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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第28章 旋转 数学活动（导学案） （1）熟练区分平移、轴对称、旋转变换的特征，能精准拆解复杂图案的基本图形与变换方式.掌握图案设 计的完整流程，能独立利用旋转单一变换或“旋转+轴对称”“旋转+平移”组合变换设计几何图案.规范掌 握图案作图技巧，保留变换痕迹，保证图案规整、对称、美观. （2）通过图案赏析、小组拆解分析，经历复杂图形简化、变换规律归纳的过程，提升图形拆解与归纳推理 能力.通过自主设计、互评优化的实操活动，掌握图形变换的应用方法，培养动手实操与创意设计能力. （3）在对称图案赏析与创作中，感受几何图形的变换美、对称美，提升数学审美素养.在小组合作探究与 创意实践中，培养合作意识、创新思维与严谨的数学作图习惯，体会几何变换在生活设计中的实用价值. 重点:拆解复杂图案的基本图形，准确分析图案的几何变换组合方式；利用旋转变换为主的图形变换，独立 设计规范的几何对称图案. 难点:精准区分相似组合变换，准确判断图案的核心主导变换（旋转、平移、轴对称）；合理搭配多种变换， 设计出构图规整、逻辑清晰、风格统一的原创图案. 第一环节 自主学习 温故知新： 复习旧知、类比导入 1.回顾旧知：师生快速梳理初中三大图形变换核心特征 平移：图形平行移动，形状、大小、方向均不变； 轴对称：沿直线翻折重合，对应点连线垂直对称轴； 旋转：绕定点旋转定角，旋转180°为中心对称，图形全等. 2. 情境欣赏：多媒体展示生活经典图案：地砖纹样、剪纸图案、风车花纹、校园徽标、几何艺术纹样. 3. 设问启思：（1）这些精美复杂的图案，是手绘随意创作的吗？ （2）它们都是由一个简单的基础图形，通过哪些几何变换重复得到的？ 4. 导入课题：本节课我们走进几何创意课堂，拆解图案奥秘、掌握设计方法、自主创作图案——利用图形 变化设计图案. 【学法指导】 新知自研：自研课本第108页的内容 【学法指导】自研课本P108 页内容 (一)图案的拆解与变换分析 活动1.我们可以利用平移、轴对称和旋转中的一种进行图案设计，还可以利用它们的组合进行图案设计， 例如，图1中的图案就是由一个基本图形经过旋转、轴对称和平移得到的，你能指出这个基本图形吗？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 观察归纳：1.什么是基本图形？ 构成复杂对称图案的最小、不可再拆分的基础几何图形（线段、三角形、扇形、正方形等）. 2.图案形成原理？ 复杂对称图案 = 1个基本图形 + 多次重复几何变换（单一/组合）. 3.小组讨论：该图案的基本图形是什么？用到了什么变换？旋转中心与旋转角是多少？ 师生归纳：基本图形为单叶扇形，以中心点为旋转中心，每次旋转90°，连续旋转3次得到完整图案，核心 变换为旋转变换. 变换辨析总结：规整环形、放射状图案：以旋转变换为主；重复排列长条图案：以平移变换为主；左右、 上下对称图案：以轴对称变换为主. （二）图案设计一般步骤 观察思考：图1怎样由图2得到？ 如图2，以点O为旋转中心，将图形逆时针旋转90°三次作出图3，然 后以1为对称轴作出图4，平移图4就可以得到图1中的图案. 类似地，还可以运用图形的平移、轴对称和旋转的组合进行其他图案设计.试试看，并与同学互相交流. 师生共同归纳标准化设计流程，统一作图规范： 1. 定基础：选取简单几何图形（三角形、扇形、半圆等）作为基本图形； 2. 定变换：确定主导变换（优先90°、180°旋转），搭配辅助变换； 3. 定参数：确定旋转中心、旋转角度、平移距离、对称轴位置； 4. 作变换：依次作出变换后的所有图形，保留作图痕迹； 5. 修规整：统一图案风格，擦除多余线条，完成完整图案. 自研课本P108 页内容 典型例题 例1.请以等腰直角三角形为基本图形，以直角顶点为旋转中心，通过旋转变换设计一个中心对称规整图案， 写出设计过程并画出图案. 【分析】本题为本节课核心实操例题，考查旋转变换的综合应用与图案设计能力。解题关键：选定基本图 形与旋转中心，利用90°、180°旋转的规整特性，重复变换形成对称图案，严格遵循图案设计五步流程， 保证图案对称、规整、可溯源. 【详解】解：1. 确定要素基本图形：等腰直角三角形；旋转中心：三角形直角顶点；主导变换：旋转变换， 旋转角90°. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2. 分步设计作图① 画出初始基本等腰直角三角形；② 将图形绕直角顶点顺时针旋转90°，画出第二个图 形；③ 继续旋转90°（累计180°），画出第三个图形；④ 继续旋转90°（累计270°），画出第四个图 形；⑤ 四次图形组合，形成完整中心对称花瓣式规整图案，保留旋转作图痕迹. 变换总结：本图案以旋转变换为单一变换，四次旋转360°闭环，既是旋转对称图形，也是中心对称图形， 构图规整、对称均匀. 设计小结：1. 图案设计优先选用90°、180°旋转，成品更规整、对称性更强；2. 所有变换必须定点、定 角、有序作图，杜绝随意手绘；3. 复杂图案可在旋转基础上，搭配轴对称、平移优化构图. 学生实操活动小组合作：自选基本图形（线段、扇形、正方形），设计1幅原创对称图案，小组内互评：变 换合理、构图规整、美观简洁. 第二环节 合作探究 1.讨论怎样进行图案的拆解与变换分析. 2.讨论图案设计一般步骤. 拓展提升：1．【实践操作】小明是一名图案设计师，他常常利用图形的轴对称、平移和旋转来设计美丽的 图案．小明以线段 作为研究对象研究三种图形变换之间的关系．已知线段 ，直线a 和b，作线段 关于直线a 对称的线段 ，再作 关于直线b 对称的线段 ，对应点的连线 、 分别与对称 轴相交于点P、Q． 【问题探究】如图①，当直线a 与直线b 平行时 (1) 可看作是 沿着 方向平移而成的图形，平移的距离等于线段 的长度； (2)若 ，则 ； 【类比探究】如图②，当直线a 与直线b 相交于点O 时 (3) 可看作是 绕着点 旋转而成的， 与 的数量关系为 ； (4)当直线a 与直线b 垂直时， 与 关于 成 对称； 【知识应用】 (5)由实践操作可知：平移和旋转都可转化为若干次轴对称变换，即图形的变换都可由轴对称完成．如图③， 可以由 经过3 次轴对称变换得到，请画出3 次轴对称变换的示意图（保留画图痕迹，写出必 要的文字说明） 【详解】（1）解：当直线 与直线 平行时： 可看作是 沿着射线 方向平移而成的图形，平移 的距离等于线段 的长度； （2）解：根据题意得 ， ， ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ； （3）解：当直线 与直线 相交于点 时： 可看作是 绕着点 旋转而成的， 由对称可得， ， ， ∴ ， ∴ 与 的数量关系为 ； （4）解：当直线 与直线 垂直时， 与 的对称关系是关于点O成中心对称； （5）略如图：以直线 为对称轴作 的对称图形 ，连接 ，作线段 的垂直平分线， 以直线为对称轴作 的对称图形 ，连接 ，作线段 的垂直平分线 复习28第10题. 1．（2026.陕西咸阳·阶段检测）将两个大小相等的圆部分重合，其中重叠的部分（如图中的阴影部分） 我们称之为一个“花瓣”，由一个“花瓣”及圆组成的图形称之为花瓣图形，下面是一些由“花瓣”和圆 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 组成的图形． (1)在A、B、C、D、E 这5 个图形中，是轴对称图形的有________，是中心对称图形的有________．（将对 应字母填在横线上） (2)假设“花瓣”在圆中是均匀分布的，当花瓣数大于1 时，若花瓣的个数是________，则花瓣图形既是轴 对称图形又是中心对称图形；若花瓣的个数是________，则花瓣图形仅是轴对称图形．（填“奇数”或“偶 数”） 【详解】（1）解：在A、B、C、D、E这5个图形中，是轴对称图形的有A、B、C、D、E，是中心对称图形的 有A、C、E； （2）解：若花瓣的个数是偶数，则花瓣图形既是轴对称图形又是中心对称图形； 若花瓣的个数是奇数，则花瓣图形是轴对称图形，不是中心对称图形． 2．（2026 深圳·期末）如图，长方形 的顶点都在方格纸的格点上． (1)如图，将长方形 平移，使得点 与点 重合，请画出平移后的长方形，并判断平移前后的两个 长方形构成________图形（填写“轴对称”或“中心对称”）； (2)如图 ，请作出一个与长方形 关于某条直线成轴对称的图形，且所有顶点均在格点上．（画出一 种即可） 【详解】(1) ；中心对称 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2) 知识技能：（1）核心知识：掌握平移、轴对称、旋转三大图形变换的特征，能精准拆解复杂图案的基本图 形与变换方式；（2）核心方法：熟记图案设计五步流程，熟练运用旋转单一变换、变换组合设计对称图案； （3）核心技能：能规范完成图案作图，保留变换痕迹，精准判断图案的主导变换类型. 思想方法：（1）转化思想：将复杂图案转化为简单基本图形的重复变换，化繁为简；（2）模型思想：归 纳“基本图形+重复变换”的图案通用模型，实现一通百通；（3）数形结合思想：依托图形变换的几何特 征，构建规整对称的视觉图形. 易错提醒：（1）变换辨析易错：混淆图案主导变换，环形图案误判为平移、对称变换；（2）参数错误： 旋转中心、旋转角度选取不当，导致图案不对称、不规整；（3）作图易错：缺少作图痕迹、变换次数不足、 图形大小不一致；（4）设计误区：盲目堆砌变换方式，图案杂乱无章，无核心对称规律.
