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第三十章 直线与圆的位置关系
知识点一 直线与圆的位置关系
设圆的半径为 𝑟，圆心到直线的距离为 𝑑（垂线段长度），分为三种位置：
1. 相离
𝑑> 𝑟，直线与圆没有公共交点；
2. 相切
𝑑= 𝑟，直线与圆仅有 1 个公共点，这条直线叫做圆的切线，公共点称作切点；
3. 相交
𝑑< 𝑟，直线与圆有2 个公共交点，这条直线叫做圆的割线。
判定两种方法：
① 数量判定：比较 𝑑 与 𝑟 的大小（最常用）；
② 交点个数判定：数直线和圆公共点数量。
知识点二 圆的切线（本章核心重难点）
1. 切线的判定定理
经过半径的 外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
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判定做题两种常用思路：
（1）有公共点：连半径，证垂直；连接圆心与交点，证明夹角90°；
（2）无公共点：作垂直，证半径；过圆心向直线作垂线，证明垂线段长度等于半径。
2. 切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径。
辅助线口诀：见到切线，立刻连接圆心和切点，得到垂直关系。
3. 切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线：
① 两条切线长度相等；
② 圆心和该点的连线平分两条切线的夹角。
知识点三 三角形的内切圆
1. 定义：与三角形三条边都相切的圆，叫做三角形的内切圆；内切圆圆心叫做三角形的 内心。
2. 内心位置：三角形三条角平分线的交点。
3. 内心核心性质：
① 内心到三角形三边距离相等，距离长度就是内切圆半径 𝑟；
② 内心永远在三角形内部；
③ 内心平分三角形三个内角。
4. 直角三角形内切圆半径公式：
设直角边 𝑎, 𝑏，斜边 𝑐，𝑟=
𝑎+𝑏−𝑐
2
任意三角形：𝑆=
1
2 (𝑎+ 𝑏+ 𝑐)𝑟（𝑆 为三角形面积）
知识点四 正多边形与圆
1. 基本概念
把一个圆 𝑛 等分，顺次连接各分点，可得到圆的内接正 𝑛 边形；这个圆叫做正多边形的外接圆。
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2. 正多边形四大要素
外接圆半径 𝑅：正多边形顶点到中心的距离；
边心距 𝑟：中心到正多边形一条边的垂线段长（也是内切圆半径）；
中心角：相邻两条半径的夹角，度数：
𝟑𝟔𝟎∘
𝐧；
边长：正多边形每条边长度。
1. 计算方法：
正多边形可被半径拆分为 𝑛 个全等等腰三角形，取一半得到直角三角形，利用勾股定理、三角函
数可求边长、边心距、周长、面积。
2. 常见：正三角形、正方形、正六边形计算为高频考点。
易错点1 直线与圆的位置关系的判定
易错提醒
易错点总结
1. 混淆 d（圆心到直线距离）与普通线段长，误用斜边长代替垂线段距离，导致判定完全错误。
2. 记反大小关系：把 d>r 当成相交，d<r 当成相离，口诀记反。
3. 仅凭图像目测位置，不计算 d 与 r，看图判断极易出错。
4. 分不清相切、相交的交点个数，记错数量特征。
注意事项总结
1. 判定唯一标准：必须是圆心到直线的垂线段距离 d，不是任意线段。
2. 铁律口诀：大大离、小小交、等就切，d>r 相离；d=r 相切；d<r 相交
3. 做题必须计算对比，禁止肉眼看图判断。
4. 牢记交点数：相离0 个、相切1 个、相交2 个。
【对点训练】1．在矩形ABCD中，
3
AB =
，
4
BC =
，动点O在对角线AC 上．如果以点O为圆心，以1 为
半径长的
O
与边AB 有两个公共点，那么线段OA的取值范围是（ ）
A．
5
1
4
OA
B．
5
1
4
OA
C．
5
1
4
OA
D．
5
1
4
OA
【答案】D
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【分析】先利用矩形性质和勾股定理求出对角线AC 的长度，再通过相似三角形得到圆心O 到AB 的距离与
OA的关系，结合圆与线段AB 有两个公共点的条件，推导得到OA的取值范围．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
3
AB =
，
4
BC =
，
90
ABC
=
∴
2
2
2
2
3
4
5
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
过点O作OE
AB
⊥
于E
∵OE
AB
⊥
，
90
ABC
=
∴OE
BC
∥
∴AOE
ACB
∽
∴OE
OA
BC
AC
=
，
即4
5
OE
OA
=
，
整理得
4
5
OE
OA
=
∵
O
半径为1，且
O
与边AB （线段AB ）有两个公共点
∴需满足两个条件：①直线AB 与
O
相交，②端点A在
O
外（或圆上）．
①直线AB 与
O
相交，即圆心到AB 的距离小于半径则
1
OE ，
∴4
1
5 OA ，
解得
5
4
OA
②端点A在
O
外（或圆上），则
1
OA
综上，
5
1
4
OA
．
易错点2 切线判定与性质综合
易错提醒
易错点总结
1. 切线判定缺少条件：只证垂直，忘记说明“半径外端”，条件不全扣分。
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2. 两种辅助线方法乱用：有公共点却作垂线、无公共点却连半径，方法错位。
3. 切线性质不会用：遇切线不会连圆心切点，错失直角条件，无法解题。
4. 综合题中跳步证明，垂直关系推导不严谨，逻辑扣分。
注意事项总结
1. 切线判定两种满分模板：
① 有点：连半径，证垂直（已知直线过圆上一点）
② 无点：作垂直，证半径（未知交点）
2. 判定定理缺一不可：过半径外端 + 垂直半径 同时满足才是切线。
3. 见到切线第一反应：连圆心与切点，得90°直角。
4. 证明过程必须写全关键条件，不跳步。
【对点训练】2．如图，AB 是
O
的直径，C 点在
O
上，AD平分
BAC
交
O
于D，过D 作直线AC 的
垂线，交AC 的延长线于E，连接
,
BD CD ．
(1)求证：BD
CD
=
；
(2)求证：直线DE 是
O
的切线；
(3)若DE =
3 ，
4
AB =
，求AD的长．
【答案】(1)证明：∵在
O
中，AD平分
BAC
，
∴
CAD
BAD
=
，
∴BD
CD
=
；
(2)证明：连接半径OD ，如图1 所示：
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则OD
OA
=
，
∴
OAD
ODA
=
，
∵DE
AC
⊥
于E，
在Rt
ADE
△
中，
90
EAD
ADE
+
=
，
由（1）知
EAD
BAD
=
，
∴
90
BAD
ADE
+
=
，
∴
90
ODA
ADE
+
=
，
∴OD
DE
⊥
，
∴DE 是
O
的切线；
(3)2 3
【分析】（1）证
CAD
BAD
=
，根据圆中弧、弦、角的关系即可求解；
（2）连接半径OD ，可得
OAD
ODA
=
；根据
90
EAD
ADE
+
=
、
EAD
BAD
=
即可求证；
（3）过点D作DF
AB
⊥
于F，可得
3
=
=
DF
DE
，在Rt ODF
中求出OF 可推出
30
ODF
=
，
60
DOB
=
，
据此即可求解．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：过点D 作DF
AB
⊥
于F，如图2 所示：
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∵AD平分
BAC
交
O
于D，DE
AC
⊥
于E，
∴
3
=
=
DF
DE
，
∵
4
AB =
，
∴半径
2
OD =
，
在Rt ODF
中，
2
2
1
OF
OD
DF
−
=
=
∴
30
ODF
=
，
∴
60
DOB
=
，
∵OD
OB
=
，
∴OBD
是等边三角形，
∴
1
OF
FB
=
= ，
∴
4 1
3
AF
AB
FB
=
−
=
−= ，
在Rt
ADF
△
中，
2
2
2 3
AD
AF
DF
=
+
=
．
易错点3 切线长定理的应用
易错提醒
易错点总结
1. 记错定理：误以为任意两条切线都相等，忽略必须是圆外同一点引出的两条切线。
2. 只记得切线长相等，忘记“圆心与外点连线平分夹角”，漏用角度条件。
3. 双切线图形不会找全等、等腰三角形，无法进行边角计算。
4. 多切线复杂图形，找错对应切线，线段等量代换混乱。
注意事项总结
1. 切线长定理适用前提：同一个圆、同一个圆外点引出两条切线。
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2. 两大结论同时用：①切线长相等 ②连线平分夹角。
3. 双切线模型必有：等腰三角形、直角三角形、全等三角形。
4. 周长题型常用：切线长等量替换，实现边长抵消简化计算。
【对点训练】3．如图，在Rt ABC
中，
90
ACB
=
，
6
BC =
，
8
AC = ，
O
是ABC
的内切圆，DE 是
O
的切线，交AB ，AC 分别于点
,
D E ．则ADE
的周长为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．13
【答案】C
【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，正方形的判定与性质，勾股定理，设
O
与Rt ABC
三边
,
,
AB BC AC 的切点分别为
,
,
F G H ，DE 与
O
的切点为Q ，连接
,
,
BO AO CO ，设
O
的半径为r ，则
,
DF
DQ EQ
EH
=
=
，
,
,
BF
BG CG
CH AF
AH
=
=
=
，得到ADE
的周长为2AH ，勾股定理求出
10
AB =
，
利用
ABC
ABO
ACO
BCO
S
S
S
S
=
+
+
，求出
2
r =
，证明四边形OGCH 是正方形，得到
2
CH
OH
r
=
=
=
，求出
6
AH
AC
CH
=
−
=
，即可得到结果．
【详解】解：如图，设
O
与Rt ABC
三边
,
,
AB BC AC 的切点分别为
,
,
F G H ，DE 与
O
的切点为Q ，连
接
,
,
BO AO CO ，设
O
的半径为r ，
则
,
DF
DQ EQ
EH
=
=
，
,
,
BF
BG CG
CH AF
AH
=
=
=
，
∴ADE
的周长为
2
AD
AE
DE
AD
AE
DQ
EQ
AD
AE
DF
EH
AF
AH
AH
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
，
∵在Rt ABC
中，
90
ACB
=
，
6
BC =
，
8
AC = ，
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∴
2
2
10
AB
BC
AC
=
+
=
，
∵
,
,
OF
AB OG
BC OH
AC
⊥
⊥
⊥
，
∴
ABC
ABO
ACO
BCO
S
S
S
S
=
+
+
，
∴1
1
1
1
·
·
·
·
2
2
2
2
AC BC
AB r
BC r
AC r
=
+
+
，
∴
·
8 6
2
10
6 8
AC BC
r
AB
BC
AC
=
=
=
+
+
+ +
，
∵
90
ACB
OHC
OGC
=
=
=
，
∴四边形OGCH 是矩形，
∵OG
OH
=
，
∴四边形OGCH 是正方形，
∴
2
CH
OH
r
=
=
=
，
∴
6
AH
AC
CH
=
−
=
，
∴ADE
的周长为2
12
AH =
．
故选：C．
易错点4 三角形的内切圆
易错提醒
易错点总结
1. 混淆内心与外心：内心看成垂直平分线交点、外心看成角平分线交点。
2. 乱用内切圆半径公式，直角三角形与普通三角形公式混用。
3. 误解内心性质：误以为内心到顶点距离相等（实际是到三边距离相等）。
4. 面积公式 𝑆=
1
2 (𝑎+ 𝑏+ 𝑐)𝑟 记不牢，计算出错。
注意事项总结
1. 区分口诀：内心角分线（切三边），外心中垂线（过三顶点）。
2. 内心唯一性质：到三角形三边距离相等，永远在三角形内部。
3.公式区分：
①直角三角形：𝑟=
𝑎+𝑏−𝑐
2
②任意三角形：𝑆=
1
2 𝐶𝑟（𝐶为周长）
4. 求内切圆半径优先用面积法，通用万能。
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【对点训练】4．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
=
C
，
O
是ABC
的内切圆，切点分别是D 、E 、F ．
(1)连接OA、OB ，则
AOB
=______．
(2)若
6
BD =
，
4
AD =
，求
O
的半径．
(3)在（2）的条件下，Rt
ABC
△
的外心和内心的距离等于______．
【答案】(1)135
(2) 2
(3) 5
【分析】（1） 内心O是三角形三条角平分线的交点，故OA平分
CAB
，OB 平分
CBA
．在Rt
ABC
△
中，
90
CAB
CBA
+
=
，因此
45
OAB
OBA
+
=
，再由三角形内角和定理得
135
AOB
=
．
（2）设半径为r，由切线长定理得
6
BE
BD
=
=
，
4
AF
AD
=
=
，
=
=
CE
CF
r ．于是三边可表示为
4
AC
r
=
+ ，
6
BC
r
=
+ ，
10
AB =
．利用勾股定理建立关于r 的方程，即可求得答案．
（3）由（2）知
6
AC =
，
8
BC = ，
10
AB =
．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边AB 的中点为M ，则
M 到切点D的距离为1，而
2
OD
r
=
=
且OD
AB
⊥
，在Rt OMD
中利用勾股定理可求得外心与内心的距离．
【详解】（1）解：
O
是ABC
的内切圆，
OA
平分
CAB
，OB 平分
CBA
，
在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
90
CAB
CBA
+
=
，
1 (
)
45
2
OAB
OBA
CAB
CBA
+
=
+
=
，
180
45
135
AOB
=
−
=
．
（2）解：设半径为r，连接OE 、OF ，
O
是ABC
的内切圆，切点分别为D 、E 、F ，
由切线长定理得：
6
BE
BD
=
=
，
4
AF
AD
=
=
，CE
CF
=
，
90
C
=
，OE
BC
⊥
，OF
AC
⊥
，
四边形OECF 是正方形，
=
=
CE
CF
r ，
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4
AC
AF
CF
r
=
+
=
+ ，
6
BC
BE
CE
r
=
+
=
+ ，
4 6
10
AB
AD
BD
=
+
=
+
=
，
在Rt
ABC
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
(4
)
(6
)
10
r
r
+
+
+
=
，
解得：
2
r =
或
12
r = −
（舍去负值），
O
的半径
2
r =
．
（3）解：由（2）知
6
AC =
，
8
BC = ，
10
AB =
，
设斜边AB 的中点为M ，则M 是Rt
ABC
△
的外心，
分别连接
,
OM OD ，
4
AD =
，
10
AB =
，
1
5
2
AM
AB
=
=
，
5 4
1
MD
AM
AD
=
−
= −
= ，
OD
是内切圆半径，OD
AB
⊥
，
2
OD
r
=
=
，
在Rt OMD
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
2
1
5
OM
OD
MD
=
+
=
+
=
，
Rt ABC
的外心和内心的距离为5 ．
易错点5 正多边形与圆的综合
易错提醒
易错点总结
1. 混淆概念：外接圆半径𝑅、边心距𝑟、边长三者对应错乱。
2. 中心角度数计算错误，忘记公式 360∘
𝑛。
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3. 不会构造直角三角形，无法用勾股、三角函数求边长、边心距。
4. 正六边形、正三角形特殊值记忆错误，导致填空选择题丢分。
注意事项总结
1. 概念分清：
①外接圆半径𝑅：顶点到中心
②边心距𝑟：中心到边长（内切圆半径）
2. 中心角万能公式：360∘÷ 边数。
3. 所有正多边形计算通用方法：
4. 取等腰三角形一半 → 构造直角三角形求解。
5. 熟记特例：
①正六边形边长 = 外接圆半径
②正四边形中心角 90∘
③正三边形中心角 120∘
【对点训练】5．窗花是我们节日装饰的元素之一．如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而
成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点O为正六边形的中心，AB 所在圆的圆心C 恰好是ABO
的内
心，且
4
AC =
．
(1)猜想ABO
的形状，并说明理由．
(2)求图中阴影部分的面积．（结果保留π ）
【答案】(1)等边三角形，见解析
(2)32
24 3
−
【分析】（1）根据正六边形的性质，求出圆心角
60
AOB
=
，再由等边三角形的判定定理得出结论；
（2）根据三角形内心的性质以及直角三角形的边角关系求出AB 所对应的圆心角的度数及半径，由扇形面
积公式求出扇形AOB的面积，再求出ACB
的面积，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：ABO
为等边三角形．
理由：六条等弧对应的弦构成一个正六边形，点O为正六边形的中心，
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360
60
6
AOB
=
=
．
OA
OB
=
．
AOB
是等边三角形．
（2）解：如图，过点C 作CM
AB
⊥
，垂足为M ．
∵点C 是AOB
的内心，
1
60
30 ,
2
120
2
CAB
CAO
ACB
AOB
=
=
=
=
=
，
2
120π 4
16π
360
3
ACB
S
=
=
扇形
，
在Rt ACM
中，
4,
30
AC
CAM
=
=
，
1
cos30
2 3,
2
2
AM
AC
CM
AC
=
=
=
=
，
CM
AB
⊥
，
2
4 3
AB
AM
=
=
，
1
1
4 3 2
4 3
2
2
ACB
S
AB CM
=
=
=
，
(
)
16π
6
6
4 3
32
24 3
3
ACB
ACB
S
S
S
=
−
=
−
=
−
阴影
扇形
．
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一、单选题
1．如图，
O
是ABC
的内切圆，
117
BOC
=
，则
A
的度数为（ ）
A．54
B．55
C．56
D．60
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理可得
63
OBC
OCB
+
=
，再由三角形内切圆的性质可得
(
)
2
126
ABC
ACB
OBC
OCB
+
=
+
=
，即可求解．
【详解】解：∵
117
BOC
=
，
∴
180
63
OBC
OCB
BOC
+
=
−
=
，
∵
O
是ABC
的内切圆，
∴
,
OB OC 平分
,
ABC
ACB
，
∴
2
,
2
ABC
OBC
ACB
OCB
=
=
，
∴
(
)
2
2
2
126
ABC
ACB
OBC
OCB
OBC
OCB
+
=
+
=
+
=
，
∴
(
)
180
180
126
54
A
ABC
ACB
=
−
+
=
−
=
．
2．如图，PA、PB分别与
O
相切于A、B ，
60
P
=
，C 为
O
上一点，则
ACB
的度数为（ ）
A．110
B．120
C．125
D．130
【答案】B
【分析】连接
,
OA OB，在优弧AB 上取点D ，连接
,
AD BD ，根据切线的性质，圆周角定理以及圆内接四边
形的性质，进行求解即可.
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15 /
【详解】解：如图所示，连接
,
OA OB，在优弧AB 上取点D ，连接
,
AD BD ，
AP
、BP是
O
切线，
90
OAP
OBP
=
=
，
360
90
90
60
120
AOB
=
−
−
−
=
，
1
60
2
ADB
AOB
=
=
，
又∵圆内接四边形的对角互补，
180
180
60
120
ACB
ADB
=
−
=
−
=
．
3．如图所示，在Rt
ABC
△
中，已知
90
C
=
，
8cm
AC =
，
6cm
BC =
，则其内心O 和外心M 之间的距离
是（ ）
A．10cm
B．5cm
C．5cm
D．2cm
【答案】C
【分析】设圆与各边的切点分别为E，F，N，连接
,
,
OE OF ON ，根据切线的性质，证明四边形OECF 是正
方形，设
,
AE
AN
x BN
BF
y
=
=
=
=
，OE
OF
CE
CF
r
=
=
=
= ，得
8
6
10
x
r
y
r
x
y
+
=
+
=
+
=
，根据解方程组，勾股定理求
解即可．
【详解】解：设圆与各边的切点分别为E，F，N，
连接
,
,
OE OF ON ，
根据切线的性质，得
90
C
OEC
OFC
ONM
=
=
=
=
，
故四边形OECF 是矩形，
OE
OF
ON
=
=
，
四边形OECF 是正方形，
OE
OF
CE
CF
=
=
=
，
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16 /
根据切线长定理，得
,
AE
AN BN
BF
=
=
，
设
,
AE
AN
x BN
BF
y
=
=
=
=
，OE
OF
CE
CF
r
=
=
=
= ，
90
C
=
，
8cm
AC =
，
6cm
BC =
，
2
2 =10cm
AB
AC
BC
=
+
，
故
8
6
10
x
r
y
r
x
y
+
=
+
=
+
=
，
解得
6
4
2
x
y
r
=
=
=
，
点M 是圆的外心，
故点M 是斜边的中点，
故
5
MB =
，
5
4
1
MN
MB
BN
=
−
= −
=
连接OM ，
根据勾股定理，得
(
)
2
2
2
1
5 cm
OM =
+
=
，
故选：C．
4．如图，正五边形ABCDE 内接于
O
，P 为BC 上的一点（点P 不与点C 重合），则
CPD
的度数为（ ）
A．36
B．45
C．60
D．72
【答案】A
【分析】先求得中心角
72
COD
=
，进而根据圆周角定理，即可求解．
【详解】解：∵正五边形ABCDE 内接于
O
，
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17 /
∴
1 360
72
5
COD
=
=
，
∵
CPD
与
COD
分别是
CD所对的圆周角和圆心角，
∴
1
36
2
CPD
COD
=
=
．
5．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1．扇形EAC （阴影部分）的面积为（ ）
A．π
8
B．
3π
2
C．π
2
D．π
【答案】C
【分析】先根据正六边形的内角公式，求得
120
BAF
=
，进而求出
CAB
、FAE
，于是可求出扇形的圆
心角，再在ABC
中过点B 作BG
AC
⊥
于G ，利用已知条件先求出AG ，再求出AC ，最后利用扇形的面积
公式即可求得结果．
【详解】解：正六边形ABCDEF 的边长为1，
(
)
6
2
180
120
6
FAB
B
−
=
=
=
，AB
BC
=
，
180
120
30
2
BAC
BCA
−
=
=
=
，
同理可得：
30
FAE
=
，
120
30
30
60
EAC
FAB
FAE
BAC
=
−
−
=
−
−
=
，
过点B 作BG
AC
⊥
于G ，
AB
BC
=
，
1
2
AG
GC
AC
=
=
，
30
BAC
=
，
1
1
2
2
BG
AB
=
=
，
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2
2
2
2
1
3
1
2
2
AG
AB
BG
=
−
=
−
=
，
2
3
AC
AG
=
=
，
扇形EAC （阴影部分）的面积
(
)
2
60π
3
π
360
2
=
=
．
二、填空题
6．已知点A坐标为(
)
1, 3
−
，如果半径为r 的
A
与x 轴无公共点，与y 轴有公共点，那么r 的取值范围是
_________．
【答案】1
3
r
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；根据圆与坐标轴的位置关系，利用圆心到直线的距离与半径的
关系列不等式求解．
【详解】解：圆心
(
)
1, 3
A
−
到x 轴的距离为
3
3
−
=
，
由于圆与x 轴无公共点，
故圆心到x 轴的距离大于半径，即
3
r ；
圆心到y 轴的距离为1，由于圆与y 轴有公共点，
故圆心到y 轴的距离小于或等于半径，即
1
r ；
因此，r 的取值范围是1
3
r
．
故答案为：1
3
r
．
7．如图，PA，PB是
O
的两条切线，A，B 是切点，C 是AB 上一点，过点C 画
O
的切线，分别交PA，
PB于点D，E，
12cm
PA=
，则PDE
的周长是________cm．
【答案】24
【详解】解：
PA
和PB是
O
的两条切线，
12
PA
PB
=
=
，
同理可得：DA
DC
=
，EB
EC
=
，
PDE
△
的周长
PD
DE
PE
=
+
+
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PD
DC
EC
PE
=
+
+
+
PD
DA EB
PE
=
+
+
+
(
)
m
24 c
PA
PB
=
+
=
．
8．如图，
O
是ABC
的内切圆，与AB ，BC ，CA 的切点分别为D ，E ，F ，若
110
BDE
CFE
+
=
，
则
A
的度数是________．
【答案】40
【分析】根据切线长定理得到BD
BE
=
，CE
CF
=
，然后结合等边对等角和三角形内角和定理求解．
【详解】解：∵
O
是ABC
的内切圆，与AB ，BC ，CA 的切点分别为D ，E ，F ，
∴BD
BE
=
，CE
CF
=
，
∴
BDE
BED
=
，
CFE
CEF
=
，
∵
110
BDE
CFE
+
=
，
∴
110
BED
CEF
+
=
，
∴
220
BDE
CFE
BED
CEF
+
+
+
=
∴
(
)
360
140
B
C
BDE
CFE
BED
CEF
+
=
−
+
+
+
=
∴
(
)
180
40
A
B
C
=
−
+
=
．
三、解答题
9．如图，AB 是
O
的直径，DC 是
O
的切线，切点是D，过点A 的直线与DC 交于点C．
(1)求证：
2
AOD
ADC
=
．
(2)若CO
AD
⊥
，求证：AC 是
O
的切线．
【答案】(1)
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证明：∵OA
OD
=
，
∴
OAD
ADO
=
，
∵DC 是
O
的切线，切点是点D，
∴
90
ODC
=
，
∴
(
)
180
2
180
2 90
2
AOD
ADO
ADC
ADC
=
−
=
−
−
=
；
(2)
连接CO，
∵CO
AD
⊥
，OA
OD
=
，
∴CO是AD的垂直平分线，
∴AC
DC
=
，
∵CO
CO
=
，
∴
(
)
AOC
DOC SSS
≌
，
∴
90
OAC
ODC
=
=
，
∵点A在
O
上，
∴AC 是
O
的切线．
【分析】此题考查了圆的切线的性质定理和判定，圆的半径相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，全
等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）利用圆的半径相等得到
OAD
ADO
=
，根据切线的性质得
90
ODC
=
，即可证明；
（2）连接CO，由CO
AD
⊥
，OA
OD
=
，得到AC
DC
=
，证明
AOC
DOC
△
≌△
，得到
90
OAC
ODC
=
=
，
即可证明．
【详解】（1）略
（2）略
10．如图，AB 是
O
的直径，弦CD
AB
⊥
于点E，F 为AB 延长线上一点，且FC 与
O
相切，连接CA ，CB ．
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21 /
(1)求证：CB 平分
FCD
；
(2)若
2
BC
BF
=
=
，求劣弧AD 的长度（结果保留π ）．
【答案】(1)证明：如图，连接OC ，
FC
与
O
相切，
OC
CF
⊥
，
即
90
OCF
=
，
90
OCB
BCF
+
=
，
CD
AB
⊥
∵
，AB 是直径，
,
90
CE
DE
BEC
=
=
90
BCE
OBC
+
=
，
OB
OC
=
，
OCB
OBC
=
，
BCE
BCF
=
，
即CB 平分
FCD
；
(2) 4
3
【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质得到OC
CF
⊥
，即
90
OCF
=
，根据直角三角形的性质得到
,
90
CE
DE
BEC
=
=
，求得
90
BCE
OBC
+
=
，等量代换得到
BCE
BCF
=
，根据角平分线的定义得
到BC 平分
DCF
；
（2）连接OD ，证明
OBC
△
为等边三角形，即可求得
120
AOD
=
，即可解答．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接OD ，
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22 /
2
BC
BF
=
=
，
BCF
F
=
，
90
OCB
BCF
F
COF
+
= +
=
，
OCB
COF
=
，
OC
OB
=
，
OCB
OBC
COF
=
=
，
OBC
为等边三角形，
60
COB
=
，
2
OB
AO
BC
=
=
=
，
,
OC
OD OE
CE
=
⊥
，
60
COB
DOB
=
=
，
180
120
AOD
DOB
=
−
=
，
劣弧AD 的长度为120
4
2 2
360
3
=
．
11．如图，AB 是
O
的直径，弦CD
AB
⊥
，垂足为H ．E 为BD上一点，连接AE 交CD于点F ，EF 的垂
直平分线交CD的延长线于点G ，连接GE ．
(1)若
O
的半径为3，
2
AH =
，求CD的长；
(2)求证：EG 是
O
的切线．
【答案】(1)4 2 ；
(2)证明：连接OE ，
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23 /
∵点G 在EF 的垂直平分线上，
∴GE
GF
=
，
∴
GEF
GFE
=
，
∵
GFE
AFH
=
，
∴
GEF
AFH
=
，
∵CD
AB
⊥
，
∴
90
AHF
=
，
∴
90
A
AFH
+
=
，
∵OA
OE
=
，
∴
A
OEA
=
，
∴
90
OEA
GEF
+
=
，
∴
90
OEG
=
，
∴OE
EG
⊥
，
∵OE 是
O
半径，
∴EG 是
O
的切线。
【分析】（1）连接OC ，先求出OH 长度，利用垂径定理得
1
2
CH
DH
CD
=
=
，再在Rt OCH
中由勾股定理
算出CH ，进而求出CD；
（2）连接OE ，由垂直平分线性质得GE
GF
=
，等边对等角得
GEF
GFE
=
，结合CD
AB
⊥
推出
90
A
AFH
+
=
，再利用OA
OE
=
得
A
OEA
=
，等量代换证明
90
OEG
=
，依据切线判定定理证EG 为
切线。
【详解】（1）解：连接OC ，
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24 /
∵
O
半径为3，
∴
3
OC
OA
=
= ，
∵
2
AH =
，
∴
3 2
1
OH
OA
AH
=
−
= −
= ，
∵CD
AB
⊥
，AB 为直径，
∴
90
OHC
=
，
2
CD
CH
=
，
在Rt OCH
中，
2
2
2
2
3
1
2 2
CH
OC
OH
=
−
=
−
=
，
∴
2 2 2
4 2
CD =
=
；
（2）略
12．如图，已知AB 是
O
的直径，点C 为
O
上一点，过点C 的切线交BA延长线于点P ，且PC
BC
=
．
(1)求证：AP
AC
=
；
(2)过点C 作CD
AB
∥
交
O
于点D，若
8
AB =
，求CD的长．
【答案】(1)证明：连接OC ，
∵点C 为
O
上一点，过点C 的切线交BA延长线于点P ，
∴
90
OCP
=
，即
90
OCA
PCA
+
=
，
∵AB 是
O
的直径，
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25 /
∴
90
ACB
=
，
∴
90
OCA
BCO
+
=
，
∴
BCO
PCA
=
，
∵PC
BC
=
，
∴
P
B
=，
∵OB
OC
=
，
∴
B
BCO
P
=
= ，
∴
P
PCA
=
，
∴AP
AC
=
；
(2) 4
【分析】（1）连接OC ，证明
90
ACB
=
，BCO
PCA
=
，P
B
=，进一步可得
B
BCO
P
=
= ，可
得
P
PCA
=
，可证明AP
AC
=
；
（2）连接OD ，证明ACO
与
COD
△
是等边三角形，即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接OD ，
∵
90
OCP
=
，
∴
90
P
POC
PCA
OCA
+
=
+
=
，
∵
P
PCA
=
，
∴
POC
OCA
=
，
∴AC
AO
CO
=
=
，
∴ACO
是等边三角形，
∴
60
AOC
=
，
∵CD
AB
∥
，
∴
60
OCD
AOC
=
=
，
∵
1
4
2
OC
OD
AB
=
=
=
，
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26 /
∴
COD
△
是等边三角形，
∴
4
CD
CO
=
=
．
13．如图，AB 是
O
的直径，射线BC 交
O
于点D，E 是劣弧AD上一点，且
AE
DE
=
，过点E 作EF
BC
⊥
于点F，延长FE和BA的延长线交于点G．
(1)证明：GF 是
O
的切线；
(2)若
6,
6 2
AG
GE
=
=
，求
O
的半径．
【答案】(1)证明：如图，连接OE ，
∵
AE
DE
=
，
∴
ABE
CBE
=
，
∵OE
OB
=
，
∴
OBE
OEB
=
，
∴
OEB
FBE
=
，
∴BF
OE
∥
，
∵EF
BC
⊥
，
∴
90
BFE
=
，
∴
90
BFE
OEG
=
=
，
∴OE
GE
⊥
，
∴GF 是
O
的切线
(2)3
【分析】
（1）连接OE ，因为AE
DE
=
，所以对应的圆周角相等，可推出OE 与BC 的平行关系；又因为EF
BC
⊥
，
小学
初中
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27 /
所以OE
EF
⊥
，结合OE 是半径，根据切线判定定理即可证明；
（2）设
O
半径为r ，则
6
GO
GA
AO
r
=
+
= + ，因为OE
GE
⊥
，所以GOE
是直角三角形，根据勾股定理
列方程即可求解r ．
【详解】（1）略．
（2）解：设
O
的半径为r，
6,
6 2
AG
GE
=
=
，
∵在Rt
GOE
△
中，
2
2
2
OE
GE
OG
+
=
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
6 2
6
r
r
+
=
+
，
解得
3
r = ，
即
O
的半径为3．
14．如图，直线AB 经过
O
上的点C，并且
,
OA
OB CA
CB
=
=
．
(1)求证：直线AB 是
O
的切线．
(2)若
90 ,
2
AOB
OA
=
=
，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明：连接OC ，
∵直线AB 经过
O
上的点C，
,
OA
OB CA
CB
=
=
，
∴OC
AB
⊥
，
又∵OC 为
O
的半径，
∴直线AB 是
O
的切线．
(2)
1
2
π
2
−
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28 /
【分析】（1）连接OC ，三线合一得到OC
AB
⊥
，即可得出结论；
（2）用直角三角形的面积减去扇形的面积即可得出结果.
【详解】（1）略
（2）解：∵
90 ,
2
AOB
OA
=
=
，
,
OA
OB CA
CB
=
=
，
∴
2
2
1
2 2,
2
2
AB
OA
OB
OC
AB
=
+
=
=
=
，
∴阴影部分的面积
(
)
2
2
1
90
1
90
1
π
2 2
π
2
2
π
2
360
2
360
2
OA OB
OC
=
−
=
−
=
−
.
15．如图1，在矩形ABCD 中（AB
AD
），对角线AC ，BD相交于点O，点A 关于BD的对称点为A．连
接AA交BD于点E，连接CA．
(1)求证：AA
CA
⊥
；
(2)以点O 为圆心，OE 为半径作圆．
①如图2，若
O
与CD相切于点F，求
BAC
的度数；
②若
2
AD =
，
O
与CA相切，则
O
的面积为 ．
【答案】(1)见解析
(2)①30；②(
)
2
2
+
【分析】（1）由点A关于BD的对称点为A可知点E 是AA的中点，
90
AEO =
∠
，从而得到OE 是ACA
的
中位线，继而得到OE
A C
∥
，从而证明AA
CA
⊥
；
（2）①连接
,
,
A D OF A B
，证明A BA
是等边三角形，得到
60
A AB
=
，由AC 是AAB
的角平分线即可
得到答案；②设
O
与A C
相切于点Q，连接
,
A D A O
，证明四边形A EOQ
是正方形，证明AEO
是等腰
直角三角形，设
,
AE
EO
m
=
=
则
2
AO
OD
m
=
=
，
(
)
2 1
DE
DO
EO
m
=
−
=
−
，解得
2
2
2
m =
+
,即可求出
答案．
【详解】（1）证明：∵点A关于BD的对称点为A，
∴点E 是AA的中点，
90
AEO =
∠
，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴O 是AC 的中点，
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29 /
∴OE 是ACA
的中位线，
∴OE
A C
∥
∴
90
AA C
AEO
=
=
，
∴AA
CA
⊥
（2）①连接
,
,
A D OF A B
，
∵
O
与CD相切于点F，
∴OF
CD
⊥
，
∵AD
CD
⊥
，
∴OF
AD
∴OF 是ACD
的中位线，
2
AD
OF
=
∵EO是ACA
的中位线，
2
2
A C
OE
OF
=
=
，
∴AD
A C
=
∴A O
是CD的垂直平分线，也是矩形ABCD的对称轴，
∴AA
AB
= ，
根据轴对称的性质，A B
AB
=
，
∴A BA
是等边三角形，
∴
60
A AB
=
∵AA
CA
⊥
，CB
AB
⊥
，AC
AD
BC
=
=
∴AC 是
AAB
的角平分线，
∴
1
30
2
BAC
A AB
=
=
②如图，设
O
与A C
相切于点Q，连接
,
A D A O
，
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30 /
根据切线长定理得到A E
A Q
=
，
由（1）可知，AA
CA
⊥
，则
90
EA Q
A EQ
A QO
=
=
=
，
∴四边形A EOQ
是正方形，
∴A E
AE
EO
=
=
∴AEO
是等腰直角三角形，
设
,
AE
EO
m
=
=
则
2
AO
OD
m
=
=
，
(
)
2 1
DE
DO
EO
m
=
−
=
−
在Rt
ADE
△
中，
2
2
2
AD
DE
AE
=
+
，则
(
)
2
2
2
2
2
2
1
m
m
=
−
+
，
解得
2
2
2
m =
+
,
∴
(
)
2
2
2
2
O
S
OE
m
=
=
=
+
，
故答案为：(
)
2
2
+
【点睛】此题考查了切线性质定理、切线长定理、三角形中位线定理、轴对称的性质定理、正方形的判定
和性质、勾股定理等知识，正确添加辅助线是关键．
