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第十三章 三角形
知识点一 三角形的概念及分类
1.
定义：三条不在同一直线上的线段首尾顺次封闭相接形成三角形，具备 3 个______、3 条______、
3 个______。
2.
按角划分
锐角三角形：三内角均为______；
直角三角形：有一个______，剩余两角______；
钝角三角形：有一个______。
3.
按边划分
不等边三角形：三边长度互不相等；
等腰三角形：两条边______；特殊等腰三角形为等边三角形，三边______，内角均 ______。
知识点二 三角形中三边关系
1.
两条核心不等式：
① 任意两边之和______第三边；
② 任意两边之差______第三边。
2.
取值范围：已知两边长 𝑚、𝑛 (𝑚> 𝑛)，第三边 𝑥 取值范围：__________________。
3.
用途：判断线段能否组成三角形、求第三边取值、求整数边长。
知识点三 三角形的高线、中线、角平分线
1.
高：过顶点作对边____________，顶点到垂足线段；三条高交于垂心，钝角三角形两条高在形外。
2.
中线：顶点连接对边__________；三条中线交于重心，任意一条中线把三角形分成面积相等两部分。
3.
角平分线：平分三角形____________，交对边；三条角平分线交于内心，内心到三边距离相等。
4.
统一性质：任意三角形都各有三条高、中线、角平分线，且各自交于一点。
知识点四 三角形的内角和定理
1.
核心结论：三角形内角和恒等于____________。
2.
重要推论：直角三角形两个锐角相加等于____________；若三角形两内角互余，则为直角三角形。
3.
常见题型：角度计算、含未知数角度求值、证明角度相等。
知识点五 三角形的外角定义和定理
1.
外角定义：三角形一条边与另一边____________形成的角，每个顶点有一对相等外角。
2.
外角定理 1：三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角____________。
3.
外角定理 2：三角形一个外角____________任意一个不相邻的内角。
4.
拓展：三角形三个外角相加总和为____________。
易错点1 画三角形的高线易错问题
易错提醒
一、易错点总结
1. 只会画锐角三角形高，不会画直角、钝角三角形的高。
2. 钝角三角形两条高在三角形外部，学生习惯性画在内部，导致完全错误。
3. 画高不垂直、不标直角符号，没有从顶点出发，随意画线。
4. 混淆“高”与“中线、角平分线”，误画成平分线段或平分角。
二、注意事项总结
1. 高的唯一标准：过顶点、垂直对边（或对边延长线）。
2. 锐角三角形：三条高全在内部；直角三角形：两条高与直角边重合；钝角三角形：钝角两条邻边上的
高在外部。
3. 外部高必须先延长对边，再作垂线。
4. 作图必须标注直角符号，保证规范得分。
【对点训练】1．如图，
90
E
F
ADC
Ð
= Ð
= Ð
=
°，以下说法不正确的是（）
A．AD 是ABC
V
的边BC 上的高
B．CE 是
ACE
△
的边AC 上的高
C．AF 是
ABF
△
的边BF 上的高
D．BF 是ABC
V
的边AC 上的高
易错点2 利用三角形内角和求折叠中的多解问题
易错提醒
一、易错点总结
1.折叠题只算一种情况，忽略多解（折叠后顶点可落在三角形内部或外部）。
2.不会利用“折叠前后角度相等”，找不到等量关系。
3.角度推导混乱，乱用内角和、平角、对顶角关系。
4.忽略折叠后产生的重叠角、两倍角关系，计算出错。
二、注意事项总结
1.折叠核心：折叠前后对应角相等，所有重合角度完全一样。
2.遇折叠题型必须分类：落点在内部、落点在外部两种情况，防止漏解。
3.解题固定套路：找相等角 → 利用平角/内角和 180o → 列方程求解。
4.出现折叠夹角问题，优先使用“两倍关系”快速解题。
【对点训练】2．在ABC
V
中，已知
80
A
Ð
=
° ，
30
C
Ð
=
° ，现把
CDE
△
沿DE 进行不同的折叠得C DE
¢
V
，对
折叠后产生的夹角进行探究：
(1)如图（1）把
CDE
△
沿DE 折叠在四边形ADEB 内，则求
1
2
Ð + Ð 的和；
(2)如图（2）把
CDE
△
沿DE 折叠覆盖
A
Ð ，则求
1
2
Ð + Ð 的和；
(3)如图（3）把
CDE
△
沿DE 斜向上折叠，探求
1
Ð 、
2
Ð 、
C
Ð
的关系．
易错点3 利用三角形内外角与角平分线问题
易错提醒
一、易错点总结
1.混淆内角平分线、外角平分线模型，公式乱用。
2.不会区分“相邻内角、不相邻内角”，外角定理使用错误。
3.多角叠加题型，角度推导逻辑混乱，跳步导致错结果。
4.二级结论记混：内角平分线夹角、内外角平分线夹角公式记错。
二、注意事项总结
1.严格区分：外角只等于两个不相邻内角和，绝不包含相邻内角。
2.角平分线题型优先标出相等小角，设未知数解方程最稳妥。
3.熟记两大必考模型：
① 两内角平分线夹角 = 90^∘+1/2 顶角
② 一内一外平分线夹角 = 1/2 顶角
4.综合题先找外角、再找等分角、最后用内角和收尾，步骤不乱、不丢分。
【对点训练】3．如图，ABC
V
中，
ABC
Ð
的角平分线与外角
ACD
Ð
的平分线交于
1A ．
(1)如图1，若
70
A
Ð
=
°，则
1A
Ð
= ．
(2)如图2 ，四边形ABCD 中，
ABC
Ð
的角平分线及外角
DCE
Ð
的角平分线相交于点F ，若
230
A
D
Ð + Ð
=
°，
求
F
Ð
的度数．
(3)如图3，ABC
V
中，
ABC
Ð
的角平分线与外角
ACD
Ð
的角平分线交于
1A ，若E 为BA 延长线上一动点，连
接EC ，
AEC
Ð
与
ACE
Ð
的角平分线交于点Q ，当E 滑动时有下面两个结论：
1
Q
A
Ð
+ Ð
①
的值为定值；
1
Q
A
Ð
- Ð
②
的值为定值；
其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．
一、单选题
1．如图，在ABC
V
中，BC 边上的高是（ ）
A．线段CE
B．线段AB
C．线段BF
D．线段AD
2．在平面直角坐标系中，有点
0,3
D
、
0, 2
E
-
、
6, 2
F
-
，则DEF
V
是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
3．如图，已知MN
PQ
∥
，点B 在直线MN 上，点C 在直线PQ 上，点A 在直线MN 上方，点E 在DB的延长
线上．若
:
4:1
ABD
DBN
Ð
Ð
=
，
:
4:1
ACE
ECP
Ð
Ð
=
，
A
a
Ð
=
，则
E
Ð
=（ ）
A．a
B．
1
36
5a
° +
C．90
a
°-
D．
4
144
5a
° -
4．如图，把ABC
V
纸片沿着DE 折叠，使点A 落在四边形BCDE 内部点A¢处，已知
B
C
Ð
= Ð
，
1
2
60
Ð + Ð =
°，则
B
Ð 的度数是（ ）
A．75°
B．70°
C．65°
D．60°
5．如图，在ABC
V
中，
8
AC
BC
=
=
，
24
ABC
S
=
V
，P 为AB 边上一动点（不与A，B 重合），PE
AC
^
于点
E，PF
BC
^
于点F，则PE
PF
+
的值是（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
二、填空题
6．如图，在ABC
V
中，
8
AB =
，
7
BC =
，AE 为BC 边上的高，
6
AE =
，P 为AB 上一动点，则PC 的最小
值为________．
7．如图，已知1l 平行于2l ，ABC
V
是等腰直角三角形，
90
BAC
Ð
=
° ，顶点A，B 分别在1l ，2l 上，当
1
70
Ð =
°
时，
2
Ð =__________°．
8．如图，在ABC
V
中，D 是BC 的中点，连接AD ，点E 在AD 上，且
3
DE
AE
=
，连接BE ，CE ．若BDE
V
的面积为36，则
AEC
△
的面积为__________．
9．如图，将一块含有45°角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果
2
65
Ð =
°，那么
1
Ð 的度数为
________°．
10．如图，将直角三角形纸片ABC 的直角C 沿EF 折叠，点C 落到纸片内部的点C¢处．如果
40
FEC
Ð
=
¢
°，
那么
BFC¢
Ð
= ____________．
三、解答题
11．综合与实践：探索三角形角平分线的定义及应用．
【问题情境】学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了探索三角形角平分线的数学活动．“前进”小组
得到了一个结论：已知ABC
V
，如图1，若点P 是
ABC
Ð
和
ACB
Ð
的角平分线的交点，则
1
90
2
P
A
Ð
=
°+
Ð ．
证明如下：
BP
Q
，CP 是
ABC
Ð
和
ACB
Ð
的角平分线，
1
2
PBC
ABC
\Ð
=
Ð
，
1
2
PCB
ACB
Ð
=
Ð
，
2
180
A
PBC
PCB
Ð +
Ð
+ Ð
=
°
Q
，
1
90
2
PBC
PCB
A
\Ð
+ Ð
=
°-
Ð ，
1
1
180
180
90
90
2
2
P
PBC
PCB
A
A
æ
ö
\Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
°-
Ð
=
°+
Ð
ç
÷
è
ø
．
【问题解决】
(1)如图2，若点P 是外角
CBF
Ð
和
BCE
Ð
的角平分线的交点，“前进”小组的结论还成立吗？若成立，给出证
明；若不成立，写出正确的结论并证明．
【拓展创新】
(2)如图3，在ABC
V
中，
ABC
Ð
、
ACB
Ð
的角平分线交于点P ，将ABC
V
沿DE 折叠使得点A 与点P 重合，
若
1
2
76
Ð + Ð =
°，求
BPC
Ð
的度数．
12．如图，CD、CE 分别是ABC
V
的高和中线，若
5cm
AC =
，
12
BC
cm
=
，
13cm
AB =
，
90
ACB
Ð
=
°
(1)求CD的长
(2)求BCE
V
与
ACE
△
的周长差
13．数学探究
在ABC
V
中，已知
A
a
Ð
=
．
(1)如图1，
ABC
Ð
，
ACB
Ð
的平分线相交于点P ．
①当
70
a =
°时，
BPC
Ð
= ________°；（直接写出结果）
②
BPC
Ð
的度数为________；（用含a 的代数式表示）
(2)如图2，ABC
Ð
，ACB
Ð
的平分线相交于点P ，作ABC
V
外角
MBC
Ð
，NCB
Ð
的角平分线交于点Q ．求
BQC
Ð
的度数．（用含a 的代数式表示）
(3)如图3，点M ，N 分别为AB ，AC 延长线上的一点，点P ，Q 分别在ABC
V
内部和外部，且满足
ABC
n PBC
Ð
= Ð
，
ACB
n PCB
Ð
= Ð
，
MBC
n QBC
Ð
= Ð
，
NCB
n QCB
Ð
= Ð
．分别求
BPC
Ð
，
BQC
Ð
的度
数．（用含a 、n 的代数式表示）
14．探究以下问题：
(1)探究一：如图（a），BD 平分
ABC
Ð
，CD平分
ACB
Ð
，请确定
A
Ð 与
D
Ð
的数量关系，并说明理由；
(2)探究二：如图（b），BE 平分
ABC
Ð
，CE 平分
ACM
Ð
，请确定
A
Ð 与
E
Ð
的数量关系________________；
(3)探究三：如图（c），BF 平分
CBP
Ð
，CF 平分
BCQ
Ð
，请确定
A
Ð 与
F
Ð
的数量关系________________；
解决问题：
(4)如图（d），在ABC
V
中，
56
A
Ð
=
°，BD ，CD分别平分
ABC
Ð
，ACB
Ð
，M，N，Q 分别在DB，DC ，BC
的延长线上，BE ，CE 分别平分
MBC
Ð
，
BCN
Ð
，BF ，CF 分别平分
EBC
Ð
，
ECQ
Ð
，则
F
Ð
= ________．
15．【初步认识】
(1)如图1，在ABC
V
中，BP 平分
ABC
Ð
，CP 平分
ACB
Ð
，若
70
A
Ð
=
°，则
ABC
ACB
Ð
+ Ð
=_____；
BPC
Ð
= _____；
【继续探索】
(2)如图2，
ABE
Ð
，
ACE
Ð
的平分线BF ，CF 相交于点F ，若
70
A
Ð
=
°，
130
BEC
Ð
=
° ，求
BFC
Ð
的度数；
【拓展应用】
(3)如图3，在ABC
V
中，BP 平分
ABC
Ð
，CP 平分
ACB
Ð
，BN 平分外角
EBC
Ð
，CN 平分外角
FCB
Ð
，延
长BP ，NC 交于点M ．在BMN
V
中，有一个内角为30°，直接写出
A
Ð 的度数．
