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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第27 章反比例函数 数学活动 （导学案） （1）深度理解反比例函数“横、纵坐标之积为定值”的核心本质，掌握利用等面积矩形绘制反比例函数图 象的方法；能从物理实际情境中提取变量关系，建立反比例函数模型，运用反比例函数性质解决简单跨学科 实际问题；熟练掌握“观察变量—分析关系—建立模型—求解验证”的函数应用流程. （2）经历“动手作图、观察猜想、验证归纳、建模应用”的完整探究过程，提升动手操作、数据分析、数 形结合推理能力；通过跨学科探究，学会整合多学科知识解决实际问题，提升数学建模与知识迁移能力. （3）在自主探究与小组合作中感受数学的趣味性、实用性，激发函数学习兴趣；体会数形结合、特殊到一 般的数学思想，培养严谨的探究习惯和科学思维. 重点：理解反比例函数“积定反比”的核心本质；掌握等面积矩形画双曲线的方法；能建立实际情境中的反 比例函数模型并求解. 难点：理解矩形定点轨迹与反比例函数图象的内在联系；精准从跨学科实际问题中提炼反比例变量关系，完 成建模与验证. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 提出问题：同学们，我们已经学完了反比例函数的全部新知，谁能说一说反比例函数的核心特征是什么？ （学生回答：形如y= k x（k≠0），两个变量的乘积为定值，变量成反比例关系） 追问：我们知道反比例函数的图象是双曲线，大家知道双曲线是如何生成的吗？生活中哪些现象藏着反比 例函数的规律？今天我们通过两个趣味数学活动，动手探索反比例函数的本质与应用. 旧知回顾：①反比例函数本质：xy=k（k为定值）；②k的几何意义：双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，围 成矩形面积为|k|. 【学法指导】 新知自研：自研课本数学活动内容 【学法指导】自研课本数学活动内容 （一）利用矩形画双曲线 活动1. 实践操作. 活动任务：给定矩形面积为10，设矩形的长为x，宽为y，固定矩形一个顶点在坐标原点，两边与坐标轴重合， 完成以下探究： （1）列出变量x、y的关系式； （2）自主取值，完成表格： 一边长/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 邻边长/cm 10 5 10/3 5/2 2 5/3 10/7 5/4 10/9 1 （3）在平面直角坐标系中描出对应点，观察点的分布规律. 10个对角的顶点，并把这10个点用平滑的曲线连接起来. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 活动2.探究规律. 追问1：这条曲线是反比例函数图象的一支吗？为什么？ 学生活动：独立列式、填表、描点，小组内交流观察结果. 追问2：这里的值取值范围是什么？ 两边长取值为正值. 总结归纳：由矩形面积公式得xy=10，即y== 10 x（x＞0），所有描出的点都在同一曲线上，这条曲线就是反比 例函数在第一象限的双曲线分支. 核心结论：面积定值的矩形，边长顶点的轨迹是反比例函数图象. （二）用简易密度计测量密度 活动1.利用实验数据探究规律 问题：如图1，物理兴趣小组的同学们做了一个圆柱形简易密度计，其质量为7.2g，底面积为1cm²，能悬浮 在液体中.经过实验，小组同学记录了当简易密度计悬浮在不同液体中时，其浸入液体的深度，得到如下数 据： 液 体 汽油 煤油 植物油 水 饱和盐水 蜂蜜 p/(g· cm-²) 0.70 0.80 0.90 1.00 1.15 1.40 h/cm 10.20 9 8 7.2 6.26 5.14 追问1：以上测量用到什么物理原理？ 物理中，物体漂浮时浮力等于重力（F浮=G），同一支密度计重力恒定，在不同液体中漂浮时，排开液体的 体积不同。设液体密度为ρ，密度计浸入液体的深度为h，密度计横截面积恒定. 变量分析：液体密度ρ越大，浸入深度h越小，二者乘积为定值，成反比例函数关系. 探究1：简易密度计浸入液体的深度h（单位：cm）与液体的密度ρ(单位：g/cm²）之间是否具有函数关系？ 如果有，请你选择合适的函数模型描述这种关系. 引导学生按照“提炼变量关系→列出ρ与h的函数关系式→结合数据求函数解析式→分析解析式的正确性.” 进行探究. 探究2：当简易密度计悬浮在牛奶中时，它浸入牛奶的深度为6.99cm，则牛奶的密度为多少（结果保留小数 点后两位）？ 引导学生求出牛奶ρ与h的函数关系式，再求出牛奶的密度. 总结归纳：由浮力平衡原理得ρh=k（k为定值），代入数据求得k的值，得到函数解析式； 核心结论：密度计刻度上疏下密，液体密度与浸入深度成反比例关系. 【自研自探】 自研课本数学活动内容 典型例题 例１.在平面直角坐标系中，若矩形的面积恒为8，矩形的长为正数x，宽为y，矩形一个顶点在原点，两边分 别平行于坐标轴. （1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量取值范围； （2）判断点(4,2)、(-2,4)是否在该函数图象上； （3）简述该函数图象的形状与分布. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题紧扣本节课矩形画双曲线的活动核心，考查反比例函数建模、图象上点的特征及图象性质.解 题关键是利用矩形面积定值建立变量关系，结合自变量实际意义确定取值范围，通过代入验证判断点与图 象的位置关系. 【详解】（1）根据矩形面积公式：长×宽=面积，可得xy=8， 变形得函数解析式：y= 8 x， 由实际意义可知，矩形的长为正数，因此自变量取值范围：x＞0； （2）验证点(4,2)：将x=4代入解析式，y== 8 4=2，与点的纵坐标相等，因此点(4,2)在函数图象上； 验证点(-2,4)：自变量取值范围为x＞0，x=-2不符合实际意义，因此点(-2,4)不在函数图象上； （3）该函数图象是反比例函数y= 8 x，在第一象限的分支，是一条平滑的曲线，y随x的增大而减小，图象无限 靠近坐标轴但不与坐标轴相交. 例2.同一支简易密度计漂浮在不同液体中，浸入液体的深度h（cm）与液体密度\rho（g/cm³）成反比例函数 关系。已知密度计在清水中（ρ=1.0g/cm³）浸入深度为24cm. （1）求ρ关于h的反比例函数解析式； （2）若密度计浸入某液体的深度为15cm，求该液体的密度； （3）若某液体密度为1.2g/cm³，求密度计浸入液体的深度. 【分析】：本题是本节课第二个数学活动的原型应用题，核心考查反比例函数在实际跨学科场景中的建模与 求解。解题步骤为：先根据反比例关系设出解析式，代入已知数据求比例系数，再利用解析式代入求值，全 程结合实际变量意义分析. 【详解】（1）设反比例函数解析式为ρ= k h（k≠0，h＞0）， 将ρ=1.0，h=24代入解析式： 1.0= k 24，解得k=24， 因此函数解析式为：ρ= 24 h （h＞0）； （2）当h=15cm时，代入解析式：ρ= 24 15=1.6（g/cm³） 答：该液体的密度为1.6g/cm³； （3）当ρ=1.2g/cm³时，代入解析式：1.2= 24 h 解得h=20 答：密度计浸入液体的深度为20cm. 第二环节 合作探究 1.讨论面积定值的矩形，边长顶点的轨迹的函数图象. 2.讨论密度计刻度上疏下密，液体密度与浸入深度的关系. 拓展提升：1．为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气 中的含药量(mg) y 与燃烧时间(min) x 成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃 完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg ．据以上信息解答下列问题： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求药物燃烧时y关于x的函数表达式． (2)求药物燃烧后y关于x的函数表达式． (3)当每立方米空气中含药量低于1.6mg 时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段学生不 能停留在教室里？ 【详解】（1）解：设药物燃烧时y关于x的函数表达式为y kx = ， ∴10 8 k = ， ∴ 0.8 k = ， ∴药物燃烧时y关于x的函数表达式为 ( ) 0.8 0 10 y x x = ； （2）解：设药物燃烧后y关于x的函数表达式为 1k y x = ， ∴ 8 10 k = ， ∴ 80 k = ， ∴药物燃烧后y关于x的函数表达式为 ( ) 80 10 y x x = ； （3）解：对于 0.8 y x = ，当 1.6 y = ， 2 x = ； 对于 80 y x = ，当 1.6 y = 时， 50 x = ， ∴从消毒开始，第2分钟到第50分钟学生不能停留在教室里． 1.如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作 m T （m为1～8的 整数）．函数 ( ) 0 k y x x = 的图象为曲线L ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)若L过点 1T ，则k = ______； (2)若L过点 4T ，则它必定还过另一点 m T ，则m = ______； (3)若曲线L使得 1 8 T T 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，求出所有满足条件的整数k ． 【详解】（1）解：由图像可知 1( 16,1) T − 又∵．函数 k y x = （ 0 x ）的图象经过 1T ∴ 1 16 k = − ，即 16 k = − ， 故答案为16 − ； （2）由图像可知 1( 16,1) T − 、 2( 14,2) T − 、 3( 12,3) T − 、 4( 10,4) T − 、 5( 8,5) T − 、 6( 6,6) T − 、 7( 4,7) T − 、 8( 2,8) T − ∵L过点 4T ∴ 10 4 40 k = − = 观察 1 8 ~ T T 发现 5T 符合题意，即 5 m = 故答案为5； （3）∵ 1 8 ~ T T 的横纵坐标积分别为：16, 28, 36, 40, 40, 36, 28, 16 − − − − − − − − ∴要使这8个点为于L的两侧，每次各四个点，k 必须满足36 28 k − − ∴k 可取共7个整数值，为35 − 、34 − 、33 − 、32 − 、31 − 、30 − 、29 − . 1．（2025·金安统考）圆锥的体积 1 3 V Sh = （S表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高线长），某工厂要制作 一系列圆锥模型，要求体积保持不变．测得其中一个已做成的圆锥模型的底面半径为 30cm ，高线长为 10cm． (1)求这一系列圆锥模型的底面积( ) 2 cm S 关于高线长(cm) h 的函数表达式，并画出函数图象． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)利用所画的函数图象，求当高线长限定为50 100 h 时，底面积的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得 2 3 30 1 1 10 100cm 3 3 V Sh = = = ， ∴ ( ) 100 0 S h h = ， 函数图象如下所示： （2）解：当 50 h = 时， 2 S = ，当 100 h = 时， 1 S = ， ∴由函数图象可知当高线长限定为50 100 h 时，底面积的取值范围为1 2 S ． 2．（2025·淮安统考）测得不同国家六种硬币的质量和体积数据如下表： 硬币 质量（g） 体积（ 3 cm ） A 3.1 0.41 B 4.0 0.50 C 8.6 1.2 D 8.0 0.95 E 9.8 1.1 F 5.0 0.67 (1)设用质量为 g m( )的某种金属制作成的硬币体积为( ) 3 cm V ，求该种金属的密度． (2)从前，奥地利硬币由铜和锌的合金制成，其密度为 3 8.42g / cm ．你认为上表中，哪一种硬币可能来自奥 地利？ (3)已知铜的密度为 3 8.92g / cm ，锌的密度为 3 7.15g / cm ．A，B两种硬币都由铜和锌的合金制成，哪一种含锌 量较多？请说明理由． 【详解】（1）解：由密度计算公式可知 m V = ； （2）解：A 硬币的密度为 ( ) 3 3.1 7.56 g / cm 0.41 ，B 硬币的密度为 ( ) 3 4.0 8.00 g / cm 0.50 = ，C 硬币的密度为 ( ) 3 8.6 7.17 g / cm 1.2 ，D 硬币的密度为 ( ) 3 8.0 8.42 g / cm 0.95 ，E 硬币的密度为 ( ) 3 9.8 8.91 g / cm 1.1 ，F 硬币的密 度为 ( ) 3 5.0 7.46 g / cm 0.67 ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴D 硬币可能来自奥地利； （3）解：A 硬币含锌量比较多，理由如下： ∵铜的密度大于锌的密度， ∴由铜和锌制成的合金材料，含锌越小，密度越大， ∵ A B ρ ρ ， ∴A 硬币含锌量比较多． 3．（2025·石家庄期中）有一台室内去除甲醛的空气净化器需要消耗药物去除甲醛，设净化药物的消耗 量为( ) kg x ，室内甲醛含量为( ) 3 mg/m y ，开机后净化器开始消耗净化药物． 当0 1 x 时，室内甲醛含量保持室内起始甲醛含量 3 1.8mg/m 不改变； 当 1 x 时，净化器开始计时，开始计时后，设时间为( ) h t （ 0 t ），并有以下两种工作模式： 模式Ⅰ：室内甲醛含量( ) 3 mg/m y 与净化药物的消耗量( ) kg x 成反比，且当 2 x = 时， 0.9 y = ； 模式Ⅱ：净化药物的消耗量( ) kg x 与时间( ) h t 的关系式为 5 1 x t = + ，计时后甲醛的减少量( ) 3 mg/m d 与时间 ( ) h t 的关系式为 2 5 d t = ．（室内甲醛含量＝室内起始甲醛含量－甲醛的减少量） (1)在模式Ⅰ下： ①求出y 与x 的关系式（不写x 的取值范围）； ②如果要求甲醛含量不高于 3 0.1mg/m 达标，求净化药物的消耗量x 的最小值； (2)在模式Ⅱ下： ①用t 表示y 为：______； ②求y 与x 的关系式为：______；（不写x 的取值范围） (3)若采用模式Ⅱ去除甲醛，当 3 1mg/m y = 时，与模式Ⅰ相比，消耗相同的净化药物，哪种模式去除甲醛的 效果好？请同学计算说明理由． 【详解】（1）①设y 与x 的关系式为 ( ) 0 k y k x = ， 将当 2 x = 时， 0.9 y = 代入得： 0.9 2 k = ，解得： 1.8 k = ， ∴y 与x 的关系式为 1.8 y x = ； ②∵甲醛含量不高于 3 0.1mg/m 达标，且根据题意有x非负， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 0.1 y ， ∴ 1.8 0.1 x ，解得： 18 x≥ ， ∴净化药物的消耗量x 的最小值为18kg ． （2）①根据题意得： 1.8 y d = − ， 将 2 5 d t = 代入 1.8 y d = − 得： 2 1.8 5 y t = − ， 故答案为： 2 1.8 5 y t = − ． ②∵ 5 1 x t = + ， ∴ 1 5 x t − = ， 将 1 5 x t − = 代入 2 1.8 5 y t = − 得： 2 1 1.8 5 5 x y − = − ， 整理得∶ 2 1 2 8 5 5 5 y x x = − + + ． （3）当 3 1mg/m y = 时， 模式Ⅱ： 2 1 2 8 1 5 5 5 x x = − + + ，解得： 1 3 x = ， 2 1 x = −（舍）， 当 3mg x = 时， 模式Ⅰ： 1.8 0.6 3 y = = ， ∵1 0.6 ， ∴模式Ⅰ去除甲醛的效果好． 知识技能：（1）核心本质：反比例函数的本质是两个变量的乘积为定值，即xy=k（k≠0）；（2）几 何应用：面积定值的矩形，边长顶点轨迹为反比例函数双曲线，印证k的几何意义；（3）实际应用： 可利用反比例函数解决物理密度、行程、工程、面积等定值类实际问题，掌握“建模—求解—验证” 的解题流程. 思想方法：（1）数形结合思想：通过矩形作图，将代数解析式与几何图象结合，直观理解函数规律； （2）模型思想：从几何、物理实际情境中提炼反比例函数模型，实现实际问题数学化；（3）特殊到 一般思想：通过具体数据测算、特例探究，归纳出反比例函数的通用规律. 易错提醒：（1）实际情境中必须考虑自变量的取值范围，不可盲目套用解析式；（2）混淆正比例与 反比例关系：定值和为正比例，定值积为反比例；（3）矩形画双曲线时，忽略变量正数取值，误画 第二、四象限分支；（4）实际问题求解后未验证结果是否符合生活实际.
