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第一章 有理数
知识点一 正数和负数
1.
定义
正数：大于 0 的数；负数：在正数前加” ― “、小于 0 的数；
0 既不是_________，也不是_________，是正负数分界。
2.
应用：用正负数表示一组__________________（如上升/下降、收入/支出）。
3.
符号规则：正数” + “可省略，负数” ― “不能省略。
知识点二 有理数的概念
1.
定义：_________和_________统称为有理数。
2.
分类方式
① 按定义分
整数：_________、_________、_________；
分数：_________、_________（有限小数、无限循环小数属于分数；𝜋这类无限不循环小数不是有
理数）。
② 按正负分
_________（正整数、正分数）、_________、_________（负整数、负分数）。
3.
拓展名词
非负数 = 正数+0；非正数 = 负数+0。
知识点三 数轴
1.
三要素（缺一不可）：_________、_________、_________。
2.
核心性质
① 所有有理数都可以用数轴上唯一的点表示；
② 数轴上_________的数一定大于_________的数。
3.
画图规范：直线、标注原点 0、统一长度单位、标出正方向箭头。
知识点四 相反数
1.
定义：只有_________不同的两个数互为相反数；数𝑎的相反数是_________。
2.
特殊值：0 的相反数是_________。
3.
核心性质：互为相反数的两数之和为 0，即_________。
4.
多重符号化简法则：_________（负号个数奇数，结果为负；偶数，结果为正）。
5.
几何意义：数轴上互为相反数的两点到原点距离相等，分布原点两侧。
知识点五 绝对值
1.
几何意义：数轴上表示数𝑎的点与原点的_________，记作|𝑎|，距离恒_________，|𝑎| ≥0。
2.
代数化简公式
|𝑎| =
𝑎
𝑎> 0
0
𝑎= 0
―𝑎
𝑎< 0
3.
重要结论
① 绝对值最小的数是_________；
② 互为相反数的两个数绝对值_________。
知识点六 有理数的大小比较
两种常用方法
1. 数轴比较法：数轴_________的数 > _________的数。
2. 法则比较法
① 正数＞0＞负数；
② 两个负数比较：绝对值大的数，本身数值更小。
易错点1 化简多重符号
易错提醒
一、易错点总结
1. 数错负号个数，导致最终正负判断相反。
2. 误以为式子前面有负号，结果一定是负数。
3. 化简时混入绝对值、括号运算顺序，先算数字再去符号，导致出错。
4. 偶数个负号仍误判为负，奇数个负号误判为正。
二、注意事项总结
1. 严格使用奇负偶正：只数负号个数，与数字大小无关。
2. 正号可以直接全部省略，不影响结果。
3. 多重符号运算：先化简符号，再算绝对值、计算。
4. 做题不要凭感觉，一定逐个清点负号数量。
【对点训练】1．化简下列各数：
（1）
3
- -
= ________；
（2）
3
+ -
= ________；
（3）
3
- +
= ________；
（4）
3
- - -
= ________．
易错点2 带“非”字的有理数的分类
易错提醒
一、易错点总结
1. 最大误区：带“非”字分类习惯性漏掉 0。
2. 概念混淆：把“非负数”当成正数、“非正数”当成负数。
3. 混淆非负整数、非正整数，误把分数、小数纳入整数范围。
4. 分不清：非负数≠正数、非正数≠负数。
二、注意事项总结
1. 口诀：带“非”必含 0。
2. 非负数 = 正数 + 0；非正数 = 负数 + 0。
3. 非负整数、非正整数只包含整数，不含分数和小数。
4. 分类题一定要对照定义逐条筛选，不要凭直觉。
【对点训练】2．
1
17 ，2023
-
，3.14
-
，0.10% ，0，
1
- -
，6，0.13，
2
- -
分数集合：{__________ …}；
非负整数集合：{__________ …}；
非正数集合：{__________ …}；
正有理数集合：{__________ …}；
自然数集合：{__________ …}
易错点3 利用分类讨论数学思想化简绝对值
易错提醒
一、易错点总结
1. 不分类讨论，直接去掉绝对值符号，导致结果错误。
2. 当绝对值内为负数时，忘记变号，不会整体取相反数。
3. 遗漏“等于 0”的情况，只分正负两类，讨论不完整。
4. 已知字母取值范围，仍判断错误式子正负。
二、注意事项总结
1. 含字母绝对值必须分类讨论：正数、0、负数三种情况。
2. 内部为负：去绝对值要整体加括号变号。
3. 分界点（使式子为 0 的值）一定要单独讨论，不能漏掉。
4. 化简核心口诀：正去、0 零、负变反。
【对点训练】3．请利用绝对值的性质，解决下列问题：
(1)已知a，b 是有理数，当
0
a >
时，
a
a = ；当
0
b <
时，
b
b = ．
(2)已知a，b 是有理数，且
0
ab <
，求a
a
b
b
+
的值．
(3)已知a，b，c 是有理数，
0
a
b
c
+
+
=
，
0
abc <
，求
b
c
a
c
a
b
a
b
c
+
+
+
+
+
的值．
(4)已知a，b，c 是有理数，当
0
abc ¹
时，求
b
a
c
a
b
c
+
+
的值．
易错点4 绝对值的几何意义
易错提醒
一、易错点总结
1. 最常错：认为绝对值可以为负数，如 |-6|=-6。
2. 只会代数计算，不懂几何意义是数轴上的距离。
3. 不理解距离≥0，不会判断绝对值最小值为 0。
4. 计算两点距离时忽略绝对值，出现负数结果。
二、注意事项总结
1. 绝对值本质是距离，结果一定非负数。
2. |a|：数 a 到原点的距离；|a-b|：a、b 两点距离。
3. 所有绝对值最小值都是 0，不可能为负。
4. 遇到最值、范围题，优先用数轴几何意义解题，更简单不易错。
【对点训练】4．已知A 、B 在数轴上分别表示a 、b
(1)对照数轴填写下表：
a
6
6
-
6
-
6
-
2
1.5
-
b
4
0
4
4
-
10
-
1.5
-
A 、B 两点的距离
2
6
10
0
(2)若A 、B 两点间的距离记为d ，直接写出d 和a 、b 的数量关系______．
(3)如果
2
3
x
x
+
+
-
的和最小时，整数x 有______．
(4)当a 为______时，代数式
3
x
a
x
+
+
-
的最小值是7．
(5)式子
3
6
x
x
+
-
-
有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值；
一、单选题
1．如图，数轴上被遮挡住的整数是（ ）
A．1
B．2
-
C．1
-
D．0
2．如图，在数轴上将点A 向右移动4 个单位长度得到点B ，则点B 表示的数是（ ）
A．5
-
B．1
C．2
D．3
3．正六边形ABCDEF 在数轴上的位置如图所示，点A 和F 对应的数分别为1 和0，若正六边形ABCDEF
绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1 次后，点E 所对应的数为1
- ．按此规律继续翻转下去，
数轴上2026
-
所对应的顶点是（ ）
A．A
B．B
C．C
D．D
4．下列说法中不正确的有（ ）
①1 是绝对值最小的数；②0 既不是正数，也不是负数； ③0 的相反数是0；④绝对值等于本身的数是正
数．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
5．如图，数轴上点P 所表示的数为x，则下列说法正确的是（ ）
A．在x 和0 之间有3 个负数
B．与3 相比，x 离0 更近一些
C．在x 和1.5之间有5 个整数
D．x 比3
- 大
二、填空题
6．把下列各数填入相应的集合中：
3
+ ，
1
4 3
-
，1.9
-
，0.17 ，0，8
- ，123
+
．
正有理数集合{_______________}；
负分数集合{_______________}；
整数集合{_______________}；
非负整数集合{_______________}．
7．点A
B
、分别是数3
12
-
-
，
在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动到A B
¢ ¢ ，且线段A B
¢ ¢ 的中点对
应的数是3，则点A¢对应的数是___________，点A 移动的距离是___________．
8．如图，圆的周长为4 个单位长度，在该圆的4 等分点处分别标上0,1,2,3．先让圆周上表示数字0 的点与
数轴上表示1
- 的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2025 的点与圆周上重合的点表示的数字
是____________．
9．化简：
5
- + -
é
ù
ë
û =_______；
28
35
-
-
=_______．
10．如果x 为有理数，式子2026
2
x
-
-
存在最大值，这个最大值是__________．
三、解答题
11．将下列各数填在相应的括号里：
2
- 、5、0.3
-
、
1
7
-
、3.14、0、102、17
-
、
5
16
-
、p
-
分数集合：{ }；
非正有理数集合：{ }；
负数集合：{ }
12．探索研究：
(1)比较下列各式的大小（用“<”或“ >”或“=”连接）．
①
1
4
+ +
__________
1
4
+ +
；
②
6
3
-
+ -
__________
6
3
- -
；
③10
3
+ - __________ 10
3
-
；
④0
8
+ - __________ 0
8
-
(2)通过以上比较，请你分析､归纳出当,a b 为有理数时，a
b
+
__________ a
b
+
（用“<”或“ >”或“=”或“≥”或
“≤”连接）．
(3)根据（2）中得出的结论，当
2025
2025
x
x
+
=
-
时，则x 的取值范围是__________．
13．【总结提炼】
小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当
0
a >
时，a
a
=
，则
1
a
a
a
a
=
= ；当
0
a <
时，
a
a
= - ，则
1
a
a
a
a
-
=
= - ．
【解决问题】
（1）若
0
ab >
，则
a
b
a
b
+
= ．
（2）若
0
abc <
，则
a
c
b
a
b
c
+
+
= ．
【拓展提升】
（3）若
1
a
abc
ab
abc
ab
a
+
+
= ，计算：
b
a c
bc
bc
b
a c
-
-
= _________．
14．阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道5
3
-
可以表示5 与3 之差的绝对值，同时也可以理
解为5 与3 两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，
5
2
- -
可以表示5 与2
- 之差的绝对值．
(1) 4 1
-
表示数轴上_____与_____所对应的两点之间的距离；
(2)
5
x -
表示数轴上有理数x 所对应的点到______所对应的点之间的距离；
2
x +
表示数轴上有理数x 所对
应的点到________所对应的点之间的距离；
(3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x ，使得
2
5
7
x
x
+
+
-
=
．这样的整数x 有________；
(4)利用绝对值的几何意义，写出
3
2
5
x
x
x
+
+
-
+
-
的最小值为________．
15．阅读下列材料并解决问题：
数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个
有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意
义．若在数轴上有理数a 对应的点为A ，有理数b 对应的点为B ，则A ，B 两点之间的距离可表示为a
b
-
或b
a
-
，记为AB
a
b
b
a
=
-
=
-
．如式子
3
x -
的几何意义是数轴上表示有理数3 的点与表示有理数x 的
点之间的距离．
根据上述材料，回答下列问题：
(1) 2
- 与3 的距离是_________；
(2)式子
2
3
x
x
+
+
-
的最小值是多少？
(3)应用：某一直线沿街有2014 户居民（相邻两户居民间隔相同）：
1A ，
2
A ，
3A ，
4A ，
5A ，
2014
A
L
，某餐
饮公司想为这2014 户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P ，点P 选在_________，才能使这2014
户居民到点P 的距离总和最小．
