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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第27 章反比例函数 数学活动（教学设计） 1.教学内容 本节课时是人教版2024版九年级上册第27章《反比例函数》章末数学活动，核心包含两大探究活动：活动1 利用矩形作双曲线、活动2 探究简易密度计中的反比例函数规律.本节裹在立足反比例函数核心本质，整合 几何图形与物理实际场景，引导学生通过动手操作、数据测算、建模分析，深化对反比例函数“积定反比” 核心特征、图象性质及实际应用的理解，是对本章概念、图象、性质、实际应用的综合性拓展与实践巩固. 2.内容解析 本节课是反比例函数整章知识的升华与综合应用，安排在全章新知学习结束后。此前学生已掌握反比例函 数的定义、解析式、图象性质及基础实际应用，本节数学活动打破纯理论学习模式，衔接几何图形与物理 生活跨学科场景，是从“知识识记”到“实践建模”的关键过渡.本节课的两大活动紧扣反比例函数核心本 质 xy=k（k为定值，k≠0）.活动1从几何静态角度，借助矩形面积定值，探究横、纵坐标乘积恒定的点的 轨迹，具象化双曲线的生成过程；活动2从动态实际角度，通过密度计漂浮原理，提炼变量间的反比例变化 规律，实现数学建模的落地应用.通过动手操作、数据分析、合作探究，落实数形结合、模型思想、跨学科 融合的数学核心素养，让学生体会数学源于生活、用于生活，突破函数学习抽象难懂的难点. 基于以上分析，本节课的教学重点为：理解反比例函数“积定反比”的核心本质；掌握等面积矩形画双曲 线的方法；能建立实际情境中的反比例函数模型并求解. 1. 教学目标 （1）深度理解反比例函数“横、纵坐标之积为定值”的核心本质，掌握利用等面积矩形绘制反比例函数图 象的方法；能从物理实际情境中提取变量关系，建立反比例函数模型，运用反比例函数性质解决简单跨学 科实际问题；熟练掌握“观察变量—分析关系—建立模型—求解验证”的函数应用流程. （2）经历“动手作图、观察猜想、验证归纳、建模应用”的完整探究过程，提升动手操作、数据分析、数 形结合推理能力；通过跨学科探究，学会整合多学科知识解决实际问题，提升数学建模与知识迁移能力. （3）在自主探究与小组合作中感受数学的趣味性、实用性，激发函数学习兴趣；体会数形结合、特殊到一 般的数学思想，培养严谨的探究习惯和科学思维. 2.目标解析 目标1基于学生已掌握反比例函数基础概念与性质，通过两大实操活动，将抽象的“积定反比”性质转化为 可视、可操作的几何轨迹与实际变化规律，弥补常规课堂重理论、轻实践的短板，实现知识的深度内化. 目标2活动1侧重培养数形结合与几何直观能力，让学生直观感知双曲线的形成原理；活动2侧重培养数据分 析与建模能力，锻炼学生从复杂实际情境中剥离数学本质的能力. 目标3通过动手实践、合作探究、错题辨析，渗透数形结合、模型思想、转化思想，落实初中数学核心素养， 同时借助数学与物理的融合，培养学生综合应用知识的创新意识. 九年级学生已系统学习反比例函数的定义、图象、增减性、比例系数k的几何意义，能解决基础解析式求解、 图象辨析、简单实际应用问题，具备开展实操探究的知识储备.学生具备基础的动手作图、数据分析、小组 合作能力，但抽象建模能力、跨学科知识融合能力薄弱，难以自主将几何轨迹、物理现象与反比例函数本 质关联.学生习惯被动套用公式解题，缺乏“主动探究、归纳本质、迁移应用”的思维，对反比例函数“变 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 化与不变”（变量变化、乘积不变）的核心规律理解不透彻，容易混淆正比例与反比例的变量关系. 基于以上分析，本节课的教学难点确定为：理解矩形定点轨迹与反比例函数图象的内在联系；精准从跨学 科实际问题中提炼反比例变量关系，完成建模与验证. 创设情景，引入新课 提出问题：同学们，我们已经学完了反比例函数的全部新知，谁能说一说反比例函数的核心特征是什么？ （学生回答：形如y= k x（k≠0），两个变量的乘积为定值，变量成反比例关系） 追问：我们知道反比例函数的图象是双曲线，大家知道双曲线是如何生成的吗？生活中哪些现象藏着反比 例函数的规律？今天我们通过两个趣味数学活动，动手探索反比例函数的本质与应用. 旧知回顾：①反比例函数本质：xy=k（k为定值）；②k的几何意义：双曲线上任意一点向坐标轴作垂线， 围成矩形面积为|k|. （设计意图：通过递进式提问唤醒学生旧知，紧扣本节课核心探究内容，搭建新旧知识桥梁，同时抛出探 究疑问，激发学生好奇心与探究欲望，明确本节课学习目标) 探究点1 利用矩形画双曲线 活动1. 实践操作. 活动任务：给定矩形面积为10，设矩形的长为x，宽为y，固定矩形一个顶点在坐标原点，两边与坐标轴重 合，完成以下探究： （1）列出变量x、y的关系式； （2）自主取值，完成表格： 一边长/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 邻边长/cm 10 5 10/3 5/2 2 5/3 10/7 5/4 10/9 1 （3）在平面直角坐标系中描出对应点，观察点的分布规律. 10个对角的顶点，并把这10个点用平滑的曲线连接起来. 活动2.探究规律. 追问1：这条曲线是反比例函数图象的一支吗？为什么？ 学生活动：独立列式、填表、描点，小组内交流观察结果. 追问2：这里的值取值范围是什么？ 两边长取值为正值. 总结归纳：由矩形面积公式得xy=10，即y== 10 x（x＞0），所有描出的点都在同一曲线上，这条曲线就是反比 例函数在第一象限的双曲线分支. 核心结论：面积定值的矩形，边长顶点的轨迹是反比例函数图象. （设计意图：通过定量实操活动，让学生亲手经历“列式—取值—描点—观察”的全过程，具象化理解反 比例函数图象的生成原理，深度印证k的几何意义，突破“双曲线抽象难懂”的难点，培养几何直观与动手 实践能力.） 探究点2：用简易密度计测量密度 活动1.利用实验数据探究规律 问题：如图1，物理兴趣小组的同学们做了一个圆柱形简易密度计，其质量为7.2g，底面积为1cm²，能悬浮 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在液体中.经过实验，小组同学记录了当简易密度计悬浮在不同液体中时，其浸入液体的深度，得到如下数 据： 液 体 汽油 煤油 植物油 水 饱和盐水 蜂蜜 p/(g· cm-²) 0.70 0.80 0.90 1.00 1.15 1.40 h/cm 10.20 9 8 7.2 6.26 5.14 追问1：以上测量用到什么物理原理？ 物理中，物体漂浮时浮力等于重力（F浮=G），同一支密度计重力恒定，在不同液体中漂浮时，排开液体的 体积不同。设液体密度为ρ，密度计浸入液体的深度为h，密度计横截面积恒定. 变量分析：液体密度ρ越大，浸入深度h越小，二者乘积为定值，成反比例函数关系. 探究1：简易密度计浸入液体的深度h（单位：cm）与液体的密度ρ(单位：g/cm²）之间是否具有函数关系？ 如果有，请你选择合适的函数模型描述这种关系. 引导学生按照“提炼变量关系→列出ρ与h的函数关系式→结合数据求函数解析式→分析解析式的正确性.” 进行探究. 探究2：当简易密度计悬浮在牛奶中时，它浸入牛奶的深度为6.99cm，则牛奶的密度为多少（结果保留小数 点后两位）？ 引导学生求出牛奶ρ与h的函数关系式，再求出牛奶的密度. 总结归纳：由浮力平衡原理得ρh=k（k为定值），代入数据求得k的值，得到函数解析式； 核心结论：密度计刻度上疏下密，液体密度与浸入深度成反比例关系. （设计意图：依托物理跨学科情境，引导学生自主剥离复杂背景、提炼数学变量关系，完整经历数学建模 过程，落实模型思想，让学生感受反比例函数的实际应用价值，提升知识迁移与跨学科应用能力.） 典型例题 例１.在平面直角坐标系中，若矩形的面积恒为8，矩形的长为正数x，宽为y，矩形一个顶点在原点，两边 分别平行于坐标轴. （1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量取值范围； （2）判断点(4,2)、(-2,4)是否在该函数图象上； （3）简述该函数图象的形状与分布. 【分析】本题紧扣本节课矩形画双曲线的活动核心，考查反比例函数建模、图象上点的特征及图象性质.解 题关键是利用矩形面积定值建立变量关系，结合自变量实际意义确定取值范围，通过代入验证判断点与图 象的位置关系. 【详解】（1）根据矩形面积公式：长×宽=面积，可得xy=8， 变形得函数解析式：y= 8 x， 由实际意义可知，矩形的长为正数，因此自变量取值范围：x＞0； （2）验证点(4,2)：将x=4代入解析式，y== 8 4=2，与点的纵坐标相等，因此点(4,2)在函数图象上； 验证点(-2,4)：自变量取值范围为x＞0，x=-2不符合实际意义，因此点(-2,4)不在函数图象上； （3）该函数图象是反比例函数y= 8 x，在第一象限的分支，是一条平滑的曲线，y随x的增大而减小，图象无限 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 靠近坐标轴但不与坐标轴相交. 例2.同一支简易密度计漂浮在不同液体中，浸入液体的深度h（cm）与液体密度\rho（g/cm³）成反比例函 数关系。已知密度计在清水中（ρ=1.0g/cm³）浸入深度为24cm. （1）求ρ关于h的反比例函数解析式； （2）若密度计浸入某液体的深度为15cm，求该液体的密度； （3）若某液体密度为1.2g/cm³，求密度计浸入液体的深度. 【分析】：本题是本节课第二个数学活动的原型应用题，核心考查反比例函数在实际跨学科场景中的建模 与求解。解题步骤为：先根据反比例关系设出解析式，代入已知数据求比例系数，再利用解析式代入求值， 全程结合实际变量意义分析. 【详解】（1）设反比例函数解析式为ρ= k h（k≠0，h＞0）， 将ρ=1.0，h=24代入解析式： 1.0= k 24，解得k=24， 因此函数解析式为：ρ= 24 h （h＞0）； （2）当h=15cm时，代入解析式：ρ= 24 15=1.6（g/cm³） 答：该液体的密度为1.6g/cm³； （3）当ρ=1.2g/cm³时，代入解析式：1.2= 24 h 解得h=20 答：密度计浸入液体的深度为20cm. （设计意图：通过针对性例题，巩固矩形与反比例函数的关联知识点，强化学生根据实际情境确定自变量 取值范围的意识，规范解题步骤，突破学生“忽略实际意义、盲目判断图象点”的易错点.） 1.如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作 m T （m为1～8的 整数）．函数 ( ) 0 k y x x = 的图象为曲线L ． (1)若L过点 1T ，则k = ______； (2)若L过点 4T ，则它必定还过另一点 m T ，则m = ______； (3)若曲线L使得 1 8 T T 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，求出所有满足条件的整数k ． 【详解】（1）解：由图像可知 1( 16,1) T − 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 又∵．函数 k y x = （ 0 x ）的图象经过 1T ∴ 1 16 k = − ，即 16 k = − ， 故答案为16 − ； （2）由图像可知 1( 16,1) T − 、 2( 14,2) T − 、 3( 12,3) T − 、 4( 10,4) T − 、 5( 8,5) T − 、 6( 6,6) T − 、 7( 4,7) T − 、 8( 2,8) T − ∵L过点 4T ∴ 10 4 40 k = − = 观察 1 8 ~ T T 发现 5T 符合题意，即 5 m = 故答案为5； （3）∵ 1 8 ~ T T 的横纵坐标积分别为：16, 28, 36, 40, 40, 36, 28, 16 − − − − − − − − ∴要使这8个点为于L的两侧，每次各四个点，k 必须满足36 28 k − − ∴k 可取共7个整数值，为35 − 、34 − 、33 − 、32 − 、31 − 、30 − 、29 − . （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的 理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量 (mg) y 与燃烧时间(min) x 成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时 教室内每立方米空气含药量为8mg ．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y关于x的函数表达式． (2)求药物燃烧后y关于x的函数表达式． (3)当每立方米空气中含药量低于1.6mg 时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段学生不 能停留在教室里？ 【详解】（1）解：设药物燃烧时y关于x的函数表达式为y kx = ， ∴10 8 k = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 0.8 k = ， ∴药物燃烧时y关于x的函数表达式为 ( ) 0.8 0 10 y x x = ； （2）解：设药物燃烧后y关于x的函数表达式为 1k y x = ， ∴ 8 10 k = ， ∴ 80 k = ， ∴药物燃烧后y关于x的函数表达式为 ( ) 80 10 y x x = ； （3）解：对于 0.8 y x = ，当 1.6 y = ， 2 x = ； 对于 80 y x = ，当 1.6 y = 时， 50 x = ， ∴从消毒开始，第2分钟到第50分钟学生不能停留在教室里． (设计意图:强化本节课核心知识的拓展．) 1．（2025·金安统考）圆锥的体积 1 3 V Sh = （S表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高线长），某工厂要制作 一系列圆锥模型，要求体积保持不变．测得其中一个已做成的圆锥模型的底面半径为 30cm ，高线长为 10cm． (1)求这一系列圆锥模型的底面积( ) 2 cm S 关于高线长(cm) h 的函数表达式，并画出函数图象． (2)利用所画的函数图象，求当高线长限定为50 100 h 时，底面积的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得 2 3 30 1 1 10 100cm 3 3 V Sh = = = ， ∴ ( ) 100 0 S h h = ， 函数图象如下所示： （2）解：当 50 h = 时， 2 S = ，当 100 h = 时， 1 S = ， ∴由函数图象可知当高线长限定为50 100 h 时，底面积的取值范围为1 2 S ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2．（2025·淮安统考）测得不同国家六种硬币的质量和体积数据如下表： 硬币 质量（g） 体积（ 3 cm ） A 3.1 0.41 B 4.0 0.50 C 8.6 1.2 D 8.0 0.95 E 9.8 1.1 F 5.0 0.67 (1)设用质量为 g m( )的某种金属制作成的硬币体积为( ) 3 cm V ，求该种金属的密度． (2)从前，奥地利硬币由铜和锌的合金制成，其密度为 3 8.42g / cm ．你认为上表中，哪一种硬币可能来自奥 地利？ (3)已知铜的密度为 3 8.92g / cm ，锌的密度为 3 7.15g / cm ．A，B两种硬币都由铜和锌的合金制成，哪一种含 锌量较多？请说明理由． 【详解】（1）解：由密度计算公式可知 m V = ； （2）解：A 硬币的密度为 ( ) 3 3.1 7.56 g / cm 0.41 ，B 硬币的密度为 ( ) 3 4.0 8.00 g / cm 0.50 = ，C 硬币的密度为 ( ) 3 8.6 7.17 g / cm 1.2 ，D 硬币的密度为 ( ) 3 8.0 8.42 g / cm 0.95 ，E 硬币的密度为 ( ) 3 9.8 8.91 g / cm 1.1 ，F 硬币的密 度为 ( ) 3 5.0 7.46 g / cm 0.67 ， ∴D 硬币可能来自奥地利； （3）解：A 硬币含锌量比较多，理由如下： ∵铜的密度大于锌的密度， ∴由铜和锌制成的合金材料，含锌越小，密度越大， ∵ A B ρ ρ ， ∴A 硬币含锌量比较多． 3．（2025·石家庄期中）有一台室内去除甲醛的空气净化器需要消耗药物去除甲醛，设净化药物的消耗量 为( ) kg x ，室内甲醛含量为( ) 3 mg/m y ，开机后净化器开始消耗净化药物． 当0 1 x 时，室内甲醛含量保持室内起始甲醛含量 3 1.8mg/m 不改变； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 当 1 x 时，净化器开始计时，开始计时后，设时间为( ) h t （ 0 t ），并有以下两种工作模式： 模式Ⅰ：室内甲醛含量( ) 3 mg/m y 与净化药物的消耗量( ) kg x 成反比，且当 2 x = 时， 0.9 y = ； 模式Ⅱ：净化药物的消耗量( ) kg x 与时间( ) h t 的关系式为 5 1 x t = + ，计时后甲醛的减少量( ) 3 mg/m d 与时间 ( ) h t 的关系式为 2 5 d t = ．（室内甲醛含量＝室内起始甲醛含量－甲醛的减少量） (1)在模式Ⅰ下： ①求出y 与x 的关系式（不写x 的取值范围）； ②如果要求甲醛含量不高于 3 0.1mg/m 达标，求净化药物的消耗量x 的最小值； (2)在模式Ⅱ下： ①用t 表示y 为：______； ②求y 与x 的关系式为：______；（不写x 的取值范围） (3)若采用模式Ⅱ去除甲醛，当 3 1mg/m y = 时，与模式Ⅰ相比，消耗相同的净化药物，哪种模式去除甲醛的 效果好？请同学计算说明理由． 【详解】（1）①设y 与x 的关系式为 ( ) 0 k y k x = ， 将当 2 x = 时， 0.9 y = 代入得： 0.9 2 k = ，解得： 1.8 k = ， ∴y 与x 的关系式为 1.8 y x = ； ②∵甲醛含量不高于 3 0.1mg/m 达标，且根据题意有x非负， ∴ 0.1 y ， ∴ 1.8 0.1 x ，解得： 18 x≥ ， ∴净化药物的消耗量x 的最小值为18kg ． （2）①根据题意得： 1.8 y d = − ， 将 2 5 d t = 代入 1.8 y d = − 得： 2 1.8 5 y t = − ， 故答案为： 2 1.8 5 y t = − ． ②∵ 5 1 x t = + ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 1 5 x t − = ， 将 1 5 x t − = 代入 2 1.8 5 y t = − 得： 2 1 1.8 5 5 x y − = − ， 整理得∶ 2 1 2 8 5 5 5 y x x = − + + ． （3）当 3 1mg/m y = 时， 模式Ⅱ： 2 1 2 8 1 5 5 5 x x = − + + ，解得： 1 3 x = ， 2 1 x = −（舍）， 当 3mg x = 时， 模式Ⅰ： 1.8 0.6 3 y = = ， ∵1 0.6 ， ∴模式Ⅰ去除甲醛的效果好． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检 验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识技能：（1）核心本质：反比例函数的本质是两个变量的乘积为定值，即xy=k（k≠0）；（2） 几何应用：面积定值的矩形，边长顶点轨迹为反比例函数双曲线，印证k的几何意义；（3）实际应用： 可利用反比例函数解决物理密度、行程、工程、面积等定值类实际问题，掌握“建模—求解—验证” 的解题流程. 思想方法：（1）数形结合思想：通过矩形作图，将代数解析式与几何图象结合，直观理解函数规律； （2）模型思想：从几何、物理实际情境中提炼反比例函数模型，实现实际问题数学化；（3）特殊到 一般思想：通过具体数据测算、特例探究，归纳出反比例函数的通用规律. 易错提醒：（1）实际情境中必须考虑自变量的取值范围，不可盲目套用解析式；（2）混淆正比例 与反比例关系：定值和为正比例，定值积为反比例；（3）矩形画双曲线时，忽略变量正数取值，误 画第二、四象限分支；（4）实际问题求解后未验证结果是否符合生活实际. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：课本习题25.3第3、9题. 探究性作业：近年来，电商直播带货成了一个火热的职业．某电商在抖音平台上对一款成本为60元/件的服 装进行直播销售，如果按每件100元销售，那么每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元， 那么平均每天可多售出2件，设每件服装降价x元（降价后不得低于成本）． (1)平均每天销售量增加 件，每件服装盈利 元．（用含x的代数式表示） (2)当每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (3)商家平均每天盈利能达到1350元吗？请说明理由． 【详解】（1）根据题意有：平均每天销售量增加2x 件，每件服装盈利( ) 40 x − 元， 故答案为：2x ，( ) 40 x − ； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）根据题意，得( )( ) 40 20 2 1200 x x − + = ． 解得 1 10 x = ， 2 20 x = ． 经检验， 10 x = 或 20 x 均符合本题要求． 答：当每件服装降价10元或20元时，商家平均每天能盈利1200元 （3）不能 理由：根据题意，得( )( ) 40 20 2 1350 x x − + = ． 化简，得 2 30 275 0 x x − + = ． ∵ ( ) 2 2 4 30 4 1 275 200 0 b ac − = − − = − ， ∴方程没有实数根， ∴商家平均每天盈利不能达到1350元． （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 27.反比例函数 数学活动 (一) 利用矩形画双曲线 （二）用简易密度计测量密度 （三）易错提醒 副板书 典型例题 （预留区域，课堂书写化简、检验例题） 例题 学生练习板演
