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2026-2027 学年八年级上学期数学周周测09
3.1-3.2 位置的确定与平面直角坐标系
一、选择题（本题共10 小题，每小题2 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．根据下列表述，能确定具体位置的是（ ）
A．横店电影城1 号厅6 排
B．曲靖市罗平县
C．北纬
，东经
D．南偏西
【答案】C
【分析】根据平面内确定一个具体位置需要两个独立的有序数据逐项进行判断．
【详解】解：平面内确定具体位置需要两个有序的唯一数据，
A 选项，横店电影城1 号厅6 排，缺少具体座位号，无法确定具体位置；
B 选项，曲靖市罗平县是一个大范围区域，无法确定具体位置；
C 选项，北纬
，东经
，两个数据可以唯一确定具体位置；
D 选项，南偏西
，缺少距离信息，无法确定具体位置．
2．如图，小明在A 处，小华在B 处，
．对于小华的位置，下列描述能确定位置的是（ ）
A．小华在小明的北偏东
方向
B．小华在小明的北偏东
方向，相距为
处
C．小华在小明的北偏东
方向
D．小华在小明的北偏东
方向，相距为
处
【答案】B
【分析】根据方位角+距离的描述方式，求解即可；
【详解】解：根据题意，得小华在小明的北偏东
方向，相距为
处，或小华在小明的东偏北
方向，
相距为
处．
3．
年
月
日，北京密云正式对外发布城市品牌“来密云看海”，品牌
是一个“云”字．如图，
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将其放入正方形网格中，若点
的坐标为
，点
的坐标为
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：由题意，画出坐标系如图：
则点
的坐标为
，
故选：A．
4．如果点
在
轴上，那么点
所在的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】根据y 轴上点的横坐标为0 求出a 的值，再计算得到点N 的横纵坐标，根据平面直角坐标系中各
象限点的坐标特征，判断点N 所在象限．
【详解】解：∵点
在
轴上，y 轴上的点横坐标为0，
∴
，解得
，
把
代入点
的坐标计算得：
，
，
∴点
的坐标为
，
∵横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限点的坐标特征，
∴点
在第四象限．
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5．在平面直角坐标系中，已知点
，以原点
为圆心，
为半径画弧，交
轴的正半轴于点
，则
点
的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先利用勾股定理求出
的长度，根据作图可知
，结合点
在
轴正半轴的位置即可得到
点
的坐标．
【详解】解：
原点
坐标为
，点
坐标为
，
，
以点
为圆心
长为半径画弧，交
轴的正半轴于点
，
，
点
坐标为
．
6．已知平面直角坐标系中有
和
两点，且点
在第四象限，
，直线
轴，则
的值为（ ）
A．
或
B．
C．
D．2 或12
【答案】C
【分析】先根据平行于
轴的直线上点的坐标特征得到
的值，再根据
的长度得到
的所有可能值，结
合点
在第四象限的条件确定
的取值，最后代入计算
即可．
【详解】解：
直线
轴，
、
两点的横坐标相等，
，
，
，
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解得
或
，
点
在第四象限，第四象限内点的纵坐标为负数，
，
．
7．在平面直角坐标系中，三角形
三个顶点的坐标分别为
，
，
，当
最
短时，三角形
的面积和t 的值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
、
横坐标相同得
为定长竖直线段，根据点C 到
的距离计算三角形面积，再结合垂线
段最短可求
最短时的t 值．
【详解】解：
，
，
横坐标相同，
轴，
．
点
到直线
的距离为
，
．
根据垂线段最短，当
时，
最短，
此时
轴，点
的纵坐标与点
的纵坐标相等，
即
，解得
．
8．如图，点
为曲线上一动点，且点
的坐标满足等式
，若点
在第二象限，则下列
说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据点
在第二象限确定
、
的符号，结合等式
及非负数的性质求解
、
的取值范
围．
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【详解】解：
点
在第二象限，
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
故A、B 错误．
，
，
，
，
∴
，
，
∴
．
故C 错误，D 正确．
9．在平面直角坐标系中，点
，
，
，
轴，点Q 的纵坐标为
．下
列说法正确的是（ ）
A．当
时，点B 是线段
的中点 B．存在唯一一个m 的值，使得
C．不存在m，使得
D．无论m 取何值，线段
的长度恒为定值
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形性质，根据已知点坐标计算各线段长度，逐个验证选项即可得到答案．
【详解】解：∵点
，
，
，
轴，点
纵坐标为
，
∴
横坐标与
相同，
．
验证选项A：
当
时，
，
，
中点横坐标为
，
点横坐标为
，
∵
，∴
不是线段
的中点，A 错误；
验证选项D：
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，长度随
变化，不是定值，D 错误；
验证选项C：
，若
，则
，
两边平方得
，整理得
，解得
，存在满足条件的
，C 错误；
验证选项B：
，若
，则
，
两边平方得
，整理得
，解得
，只有唯一一个解，
∴ 存在唯一一个
满足条件，B 正确．
10．如图，在平面直角坐标系上有一个质点
，质点
第一次移动至点
，第二次移动至点
，第三次移动至点
，第四次移动至点
，…依此规律移动下去．下列说法：
①第十次移动至点
；
②点
到y 轴的距离是1014 个单位长度；
③第
次移动至点
，第2n 次移动至点
，则点
与点
之间的距离是
．
其中正确的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】当下标为偶数
时，横坐标为
，纵坐标为
，当下标为奇数
时，横坐标为
，
纵坐标为
，解答即可；
【详解】解：根据题意，得点
，点
，点
，第三次移动至点
，第四次移动至
点
，…依此规律移动下去．
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当下标为偶数
时，横坐标为
，纵坐标为
，
故第十次移动至点
即
；故①错误；
下标为奇数
时，横坐标为
，纵坐标为
，此时到y 轴的距离为
，
故点
到y 轴的距离是
个单位长度；
故②正确；
根据题意，得第
次移动至点
，下标为奇数，故坐标为
，
第
次移动至点
，下标为偶数，坐标为
，
∴
轴
故点
与点
之间的距离是
．故③正确．
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11．点
在第_____象限．
【答案】三
【分析】根据各象限内点的坐标符号特征即可判断．
【详解】解：∵点
的横坐标
，纵坐标
，
∴点
在第三象限．
12．如图中，每个小正方体的体积都是
．当正方体甲、乙如图摆放时，它们的位置可以分别表示为
和
．那么正方体丙的位置可以表示为( )．
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【答案】
【分析】根据已知点甲、乙的坐标确定有序数对中三个数分别代表的几何意义，即列数、行数和层数，进
而确定丙的坐标．
【详解】解：由正方体甲的位置
可知，有序数对的第一个数表示列数，第二个数表示行数，第三个
数表示层数，
由正方体乙的位置
可知，乙位于第列，第
行，第层，符合图形特征，
观察图形可知，正方体丙位于第
列，第行，第
层，
所以正方体丙的位置可以表示为
．
13．如图，已知点
，
，
，则三角形
的面积为_______．
【答案】
【分析】根据
可得三角形
的面积．
【详解】解：如图，
∵
，
，
∴
，
∴
．
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14．在平面直角坐标系
中，点的坐标为
，若
轴，且
，则
点坐标为___________．
【答案】
或
【分析】由
轴可得点
横坐标与点
相同，再分点
在点
上方、下方两种情况，结合
计算
纵坐标即可．
【详解】解：∵
轴，点
的坐标为
，
∴
B 的横坐标为
．
，
当点
在点
上方时，点
的纵坐标为
，
此时点
坐标为
；
当点
在点
下方时，点
的纵坐标为
，此时点
坐标为
，
∴点B 的坐标为
或
．
15．点
到x 轴和y 轴的距离相等，则点P 的坐标是______．
【答案】
或
【分析】点到
轴的距离等于纵坐标的绝对值，到
轴的距离等于横坐标的绝对值，根据距离相等列方程求
解
，再计算点
的坐标．
【详解】解：∵点
到
轴的距离为
，到
轴的距离为
，
又点
到
轴和
轴的距离相等，
∴
，
∴
或
，
解得
或
，
∴当
时，
，
，此时点
坐标为
；
当
时，
，
，此时点
坐标为
．
∴点
的坐标是
或
．
16．新定义：在平面直角坐标系
中，若点
，点
，则称点Q 是点
的“
级关联
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点”（其中
为常数，且
）．若点
的“ 级关联点”在坐标轴上，则
的值是________．
【答案】
或
【分析】根据新定义求出点
的级关联点
的坐标，再利用坐标轴上点的坐标特征，分横坐标为
和纵坐
标为
两种情况列方程求解
即可．
【详解】解：由“
级关联点”定义得
，
点
，即
，
点
的坐标为
，整理得
，
点
在坐标轴上，
分两种情况讨论：
当点
在
轴上时，横坐标为
，即
，解得
；
当点
在
轴上时，纵坐标为
，即
，解得
．
三、解答题：本题共8 小题,第17~22 题7 分，第23~24 题10 分，共62 分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
17．根据指令
（
，单位：
，
），机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针
旋转角度
，再面向旋转后角度
的方向，沿直线行走s 个单位，如
表示机器人由点
运动到点（如
图1）．
(1)如图2，若机器人从
运动到
，则机器人收到一个什么指令？
(2)若机器人接到指令
运动到点
处，请你在图3 中画出机器人从
到
的运动路径．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据图示求解即可；
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（2）由指令得到先原地逆时针旋转
，再面向旋转后的方向，沿直线行走
，然后画图即可．
【详解】（1）解：根据题意得，机器人从
运动到
，收到的指令为
；
（2）解：如图，
即为所求．
18．如图，在
的正方形网格（每小格边长为1）内有一只甲壳虫，它爬行的规律总是沿网格线先左右，
再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．甲壳虫从A 到B 的爬行路线记为：
，从
B 到A 的爬行路线记为：
，其中第一个数表示左右爬行，第二个数表示上下爬行．
(1)图中
（_______，_______），
（_______，_______）．
(2)若甲壳虫的爬行路线为
，计算甲壳虫爬行的路程．
(3)若甲壳虫从点A 出发，爬行路线依次为
，
，
，
，最终到达点P 处，请在
图中标出点P 的位置．
【答案】(1)
，
，
，
(2)10
(3)点
的位置如图所示：
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据题意可直接列式进行求解；
（3）根据“爬行路线依次为
，
，
，
”进行作图即可．
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【详解】（1）解：由题意得：图中
，
．
（2）解：
，
，
，
甲壳虫爬行的路程为
；
（3）略
19．在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标为
．
(1)若点P 在x 轴上，求点P 的坐标；
(2)若点P 的横坐标比纵坐标大2，求点P 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用x 轴上点的纵坐标为0 列方程求解a，再计算点P 的坐标即可；
（2）根据横坐标比纵坐标大2 的数量关系列方程求解a，再计算点P 的坐标．
【详解】（1）解：∵ 点P 在x 轴上，
∴
， 解得
，
将
代入横坐标得：
，
∴点P 的坐标为
．
（2）解：∵点P 的横坐标比纵坐标大2，
∴
， 整理得
， 解得
，
将
代入横纵坐标得：
，
，
∴ 点P 的坐标为
．
20．如图，一艘轮船先从
地出发行驶到
地，又从
地行驶到
地，
地在
地南偏西的方向，距离
地
80 海里，
地在
地北偏西的方向，距离
地100 海里．
(1)表示出
地相对于
地的位置；
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(2)求
，
两地之间的距离．
【答案】(1)
地在
地南偏东
的方向，距离
地100 海里
(2)
海里
【分析】（1）结合图形观察即可求解；
（2）判断
，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，
∵C 地在B 地北偏西
的方向，距离B 地100 海里
∴B 地在C 地南偏东
的方向，距离C 地100 海里；
（2）解：根据题意，得
，
∴
（海里），
即A，C 两地之间的距离
海里．
21．如图，在平面直角坐标系中，
的顶点坐标分别为
．
(1)在
中，边
上的高的长度为 个单位长度；
(2)在图中画出
关于x 轴对称的
，点 A，B 的对称点为点
，
；
(3)P 是y 轴上一点，若
的面积等于
的面积的一半，求点P 的坐标．
【答案】(1)3
(2)画出
如图所示．
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(3)
或
【分析】（1）结合图像可看出边
上的高的长度就是点A 到y 轴的距离，即可求解；
（2）根据关于x 轴对称的点的坐标特征确定点
，
的坐标，描点连线即可；
（3）先设点P 的坐标，再根据点的坐标特征以及三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）在
中，边
上的高的长度就是点A 到y 轴的距离，即为
个单位长度．
（2）略
（3）根据题意，设点P 的坐标为
，
则
．
．
，
，
，
，
或
，
则点P 的坐标为
或
．
22．【教材呈现】下图是人教版七年级下册数学教材第42 页的部分内容．
【探究】：
怎样用两个面积为
的小正方形拼成一个面积为
的大正方形？这个大正方形的
边长是多少？
如图①，把两个小正方形沿对角线剪开，将所得4 个直角三角形拼在一起，就得到一个
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面积为
的大正方形．
【问题解决】
(1)图①中大正方形的边长为_____，小正方形的对角线的长为________．
【拓展应用】如图②，在平面直角坐标系
中，已知点
，
；
(2)线段
的长为_________，请选用合适的工具，描出点
的位置；
(3)若点
在坐标轴上，且
，请判断：点
的位置_________（填“唯一”或“不唯一”），若唯一，
请说明理由；若不唯一，请直接写出所有点
的坐标_________．
【答案】(1)
，
(2)
；
点
如图所示，
(3)不唯一；
或
或
）或
）
【分析】（1）依据题意，由算术平方根的定义即可得出答案；
（2）根据勾股定理即可得到结论；
（3）根据点的坐标即可得到结论．
【详解】（1）解：∵图中大正方形的面积为
，
∴图中大正方形的边长为
，
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∴小正方形的对角线的长为
．
（2）解：∵点
，
∴
，
∴线段
的长为
，
点
的位置画图见答案；
（3）解：∵
，
，
∴当点
在
轴上时，
，
；
当点
在轴上时，
，
∴
，
，
∴点
的位置不唯一，如图所示．
23．如图，以直角三角形
的直角顶点O 为原点，以
，
所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标
系，点
，
满足
．
(1)
________；
________．
(2)已知坐标轴上有两动点P，Q 同时出发，P 点从C 点出发以每秒2 个单位长度的速度向点O 匀速移动，Q
点从O 点出发以每秒1 个单位长度的速度向点A 匀速移动，点P 到达O 点整个运动随之结束．
的中点
D 的坐标是
，设运动时间为t 秒．
问：是否存在这样的t，使得
与
的面积相等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．
(3)在（2）的条件下，若
，点G 是第二象限中一点，并且y 轴平分
．点E 是线段
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上一动点，连接
交
于点H，当点E 在线段
上运动的过程中，探究
，
，
之间
的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)6；8；24；
(2)存在
时，使得
与
的面积相等；
(3)
，证明如下：
∵x 轴
轴，
∴
，
，
又∵
，
∴
，
∵y 轴平分
，
∴
∴
∴
，
如图，过点H 作
交x 轴于F，
∴
，
∴
，
，
∴
即
．
【分析】（1）利用非负性即可求出a，b；
（2）先表示出
，
，利用面积相等，建立方程求解即可得出结论；
（3）先判断出
，进而判断出
，即可判断出
，
，进
而可得出结论．
【详解】（1）解：∵
，
∴
，
，
∴
，
；
（2）解：由题意可知
，
；
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∴
，
，
由
时，
∴存在
时,使得
与
的面积相等．
（3）略
24．在平面直角坐标系中，对于任意两点
和
，我们定义它们的“横纵差”为：
．若
，则称P，Q 两点互为“平衡点”．例如：
若点
，
，则
，所以点A，B 不是“平衡点”；
若点
，
，则
，所以点C，D 互为“平衡点”．
(1)若点A 的坐标是
，下列各点中，与点A 互为“平衡点”的是________；
①
②
③
(2)已知点
，点C，D 互为“平衡点”，小慧认为这样的点D 有无数个，请判断小慧的说法是
否正确？若正确，请在平面直角坐标系中描出一些符合要求的点，并通过观察，写出你的一个猜想；若错
误，请说明理由；
(3)已知点M，P 的坐标分别是
，
，点Q 是y 轴上的一个动点．当点P，Q 互为“平衡点”，三
角形
的面积为3 时，求a 的值．
【答案】(1)①③
(2)小慧的说法正确，猜想：这样的点
在两条直线上，如图所示：
小学
初中
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(3) 的值为
或
或
或
【分析】（1）根据新定义逐一判断即可；
（2）设
，根据新定义可得
或
，再画图并给出猜想；
（3）设点
的坐标为
，可得
，可得
或
．再进一步求解即可.
【详解】（1）解：①∵
，
，
∴
∴点
，
互为“平衡点”．
②∵
，
，
∴
，
∴点
，
不是互为“平衡点”．
③∵
，
，
∴
，
∴点
，
互为“平衡点”．
综上所述，与点A 互为“平衡点”的是①
，③
．
（2）解：小慧的说法是正确的．理由：设
，
由“平衡点”定义可得：
，
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∴
，
∴
或
，
∴
或
，
画图略：猜想：这样的点
在两条直线上.
（3）解：设点
的坐标为
．
∵
，
互为“平衡点”，
∴
．
解得
或
．
∴
或
．
当
时，
．解得
．
当
时，
．解得
．
∴的值为
或
或
或
．
