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2026-2027 学年八年级上学期数学周周测17
第十八章 分式综合训练
一、选择题（本题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1.若分式
1
x+1有意义，则x的取值范围是( )
A. x ≠−1
B. x ≠0
C. x ≠1
D. x ≠2
【答案】A
【详解】由题意，得x + 1 ≠0，解得x ≠−1．
2.下列分式中，属于最简分式的是( )
A.
4
2x
B.
2x
x2+1
C.
x−1
x2−1
D.
1−x
x−1
【答案】B
【详解】最简分式要求分子、分母无公因式、无法约分。
A.
4
2x =
2
x，可约分；
B.
2x
x2+1，x2 + 1不能因式分解，无公因式，为最简分式；
C.
x−1
x2−1 =
x−1
(x+1)(x−1) =
1
x+1，可约分；
D.
1−x
x−1 =
−(x−1)
x−1
= −1，可约分。
3.计算2−3的结果是( )
A. −
1
8
B.
1
8
C. −8
D. 8
【答案】B
【详解】负整数指数幂公式：a−p =
1
ap，
2−3 =
1
23 =
1
8。
4.小明解分式方程
1
x+1 =
2x
3x+3 −1的过程如下．
解：去分母，得3 = 2x −(3x + 3). ①
去括号，得3 = 2x −3x + 3. ②
移项、合并同类项，得−x = 0. ③
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系数化为1，得x = 0. ④
以上步骤中，开始出错的一步是 ( )
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
【答案】B
【详解】原方程：
1
x+1 =
2x
3x+3 −1，最简公分母3(x + 1)。
①去分母：3 = 2x −(3x + 3)，步骤正确；
②去括号：正确展开应为3 = 2x −3x −3，题目写+3，符号出错，故②是第一步错误。
5.数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时
做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做x个盒子，根据题意可列方程 ( )
A.
4
x −
6
2x = 10
B.
6
x −
4
2x = 10
C.
4
x −
6
2x =
10
60
D.
6
x −
4
2x =
10
60
【答案】C
【详解】解：由题意可得，
4
x −
6
2x =
10
60，
故选：C．
6. 老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图所示，
(
−
x2−1
x2−2x+1) ÷
x
x+1 =
x+1
x−1则被遮住的部分是( )
A.
x−1
2x+1
B.
2x+1
x−1
C.
x−1
2x−1
D.
2x−1
x−1
【答案】B
【详解】设被遮挡部分为M，
(M −
x2−1
x2−2x+1) ÷
x
x+1 =
x+1
x−1，
先化简：
x2−1
x2−2x+1 =
(x+1)(x−1)
(x−1)2
=
x+1
x−1，
变形求M：
M −x + 1
x −1 = x + 1
x −1 ⋅
x
x + 1
M −x + 1
x −1 =
x
x −1
M =
x
x−1 +
x+1
x−1 =
2x+1
x−1 。
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7.如果
a
b =
3
4，且a + b ≠7，那么
a−b+1
a+b−7等于( )
A.
1
7
B. −
1
7
C. 0
D. 无意义
【答案】B
【详解】由
a
b =
3
4，设a = 3k，b = 4k，
a −b = 3k −4k = −k，a + b = 7k，
原式=
−k+1
7k−7 =
−(k−1)
7(k−1) = −
1
7，
已知a + b ≠7，即k ≠1，可约去k −1。
8.已知a = −0.22，b = −22，c = (−
1
2)−2，d = (−
1
2)0，则它们的大小关系是( )
A. b < a < d < c
B. a < b < d < c
C. a < d < c < b
D. c < d < a < b
【答案】A
【详解】解：a = −0.22 = −0.04，b = −22 = −4，c = (−
1
2)−2 =
1
(−1
2)2 = 4，d = (−
1
2)0 = 1，
∴−4 < −0.04 < 1 < 4，
∴b < a < d < c．
故选：A．
9.某学校食堂需采购部分餐桌，现有A，B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠20元.若该校花费
4400元采购款在B商家购买餐桌的数量等于花费4000元采购款在A商家购买餐桌的数量，则A商家每张餐桌
的售价为( )
A. 197元
B. 198元
C. 199元
D. 200元
【答案】D
【详解】设 A 商家每张x元，则 B 商家每张(x + 20)元。
等量关系：4400 元在 B 商家购买数量 = 4000 元在 A 商家购买数量，
4400
x+20 =
4000
x ，
4400x = 4000(x + 20)，
4400x = 4000x + 80000，
400x = 80000，解得x = 200。
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10.已知关于x的方程
a
x+1 = 1的解是负数，则a的取值范围是( )
A. a < 1
B. a ≤1
C. a < 1且a ≠0
D. a ≤1或a ≠0
【答案】C
【详解】去分母，得a = x + 1，
∴x = a −1．
∵方程的解是负数，
∴a −1 < 0，即a < 1．
又∵x + 1 ≠0，即a ≠0，
∴a的取值范围是a < 1且a ≠0．
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11.计算：(1 −π)0 + (
1
2)
−2
= ．
【答案】5
【详解】零指数幂：非零数的 0 次幂等于 1；负指数幂(
1
2)
−2
= 4，
原式= (1 −π)0 + (
1
2)
−2
= 1 + 4 = 5。
12.若
3x
x2−y2 ÷ A =
1
x+y，则A = ．
【答案】
3x
x−y
【详解】∵
3x
x2−y2 ÷ A =
1
x+y，
∴A =
3x
x2 −y2 ÷
1
x + y
=
3x
(x + y)(x −y) ⋅(x + y)
=
3x
x−y．
13.方程
1
x−1 =
4
x2−1的解是 ．
【答案】𝐱= 𝟑
【详解】因式分解x2 −1 = (x + 1)(x −1)，最简公分母(x + 1)(x −1)，
方程两边同乘公分母：x + 1 = 4，解得x = 3；
检验：x = 3时分母不为 0，是原分式方程的解。
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14.定义一种新运算：|a
b
c
d| = ad −bc，化简：|
x2 −x
1
x
1
x2−1
| = ．
【答案】−
𝐱𝟐
𝐱+𝟏
【详解】新定义运算|a
b
c
d| = ad −bc，
原式= (x2 −x) ⋅
1
x2−1 −1 ⋅x
=
x(x −1)
(x + 1)(x −1) −x
=
x
x + 1 −x(x + 1)
x + 1
=
x−x2−x
x+1
= −
x2
x+1。
15.已知a2 −2b + 1 = 0，则
4b
a2+1的值是 ．
【答案】2
【详解】由a2 −2b + 1 = 0，得a2 + 1 = 2b，
将a2 + 1 = 2b代入分式：
4b
a2+1 =
4b
2b = 2。
16.已知x = 2是方程
1
x−a +
2a
a−x = 1的解，则a的值是 ．
【答案】−1
【详解】将x = 2代入方程
1
x−a +
2a
a−x = 1，
1
2−a −
2a
2−a = 1，
1−2a
2−a = 1，
1 −2a = 2 −a，
−a = 1，解得a = −1，
检验：a = −1时分母不为 0，符合题意。
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三、解答题：本题共6 小题,第17 题6 分，第18~20 题每题8 分，第21 题10 分，第22 题12 分，共52
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(6 分)
先将(1 −
1
x) ÷
x−1
x2+2x化简，然后选一个你喜欢的x值代入求值．
【详解】
解：原式=
x−1
x ·
x(x+2)
x−1 = x + 2，
∵x = 0或x = 1或x = −2时分式无意义，
∴取x = 2，
当x = 2时，原式= 2 + 2 = 4．
18.(8 分)解下列方程：
(1)
1
2x =
2
x+3； (2)
5
x2+x −
1
x2−x = 0．
【详解】
(1)去分母，得x＋3＝4x，
移项，合并同类项，得-3x＝-3，
解得x＝1，
当x＝1 时，2x（x＋3）≠0，
∴x＝1 是分式方程的解．
(2)去分母，得5（x-1）-（x＋1）＝0，
去括号，得5x-5-x-1＝0，
移项、合并同类项，得4x＝6，
解得x =
3
2，
当x =
3
2时，（ x2-x）（x2＋x）≠0，
∴x =
3
2是原方程的解．
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19.(8分)
先化简，再求值：(
2x
x−1 −
x
x+1) ⋅
x2−1
x ，其中x = √ 2 −3．
甲同学
解：原式= [
2x(x+1)
(x−1)(x+1) −
x(x−1)
(x+1)(x−1)] ⋅
x2−1
x ⋯⋯
乙同学
解：原式=
2x
x−1 ⋅
x2−1
x
−
x
x+1 ⋅
x2−1
x ⋯⋯
(1)甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 . (填序号)
①等式的基本性质; ②分式的基本性质;
③乘法对加法的分配律; ④乘法交换律．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【详解】
(1) ② ; ③
(2)选择甲同学的解法.
原式=[
2x(x+1)
(x−1)(x+1)-
x(x−1)
(x+1)(x−1)]⋅
x2−1
x
=
2x2+2x−x2+x
(x−1)(x+1) ⋅
x2−1
x
=
x(x+3)
(x−1)(x+1) ⋅
(x−1)(x+1)
x
=x+3.
当x=√ 2-3 时,原式=√ 2-3+3=√ 2.
或选择乙同学的解法.
原式=
2x
x−1 ⋅
x2−1
x -
x
x+1 ⋅
x2−1
x
=2(x+1)-(x-1)=2x+2-x+1=x+3.
当x=√ 2-3 时,原式=√ 2-3+3=√ 2.
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20.(8分)
如图1，“丰收1号”小麦试验田是边长为am(a > 1)的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分
.如图2，“丰收2号”小麦试验田是边长为(a −1)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg.求高的单位面
积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【详解】
解：“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量=
500
(a+1)(a−1)，
“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量=
500
(a−1)2，
∵a + 1 > a −1，
∴
500
(a+1)(a−1) <
500
(a−1)2，
∴“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高．
∵
500
(a−1)2 ÷
500
(a+1)(a−1) =
a+1
a−1，
∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的
a+1
a−1倍.
21.(10 分)
某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，
购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3万元．
(1)求A型、B型两种机器人的单价；
(2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A、B两种型号的机器人各至少配备1
台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元.求出所有配备方案．
【详解】
(1)设A型机器人的单价为x万元，则B型机器人的单价为(x −3)万元，
根据题意得：
90
x =
60
x−3，
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解得：x = 9，
经检验，x = 9是所列方程的解，且符合题意，
∴x −3 = 9 −3 = 6(万元)．
答：A型机器人的单价为9万元，B型机器人的单价为6万元；
(2)设配备A型机器人y台，则配备B型机器人(10 −y)台，
根据题意得：9y + 6(10 −y) ≤70，
解得：y ≤
10
3 ，
又∵y为正整数，
∴y可以为1，2，3，
∴共有3种配备方案，
方案1：配备A型机器人1台，B型机器人9台；
方案2：配备A型机器人2台，B型机器人8台；
方案3：配备A型机器人3台，B型机器人7台．
22.(12 分)
项目
情境
元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识(包括花语等知识)，购买花
卉、插花、摆放盆栽等任务．
素材
一
采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元购买的B种花卉数量为
用320元购买的A种花卉数量的2倍．
任务
一
小组成员甲设用320元购买的A种花卉的数量为x枝，由题意，得方程 ① ;
小组成员乙设 ② ，由题意，得方程2 ×
320
a =
800
a+5．
素材
二
插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成(9 −m)盆大
盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同．
任务
二
求m的值．
(1)任务一中横线 ①处应填 ，横线 ②处应填 ．
(2)完成任务二．
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【详解】
(1)2x(
320
x +5)=800 ; 每枝A 种花卉单价为a 元
(2)∵单位时间内可完成m 盆小盆栽的插花任务或完成(9-m)盆大盆栽的插花任务,
∴完成小盆栽的插花任务的效率为
1
m,完成大盆栽的插花任务的效率为
1
9−m.
∵完成35 盆小盆栽所用时间与完成10 盆大盆栽的时间相同,
∴35×
1
m=10×
1
9−m,
解得m=7,
经检验,m=7 是原分式方程的解,且符合题意,
∴m=7.
