，共3 个，
故选：B．
【变式4】（25-26 七年级上·辽宁盘锦·期末）在数学活动课上，王老师与同学们做了这样一个实验，如图，
在左侧托盘A （固定）中放置一个重物，在右侧托盘B （可左右移动）．中放置一个质量为8g 的空容器，在
容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B 与支点C 的距离xcm （0
50
x
<
£
）， 记录
容器与水的总质量g
y 的数据如下：
托盘B 与点C
50
40
25
20
10
的距离
/ cm
x
容器与水的总
质量
10
12.5
20
25
50
当托盘B 与支点C 的距离
5
x =
时，容器与水的总质量y 的值为_______
【答案】100
【分析】本题主要考查反比例关系的应用，根据各数量之间的关系写出关系式是解题的关键．根据表格数据
可得y 与x 的乘积不变，成反比例，据此即可求解．
【详解】解：由表格可知，y 与x 的乘积不变，成反比例，
500
xy =
，
∴当
5
x =
时，容器与水的总质量y 的值为500
100
5 =
，
故答案为：100．
▌题型07 用代数式表示数的规律
根据一系列数式关系或一组相关图形的变化期律，从中总结其所反映的规律.其中，以
图形为载体的数字规律最为常见，猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式
进行观察对比仿照数式规律的方法猜想得到最终结论，这类问题是近年来中考试题的热点，应予以关注.
【典例7】（25-26 七年级上·河南周口·期末）观察下列等式：
2
1 3 1
4
2
´ + =
=
；
2
2 4 1
9
3
´
+ =
=
；
2
3 5 1
16
4
´ + =
=
；
2
4 6 1
25
5
´ + =
=
；L，则第n个等式为（）
A．
2
2
1
1
n n
n
+
+ =
+
B．
2
2
1
n n
n
+
+ =
C．
2
1
1
1
n n
n
+
+ =
+
D．
2
1
1
1
n
n
n
-
+
+ =
【答案】A
【分析】此题主要考查了数字变化规律，观察出变化规律是解题的关键．通过观察等式左右两边数字与序号
n的对应关系，归纳出第n个等式的表达式，再验证等式成立即可．
【详解】解：Q 观察已知等式：
当
1
n = 时，
2
1
1
2
1
4
1 1
´
+
+ =
=
+
；
当
2
n =
时，
2
2
2
2
1
9
2 1
´
+
+ =
=
+
；
当
3
n =
时，
2
3
3
2
1
16
3 1
´
+
+ =
=
+
；
LL
\归纳可得第n个等式为
2
2
1
1
n
n
n
´
+
+ =
+
，
又Q 左边展开得
2
2
1
n
n
+
+ ，右边
2
2
1
2
1
n
n
n
+
=
+
+ ，左右两边相等，
\等式成立，
故选：A．
【变式1】（25-26 七年级上·云南昆明·期末）观察这列单项式：2x ，
2
4x ，
3
8x ，
4
16x ，…，按此规律排列，
第n 个单项式是（ ）
A．2n
n
x
×
B．2 ×
n
n x
C．
2
n
n
x
×
D．(
)1
n
n
x
+
【答案】A
【分析】本题考查了单项式的规律探究，解题的关键是分别分析系数和字母部分的变化规律，再综合得出第
n个单项式的表达式．
先观察系数依次为2,4,8,16,¼，可得系数为2n ；再观察字母部分的指数依次为1,2,3,4,¼，可得字母部分为
nx ；将系数与字母部分结合即可得到第n个单项式．
【详解】解：观察这列单项式的系数：
1
2
2
=
，
2
4
2
=
，
3
8
2
=
，
4
16
2
=
，…，
则第n项的系数为2n ；
观察字母部分：
1
x
x
=
，
2
x ，
3x ，
4x ，…，
则第n项的字母部分为
nx ；
因此，第n个单项式为2n
n
x
×
．
故选：A．
【变式2】（25-26 九年级上·云南昭通·期末）观察下列一组数：1 3 5
7
9
,
,
,
,
,
2 5 10 17 26 L，它们是按一定规律排列
的，那么这一组数的第n个数是（ ）
A．2
1
3
1
n
n
-
-
B．2
1
3
1
n
n
+
-
C．
2
2
1
1
n
n
-
+
D．
2
2
1
1
n
n
-
-
【答案】C
【分析】本题考查了数字变化规律，从分子、分母两个方面考虑求解是解题的关键．
观察分子和分母的规律，分子为奇数序列，分母为平方数加1，由此推导第n 个数的表达式，即可解题．
【详解】解：∵分子序列：1，3，5，7，9，…为奇数，
∴第n 个分子为2
1
n- ，
∵分母序列第1 个分母为
21
1
2
+ =
，
第2 个分母为
2
2
1
5
+ =
，
第3 个分母为
23
1
10
+ =
，…以此类推，
分母序列第n 个分母为
2
1
n + ，
∴第n 个数为
2
2
1
1
n
n
-
+ ，
故选：C．
【变式3】（25-26 八年级上·山东临沂·期末）数学活动
我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
15 15
225
1 2 100
25
´
=
= ´ ´
+
．
25 25
625
2 3 100
25
´
=
=
´ ´
+
，
35 35
1225
3 4 100
25
´
=
= ´ ´
+
．
……
请你写出一般的规律__________．
【答案】
2
10
5
100
1
25
n
n n
+
=
+
+
【分析】本题考查数字变化规律的探究以及完全平方公式，关键是通过观察已知等式，提取共性特征，再用
字母表示数推导一般规律．观察给出的等式可知，左边均为个位数字是5 的两位数的平方，右边的结果可拆
分为“
1
100
25
´
+
´
+
十位数字
十位数字
”的形式．设该两位数的十位数字为n(n为正整数)，将这个两位数
表示为10
5
n +
，通过整式的乘方运算展开验证，即可得到通用的规律表达式．
【详解】解：设个位为5 的两位数的十位数字为n(n为正整数)，则该两位数可表示为10
5
n +
，
∵
2
2
2
2
(10
5)
(10 )
2 10
5
5
100
100
25
100
1
25
n
n
n
n
n
n n
+
=
+ ´
´ +
=
+
+
=
+
+
，
∴一般规律为
2
(10
5)
100
1
25
n
n n
+
=
+
+
．
故答案为：
2
(10
5)
100
1
25
n
n n
+
=
+
+
．
【变式4】（25-26 七年级上·河北衡水·期末）观察下列等式，回答问题．
第1 个等式：
1
1
1
1
1
1 3
2
3
a
æ
ö
=
=
´
-
ç
÷
´
è
ø；
第2 个等式：
2
1
1
1
1
3 5
2
3
5
a
æ
ö
=
=
´
-
ç
÷
´
è
ø ；
第3 个等式：
3
1
1
1
1
5 7
2
5
7
a
æ
ö
=
=
´
-
ç
÷
´
è
ø ；
第4 个等式：
4
1
1
1
1
7 9
2
7
9
a
æ
ö
=
=
´
-
ç
÷
´
è
ø ；
…
(1)按以上规律写出第6 个等式：
6a = ；
(2)若n是正整数，请用含n的代数式表示第n个等式：
n
a = ；
(3)求
1
2
3
2024
2025
a
a
a
a
a
+
+
+
+
+
L
的值．
【答案】(1)
1
1
1
1
11 13
2
11
13
æ
ö
=
´
-
ç
÷
´
è
ø ；
(2)
1
1
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
n
n
n
n
æ
ö
=
´
-
ç
÷
-
+
-
+
è
ø ；
(3) 2025
4051
【分析】本题考查用代数式表示运算规律，涉及有理数的混合运算，关键是观察等式中分母的变化规律并概
括．
（1）通过观察前4 个等式，找到第k 个等式分母的两个数为2
1
k - 和2
1
k + ，代入
6
k =
即可写出第6 个等式；
（2）根据前几个等式的共性，用含n的代数式表示出第n个等式的分母及裂项形式；
（3）利用裂项相消法，将每一项展开后，中间的项相互抵消，最后计算剩余的部分即可求出总和．
【详解】（1）解：观察等式可知，第k 个等式的分母为两个连续奇数的乘积，即
2
1 2
1
k
k
-
+
，当
6
k =
时，
2
1 11
k - =
，2
1 13
k + =
，
6
1
1
1
1
11 13
2
11
13
a
æ
ö
\
=
=
´
-
ç
÷
´
è
ø ；
（2）解：由前n个等式的规律可得，第n个等式的分母为
2
1 2
1
n
n
-
+
，
1
1
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
na
n
n
n
n
æ
ö
\
=
=
´
-
ç
÷
-
+
-
+
è
ø；
（3）解：
1
2
3
2024
2025
a
a
a
a
a
+
+
+
+
+
L
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2
3
5
2
5
7
2
4049
4051
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
´
-
+
´
-
+
´
-
+
+
´
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
5
5
7
4049
4051
æ
ö
=
´
-
+
-
+
-
+
+
-
ç
÷
è
ø
L
1
1
1
2
4051
æ
ö
=
´
-
ç
÷
è
ø
1
4051 1
2
4051
-
=
´
1
4050
2
4051
=
´
2025
4051
=
．
▌题型08 用代数式表示图形的规律
【典例8】（25-26 七年级上·四川凉山·期末）少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到设计师
们的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个基础图形
组成的有规律的图案：第1个图案由4 个基础图形
组成，第2 个图案由7 个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成，…，如图，按此规律排列下去，
第2026 个图案中的基础图形个数为（ ）
A．6066
B．6079
C．6072
D．6076
【答案】B
【分析】通过前三个图案的基础图形数量，总结出第n个图案的基础图形数量的表达式，再代入
2026
n =
计
算求解．
【详解】解：观察图案可知：
第1 个图案的基础图形个数为4
3 1 1
= ´ + ，
第2 个图案的基础图形个数为7
3 2 1
= ´ + ，
第3 个图案的基础图形个数为10
3 3 1
= ´ + ，
由此可归纳出规律：第n个图案的基础图形个数为3
1
n + ．
当
2026
n =
时，3
1
3 2026 1
6079
n + = ´
+ =
．
所以第2026 个图案中的基础图形个数为6079 ，
故选：B．
【变式1】（25-26 七年级上·广西崇左·期末）观察下列图形变化的规律，我们发现每一个图形都分为上、下
两层，下层都是由黑色正方形构成，其数量与编号相同；上层都是由黑色正方形或白色正方形构成（第1 个
图形除外），则第2025 个图形中，黑色正方形共有（ ）
A．3038 个
B．3037 个
C．3035 个
D．3034 个
【答案】A
【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形的变化规律归纳出第n 个图形中黑色正方形的数量即可．
【详解】解：根据图形变化规律可知，
第1 个图形中黑色正方形的数量为
1 1
2
1
2
+
= +
，
第2 个图形中黑色正方形的数量为
2
3
2
2
=
+
，
第3 个图形中黑色正方形的数量为
3 1
5
3
2
+
=
+
，
第4 个图形中黑色正方形的数量为
4
6
4
2
=
+
，
第5 个图形中黑色正方形的数量为
5 1
8
5
2
+
=
+
，
第6 个图形中黑色正方形的数量为
6
9
6
2
=
+
，
…，
当n 为奇数时，黑色正方形的个数为
1
3
1
2
2
n
n
n
+
+
+
=
，
当n 为偶数时，黑色正方形的个数为
3
2
2
n
n
n
+
=
，
∴第2025 个图形中黑色正方形的数量是3
1
3 2025 1
3038
2
2
n +
´
+
=
=
，
故选：A．
【变式2】（25-26 七年级上·广东佛山·期末）某类简单化合物中，前6 种化合物的分子结构模型如图，其中
灰球代表碳原子，小黑球代表氢原子．按照这一规律，第50 种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是
（ ）
A．100 个
B．102 个
C．50 个
D．152 个
【答案】B
【分析】本题考查了图形规律，根据图形找出规律是关键，由图形得到第n 种化合物的分子模型中，氢原子
的个数为
2
2
n +
个，由此即可求解．
【详解】解：第1 种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：4
2 1
2
=
´ +
；
第2 种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：6
2 2
2
=
´ +
；
第3 种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：8
2 3
2
=
´ +
；
第4 种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：10
2 4
2
=
´ +
；
第5 种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：12
2 5
2
=
´ +
；
第6 种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：14
2 6
2
=
´ +
；
……
∴第n 种化合物的分子模型中，氢原子的个数为
2
2
n +
个，
∴当
50
n =
时，氢原子的个数为2 50
2
102
´
+
=
（个），
故选：B ．
【变式3】（25-26 七年级上·山东济南·期末）如图，下列图形都是由黑色和白色的小圆点按一定的规律排列
组成的，其中图形①中有2 个黑色小圆点，图形②中有8 个黑色小圆点，图形③中有17 个黑色小圆点……
按此规律，则图形⑩中黑色小圆点的个数是（ ）
A．161
B．162
C．163
D．164
【答案】D
【分析】本题考查了图形规律探究，解题的关键是通过分析前几个图形中黑色小圆点的个数，归纳出第n个
图形中黑色小圆点个数的通项公式，再代入
10
n =
计算．
【详解】解：图形①中黑色小圆点个数：
2
3 1
3 1 2
2
2
´
+ ´ -
=
，
图形②中黑色小圆点个数：
2
3 2
3 2
2
8
2
´
+ ´ -
=
，
图形③中黑色小圆点个数：
2
3 3
3 3
2
17
2
´
+ ´ -
=
，
……
由此可得第n个图形中黑色小圆点的个数为：
2
3
3
2
2
n
n
+
-
．
当
10
n =
时：
2
3 10
3 10
2
2
´
+ ´
-
300
30
2
2
+
-
=
328
2
=
164
=
．
故选：D．
【变式4】（25-26 七年级上·重庆·期末）如图所示的图形都是由同样大小的五角星按一定规律组成的，其中
第①个图形中一共有5 个五角星，第②个图形中一共有10 个五角星，第③个图形中一共有17 个五角
星……，按此规律排列，则第⑥个图形中五角星的个数为（ ）
A．37 个
B．48 个
C．50 个
D．65 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了图形类规律的探索，解题的关键是找出图形的规律．
根据给出的图形，找出五角星的个数规律，然后代数求值即可．
【详解】解：第1 个图形中，五角星的个数为
2 1
1
2
5
+ ´
+
=
，
第2 个图形中，五角星的个数为
2
2
2
2
10
+ ´
+
=
，
第3 个图形中，五角星的个数为
2
3
3
2
17
+ ´
+
=
，
…
根据五角星的个数规律可得，第n个图形中五角星的个数为
2
2
n n
+
+
，
∴当
6
n =
时，
2
2
2
6 8
50
n n
+
+
=
+ ´
=
，
故选：C．
【变式5】（25-26 七年级上·浙江宁波·开学考试）（图形找规律）小明用小棒摆八边形，如图所示，摆n 个
八边形要用__________根小棒．
【答案】(7
1)
n +
【分析】观察图形，每增加1 个八边形就增加7 根小棒，据此规律解答即可．
【详解】解：摆n 个八边形要用(7
1)
n +
根小棒．
【变式6】（25-26 七年级上·陕西咸阳·期末）如图①，数轴上方有1个方块，记图①为1
+ ；图②的数轴上
方有1个方块，数轴的下方有2 个方块，记图②为1
- ；图③的数轴上方有4 个方块，下方有2 个方块，记图
③为2
+ ；同理，记图④为2
- ，．按照此规律，第2026 个图记为___________．
【答案】1013
-
【分析】本题考查图形变化的规律，熟练找准规律是解题的关键．
根据题意结合所给的图形发现，该组图形的规律为，第2n个图记为n
- ，n为正整数，令2
2026
n =
，进行计
算求解即可．
【详解】解：根据题意得，
第1 个图记为1
+ ，
第2 个图记为1
- ，
第3 个图记为2
+ ，
第4 个图记为2
- ，
以此类推，
第2n个图记为n
- ，n为正整数，
当2
2026
n =
，即
1013
n =
时，
1013
n
- = -
，
因此，第2026 个图记为1013
-
，
故答案为：1013
-
．
【变式7】（2025 一2026 学年度第一学期期末质量监测七年级数学试卷）【观察思考】
【规律发现】
如图所示的图案都是由圆组成的图案，每个圆上都有“★”或“▲”．
第1 个图案中“★”有4 1
´ 个；“▲”有1 3 1
+ ´ 个；
第2 个图案中“★”有4
2
´ 个；“▲”有1 3 2
+ ´
个；
第3 个图案中“★”有4 3
´ 个；“▲”有1 3 3
+ ´ 个；
第4 个图案中“★”有4 4
´
个；“▲”有1 3 4
+ ´
个；
¼¼
（1）第99个图案中“★”有4´___________个；“▲”有1 3
+ ´ ___________个；
（2）第n个图案中“★”有___________个，“▲”有___________个；(用含n的代数式表示)
【规律应用】
（3）在第2026 个图案中，求“▲”的个数比“★”的个数少多少．
【答案】（1）99；99；
（2）4n；3
1
n + ；
（3）2025
【分析】本题考查图形规律的探究及代数式的应用，关键是根据给出的前几个图案的数量，归纳出第n个图
案中两种图形的数量表达式．
（1）根据前4 个图案的规律，第k 个图案中“★”的数量为4 k
´
，“▲”的数量为1 3 k
+ ´
，将
99
k =
代入即可；
（2）根据前几个图案的数量规律，提炼出第n个图案中两种图形数量的代数式；
（3）先分别表示出第2026 个图案中“★”和“▲”的数量，再计算两者的差值，可通过代数式化简简化计算．
【详解】（1）解：根据题目给出的规律，第1 个图案对应
1
k = ，第2 个对应
2
k =
，¼¼，第99个图案对
应
99
k =
，所以“★”有4 99
´
个；“▲”有1 3 99
+ ´
个；
故答案为：99；99；
（2）解：由前4 个图案的规律可知，第n个图案中，“★”的数量是4
4
n
n
´
=
个，“▲”的数量是1 3
3
1
n
n
+ ´
=
+
个；
故答案为：4n；3
1
n + ；
（3）解：第2026 个图案中，“★”的个数为4 2026
´
，“▲”的个数为1 3 2026
+ ´
；
4 2026
1 3 2026
4 2026 1 3 2026
4 2026
3 2026
1
2026 1
2025
´
-
+ ´
=
´
- - ´
=
´
- ´
- =
- =
；
答：在第2026 个图案中，“▲”的个数比“★”的个数少2025 个．
【变式8】（25-26 七年级上·河南郑州·期末）幻方的历史很悠久，传说中最早出现在夏禹时代的洛书，用今
天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，即将若干个数组成一个正方形数阵，任意一行、一列及对角线
上的数字之和都相等．如图1，就是一个三阶幻方，由1，2，3，4，5，6，7，8，9 九个数字组成的一个三
行三列的矩阵（如图），其对角线、横行、纵向的和都为15．
(1)探究：研究发现三阶幻方中间的数字与9 个数的和有确定的数量关系．如果设数字连续性三阶幻方中间的
数字是a，则幻方中9 个数字之和是_________（用含a的字母代数式表示）
(2)应用：请你选取一组数据构造一个三阶幻方，填入到如图2 的3 3
´
方格中，使得每行、每列、每条对角
线上的三个数之和都等于21；
(3)拓展：数阵是由幻方演化出来的另一种数字图．将连续的奇数1，3，5，7，9…排列成数阵（如图3），
用十字框随机框出5 个数，十字框中的五数之和能等于2030 吗？并说明理由．
【答案】(1)9a
(2)见解析
(3)十字框中五个数字之和不能等于2030，理由见解析
【分析】本题考查的是数字类规律探索，用代数式表示数的规律，一元一次方程的应用，根据题意找出规律
是解答此题的关键．
（1）观察可知，幻方中9个数字之和等于中间的数的9倍，即可用含a的字母代数式表示幻方中9个数字之
和；
（2）先根据题意，求出幻方中间的数字是7 ，再根据图1 的规律填入数字即可；
（3）设十字框中最中间一个数为x ，根据题意列出方程求出x 的值，再根据x 应为奇数，即可求解．
【详解】（1）解：观察图1可知，幻方中9个数字之和等于中间的数的9倍．
故答案为：9a ．
（2）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21，
∴幻方中9个数字之和等于21 3
63
´ =
，
∴幻方中间的数字是63 9
7
¸
=
，
如图即为所求
（3）解：十字框中五个数字之和不能等于2030．
理由：设十字框中最中间一个数为x ，由题意得
10
2
2
10
2030
x
x
x
x
x
-
+
-
+
+
+
+
+
=
解得
406
x =
，
由题意可知，x 应为奇数，
∴十字框中五个数字之和不能等于2030 ．
▌题型09 已知字母的值求代数式的值
1)给出代数式中所有字母的值，该类题一般是先化简代数式，再代入字母的值，然后进行计算.
2)给出代数式中所含几个字母之间的关系，不直接给出字母的值，该类题一般是把所要求的代数式通过恒等
变形，转化成为用已知关系表示的形式，再代入计算.
3)在给定条件中，字母之间的关系不明显，字母的值隐含在题设条件中，该类题应先由题设条件求出字母的
值，再求代数式的值.
【典例9】（25-26 七年级上·湖南岳阳·期末）若
7,
6
x
y
=
=
，且
0
xy <
，则x
y
-
的值为_____．
【答案】13
±
【分析】本题考查了绝对值，有理数的乘法和减法运算，代数式求值，解题的关键是 运用分类讨论的思想
求解．
根据绝对值的定义得到
7
= ±
x
，
6
y = ± ，由
0
xy <
确定x 和y 的符号相反，再分别计算x
y
-
的值．
【详解】解：∵
7,
6
x
y
=
=
，
∴
7
= ±
x
，
6
y = ± ，
∵
0
xy <
，
∴
7,
6
x
y
=
= - 或
7,
6
x
y
= -
=
，
∴
7
6
7
6
13
x
y
-
=
- -
=
+
=
或
7
6
13
x
y
-
= - -
= -
，
故答案为：13
±
．
【变式1】（25-26 七年级上·江苏宿迁·期末）当
2
x =
时，代数式
2
1
2
x -
的值等于_______．
【答案】1
2 /0.5
【分析】本题考查了代数式的求值．把
2
x =
代入代数式即可求出结果．
【详解】解：当
2
x =
时，
2
2
1
1
1
2
2
2
2
x
=
=
-
-
．
故答案为：
1
2 ．
【变式2】（25-26 七年级上·山东日照·期末）当
2
m = - 时，代数式
1
4
m
m
-
+
的值在数轴上所对应的点可能落在
第_____段．
【答案】②
【分析】本题考查代数式求值，利用代入法，代入所求的式子即可．
【详解】解：当
2
m = - 时，
1
2 1
3
4
2
4
2
m
m
-
- -
=
= -
+
- +
,
故在数轴上所对应的点落在第②段．
故答案为：②．
【变式3】（25-26 七年级上·甘肃兰州·期末）若a 是最大的负整数，b 是最小的正整数，c 的相反数是它本
身，则
2026
2
a
b
c
+
-
= _______．
【答案】3
【分析】本题考查有理数的运算及基本概念的理解，包括最大的负整数、最小的正整数、相反数是自身的数
（即0），以及幂运算的性质．首先根据题意确定a
b
c
、、的具体数值，然后代入代数式进行计算，特别注
意指数运算的结果，尤其是负数的偶次幂为正．
【详解】解：
a
Q
是最大的负整数，b 是最小的正整数，c的相反数是它本身
所以
1
1
0
a
b
c
= -
=
=
，
，
.
则
2026
2026
2
1
2 1 0
1
2
0
3
a
b
c
+
-
= -
+ ´ -
= +
-
=
.
故答案为3.
【变式4】（2025 七年级上·江苏连云港·专题练习）当
1
x = 时，代数式
3
2
ax
x
bx
+
+
的值为2026 ，当
1
x = -
时，代数式
3
2
ax
x
bx
+
+
的值为_____．
【答案】2024
-
【分析】本题考查代数式求值，正确得出
2025
a
b
+
=
，利用整体代入是解题关键．先把
1
x = 代入
3
2
ax
x
bx
+
+
，得出
2025
a
b
+
=
，再把
1
x = - 代入
3
2
ax
x
bx
+
+
，把
2025
a
b
+
=
整体代入即可得答案．
【详解】解：∵当
1
x = 时，代数式
3
2
ax
x
bx
+
+
的值为2026 ，
∴
1
2026
a
b
+ +
=
，即
2025
a
b
+
=
，
∴当
1
x = - 时，
3
2
1
(
)
1
2025 1
2024
ax
x
bx
a
b
a
b
+
+
= - + -
= -
+
+ = -
+ = -
．
故答案为：2024
-
▌题型10 已知式子的值求代数式的值
【典例10】（25-26 七年级上·四川宜宾·期中）已知
2
0
|
|
3
2
x
y
x
+
+
+
-
= ，则
x
y = ______ ．
【答案】25
【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵
2
0
|
|
3
2
x
y
x
+
+
+
-
= ，
∴
3
0,
2 0
x
y
x
+
+
=
- = ，
∴
2,
5
x
y
=
= - ，
∴
2
5
25
xy = -
=
．
【变式1】（25-26 七年级上·甘肃白银·期末）实数a满足
2
3
3
0
a
a
-
-
=
，则
2
3
9
2016
a
a
-
+
=______．
【答案】2025
【分析】由
2
3
3
0
a
a
-
-
=
得
2
3
3
a
a
-
=
，然后化简
2
2
3
9
2016
3
3
2016
a
a
a
a
-
+
=
-
+
，再代入计算即可．
【详解】解：∵
2
3
3
0
a
a
-
-
=
，
∴
2
3
3
a
a
-
=
，
∴
2
3
9
2016
a
a
-
+
2
3
3
2016
a
a
=
-
+
3 3
2016
= ´ +
9
2016
=
+
2025
=
．
【变式2】（25-26 七年级上·宁夏吴忠·期中）已知2
3
4
a
b
-
=
，则整式6
4
1
b
a
-
+ 的值是__________．
【答案】7
-
【分析】利用整体代入思想求解即可．
【详解】
2
3
4
a
b
-
=
Q
，
6
4
1
b
a
\
-
+
4
6
1
a
b
= -
+
+
2 2
3
1
a
b
= -
-
+
2 4 1
= - ´
+
7
= - ．
【变式3】（25-26 七年级上·江苏泰州·期末）已知,a b 互为相反数，,c d 互为倒数，则2026cd
a
b
-
-
= _______．
【答案】2026
【分析】本题主要考查了代数式求值，相反数和倒数的定义，互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两
个数的乘积为1，据此可得a
b
cd
+ ，
的值，再把所求式子变形为
2026cd
a
b
-
+
，据此代入求值即可．
【详解】解：∵,a b 互为相反数，,c d 互为倒数，
∴
0
1
a
b
cd
+
=
=
，
，
∴
2026
2026
2026 1
0
2026
cd
a
b
cd
a
b
-
-
=
-
+
=
´ -
=
，
故答案为：2026 ．
【变式4】（25-26 七年级上·山东聊城·阶段检测）已知,a b 互为相反数且,a b 不为0, ,c d 互为倒数，m是绝对
值为2 的负有理数，求
2
4
3
2
1
+
+
-
+
+
a
b
a
m
cd
m
b
的值．
【答案】12
-
【分析】首先根据相反数、倒数、绝对值的定义可知
0
a
b
+
=
，
1
cd = ，
2
m
-
=
，且
0,
0
a
b
¹
¹
，进而得到
1
a
b = - ，然后代入求值即可．
【详解】解：∵,a b 互为相反数且,a b 不为0，,c d 互为倒数，m是绝对值为2 的负有理数，
∴
0
a
b
+
=
，
1
cd = ，
2
m
-
=
，且
0,
0
a
b
¹
¹
，
∴
1
a
b = - ，
∴
2
2
0
4
3
4
2
3 1 1
12
2
1
2
2
1
a
b
a
m
cd
m
b
+
+
-
+
=
+ ´ -
- ´ - = -
+
´ -
+
．
【变式5】（25-26 七年级上·内蒙古赤峰·期末）“整体思想”是数学解题中的一种重要思想，它在整式的加减
中应用极为广泛．我们知道，
①
4
2
4
2 1
5
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
+
+
-
+
=
+
-
+
=
+
；
②
2
2
2
2
3
7
8
6
3
8
7
6
11
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
+
-
+
+
+
+
+
=
+
+
+ - +
+
=
+
-
+
．
①、②中就是把
a
b
+
和
x
y
+
各看成了一个整体进行的化简．
请利用“整体思想”尝试解决下列问题：
(1)把
2a
b
+
看成一个整体，化简
3
4 2
2
2
5
a
b
a
b
a
b
+
-
+
+
+
；
(2)若
2
x =
时，整式
2
3
9
ax
bx
-
+
=
，当
4
x = - 时，求整式
2
2
8
ax
bx
+
+
的值．
【答案】(1) 36
18
5
5
a
b
+
小学
初中
(2)32
【分析】（1）把
2a
b
+
看成一个整体，仿照示例化简即可；
（2）将
2
x =
代入
2
3
9
ax
bx
-
+
=
中化简得2
3
a
b
-
=
，再将
4
x = - 代入所求式子，然后整体代入求值即可．
【详解】（1）解：
3
4 2
2
2
5
a
b
a
b
a
b
+
-
+
+
+
3
4 1
2
5
a
b
æ
ö
=
- +
+
ç
÷
è
ø
18 2
5
a
b
=
+
36
18
5
5
a
b
=
+
；
（2）解：将
2
x =
代入
2
3
9
ax
bx
-
+
=
中得，
4
2
3
9
a
b
-
+
=
，
∴4
2
6
a
b
-
=
，
∴2
3
a
b
-
=
，
当
4
x = - 时，
2
2
8
16
8
8
8 2
8
8 3
8
32
ax
bx
a
b
a
b
+
+
=
-
+
=
-
+
= ´ +
=
．
