文档文本内容
1
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之反比例函数（三）
一．解答题（共19 小题）
1．（2026•广元）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y= 1
2x+b 的图象与x 轴，y 轴分别交于A，B
两点，与函数y= 4
x （x＞0）的图象交于点C（a，2）．
（1）求a，b 的值；
（2）将线段AB 绕点A 逆时针旋转90°到AD，连接BD，将△ABD 沿直线AB 平移，当点D 的对应点E
恰好落在函数y= 4
x （x＞0）的图象上时，求点E 的坐标．
2．（2026•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y = 4
x 的
图象交于A（﹣2，n），B 两点．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）点C 是y 轴正半轴上的一点，若△ABC 的面积为8，求点C 的坐标．
3．（2026•巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+8 与双曲线y= k
x （k≠0）交于A（1，a）、B
两点，与x 轴交于点D．
（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标．
2
（2）直接写出不等式k
x ＜x+8 的解集．
（3）若点P 为x 轴上的动点，当△ADP 为直角三角形时，求点P 的坐标．
4．（2026•内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b 的图象与反比例函数y= k2
x 的图象相交
于点A（2，6）和点B（﹣4，m）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出关于x 的不等式k1x+b≥k2
x 的解集；
（3）已知点C 是x 轴上一点，连接AC、BC，若△ABC 的面积为15，求点C 的坐标．
5．（2026•宜宾）如图，一次函数y＝x+b（b＞0）的图象与x 轴、y 轴分别交于B、C 两点，并与反比例
函数y = m
x 的图象交于横坐标为1 的点P，过点P 作PA⊥x 轴于点A．已知S△PAB＝8．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若Q 是A 点关于y 轴的对称点，M、N 分别是y 轴和线段BC 上的动点，求△MNQ 周长的最小值．
3
6．（2026•遂宁）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2= m
x （m≠0）的图象交于A
（﹣3，2）、B（a，﹣6）两点，与y 轴交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出y1＞y2时x 的取值范围；
（3）将一次函数y1＝kx+b 的图象向上平移5 个单位长度后，与x 轴下方的反比例函数y2= m
x 图象交于
点P，求△ACP 的面积．
7．（2026•扬州）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，
某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试．
【数据收集】如表是测试所得的数据：
行车速度v
（km/h）
40
45
55
70
80
100
视野角度f
（度）
100
89
73
57
50
40
【直观呈现】
（1）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点．
【数学表达】
（2）请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度f（度）与行车速度v（km/h）之间关系的函数
表达式．
【问题解决】
4
（3）在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80 度，那么车辆的行驶速度应控制在什么
范围？
8．（2026•甘肃）如图，一次函数y＝3x+b 的图象与反比例函数y= k
x （k≠0）的图象交于点A（2，3），
与x 轴交于点C．在反比例函数图象上有一点B（﹣3，m），过点B 作BD⊥x 轴于点D，连接AD，
BC．
（1）求一次函数y＝3x+b 与反比例函数y= k
x （k≠0）的表达式；
（2）求四边形BDAC 的面积．
9．（2026•乐山）如图，一次函数y＝﹣x+1 的图象与反比例函数y = k
x (k ≠0)的图象交于P（﹣1，a）、
Q（b，﹣1）两点，连结OP、OQ．
（1）求a、b 的值和反比例函数的表达式；
（2）求△POQ 的面积．
10．（2026•眉山）如图，一次函数y＝kx+b 的图象与反比例函数y= 8
x 的图象交于A（m，8），B（﹣4，
n）两点．
（1）求一次函数的表达式；
5
（2）观察图象，直接写出不等式kx+b≥8
x 的解集；
（3）将直线AB 向下平移12 个单位后交反比例函数的图象于C，D 两点，交y 轴于点E，连接AC，
AE，求△ACE 的面积．
11．（2026•江西）如图，四边形ABCD 是平行四边形，A（﹣2，m），B（2，0），C（0，﹣1），点D
在x 轴上，反比例函数y = k
x (k ＜0)的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）P 为边BC 上的一点，直线AP 交双曲线另一支于点Q，当△ABP 的面积等于▱ABCD 的面积的1
4
时，求点Q 的坐标．
12．（2026•苏州）如图，一次函数y＝ax+b 的图象经过点A（﹣4，0），B（0，2），点P 在一次函数的
图象上，过点P 分别作x 轴和y 轴的平行线交反比例函数y = k
x (k ＞0，x＞0)的图象于M，N 两点，
连接MN．
（1）求a，b 的值；
（2）若△PMN 是腰长为3 的等腰直角三角形，求点P 的坐标和k 的值．
6
13．（2026•凉山州）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y= 1
2x 的图象与反比例函数y= k
x （x＞0）
的图象交于点A（m，2），在射线OA 上取一点B，使得OB：OA＝3：2，过点B 作BC⊥y 轴于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出点B 的坐标 ；
（3）在x 轴上存在一点P，使PA+PC 的值最小，求点P 坐标．
14．（2026•自贡）如图，反比例函数y1= m
x 与一次函数y2＝x+n 的图象相交于A，B 两点，点A 的坐标为
（﹣6，﹣3）．
（1）求反比例函数的解析式及n 的值；
（2）请直接写出当y1＞y2时x 的取值范围；
（3）点P 是直线y2＝x+n 上的一个动点，当OP⊥AB 时，求点P 的坐标．
15．（2026•广安）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+4（k 为常数，k≠0）的图象与x 轴，y
轴分别交于A，B 两点，与反比例函数y= m
x （m 为常数，m≠0）在第二，四象限分别交于C，D 两点，
点D（3，b），OB＝2OA．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
7
（2）点P 在坐标轴上，以点O，D，P 为顶点的等腰三角形有 个，当点P 在x 轴负半轴时，
求等腰三角形ODP 的面积；
（3）如图2，已知函数y＝kx- m
x 的大致图象，请结合图象直接写出该函数的两条性质．
16．（2026•南充）如图，一次函数图象与y 轴交于点A（0，﹣3），与x 轴交于点B（6，0），与反比例
函数图象交于点C（m，1）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）点P 在反比例函数第一象限图象上，∠BOP＝∠OAB，求点P 的坐标．
17．（2026•泸州）如图，一次函数y＝3x﹣6 的图象与反比例函数y = m
x (m＞0)的图象交于第一象限的
点A，且点A 到y 轴的距离为4．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将点A 向上平移4 个单位长度得到点B，点D 在y 轴上，BD 与反比例函数的图象交于点C，若
CD＝3BC，求点D 的坐标．
18．（2026•达州）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系
【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它
们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为
友好点．
根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法：
8
【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1，因为一次函数与反比例函数图象没有交点，
所以它们是“陌生函数”．
【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定．如判定y＝2x﹣1 与y= 1
x 的关系时，由函数表达式得2x
﹣1= 1
x ，去分母得2x2﹣x﹣1＝0，因为Δ＝9＞0，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”．
【问题解决】
（1）对于函数①y=- 2
x ，②y＝2x，③y＝﹣3x+1．其中①与②是“ 函数”，①与③
是“ 函数”；
（2）若y1= m
x （m≠0）与y2＝kx+b（k≠0）是“友好函数”，如图2，当y1＞y2时，x 的取值范围是
；若y= n
x （n≠0）与y＝2x﹣6 是“相连函数”，则n 的值为 ；
（3 ）如图3 ，过点C （0 ，6 ）的直线l1 ，l2 对应的函数分别与y= k1
x (k1≠0，x＜0)，y
= k2
x (k2≠0，x＞0)是“相连函数”，相连点分别为P，Q，l1，l2 与x 轴分别交于A，B 两点，已知
AB＝6，k1k2＝﹣18，求k1
2+ k2
2的值．
19．（2026•成都）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝kx 与反比例函数y = 2
x 的图象相交于A
（1，a），B 两点，过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为C，D．
（1）求线段AB 的长；
（2）已知P 为y 轴正半轴上一点，若△ABP 为直角三角形，求点P 的坐标；
（3）如图2，将线段DA，AC 组成的折线段“D﹣A﹣C”沿x 轴正方向平移得到折线段“D′﹣A′﹣
C′”，点D，A，C 的对应点分别为D′，A′，C′．A′C′与反比例函数的图象交于点E，直线
BD′与反比例函数的图象在第一象限交于点F，OE 与C′F 交于点G．试探究：在平移过程中，FG
GC '
9
的值是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．
10
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之反比例函数（三）
参考答案与试题解析
一．解答题（共19 小题）
1．（2026•广元）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y= 1
2x+b 的图象与x 轴，y 轴分别交于A，B
两点，与函数y= 4
x （x＞0）的图象交于点C（a，2）．
（1）求a，b 的值；
（2）将线段AB 绕点A 逆时针旋转90°到AD，连接BD，将△ABD 沿直线AB 平移，当点D 的对应点E
恰好落在函数y= 4
x （x＞0）的图象上时，求点E 的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）a＝2，b＝1；
（2）E（1，4）．
【分析】（1）依据题意，由C（a，2）在反比例函数y= 4
x 上，可得a＝2，故C 为（2，2），结合C
在一次函数y= 1
2x+b 的图象上，从而1
2 ×2+b＝2，则b＝1，即可得解；
（2）依据题意，结合（1）一次函数为y= 1
2x+1，故令x＝0，则y＝1，故B（0，1）；令y＝0，则x＝
﹣2，故A（﹣2，0），又过D 作DF⊥x 轴于F，由AB 旋转90°至AD，可证明△DAF≌△ABO
（AAS），从而DF＝AO＝2，FA＝OB＝1，进而D（﹣3，2），又△ABD 沿直线AB 平移，可得DE∥
11
直线y= 1
2x+1，则可设直线DE 为y= 1
2x+m，求出一次函数解析式，然后联立方程组{
y = 1
2 x + 7
2
y = 4
x
，进而
计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，∵C（a，2）在反比例函数y= 4
x 上，
∴2a＝4，则a＝2．
∴C 为（2，2），
又∵C 在一次函数y= 1
2x+b 的图象上，
∴1
2 ×2+b＝2，则b＝1．
（2）由题意，结合（1）一次函数为y= 1
2x+1，
∴令x＝0，则y＝1，故B（0，1）；
令y＝0，则x＝﹣2，故A（﹣2，0）．
过D 作DF⊥x 轴于F，
又由AB 旋转90°至AD，
∴AD＝BA．
可得∠DFA＝∠AOB＝90°，∠DAF＝∠ABO，
∴△DAF≌△ABO（AAS）．
∴DF＝AO＝2，FA＝OB＝1，
∴D（﹣3，2）．
∵△ABD 沿直线AB 平移，
∴DE∥直线y= 1
2x+1，
∴可设直线DE 为y= 1
2x+m，
12
∴- 1
2 ×3+m＝2，则m= 7
2．
∴一次函数y= 1
2x+ 7
2，
联立方程组{
y = 1
2 x + 7
2
y = 4
x
，
∴x＝1 或x＝﹣8（x＞0，负值不合题意，舍去）．
∴E（1，4）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并
能灵活运用反比例函数的性质是关键．
2．（2026•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y = 4
x 的
图象交于A（﹣2，n），B 两点．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）点C 是y 轴正半轴上的一点，若△ABC 的面积为8，求点C 的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y＝x；
（2）（0，4）．
【分析】（1）先求出点A 坐标，在利用待定系数法进行求解即可；
（2）根据题意，建立关于点C 纵坐标得方程即可解决问题．
【解答】解：（1）将点A 坐标代入y= 4
x 得，
n= 4
-2 =-2，
所以点A 坐标为（﹣2，﹣2）．
将点A 坐标代入y＝kx 得，
13
﹣2k＝﹣2，
k＝1，
所以正比例函数的解析式为y＝x；
（2）设点C 坐标为（0，m），
则OC＝m．
因为点A 坐标为（﹣2，﹣2）且点A 和点B 关于原点对称，
所以点B 坐标为（2，2）．
因为△ABC 的面积为8，
所以1
2 ⋅m⋅2+ 1
2 ⋅m⋅2=8，
解得m＝4，
所以点C 坐标为（0，4）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性
质是解题的关键．
3．（2026•巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+8 与双曲线y= k
x （k≠0）交于A（1，a）、B
两点，与x 轴交于点D．
（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标．
（2）直接写出不等式k
x ＜x+8 的解集．
（3）若点P 为x 轴上的动点，当△ADP 为直角三角形时，求点P 的坐标．
【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数综合题；应用意识．
【答案】（1）反比例函数的表达式为y= 9
x ，B（﹣9，﹣1）；
（2）不等式y = k
x ＜x+8 的解集为﹣9＜x＜0 或x＞1；
（3）点P 的坐标为（1，0）或（10，0）．
【分析】（1）先求出点A（1，9），再用待定系数法求出反比例函数的表达式，联立来个表达式求出
点B 坐标；
14
（2）由点A、B 坐标和图象，直接得出答案；
（3）分两种情况：利用直角三角形的特征即可得出答案．
【解答】解：（1）∵点A（1，a）在直线y＝x+8 ①上，
∴a＝1+8＝9，
∴A（1，9），
∵点A 在双曲线y= k
x 上，
∴k＝1×9＝9，
∴反比例函数的表达式为y= 9
x ②，
联立①②解得，{
x =1
y =9或{
x =-9
y =-1，
∴点B（﹣9，﹣1），
即反比例函数的表达式为y= 9
x ，B（﹣9，﹣1）；
（2）∵A（1，9），B（﹣9，﹣1），
∴不等式y = k
x ＜x+8 的解集为﹣9＜x＜0 或x＞1；
（3）∵点D，P 在x 轴上，
∴只有两种情况：如图，
①当∠APD 是直角，即AP⊥x 轴，
∴点P 的坐标为（1，0），
②当∠DAP'是直角，
∵点D 在直线y＝x+8 上，
∴D（﹣8，0），
∴DP＝9，
∵A（1，9），
∴AP＝9，
∴AP＝DP，
∴∠DAP＝45°，
15
∵∠DAP'＝90°，
∴∠PAP'＝45°，
∴∠DP'A＝45°＝∠PAP'，
∴PP'＝AP＝9，
∴P（10，0），
即点P 的坐标为（1，0）或（10，0）．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，直角三角形的性质，用分类讨论的思想
解决问题是解本题的关键．
4．（2026•内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b 的图象与反比例函数y= k2
x 的图象相交
于点A（2，6）和点B（﹣4，m）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出关于x 的不等式k1x+b≥k2
x 的解集；
（3）已知点C 是x 轴上一点，连接AC、BC，若△ABC 的面积为15，求点C 的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）一次函数的表达式为y= 3
2 x +3，反比例函数的表达式为y= 12
x ；
（2）﹣4≤x＜0 或x≥2；
（3）（- 16
3 ，0）或（4
3 ，0）．
【分析】（1）利用待定系数法进行计算即可；
（2）利用数形结合的数学思想即可解决问题；
（3）根据三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：（1）将点A 坐标代入y= k2
x 得，
k2＝2×6＝12，
所以反比例函数的表达式为y= 12
x ．
16
将点B 坐标代入y= 12
x 得，m＝﹣3，
所以点B 坐标为（﹣4，﹣3）．
将点A 和点B 坐标代入一次函数解析式得，
{
2k1+b=6
- 4 k1+b=-3，
解得{
k1= 3
2
b=3
，
所以一次函数的表达式为y= 3
2 x +3；
（2）由函数图象可知，
当﹣4≤x＜0 或x≥2 时，一次函数的图象不在反比例函数图象的下方，即k1x+b≥k2
x ，
所以不等式k1x+b≥k2
x 的解集为﹣4≤x＜0 或x≥2；
（3）如图所示，
由3
2 x +3=0 得，x＝﹣2，
所以点M 坐标为（﹣2，0）．
因为△ABC 的面积为15，
所以1
2 ⋅CM ⋅6+ 1
2 ⋅CM ⋅3=15，
解得CM= 10
3 ，
则﹣2- 10
3 =- 16
3 ，-2+ 10
3 = 4
3 ，
所以点C 的坐标为（- 16
3 ，0）或（4
3 ，0）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性
质是解题的关键．
17
5．（2026•宜宾）如图，一次函数y＝x+b（b＞0）的图象与x 轴、y 轴分别交于B、C 两点，并与反比例
函数y = m
x 的图象交于横坐标为1 的点P，过点P 作PA⊥x 轴于点A．已知S△PAB＝8．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若Q 是A 点关于y 轴的对称点，M、N 分别是y 轴和线段BC 上的动点，求△MNQ 周长的最小值．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）一次函数的解析式为y＝x+3，反比例函数的解析式为y= 4
x ；
（2）2√5．
【分析】（1）根据S△PAB＝8 先求出b 的值，再利用待定系数法进行计算即可；
（2）先求出点Q 的坐标，再根据轴对称的性质求出△MNQ 周长的最小值即可．
【解答】解：（1）将x＝1 代入y＝x+b 得，
y＝1+b，
所以点P 坐标为（1，1+b）．
由x+b＝0 得，x＝﹣b，
所以点B 坐标为（﹣b，0），
则AB＝1﹣（﹣b）＝1+b．
因为S△PAB＝8，
所以1
2 (1+b)
2=8，
解得b＝3（舍负），
所以点P 坐标为（1，4），一次函数的解析式为y＝x+3．
将点P 坐标代入反比例函数解析式得，
m＝1×4＝4，
所以反比例函数的解析式为y= 4
x ；
（2）将x＝0 代入y＝x+3 得，y＝3，
所以点C 坐标为（0，3），
则OB＝OC，
18
所以△BOC 是等腰直角三角形，
所以∠CBO＝45°．
因为点A 坐标为（1，0）且点Q 是A 点关于y 轴的对称点，
所以点Q 坐标为（﹣1，0）．
过点Q 作直线BC 得对称点E，连接AE，
则当点M 和点N 分别在AE 与y 轴和BC 的交点处时，△MNQ 的周长取得最小值，即为AE 的长．
由对称可知，
∠EBC＝∠CBO＝45°，BE＝BQ＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
所以∠EBO＝90°，
所以点E 坐标为（﹣3，2）．
又因为点A 坐标为（1，0），
则AE=√(-3-1)
2+(2-0)
2=2√5，
所以△MNQ 周长的最小值为2√5．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性
质是解题的关键．
6．（2026•遂宁）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2= m
x （m≠0）的图象交于A
（﹣3，2）、B（a，﹣6）两点，与y 轴交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出y1＞y2时x 的取值范围；
（3）将一次函数y1＝kx+b 的图象向上平移5 个单位长度后，与x 轴下方的反比例函数y2= m
x 图象交于
点P，求△ACP 的面积．
19
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）一次函数的表达式为y1＝﹣2x﹣4，反比例函数的表达式为y2=- 6
x ；
（2）x＜﹣3 或0＜x＜1；
（3）15
2 ．
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）利用数形结合的数学思想即可解决问题；
（3）根据三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：（1）将点A 坐标代入反比例函数解析式得，
m＝﹣3×2＝﹣6，
所以反比例函数的表达式为y2=- 6
x ．
将点B 坐标代入反比例函数解析式得，
a＝1，
所以点B 坐标为（1，﹣6）．
将点A 和点B 坐标代入一次函数解析式得，
{
-3k +b=2
k +b=-6 ，
解得{
k =-2
b=- 4，
所以一次函数的表达式为y1＝﹣2x﹣4；
（2）由函数图象可知，
当x＜﹣3 或0＜x＜1 时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即y1＞y2，
所以当y1＞y2时，x 的取值范围是x＜﹣3 或0＜x＜1；
（3）由题知，
将一次函数y1＝kx+b 的图象向上平移5 个单位长度后，
所得直线的函数表达式为y＝﹣2x+1．
20
令直线y＝﹣2x+1 与y 轴的交点为M，
则点M 的坐标为（0，1）．
由平移可知，AB∥PM，
所以△ACP 的面积与△ACM 的面积相等．
将x＝0 代入y1＝﹣2x﹣4 得，y1＝﹣4，
所以点C 坐标为（0，﹣4），
则CM＝1﹣（﹣4）＝5，
所以△ACM 的面积为：1
2 ×5×3= 15
2 ，
所以△ACP 的面积是15
2 ．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数的图象与性
质是解题的关键．
7．（2026•扬州）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，
某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试．
【数据收集】如表是测试所得的数据：
行车速度v
（km/h）
40
45
55
70
80
100
视野角度f
（度）
100
89
73
57
50
40
【直观呈现】
（1）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点．
21
【数学表达】
（2）请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度f（度）与行车速度v（km/h）之间关系的函数
表达式．
【问题解决】
（3）在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80 度，那么车辆的行驶速度应控制在什么
范围？
【考点】反比例函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用．
【答案】（1）
（2）f = 4000
v
(v ＞0)；
（3）车辆的行驶速度应控制在不超过50km/h，即0＜v≤50km/h．
【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各
点即可；
（2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值4000，判断为反比例函数，写出近似函数表达
式并标注自变量取值范围即可；
（3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度
的控制范围．
22
【解答】解：（1）如图，
（2）观察表格数据，每组行车速度v 与视野角度f 的乘积近似等于4000，符合反比例函数的特征，因
此近似函数表达式为：f = 4000
v
(v ＞0)；
（3）由题意，要求视野角度不小于80 度，即f≥80，代入函数表达式得：4000
v
≥80，
因为行车速度v＞0，不等式两边同时乘v，不等号方向不变：
4000≥80v，
解得v≤50，
结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过50km/h，即0＜v≤50km/h．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键．
8．（2026•甘肃）如图，一次函数y＝3x+b 的图象与反比例函数y= k
x （k≠0）的图象交于点A（2，3），
与x 轴交于点C．在反比例函数图象上有一点B（﹣3，m），过点B 作BD⊥x 轴于点D，连接AD，
BC．
（1）求一次函数y＝3x+b 与反比例函数y= k
x （k≠0）的表达式；
（2）求四边形BDAC 的面积．
23
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y＝3x﹣3；y = 6
x ；
（2）10．
【分析】（1）依据题意，由点A（2，3）在一次函数 y＝3x+b 的图象上，则3×2+b＝3，求出b 后可
得一次函数的表达式为y＝3x﹣3，又点A（2，3）在反比例函数y = k
x 的图象上，则k＝2×3＝6，从而
求出反比例函数的解析式；
（2）依据题意，由点B（﹣3，m）在反比例函数y = 6
x 的图象上，则m＝﹣2，可得点B（﹣3，﹣
2），又BD⊥x 轴于点D，故DO＝3，BD＝2，又一次函数y＝3x﹣3 与x 轴交于点C，则点C（1，
0），故OC＝1，DC＝3+1＝4，进而S△BCD= 1
2 DC ⋅BD = 1
2 ×4×2= 4，又过点A 作AE⊥x 轴于点
E，则EA＝3，故S△ACD= 1
2 DC ⋅EA = 1
2 ×4×3=6，最后可得S 四边形BDAC＝S△BCD+S△ACD＝4+6＝10，
即可得解．
【解答】解：（1）由题意，∵点A（2，3）在一次函数 y＝3x+b 的图象上，
∴3×2+b＝3，
∴b＝﹣3，
∴一次函数的表达式为 y＝3x﹣3，
∵点A（2，3）在反比例函数y = k
x 的图象上，
∴k＝2×3＝6，
∴反比例函数的表达式为y = 6
x ；
（2）由题意，∵点B（﹣3，m）在反比例函数y = 6
x 的图象上，
∴m＝﹣2，
∴点B（﹣3，﹣2）．
∵BD⊥x 轴于点D，
∴DO＝3，BD＝2．
∵一次函数y＝3x﹣3 与x 轴交于点C，
∴点C（1，0），
∴OC＝1，
∴DC＝3+1＝4，
24
∴S△BCD= 1
2 DC ⋅BD = 1
2 ×4×2= 4．
过点A 作AE⊥x 轴于点E，则EA＝3，
∴S△ACD= 1
2 DC ⋅EA = 1
2 ×4×3=6，
∴S 四边形BDAC＝S△BCD+S△ACD＝4+6＝10．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例
函数的性质是关键．
9．（2026•乐山）如图，一次函数y＝﹣x+1 的图象与反比例函数y = k
x (k ≠0)的图象交于P（﹣1，a）、
Q（b，﹣1）两点，连结OP、OQ．
（1）求a、b 的值和反比例函数的表达式；
（2）求△POQ 的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）a＝2，b＝2；y=- 2
x ；
（2）3
2．
【分析】（1）将 P（﹣1，a）、Q（b，﹣1）代入一次函数解析式即可求出a、b 的值，再将点P 的坐
标代入反比例函数解析式求出m 的值即可；
（2）设一次函数y＝﹣x+1 与x 轴相交于点A，先求出A 点坐标，再根据S△POQ＝S△AOP+S△AOQ计算求
解．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+1 的图象经过点P（﹣1，a）、Q（b，﹣1），
∴﹣（﹣1）+1＝a，﹣b+1＝﹣1，解得a＝2，b＝2，
∴P（﹣1，2）、Q（2，﹣1），
∵反比例函数y = k
x 的图象经过点P（﹣1，2），
25
∴k＝﹣2，
∵反比例函数的表达式为y =- 2
x ；
（2）如图，设一次函数y＝﹣x+1 与x 轴相交于点A，与y 轴交于点B，
令y＝0，则 x＝1，
∴A（1，0），
∴OA＝1，
又∵P（﹣1，2），Q（2，﹣1），
∴S△POQ= S△AOP+ S△AOQ= 1
2 ×1×2+ 1
2 ×1×1= 3
2．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函
数的性质是关键．
10．（2026•眉山）如图，一次函数y＝kx+b 的图象与反比例函数y= 8
x 的图象交于A（m，8），B（﹣4，
n）两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出不等式kx+b≥8
x 的解集；
（3）将直线AB 向下平移12 个单位后交反比例函数的图象于C，D 两点，交y 轴于点E，连接AC，
AE，求△ACE 的面积．
26
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y＝2x+6；
（2）﹣4≤x＜0 或x≥1；
（3）24．
【分析】（1）依据题意，将A（m，8），B（﹣4，n）代入y= 8
x ，求出A（1，8）、B（﹣4，﹣
2），再将A（1，8）、B（﹣4，﹣2）代入y＝kx﹣b 得，求出k，b 即可得解；
（2）依据题意得，不等式kx +b≥8
x 的解集为y＝kx+b 的图象在y= 8
x 上方的自变量的取值范围，进而
结合函数的图象可以判断得解；
（3）依据题意，由直线AB：y＝2x+6 向下平移12 个单位为y＝2x﹣6，则令x＝0，y＝﹣6，可得点E
（0，﹣6），又联立方程组{
y =2 x -6
y = 8
x
得x＝4 或﹣1，从而C（4，2），设直线AB 与y 轴交于点F，
连结CF，可得F（0，6），故EF＝12，进而可以利用面积关系计算得解．
【解答】解：（1）将A（m，8），B（﹣4，n）两点代入y= 8
x ，
∴m＝1，n＝﹣2．
∴A（1，8）、B（﹣4，﹣2）．
将A（1，8）、B（﹣4，﹣2）代入y＝kx﹣b 得，
∴{
k +b=8
- 4 k +b=-2，
∴{
k =2
b=6．
∴一次函数的表达式为y＝2x+6；
（2）由题意得，不等式kx +b≥8
x 的解集为y＝kx+b 的图象在y= 8
x 上方的自变量的取值范围，
∵一次函数y＝kx+b 的图象与反比例函数y= 8
x 的图象交于A（1，8），B（﹣4，﹣2），
∴结合函数的图象可得，﹣4≤x＜0 或x≥1；
（3）由题意，∵直线AB：y＝2x+6 向下平移12 个单位为y＝2x﹣6，
∴令x＝0，y＝﹣6，
∴点E（0，﹣6），
27
联立方程组{
y =2 x -6
y = 8
x
得x＝4 或﹣1，
∴C（4，2）．
设直线AB 与y 轴交于点F，
连结CF，则F（0，6），
∴EF＝12，
∴S△ACE= S△CEF = 1
2 EF ⋅xc= 1
2 ×12×4 =24．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例
函数的性质是关键．
11．（2026•江西）如图，四边形ABCD 是平行四边形，A（﹣2，m），B（2，0），C（0，﹣1），点D
在x 轴上，反比例函数y = k
x (k ＜0)的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）P 为边BC 上的一点，直线AP 交双曲线另一支于点Q，当△ABP 的面积等于▱ABCD 的面积的1
4
时，求点Q 的坐标．
【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；应用意识．
28
【答案】（1）y=- 2
x ；
（2）Q（2，﹣1）．
【分析】（1）构造出△ADM≌△CBO，得出AM＝CO＝1，进而得出A（﹣2，1），即可求出答案；
（2）先判断出S△ABC= 1
2S▱ABCD，进而判断出S△ABP= 1
2S△ABC，得出P 为BC 的中点，进而求出P 的坐标
为(1，- 1
2 )，进而求出直线AP 的解析式，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵C（0，﹣1），
∴OC＝1，
如图1，过点A 作AM⊥x 轴于点M，
∴∠AMD＝∠COB＝90°，
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADM＝∠CBO，
∴△ADM≌△CBO（AAS），
∴AM＝CO＝1，
∴A（﹣2，1），
∴k＝（﹣2）×1＝﹣2，
∴反比例函数的表达式为y =- 2
x ；
（2）如图2，连接AC，
∵AC 为平行四边形ABCD 的对角线，
29
∴S△ABC= 1
2S▱ABCD，
∵△ABP 的面积等于▱ABCD 的面积的1
4 ，
∴S△ABP= 1
2S△ABC，
∴P 为BC 的中点，
∵B（2，0），C（0，﹣1），
∴P 的坐标为(1，- 1
2 )．
设直线AP 的表达式为y＝ax+b，
则{
-2a+b=1
a+b=- 1
2
，
解得，{
a=- 1
2
b=0
，
∴直线AP 的表达式为y =- 1
2 x，
即直线AP 经过坐标原点，
∵点A（﹣2，1），Q 是过原点的直线与双曲线的交点，
∴点A，Q 关于原点对称，
∴Q（2，﹣1）．
【点评】此题主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，
对称性，判断出点P 是BC 的中点是解本题的关键．
12．（2026•苏州）如图，一次函数y＝ax+b 的图象经过点A（﹣4，0），B（0，2），点P 在一次函数的
图象上，过点P 分别作x 轴和y 轴的平行线交反比例函数y = k
x (k ＞0，x＞0)的图象于M，N 两点，
连接MN．
（1）求a，b 的值；
（2）若△PMN 是腰长为3 的等腰直角三角形，求点P 的坐标和k 的值．
30
【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力；科学文化情境．
【答案】（1）a= 1
2，b＝2；
（2）点P 的坐标为（4，4），k＝4．
【分析】（1）将点A（﹣4，0），B（0，2）代入一次函数 y＝ax+b，即可求解；
（2）解：设点P 的坐标为(t ，1
2 t +2)，根据△PMN 是腰长为3 的等腰直角三角形得到点M 的坐标为
(t -3，1
2 t +2)，点N 的坐标为(t ，1
2 t -1)，把它们代入反比例函数y = k
x ，即可求出的值，进而得
到点P 的坐标与k 的值．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax+b 的图像经过点A（﹣4，0），B（0，2），
∴{
- 4 a+b=0，
b=2.
，
解得{
a= 1
2
b=2
；
（2）由（1）有a= 1
2，b＝2，
∴一次函数为y = 1
2 x +2，
∵点P 在一次函数y = 1
2 x +2的图像上，
∴设点P 的坐标为(t ，1
2 t +2)．
∵△PMN 是腰长为3 的等腰直角三角形，
∴PM＝PN＝3，
∴点M 的坐标为(t -3，1
2 t +2)，点N 的坐标为(t ，1
2 t -1)，
∵点M，N 在反比例函数y = k
x (k ＞0，x＞0)的图像上，
∴k =(t -3)( 1
2 t +2)=t( 1
2 t -1)，
解得t＝4，
∴点P 的坐标为（4，4），点M 的坐标为（1，4）．
∴k＝4．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的性质，熟
练掌握各知识点是解题的关键．
31
13．（2026•凉山州）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y= 1
2x 的图象与反比例函数y= k
x （x＞0）
的图象交于点A（m，2），在射线OA 上取一点B，使得OB：OA＝3：2，过点B 作BC⊥y 轴于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出点B 的坐标 （
6 ，
3 ）
；
（3）在x 轴上存在一点P，使PA+PC 的值最小，求点P 坐标．
【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力；科学文化情境．
【答案】（1）反比例函数的解析式为y= 8
x ；
（2）（6，3）；
（3）P（12
5 ，0）．
【分析】（1）把点A（m，2）代入解方程得到A（4，2），把A（4，2）代入y= k
x （x＞0）得解方程
即可得到结论；
（2）过A 作AH⊥y 轴于H，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（3）作点A 关于x 轴的对称点A′，连接A′C 交x 轴于P，则此时PA+PC 的值最小，设直线A′C 的
解析式为y＝mx+n，解方程组求得直线A′C 的解析式为y=- 5
4 x+3，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）把点A（m，2）代入y= 1
2x 得2= 1
2m，
∴m＝4，
∴A（4，2），
把A（4，2）代入y= k
x （x＞0）得k＝4×2＝8，
∴反比例函数的解析式为y= 8
x ；
（2）过A 作AH⊥y 轴于H，
32
∵A（4，2），
∴AH＝4，OH＝2，
∵BC⊥y 轴于点C，
∴BC∥AH，
∴△AOH∽△BOC，
∴AH
BC = OH
OC = OA
OB ，
∴4
BC = 2
OC = 2
3，
∴BC＝6，OC＝3，
∴B 的坐标为（6，3），
故答案为：（6，3）；
（3）作点A 关于x 轴的对称点A′，连接A′C 交x 轴于P，
则此时PA+PC 的值最小，
设直线A′C 的解析式为y＝mx+n，
∵A（4，2），
∴A′（4，﹣2），
∵C（0，3），
33
∴{
4 m+n=-2
n=3
，
∴{
m=- 5
4
n=3
，
∴直线A′C 的解析式为y=- 5
4 x+3，当y＝0 时，x= 12
5 ，
∴P（12
5 ，0）．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式
轴对称﹣最短路径问题，熟练掌握各知识点是解题的关键．
14．（2026•自贡）如图，反比例函数y1= m
x 与一次函数y2＝x+n 的图象相交于A，B 两点，点A 的坐标为
（﹣6，﹣3）．
（1）求反比例函数的解析式及n 的值；
（2）请直接写出当y1＞y2时x 的取值范围；
（3）点P 是直线y2＝x+n 上的一个动点，当OP⊥AB 时，求点P 的坐标．
【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力；科学文化情境．
【答案】（1）反比例函数的解析式为y= 18
x ，n＝3；
（2）当y1＞y2时x 的取值范围为x＜﹣6 或0＜x＜3；
（3）点P 的坐标为（- 3
2，3
2）．
【分析】（1）把点A（﹣6，﹣3）分别代入y1= m
x 与一次函数y2＝x+n 得﹣3= m
-6 ，﹣3＝﹣6+n，解方
程即可得到结论；
（2）解方程组得到B（3，6），根据函数图象即可得到结论；
（3）设直线AB 与y 轴交于D，与x 轴交于E，解方程得到E（﹣3，0），D（0，3），推出△DOE 是
34
等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到DP＝EP，根据中点坐标公式即可得到结论．
【解答】解：（1）把点A（﹣6，﹣3）分别代入y1= m
x 与一次函数y2＝x+n 得﹣3= m
-6 ，﹣3＝﹣6+n，
∴m＝18，n＝3，
∴反比例函数的解析式为y= 18
x ，n＝3；
（2）解{
y = 18
x
y = x +3
得{
x =-6
y =-3或{
x =3
y =6，
∴B（3，6），
∴当y1＞y2时x 的取值范围为x＜﹣6 或0＜x＜3；
（3）设直线AB 与y 轴交于D，与x 轴交于E，
在y＝x+3 中，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝﹣3，
∴E（﹣3，0），D（0，3），
∴OD＝OE，
∴△DOE 是等腰直角三角形，
∵OP⊥AB，
∴DP＝EP，
∴点P 是DE 的中点，
∴点P 的坐标为（- 3
2，3
2）．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，直角三角形的判定和性质，
中点坐标公式，熟练掌握各知识点是解题的关键．
15．（2026•广安）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+4（k 为常数，k≠0）的图象与x 轴，y
轴分别交于A，B 两点，与反比例函数y= m
x （m 为常数，m≠0）在第二，四象限分别交于C，D 两点，
点D（3，b），OB＝2OA．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
35
（2）点P 在坐标轴上，以点O，D，P 为顶点的等腰三角形有
8
个，当点P 在x 轴负半轴时，求
等腰三角形ODP 的面积；
（3）如图2，已知函数y＝kx- m
x 的大致图象，请结合图象直接写出该函数的两条性质．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y =- 6
x ；
（2）8，√13；
（3）①当x＞0 时，y 随着x 增大而减小；
②当x＜0 时y 随着x 增大而减小；
【分析】（1）先由一次函数解析式求出OB 长度，结合OB＝2OA 得A 点坐标，求出k；再将D（3，
b）代入一次函数得b，最后代入反比例求m 即可；
（2）分P 在x 轴，y 轴两类，按OD＝OP、DO＝DP，PO＝PD 三种等腰情况计数，再单独找出x 轴负
半轴的P，用底乘高算三角形面积；
（3）结合k、m 符号，观察函数y＝kx- m
x 图象，
【解答】解：（1）将x＝0 代入y＝kx+4，得y＝4
∴B（0，4），
∴OB＝4，
∵OB＝2OA，
∴OA＝2，
∴A（2，0）
将A（2，0）代入y＝kx+4，得k＝﹣2，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+4，
将D（3，b）代入y＝﹣2x+4，
得b＝﹣2，
∴D（3，﹣2），
将D（3，﹣2）代入y = m
x ，
得m＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为y =- 6
x ．
36
（2）∵D（3，﹣2）
∴OD =√3
2+(-2)
2=√13，
P 在x 轴上时：
①OP＝OD=√13时，则P1（√13，0）、P2（-√13，0）
②DO＝DP 时，则P3（6，0），
③PO＝PD：P4（13
6 ，0），
共4 个点，
P 在y 轴上时：
①OP＝OD=√13时，P5（0，√13）、P6（0，-√13），
②DO＝DP 时，P7（0，﹣4），
③PO＝PD 时，P8（0，- 13
4 ），
共4 个点，
∴8 个等腰三角形．
P 在x 轴负半轴只有P（-√13，0），
由题OP =OD =√13
∴S△ODP= 1
2 ×√13×2=√13；
故答案为：8，√13．
（3）图象的性质：①当x＞0 时，y 随着x 增大而减小；
②当x＜0 时y 随着x 增大而减小；
③函数的图象关于原点对称；
④函数的图象是轴对称图形．
【点评】本题综合考查一次函数、反比例函数解析式求解、等腰三角形分类讨论、分式函数图象性质
熟练掌握待定系数法、等腰三角形三边分类标准、函数图象特征分析是解题关键．
16．（2026•南充）如图，一次函数图象与y 轴交于点A（0，﹣3），与x 轴交于点B（6，0），与反比例
函数图象交于点C（m，1）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）点P 在反比例函数第一象限图象上，∠BOP＝∠OAB，求点P 的坐标．
37
【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力；科学文化情境．
【答案】（1）一次函数解析式为y = 1
2 x -3；反比例函数的解析式为y = 8
x ；
（2）P（2，4）．
【分析】（1）设一次函数为y＝kx+b（k≠0），解方程组得到一次函数解析式为y = 1
2 x -3；解方程得
到C（8，1），设反比例函数为y = n
x （n≠0），于是得到反比例函数为y = 8
x ；
（2）过点P 作PQ⊥x 轴于点Q，得到OA＝3，OB＝6，根据相似三角形的性质得到PQ＝2OQ，设点P
（a，2a）（a＞0），又点P 在反比例函数y = 8
x 上．解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）设一次函数为y＝kx+b（k≠0），
∵点A（0，﹣3），B（6，0）在一次函数图象上，
∴{
b=-3
6 k +b=0，
解得{
k = 1
2
b=-3
，
∴一次函数解析式为y = 1
2 x -3；
∵点C（m，1）在直线y = 1
2 x -3上，
∴C（8，1），
设反比例函数的解析式为y = n
x （n≠0），
∴n
8 =1，
解得n＝8，
∴反比例函数为y = 8
x ；
（2）过点P 作PQ⊥x 轴于点Q，
38
∵点A（0，﹣3），B（6，0），
∴OA＝3，OB＝6，
∵∠AOB＝∠PQO＝90°，∠BOP＝∠OAB，
∴△AOB∽△OQP，
∴AO
OQ = BO
PQ ，
∴PQ＝2OQ，
设点P（a，2a）（a＞0），又点P 在反比例函数y = 8
x 上．
∴2a= 8
a，
取正数解得a＝2．
经检验a＝2 是原方程的解．
∴P（2，4）．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质
一次函数的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
17．（2026•泸州）如图，一次函数y＝3x﹣6 的图象与反比例函数y = m
x (m＞0)的图象交于第一象限的
点A，且点A 到y 轴的距离为4．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将点A 向上平移4 个单位长度得到点B，点D 在y 轴上，BD 与反比例函数的图象交于点C，若
CD＝3BC，求点D 的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y= 24
x ；
（2）D（0，2）．
【分析】（1）依据题意，由一次函数y＝3x﹣6 的图象与反比例函数y = m
x (m＞0)的图象交于第一象
限的点A，且点A 到y 轴的距离为4，则当x＝4 时，y＝3×4﹣6＝6，从而A（4，6），将A 代入反比例
39
函数解析式可得，m＝4×6＝24，进而可以得解；
（2）依据题意，过B 作BE⊥y 轴于E，过C 作CF⊥y 轴于F，从而BE∥CF，可得△DCF∽△DBE，
故DF
DE = DC
DB = CF
BE =
DC
DC + BC = 3 BC
4 BC = 3
4 ，由点A（4，6）向上平移4 个单位长度得到点B，可得BE
＝4，故CF＝3，则C（3，8），设OD＝x，从而DF＝8﹣x，DE＝10﹣x，故3（10﹣x）＝4（8﹣
x），进而计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，∵一次函数y＝3x﹣6 的图象与反比例函数y = m
x (m＞0)的图象交于第一
象限的点A，且点A 到y 轴的距离为4，
∴当x＝4 时，y＝3×4﹣6＝6．
∴A（4，6）．
将A 代入反比例函数解析式可得，m＝4×6＝24，
∴反比例函数的解析式为y= 24
x ；
（2）过B 作BE⊥y 轴于E，过C 作CF⊥y 轴于F，
∴BE∥CF，
∴△DCF∽△DBE，
∴DF
DE = DC
DB = CF
BE =
DC
DC + BC = 3 BC
4 BC = 3
4 ．
∵点A（4，6）向上平移4 个单位长度得到点B，
∴B（4，10），则BE＝4，
∴CF＝3，
∴C（3，8）．
设OD＝x，
∴DF＝8﹣x，DE＝10﹣x，
∴3（10﹣x）＝4（8﹣x）．
∴x＝2．
∴D（0，2）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例
40
函数的性质是关键．
18．（2026•达州）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系
【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它
们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为
友好点．
根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法：
【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1，因为一次函数与反比例函数图象没有交点，
所以它们是“陌生函数”．
【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定．如判定y＝2x﹣1 与y= 1
x 的关系时，由函数表达式得2x
﹣1= 1
x ，去分母得2x2﹣x﹣1＝0，因为Δ＝9＞0，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”．
【问题解决】
（1）对于函数①y=- 2
x ，②y＝2x，③y＝﹣3x+1．其中①与②是“ 陌生 函数”，①与③是
“ 友好 函数”；
（2）若y1= m
x （m≠0）与y2＝kx+b（k≠0）是“友好函数”，如图2，当y1＞y2时，x 的取值范围是x
＜﹣
3 或
0 ＜
x ＜
1
；若y= n
x （n≠0）与y＝2x﹣6 是“相连函数”，则n 的值为 - 9
2 ；
（3 ）如图3 ，过点C （0 ，6 ）的直线l1 ，l2 对应的函数分别与y= k1
x (k1≠0，x＜0)，y
= k2
x (k2≠0，x＞0)是“相连函数”，相连点分别为P，Q，l1，l2 与x 轴分别交于A，B 两点，已知
AB＝6，k1k2＝﹣18，求k1
2+ k2
2的值．
【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数综合题．
【答案】（1）陌生；友好；
41
（2）x＜﹣3 或0＜x＜1，- 9
2；
（3）45．
【分析】（1）联立函数，根据方程的解的个数判断函数类型即可；
（2）根据图象判断y1＞y2时，x 的取值范围；联立y = n
x (n≠0)与y＝2x﹣6，由Δ＝0 求出n 的值；
（3）设直线l1的函数解析式为y＝k3x+6，直线l2的函数解析式为y＝k4x+6，将y＝k3x+6 与y = k1
x 联立，
并结合Δ＝0，可得k3=- 9
k1
，进而计算出点A 的坐标为( 2
3 k1，0)，同理，点B 的坐标为( 2
3 k2，0)
，．由 AB＝6 可得k2﹣k1＝9，利用完全平方公式变形可计算出k1
2+ k2
2的值．
【解答】解：（1）对于①与②，联立得- 2
x =2 x，
整理得，x2+1＝0，
∵x2+1≥1，
∴该方程无实数解，即y =- 2
x 与y＝2x 无交点，
∴①与②是“陌生函数”，
对于①与③，联立得- 2
x =-3 x +1，
整理得，3x2﹣x﹣2＝0，
解得x =- 2
3或x＝1，
∴y =- 2
x 与y＝﹣3x+1 有两个交点，
∴①与③是“友好函数”，
故答案为：陌生；友好；
（2）由图可知，两个函数的交点的横坐标为﹣3 和1，且在x＜﹣3 和0＜x＜1 部分，反比例函数的图
象高于一次函数的图象，
∴当y1＞y2时，x 的取值范围是x＜﹣3 或0＜x＜1；
联立y = n
x (n≠0)与y＝2x﹣6，得n
x =2 x -6，
整理得，2x2﹣6x﹣n＝0，
当x＝0 时，n＝0，与n≠0 矛盾，
∴x≠0，
∵y = n
x (n≠0)与y＝2x﹣6 是“相连函数”，
42
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣n）＝0，解得n=- 9
2，
故答案为：x＜﹣3 或0＜x＜1，- 9
2；
（3）设直线l1的函数解析式为y＝k3x+6，直线l2的函数解析式为y＝k4x+6，
联立y＝k3x+6 与y = k1
x ，得k3 x +6= k1
x ，
整理，得k3 x
2+6 x -k1=0，
当x＝0 时，k1＝0 与题意矛盾，
∴x≠0，
∵y＝k3x+6 与y = k1
x 是“相连函数”，
∴Δ＝62﹣4k3（﹣k1）＝0，
∴k1k3＝﹣9，即k3=- 9
k1
，
∴直线l1的函数解析式为y =- 9
k1
x +6，
将y＝O 代入y =- 9
k1
x +6，得x = 2
3 k1，
∴点A 的坐标为( 2
3 k1，0)，
同理，点B 的坐标为( 2
3 k2，0)，
∴AB = 2
3 k2- 2
3 k1=6，即k2﹣k1＝9，
∴k1
2+ k2
2=(k1-k2)
2+2k1k2=9
2+2×(-18)= 45．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数和一次函数的图象及性质，准确理解题意求出
相关函数及作出图象是解题关键．
19．（2026•成都）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝kx 与反比例函数y = 2
x 的图象相交于A
（1，a），B 两点，过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为C，D．
（1）求线段AB 的长；
（2）已知P 为y 轴正半轴上一点，若△ABP 为直角三角形，求点P 的坐标；
（3）如图2，将线段DA，AC 组成的折线段“D﹣A﹣C”沿x 轴正方向平移得到折线段“D′﹣A′﹣
C′”，点D，A，C 的对应点分别为D′，A′，C′．A′C′与反比例函数的图象交于点E，直线
BD′与反比例函数的图象在第一象限交于点F，OE 与C′F 交于点G．试探究：在平移过程中，FG
GC '
43
的值是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．
【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数综合题．
【答案】（1）AB =2√5；
（2）点P 的坐标为(0，√5)或(0，5
2 )；
（3）是定值，FG
GC ' = 3
2．
【分析】（1）将A（1，a）代入反比例函数解析式求出点A 坐标，再代入正比例函数解析式求出直线
解析式，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称即可求出B（﹣1，﹣2），最后根据两点
距离公式求解即可；
（2）设P（0，p），p＞0，分三种情况讨论直角位置：①∠APB＝90°，②∠PAB＝90°，③∠PBA＝
90°，根据勾股定理列方程求解即可；
（3）设平移距离为t（t＞0），则D′（t，2），C′（1+t，0），E(1+t ，2
1+t )，求出直线BD 的
解析式，与y = 2
x 联立，求出点F( t +1
2 ，4
t +1 )，求出OE 的解析式，直线C′F 的解析式，联立后求
出交点G 的横坐标xG= 4(1+t )
5
，过点G，F 分别作GH⊥x 轴，FK⊥x 轴，根据平行线分线段成比例
得出FG
GC = KH
CG ，即可解答．
【解答】解：（1）∵A（1，a）在反比例函数y = 2
x 上，代入得a= 2
1 =2，即A（1，2），
将A（1，2）代入y＝kx 得k＝2，直线为y＝2x，
∵正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，
∴B（﹣1，﹣2），由两点距离公式：AB =√[1-(-1)]
2+[2-(-2)]
2=√2
2+ 4
2=2√5；
（2）设P（0，p），p＞0，
分三种情况讨论直角位置：
44
①∠APB＝90°：由勾股定理得AP2+BP2＝AB2，
则[12+（2﹣p）2]+[（﹣1）2+（﹣2﹣p）2]＝20，
化简得p2＝5，
故p=√5（负值已舍去），
即P(0，√5)；
②∠PAB＝90°：由勾股定理得PA2+AB2＝PB2，
则[1+（2﹣p）2]+20＝1+（﹣2﹣p）2，
解得p= 5
2，
即P(0，5
2 )；
③∠PBA＝90°：由勾股定理得PB2+AB2＝PA2，
则20+[1+（﹣2﹣p）2]＝1+（2﹣p）2，
解得：p=- 5
2，不符合p＞0，舍去；
综上，若△ABP 为直角三角形，则P(0，5
2 )或P(0，√5)；
（3）根据（1）可知A（1，2），
∴D（0，2），C（1，0），
设平移距离为t（t＞0），则平移后各点坐标：D'（t，2），C'（1+t，0），E(1+t ，2
1+t )，
设直线BD'的解析式为y＝mx+n，
代入点B（﹣1，﹣2）和点D′（t，2）得{
-2=-m+n
2=tm+n ，
解得：{
m= 4
t +1
n= 2-2t
t +1
，
∴直线BD'的解析式为y = 4 x
t +1 + 2-2t
t +1 ，
直线BD'的解析式与y = 2
x 联立得2
x = 4 x
t +1 + 2-2t
t +1 ，整理得2x2+（1﹣t）x﹣（t+1）＝0，
解得：x＝﹣1 或x = t +1
2 ，
∴点F( t +1
2 ，4
t +1 )，
设直线OE 的解析式为y＝m'x，
则2
1+t =m'(1+t )，解得：m' =
2
(1+t )
2，
45
∴直线OE 的解析式为：y =
2
(1+t )
2 x，
设直线C'F 的解析式为y＝cx+d，
则{
0=c(1+t )+d
4
t +1 =c⋅t +1
2 +d，
解得：{
c =-
8
(1+t )
2
d = 8
1+t
，
∴直线C′F 的解析式为y =-
8
(1+t )
2 x + 8
1+t ，
联立直线OE 的解析式和直线C'F 的解析式得
2
(1+t )
2 x =-
8
(1+t )
2 x + 8
1+t ，
解得：x = 4(1+t )
5
，
即交点G 的横坐标xG= 4(1+t )
5
，
过点G，F 分别作GH⊥x 轴，FK⊥x 轴，
则GH∥FK，
∴FG
GC ' = KH
C ' G ，
∵KH = xG- xF = 4(1+t )
5
- 1+t
2 = 3(1+t )
10
，C'H＝xC﹣xG=(1+t )- 4(1+t )
5
= 2(1+t )
10
，
∴FG
GC ' =
3(1+t )
10
2(1+t )
10
= 3
2．
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，三角形相似的判定
及性质是解题的关键．
46
考点卡片
1．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b 与y 轴交于（0，b），当b＞0 时，（0，b）在y 轴的正半轴上，直线与y 轴交于正半轴；当
b＜0 时，（0，b）在y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴．
2．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者
有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x 和反比例函数y= k2
x 在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x 和反比例函数y= k2
x 在同一直角坐标系中有2 个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x 和反比例函数y= k2
x 在同一直角坐标系中有0 个交点．
3．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的
实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
4．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模
能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性
质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这
个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直
接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/21 10:02:05；用户：组卷5；邮箱：zyb005@xyh.com；学号：41418968
