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第三章 坐标与位置
知识点一 确定位置
1. 核心原理
在平面内，想要唯一确定一个点的位置，必须需要______独立数据，一个数据无法确定平面位置。
2. 三种常用定位方法
(1) 有序数对定位（行列法）：格式 (𝑎, 𝑏)，先______、后______，顺序不可颠倒，顺序不同
位置______。
(2) 方位角 + 距离定位：以观测点为中心，用“北偏东、北偏西、南偏东、南偏西”+ 距离确定
唯一位置，是生活、航海常用定位。
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(3) 经纬度定位：______、______两组数据，可唯一确定地球上任意一点位置。
3. 考试关键点
所有平面定位，本质都是有序实数对，具有顺序性、唯一性。
知识点二 平面直角坐标系
1. 坐标系构成
在同一平面内，互相______、原点重合的两条______组成平面直角坐标系。水平为 ______轴（向
右正方向），竖直为 ______ 轴（向上正方向），交点为原点____________。
2. 象限坐标符号（必背）
象限
横坐标符号
纵坐标符号
坐标形式
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
3. 坐标轴上的点特征
x 轴上所有点：纵坐标为 0，形式 ______，不属于任何象限；
y 轴上所有点：横坐标为 0，形式 ______，不属于任何象限；
原点：横、纵坐标均为 ______。
4. 平行坐标轴的直线特征
平行于 x 轴的直线：所有点______相同，横向平移；
平行于 y 轴的直线：所有点______相同，纵向平移。
5. 点到坐标轴距离（高频考点）
点 𝑃(𝑥, 𝑦) 到 x 轴的距离 = ______坐标的绝对值 |𝑦|
点 𝑃(𝑥, 𝑦) 到 y 轴的距离 = ______坐标的绝对值 |𝑥|
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知识点三 轴对称与坐标变化
1. 关于 x 轴对称（横轴）
变化规律：______坐标保持不变，纵坐标变为______。
公式：𝑃(𝑥, 𝑦) →𝑃1(𝑥, −𝑦)
2. 关于 y 轴对称（纵轴）
变化规律：______坐标保持不变，横坐标变为______。
公式：𝑃(𝑥, 𝑦) →𝑃2(−𝑥, 𝑦)
3. 关于原点中心对称
变化规律：横坐标、纵坐标全部变为______。
公式：𝑃(𝑥, 𝑦) →𝑃3(−𝑥, −𝑦)
4. 图形对称性质
平面图形经过轴对称、中心对称变换后，图形的形状、大小、边长、周长、面积完全不变，仅位置
发生改变。
5. 解题技巧
做图形对称题，只需找出图形几个关键点的对称坐标，再依次连接即可得到对称图形。
易错点1 坐标系中的规律探究问题
易错提醒
易错点总结
1. 不会判断点的运动周期、循环规律，看错象限落点。
2. 只看数字变化，忽略象限符号规律、运动方向规律，通项写错。
3. 奇偶项规律不同，不分类讨论，统一公式出错。
4. 求第 n 个点坐标时，不会取余数分析位置，导致最终坐标完全错误。
5. 运动步数、边长增量数错，基础规律判断失误。
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注意事项总结
1. 坐标规律题固定步骤：找点→判象限→找周期→余数定位。
2. 一定要结合象限符号特征判断正负，不能只看数值。
3. 出现循环运动，先算出循环周期，用总次数÷周期，根据余数判断位置。
4. 奇偶项规律不一致时，必须分开写表达式。
5. 算出规律后，必须代回前 3 个点验证，保证无误。
【对点训练】1．如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点出发，第1 次运动到点
(
)
1 1,1
P
，第2 次运动到
点
(
)
2 2,0
P
，第3 次运动到点
(
)
3 2, 1
P
−
，第4 次运动到点
(
)
4 3, 1
P
−
，第5 次运动到点
(
)
5 3,0
P
，按这样的
运动规律．点
2026
P
的坐标是（ ）
A．(
)
1215,0
B．(
)
1216,1
C．(
)
1215,1
D．(
)
1216,0
易错点2 坐标系中的面积问题
易错提醒
易错点总结
1. 不会用坐标求线段长度，忘记距离要加绝对值，出现负数边长。
2. 斜三角形不会割补法，直接乱套底乘高，算错面积。
3. 平行坐标轴图形看错底和高，对应错边导致结果错误。
4. 割补法中多减、少减多余矩形或三角形，面积偏差。
5. 点在不同象限，坐标正负干扰，看错边长数值。
注意事项总结
1. 水平距离：
1
2
x
x
−
，竖直距离：
1
2
y
y
−
，距离永远为正。
2. 三角形有边平行坐标轴：直接找水平底、竖直高，代入面积公式。
3. 斜三角形一律用矩形割补法：外框矩形面积 − 周围三个直角三角形面积。
4. 计算面积不看坐标正负，只看线段长度。
5. 最终面积一定是正数，出现负数直接判定计算错误。
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【对点训练】2．如图，在平面直角坐标系中，已知
(
)
1,0
A −
，
(
)
3,0
B
，点M 为第三象限内一点．
(1)若
(
)
2
,2
10
M
m
m
−
−
到坐标轴的距离相等，MN
AB
∥
，且NM
AB
=
，求N 点坐标；
(2)若M 为(
)
2,m
−
，请用含m 的式子表示ABM
的面积．
易错点3 坐标系中的动点问题
易错提醒
易错点总结
1. 不会用含 t 的式子表示动点坐标，左右、上下移动符号写反。
2. 分不清方向：x 轴左右、y 轴上下位移规律混乱。
3. 动点构成三角形、线段长度问题，忘记分类讨论位置。
4. 忽略 t 的取值范围，算出不合题意的解不舍去。
5. 动点距离计算不带绝对值，漏解、错解。
注意事项总结
1. 动点坐标万能口诀：右加左减、上加下减。
2. 先写初始坐标，再根据速度时间写出含 t 坐标。
3. 求线段距离必须加绝对值，避免符号问题丢解。
4. 动点题型一定要分类讨论：点在左侧/右侧、上方/下方。
5. 算出 t 后必须检验：时间 t>0、位置符合题意，舍去无效解。
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【对点训练】3．如图1，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB
x
⊥
轴于点B ，AC
y
⊥
轴于点C ，已
知点
(
)
,0
B b
，
(
)
0,
C
c ，其中b ，c 满足
8
6
0
b
c
−
+
−
=
．
(1)直接写出点A的坐标；
(2)如图2 ，点D 从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴向上运动，同时点E 从点A出发，以每秒2
个单位长度的速度沿射线BA向上运动，当点D 运动到点C 时，两点同时停止运动．过点E 作EG
y
⊥
轴于
点G ．设运动时间为t 秒，当
AEGC
DEG
S
S
四边形
三角形
时，求t 的取值范围；
(3)连接BC ，如图3，并平移线段BC ，使点B 的对应点M 恰好落在y 轴负半轴上，点C 的对应点为N ，连
接BN 交y 轴于点P ，当
4
OM
OP
=
时，求点M 的坐标．
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一、单选题
1．象棋是中国传统益智棋类、国粹之一，也是国家级非物质文化遗产．如图，如果用(
)
3,2
−
表示“马”的位
置，(
)
4,1 表示“炮”的位置，那么“将”的位置应表示为（ ）
A．(
)
1,0
B．(
)
1, 1
−
C．(
)
2,0
D．(
)
2, 1
−
2．北京时间2026 年5 月24 日，神舟二十三号载人飞船将于酒泉卫星发射中心发射．在发射场地面坐标系
中，某关键设备位于点
(
)
2
4,3
1
A
a
a
−
+
，已知点
(
)
2,3
B
，且直线AB
x
轴，则a 的值为（ ）
A．1
3
B．2
3
C．3
D．7
2
3．在平面直角坐标系中，对于点
(
)
,
P x y ，我们把
(
)
'
1,
1
P
y
x
−+
+
叫做点P 的“伴随点”．已知点
0A 的“伴随
点”为
1A ，点
1A 的“伴随点”为
2
A ，点
2
A 的“伴随点”为
3A ，…，这样依次得到点
1A ，
2
A ，
3A ，，
n
A ，若点
0A 的坐标为(
)
3,1 ，则点
2026
A
的坐标为（ ）．
A．(
)
3,1
B．(
)
0,4
C．(
)
3,1
−
D．(
)
0, 2
−
4．已知直线MN
x
轴，M 点的坐标为(
)
1,2
−
，且线段
6
MN =
，则N 点的坐标为（ ）
A．(
)
1,8
−
B．(
)
5,2
C．(
)
1,8
−
或(
)
1, 4
−−
D．(
)
7,2
−
或(
)
5,2
5．如图，四边形PAOB为长方形，点
(
)
1
2 ,4
1
P
a
a
−
−
在第四象限，长方形的周长为16，则a 的值为（ ）
A．1
−
B．1
C．5
D．3
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二、填空题
6．如果点
(
)
1,
3
P m
m
+
+
在y 轴上，则点P 关于x 轴对称的点
1P 的坐标为________．
7．2026年爆款电影《给阿嬷的情书》热映，该片以潮汕先民下南洋的真实故事为原型进行改编，巧妙地以
侨批为文化载体，讲透了刻在潮汕人骨子里的情与义，以最朴素方式戳中了国人内心最柔软之处．孙子晓
伟通过查阅资料得知，若以暹罗曼谷O（阿公郑木生打拼之地）为原点，则故土汕头老家A（阿嬷叶淑柔
留守之地）坐标大致为(
)
1600,1200 （单位：km），由此可以得到当年阿公阿嬷大约相隔________km．
8．如图，一个点
0A 从原点(
)
0,0 出发，经过一次运动后到
(
)
1 1,1
A
，第二次运动到
(
)
2 2, 1
A
−
，第三次运动到
(
)
3 3,3
A
，第四次运动到
(
)
4 4, 3
A
−
，第五次运动到
(
)
5 5,1
A
，第六次运动到
(
)
6 6, 1
A
−
，第七次运动到
(
)
7 7,3
A
，
第八次运动到
(
)
8 8, 3
A
−
，依此规律，则点
2026
A
的坐标为_________．
9．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2 ．反复进行上述两种运
算，经过有限次运算后，必进入循环圈1
4
2
1
→
→
→，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy 中，将
点(
)
,x y 中的x ，y 分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x ，y 均为正整数．例
如，点(
)
6,3 经过第1次运算得到点(
)
3,10 ，经过第2 次运算得到点(
)
10,5 ，以此类推．则点(
)
2,1 经过2026次
运算后得到点____________．
10．如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个
单位长度得到点
(
)
1
1, 1
P −−
；接着水平向右平移2 个单位长度，再竖直向上平移2 个单位长度得到点
2P ；接
着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点
3P ；接着水平向右平移4 个单位长度，
再竖直向上平移4 个单位长度得到点
4P ，…，按此作法进行下去，则点
2026
P
的坐标为________．
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三、解答题
11．已知点(
)
2
4,
5
P
a
a
+
+
，解答下列各题
(1)若点P 在x 轴上，则点P 的坐标为_____；
(2)若点Q 的坐标为(
)
15, ，直线
//
PQ y 轴，求点P 的坐标；
(3)若点P 在第一象限，且它到x 轴的距离与y 轴的距离相等，求
2026
2026
a
a
+
的值．
12．在平面直角坐标系中，已知点
(
)
1
1
,
A x y
，点(
)
2
2
,
B x
y
，C 为线段AB 的中点，则点C 的坐标为
1
2
1
2
,
2
2
x
x
y
y
+
+
，例如：(
)
1,4
A −
，(
)
3,6
B
则线段AB 的中点C 的坐标为
1 3 4
6
,
2
2
−+
+
，即点C 的坐标为(
)
1,5 ．
(1)已知
(
)
3, 1
P
−
，
(
)
3, 3
Q −
−
，E 为线段PQ 的中点，则点E 的坐标为________；
(2)已知
(
)
2,8
M −
，
(
)
6,6
F −
，F 为线段MN 的中点，求点N 的坐标；
(3)已知两点(
)
2,4
A −
，
(
)
4,2
B
，点C 在x 轴上，点D 在y 轴上，若点A，B ，C ，D 中的任意两点构成的
线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，直接写出点C 的坐标．
13．下面是在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答．
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(1)观察发现：在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：
(
)
2,1
A
，
(
)
6,1
B
，
(
)
3, 2
C
−
−
，
(
)
3,4
D −
，
并连接AB ，CD，请写出线段AB 的中点坐标：__________，线段CD的中点坐标：________．
(2)探究迁移：如果有
(
)
,
M a b ，
(
)
,
N c d 两点，那么线段MN 的中点坐标是__________．
(3)拓展应用：已知三点
(
)
4, 2
E
−
，
(
)
3, 1
F −
−
，
(
)
1, 4
G −−
，点
(
)
,
H x y 与点E ，F ，G 中的一个点构成的线
段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点H 的坐标．
14．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(
)
9,0 ，点B 是第一象限的点，且BA
x
⊥
轴，点B
到x 轴的距离是5，过点B 作x 轴的平行线a ，与y 轴交于点C ．动点P 从点B 出发，以3 个单位长度/s 的
速度沿直线a 向左移动，动点Q 从原点O同时出发，以1 个单位长度/s 的速度沿x 轴向右移动，Q 到达A点
后，P 、Q 同时停止运动．
(1)点B 的坐标为_____；
(2)当
1s
t =
时，点P 的坐标为_____，点Q 的坐标为_____；
(3)当点
,
P Q 满足PQ
y
∥
时，求t 的值；
(4)当点
,
P Q 满足四边形PQAB 的面积为30 时，求点P 的坐标．
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15．己知，在平面直角坐标系中，如图1，第一象限内有一点
(
)
,
C a b ，过点C 作线段CD垂直于x 轴，垂足
为D ，实数a 、b 满足
4
3
0
a
b
−
+
−
=
．
(
)
2,0
A −
，将线段CD向左平移使点D 和点A重合得到线段AB ，
连接BC 与y 轴相交于点M ，动点P 从A点出发，沿折线AB
BC
−
运动，运动到点C 停止运动，速度为每秒
2 个单位长度，设运动时间为t 秒．
(1)直接写出点C 的坐标：
(2)当点P 在线段BC 上运动时，请直接用含t 的代数式表示在这一运动过程中线段PM 的长（规定：点P 与
点M 重合时，线段PM 的长为0．），并直接写出t 的取值范围：
(3)若点P 运动的同时，在线段AD上有一动点Q 从点D 出发向点A运动，速度为每秒1个单位长度，当PQ
y
轴时，点P 的坐标是多少；
(4)如图2，y 轴上有一点
(
)
0,2
E
，在点P 沿折线AB
BC
−
运动过程中是否存在t 值，使三角形PBE 的面积
为2.5？若存在，求出t 的值，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
