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专题 24.3 点和圆、直线和圆的位置关系之十大考点
【考点导航】
目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【考点一 判断点与圆的位置关系】................................................................................................................1
【考点二 利用点与圆的位置关系求半径】....................................................................................................3
【考点三 判断直线和圆的位置关系】............................................................................................................5
【考点四 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】....................................................................................7
【考点五 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】........................................................................8
【考点六 判断或补全使直线为切线的条件】..............................................................................................10
【考点七 证明某直线是圆的切线】..............................................................................................................12
【考点八 切线的性质定理】..........................................................................................................................17
【考点九 切线的性质与判定的综合应用】..................................................................................................19
【考点十 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】..........................................................................26
【过关检测】...........................................................................................................................................30
【典型例题】
【考点一 判断点与圆的位置关系】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）已知 的半径为 ，若 ，那么点 与 的位置关系
是（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．都有可能
【答案】A
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】解： ，点 在 内．
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点
到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
【变式训练】
1．（2023春·江苏苏州·九年级统考阶段练习）已知 的半径为4，点A到圆心O的距离为4，则点A与
的位置关系是（ ）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据点与圆的位置关系得出即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴点A在圆上，
故选：B．
【点睛】题考查了点与圆的位置关系，能熟记点与圆的位置关系的内容是解此题的关键，注意：已知
和一点A，点A到圆心O的距离为d， 的半径为r,①当 时，点A在 上，②当 时，点A
在 内，③当 时，点A在 外，反之亦然．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）矩形 中， ， ，点 在边 上，且 ，
如果圆 是以点 为圆心， 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点 ， 均在圆 外 B．点 在圆 外，点 在圆 内
C．点 在圆 内，点 在圆 外 D．点 ， 均在圆 内
【答案】C
【分析】由 ， 得到 ， ，再根据勾股定理，在 中计算出 ，在
中计算出 ，则 ，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
【详解】解：如图，四边形 为矩形，
，
， ，
， ，
在 中， ， ，
，
在 中， ， ，
，
，
点 在圆 内，点 在圆 外．
故选： ．
【点睛】本题考查了点与圆的位置：设 的半径为 ，点 到圆心的距离 ，则有：点 在圆外
；点 在圆上 ；点 在圆内 ．
【考点二 利用点与圆的位置关系求半径】
例题：（2023·上海·一模）如图，矩形 中， ， ，以A为圆心，r为半径作 ，使得点
D在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是 ．
【答案】【分析】首先利用勾股定理得出 的长，利用以A为圆心，r为半径作 ，使得点D在圆内，点C在圆
外，得出r的取值范围即可．
【详解】解：如图，连接 ，
∵矩形矩形 中， ， ，
∴ ，
∵以A为圆心，r为半径作 ，使得点D在圆内，点C在圆外，
∴半径r的取值范围是： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用图形得出r的取值范围是解题关键．
【变式训练】
1．（2023·四川成都·统考二模）已知 是 内一点（点 不与圆心 重合），点 到圆上各点的距离中，
最小距离与最大距离是关于 的一元二次方程 的两个实数根，则 的直径为 ．
【答案】12
【分析】根据题意知 的直径为最小距离与最大距离的和，再利用根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵ 是 内一点，
∴ 的直径为最小距离与最大距离的和，
∵最小距离与最大距离是关于 的一元二次方程 的两个实数根，
∴ 的直径为 ，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数
的关系．
2．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）如图，在 中， ， cm， cm，以C为
圆心，r为半径作 ，若A，B两点中只有一个点在 内，则半径r的取值范围是 .【答案】
【分析】因为A、B两点中只有一个点在 C内，所以半径比 大．点A在圆上或者圆外，所以半径小于
或等于 ． ⊙
【详解】解：因为A、B两点中只有一个点在 C内，
只有点B在圆内，点A可以在圆上或圆外． ⊙
因为点B在圆内，所以 cm．
当点A在圆上时， cm．
当点A在圆外时， cm．
因此： ．
故答案是： ．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点A和点B与圆的位置，确定 C的半径．
⊙
【考点三 判断直线和圆的位置关系】
例题：（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图， ， 为 上一点，且 ，以点
为圆心，半径为3的圆与 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．以上三种情况均有可能
【答案】C
【分析】过点P作 于点C，根据直角三角形的性质，可得 ，再由直线与圆的位置，
即可求解．
【详解】解：如图，过点P作 于点C，∵ ， ，
∴ ，
∵以点 为圆心的圆的半径为3，
∴以点 为圆心，半径为3的圆与 的位置关系是相切．
故选：C
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试） 中， ， ， ，以 为圆心，
以 长为半径作 ，则 与 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【分析】此题首先应求得圆心到直线的距离，根据直角三角形的面积公式即可求得；再进一步根据这些和
圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．
【详解】解：根据勾股定理求得 ．
， ，
， ，
上的高为： ，
即圆心到直线的距离是2.4．
，
直线和圆相交．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，关键是根据三角形的面积求出斜边上的高的长度．注意：
直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
2．（2022秋·九年级单元测试）已知 的半径是 ，点 在 上，如果点 到直线 的距离是 ，那么与直线 的位置关系是 （ ）
A．相交 B．相离 C．相切或相交 D．相切或相离
【答案】D
【分析】根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的大小关系解答．
【详解】如图，
当点 与 重合时， 与直线 相切；
当点 与 不重合时， 与直线 相离，
∴ 与直线 的位置关系是相切或相离．
故选：D．
【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，掌握数形结合是解题的关键．
【考点四 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】
例题：（2022秋·江苏连云港·九年级统考期中）直线l与 相离，且 的半径等于3，圆心O到直线l
的距离为d，则d的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据直线与圆的位置关系判断即可.
【详解】解：∵直线l与 相离，且 的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，
∴d的取值范围是 ；
故答案为： .
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，设 的半径等于r，圆心O到直线l的距离为d，则当
时，直线与圆相离，当 时，直线与圆相切，当 时，直线与圆相交；反之也成立.
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）已知直线l与半径长为R的 相离，且点O到直线l的距离为5，那么
R的取值范围是 ．【答案】
【分析】若直线和圆相离，则应满足 即可．
【详解】解： 直线和圆相离，且点 到直线 的距离为5，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系与数量之间的等价关系．直线和圆相
离，则应满足 是解题的关键．
2．（2023·湖南常德·统考模拟预测）如图，已知 ， ， ，以 为圆心， 为半径
作 ， 与线段 有交点时，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】过M作 于H，根据直角三角形的性质得到 ，然后根据直线与圆的位置
关系即可得到结论．
【详解】解：过M作 于H，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， 与线段 有交点，
∴r的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设 的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和
相交 ；直线l和 相切 ；直线l和 相离 ．【考点五 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】
例题：（2022秋·九年级单元测试）设 的半径为 ，圆心 到直线l的距离为 ，若 、 是方程
的两根，则直线l与 相切时， 的值为 ．
【答案】9
【分析】先根据直线与圆的位置关系得出方程有两个相等的根，再根据 即可求出m的值．
【详解】解：∵d、R是方程 的两个根，且直线l与 相切，
∴ ，
∴方程有两个相等的实根，
∴ ，
解得， ，
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系及一元二次方程根的判别式，熟知以上知识是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为 ，半径是2．如果⊙M与y轴相
切，那么 ；如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是 ；如果⊙M与y轴相离，那么m的取值
范围是 ．
【答案】 或
【分析】根据 轴与圆的位置关系，推出圆心到 轴的距离和半径之间的关系即可得解．
【详解】解：∵⊙M与y轴相切，
∴ ；
即 ；
∴如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是 ；
如果⊙M与y轴相离，那么m的取值范围是 或 ．
故答案为： ； ； 或 ．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系与直线与圆的
位置关系之间的联系，是解题的关键．
2．（2023·陕西·模拟预测）如图，在直角梯形 中， ，E是 上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为
圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】根据题意可得 的最小值为圆P与 相切，切点为M； 最大值为圆 与圆E内切，切点
为Q，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题．
【详解】解：根据题意可知： 的最小值为圆P与 相切，切点为M，如图所示：
∴ ，
在直角梯形 中，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
最大值为圆 与圆E内切，切点为Q，
∴ ，
当 时，此时圆P与线段 开始有2个交点，不符合题意，
设 ，则 ，
∴ ，∴ ，
则 长度的取值范围是 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与
圆的位置关系，圆与圆的位置关系．
【考点六 判断或补全使直线为切线的条件】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知 ，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm
为半径作 ，当 cm时， 与OA相切.
【答案】4
【分析】过M作MN⊥OA于点N，此时以MN为半径的圆 与OA相切，根据30°角所对直角边为斜边的
一半可得OM的长.
【详解】解：如图，过M作MN⊥OA于点N，
∵MN=2cm， ，
∴OM=4cm，
则当OM=4cm时， 与OA相切.
故答案为4.
【点睛】本题主要考查切线判定，直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半，解此题的关键在于熟练
掌握其知识点.
【变式训练】1．（2022春·九年级课时练习）如图， 为 的直径， ，当 时，
直线 与 相切．
【答案】1
【分析】直线 与 相切时， ，根据勾股定理即可求出 ．
【详解】解：当 时，直线 与 相切，
∴ （cm），
故答案为：1．
【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定和性质是解题关键．
2．（2022春·九年级课时练习）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果
∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线．
【答案】60
【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数．
【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，
∴ ，
∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，
∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此
题的关键．【考点七 证明某直线是圆的切线】
例题：（2023秋·云南昭通·九年级校联考阶段练习）如图，已知 是 的直径，直线 与 相切于
点B，过点A作 交 于点D，连接 ．
(1)求证： 是 的切线．
(2)若 ，直径 ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据平行线的性质可得 ，通过证明
，得出 ，即可求证；
（2）易得 ，根据 ，得出 ，则 ，根据勾股
定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接 ，如图所示：
∵ ，
∴ ．∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵ 是圆O的切线且 为半径，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
又∵ 是 半径，
∴ 为圆O的切线．
（2）解：∵AB是直径，且 ，
∴
据（1）知， ，
又 ，
∴ ，
∴在 中： ，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质，勾股定理等知
识点，解题的关键通过正确作辅助线，构造全等三角形，熟练掌握相关知识点并灵活运用．
【变式训练】
1．（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）如图， 的半径为2，点A是 的直径 延长线上的一点，
C为 上的一点， ， ．
(1)求证：直线 是 的切线；(2)求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先根据 ， 得到 ，进而得到 ，然后求出
，即可证明；
（2）首先得到 是等边三角形，然后作 于点H，利用等腰三角形三线合一性质得到 ，
进而利用勾股定理求出 ，得到 ，最后利用三角
形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接
∵ ，
∴
∴
∵
∴
∴
∵OC是半径
∴直线 是 的切线；
（2）由（1）得 是等边三角形，
作 于点H，则∴
在 中， ，
∴
∴
∴ ．
【点睛】此题考查了圆和三角形综合题，圆切线的判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解
题的关键是熟练掌握以上知识点．
2．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，四边形 内接于圆 ， 是圆 的直径， ，
的延长线交于点 ，延长 交 于点 ， ．
(1)求证： 是圆 的切线；
(2)点 在 上，且 ，连接 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】（1）根据四边形 内接于圆 和 得出 ，再根据
得出 即可证明；
（2）连接 ， ， ，记 与 相交于点 ，根据 用垂径定理得出 ，再根据
， 运用三角形中位线得出 即可解答；
【详解】（1）证明：∵四边形 内接于圆
∴
∵
∴
∵
∴ ，即
又∵ 是圆 的直径∴ 是圆 的切线
（2）如图，连接 ， ， ，记 与 相交于点
∵ ，
∴
∴ ，又
∴
∵ ，
∴
又∵ ，
∴
∴
∴ ．
【点睛】该题主要考查了圆切线证明，圆心角定理，垂径定理，三角形中位线等知识点，解题的关键是熟
练掌握圆部分的这些知识点．
【考点八 切线的性质定理】
例题：（2023·浙江衢州·统考二模）如图， 的切线 交直径 的延长线于点 ， 为切点，若
， 的半径为3，则 的长为 ．
【答案】【分析】连接 ，根据切线的性质得到 ，再根据 所对的直角边是斜边的一半计算即可；
【详解】如图，连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，即 ，
又 ， 的半径为3，
∴ ，
∴ ．
故答案是 ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，准确计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）如图， 是 的直径，点 是 外的一点，且 是 的
切线， 交 于点 ，若 ，则 ．
【答案】30
【分析】根据切线的性质得到 ，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解： 是 的切线，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
2．（2023·湖南永州·校考二模）如图， 是 的直径， 与 相切于点 的延长线交 于点 ，则 的度数是 ．
【答案】 /26度
【分析】利用圆周角定理，切线的性质定理和三角形的内角和定理解答即可．
【详解】解： 是 的直径， 与 相切于点A，
，
，
， ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质定理，熟练掌握上述定理是解题的关键．
【考点九 切线的性质与判定的综合应用】
例题：（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图， 中， ，点 在边 上，以点 为圆
心， 为半径的圆交边 于点 ，交边 于点 ，且 ．
(1)求证： 是 的切线．
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2) 的半径为10．
【分析】（1）连接 ，连接 ，通过证明 即可进行求证；
（2）连接 ，则 ， 根据勾股定理求出 ，设 的半径为 ，根据 ，列出方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，连接 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
设 的半径为 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的半径为10．【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握经过半径外端且垂直于半径的
直线是圆的切线．
【变式训练】
1．（2023·河南周口·校联考三模）如图，点 是以 为直径的 外一点，点 是 上一点， 是
的切线， ，连接 并延长交 的延长线于点 ．
(1)求证：点 是 的中点；
(2)若 ， 的半径为 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，证明 是 的切线．根据 是 的切线，可得 ，进而证明
，等量代换可得 ，即可得证；
（2）根据 ，可得四边形 是正方形，则 是等腰直角三角形．勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ．
为 的直径，
．
，
是 的切线．
是 的切线，
，
．
， ，
，
，
，点 是 的中点．
（2）解：若 ，由( )得，四边形 是正方形，
是等腰直角三角形．
半径为 ，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，
熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在 中， 为 上一点，以点 为圆心， 为半径作半圆，
与 相切于点 ，过点A作 交 的延长线于点 ，且 ．
(1)求证： 是半 的切线；
(2)若 ， ，求半 的半径．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）过点 作 于点 ，由切线的性质知 ， ，又
， ， ，推证 ，由角平分线性质定理得
，结论得证；
（2）由切线长定理知 ，由等腰三角形性质知 ，进一步推证
，由直角三角形性质，求解圆半径为 ．
【详解】（1）证明：过点 作 于点 ．
为半 切线，
，
，
．
，
，
．
，
，
，
．
，
，
是半 的半径．，
是半 的切线．
（2） 是半 的切线， ，
．
，
．
，
，
，
．
在 中， ，
，
的半径为 ．
【点睛】本题考查圆切线的判定和性质，切线长定理，等腰三角形性质，角平分线性质，直角三角形的性
质，勾股定理，利用已知的角之间的数量关系结合直角三角形性质求解角度是解题的关键．
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图， 是 的直径， 为 上的一点， 的平分线交 于
点 ，过点 的直线交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ．且 ．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ， ，直接写出半径的长．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据角平分线求得 ，由等边对等角可得 ，由
是直径和等量代换可得 ，即可得证；
（2）连接 ，设 ，证明 ，可得 ，推出 ，即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ，
平分 ，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
是半径，
是 的切线；
（2）解：连接 ，如图，设 ，
，
，
，
，
，
，
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构
造平行线解决问题．
【考点十 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
例题：（2023·甘肃陇南·校考一模）如图， 与 的 的三边 分别相切于点
D、E、F，若 ，则 的半径为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】连接 ，首先根据切线长定理得到 ， ，然后证明出四边形
是正方形，然后设 ，根据勾股定理求解即可．
【详解】如图，
连接 ，
∵ 与 相切，
∴ ， ， ， ， ，∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴矩形 是正方形，
∴ ，
设 ，
中， ， ， ，
由勾股定理得， ，
∴ ，
∴ （舍去），
∴ ，
故选：D．
【点睛】此题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【变式训练】
1．（2022秋·山东淄博·九年级统考期末）如图， 中， ，圆O是 的内切圆，D，E，F
是切点．若 ，则 ．
【答案】1
【分析】根据内切圆的性质先证明四边形 是矩形，可得 ，再由切线长定理可得
，设 ，可得 ， ，可得到关于
r的方程，即可求解．
【详解】解：∵圆O是 的内切圆，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，∴ ，
∵圆O是 的内切圆，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
即 ．
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆的性质，切
线长定理是解题的关键．
2．（2023秋·陕西延安·九年级统考期末）如图，在 中， ， ， ， 是
的内切圆，分别切边 于点D，E，F．
(1)求 的半径．
(2)若Q是 的外心，连接 ，求 的长度．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）先利用勾股定理求得 ，利用三角形面积公式 ，即可求解；
（2）证明四边形 为正方形，边长为1，再利用切线长定理结合勾股定理即可．【详解】（1）解：如图，连接 ，设 的半径为r．
∵ 是 的内切圆，分别切边 于点D，E，F，
∴ ， ， ．
在 中， ， ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的半径为1；
（2）解：∵ 是 的内切圆，分别切边 于点D，E，F，
∴ ， ， ． ， ， ．
∴四边形 为正方形，
∵ ，
∴四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ．
∵Q是 的外心，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，即 ，
解得 （负值舍去）．【点睛】此题考查了三角形的内切圆的性质、切线长定理、正方形的判定与性质以及勾股定理．此题难度
适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知 的半径为 ，点 到直线 的距离为 ，则直线 与
的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据直线与圆的位置关系的判断方法求解即可得到答案．
【详解】解：∵ 的半径为 ，点 到直线 的距离为 ，
，
∴直线 与 的位置关系是相离，
故选：C．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系的判断方法是解决问题的关键．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心， 为半径作 ，点M的
坐标是 ，则点M与 的位置关系是（ ）
A．M在圆内 B．M在圆外 C．M在圆上 D．无法确定
【答案】C
【分析】直接利用点与圆的位置关系进而判断得出答案，点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、
点在圆外；假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有： ，点在圆内， 点在圆上， 点在
圆外．【详解】解：∵点M的坐标是 ，
∴点M与原点O的距离为 ，
又∵ 的半径为 ，
∴点M与 的位置关系是点M在圆上．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，正确把握判定方法是解题关键．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 是 的直径，C为 上一点，过点C的切线与 的延
长线交于点P，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 ，根据切线的定义得出 ，推出 ， ，设
，根据三角形的内角和为 ，列出方程求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了切线的定义，等边对等角，三角形的内角和，解题的关键是掌握切线经过半径外
端且垂直于半径；三角形的内角为 ．
4．（2023春·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图， 是 的直径， ， 是
的弦， 是 的切线， 为切点， 与 交于点 ．若点 为 的中点， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图：连接 ，根据切线的性质得到 ，根据直角三角形的性质求出 ，由点 为
的中点可得 ,最后等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：如图：连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识
成为解答本题的关键．
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ，点 是边 上一点，以点 为圆心，
以 为半径作圆， 恰好与 相切于点 ，连接 ．若 平分 ， ，则线段 的
长是（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】D
【分析】连接 ，根据切线的性质得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，根据角
平分线的定义得到 ，从而得到 ，进而得到 ，根据平行线的性质得
到 ，设 ，则 ， ，由勾股定理可得 ，
，最后根据 进行计算即可．
【详解】解：连接 ，是 的半径， 是 的切线，点 是切点，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ， ，
， ，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股
定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·江西九江·校考二模）如图，直线 ， 与 分别相切于点 ， ， 为 上一点，且，则 的度数是 ．
【答案】
【分析】令优弧 上任意一点E，连接 ， ， ， ，根据切线的性质得出
，根据圆内接四边形的性质得出 ，进而可根据圆周角定理得出
，最后根据四边形的内角和为 ，即可求解．
【详解】解：令优弧 上任意一点E，连接 ， ， ， ，
∵直线 ， 与 分别相切于点 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆的内接四
边形对角互补，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，以及切线的定义．
7．（2023秋·全国·九年级专题练习）若 所在平面内一点 到 上的点的最远距离为5，最近距离为3，则此圆的半径为 ．
【答案】4或1
【分析】设 的半径为 ，分两种情况：当点 在 外时，当点 在 内时，分别进行计算即可得到
答案．
【详解】解：设 的半径为 ，
当点 在 外时， ，
当点 在 内时， ，
综上可知此圆的半径为4或1，
故答案为：4或1．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．
8．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）已知 的圆心与坐标原点重合，半径为r，若点 在
内，点 在 外，则r的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意知， ， ，由点 在 内，点 在 外，
可得 ．
【详解】解：由题意知， ， ，
∵点 在 内，点 在 外，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
9．（2023秋·九年级课时练习）如图 是 的弦， 交 于点 ，过点 的切线交 的延长
线于点 ．若 的半径为 ，则 的长为 ．【答案】2
【分析】根据切线的性质可得 ，从而可得 ，再根据垂直定义可得
，从而可得 ，然后利用等腰三角形的性质，以及等角的余角相等，对顶角相等
可得 ，从而可得 ，最后在 中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】解： 与 相切于点 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设 ，
在 中， ，
，
，
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质，以及等腰三角形
的判定是解题的关键．
10．（2023秋·河北沧州·九年级校考期中）如图，直线 相交于点O， ，半径为1cm的的圆心在射线 上，且与点O的距离为6cm，如果 以 的速度沿A向B的方向移动，则经过
秒后 与直线 相切．
【答案】4或8/8或4
【分析】分类讨论：当点P在射线 时 与 相切，过P作 与E，根据切线的性质得到
，再利用含 的直角三角形三边的关系得到 ，则 的圆心在直线 上向右
移动了 后与 相切，即可得到 移动所用的时间；当点P在射线 时 与 相切，过P
作 于F，同前面一样易得到此时 移动所用的时间．
【详解】解：当点P在射线 上 与 相切，如图，过P作 与E，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的圆心在直线 上向右移动了 后与 相切，
∴ 移动所用的时间 （秒)；
当点P在射线 上 与 相切，如图，过P作 与F，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ 的圆心在直线 上向右移动了 后与 相切，
∴ 移动所用的时间 （秒)．
故答案为：4或8．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线
的性质．
三、解答题
11．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， 的半径为3．求证：
是 的切线．
【答案】见解析
【分析】先作 ，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出 ，进而得出答案.
【详解】证明：如图，过O作 于C，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∵ 的半径为3，
∴ 为 的半径，
∴ 是 的切线．【点睛】本题主要考查了切线的判定，理解切线的定义是解题的关键．
12．（2023秋·九年级课时练习）如图，在 中， ， 于点 为
的中点．
(1)以点 为圆心，6为半径作圆，试判断点 与 的位置关系；
(2)当 的半径为多少时，点 在 上？
【答案】(1)点A在 上，点 在 内，点 在 外
(2)5
【分析】（1）各点到 的距离与半径6作对比，大于半径的在圆外，等于半径的在圆上，小于半径的在
圆内；
（2）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得 ，所以当半径为5时， 在 上．
【详解】（1）如图，在 中， ， ， ，
，
在 上，
，
，
，
，在 内，
，
在 外；
（2）在 中， ，
为 的中点，
，
当 的半径为5时，点 在 上；
【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理，解决本题要注
意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．
13．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 是 的直径，C，D都是 上的点， 平分 ，
过点D作 的垂线交 的延长线于点E，交 的延长线于点F．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）连接 ，根据等边对等角以及角平分线平分角，得到 ，得到 ，进
而得到 ，即可得证；
（2）连接 ，交 于H，圆周角定理，得到 ，勾股定理求出 的长，垂径定理和三角形
的中位线定理，求出 的长，进而求出 的长，证明四边形 为矩形，得到 ，即可得解．
【详解】（1）证明：如图1，连接 ，∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）连接 ，交 于H，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ．
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，垂径定理，三角形的中位线定理，矩形的判定和性质．解题
的关键是掌握相关知识点，并灵活运用．
14．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知 内接于 ， 是 的直径， 的平分线
交 于点D，交 于点E，连接 ，作 ，交 的延长线于点F．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)15
【分析】（1）连接 ，根据 平分 ， ， ，证明 即
可；
（2）设 的半径为x，则有 ，在 中， ，根据勾股定理建立方程，
解方程即可求解．
【详解】（1）解：连接 ，∵ 是 的直径，
∴ ，即 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线．
（2）解：设 的半径为x，
则有 ，
在 中，
，
∴ ，
解得 ．
∴ 的半径为15．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．
15．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 中， ，点O在边 上，以点O为圆
心， 为半径的圆交边 于点D，交边 于点E，且 ．
(1)求证： 是 的切线．(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）连接 ， ，证明 ，求出 ，再根据切线的判定定理得
出结论；
（2）连接 ，根据切线长定理可得 ，利用勾股定理求出 ，然后设 的半径为r，则
， ，在 中利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接 ， ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：如图2，连接 ，
∵ ，∴ 是 的切线，
∵ 是 的切线， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
设 的半径为r，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，切线长定理，勾股定理等知识，灵活运用所
学知识进行推理论证是解题的关键．
16．（2023·河南信阳·校考三模）如图， 为 的直径，过圆外一点 作切线 、 ，交 于点
和点 ，连接 、 和 ．
(1)求证 ．
(2)填空：
①当 时，四边形 为菱形；
②当 时，四边形 为正方形．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②
【分析】（1）由切线的性质得出 ， ，证明 ，由全等三角形的性质得出 ，证出 ，则可得出结论；
（2）①证明 为等边三角形，得出 ，同理证出 为等边三角形，得出
，根据菱形的判定可得出结论；
②证出四边形 为矩形，根据正方形的判定可得出结论．
【详解】（1）证明： ， 为 的切线，
， ，
，
，
又 ，
，
，
，
；
（2）解：①当 时，四边形 为菱形，
， ，
，
又 ，
为等边三角形，
，
又 ，
，
，
为等边三角形，
，
四边形 为菱形．
故答案为： ；
②当 时，四边形 为正方形，
， ，
，
又 ，
，，
，
，
，
四边形 为矩形，
，
四边形 为正方形．
故答案为： ．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，
平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
