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2026 年中考数学真题知识点分类汇编之二次函数（四）
一．解答题（共18 小题）
1．（2026•苏州）将一个二次函数y＝ax2+bx+c 与一个一次函数y＝mx+n 求和，可以得到一个新的二次函
数y＝ax2+（b+m）x+（c+n），我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸收”．
“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”．
（1）若二次函数y＝x2对一次函数y＝mx+n“吸收”，所得“吸收函数”的图象与x 轴的交点坐标为
（﹣2，0），（4，0），求m，n 的值；
（2）已知二次函数y＝x2+2x﹣3 对一次函数y＝mx+n“吸收”．
①若所得“吸收函数”的最小值与y＝x2+2x﹣3 的最小值相等，求n 的取值范围；
②若所得“吸收函数”的图象顶点为M，且与一次函数y＝mx+n 的图象交于A，B 两点．当△ABM 的
面积为4 时，求m 的值．
2．（2026•甘肃）抛物线y= 2
3 x
2+bx+c 与x 轴交于A，C（2，0）两点，与y 轴交于点B（0，﹣6）．动
点D 在线段OB 上（点D 与点O 不重合）．
（1）求抛物线y= 2
3 x
2+bx+c 的表达式；
（2）连接CD，在CD 的左上方以CD 为边作正方形CDMN．
①如图1，当BD＝4 时，求正方形CDMN 的面积；
②如图2，当点M 落在抛物线上时，求点M 的坐标；
（3）如图3，在动点D 的正上方有另一动点E（0，p），且ED= 13
4 ，当点D 从点B 开始运动时，点E
以相同的速度同时出发，两点都沿y 轴的正方向匀速运动，点D 停止运动时点E 同时停止运动．连接
AE，CD，求AE+CD 的最小值和此时p 的值．
3．（2026•扬州）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+1 经过点（2，1）和（4，﹣7）．
（1）求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标．
（2）抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n（m＜n），记抛物线在M，N 之间的部分（包括
M，N 两点）为图象G．过图象G 的左右两端M，N 分别作x 轴的垂线，过图象G 的最高点和最低点分
2
别作y 轴的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形R．
①若m＝﹣2，矩形R 的垂直高度h＝9，则矩形R 的水平宽度p 的取值范围是 ；
②若矩形R 的水平宽度p＝5，则矩形R 的垂直高度h 的取值范围是 ；
③若矩形R 为正方形且边长为3，求点M 的坐标．
4．（2026•江西）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对
称抛物线”．
（1）试判断y＝x2﹣4x+4 与y＝﹣x2+2x 是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由；
（2）如图1，若C1：y＝a1（x﹣h1）2+k1与C2：y＝a2（x﹣h2）2+k2互为“伴随对称抛物线”，顶点分
别为A1，A2，记C1，C2组成的图形为C．
①试猜想a1与a2的数量关系，并证明；
②进一步探究可知C 为中心对称图形，请确定C 的对称中心的位置；（直接写出结果）
③如图2，若C1：y＝x2，h2＞0，B1，B2分别为C1，C2上的点，且四边形A1B1A2B2为正方形，求（h2
﹣2）（h2﹣1）（h2+1）的值．
5．（2026•眉山）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3 的图象与x 轴相交于A，B 两点，
与y 轴相交于点C，连接AC，已知点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点P 是直线BC 上一个动点，连接PA，PO，当PA+PO 的长度最小时，求点P 的坐标；
（3）点Q 是二次函数图象上一个动点，当∠BCQ＝∠ACO 时，请直接写出点Q 的坐标．
3
6．（2026•山东）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．
甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花
枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）．
（1）如图2，甲站在地面的O 点处，从距离地面1
2m 高的A 点踢出花枪，A 点与O 点的水平距离OB 是
1
2m，花枪飞行到与O 点水平距离3m 的C 处达到最高，高度为3m．
①设花枪离地面的高度为y（m），到O 点的水平距离为x（m）．请建立平面直角坐标系，并求y 关
于x 的函数表达式；
②花枪下落过程中，乙在与O 点水平距离dm 处接花枪，能接到的高度最大为21
10m，最小为1
2m，求d
的取值范围．
（2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度h（m）与时
间t（s）之间的关系式是h＝﹣5t2+7t+ 8
5（t＞0），丙在距花枪落地点5m 处沿直线运动到花枪落地点．
求丙的平均速度．
7．（2026•烟台）如图，直线y＝﹣x﹣6 与x 轴交于点A，与y 轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c 经过A，
C 两点，与x 轴的另一个交点为B．抛物线的对称轴为直线x=- 3
2．
4
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D 在抛物线上，横坐标为t，若点D 到直线AC 的距离为3
2 √2，求出所有满足条件的t 的值；
（3）若H 为抛物线的顶点，P 为对称轴上一点，请直接写出PH+ √5
2 PO 的最小值．
8．（2026•云南）已知m≠0，S＝m4+m+ 192
m
2 - 4
m -118．某二次函数表示的图象为抛物线M，抛物线M
经过A（﹣10，0），B（2m2﹣4m，0）两点．函数y＝（2x+4）（3x﹣24）表示的图象为抛物线T．x
轴上有这样的点，它既在抛物线M 上，又在抛物线T 上．
（1）求抛物线T 与x 轴的公共点的坐标；
（2）比较S 与√145的大小．
9．（2026•连云港）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝（x﹣m）2﹣m（m 为常数）与x 轴交于点A，
B，点A 位于点B 的左侧，与y 轴交于点C．若将抛物线向右平移1 个单位，或向左平移3 个单位，都
经过点（3，0）．
（1）直接写出抛物线和直线BC 对应的函数表达式；
（2）若平行于x 轴的直线l 与抛物线交于点M（x1，y1），N（x2，y2），与直线BC 交于点Q（x3，
y3），且x1＜x3＜x2，求x1
2+ x2
2+ x3
2的取值范围；
（3）设抛物线的顶点为D，连接AC，在x 轴上找一点P，使以点P，B，D 为顶点的△PBD 与△ABC
相似，求点P 的坐标．
10．（2026•自贡）平面直角坐标系中，抛物线y=- 1
2 x
2+mx+n 经过（0，6）和（2，4）两点．
（1）求m，n 的值．
（2）如图，过原点O 的两条直线与该抛物线相交于点A，B，C，D（点A 在第三象限，点C 在第二象
限）．
①求线段OC 长度的最小值；
②连接AC，BD 分别交x 轴于E，F 两点，设△OAE，△OBF 的面积分别为S1，S2，是否存在直线AB
5
使S1＝2S2？若存在，求出直线AB 的解析式；若不存在，请说明理由．
11．（2026•广安）如图，二次函数y＝ax2+bx+4（a，b 为常数，a≠0）的图象与x 轴分别交于点A，点
B，与y 轴交于点C，OB
OA = 1
2，AB＝6．
（1）求二次函数的解析式；
（2）①连接AC，点P 是第一象限内抛物线上的一动点，当点P 到AC 的距离最大时，求点P 的坐标；
②在①的条件下，点M，N 分别是y 轴和抛物线对称轴上两个动点，且MN⊥y 轴，连接BM，MN，
NP，求BM+MN+NP 的最小值；
（3）在（2）的条件下，平面内是否存在点Q，使以点Q，A，P 为顶点的三角形为等边三角形？若存
在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2026•南充）已知抛物线y＝﹣（x﹣t）2+1（t 为常数）．
（1）若抛物线过点（﹣3，m），（1，m），求t 的值．
（2）抛物线与x 轴交于A，B 两点，点P（2t﹣1，0）为线段AB 上一点，过点P 作x 轴垂线，分别与
抛物线和直线y=- 1
2x﹣3 交于点M，N，求MN 最大值．
（3）点C（x1，y1），D（x2，y2）都在抛物线上，当﹣2t﹣1≤x1≤﹣2t，2≤x2≤4 时，都有y1＜y2，求
t 的取值范围．
13．（2026•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+ 3
2x+c（a≠0）的图象与x 轴交于A
（﹣1，0）、B 两点，与y 轴交于点C（0，2）．
（1）求二次函数的表达式；
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（2）连结BC，点P 是第一象限内二次函数图象上的点，过点P 作PH⊥BC 于点H，求线段PH 的最大
值；
（3）连结AC，点D 与点C 关于原点成中心对称，在二次函数的图象上找一点E，作射线DE，使
∠BDE＝∠ACO，求点E 的纵坐标．
14．（2026•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=- 1
4 x
2+bx+c 与x 轴交于点A，B（4，0），与
y 轴交于点C（0，1），连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）P 是线段BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD⊥BC，垂足为D，E 是x 轴上一动点，连接
PE．当PD 的长度取得最大值时，求点P 的坐标及PE+ √2
2 AE 的最小值；
（3）将抛物线沿射线CA 方向平移√2个单位长度得到抛物线y′，点B 的对应点为F，M 是平移后抛
物线y′上一点，直线AM 交直线BF 于点N，且∠ANB＝∠ACB﹣90°．请直接写出所有符合条件的点
M 的坐标，并写出求解点M 的其中一种情况的过程．
15．（2026•泸州）已知二次函数y＝ax2+bx+1．
（1）若该二次函数的图象经过点（3，4），且关于直线x＝1 对称，求二次函数的解析式；
（2）当a= 2
3时，该二次函数的图象与x 轴分别交于A，B 两点，与y 轴交于点C，且△ABC 是等腰三
角形，求△ABC 的面积；
（3）当b＝1 时，点D（1，y1），E（2，y2）在该二次函数的图象上，若y1＞y2，求二次函数在
0≤x≤1 上的最大值m 的取值范围．
16．（2026•达州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x 轴交于A，B 两点，与
y 轴交于点C．直线y＝x+m 经过点C，与x 轴交于点D（﹣3，0）．
（1）求m 的值及抛物线的函数表达式；
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（2）若线段EF 在抛物线的对称轴上运动，且EF＝2，求四边形DCEF 周长最小时点E 的坐标；
（3）将抛物线沿射线BC 方向平移3√2个单位长度，点G 为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是
否存在以A，C，G 为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点G 的坐标；若不存在，说明理由．
17．（2026•安徽）已知抛物线y= 3
a
2x（2a﹣x）（a＞0）．
（1）求抛物线顶点的纵坐标；
（2）点A( x1，3
2 )，B( x2，3
2 )（x1＜x2）都在抛物线上．
（i）求x1
a
的值；
（ii）设a 为正整数，线段AB 上横坐标为整数的点的个数为m，请比较m 与2a﹣2 的大小，并说明理
由．
18．（2026•成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝kx+2（k＞0）与抛物线y＝x2相交于A，B
两点．C，D 两点在抛物线上，且CD∥AB．
（1）若点A 的坐标为（﹣1，1），求k 的值和点B 的坐标；
（2）在（1）的条件下，记C，D 两点的横坐标分别为m，n（m＜n），当m≤x≤n 时，函数y＝（x﹣
h）2总在x＝n 处取得最大值，求h 的取值范围；
（3）若AB＝2CD，直线AC，BD 的交点E 恰好落在x 轴正半轴上，求点E 的坐标和k 的值．
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2026 年中考数学真题知识点分类汇编之二次函数（四）
参考答案与试题解析
一．解答题（共18 小题）
1．（2026•苏州）将一个二次函数y＝ax2+bx+c 与一个一次函数y＝mx+n 求和，可以得到一个新的二次函
数y＝ax2+（b+m）x+（c+n），我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸收”．
“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”．
（1）若二次函数y＝x2对一次函数y＝mx+n“吸收”，所得“吸收函数”的图象与x 轴的交点坐标为
（﹣2，0），（4，0），求m，n 的值；
（2）已知二次函数y＝x2+2x﹣3 对一次函数y＝mx+n“吸收”．
①若所得“吸收函数”的最小值与y＝x2+2x﹣3 的最小值相等，求n 的取值范围；
②若所得“吸收函数”的图象顶点为M，且与一次函数y＝mx+n 的图象交于A，B 两点．当△ABM 的
面积为4 时，求m 的值．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）m＝﹣2，n＝﹣8；
（2）①n≥﹣1；②m1＝2√6，m2＝﹣2√6，m3＝2√2，m4＝﹣2√2．
【分析】（1）根据吸收函数定义写出表达式，然后把 （﹣2，0），（4，0）代入求解即可；
（2）①先求出y＝x2+2x﹣3 的最小值为﹣4，根据吸收函数定义写出表达式为y＝x2+（m+2）x+n﹣3，
根据二次函数的性质得出4(n-3)-(m+2)
2
4
=- 4化简得n= (m+2)
2
4
-1，最后根据非负数的性质和不
等式的性质求解即可；
②过点M 作y 轴平行线/交AB 于点N，过点A，B 分别作l 的垂线段，垂足为C，D，联立吸收函数表
达式和一次函数表达式，并化简得出x2+2x﹣3＝0，解方程求出A、B 两点的横坐标分别是x1＝1，xB＝
﹣3 则|xA﹣xB| ＝4 ，根据M 为“ 吸收函数” 的顶点，得出xM = xN =- m+2
2
，根据可求出
MN =|4 - 1
4 m
2|，结合△ABM 的面积为1 得出|8- 1
2m2|＝4，即可求解．
【解答】解：（1）由题意，吸收函数的表达式为y＝x2+mx+n，
根据题意，得{
4 -2m+n=0
16+ 4 m+n=0，
∴{
m=-2
n=-8 ；
（2）①∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴y＝x2+2x﹣3 的最小值为﹣4．
由题意，吸收函数的表达式为y＝x2+（m+2）x+n﹣3，
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根据题意，得4(n-3)-(m+2)
2
4
=- 4．
∴n= (m+2)
2
4
-1．
∵m≠0，
∴n≥﹣1；
②如图，过点M 作y 轴平行线l 交AB 于点N，过点A，B 分别作的垂线段，垂足为C，D，
根据题意，列出方程组为{
y = x
2+(m+2)x +n-3 ①，
y =mx +n
.
②
把②代入①得：mx+n＝x2+（m+2）x+n﹣3，即x2+2x﹣3＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣3．
∴点A，B 的横坐标分别是x1＝1，xB＝﹣3．
∴|xA﹣xB|＝4，
∵M 为“吸收函数”的顶点，
∴xM = xN =- m+2
2
，
∵MN =| y N - y M |=|(m xN +n)-[ xM
2 +(m+2)xM +n-3]|=|- xM
2 -2 xM +3|，
∴MN =|-(- m+2
2
)
2-2(- m+2
2
)+3|=|4 - 1
4 m
2|，
∴△ABM 的面积= 1
2 MN | x A - xB|= 1
2 |4 - 1
4 m
2|×4 =|8- 1
2 m
2|，
∵△ABM 的面积为4，
∴|8- 1
2m2|＝4．
∴m1＝2√6，m2＝﹣2√6，m3＝2√2，m4＝﹣2√2．
【点评】本题是二次函数综合题，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
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2．（2026•甘肃）抛物线y= 2
3 x
2+bx+c 与x 轴交于A，C（2，0）两点，与y 轴交于点B（0，﹣6）．动
点D 在线段OB 上（点D 与点O 不重合）．
（1）求抛物线y= 2
3 x
2+bx+c 的表达式；
（2）连接CD，在CD 的左上方以CD 为边作正方形CDMN．
①如图1，当BD＝4 时，求正方形CDMN 的面积；
②如图2，当点M 落在抛物线上时，求点M 的坐标；
（3）如图3，在动点D 的正上方有另一动点E（0，p），且ED= 13
4 ，当点D 从点B 开始运动时，点E
以相同的速度同时出发，两点都沿y 轴的正方向匀速运动，点D 停止运动时点E 同时停止运动．连接
AE，CD，求AE+CD 的最小值和此时p 的值．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【答案】（1）y = 2
3 x
2+ 5
3 x -6；
（2）①8；②M（﹣4，﹣2）；
（3）13
4 √5，p= 9
4 ．
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）①由点B，C 的坐标得到OB，OC，再利用勾股定理求出CD2根据正方形的面积公式求解即可；
②过点M 作MG⊥y 轴，垂足为G，通过“AAS”证明△MGD≌△DOC，得到GD＝OC＝2，GM＝
OD，设GM＝OD＝m（m＞0），可得点M（﹣m，2﹣m），代入抛物线解析式，即可求解；
（3）过点A，D 分别作ED，AE 的平行线交于点F，即AF∥ED，FD∥AE，则四边形AEDF 为平行四
边形，AF = ED = 13
4 ，FD＝AE，连接CF，由AE+CD＝FD+CD≥CF，得到当C，D，F 三点共线时，
AE+CD 的最小值等于CF 的长，根据勾股定理求出CF，得到AE+CD 的最小值．运用待定系数法求出
直线CF 的表达式，再求出点D 的坐标后，求出点E 的坐标，即可解答．
11
【解答】解：（1）抛物线y = 2
3 x
2+bx +c过点C（2，0），点B（0，﹣6），
∴{
2
3 ×2
2+2b+c =0
c =-6
，
解得{
b= 5
3
c =-6
，
∴抛物线的表达式为y = 2
3 x
2+ 5
3 x -6．
（2）①由点B（0，﹣6），C（2，0）可得OB＝6，OC＝2，
∵BD＝4，
∴OD＝OB﹣BD＝6﹣4＝2，
∴CD2＝OC2+OD2＝22+22＝8，
∴S正方形CDMN =C D
2=8．
②如图1，过点M 作MG⊥y 轴，垂足为G，
则∠MGD＝90°＝∠DOC，
∵四边形CDMN 为正方形，
∴∠CDM＝90°，CD＝DM，
∴∠GDM+∠ODC＝90°，
∵∠DOC＝90°，
∴∠OCD+∠ODC＝90°，
∴∠GDM＝∠OCD，
∵∠MGD＝∠DOC，∠GDM＝∠OCD，DM＝CD，
∴△MGD≌△DOC（AAS），
∴GD＝OC＝2，GM＝OD．
设GM＝OD＝m（m＞0），则OG＝OD﹣GD＝m﹣2，
12
∴点M（﹣m，2﹣m），
∵点M（﹣m，2﹣m）在抛物线y = 2
3 x
2+ 5
3 x -6上，
∴2
3 m
2- 5
3 m-6=2-m，
解得m1＝4，m2＝﹣3（不满足m＞0，舍去），
∴点M（﹣4，﹣2）；
（3）如图2，过点A，D 分别作ED，AE 的平行线交于点F，即AF∥ED，FD∥AE，
∴四边形AEDF 为平行四边形，
∴AF = ED = 13
4 ，FD＝AE．
连接CF，
∵AE+CD＝FD+CD≥CF，
∴当C，D，F 三点共线时，FD+CD＝CF，如图3，
即AE+CD 的最小值等于CF 的长．
令y＝0 时，2
3 x
2+ 5
3 x -6=0，
解得，x1=- 9
2，x2＝2，
∴点A（- 9
2，0），
13
∴点F（- 9
2，- 13
4 ），
∵点C（2，0），
∴AC= 9
2 +2= 13
2 ，
∵AF∥ED，
∴∠CAF＝∠COD＝90°，
∴在Rt△CAF 中，CF=√A C
2+ A F
2=√( 13
2 )
2+( 13
4 )
2= 13
4 √5，
∴AE+CD 的最小值为13
4 √5，
设直线CF 的表达式为y＝kx+n（k≠0），
∵直线y＝kx+n（k≠0）过点C（2，0），F（- 9
2，- 13
4 ），
∴{
2k +n=0
- 9
2 k +n=- 13
4
，
解得{
k = 1
2
n=-1
，
∴直线CF 的表达式为y= 1
2x﹣1，
∴点D（0，﹣1），
∴OD＝1，
∵OE＝DE﹣OD= 13
4 -1= 9
4 ，
∴点E（0，9
4 ），
∴当AE+CD 取最小值时，p= 9
4 ．
【点评】本题主要考查了二次函数解析式、勾股定理、一次函数等内容，熟练掌握相关知识是解题的
关键．
3．（2026•扬州）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+1 经过点（2，1）和（4，﹣7）．
（1）求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标．
（2）抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n（m＜n），记抛物线在M，N 之间的部分（包括
M，N 两点）为图象G．过图象G 的左右两端M，N 分别作x 轴的垂线，过图象G 的最高点和最低点分
别作y 轴的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形R．
①若m＝﹣2，矩形R 的垂直高度h＝9，则矩形R 的水平宽度p 的取值范围是
3 ≤
p ≤
6
；
14
②若矩形R 的水平宽度p＝5，则矩形R 的垂直高度h 的取值范围是h≥25
4 ；
③若矩形R 为正方形且边长为3，求点M 的坐标．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+1，顶点坐标为（1，2）；
（2）①3≤p≤6；②h≥25
4 ；③点M 的坐标为(1-√3，-1)或(-2+√3，6√3-10)．
【分析】（1）将点（2，1）和（4，﹣7）分别代入y＝ax2+bx+1 即可求得抛物线的表达式，再将抛物
线的表达式转换为顶点式即可得出顶点坐标；
（2）①根据题意知点N（n，﹣n2+2n+1），可得M（﹣2，﹣7），再分当点M 在点M 上方的抛物线
上时，当点N 在点M 下方的抛物线上时，两种情况分别求得矩形宽度的最小、最大值即可得出取值范
围；
②根据题意得到矩形R 的垂直高度h 取最小值时，点M，N 关于抛物线对称轴直线x＝1 对称，再由矩
形R 的水平宽度p＝5，得m=- 3
2，进而得M (- 3
2 ，- 17
4 )，可得矩形R 的垂直高度h 的取值范围；
③根据题意设．M（m，﹣m2+2m+1），则N（m+3，﹣m2﹣4m﹣2），然后，再分四种情况：第一种
情况：当m+3≤1，即m≤﹣2 时，第二种情况：当{
m＜1＜m+3
m+m+3
2
≤1 ，即-2＜m≤- 1
2时，第三种情况：
当{
m＜1＜m+3
m+m+3
2
＞1 ，即- 1
2 ＜m＜时，第四种情况：当m≥1 时，分别进行分类讨论，最后得出结论即
可．
【解答】解：（1）将点（2，1）和（4，﹣7）分别代入y＝ax2+bx+1，
15
得{
4 a+2b+1=1
16a+ 4 b+1=-7，
解得{
a=-1
b=2 ，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+1，
∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
∴它的顶点坐标为（1，2）；
（2）①解：根据题意知点N（n，﹣n2+2n+1），
当m＝﹣2 时，y＝﹣x2+2x+1＝﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+1＝﹣7，
∴M（﹣2，﹣7），
当点N 在点M 上方的抛物线上时，矩形R 的垂直高度h＝9，
∴﹣7+9＝2，
∴点A 的纵坐标为2，即N（1，2），
此时，矩形宽度的最小值为1﹣（﹣2）＝3；
当点N 在点M 下方的抛物线上时，
∵矩形R 的垂直高度h＝9，
∴2﹣9＝﹣7，当y＝﹣7 时，﹣n2+2n+1＝﹣7，
解得n＝﹣2（舍去）或n＝4，
∴N（4，﹣7），
此时，矩形宽度的最大值为4﹣（﹣2）＝6．
综上，矩形R 的水平宽度p 的取值范围是3≤p≤6；
故答案为：3≤p≤6；
②根据题意知，矩形R 的垂直高度h 取最小值时，点M，N 关于抛物线对称轴直线x＝1 对称，
∵矩形R 的水平宽度p＝5，
∴m=1- 5
2 =- 3
2，
当m=- 3
2时，y =- x
2+2 x +1=-(- 3
2 )
2+2×(- 3
2 )+1=- 17
4 ，
∴M (- 3
2 ，- 17
4 )，
∴h=2-(- 17
4 )= 25
4 ，
∴矩形R 的垂直高度h 的取值范围是h≥25
4 ；
故答案为：h≥25
4 ；
③根据题意设M（m，﹣m2+2m+1），则N（m+3，﹣m2﹣4m﹣2），
第一种情况：当m+3≤1，即m≤﹣2 时，
16
h＝yN﹣yM＝（﹣m2﹣4m﹣2）﹣（﹣m2+2m+1）＝﹣6m﹣3＝3，
∴m＝﹣1（舍去）；
第二种情况：当{
m＜1＜m+3
m+m+3
2
≤1 ，即-2＜m≤- 1
2时，
h=2- y M =2-(-m
2+2m+1)=m
2-2m+1=3，
∴m=1-√3或m=1+√3舍去），
当m=1-√3时，-m
2+2m+1=-(1-√3)
2+2×(1-√3)+1=-1，
∴M (1-√3，-1)；
第三种情况：当{
m＜1＜m+3
m+m+3
2
＞1 ，即- 1
2 ＜m＜1时，
h=2- y N =2-(-m
2- 4 m-2)=m
2+ 4 m+ 4 =3，
∴m=-2+√3或m=-2-√3舍去），
当m=-2+√3时，-m
2+2m+1=-(-2+√3)
2+2×(-2+√3)+1=6√3-10，
∴M (-2+√3，6√3-10)；
第四种情况：当m≥1 时，h＝yM﹣yN＝（﹣m2+2m+1）﹣（﹣m2﹣4m﹣2）＝6m+3＝3，
∴m＝0（舍去）；
综上，点M 的坐标为(1-√3，-1)或(-2+√3，6√3-10)．
【点评】本题主要考查了二次函数综合内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
4．（2026•江西）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对
称抛物线”．
（1）试判断y＝x2﹣4x+4 与y＝﹣x2+2x 是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由；
（2）如图1，若C1：y＝a1（x﹣h1）2+k1与C2：y＝a2（x﹣h2）2+k2互为“伴随对称抛物线”，顶点分
别为A1，A2，记C1，C2组成的图形为C．
①试猜想a1与a2的数量关系，并证明；
②进一步探究可知C 为中心对称图形，请确定C 的对称中心的位置；（直接写出结果）
③如图2，若C1：y＝x2，h2＞0，B1，B2分别为C1，C2上的点，且四边形A1B1A2B2为正方形，求（h2
﹣2）（h2﹣1）（h2+1）的值．
17
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数综合题；推理能力．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+4 与y＝﹣x2+2x 互为“伴随对称抛物线”，理由如下：
y＝x2﹣4x+4 的顶点为（2，0），将x＝2 代入y＝﹣x2+2x 中，得y＝﹣22+2×2＝0，
即y＝﹣x2+2x 经过（2，0）．
y＝﹣x2+2x 的顶点为（1，1），将x＝1 代入y＝x2﹣4x+4 中，得y＝12﹣4×1+4＝1，
即y＝x2﹣4x+4 经过（1，1）．
（2）①a1+a2＝0，证明如下：
∵A1（h1，k1），A2（h2，k2），
∴k1=a2(h1-h2)
2+ k2，k2=a1(h2-h1)
2+ k1，
两式相加得(a1+a2)(h1-h2)
2=0．
∵h1≠h2，
∴a1+a2＝0．
②∵C 为中心对称图形，
∴C 的对称中心为线段A1A2的中点．
即C 的对称中心的坐标为( h1+h2
2
，k1+ k2
2
)．
③4．
【分析】（1）分别求出y＝x2﹣4x+4 与y＝﹣x2+2x 的顶点坐标，再根据“伴随对称抛物线”的定义解
答即可；
（2 ）①先求出A1 （h1 ，k1 ），A2 （h2 ，k2 ），再根据“ 伴随对称抛物线” 的定义得出
k1=a2(h1-h2)
2+ k2，k2=a1(h2-h1)
2+ k1，两式相加即可解答；
②根据C 为中心对称图形，可得C 的对称中心为线段A1A2的中点，即可解答；
③根据题意得出a2＝﹣a1＝﹣1，则C2：y =-( x -h2)
2+ k2．设A1A2与B1B2相交于点P，根据四边形
18
A1B1A2B2为正方形，得出P 为C 的对称中心，P( h2
2 ，k2
2 )过点P 作直线l⊥y 轴，垂足为M，过点B1
作B1N⊥l 垂足为N．证明△PB1N≌△A1PM，得出PN＝A1M，B1N＝PM．设B1（x1，y1），得出
x1= h2-k2
2
y1= h2+k2
2
．结合k2=h2
2，点B1在C1上，可得h2
3-2h2
2-h2=2，即可解答．
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+4 与y＝﹣x2+2x 互为“伴随对称抛物线”，理由如下：
y＝x2﹣4x+4 的顶点为（2，0），
将x＝2 代入y＝﹣x2+2x 中，得y＝﹣22+2×2＝0，
即y＝﹣x2+2x 经过（2，0）．
y＝﹣x2+2x 的顶点为（1，1），
将x＝1 代入y＝x2﹣4x+4 中，得y＝12﹣4×1+4＝1，
即y＝x2﹣4x+4 经过（1，1）．
（2）①a1+a2＝0，证明如下：
∵A1（h1，k1），A2（h2，k2），
∴k1=a2(h1-h2)
2+ k2，k2=a1(h2-h1)
2+ k1，
两式相加得(a1+a2)(h1-h2)
2=0．
∵h1≠h2，
∴a1+a2＝0．
②∵C 为中心对称图形，
∴C 的对称中心为线段A1A2的中点．
即C 的对称中心的坐标为( h1+h2
2
，k1+ k2
2
)．
③∵C1：y＝x2，
∴C2：y =-( x -h2)
2+ k2．
如图，设A1A2与B1B2相交于点P，
19
∵四边形A1B1A2B2为正方形，
∴P 为C 的对称中心，
∴P（h2
2
，k2
2
），
过点P 作直线l⊥y 轴，垂足为M，过点B1作B1N⊥l，垂足为N．
则∠B1NP＝∠A1MP，∠B1PN＝∠MA1P＝90°﹣∠MPA1．
∴△PB1N≌△A1PM（AAS），
∴PN＝A1M，B1N＝PM．
设B1（x1，y1），则h2
2 - x1= k2
2 ，y1- k2
2 = h2
2 ，
即x1= h2-k2
2
，y1= h2+k2
2
．
又∵k2=h2
2，
∴x1= h2-h2
2
2
，y1= h2+h2
2
2
．
∵点B1在C1上，
∴h2+h2
2
2
=( h2-h2
2
2
)
2
，
化简整理得h2
3-2h2
2-h2=2，
∴(h2-2)(h2-1)(h2+1)=(h2-2)(h2
2-1)=h2
3-2h2
2-h2+2= 4．
【点评】本题以二次函数为背景考查了新定义题型，熟练掌握相关知识是解题的关键．
5．（2026•眉山）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3 的图象与x 轴相交于A，B 两点，
与y 轴相交于点C，连接AC，已知点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点P 是直线BC 上一个动点，连接PA，PO，当PA+PO 的长度最小时，求点P 的坐标；
（3）点Q 是二次函数图象上一个动点，当∠BCQ＝∠ACO 时，请直接写出点Q 的坐标．
20
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【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）P( 9
7 ，12
7 )；
（3）( 5
2 ，7
4 )或（4，﹣5）．
【分析】（1）代入点A（﹣1，0）坐标以及利用对称轴公式求解即可；
（2）过点A 关于直线BC 的对称点A'，连接BA'，PA'，OA'，由于PA+PO＝PA'+PO≥A'O，故当点A'，
P，O 三点共线时，PA+PO 取得最小值，此时点P 为A'O 与直线BC 的交点，然后求出A'（3，4），则
直线OA'＝y= 4
3 x，再求出直线BC：y＝﹣x+3，联立即可求解交点P 的坐标；
（3）分两种情况讨论，点Q 在直线BC 上方或者点Q 在直线BC 下方，通过添加辅助线构造相似三角
形求解即可．
【解答】解：（1）由抛物线y＝ax2+bx+3 经过点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1 得，
{
a-b+3=0
- b
2a =1
，
解得{
a=-1
b=2 ，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点A 关于直线BC 的对称点A'，连接BA'，PA'，OA'，
21
∴PA+PO＝PA'+PO≥A'O，当点A'，P，O 三点共线时，PA+PO 取得最小值，
此时点P 为A'O 与直线BC 的交点，
对于y＝﹣x2+2x+3，
当x＝0 时，y＝3，
∴C（0，3），
∵A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴B（3，0），
∴OB＝OC＝3，而∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
由对称可得，∠OBC＝∠A'BC＝45°，BA'＝BA＝3﹣（﹣1）＝4，
∴∠ABA'＝45°+45°＝90°，
∴A'（3，4），
设直线OA'：y＝kx，则3k＝4，
解得k = 4
3 ，
∴直线OA'：y= 4
3 x，
设直线BC：y＝k1x+b1，
∴{
3k1+b1=0
b1=3
，
解得{
k1=-1
b1=3 ，
∴直线BC：y＝﹣x+3，
联立{
y =- x +3
y = 4
3 x ，
22
解得{
x = 9
7
y = 12
7
，
∴点P( 9
7 ，12
7 )；
（3）当点Q 在直线BC 上方时，过点B 作BG⊥CB 交射线CQ 于点G，
∵∠BCQ＝∠ACO，
∴tan∠BCQ = tan∠ACO= BG
CB = OA
OC = 1
3，
过点G 作GH⊥x 轴于点H，
∴∠BOC＝∠GHB＝90°，
∵BG⊥CB，
∴∠CBO＝∠BGH＝90°﹣∠HBG，
∴△BHG∽△COB，
∴BG
BC = HG
BO = BH
CO = 1
3，
∴HG
3 = BH
3 = 1
3，
∴GH＝BH＝1，
∴G（4，1），
∵C（0，3），
同理可求直线CG：y =- 1
2 x +3，
与抛物线表达式联立可得，{
y =- x
2+2 x +3
y =- 1
2 x +3
，
23
解得{
x =0
y =3或{
x = 5
2
y = 7
4
，
∴Q( 5
2 ，7
4 )；
当点Q 在直线BC 下方时，设直线CQ 与x 轴交于点T，取点E（﹣9，0），连接CE，
则tan∠E = CO
OE = 3
9 = 1
3，tan∠BCQ = 1
3，
∴tan∠E＝tan∠BCQ，
∴∠E＝∠BCQ，
∵∠CBT＝∠EBC，
∴△CBT∽△EBC，
∴BC
BT = BE
BC
√3
2+3
2
BT
=
3+9
√3
2+3
2，
∴BT = 3
2，
∴OT =3- 3
2 = 3
2，
∵C（0，3），
同理可求直线CQ：y＝﹣2x+3，
与抛物线表达式联立可得，{
y =- x
2+2 x +3
y =-2 x +3
，
解得{
x =0
y =3或{
x = 4
y =-5，
∴Q（4，﹣5）；
综上：点Q 的坐标为( 5
2 ，7
4 )或（4，﹣5）．
【点评】本题主要考查了二次函数综合，涉及二次函数、一次函数、相似三角形等内容，熟练掌握相
关知识是解题的关键．
6．（2026•山东）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．
甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花
枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）．
（1）如图2，甲站在地面的O 点处，从距离地面1
2m 高的A 点踢出花枪，A 点与O 点的水平距离OB 是
1
2m，花枪飞行到与O 点水平距离3m 的C 处达到最高，高度为3m．
24
①设花枪离地面的高度为y（m），到O 点的水平距离为x（m）．请建立平面直角坐标系，并求y 关
于x 的函数表达式；
②花枪下落过程中，乙在与O 点水平距离dm 处接花枪，能接到的高度最大为21
10m，最小为1
2m，求d
的取值范围．
（2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度h（m）与时
间t（s）之间的关系式是h＝﹣5t2+7t+ 8
5（t＞0），丙在距花枪落地点5m 处沿直线运动到花枪落地点．
求丙的平均速度．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】待定系数法；二次函数图象及其性质；二次函数的应用；运算能力；推理能力；生活情境．
【答案】（1）①y 关于x 的函数表达式为y=- 2
5 x
2+ 12
5 x - 3
5；②d 的取值范围为9
2 ≤d ≤11
2 ；
（2）丙的平均速度为25
8 m/s．
【分析】（1）①以点O 为坐标原点，以地面为x 轴，建立如图所示的坐标系，写出点A，C 坐标，再
利用待定系数法解答即可；
②令y= 21
10m 或y= 1
2m，求出临界值，即可得出结论；
（2）令h＝0，求得花枪的落地时间，依据题意列出不等式解答即可．
【解答】解：（1）①以点O 为坐标原点，以地面为x 轴，建立如图所示的坐标系，如图，
25
则A（1
2，1
2），C（3，3），
∵点C 为最高点，
∴抛物线的顶点坐标为（3，3），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3，
∴1
2 =a( 1
2 -3)
2+3，
∴a=- 2
5，
∴y=- 2
5（x﹣3）2+3=- 2
5 x
2+ 12
5 x - 3
5，
∴y 关于x 的函数表达式为y=- 2
5 x
2+ 12
5 x - 3
5；
②∵花枪下落过程中，
∴x≥3，
当y= 21
10m 时，21
10 =- 2
5 x
2+ 12
5 x - 3
5，
∴x= 9
2或x= 3
2（不合题意，舍去），
当y= 1
2m 时，1
2 =- 2
5 x
2+ 12
5 x - 3
5，
∴x= 11
2 或x= 1
2（不合题意，舍去），
∴枪下落过程中，能接到的高度最大为21
10m，最小为1
2m，d 的取值范围为9
2 ≤d ≤11
2 ．
（2）∵花枪飞行高度h（m）与时间t（s）之间的关系式是h＝﹣5t2+7t+ 8
5（t＞0），
∴花枪落地时h＝0，
∴﹣5t2+7t+ 8
5 =0，
26
∴t= 8
5或t=- 1
5（不合题意，舍去），
∴乙从开始抛出花枪，到花枪落地需要8
5秒，
设丙的平均速度为vm/s，
∵乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪，
∴8
5v＝5，
∴v= 25
8 ，
∴丙的平均速度为25
8 m/s．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，建立适当
的坐标系，准确表示出相应点的坐标是解题的关键．
7．（2026•烟台）如图，直线y＝﹣x﹣6 与x 轴交于点A，与y 轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c 经过A，
C 两点，与x 轴的另一个交点为B．抛物线的对称轴为直线x=- 3
2．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D 在抛物线上，横坐标为t，若点D 到直线AC 的距离为3
2 √2，求出所有满足条件的t 的值；
（3）若H 为抛物线的顶点，P 为对称轴上一点，请直接写出PH+ √5
2 PO 的最小值．
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【专题】代数综合题．
【答案】（1）y = 1
3 x
2+ x -6；
（2）t =-3-3√2或t =-3+3√2或t＝﹣3；
（3）15
2 ．
27
【分析】（1）根据一次函数先求得A，C 的坐标，进而根据对称轴求得点B 的坐标，设抛物线解析式
为 y＝a（x+6）（x﹣3），代入C（0，﹣6），待定系数法即可求解；
（2）根据△AOC 是等腰直角三角形，点D 到直线AC 的距离为3
2 √2，取点E（0，﹣3），F（﹣9，
0），过点E，F 分别作AC 的平行线l1，l2，过点E，F 分别作AC 的垂线，垂直分别为K，G，得出D
在l1，l2，根据一次函数的平移可得l1，l2的解析式分别为y＝﹣x﹣3，y＝﹣x﹣9，分别联立抛物线解
析式，即可求解；
（3）先求得H(- 3
2 ，- 27
4 )，根据PH + √5
2 PO转化为√5
2 ( 2√5
5
PH + PQ)，构造12√5的直角三角
形，过点P 作PQ⊥HQ ，使得PQ ＝2QH ，则PH=√PQ
2+Q H
2=√5QH，得出
sin ∠PHQ = PQ
PH = 2√5
5
，tan∠PHQ＝2，cos∠PHQ = √5
5 ，当P 在ON 上时，PH+ √5
2 PO取得最小
值，最小值为√5
2 ON，进而求得ON 的值，即可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x﹣6 与x 轴交于点A，与y 轴交于点C，
当x＝0 时，y＝﹣6，当y＝0 时，x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），C（0，﹣6），
∵抛物线与x 轴的另一个交点为B，抛物线的对称轴为直线x =- 3
2，
∴B（3，0），
设抛物线解析式为 y＝a（x+6）（x﹣3），代入C（0，﹣6），
∴﹣6＝﹣18a，
解得：a= 1
3，
∴y = 1
3 ( x +6)( x -3)= 1
3 x
2+ x -6；
（2）∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），
∴OA＝OC＝6，
∴△AOC 是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝45°，
设直线AC 的解析式为 y＝kx+b，代入A（﹣6，0），C（0，﹣6），
{
-6 k +b=0
b=-6
，
解得：{
k =-1
b=-6，
∴直线AC 的解析式为 y＝﹣x﹣6，
28
如图，取点E（0，﹣3），F（0，﹣9），
过点E，F 分别作AC 的平行线l1，l2过点E，F 分别作AC 的垂线，垂足分别为K，G，
∴∠GCF＝∠ECK＝∠ACO＝45°，EC＝FC＝3，
∴△ECK，△GCF 是等腰直角三角形，
∴EK = √2
2 EC = 3√2
2
，FG = √2
2 FC= 3√2
2
，
∵点D 到直线AC 的距离为3
2 √2，
∴D 在l1，l2上，
∵l1，l2平行AC，l1，l2的解析式分别为y＝﹣x﹣3，y＝﹣x﹣9，
联立{
y =- x -3
y = 1
3 x
2+ x -6，
消去y 得，1
3 x
2+x﹣6＝﹣x﹣3，
解得：x1＝﹣3-3√2，x2＝﹣3+3√2，
联立{
y =- x -9
y = 1
3 x
2+ x -6，消去y 得，1
3 x
2+ x -6=- x -9，
解得：x＝﹣3，
∵点D 横坐标为t，
∴t =-3-3√2或t =-3+3√2或t＝﹣3；
（3）∵y= 1
3 x
2+x﹣6= 1
3 ( x + 3
2 )
2- 27
4 ，
∴H（- 3
2 ，- 27
4 ），
如图，过点P 作PQ⊥HQ 使得PQ＝2QH，则PH=√PQ
2+Q H
2=√5QH，
∴sin ∠PHQ = PQ
PH = 2√5
5
，tan∠PHQ＝2，cos∠PHQ = √5
5 ，
29
∴PQ = 2√5
5
PH，
过点O 作ON⊥QH，
设HQ 的延长线交x 轴于点T，PH 交x 轴于点L，则∠TON＝90°﹣∠OTH＝∠PHQ，
∴PH + √5
2 PO = √5
2 ( 2√5
5
PH + PO)= √5
2 ( PQ+ PO)≥√5
2 ON，
∴当P 在ON 上时，PH + √5
2 PO取得最小值，最小值为√5
2 ON，
∴LH = 27
4 ，
∴LT= LHtan∠PHQ =2 LH = 27
2 ，
∴TO= 27
2 + 3
2 =15，
∴ON =OT ×cos∠TON =15× √5
5 =3√5，
∴PH + √5
2 PO = √5
2 ON = √5
2 ×3√5= 15
2 ．
【点评】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数点的坐标特征、二次函数最值问题、等腰直角
三角形的性质，平移的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
8．（2026•云南）已知m≠0，S＝m4+m+ 192
m
2 - 4
m -118．某二次函数表示的图象为抛物线M，抛物线M
经过A（﹣10，0），B（2m2﹣4m，0）两点．函数y＝（2x+4）（3x﹣24）表示的图象为抛物线T．x
轴上有这样的点，它既在抛物线M 上，又在抛物线T 上．
（1）求抛物线T 与x 轴的公共点的坐标；
（2）比较S 与√145的大小．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数综合题．
【答案】（1）（﹣2，0），（8，0）；
（2）当m＝1 时，S＞√145；当m=1±√5时，S＜√145．
【分析】（1）令y＝（2x+4）（3x﹣24）＝0，求出x 值即可得出结果；
（2）分2m2﹣4m＝﹣2 和2m2﹣4m＝8 两种情况进行讨论求解即可．
30
【解答】解：（1）由题意，当y＝（2x+4）（3x﹣24）＝0 时，解得x1＝﹣2，x2＝8，
∴抛物线T 与x 轴的公共点的坐标为（﹣2，0），（8，0）；
（2）由（1）知：抛物线T 与x 轴的公共点的坐标为（﹣2，0），（8，0），
∵抛物线M 经过 A（﹣10，0），B（2m2﹣4m，0）两点，x 轴上有这样的点，它既在抛物线M 上，又
在抛物线T 上，
∴2m2﹣4m＝﹣2 或2m2﹣4m＝8；
①当2m2﹣4m＝﹣2 时，整理得（m﹣1）2＝0，解得 m＝1，
将m＝1 代入S 得：S =1
4+1+ 192
1
2 - 4
1 -118=72，
∵722＝5184＞145，
∴72＞√145，即S＞√145．
②当2m2﹣4m＝8 时，整理得m2﹣2m﹣4＝0，
解得m=1±√5，
∴m2＝2m+4，两边除以m 得，4
m =m-2，
∴m4＝（m2）2＝（2m+4）2＝4m2+16m+16＝4×（2m+4）+16m+16＝24m+32，192
m
2 =
192
2m+ 4 = 96
m+2，
∵m2﹣2m﹣4＝0，
∴m2﹣4＝2m，
∴（m﹣2）（m+2）＝2m，
∴m+2= 2m
m-2，
∴96
m+2 = 96(m-2)
2m
= 48- 96
m = 48-24⋅4
m = 48-24(m-2)=96-24 m，
∵．S＝（24m+32）+m+（96﹣24m）﹣（m﹣2）﹣118＝12，
∵122＝144＜145，
∴12＜√145，即S＜√145，
综上：当m＝1 时，S＞√145；当m=1±√5时，S＜√145．
【点评】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，解一元二次方程﹣配方法，二次函数的性质，二次函
数图象上点的坐标特征，掌握其相关知识点是解题的关键．
9．（2026•连云港）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝（x﹣m）2﹣m（m 为常数）与x 轴交于点A，
B，点A 位于点B 的左侧，与y 轴交于点C．若将抛物线向右平移1 个单位，或向左平移3 个单位，都
经过点（3，0）．
（1）直接写出抛物线和直线BC 对应的函数表达式；
（2）若平行于x 轴的直线l 与抛物线交于点M（x1，y1），N（x2，y2），与直线BC 交于点Q（x3，
y3），且x1＜x3＜x2，求x1
2+ x2
2+ x3
2的取值范围；
31
（3）设抛物线的顶点为D，连接AC，在x 轴上找一点P，使以点P，B，D 为顶点的△PBD 与△ABC
相似，求点P 的坐标．
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【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）y＝（x﹣4）2﹣4＝x2﹣8x+12；y＝﹣2x+12；
（2）60≤x1
2+ x2
2+ x3
2＜76；
（3）点P 的坐标为( 14
3 ，0)或（﹣9，0）．
【分析】（1）根据二次函数平移的性质分别得出两次平移后的解析式，再把点（3，0）分别代入两次
平移后的解析式，解出m 的值，取其公共解，最后将公共解代入原二次函数解析式即可得出二次函数
解析式，再求出二次函数解析式与坐标轴的交点，最后运用待定系数法求出BC 解析式即可；
（2）设直线l：y＝a，根据已知条件得出a 的取值范围，再联立直线l 与抛物线和直线BC，得出
x1
2+ x2
2=2a-24 +8( x1+ x2)，根据抛物线可知x1+x2＝8 代入x1
2+ x2
2=2a-24 +8( x1+ x2)，最后得出
x1
2+ x2
2+ x3
2= 1
4 (a-8)
2+60，最后由二次函数的图象和性质求解即可；
（3）连接BD，过点D 作DE⊥x 轴，垂足为E．根据正切的定义得出∠ABC＝∠DBE，进而可得出点P
在点B 的左侧．则存在△ABC∽△PBD 或△ABC∽△DBP．然后根据相似三角形的性质列出比例进一
步求解即可得出答案．
【解答】解：（1）将抛物线向右平移1 个单位后的解析式变成：y＝（x﹣1﹣m）2﹣m，
将点（3，0）代入y＝（x﹣1﹣m）2﹣m，得：0＝（3﹣1﹣m）2﹣m，
解得 m＝1 或m＝4，
将抛物线向左平移3 个单位后的解析式变成：y＝（x+3﹣m）2﹣m，
将点（3，0）代入y＝（x+3﹣m）2﹣m，得：0＝（3+3﹣m）2﹣m，
解得m＝4 或m＝9，
∴公共解为m＝4，
把m＝4 代入y＝（x﹣m）2﹣m，
得出抛物线对应的函数表达式为y＝（x﹣4）2﹣4＝x2﹣8x+12；
令y＝0，则0＝x2﹣8x+12，
解得x1＝2，x2＝6，
∴A（2，0），B（6，0），
令x＝0，则 y＝12，
∴C（0，12），
设BC 的解析式为y＝kx+b，
32
则{
6 k +b=0
b=12
，
解得{
k =-2
b=12 ，
∴直线BC 对应的函数表达式为y＝﹣2x+12；
（2）如图，设直线l：y＝a，
∵x1＜x3＜x2，C（0，12），
∴0＜a＜12．
∵直线l 与抛物线和直线BC 都相交，
∴可列方程{
x1
2-8 x1+12=a
x2
2-8 x2+12=a
-2 x3+12=a
，
得x1
2+ x2
2-8( x1+ x2)+24 =2a，
∴x1
2+ x2
2=2a-24 +8( x1+ x2)，
∵抛物线的对称轴是直线x＝4，
∴x1+x2＝8，
∴x1
2+ x2
2=2a+ 40，
又∵x3=6- a
2，
∴x1
2+ x2
2+ x3
2=2a+ 40+(6- a
2 )
2= 1
4 (a-8)
2+60，
∵1
4 ＞0，
∴抛物线开口向上，
又∵0＜a＜12，
∴当a＝8 时，y 取得最小值为60，当a＝0 时，y 取得最大值为1
4 (0-8)
2+60=76，
∴60≤1
4 (a-8)
2+60＜76，
33
即60≤x1
2+ x2
2+ x3
2＜76；
（3）如图，连接BD，过点D 作DE⊥x 轴，垂足为E．
∵抛物线y＝（x﹣4）2﹣4，
∴顶点D（4，﹣4），
∴BD =√(4 -6)
2+(- 4 -0)
2=2√5，
由（1）可知，OC＝12，OB＝6，DE＝4，BE＝2，AB＝4，BC =√(0-6)
2+(12-0)
2=6√5，
∵tan∠ABC = 12
6 =2，tan∠DBE = 4
2 =2，
∴tan∠ABC＝tan∠DBE＝2，
∴∠ABC＝∠DBE．
∵△PBD 与△ABC 相似，
∴点P 在点B 的左侧．
∴存在△ABC∽△PBD 或△ABC∽△DBP．
当△ABC∽△PBD 时，
则AB
BC = PB
BD ，
得4
6√5 = PB
2√5，
∴PB = 4
3 ，
∴点P( 14
3 ，0)；
当△ABC∽△DBP 时，
有AB
BC = DB
BP ，
得4
6√5 = 2√5
PB ，
∴PB＝15，
∴点P（﹣9，0）．
34
综上，使△PBD 与△ABC 相似的点P 的坐标为( 14
3 ，0)或（﹣9，0）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的性质及判定等，掌握综合知识是解题的关键．
10．（2026•自贡）平面直角坐标系中，抛物线y=- 1
2 x
2+mx+n 经过（0，6）和（2，4）两点．
（1）求m，n 的值．
（2）如图，过原点O 的两条直线与该抛物线相交于点A，B，C，D（点A 在第三象限，点C 在第二象
限）．
①求线段OC 长度的最小值；
②连接AC，BD 分别交x 轴于E，F 两点，设△OAE，△OBF 的面积分别为S1，S2，是否存在直线AB
使S1＝2S2？若存在，求出直线AB 的解析式；若不存在，请说明理由．
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【专题】代数几何综合题；推理能力．
【答案】（1）{
m=0
n=6 ；
（2）①线段OC 长度的最小值为√11；②y = √6
2 x．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①设C( p，- 1
2 p
2+6)，求得OC =√p
2+(- 1
2 p
2+6)
2=√
1
4 p
4-5 p
2+36，利用二次函数的性
质求解即可；
②设A(a，- 1
2 a
2+6)，C(c，- 1
2 c
2+6)，分别求得直线AC、AO，CO 的解析式，分别求得点E、
B、D 的坐标，再求得直线BD 的解析式，求得点F 的坐标，得到OE＝OF，据此求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y =- 1
2 x
2+mx +n经过（0，6）和（2，4）两点，
∴{
n=6
- 1
2 ×2
2+2m+n= 4，
35
解得{
m=0
n=6 ；
（2）①由（1）得{
m=0
n=6 ，
∴抛物线的解析式为y =- 1
2 x
2+6，
设C( p，- 1
2 p
2+6)，
∴OC =√p
2+(- 1
2 p
2+6)
2=√
1
4 p
4-5 p
2+36，
令p2＝t，0＜t＜12，
∴OC =√
1
4 t
2-5t +36=√
1
4 (t -10)
2+11，
∴当t＝10 时，线段OC 长度的最小值为√11；
②设A(a，- 1
2 a
2+6)，C(c，- 1
2 c
2+6)，
设直线AC 的解析式为y＝kx+b，
∴{
ak +b=- 1
2 a
2+6
ck +b=- 1
2 c
2+6
，
则直线AC 的解析式为y =- a+c
2
x + ac
2 +6，
令y＝0，则- a+c
2
x + ac
2 +6=0，
解得xE= ac+12
a+c ，
∴E( ac+12
a+c ，0)；
设直线AO 的解析式为y＝k1x，
则- 1
2 a
2+6=ak1，
解得k1=- 1
2 a+ 6
a，
∴直线AO 的解析式为y =(- 1
2 a+ 6
a )x，
联立得- 1
2 x
2+6=(- 1
2 a+ 6
a )x，
解得x1＝a，x2=- 12
a ，
36
当x=- 12
a 时，y=- 1
2 ×(- 12
a )
2+6＝6- 72
a
2 ，
∴B（- 12
a ，6- 72
a
2 ），
设直线CO 的解析式为y＝k2x，
则- 1
2 c
2+6＝ck2，
解得k2=- 1
2c+ 6
c ，
∴直线CO 的解析式为y＝（- 1
2c+ 6
c ）x，
联立得- 1
2 x
2+6＝（- 1
2c+ 6
c ）x，
解得x1＝c，x2=- 12
c ，
当x =- 12
c 时，y =- 1
2 ×(- 12
c )
2+6=6- 72
c
2 ，
∴D(- 12
c ，6- 72
c
2 )，
∵B(- 12
a ，6- 72
a
2 )，D（- 12
c ，6- 72
c
2 ），
则直线BD 的解析式为y= 6(a+c)
ac
x+6+ 72
ac ，
令y＝0，则6(a+c)
ac
x +6+ 72
ac =0，
解得xF=- ac+12
a+c ，
∴F（- ac+12
a+c ，0），
∴xE= ac+12
a+c ，xF =- ac+12
a+c ，
∴OE＝OF，
∴△OAE，△OBF 的底边相同，
∴
S1
S2
=- y A
yB
=- x A
xB
=-
a
- 12
a
= a
2
12 =2，
∴a2＝24，
∴a=-2√6（舍去正值），
∴- 1
2 a+ 6
a =- 1
2 ×(-2√6)+
6
-2√6 =√6- √6
2 = √6
2 ，
37
∴直线AB 的解析式为y = √6
2 x．
【点评】本题主要考查了二次函数的解析式、勾股定理、二次函数最值问题、一次函数等内容，熟练
掌握相关知识是解题的关键．
11．（2026•广安）如图，二次函数y＝ax2+bx+4（a，b 为常数，a≠0）的图象与x 轴分别交于点A，点
B，与y 轴交于点C，OB
OA = 1
2，AB＝6．
（1）求二次函数的解析式；
（2）①连接AC，点P 是第一象限内抛物线上的一动点，当点P 到AC 的距离最大时，求点P 的坐标；
②在①的条件下，点M，N 分别是y 轴和抛物线对称轴上两个动点，且MN⊥y 轴，连接BM，MN，
NP，求BM+MN+NP 的最小值；
（3）在（2）的条件下，平面内是否存在点Q，使以点Q，A，P 为顶点的三角形为等边三角形？若存
在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数综合题．
【答案】（1）y =- 1
2 x
2+ x + 4；
（2）①P（2，4）；②6；
（3）存在，Q 的坐标为(3+2√3，2+√3)，(3-2√3，2-√3)．
【分析】（1）由 AB＝6 且OB
OA = 1
2，可得OA＝4，OB＝2，即A（4，0），B（﹣2，0）．将两点坐标
代入y＝ax2+bx+4，求解即可；
（2）①先求直线AC 解析式为y＝﹣x+4，由△AOC 为等腰直角三角形，可知点P 到AC 的距离与竖直
线段PF 成正比，设P(m，- 1
2 m
2+m+ 4)，表示出PF 的长度并配方，当m＝2 时PF 最大，即可求出
点P 坐标；
②先求出抛物线对称轴为x＝1，根据MN⊥y 轴，可得MN＝1 为定值．将点B 向右平移1 个单位得B
（﹣1，0），则BM＝BN，原式转化为1+BN+NP．当B、N、P 三点共线时和最小，由两点间距离公式
得BP＝5，即可求出最小值；
（3）已知A（4，0）、P（2，4），先求得AP =2√5，设AP 的中点为G，则G（3，2），由三线合一
可得QG⊥AP，设Q（x，y），由QA＝QP 可得，x＝2y﹣1，再结合等边三角形的高QG =√15，列方
38
程求解，得到Q 的两个坐标，对应线段AP 两侧的两种情况．
【解答】解：（1）∵AB＝6，OB
OA = 1
2，
∴OA＝4，OB＝2，
∴A（4，0），B（﹣2，0），
∴将A（4，0），B（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+4 中，
得{
16a+ 4 b+ 4 =0
4 a-2b+ 4 =0 ，
解得{
a=- 1
2
b=1
，
∴抛物线的解析式为y =- 1
2 x
2+ x + 4；
（2）①过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点D，交AC 于点F，
过点P 作PE⊥AC 于点E，如图，
当x＝0 时，y＝4，
∴C（0，4），
∴OA＝OC＝4，且OC⊥OA，
∴△AOC 为等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，
∵OC⊥OA，OA⊥DF，
∴DF∥OC，
∴∠AFD＝45°，
∴∠EFP＝45°，
在Rt△PEF 中，PE = PF ⋅sin ∠PFE = PF ⋅sin 45° = √2
2 PE，
设AC 的解析式为 y＝kx+b，
将A（4，0）和C（0，4）代入，
得{
4 k +b=0
b= 4
，
解得{
k =-1
b= 4 ，
39
∴AC 的解析式为y＝﹣x+4，
设P(m，- 1
2 m
2+m+ 4)，则F（m，﹣m+4），
∵P 为第一象限内的点（0＜m＜4），
∴PF＝yP﹣yF
=- 1
2 m
2+m+ 4 -(-m+ 4)
=- 1
2 m
2+2m
=- 1
2 (m-2)
2+2，
∴- 1
2 ＜0，
∴当 m＝2 时，PF 最大，即当PF 取最大值时，PE 最大，此时P（2，4）；
②将点B 向右平移1 个单位长度得点B'，则BB'∥MN，连接B'P 交对称轴于点N，如图，
∵y =- 1
2 x
2+ x + 4 =- 1
2 ( x -1)
2+ 9
2，且MN⊥y，
∴MN＝1，
∵B（﹣2，0），
∴B（﹣1，0），
∴BM+MN+NP＝BB'+B'N+NP＝1+B'N+NP，
当B'，N，P 三点共线时，BM+MN+NP 最小，为1+B'P，
∵B'（﹣1，0），P（2，4），
∴B' P =√(-1-2)
2+(0- 4)
2=5，
∴B'B+B'P＝1+5＝6，
∴BM+MN+NP 的最小值为6；
（3）由（2）得，点D 坐标为（2，0），
∴AD＝4﹣2＝2，PD＝4﹣0＝4，
在Rt△APD 中，AP =√A D
2+ P D
2=√2
2+ 4
2=2√5，
设AP 的中点为G，连接QG，AP，如图，
40
则G 的坐标为( 4+2
2
，0+ 4
2
)，即（3，2），且AG = 1
2 AP =√5，
∵△QAP 为等边三角形，
∴QA =QP = AP =2√5且QG⊥AP，
在Rt△QGA 中，QG =√Q A
2- A G
2=√(2√5)
2-(√5)
2=√15，
设Q（x，y），由QA＝QP 得，√( x - 4)
2+ y
2=√( x -2)
2+( y - 4)
2，
（x﹣4）2+y2＝（x﹣2）2+（y﹣4）2，
x2﹣8x+16+y2＝x2﹣4x+4+y2﹣8y+16
解得x＝2y﹣1，
又∵QG =√15，
∴√( x -3)
2+( y -2)
2=√15，
将x＝2y﹣1 代入，得√(2 y -1-3)
2+( y -2)
2=√15，
（2y﹣4）2+（y﹣2）2＝15，
4（y﹣2）2+（y﹣2）2＝15，
5（y﹣2）2＝15（y﹣2）2＝3，
解得y =2+√3或y =2-√3，
当y =2+√3时，x =2(2+√3)-1=3+2√3，即Q1(3+2√3，2+√3)；
当y =2-√3时，x =2(2-√3)-1=3-2√3，即Q2(3-2√3，2-√3)，
综上所述，点Q 的坐标为(3+2√3，2+√3)和(3-2√3，2-√3)．
【点评】本题是二次函数综合题，核心是利用平移法处理定长线段最短路径，避免配方计算失误、平
移方向与距离出错、漏解等边三角形的两种位置．
12．（2026•南充）已知抛物线y＝﹣（x﹣t）2+1（t 为常数）．
（1）若抛物线过点（﹣3，m），（1，m），求t 的值．
（2）抛物线与x 轴交于A，B 两点，点P（2t﹣1，0）为线段AB 上一点，过点P 作x 轴垂线，分别与
抛物线和直线y=- 1
2x﹣3 交于点M，N，求MN 最大值．
41
（3）点C（x1，y1），D（x2，y2）都在抛物线上，当﹣2t﹣1≤x1≤﹣2t，2≤x2≤4 时，都有y1＜y2，求
t 的取值范围．
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【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）t＝﹣1；
（2）MN 的最大值为19
4 ；
（3）t ＜- 5
2或t＞1．
【分析】（1）根据抛物线的对称性可进行求解；
（2）由题意易得M（2t﹣1，﹣t2+2t），N (2t -1，-t - 5
2 )，然后可得MN =|-(t - 3
2 )
2+ 19
4 |，进
而根据二次函数的性质进行求解即可；
（3）由题意可知抛物线的对称轴为直线x＝t，开口向下，则可分：①当t＞4 时，②当2＜t≤4 时，
③当0≤t≤2 时，④当t＜0 时，然后分类进行求解即可．
【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣（x﹣t）2+1 可知：对称轴为直线x＝t，
∵抛物线过点（﹣3，m），（1，m），
∴这两点关于对称轴对称，即t =-3+1
2
，
∴t＝﹣1；
（2）令y＝0，则有﹣（x﹣t）2+1＝0，
解得：x1＝t+1，x2＝t﹣1，
∴抛物线与x 轴的交点横坐标为t+1，t﹣1，
∵点P（2t﹣1，0）为线段AB 上一点，
∴t﹣1≤2t﹣1≤t+1，
解得：0≤t≤2，
∵过点P 作x 轴垂线，分别与抛物线和直线y =- 1
2 x -3交于点M，N，且P（2t﹣1，0），
∴M（2t﹣1，﹣t2+2t），N (2t -1，-t - 5
2 )，
∴MN =|-t
2+2t -(-t - 5
2 )|=|-t
2+3t + 5
2 |=|-(t - 3
2 )
2+ 19
4 |，
∵﹣1＜0，
∴当t = 3
2时，-(t - 3
2 )
2+ 19
4 取得最大值，最大值为19
4 ，
∴MN 的最大值为19
4 ；
（3）由题意可知抛物线的对称轴为直线x＝t，开口向下，
42
∴当x＞t 时，y 随x 的增大而减小，当x＜t 时，y 随x 的增大而增大，
根据题意可知：当﹣2t﹣1≤x1≤﹣2t，2≤x2≤4 时，y2的最小值应大于y1的最大值，
分析抛物线对称轴x＝t 与x＝2 和x＝4 时三种关系，
①当t＞4 时，如图，
由图可知：﹣2t﹣1＜t，﹣2t＜t，此时都有y1＜y2；
②当2＜t≤4 时，且当3＜t≤4 时，此时当x2＝2 时，y2取得最小值，当x1＝﹣2t 时，y1取得最大值，
∴t﹣2＜t﹣（﹣2t），
解得：t＞﹣1，
∴当3＜t≤4 时，y1＜y2恒成立，
当2＜t≤3 时，如图，
由图可知：﹣2t﹣1＜t，﹣2t＜t，
y1在x1＝﹣2t 上取得最大值，y2在x2＝4 上取得最小值，
∴4﹣t＜t﹣（﹣2t），
解得：t＞1，
∴当2＜t≤4 时，都有y1＜y2；
③当0≤t≤2 时，如图，
43
由图可知：﹣2t﹣1＜t，﹣2t＜t，
y1在x1＝﹣2t 上取得最大值，y2在x2＝4 上取得最小值，
∴4﹣t＜t﹣（﹣2t），
解得：t＞1，
∴当1＜t≤2 时，都有y1＜y2；
④当t＜0 时，则﹣2t＞0，
若﹣2t﹣1＜t 时，则y1的最大值大于y2，即y1＜y2不成立，
若﹣2t﹣1＞t 时，如图，
∴当x1＝﹣2t﹣1 时，点C 的纵坐标取得最大值，当x2＝4 时，点D 的纵坐标取得最小值，
∴﹣2t﹣1＞4，
解得：t ＜- 5
2；
综上所述：的取值范围为t ＜- 5
2或t＞1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象等，掌握综合知识是解题的关键．
13．（2026•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+ 3
2x+c（a≠0）的图象与x 轴交于A
（﹣1，0）、B 两点，与y 轴交于点C（0，2）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连结BC，点P 是第一象限内二次函数图象上的点，过点P 作PH⊥BC 于点H，求线段PH 的最大
44
值；
（3）连结AC，点D 与点C 关于原点成中心对称，在二次函数的图象上找一点E，作射线DE，使
∠BDE＝∠ACO，求点E 的纵坐标．
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【专题】待定系数法；配方法；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角
形；图形的相似．
【答案】（1）二次函数的表达式为y=- 1
2x2+ 3
2x+2；（2）PH 取得最大值为4√5
5
；（3）点E 的纵坐
标为2 或﹣2．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y=- 1
2x+2，过点P 作PM⊥x 轴于点M，交BC 于点N，
设P（m，- 1
2 m
2+ 3
2 m+2），m＞0，则N（m，- 1
2m+2），M（m，0），则PN＝（- 1
2 m
2+ 3
2 m+2）
﹣（- 1
2m+2）=- 1
2m2+2m，OM＝m，利用相似三角形的判定与性质得到BN= √5(4 -m)
2
，再利用相
似三角形的判定与性质求得PH，最后利用配方法和二次函数的图象与性质解答即可得出结论；
（3）利用相似三角形的判定与性质得到∠BDE＝∠DBO，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解
答：当点E 在BD 的下方时，利用平行线的判定与性质解答即可得出结论；当点E 在BD 的下方时，利
用等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质和勾股定理求得点F 坐标，利用待定系数法求得直线
DE 的解析式，再与抛物线的解析式联立，解方程组即可得出结论．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+ 3
2x+c（a≠0）的图象与x 轴交于A（﹣1，0），与y 轴交于点C
（0，2），
∴{
a- 3
2 +c =0
c =2
，
45
∴{
a=- 1
2
c =2
，
∴二次函数的表达式为y=- 1
2x2+ 3
2x+2．
（2）令y＝0，则- 1
2x2+ 3
2x+2＝0，
∴x＝﹣1 或x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
设直线BC 的解析式为y＝kx+b，
∴{
b=2
4 k +b=0，
∴{
k =- 1
2
b=2
，
∴直线BC 的解析式为y=- 1
2x+2．
过点P 作PM⊥x 轴于点M，交BC 于点N，如图，
∵点P 是第一象限内二次函数图象上的点，
∴设P（m，- 1
2 m
2+ 3
2 m+2），m＞0，则N（m，- 1
2m+2），M（m，0），
∴PN＝（- 1
2 m
2+ 3
2 m+2）﹣（- 1
2m+2）=- 1
2m2+2m，OM＝m，
∴BM＝OB﹣OM＝4﹣m，
∵C（0，2），
∴OC＝2，
∴BC=√OC
2+O B
2=2√5，
∵CO⊥OB，PM⊥OB，
∴MN∥OC，
46
∴△BMN∽△BOC，
∴BN
BC = BM
BO ，
∴BN
2√5 = 4 -m
4
，
∴BN= √5(4 -m)
2
，
∵PH⊥BC，
∴∠P+∠PNH＝90°，
∵∠BNM+∠B＝90°，∠BNM＝∠PNH，
∴∠P＝∠B，
∵∠PHN＝∠BMN＝90°，
∴△PNH∽△BNM，
∴PH
PN = BM
BN ，
∴
PH
- 1
2 m
2+2m
=
4 -m
√5(4 -m)
2
，
∴PH=- √5
5 m
2+ 4√5
5
m=- √5
5 （m﹣2）2+ 4√5
5
，
∵- √5
5 ＜0，
∴当m＝2 时，PH 取得最大值为4√5
5
．
（3）∵点C（0，2），点D 与点C 关于原点成中心对称，
∴D（0，﹣2），
∴OD＝2，
∵OB＝4，
∴OD
OB = 1
2
∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∴OA
OC = 1
2，
∴OA
OC = OD
OB ，
∵∠AOC＝∠DOB＝90°，
∴△AOC∽△DOB，
∴∠ACO＝∠DBO，
47
∵∠BDE＝∠ACO，
∴∠BDE＝∠DBO，
当点E 在BD 的下方时，如图，
∴DE∥OB，
∴点E 的纵坐标为﹣2．
当点E 在BD 的上方时，设DE 交OB 于点F，如图，
∵∠BDE＝∠DBO，
∴DF＝BF，
设OF＝n，则BF＝DF＝4﹣n，
∵OD2+OF2＝DF2，
∴22+n2＝（4﹣n）2，
∴n= 3
2，
∴F（3
2，0），
设直线DE 的解析式为y＝dx+e，
∴{
3
2 d +e =0
e =-2
，
∴{
d = 4
3
e =-2
，
∴直线DE 的解析式为y= 4
3 x﹣2，
48
∴{
y = 4
3 x -2
y =- 1
2 x
2+ 3
2 x +2
，
∴{
x =3
y =2或{
x =- 8
3
y =- 50
9
（不合题意，舍去），
∴E（3，2）．
综上，点E 的纵坐标为2 或﹣2．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数
的特征与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定
与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
14．（2026•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=- 1
4 x
2+bx+c 与x 轴交于点A，B（4，0），与
y 轴交于点C（0，1），连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）P 是线段BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD⊥BC，垂足为D，E 是x 轴上一动点，连接
PE．当PD 的长度取得最大值时，求点P 的坐标及PE+ √2
2 AE 的最小值；
（3）将抛物线沿射线CA 方向平移√2个单位长度得到抛物线y′，点B 的对应点为F，M 是平移后抛
物线y′上一点，直线AM 交直线BF 于点N，且∠ANB＝∠ACB﹣90°．请直接写出所有符合条件的点
M 的坐标，并写出求解点M 的其中一种情况的过程．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y=- 1
4 x
2+ 3
4 x+1；
（2）P（2，3
2），PE+ √2
2 AE 的最小值为9√2
4
；
（3）（1，1
2）或（﹣14，﹣52）．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
49
（2）过点P 作PG∥y 轴交BC 于点G，连接PC、PB，当△BCP 的面积最大时，PD 的长度取最大值，
设P（t，- 1
4 t2+ 3
4 t+1），则G（t，- 1
4 t+1），可求△BPC 的面积=- 1
2（t﹣2）2+2，当t＝2 时，
△PBC 的面积最大，此时P（2，3
2），在y 轴上取点K（0，﹣1），作直线AK，则直线AK 的解析式
为y＝﹣x﹣1，过E 点作EH⊥AK 交于H 点，推导出EH= √2
2 AE，则PE+ √2
2 AE＝PE+HE≥PH，当
PH⊥AH 时，PE+ √2
2 AE 的值最小，连接AP 、PK ，延长PG 交AK 于点L ，△APK 的面积
= 1
2 × AK × PH = 1
2 × PL×1，即√2PH= 9
2，求出PH= 9√2
4
即为所求；
（3）求出平移后的函数解析式为y'=- 1
4 x2+ 1
4 x+ 1
2，直线BF 的解析式为y＝x﹣4，过点N 作NQ⊥BF
交x 轴于点Q，结合题意推导出∠NAB＝∠CBA，AN 与BC 的交点T 在线段AB 的垂直平分线上，即T
（3
2，5
8），从而得到直线AM 的解析式为y= 1
4 x+ 1
4 ，直线AM 与抛物线的交点即为M；求出点N（
17
3 ，5
3），过A 点作AR∥NQ 交BN 于点R，则直线AR 的解析式为y＝﹣x﹣1，求出R（3
2，- 5
2），
N 点关于R 点的对称点为N'（- 8
3，- 20
3 ），直线AN'与抛物线的交点为M．
【解答】解：（1）将，B（4，0），C（0，1）代入y=- 1
4 x
2+bx+c 中，
∴{
- 1
4 ×16+ 4 b+c =0
c =1
，
解得{
b= 3
4
c =1
，
∴y=- 1
4 x
2+ 3
4 x+1；
（2）过点P 作PG∥y 轴交BC 于点G，连接PC、PB，
50
当△BCP 的面积最大时，PD 的长度取最大值，
设直线BC 的解析式为y＝kx+1，
∴4k+1＝0，
解得k=- 1
4 ，
∴y=- 1
4 x+1，
设P（t，- 1
4 t2+ 3
4 t+1），则G（t，- 1
4 t+1），
∴PG=- 1
4 t2+ 3
4 t+1+ 1
4 t﹣1=- 1
4 t2+t，
∴△BPC 的面积= 1
2 ×4（- 1
4 t2+t）=- 1
2（t﹣2）2+2，
当t＝2 时，△PBC 的面积最大，此时P（2，3
2），
当y＝0 时，- 1
4 x
2+ 3
4 x+1＝0，解得x＝﹣1 或x＝4，
∴A（﹣1，0），
在y 轴上取点K（0，﹣1），作直线AK，则直线AK 的解析式为y＝﹣x﹣1，
过E 点作EH⊥AK 交于H 点，
∵OA＝OC＝1，
∴∠CAO＝45°，
∴∠OAH＝45°，
∴EH= √2
2 AE，
∴PE+ √2
2 AE＝PE+HE≥PH，
当PH⊥AH 时，PE+ √2
2 AE 的值最小，
连接AP、PK，延长PG 交AK 于点L，
∴△APK 的面积= 1
2 × AK × PH = 1
2 × PL×1，即√2PH= 9
2，
51
∴PH= 9√2
4
，
∴PE+ √2
2 AE 的最小值为9√2
4
；
（3）∵抛物线沿射线CA 方向平移√2个单位长度，
∴函数图象向左平移1 个单位长度，向下平移1 个单位长度，
∴y'=- 1
4 x2+ 1
4 x+ 1
2，
∵B（4，0），
∴F（3，﹣1），
∴直线BF 的解析式为y＝x﹣4，
过点N 作NQ⊥BF 交x 轴于点Q，
∴∠BQN＝∠CAO＝45°，
∵∠ANB＝∠ACB﹣90°，
∴∠ACB＝∠ANQ，
∴∠NAB＝∠CBA，
∴AN 与BC 的交点T 在线段AB 的垂直平分线上，
∴T（3
2，5
8），
∴直线AM 的解析式为y= 1
4 x+ 1
4 ，
当- 1
4 x2+ 1
4 x+ 1
2 = 1
4 x+ 1
4 时，解得x＝1 或x＝﹣1，
∴M（1，1
2）；
当x﹣4= 1
4 x+ 1
4 时，解得x= 17
3 ，
∴N（17
3 ，5
3），
过A 点作AR∥NQ 交BN 于点R，
52
∴直线AR 的解析式为y＝﹣x﹣1，
当﹣x﹣1＝x﹣4 时，解得x= 3
2，
∴R（3
2，- 5
2），
N 点关于R 点的对称点为N'（- 8
3，- 20
3 ），
∴直线AN'的解析式为y＝4x+4，
当4x+4=- 1
4 x2+ 1
4 x+ 1
2时，解得x＝﹣1 或x＝﹣14，
∴M（﹣14，﹣52）；
综上所述：M 点坐标为（1，1
2）或（﹣14，﹣52）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象平移的性质，构造
直角三角形求最短距离是解题的关键．
15．（2026•泸州）已知二次函数y＝ax2+bx+1．
（1）若该二次函数的图象经过点（3，4），且关于直线x＝1 对称，求二次函数的解析式；
（2）当a= 2
3时，该二次函数的图象与x 轴分别交于A，B 两点，与y 轴交于点C，且△ABC 是等腰三
角形，求△ABC 的面积；
（3）当b＝1 时，点D（1，y1），E（2，y2）在该二次函数的图象上，若y1＞y2，求二次函数在
0≤x≤1 上的最大值m 的取值范围．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【答案】（1）y＝x2﹣2x+1；
（2）5
8；
（3）1＜m＜5
3．
【分析】（1）根据待定系数法进行求解即可；
（2）由题意易得C（0，1），设该二次函数的图象与x 轴的交点坐标分别为A（x1，0），B（x2，
0），当y＝0 时，则有2
3 x
2+bx +1=0那么x1，x2是该方程的两个不等实数根，根据根与系数的关系可
得：x1 x2= 3
2，然后根据两点间距离公式及等腰三角形的定义进行求解即可；
（3）由题意易得y＝ax2+x+1 然后根据y1＞y2 可得a＜- 1
3
，则有该二次函数的对称轴范围为
53
0＜- 1
2a ＜3
2
，进而根据二次函数的性质分类讨论即可．
【解答】解：（1）∵该二次函数y＝ax2+bx+1 的对称轴为直线x＝1，
∴x =- b
2a =1，即b＝﹣2a，
∵该二次函数的图象经过点（3，4），
∴9a+3b+1＝4，
把b＝﹣2a 代入得：9a+3×（﹣2a）+1＝4，
解得：a＝1，
∴b＝﹣2，
∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+1；
（2）当a= 2
3时，则有y = 2
3 x
2+bx +1，
令x＝0，则有y＝1，即C（0，1），
∴OC＝1，
设该二次函数的图象与x 轴的交点坐标分别为A（x1，0），B（x2，0），
不妨设x1＜x2，
当y＝0 时，则有2
3 x
2+bx +1=0，
那么x1，x2是该方程的两个不等实数根，
∴根据根与系数的关系可得：x1 x2= 3
2，
∴根据两点间距离公式可得：A C
2=( x1-0)
2+(0-1)
2= x1
2+1，
A B
2=( x1- x2)
2= x1
2-2 x1 x2+ x2
2= x1
2-2× 3
2 + x2
2= x1
2-3+ x2
2
BC2=( x2-0)
2+(0-1)
2= x2
2+1，
当该二次函数的图象与x 轴分别交于A，B 两点，且在y 轴的右侧，
∵△ABC 是等腰三角形，
∴AC＝AB，
∴x1
2+1= x1
2-3+ x2
2，
解得：x2＝2（负根舍去），
∴把x2＝2 代入2
3 x
2+bx+1＝0 得：2
3 ×4+2b+1＝0，
解得：b=- 11
6 ，
54
∴2
3 x
2- 11
6 x+1＝0，
解得：x1= 3
4 ，x2＝2，
∴AB＝2- 3
4 = 5
4 ，
∴S△ABC= 1
2 AB⋅OC = 5
8，
当该二次函数的图象与x 轴分别交于A，B 两点，且在y 轴的左侧，
∵△ABC 是等腰三角形，
∴BC＝AB，
同理可得：S△ABC= 1
2 AB⋅OC = 5
8；
综上所述：△ABC 的面积为5
8．
（3）当b＝1 时，则有y＝ax2+x+1，
∵点D（1，y1）E（2，y2）在该二次函数的图象上，
∴y1＝a+2，y2＝4a+3，
∵y1＞y2，
∴a+2＞4a+3，
解得：a＜- 1
3，
∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x =- 1
2a，
∵a＜- 1
3，
∴-2a＞2
3，即0＜- 1
2a ＜3
2，
∴当1≤- 1
2a ＜3
2时，即- 1
2 ≤a＜- 1
3，
此时二次函数在0≤x≤1 上，y 随x 的增大而增大，
∴二次函数在0≤x≤1 上的最大值为m＝a+2，
∵- 1
2 ≤a＜- 1
3，
∴3
2 ≤m＜5
3，
当0＜- 1
2a ＜1 时，即a＜- 1
2，
∴二次函数在0≤x≤1 上的最大值为m=a(- 1
2a )
2+(- 1
2a )+1= 1
4 a - 1
2a +1=1- 1
4 a，
55
∵a＜- 1
2，
∴﹣4a＞2，即0＜- 1
4 a ＜1
2，
∴1＜m＜3
2；
综上所述：最大值m 的取值范围为1＜m＜5
3．
【点评】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握相关知识是解题的关键．
16．（2026•达州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x 轴交于A，B 两点，与
y 轴交于点C．直线y＝x+m 经过点C，与x 轴交于点D（﹣3，0）．
（1）求m 的值及抛物线的函数表达式；
（2）若线段EF 在抛物线的对称轴上运动，且EF＝2，求四边形DCEF 周长最小时点E 的坐标；
（3）将抛物线沿射线BC 方向平移3√2个单位长度，点G 为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是
否存在以A，C，G 为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点G 的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】待定系数法；换元法；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角
形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）m＝3；抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）四边形DCEF 周长最小时点E 的坐
标为（1，14
5 ）；（3）存在以A，C，G 为顶点的直角三角形，点G 的坐标为（﹣2，11
3 ）或（﹣2，
1
3）或（﹣2，1）或（﹣2，2）．
【分析】（1）利用一次函数的图象与性质和待定系数法求得m 值，进而利用一次函数的解析式求得点
C 坐标，再利用待定系数法解答即可得出结论；
（2）将点C 向下平移2 个单位得到C′，连接C′F，利用将军饮马模型求得直线DC″的解析式，再
56
与抛物线的解析式联立即可求得点F 坐标，再利用点E 的特征解答即可；
（3）利用抛物线的平移的特征求得平移后的抛物线的对称轴，利用分类讨论的思想方法，直角三角形
的性质，相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+m 与x 轴交于点D（﹣3，0），
∴﹣3+m＝0．
∴m＝3，
∴直线y＝x+m 的解析式为y＝x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∵抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与y 轴交于点C，
∴3＝a（0+1）（0﹣3），
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）将点C 向下平移2 个单位得到C′，连接C′F，如图，
则CC′＝2＝EF，C′（0，1），
∵CC′∥EF，
∴四边形CC′FE 为平行四边形，
∴CE＝C′F，
∵C（0，3），D（﹣3，0），
∴OC＝OD＝3，
∴CD=√2OD＝3√2，
∵EF＝2，四边形DCEF 周长＝CD+EF+CE+DF，
∴当CE+DF 最小时，即C′F+DF 最小时，四边形DCEF 周长最小，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3 的对称轴为直线x＝1，顶点为（1，4）．
作点C′关于直线x＝1 的对称点C″，则C″（2，1），
57
当点D，F，C″三点在一条直线上时，C′F+DF 最小，
设直线DC″的解析式为y＝kx+n，
∴{
-3k +n=0
2k +n=1 ，
∴{
k = 1
5
n= 3
5
，
∴设直线DC″的解析式为y= 1
5 x + 3
5，
令x＝1，则y= 4
5 ，
∴F（1，4
5 ），
∵点E 在点F 的上方，EF＝2，
∴E（1，14
5 ）．
∴四边形DCEF 周长最小时点E 的坐标为（1，14
5 ）．
（3）存在以A，C，G 为顶点的直角三角形，点G 的坐标为（﹣2，11
3 ）或（﹣2，1
3）或（﹣2，1）
或（﹣2，2）．理由：
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
∴x＝﹣1 或x＝3，
∴B（3，0），
∴OB＝3，
∵OC＝3，
∴BC＝3√2，
∵将抛物线沿射线BC 方向平移3√2个单位长度，
∴抛物线沿x 轴负方向向左平移3 个单位，再沿y 轴正方向向上3 个单位，
∴平移后的解析式为y＝﹣（x+2）2+7，
∴平移后的抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，设直线x＝﹣2 交x 轴于点H，则OH＝2，
当∠ACG＝90°时，过点G 作GM⊥OC 于点M，如图，
58
则四边形GHOM 为矩形，
∴GH＝OM，GM＝OH＝2，
设HG＝m，则CM＝OM﹣OC＝m﹣3，
∵∠ACG＝90°，
∴∠GCM+∠ACO＝90°，
∵∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠GCM＝∠CAO，
∵∠GMC＝∠COA＝90°，
∴△GMC∽△COA，
∴GM
CO = CM
OA ，
∴2
3 = m-3
1
，
∴m= 11
3 ，
∴G（﹣2，11
3 ）．
当∠CAG＝90°时，过点G 作GM⊥OC 于点M，如图，
∵∠CAG＝90°，
∴∠GAH+∠CAO＝90°，
∵∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠GAH＝∠ACO，
59
∵∠GHA＝∠COA＝90°，
∴△GHA∽△AOC，
∴GH
HA = OA
OC ，
∴GH
1 = 1
3，
∴GH= 1
3，
∴G（﹣2，1
3）．
当∠AGC＝90°时，过点C 作CM⊥GH 于点M，如图，
则四边形HOCM 为矩形，
∴OH＝CM＝2，HM＝OC＝3，
设HG＝m，则GM＝HM﹣GH＝3﹣m，
∵∠AGC＝90°，
∴∠CGM+∠AGH＝90°，
∵∠AGH+∠GAH＝90°，
∴∠CGM＝∠GAH，
∵∠GMC＝∠AHG＝90°，
∴△GMC∽△AGH，
∴CM
MG = GH
AH ，
∴
2
3-m = m
1 ，
∴m2﹣3m+2＝0，
∴m＝1 或m＝2．
∴G（﹣2，1）或G（﹣2，2）．
综上，存在以A，C，G 为顶点的直角三角形，点G 的坐标为（﹣2，11
3 ）或（﹣2，1
3）或（﹣2，1）
或（﹣2，2）．
60
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数
的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，配方法，直角三角形的性质，相似
三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
17．（2026•安徽）已知抛物线y= 3
a
2x（2a﹣x）（a＞0）．
（1）求抛物线顶点的纵坐标；
（2）点A( x1，3
2 )，B( x2，3
2 )（x1＜x2）都在抛物线上．
（i）求x1
a
的值；
（ii）设a 为正整数，线段AB 上横坐标为整数的点的个数为m，请比较m 与2a﹣2 的大小，并说明理
由．
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【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）y＝3；
（2）（i）x1
a = 2-√2
2
；
（ii）当a＝1，2，3 时，m＞2a﹣2；当a≥4 时，m＜2a﹣2．理由如下：
由（i）得AB = x2- x1=√2a，
已知√2≈1.414，m＜√2a+1显然成立，
令√2a+1＜2a-2，
解得a＞3+ 3√2
2
≈5.121，
也就是说，当a≥6 时，m＜2a﹣2 恒成立，
故只用讨论a＝1，2，3，4，5 的情形：
a＝1 时，x1=1- √2
2 ≈0.293，x2=1+ √2
2 ≈1.707，故整数点只有x＝1，
∴m＝1，2a﹣2＝0，
∴m＞2a﹣2；
a＝2 时，x1=2-√2≈0.586，x2=2+√2≈3.414，
故整数点有x＝1，x＝2，x＝3，
∴m＝3，2a﹣2＝2，
∴m＞2a﹣2；
a＝3 时，x1=3- 3√2
2
≈0.879，x2=3+ 3√2
2
≈5.121，
故整数点有x＝1，x＝2，x＝3，x＝4，x＝5，
61
∴m＝5，2a﹣2＝4，
∴m＞2a﹣2；
a＝4 时，x1= 4 -2√2≈1.172，x2= 4+2√2≈6.828，
故整数点有x＝2，x＝3，x＝4，x＝5，x＝6，
∴m＝5，2a﹣2＝6，
∴m＜2a﹣2；
a＝5 时，x1=5- 5√2
2
≈1.465，x2=5+ 5√2
2
≈8.535，
故整数点有x＝2，x＝3，x＝4，x＝5，x＝6，x＝7，x＝8，
∴m＝7，2a﹣2＝8，
∴m＜2a﹣2；
综上所述，当a＝1，2，3 时，m＞2a﹣2；当a≥4 时，m＜2a﹣2．
【分析】（1）根据抛物线解析式求出抛物线与x 轴的两个交点，再根据对称性代入对称轴横坐标，即
可求出顶点纵坐标；
（2）（i）根据点A，B 的纵坐标，令y = 3
2求出x1，x2，即可求出x1
a ；
（ii）根据（i）求出AB = x2- x1=√2a，那么m 不可能超过√2a+1，令√2a+1＜2a-2，可知a≥6
时，m＜2a﹣2 恒成立，故只用对a＝1，2，3，4，5 依次分类讨论即可．
【解答】解：（1）令y＝0，求得抛物线与x 轴的两个交点为（0，0），（2a，0），
则抛物线的对称轴为x = 0+2a
2
=a，
把x＝a 代入抛物线解析式得y = 3
a
2 ×a(2a-a)，
解得y＝3，即为抛物线顶点的纵坐标；
（2）（i）令y = 3
2，可得x(2a- x)= a
2
2 ，
即x
2-2ax + a
2
2 =0，
∵x1＜x2，
故解得x1= 2-√2
2
a，x2= 2+√2
2
a，
∴x1
a = 2-√2
2
；
（ii）当a＝1，2，3 时，m＞2a﹣2；当a≥4 时，m＜2a﹣2．理由如下：
由（i）得AB = x2- x1=√2a，
已知√2≈1.414，m＜√2a+1显然成立，
62
令√2a+1＜2a-2，
解得a＞3+ 3√2
2
≈5.121，
也就是说，当a≥6 时，m＜2a﹣2 恒成立，
故只用讨论a＝1，2，3，4，5 的情形：
a＝1 时，x1=1- √2
2 ≈0.293，x2=1+ √2
2 ≈1.707，故整数点只有x＝1，
∴m＝1，2a﹣2＝0，
∴m＞2a﹣2；
a＝2 时，x1=2-√2≈0.586，x2=2+√2≈3.414，
故整数点有x＝1，x＝2，x＝3，
∴m＝3，2a﹣2＝2，
∴m＞2a﹣2；
a＝3 时，x1=3- 3√2
2
≈0.879，x2=3+ 3√2
2
≈5.121，
故整数点有x＝1，x＝2，x＝3，x＝4，x＝5，
∴m＝5，2a﹣2＝4，
∴m＞2a﹣2；
a＝4 时，x1= 4 -2√2≈1.172，x2= 4+2√2≈6.828，
故整数点有x＝2，x＝3，x＝4，x＝5，x＝6，
∴m＝5，2a﹣2＝6，
∴m＜2a﹣2；
a＝5 时，x1=5- 5√2
2
≈1.465，x2=5+ 5√2
2
≈8.535，
故整数点有x＝2，x＝3，x＝4，x＝5，x＝6，x＝7，x＝8，
∴m＝7，2a﹣2＝8，
∴m＜2a﹣2；
综上所述，当a＝1，2，3 时，m＞2a﹣2；当a≥4 时，m＜2a﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，分类讨论等，掌握综合知识是解题的关键．
18．（2026•成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝kx+2（k＞0）与抛物线y＝x2相交于A，B
两点．C，D 两点在抛物线上，且CD∥AB．
（1）若点A 的坐标为（﹣1，1），求k 的值和点B 的坐标；
（2）在（1）的条件下，记C，D 两点的横坐标分别为m，n（m＜n），当m≤x≤n 时，函数y＝（x﹣
h）2总在x＝n 处取得最大值，求h 的取值范围；
（3）若AB＝2CD，直线AC，BD 的交点E 恰好落在x 轴正半轴上，求点E 的坐标和k 的值．
63
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【答案】（1）k＝1，点B 的坐标为（2，4）；
（2）h 的取值范围是h≤1
2；
（3）点E 的坐标为(√2，0)，k =2√2．
【分析】（1）先求出k 值，再联立解析式即可得解；
（2）先找到m，n 范围，再确定对称轴x＝h 范围；
（3）易证CD 为中位线，可得C、D 坐标与A、B 坐标的关系，再由韦达定理可得xA+xB，xA•xB，
xC+xD，xC•xD，进而建立方程求解即可．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，1）代入y＝kx+2 得，1＝﹣k+2，
解得k＝1，
令x+2＝x2，则x2﹣x﹣2＝0，
解得x＝2 或x＝﹣1，
∴B（2，4）；
（2）如图，
设CD：y＝x+t，
联立y＝x+t 与y＝x2得x2﹣x﹣t＝0，
令Δ＝1+4t＝0，
∴t =- 1
4 ，
64
此时x
2- x + 1
4 =0，
解得x = 1
2，
∴m＜1
2，
y＝（x﹣h）2对称轴为x＝h，
∴当h≤1
2时，y＝（x﹣h）2总在x＝n 处取最大值；
（3）设E（m，0），
∵CD∥AB，CD = 1
2 AB，
∴CD 为△ABE 中位线，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴C（x1+m
2
，y1
2
），D（x2+m
2
，y2
2
），
联立AB 与y＝x2得x2﹣kx﹣2＝0，
则x1+x2＝k，x1•x2＝﹣2，
过E 作EF∥AB 交y 轴于F，
∴直线EF：y＝kx﹣km，
∴F（0，﹣km），
记直线CD 交y 轴于H，记AB 交y 轴于G，
∵AB∥CD∥EF，
∴GH
HF = BD
DE =1，
∴H 为G，F 中点，
∴H (0，km+2
2
)，
∴直线CD：y =kx - km
2 +1，
65
联立CD 与y＝x2得x
2-kx + km
2 -1=0，
则xC+xD＝k，xC•xD= km
2 -1，
∴x1+m
2
+ x2+m
2
=k，即x1+ x2+2m
2
=k，
∵x1+x2＝k，
∴k＝2m，
x1+m
2
⋅x2+m
2
= km
2 -1，即x1 x2+m( x1+ x2)+m
2
4
= km
2 -1，
解得{
m=√2
k =2√2，
∴E（√2，0），k＝2√2．
【点评】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握相关知识是解题的关键．
66
考点卡片
1．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的
符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函
数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的
一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系
下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题
有意义．
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