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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第28 章 旋转 数学活动 （教学设计） 1.教学内容 本节课为人教版2024版九年级上册第28章《旋转》数学活动专属课时内容，是整章图形变换知识的实践性 应用课.核心教学内容：识别生活与几何图案的基本图形单元，分析平移、轴对称、旋转（含中心对称）单 一或组合变换的图案形成过程，掌握图案设计的规范步骤，能利用简单几何图形，通过旋转变换为主、平 移和轴对称为辅的组合方式，自主设计规整、美观的对称图案.本节课聚焦“识图、析图、创图”三大实操 能力，是旋转知识从理论作图走向创意应用的核心活动课. 2. 内容解析 本活动承接本章旋转、中心对称、旋转作图的理论知识，同时整合七、八年级平移、轴对称两大图形变换， 是初中三大平面几何变换的综合性实践落地课程，弥补了常规新授课重理论、轻应用的短板.教材以生活常 见对称图案为载体，遵循“欣赏感知—拆解分析—归纳方法—创意设计”的活动逻辑，让学生在实操中理 解：复杂图案均由单一基本图形通过重复几何变换生成，其中180°、90°、60°旋转变换是规整图案的核 心构图方式.本节课兼具数学性与美育性，既巩固图形变换的核心性质与作图技能，又培养学生的几何直观、 创新实践能力，落实新课标“做中学、用中学、创中学”的核心理念. 基于以上分析，本节课的教学重点拆解复杂图案的基本图形，准确分析图案的几何变换组合方式；利用旋 转变换为主的图形变换，独立设计规范的几何对称图案. 1.教学目标 （1）熟练区分平移、轴对称、旋转变换的特征，能精准拆解复杂图案的基本图形与变换方式.掌握图案设 计的完整流程，能独立利用旋转单一变换或“旋转+轴对称”“旋转+平移”组合变换设计几何图案.规范掌 握图案作图技巧，保留变换痕迹，保证图案规整、对称、美观. （2）通过图案赏析、小组拆解分析，经历复杂图形简化、变换规律归纳的过程，提升图形拆解与归纳推理 能力.通过自主设计、互评优化的实操活动，掌握图形变换的应用方法，培养动手实操与创意设计能力. （3）在对称图案赏析与创作中，感受几何图形的变换美、对称美，提升数学审美素养.在小组合作探究与 创意实践中，培养合作意识、创新思维与严谨的数学作图习惯，体会几何变换在生活设计中的实用价值. 2.目标解析 目标1整合初中三大图形变换知识，打破单一知识点壁垒，让学生系统掌握变换组合规律，实现从“会做题、 会作图”到“会分析、会创造”的知识升级. 目标2聚焦实操能力培养，解决学生只会机械作图、不会灵活应用、缺乏图形拆解思维的问题，强化几何直 观与动手创新的核心能力. 目标3渗透数形结合、转化简化的数学思想，培养学生模型意识、创新意识，贴合九年级几何综合应用的素 养培养要求. 学生已系统学完平移、轴对称、旋转、中心对称的定义与性质，熟练掌握各类图形变换的作图方法，具备 图案分析与设计的理论基础和作图能力.九年级学生具备良好的观察能力、动手作图能力和小组合作探究能 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 力，对创意设计类实操课堂兴趣浓厚，审美与图形感知能力较强.学生能完成单一变换作图，但组合变换辨 析能力薄弱，容易混淆图案的主导变换；原创设计时思路单一，不会灵活搭配变换方式，作图易出现角度 不准、对称不规整、变换痕迹缺失等问题. 基于以上分析，确定本节课的教学难点精准区分相似组合变换，准确判断图案的核心主导变换（旋转、平 移、轴对称）；合理搭配多种变换，设计出构图规整、逻辑清晰、风格统一的原创图案.. 复习旧知、类比导入 1.回顾旧知：师生快速梳理初中三大图形变换核心特征 平移：图形平行移动，形状、大小、方向均不变； 轴对称：沿直线翻折重合，对应点连线垂直对称轴； 旋转：绕定点旋转定角，旋转180°为中心对称，图形全等. 2. 情境欣赏：多媒体展示生活经典图案：地砖纹样、剪纸图案、风车花纹、校园徽标、几何艺术纹样. 3. 设问启思：（1）这些精美复杂的图案，是手绘随意创作的吗？ （2）它们都是由一个简单的基础图形，通过哪些几何变换重复得到的？ 4. 导入课题：本节课我们走进几何创意课堂，拆解图案奥秘、掌握设计方法、自主创作图案——利用图形 变化设计图案. （设计意图：1. 快速复盘三大图形变换核心知识，为图案拆解、设计提供理论支撑，实现新旧知识无缝衔 接；2. 生活实景图案导入，直观感知几何变换的实用价值，激发学生审美兴趣与创作欲望；3. 通过设问 引发思考，明确本节课“分析—设计”两大核心学习任务.） 探究点1 图案的拆解与变换分析 活动1.我们可以利用平移、轴对称和旋转中的一种进行图案设计，还可以利用它们的组合进行图案设计， 例如，图1中的图案就是由一个基本图形经过旋转、轴对称和平移得到的，你能指出这个基本图形吗？ 观察归纳：1.什么是基本图形？ 构成复杂对称图案的最小、不可再拆分的基础几何图形（线段、三角形、扇形、正方形等）. 2.图案形成原理？ 复杂对称图案 = 1个基本图形 + 多次重复几何变换（单一/组合）. 3.小组讨论：该图案的基本图形是什么？用到了什么变换？旋转中心与旋转角是多少？ 师生归纳：基本图形为单叶扇形，以中心点为旋转中心，每次旋转90°，连续旋转3次得到完整图案，核心 变换为旋转变换. 变换辨析总结：规整环形、放射状图案：以旋转变换为主；重复排列长条图案：以平移变换为主；左右、 上下对称图案：以轴对称变换为主. （设计意图：通过具象图案拆解，教会学生“化繁为简”的图形分析思维，掌握图案分析的通用方法，突 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 破组合变换辨析难点，夯实理论基础.） 探究2：图案设计一般步骤 观察思考：图1怎样由图2得到？ 如图2，以点O为旋转中心，将图形逆时针旋转90°三次作出图3，然 后以1为对称轴作出图4，平移图4就可以得到图1中的图案. 类似地，还可以运用图形的平移、轴对称和旋转的组合进行其他图案设计.试试看，并与同学互相交流. 师生共同归纳标准化设计流程，统一作图规范： 1. 定基础：选取简单几何图形（三角形、扇形、半圆等）作为基本图形； 2. 定变换：确定主导变换（优先90°、180°旋转），搭配辅助变换； 3. 定参数：确定旋转中心、旋转角度、平移距离、对称轴位置； 4. 作变换：依次作出变换后的所有图形，保留作图痕迹； 5. 修规整：统一图案风格，擦除多余线条，完成完整图案. （设计意图：提炼标准化设计步骤，解决学生设计无序、作图混乱的问题，让创意设计有方法、有依据、 有规范.） 典型例题 例1.请以等腰直角三角形为基本图形，以直角顶点为旋转中心，通过旋转变换设计一个中心对称规整图案， 写出设计过程并画出图案. 【分析】本题为本节课核心实操例题，考查旋转变换的综合应用与图案设计能力。解题关键：选定基本图 形与旋转中心，利用90°、180°旋转的规整特性，重复变换形成对称图案，严格遵循图案设计五步流程， 保证图案对称、规整、可溯源. 【详解】解：1. 确定要素基本图形：等腰直角三角形；旋转中心：三角形直角顶点；主导变换：旋转变换， 旋转角90°. 2. 分步设计作图① 画出初始基本等腰直角三角形；② 将图形绕直角顶点顺时针旋转90°，画出第二个图 形；③ 继续旋转90°（累计180°），画出第三个图形；④ 继续旋转90°（累计270°），画出第四个图 形；⑤ 四次图形组合，形成完整中心对称花瓣式规整图案，保留旋转作图痕迹. 变换总结：本图案以旋转变换为单一变换，四次旋转360°闭环，既是旋转对称图形，也是中心对称图形， 构图规整、对称均匀. 设计小结：1. 图案设计优先选用90°、180°旋转，成品更规整、对称性更强；2. 所有变换必须定点、定 角、有序作图，杜绝随意手绘；3. 复杂图案可在旋转基础上，搭配轴对称、平移优化构图. 学生实操活动小组合作：自选基本图形（线段、扇形、正方形），设计1幅原创对称图案，小组内互评：变 换合理、构图规整、美观简洁. （设计意图：通过完整例题示范，手把手规范学生的设计思路与作图步骤，从理论方法落地到实操应用， 解决学生不会有序设计、作图不规范的核心问题，形成标准化设计思维.） 复习28第10题. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的 理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．【实践操作】小明是一名图案设计师，他常常利用图形的轴对称、平移和旋转来设计美丽的图案．小明 以线段 作为研究对象研究三种图形变换之间的关系．已知线段 ，直线a 和b，作线段 关于直线a 对称的线段 ，再作 关于直线b 对称的线段 ，对应点的连线 、 分别与对称轴相交于点 P、Q． 【问题探究】如图①，当直线a 与直线b 平行时 (1) 可看作是 沿着 方向平移而成的图形，平移的距离等于线段 的长度； (2)若 ，则 ； 【类比探究】如图②，当直线a 与直线b 相交于点O 时 (3) 可看作是 绕着点 旋转而成的， 与 的数量关系为 ； (4)当直线a 与直线b 垂直时， 与 关于 成 对称； 【知识应用】 (5)由实践操作可知：平移和旋转都可转化为若干次轴对称变换，即图形的变换都可由轴对称完成．如图③， 可以由 经过3 次轴对称变换得到，请画出3 次轴对称变换的示意图（保留画图痕迹，写出必 要的文字说明） 【详解】（1）解：当直线 与直线 平行时： 可看作是 沿着射线 方向平移而成的图形，平移 的距离等于线段 的长度； （2）解：根据题意得 ， ， ， ∴ ； （3）解：当直线 与直线 相交于点 时： 可看作是 绕着点 旋转而成的， 由对称可得， ， ， ∴ ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 与 的数量关系为 ； （4）解：当直线 与直线 垂直时， 与 的对称关系是关于点O成中心对称； （5）略如图：以直线 为对称轴作 的对称图形 ，连接 ，作线段 的垂直平分线， 以直线为对称轴作 的对称图形 ，连接 ，作线段 的垂直平分线 （设计意图：强化图形变换） 1．（2026.陕西咸阳·阶段检测）将两个大小相等的圆部分重合，其中重叠的部分（如图中的阴影部分） 我们称之为一个“花瓣”，由一个“花瓣”及圆组成的图形称之为花瓣图形，下面是一些由“花瓣”和圆 组成的图形． (1)在A、B、C、D、E 这5 个图形中，是轴对称图形的有________，是中心对称图形的有________．（将对 应字母填在横线上） (2)假设“花瓣”在圆中是均匀分布的，当花瓣数大于1 时，若花瓣的个数是________，则花瓣图形既是轴 对称图形又是中心对称图形；若花瓣的个数是________，则花瓣图形仅是轴对称图形．（填“奇数”或“偶 数”） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）解：在A、B、C、D、E这5个图形中，是轴对称图形的有A、B、C、D、E，是中心对称图形的 有A、C、E； （2）解：若花瓣的个数是偶数，则花瓣图形既是轴对称图形又是中心对称图形； 若花瓣的个数是奇数，则花瓣图形是轴对称图形，不是中心对称图形． 2．（2026 深圳·期末）如图，长方形 的顶点都在方格纸的格点上． (1)如图，将长方形 平移，使得点 与点 重合，请画出平移后的长方形，并判断平移前后的两个 长方形构成________图形（填写“轴对称”或“中心对称”）； (2)如图 ，请作出一个与长方形 关于某条直线成轴对称的图形，且所有顶点均在格点上．（画出一 种即可） 【详解】(1) ；中心对称 (2) （ 设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检 验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识技能：（1）核心知识：掌握平移、轴对称、旋转三大图形变换的特征，能精准拆解复杂图案的基本图 形与变换方式；（2）核心方法：熟记图案设计五步流程，熟练运用旋转单一变换、变换组合设计对称图案； （3）核心技能：能规范完成图案作图，保留变换痕迹，精准判断图案的主导变换类型. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 思想方法：（1）转化思想：将复杂图案转化为简单基本图形的重复变换，化繁为简；（2）模型思想：归 纳“基本图形+重复变换”的图案通用模型，实现一通百通；（3）数形结合思想：依托图形变换的几何特 征，构建规整对称的视觉图形. 易错提醒：（1）变换辨析易错：混淆图案主导变换，环形图案误判为平移、对称变换；（2）参数错误： 旋转中心、旋转角度选取不当，导致图案不对称、不规整；（3）作图易错：缺少作图痕迹、变换次数不足、 图形大小不一致；（4）设计误区：盲目堆砌变换方式，图案杂乱无章，无核心对称规律. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：第28章复习题第9、11题. 探究性作业：第28章复习题第9、11题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 第28 章 旋转 数学活动 一、核心知识 二、图案分析方法 三、设计五步流程 四、常用变换搭配 五、易错点 副板书 例题 学生练习板演
