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第三章 坐标与位置
知识点一 确定位置
1. 核心原理
在平面内，想要唯一确定一个点的位置，必须需要两个独立数据，一个数据无法确定平面位置。
2. 三种常用定位方法
(1) 有序数对定位（行列法）：格式 (𝑎, 𝑏)，先横向、后纵向，顺序不可颠倒，顺序不同位置不
同。
(2) 方位角 + 距离定位：以观测点为中心，用“北偏东、北偏西、南偏东、南偏西”+ 距离确定
唯一位置，是生活、航海常用定位。
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(3) 经纬度定位：经度、纬度两组数据，可唯一确定地球上任意一点位置。
3. 考试关键点
所有平面定位，本质都是有序实数对，具有顺序性、唯一性。
知识点二 平面直角坐标系
1. 坐标系构成
在同一平面内，互相垂直、原点重合的两条数轴组成平面直角坐标系。水平为 x 轴（向右正方向），
竖直为 y 轴（向上正方向），交点为原点 𝑂(0,0)。
2. 象限坐标符号（必背）
象限
横坐标符号
纵坐标符号
坐标形式
第一象限
正
正
(+,+)
第二象限
负
正
(−,+)
第三象限
负
负
(−,−)
第四象限
正
负
(+,−)
3. 坐标轴上的点特征
x 轴上所有点：纵坐标为 0，形式 (𝑥, 0)，不属于任何象限；
y 轴上所有点：横坐标为 0，形式 (0, 𝑦)，不属于任何象限；
原点：横、纵坐标均为 0。
4. 平行坐标轴的直线特征
平行于 x 轴的直线：所有点纵坐标相同，横向平移；
平行于 y 轴的直线：所有点横坐标相同，纵向平移。
5. 点到坐标轴距离（高频考点）
点 𝑃(𝑥, 𝑦) 到 x 轴的距离 = 纵坐标的绝对值 |𝑦|
点 𝑃(𝑥, 𝑦) 到 y 轴的距离 = 横坐标的绝对值 |𝑥|
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知识点三 轴对称与坐标变化
1. 关于 x 轴对称（横轴）
变化规律：横坐标保持不变，纵坐标变为相反数。
公式：𝑃(𝑥, 𝑦) →𝑃1(𝑥, −𝑦)
2. 关于 y 轴对称（纵轴）
变化规律：纵坐标保持不变，横坐标变为相反数。
公式：𝑃(𝑥, 𝑦) →𝑃2(−𝑥, 𝑦)
3. 关于原点中心对称
变化规律：横坐标、纵坐标全部变为相反数。
公式：𝑃(𝑥, 𝑦) →𝑃3(−𝑥, −𝑦)
4. 图形对称性质
平面图形经过轴对称、中心对称变换后，图形的形状、大小、边长、周长、面积完全不变，仅位置
发生改变。
5. 解题技巧
做图形对称题，只需找出图形几个关键点的对称坐标，再依次连接即可得到对称图形。
易错点1 坐标系中的规律探究问题
易错提醒
易错点总结
1. 不会判断点的运动周期、循环规律，看错象限落点。
2. 只看数字变化，忽略象限符号规律、运动方向规律，通项写错。
3. 奇偶项规律不同，不分类讨论，统一公式出错。
4. 求第 n 个点坐标时，不会取余数分析位置，导致最终坐标完全错误。
5. 运动步数、边长增量数错，基础规律判断失误。
注意事项总结
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1. 坐标规律题固定步骤：找点→判象限→找周期→余数定位。
2. 一定要结合象限符号特征判断正负，不能只看数值。
3. 出现循环运动，先算出循环周期，用总次数÷周期，根据余数判断位置。
4. 奇偶项规律不一致时，必须分开写表达式。
5. 算出规律后，必须代回前 3 个点验证，保证无误。
【对点训练】1．如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点出发，第1 次运动到点
(
)
1 1,1
P
，第2 次运动到
点
(
)
2 2,0
P
，第3 次运动到点
(
)
3 2, 1
P
−
，第4 次运动到点
(
)
4 3, 1
P
−
，第5 次运动到点
(
)
5 3,0
P
，按这样的
运动规律．点
2026
P
的坐标是（ ）
A．(
)
1215,0
B．(
)
1216,1
C．(
)
1215,1
D．(
)
1216,0
【答案】B
【分析】由题意知，每5 个点循环一次，纵坐标依次为10
1
10
−
−
，，，，，横坐标每次循环增加3，由2026
405 5 1
=
?
，
可知
2026
P
与
1P 具有相同的特征，据此求解作答即可．
【详解】解：由题意知，这些点每5 个点循环一次，纵坐标依次为10
1
10
−
−
，，，，，横坐标每次循环增加3，
∵2026
405 5 1
=
?
，
∴
2026
P
与
1P 的纵坐标相同，即为1，横坐标为1 405 3
1216
+
=
，
∴点
2026
P
的坐标是(
)
1216,1 ，
易错点2 坐标系中的面积问题
易错提醒
易错点总结
1. 不会用坐标求线段长度，忘记距离要加绝对值，出现负数边长。
2. 斜三角形不会割补法，直接乱套底乘高，算错面积。
3. 平行坐标轴图形看错底和高，对应错边导致结果错误。
4. 割补法中多减、少减多余矩形或三角形，面积偏差。
5. 点在不同象限，坐标正负干扰，看错边长数值。
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注意事项总结
1. 水平距离：
1
2
x
x
−
，竖直距离：
1
2
y
y
−
，距离永远为正。
2. 三角形有边平行坐标轴：直接找水平底、竖直高，代入面积公式。
3. 斜三角形一律用矩形割补法：外框矩形面积 − 周围三个直角三角形面积。
4. 计算面积不看坐标正负，只看线段长度。
5. 最终面积一定是正数，出现负数直接判定计算错误。
【对点训练】2．如图，在平面直角坐标系中，已知
(
)
1,0
A −
，
(
)
3,0
B
，点M 为第三象限内一点．
(1)若
(
)
2
,2
10
M
m
m
−
−
到坐标轴的距离相等，MN
AB
∥
，且NM
AB
=
，求N 点坐标；
(2)若M 为(
)
2,m
−
，请用含m 的式子表示ABM
的面积．
【答案】(1)(
)
2, 2
−
或(
)
6, 2
−
−
(2) 2m
−
【分析】（1）先根据
(
)
2
, 2
10
M
m
m
−
−
到坐标轴的距离相等列方程求出m，进而得到点M 的坐标，再根据
MN
AB
∥
，且NM
AB
=
即可求出点N 的坐标；
（2）先判断
0
m
，再根据三角形的面积公式解答即可．
【详解】（1）解：∵
(
)
2
, 2
10
M
m
m
−
−
到坐标轴的距离相等，
∴2
2
10
m
m
−
=
−
，
即
(
)
2
2
10
m
m
−
=
−
，
解得：
4
m =
或
8
m =
，
∵M 为第三象限内一点，
∴
4
m =
．
∴点M 的坐标是(
)
2, 2
−
−
，
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∵
(
)
(
)
1, 0 ,
3, 0
A
B
−
，
∴
4
AB =
，
∵MN
AB
∥
，
∴设
(
)
, 2
N n −
，
∵
4
NM
AB
=
=
，
∴
2
4
n +
=
，
解得：
2
n =
或
6
n
−
=
，
∴N 点坐标是(
)
2, 2
−
或(
)
6, 2
−
−
；
（2）解：∵M 为(
)
2, m
−
且M 为第三象限内一点，
∴
0
m
，
∴ABM
的面积
(
)
1
1
4
2
2
2
AB m
m
m
=
=
−
= −
．
易错点3 坐标系中的动点问题
易错提醒
易错点总结
1. 不会用含 t 的式子表示动点坐标，左右、上下移动符号写反。
2. 分不清方向：x 轴左右、y 轴上下位移规律混乱。
3. 动点构成三角形、线段长度问题，忘记分类讨论位置。
4. 忽略 t 的取值范围，算出不合题意的解不舍去。
5. 动点距离计算不带绝对值，漏解、错解。
注意事项总结
1. 动点坐标万能口诀：右加左减、上加下减。
2. 先写初始坐标，再根据速度时间写出含 t 坐标。
3. 求线段距离必须加绝对值，避免符号问题丢解。
4. 动点题型一定要分类讨论：点在左侧/右侧、上方/下方。
5. 算出 t 后必须检验：时间 t>0、位置符合题意，舍去无效解。
【对点训练】3．如图1，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB
x
⊥
轴于点B ，AC
y
⊥
轴于点C ，已
知点
(
)
,0
B b
，
(
)
0,
C
c ，其中b ，c 满足
8
6
0
b
c
−
+
−
=
．
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(1)直接写出点A的坐标；
(2)如图2 ，点D 从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴向上运动，同时点E 从点A出发，以每秒2
个单位长度的速度沿射线BA向上运动，当点D 运动到点C 时，两点同时停止运动．过点E 作EG
y
⊥
轴于
点G ．设运动时间为t 秒，当
AEGC
DEG
S
S
四边形
三角形
时，求t 的取值范围；
(3)连接BC ，如图3，并平移线段BC ，使点B 的对应点M 恰好落在y 轴负半轴上，点C 的对应点为N ，连
接BN 交y 轴于点P ，当
4
OM
OP
=
时，求点M 的坐标．
【答案】(1)
(
)
8,6
A
(2)0
2
t
(3)(
)
0, 4
−
或(
)
0, 12
−
【分析】（1）利用非负数的性质求出b
c
、的值，得到点B
C
、
的坐标，进而即可求解；
（2）设运动时间为t 秒， 则OD
t
= ，
2
AE
t
=
，
6
2
6
DG
t
t
t
= +
−= + ，即得
8 2
16
AEGC
S
t
t
=
=
四边形
，
(
)
1
6
8
4
24
2
DEG
S
t
t
=
+
=
+
，再根据题意列出不等式解答即可；
（3）易知四边形BCNM 为平行四边形，所以P 为CM 与BN 的中点，设
(
)
0,
M
m ，又因为
(
)
0,6
C
，因此CM
的中点P 的坐标为
6
0,
2
m
+
，根据
4
OM
OP
=
，分情况列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵
8
6
0
b
c
−
+
−
=
，
∴
8
0
b−=
，
6
0
c −
=
，
∴
8
b =
，
6
c =
，
∴(
)
8,0
B
，
(
)
0,6
C
，
∵AB
x
⊥
轴于点B ，AC
y
⊥
轴于点C ，
∴
(
)
8,6
A
；
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（2）解：∵(
)
8,0
B
，
(
)
0,6
C
，
∴
8
OB =
，
6
OC =
，
由题意可知，四边形AEGC 是矩形，
∴
8
AC
OB
=
= ，
6
AB
OC
=
=
，
∵
1
D
v = 个单位/s ，
2
E
v =
个单位/s ，
∴OD
t
= ，
2
AE
CG
t
=
=
，
∴
6
DC
OC
OD
t
=
−
= −，
∴
6
2
6
DG
DC
CG
t
t
t
=
+
= −+
= + ，
∴
8 2
16
AEGC
S
t
t
=
=
四边形
，
(
)
1
6
8
4
24
2
DEG
S
t
t
=
+
=
+
，
∵
AEGC
DEG
S
S
四边形
三角形
，
∴
16
4
24
0
t
t
t
+
，
解得0
2
t
；
（3）解：设
(
)
0,
(
0)
M
m
m
， 连接BM
CN
、
，由平移可知四边形BCNM 为平行四边形，
∴P 为CM 与BN 的中点，
(
)
0,6
C
，
设
(
)
0,
M
m ，则
6
0,
2
m
P
+
，
①当点P 在y 轴正半轴，即6
0
2
m
+
时，如图，
4
OM
OP
=
，
6
4
2
m
m
+
=
∴-
，解得
4
m = −，
(
)
0, 4
M
−
∴
，
②当点P 在y 轴负半轴，即6
0
2
m
+
时，如图，
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4
OM
OP
=
∵
，
6
4
2
m
m
+
=
−
∴-
，解得
12
m = −
，
(
)
0, 12
M
−
∴
，
综上所述，当
4
OM
OP
=
时，点M 的坐标(
)
0, 4
−
或(
)
0, 12
−
．
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10 /
一、单选题
1．象棋是中国传统益智棋类、国粹之一，也是国家级非物质文化遗产．如图，如果用(
)
3,2
−
表示“马”的位
置，(
)
4,1 表示“炮”的位置，那么“将”的位置应表示为（ ）
A．(
)
1,0
B．(
)
1, 1
−
C．(
)
2,0
D．(
)
2, 1
−
【答案】B
【分析】根据“马”和“炮”的坐标建立平面直角坐标系，由坐标系得到“将”的坐标．
【详解】解：由“马”和“炮”的坐标可知平面直角坐标系如下图所示，
“将”的坐标是(
)
1, 1
−
．
2．北京时间2026 年5 月24 日，神舟二十三号载人飞船将于酒泉卫星发射中心发射．在发射场地面坐标系
中，某关键设备位于点
(
)
2
4,3
1
A
a
a
−
+
，已知点
(
)
2,3
B
，且直线AB
x
轴，则a 的值为（ ）
A．1
3
B．2
3
C．3
D．7
2
【答案】B
【分析】平行于x 轴的直线上所有点的纵坐标相等，利用该性质列方程求解即可．
【详解】解：∵直线AB
x
轴，
∴ 点A与点B 的纵坐标相等，
∵
(
)
2
4,3
1
A
a
a
−
+
，
(
)
2,3
B
，
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11 /
∴3
1
3
a + = ，
解得
2
3
a =
．
3．在平面直角坐标系中，对于点
(
)
,
P x y ，我们把
(
)
'
1,
1
P
y
x
−+
+
叫做点P 的“伴随点”．已知点
0A 的“伴随
点”为
1A ，点
1A 的“伴随点”为
2
A ，点
2
A 的“伴随点”为
3A ，…，这样依次得到点
1A ，
2
A ，
3A ，，
n
A ，若点
0A 的坐标为(
)
3,1 ，则点
2026
A
的坐标为（ ）．
A．(
)
3,1
B．(
)
0,4
C．(
)
3,1
−
D．(
)
0, 2
−
【答案】C
【分析】根据伴随点的定义求出前几个点的坐标，找出坐标的循环周期规律，再计算2026除以周期的余数，
根据余数确定
2026
A
的坐标．
【详解】解：∵点
0A 的坐标为(
)
3,1 ，点
(
)
,
P x y 的伴随点为(
)
1,
1
y
x
−+
+
∴
1A 的坐标为(
)
1 1,3 1
−+
+
，即(
)
0,4 ，
2
A 的坐标为(
)
4 1,0 1
−+
+
，即(
)
3,1
−
，
3A 的坐标为(
)
1 1, 3 1
−+
−+
，即(
)
0, 2
−
，
4A 的坐标为(
)
2
1,0 1
−−
+
+ ，即(
)
3,1 ，
∴
4A 与
0A 坐标相同 由此可知，点的坐标每4 个为一个循环周期
∵2026
4 506
2
=
+
∴
2026
A
的坐标与
2
A 的坐标相同，即为(
)
3,1
−
．
4．已知直线MN
x
轴，M 点的坐标为(
)
1,2
−
，且线段
6
MN =
，则N 点的坐标为（ ）
A．(
)
1,8
−
B．(
)
5,2
C．(
)
1,8
−
或(
)
1, 4
−−
D．(
)
7,2
−
或(
)
5,2
【答案】D
【分析】由MN
x
轴，可得点N 与点M 纵坐标相等，再根据
6
MN =
，分点N 在M 点左侧、右侧两种情况
计算横坐标，即可得到点N 的坐标．
【详解】解：∵直线MN
x
轴，点M 的坐标为(
)
1,2
−
，
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12 /
∴点N 的纵坐标为2 ，
∵
6
MN =
，
∴当点N 在点M 右侧时，点N 的横坐标为1 6
5
−+
=
，得
(
)
5,2
N
，
当点N 在点M 左侧时，点N 的横坐标为1 6
7
−−
= −，得
(
)
7,2
N −
，
∴点N 的坐标为(
)
7,2
−
或(
)
5,2 ．
5．如图，四边形PAOB为长方形，点
(
)
1
2 ,4
1
P
a
a
−
−
在第四象限，长方形的周长为16，则a 的值为（ ）
A．1
−
B．1
C．5
D．3
【答案】A
【分析】根据点的坐标以及点所在象限求得长方形的长与宽的长度，根据长方形的周长公式求解．
【详解】解：∵四边形PAOB是长方形，点P 的坐标为(
)
1 2 ,4
1
a
a
−
−
，
∴
1 2
,
4
1
OA
a PA
a
=
−
=
−
，
∵点
(
)
1
2 ,4
1
P
a
a
−
−
在第四象限，
∴1
2
0,4
1
0
a
a
−
−
，
∴
1
2 ,
1
4
OA
a PA
a
= −
= −
，
长方形的周长为(
)
1 2
1 4
2
16
a
a
−
+ −
=
，
解得
1
a = −．
二、填空题
6．如果点
(
)
1,
3
P m
m
+
+
在y 轴上，则点P 关于x 轴对称的点
1P 的坐标为________．
【答案】(
)
0, 2
−
【分析】根据y 轴上点的横坐标为0 求出m 的值，得到点P 的坐标，再根据关于x 轴对称的点的坐标特征，
即可求出所求点的坐标．
【详解】解：∵点
(
)
1,
3
P m
m
+
+
在y 轴上，
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13 /
∴
1
0
m+ =
，
解得
1
m = −，
∴
3
1 3
2
m+ = −+ =
， 即点P 的坐标为(
)
0,2 ，
∵关于x 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点P 关于x 轴对称的点
1P 的坐标为(
)
0, 2
−
．
7．2026年爆款电影《给阿嬷的情书》热映，该片以潮汕先民下南洋的真实故事为原型进行改编，巧妙地以
侨批为文化载体，讲透了刻在潮汕人骨子里的情与义，以最朴素方式戳中了国人内心最柔软之处．孙子晓
伟通过查阅资料得知，若以暹罗曼谷O（阿公郑木生打拼之地）为原点，则故土汕头老家A（阿嬷叶淑柔
留守之地）坐标大致为(
)
1600,1200 （单位：km），由此可以得到当年阿公阿嬷大约相隔________km．
【答案】2000
【分析】已知原点O和点A的坐标，可利用勾股定理计算两点间的距离，从而得到最终结果．
【详解】解：由题意可知，原点O的坐标为(
)
0,0 ，点A的坐标为(
)
1600,1200 ，
根据勾股定理得(
)
(
)
(
)
2
2
1600
0
1200
0
2000 km
−
+
−
=
，
∴当年阿公阿嬷大约相隔2000km．
8．如图，一个点
0A 从原点(
)
0,0 出发，经过一次运动后到
(
)
1 1,1
A
，第二次运动到
(
)
2 2, 1
A
−
，第三次运动到
(
)
3 3,3
A
，第四次运动到
(
)
4 4, 3
A
−
，第五次运动到
(
)
5 5,1
A
，第六次运动到
(
)
6 6, 1
A
−
，第七次运动到
(
)
7 7,3
A
，
第八次运动到
(
)
8 8, 3
A
−
，依此规律，则点
2026
A
的坐标为_________．
【答案】(
)
2026, 1
−
【分析】由已知坐标可得点
n
A 的横坐标为n ，纵坐标分别以1, 1
−，3, 3
−循环变化，据此解答即可求解．
【详解】解：∵
(
)
1 1,1
A
，
(
)
2 2, 1
A
−
，
(
)
3 3,3
A
，
(
)
4 4, 3
A
−
，
(
)
5 5,1
A
，
(
)
6 6, 1
A
−
，
(
)
7 7,3
A
，
(
)
8 8, 3
A
−
，，
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∴点
n
A 的横坐标为n ，纵坐标分别以1, 1
−，3, 3
−循环变化，
∴点
2026
A
的横坐标为2026，
2026 4
506
2
=
，
∴点
2026
A
的纵坐标为1
−，
2026
A
的坐标为(
)
2026, 1
−
．
9．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2 ．反复进行上述两种运
算，经过有限次运算后，必进入循环圈1
4
2
1
→
→
→，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy 中，将
点(
)
,x y 中的x ，y 分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x ，y 均为正整数．例
如，点(
)
6,3 经过第1次运算得到点(
)
3,10 ，经过第2 次运算得到点(
)
10,5 ，以此类推．则点(
)
2,1 经过2026次
运算后得到点____________．
【答案】(
)
1,4
【分析】根据新定义的运算法则，依次计算前几次运算得到的点坐标，找出循环规律，再利用规律求解2026
次运算后的结果即可．
【详解】解：根据题意，计算得：点(
)
2,1 经过第1次运算后得到的点为(
)
2
2,1 3 1
+
，即为点(
)
1,4 ，
经过第2 次运算后得到点为(
)
1 3 1,4
2
+
，即为点(
)
4,2 ，
经过第3次运算后得到点为(
)
4
2,2
2
，即为点(
)
2,1 ，
……
可得规律：点(
)
2,1 每经过3次运算为一个循环，
2026 3
675
1
=
，
点(
)
2,1 经过2026次运算后得到点(
)
1,4 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个
单位长度得到点
(
)
1
1, 1
P −−
；接着水平向右平移2 个单位长度，再竖直向上平移2 个单位长度得到点
2P ；接
着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点
3P ；接着水平向右平移4 个单位长度，
再竖直向上平移4 个单位长度得到点
4P ，…，按此作法进行下去，则点
2026
P
的坐标为________．
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【答案】(
)
1013,1013
【分析】由题意得到点的坐标规律
(
)
2
,
n
P
n n ，其中n 为正整数，当2
2026
n =
时即可得到答案．
【详解】解：由题意可得
(
)
1
1, 1
P −−
、
(
)
2 1,1
P
、
(
)
3
2, 2
P −
−
、
(
)
4 2,2
P
、，
则
(
)
2
,
n
P
n n ，其中n 为正整数，
点
2026
P
的坐标为(
)
1013,1013 ．
三、解答题
11．已知点(
)
2
4,
5
P
a
a
+
+
，解答下列各题
(1)若点P 在x 轴上，则点P 的坐标为_____；
(2)若点Q 的坐标为(
)
15, ，直线
//
PQ y 轴，求点P 的坐标；
(3)若点P 在第一象限，且它到x 轴的距离与y 轴的距离相等，求
2026
2026
a
a
+
的值．
【答案】(1)
(
)
6,0
−
(2)
7
1, 2
(3)
2027
【分析】（1）根据x 轴上的点的纵坐标为0，进行求解即可；
（2）根据平行于y 轴的直线上的点的横坐标相同，进行求解即可；
（3）根据点到坐标轴的距离公式，结合第一象限的点的符号特点，列出方程进行求解即可.
【详解】（1）解：∵点(
)
2
4,
5
P
a
a
+
+
在x 轴上，
∴
5
0
a + =
，解得
5
a = −，
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∴2
4
2 ( 5)
4
6
a +
=
−
+
= −，
∴点P 的坐标为(
)
6,0
−
；
（2）解：∵点Q 坐标为(
)
1,5 ，直线
//
PQ y 轴，
∴点P 和点Q 的横坐标相等，即2
4
1
a+
= ， 解得
3
2
a = −
，
∴
3
7
5
5
2
2
a +
= −
+
=
，
∴点P 的坐标为
7
1, 2
；
（3）解：∵点P 在第一象限，
∴2
4
0
a +
，
5
0
a +
，
∵点P 到x 轴的距离与到y 轴的距离相等，
∴2
4
5
a
a
+
=
+ ，解得
1
a = ，
将
1
a = 代入
2026
2026
a
a
+
得：
2026
2026
2026
1
2026 1
2027
a
a
+
=
+
=
.
12．在平面直角坐标系中，已知点
(
)
1
1
,
A x y
，点(
)
2
2
,
B x
y
，C 为线段AB 的中点，则点C 的坐标为
1
2
1
2
,
2
2
x
x
y
y
+
+
，例如：(
)
1,4
A −
，(
)
3,6
B
则线段AB 的中点C 的坐标为
1 3 4
6
,
2
2
−+
+
，即点C 的坐标为(
)
1,5 ．
(1)已知
(
)
3, 1
P
−
，
(
)
3, 3
Q −
−
，E 为线段PQ 的中点，则点E 的坐标为________；
(2)已知
(
)
2,8
M −
，
(
)
6,6
F −
，F 为线段MN 的中点，求点N 的坐标；
(3)已知两点(
)
2,4
A −
，
(
)
4,2
B
，点C 在x 轴上，点D 在y 轴上，若点A，B ，C ，D 中的任意两点构成的
线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，直接写出点C 的坐标．
【答案】(1)(
)
0, 2
−
；
(2)(
)
10,4
−
(3)(
)
6,0
−
或(
)
6,0 或(
)
2,0
【分析】（1）根据中点坐标公式求解即可；
（2）设点N 的坐标为(
)
,a b ，根据中点坐标公式建立方程求解即可；
（3）分三种情况：AD与BC 中点重合，AC 与BD中点重合和AB 与CD中点重合，根据中点坐标公式建立
方程求解即可．
【详解】（1）解：∵
(
)
3, 1
P
−
，
(
)
3, 3
Q −
−
，E 为线段PQ 的中点，
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∴点E 的横坐标为
(
)
3
3
0
2
+ −
=
，纵坐标为
(
)
1
3
2
2
−+ −
= −，
∴点E 的坐标为(
)
0, 2
−
；
（2）解：设点N 为的坐标(
)
,a b ，
由题意得，2
6
2
a
−+
= −，8
6
2
b
+
=
，
解得
10
a = −
，
4
b =
，
∴点N 的坐标为(
)
10,4
−
；
（3）解：设
(
)
,0
C x
，
(
)
0,
D
y ，
①AD与BC 中点重合时，则2
0
4
2
2
x
−+
+
=
，4
2
0
2
2
y
+
+
=
，
6
x
= −，
2
y = −，
∴
(
)
6,0
C −
；
②AC 与BD中点重合时，则2
4
0
2
2
x
−+
+
=
，4
0
2
2
2
y
+
+
=
，
6
x
=
，
2
y =
，
∴
(
)
6,0
C
；
③AB 与CD中点重合时，则2
4
0
2
2
x
−+
+
=
，4
2
0
2
2
y
+
+
=
，
2
x
=
，
6
y =
，
∴
(
)
2,0
C
；
综上所述，点C 的坐标为(
)
6,0
−
或(
)
6,0 或(
)
2,0 ．
13．下面是在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答．
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(1)观察发现：在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：
(
)
2,1
A
，
(
)
6,1
B
，
(
)
3, 2
C
−
−
，
(
)
3,4
D −
，
并连接AB ，CD，请写出线段AB 的中点坐标：__________，线段CD的中点坐标：________．
(2)探究迁移：如果有
(
)
,
M a b ，
(
)
,
N c d 两点，那么线段MN 的中点坐标是__________．
(3)拓展应用：已知三点
(
)
4, 2
E
−
，
(
)
3, 1
F −
−
，
(
)
1, 4
G −−
，点
(
)
,
H x y 与点E ，F ，G 中的一个点构成的线
段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点H 的坐标．
【答案】(1)连接线段AB ，CD如下图；
；(
)
4,1 ；(
)
3,1
−
(2)
,
2
2
a
c b
d
+
+
(3)(
) (
) (
)
8, 3 , 6, 5 , 2,1
−
−
−
【分析】（1）根据要求描点，连线，进而根据图象确定中点坐标即可；
（2）根据（1）中的两个中点坐标，进行猜想即可；
（3）分3 种情况，结合中点坐标公式，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，描点，作图见答案
由图可知：线段AB 的中点坐标为(
)
4,1 ，线段CD的中点坐标为(
)
3,1
−
；
（2）解：由（1）可知：AB 的中点坐标为2
6 1 1
,
2
2
+
+
，线段CD的中点坐标为
3
3
2
4
,
2
2
−−
−+
；
猜想：如果有
(
)
,
M a b ，
(
)
,
N c d 两点，
则线段MN 的中点坐标是
,
2
2
a
c b
d
+
+
；
（3）解：情况1：HF 与EG 中点重合时，3
4 1
1
2
4
,
2
2
2
2
x
y
−+
−
−+
−−
=
=
，
6,
5
x
y
=
= −，
此时
(6, 5)
H
−
；
情况2：HE 与FG 中点重合时，4
3 1
2
1 4
,
2
2
2
2
x
y
+
−−
−+
−−
=
=
，
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8,
3
x
y
= −
= −，
此时
( 8, 3)
H −
−
；
情况3：HG 与EF 中点重合时，1
4
3
4
2 1
,
2
2
2
2
x
y
−+
−
−+
−−
=
=
，
2,
1
x
y
=
= ，
此时
(2,1)
H
；
综上所述，H 点的坐标为( 8, 3),(6, 5),(2,1)
−
−
−
．
14．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(
)
9,0 ，点B 是第一象限的点，且BA
x
⊥
轴，点B
到x 轴的距离是5，过点B 作x 轴的平行线a ，与y 轴交于点C ．动点P 从点B 出发，以3 个单位长度/s 的
速度沿直线a 向左移动，动点Q 从原点O同时出发，以1 个单位长度/s 的速度沿x 轴向右移动，Q 到达A点
后，P 、Q 同时停止运动．
(1)点B 的坐标为_____；
(2)当
1s
t =
时，点P 的坐标为_____，点Q 的坐标为_____；
(3)当点
,
P Q 满足PQ
y
∥
时，求t 的值；
(4)当点
,
P Q 满足四边形PQAB 的面积为30 时，求点P 的坐标．
【答案】(1)(
)
9,5
(2)(
)
6,5 ，(
)
1,0
(3) 9
4
(4) 9 ,5
2
【分析】（1）根据题意可得点B 的横坐标为9，纵坐标为5，即可得解；
（2）根据题意写出坐标即可；
（3）设经过t 秒后，PQ
y
∥
轴，此时P，Q 两点的横坐标相等，据此列方程求解即可；
（4）设经过t 秒，四边形PQAB 的面积为30，此时
3
PB
t
=
，
9
QA
t
=
−，再结合梯形面积公式列方程求解即
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可．
【详解】（1）解：点A的坐标为(
)
9,0 ，且BA
x
⊥
轴，
点B 的横坐标为9，
点B 是第一象限的点，且点B 到x 轴的距离是5，
点B 的纵坐标为5，
点B 的坐标为(
)
9,5 ；
（2）解：过点B 作x 轴的平行线a ，动点P 从点B 出发，以3 个单位长度/s 的速度沿直线a 向左移动，
当
1s
t =
时，点P 向左移动3 个单位长度，且点P 的纵坐标为5，
点P 的坐标为(
)
9
3,5
−
，即(
)
6,5 ；
动点Q 从原点O同时出发，以1 个单位长度/s 的速度沿x 轴向右移动，
当
1s
t =
时，点Q 的坐标为(
)
1,0 ；
（3）解：设经过t 秒，PQ
y
∥
轴，此时P，Q 两点的横坐标相等，
由题意可知，P、Q 两点的横坐标分别为9 3t
−
、t，
则9 3t
t
−
= ，
解得：
9
4
t =
（4）解：设经过t 秒，四边形PQAB 的面积为30，此时
3
PB
t
=
，OQ
t
= ，
(
)
9,0
A
，
(
)
9,5
B
9
OA
= ，
5
AB =
，
9
QA
t
=
−，
(
)
(
)
1
1 3
9
5
30
2
2
PQAB
S
PB
QA
AB
t
t
=
+
=
+ −
=
四边形
，
解得
3
2
t =
，此时
9
3
2
PB
t
=
=
，
点P 的坐标为
9
9
,5
2
−
，即9 ,5
2
．
15．己知，在平面直角坐标系中，如图1，第一象限内有一点
(
)
,
C a b ，过点C 作线段CD垂直于x 轴，垂足
为D ，实数a 、b 满足
4
3
0
a
b
−
+
−
=
．
(
)
2,0
A −
，将线段CD向左平移使点D 和点A重合得到线段AB ，
连接BC 与y 轴相交于点M ，动点P 从A点出发，沿折线AB
BC
−
运动，运动到点C 停止运动，速度为每秒
2 个单位长度，设运动时间为t 秒．
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(1)直接写出点C 的坐标：
(2)当点P 在线段BC 上运动时，请直接用含t 的代数式表示在这一运动过程中线段PM 的长（规定：点P 与
点M 重合时，线段PM 的长为0．），并直接写出t 的取值范围：
(3)若点P 运动的同时，在线段AD上有一动点Q 从点D 出发向点A运动，速度为每秒1个单位长度，当PQ
y
轴时，点P 的坐标是多少；
(4)如图2，y 轴上有一点
(
)
0,2
E
，在点P 沿折线AB
BC
−
运动过程中是否存在t 值，使三角形PBE 的面积
为2.5？若存在，求出t 的值，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(
)
4,3
C
(2)当1.5
2.5
t
时，
5
2
PM
t
= −
；当2.5
4.5
t
时，
2
5
PM
t
=
−
(3)
(
)
1,3
P
(4)存在，
0.25
t =
，
(
)
2,0.5
P −
；
4
t =
，
(
)
3,3
P
【分析】（1）根据
4
3
0
a
b
−
+
−
=
可得
4
0,
3
0
a
b
−
=
−
=
，再求出解可得答案；
（2）分两种情况：当1.5
2.5
t
时，
5
2
PM
t
= −
；当2.5
4.5
t
时，
2
5
PM
t
=
−，即可得出答案；
（3）由题意，得点Q 的横坐标是4
t
−，再根据PQ
y
轴时，点P 与点Q 的横坐标相等，若点P 在线段AB
上，
2
Px = −，则2
4 t
−=
−，求出解，并判断；若点P 在线段BC 上，
2
5
Px
t
=
−，则2
5
4
t
t
−=
−，求出解，
并得出坐标；
（4）当点P 在线段AB 上运动时，0
1.5
t
，则
1 (3
2 ) 2
3
2
2
PBE
S
t
t
=
−
= −
，再根据面积相等求出解，进
而得出答案；当点P 在线段BC 上运动时，1.5
4.5
t
，则
1 (2
3) 1
1.5
2
PBE
S
t
t
=
−
= −
，然后根据面积相等
求出答案即可．
【详解】（1）解：∵
4
3
0
a
b
−
+
−
=
，
∴
4
0,
3
0
a
b
−
=
−
=
，
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解得
4,
3
a
b
=
= ，
∴点
(
)
4,3
C
；
（2）解：当1.5
2.5
t
时，
5
2
PM
t
= −
；
当2.5
4.5
t
时，
2
5
PM
t
=
−，
∴t 的取值范围是1.5
4.5
t
；
（3）解：由题意，得点Q 的横坐标是4
t
−，
当PQ
y
轴时，点P 与点Q 的横坐标相等，
若点P 在线段AB 上，
2
Px = −，则2
4 t
−=
−，
解得
6
t =
，此时
1.5
t
，不合题意，舍去；
若点P 在线段BC 上，
2
5
Px
t
=
−，则2
5
4
t
t
−=
−，
解得
3
t =
，
当
3
t =
时，
2 3 5
1,
3
P
P
x
y
= −=
=
，
∴点P 的坐标为(1,3)；
（4）解：存在．
当点P 在线段AB 上运动时，0
1.5
t
，则
1 (3
2 ) 2
3
2
2
PBE
S
t
t
=
−
= −
．
令3 2
2.5
t
−
=
，
解得
0.25
t =
，
此时点P 的坐标为( 2,0.5)
−
；
当点P 在线段BC 上运动时，1.5
4.5
t
，
∴
1 (2
3) 1
1.5
2
PBE
S
t
t
=
−
= −
，
令
1.5
2.5
t −
=
，解得
4
t =
，
此时点P 的坐标为(3,3) ，
所以存在t 值，当
0.25
t =
时，点P 的坐标为( 2,0.5)
−
；当
4
t =
时，点P 的坐标为(3,3) ．
