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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 11 第三十章 直线与圆的位置关系 知识点一 直线与圆的位置关系 设圆的半径为 𝑟，圆心到直线的距离为 𝑑（垂线段长度），分为三种位置： 1. 相离 𝑑> 𝑟，直线与圆______________________； 2. 相切 𝑑= 𝑟，直线与圆仅有 __________个公共点，这条直线叫做圆的__________，公共点称作__________； 3. 相交 𝑑< 𝑟，直线与圆有__________公共交点，这条直线叫做圆的__________。 判定两种方法： ① 数量判定：比较 𝑑 与 𝑟 的大小（最常用）； ② 交点个数判定：数直线和圆__________数量。 知识点二 圆的切线（本章核心重难点） 1. 切线的判定定理 经过半径的__________，并且__________于这条半径的直线是圆的切线。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 11 判定做题两种常用思路： （1）有公共点：__________，__________；连接圆心与交点，证明夹角__________； （2）无公共点：__________，__________；过圆心向直线作垂线，证明垂线段长度等于__________。 2. 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的__________。 辅助线口诀：见到切线，立刻连接圆心和切点，得到__________关系。 3. 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线： ① 两条切线__________相等； ② 圆心和该点的连线平分两条切线的__________。 知识点三 三角形的内切圆 1. 定义：与三角形三条边都相切的圆，叫做三角形的内切圆；内切圆圆心叫做三角形的__________。 2. 内心位置：三角形三条____________________的交点。 3. 内心核心性质： ① 内心到三角形三边距离相等，距离长度就是内切圆半径 𝑟； ② 内心永远在三角形内部； ③ 内心平分三角形三个内角。 4. 直角三角形内切圆半径公式： 设直角边 𝑎, 𝑏，斜边 𝑐，𝑟= ____________________ 任意三角形：𝑆= ____________________（𝑆 为三角形面积） 知识点四 正多边形与圆 1. 基本概念 把一个圆 𝑛 等分，顺次连接各分点，可得到圆的内接__________；这个圆叫做正多边形的_________。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 11 2. 正多边形四大要素 外接圆半径 𝑅：正多边形顶点到__________的距离； 边心距 𝑟：中心到正多边形一条边的__________（也是内切圆半径）； 中心角：相邻两条半径的夹角，度数：__________； 边长：正多边形每条边长度。 1. 计算方法： 正多边形可被半径拆分为 𝑛 个全等等腰三角形，取一半得到直角三角形，利用勾股定理、三角函 数可求边长、边心距、周长、面积。 2. 常见：正三角形、正方形、正六边形计算为高频考点。 易错点1 直线与圆的位置关系的判定 易错提醒 易错点总结 1. 混淆 d（圆心到直线距离）与普通线段长，误用斜边长代替垂线段距离，导致判定完全错误。 2. 记反大小关系：把 d>r 当成相交，d<r 当成相离，口诀记反。 3. 仅凭图像目测位置，不计算 d 与 r，看图判断极易出错。 4. 分不清相切、相交的交点个数，记错数量特征。 注意事项总结 1. 判定唯一标准：必须是圆心到直线的垂线段距离 d，不是任意线段。 2. 铁律口诀：大大离、小小交、等就切，d>r 相离；d=r 相切；d<r 相交 3. 做题必须计算对比，禁止肉眼看图判断。 4. 牢记交点数：相离0 个、相切1 个、相交2 个。 【对点训练】1．在矩形ABCD中， 3 AB = ， 4 BC = ，动点O在对角线AC 上．如果以点O为圆心，以1 为 半径长的 O 与边AB 有两个公共点，那么线段OA的取值范围是（ ） A． 5 1 4 OA B． 5 1 4 OA C． 5 1 4 OA D． 5 1 4 OA 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 11 易错点2 切线判定与性质综合 易错提醒 易错点总结 1. 切线判定缺少条件：只证垂直，忘记说明“半径外端”，条件不全扣分。 2. 两种辅助线方法乱用：有公共点却作垂线、无公共点却连半径，方法错位。 3. 切线性质不会用：遇切线不会连圆心切点，错失直角条件，无法解题。 4. 综合题中跳步证明，垂直关系推导不严谨，逻辑扣分。 注意事项总结 1. 切线判定两种满分模板： ① 有点：连半径，证垂直（已知直线过圆上一点） ② 无点：作垂直，证半径（未知交点） 2. 判定定理缺一不可：过半径外端 + 垂直半径 同时满足才是切线。 3. 见到切线第一反应：连圆心与切点，得90°直角。 4. 证明过程必须写全关键条件，不跳步。 【对点训练】2．如图，AB 是 O 的直径，C 点在 O 上，AD平分 BAC 交 O 于D，过D 作直线AC 的 垂线，交AC 的延长线于E，连接 , BD CD ． (1)求证：BD CD = ； (2)求证：直线DE 是 O 的切线； (3)若DE = 3 ， 4 AB = ，求AD的长． 易错点3 切线长定理的应用 易错提醒 易错点总结 1. 记错定理：误以为任意两条切线都相等，忽略必须是圆外同一点引出的两条切线。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 11 2. 只记得切线长相等，忘记“圆心与外点连线平分夹角”，漏用角度条件。 3. 双切线图形不会找全等、等腰三角形，无法进行边角计算。 4. 多切线复杂图形，找错对应切线，线段等量代换混乱。 注意事项总结 1. 切线长定理适用前提：同一个圆、同一个圆外点引出两条切线。 2. 两大结论同时用：①切线长相等 ②连线平分夹角。 3. 双切线模型必有：等腰三角形、直角三角形、全等三角形。 4. 周长题型常用：切线长等量替换，实现边长抵消简化计算。 【对点训练】3．如图，在Rt ABC 中， 90 ACB = ， 6 BC = ， 8 AC = ， O 是ABC 的内切圆，DE 是 O 的切线，交AB ，AC 分别于点 , D E ．则ADE 的周长为（ ） A．8 B．10 C．12 D．13 易错点4 三角形的内切圆 易错提醒 易错点总结 1. 混淆内心与外心：内心看成垂直平分线交点、外心看成角平分线交点。 2. 乱用内切圆半径公式，直角三角形与普通三角形公式混用。 3. 误解内心性质：误以为内心到顶点距离相等（实际是到三边距离相等）。 4. 面积公式 𝑆= 1 2 (𝑎+ 𝑏+ 𝑐)𝑟 记不牢，计算出错。 注意事项总结 1. 区分口诀：内心角分线（切三边），外心中垂线（过三顶点）。 2. 内心唯一性质：到三角形三边距离相等，永远在三角形内部。 3.公式区分： ①直角三角形：𝑟= 𝑎+𝑏−𝑐 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 11 ②任意三角形：𝑆= 1 2 𝐶𝑟（𝐶为周长） 4. 求内切圆半径优先用面积法，通用万能。 【对点训练】4．如图，在Rt ABC △ 中， 90 = C ， O 是ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F ． (1)连接OA、OB ，则 AOB =______． (2)若 6 BD = ， 4 AD = ，求 O 的半径． (3)在（2）的条件下，Rt ABC △ 的外心和内心的距离等于______． 易错点5 正多边形与圆的综合 易错提醒 易错点总结 1. 混淆概念：外接圆半径𝑅、边心距𝑟、边长三者对应错乱。 2. 中心角度数计算错误，忘记公式 360∘ 𝑛。 3. 不会构造直角三角形，无法用勾股、三角函数求边长、边心距。 4. 正六边形、正三角形特殊值记忆错误，导致填空选择题丢分。 注意事项总结 1. 概念分清： ①外接圆半径𝑅：顶点到中心 ②边心距𝑟：中心到边长（内切圆半径） 2. 中心角万能公式：360∘÷ 边数。 3. 所有正多边形计算通用方法： 4. 取等腰三角形一半 → 构造直角三角形求解。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 11 5. 熟记特例： ①正六边形边长 = 外接圆半径 ②正四边形中心角 90∘ ③正三边形中心角 120∘ 【对点训练】5．窗花是我们节日装饰的元素之一．如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而 成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点O为正六边形的中心，AB 所在圆的圆心C 恰好是ABO 的内 心，且 4 AC = ． (1)猜想ABO 的形状，并说明理由． (2)求图中阴影部分的面积．（结果保留π ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 11 一、单选题 1．如图， O 是ABC 的内切圆， 117 BOC = ，则 A 的度数为（ ） A．54 B．55 C．56 D．60 2．如图，PA、PB分别与 O 相切于A、B ， 60 P = ，C 为 O 上一点，则 ACB 的度数为（ ） A．110 B．120 C．125 D．130 3．如图所示，在Rt ABC △ 中，已知 90 C = ， 8cm AC = ， 6cm BC = ，则其内心O 和外心M 之间的距离 是（ ） A．10cm B．5cm C．5cm D．2cm 4．如图，正五边形ABCDE 内接于 O ，P 为BC 上的一点（点P 不与点C 重合），则 CPD 的度数为（ ） A．36 B．45 C．60 D．72 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 11 5．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1．扇形EAC （阴影部分）的面积为（ ） A．π 8 B． 3π 2 C．π 2 D．π 二、填空题 6．已知点A坐标为( ) 1, 3 − ，如果半径为r 的 A 与x 轴无公共点，与y 轴有公共点，那么r 的取值范围是 _________． 7．如图，PA，PB是 O 的两条切线，A，B 是切点，C 是AB 上一点，过点C 画 O 的切线，分别交PA， PB于点D，E， 12cm PA= ，则PDE 的周长是________cm． 8．如图， O 是ABC 的内切圆，与AB ，BC ，CA 的切点分别为D ，E ，F ，若 110 BDE CFE + = ， 则 A 的度数是________． 三、解答题 9．如图，AB 是 O 的直径，DC 是 O 的切线，切点是D，过点A 的直线与DC 交于点C． (1)求证： 2 AOD ADC = ． (2)若CO AD ⊥ ，求证：AC 是 O 的切线． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / 10．如图，AB 是 O 的直径，弦CD AB ⊥ 于点E，F 为AB 延长线上一点，且FC 与 O 相切，连接CA ，CB ． (1)求证：CB 平分 FCD ； (2)若 2 BC BF = = ，求劣弧AD 的长度（结果保留π ）． 11．如图，AB 是 O 的直径，弦CD AB ⊥ ，垂足为H ．E 为BD上一点，连接AE 交CD于点F ，EF 的垂 直平分线交CD的延长线于点G ，连接GE ． (1)若 O 的半径为3， 2 AH = ，求CD的长； (2)求证：EG 是 O 的切线． 12．如图，已知AB 是 O 的直径，点C 为 O 上一点，过点C 的切线交BA延长线于点P ，且PC BC = ． (1)求证：AP AC = ； (2)过点C 作CD AB ∥ 交 O 于点D，若 8 AB = ，求CD的长． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / 13．如图，AB 是 O 的直径，射线BC 交 O 于点D，E 是劣弧AD上一点，且 AE DE = ，过点E 作EF BC ⊥ 于点F，延长FE和BA的延长线交于点G． (1)证明：GF 是 O 的切线； (2)若 6, 6 2 AG GE = = ，求 O 的半径． 14．如图，直线AB 经过 O 上的点C，并且 , OA OB CA CB = = ． (1)求证：直线AB 是 O 的切线． (2)若 90 , 2 AOB OA = = ，求阴影部分的面积． 15．如图1，在矩形ABCD 中（AB AD ），对角线AC ，BD相交于点O，点A 关于BD的对称点为A．连 接AA交BD于点E，连接CA． (1)求证：AA CA ⊥ ； (2)以点O 为圆心，OE 为半径作圆． ①如图2，若 O 与CD相切于点F，求 BAC 的度数； ②若 2 AD = ， O 与CA相切，则 O 的面积为 ．
