第一章 有理数全章高频重点题型突破
基础拿分：高频题型归纳
题型1 正负数的意义（相反意义的量）
题型2 有理数分类（易混辨析必考）
题型3 数轴三大核心考点
题型4 相反数与绝对值核心计算
题型5 有理数大小比较
核心提升·重难题型归纳
题型1 绝对值重难专项
题型2 数轴重难专项
综合攻坚·高频重难特训
◆题型1 正负数的意义（相反意义的量）
1．（25-26 七年级上·福建漳州·期中）在3
- ，0，2.5
-
，
1
2 ，2 五个数中，负数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【详解】解：根据负数的定义：小于0 的数是负数. 3
0
- <
是负数，0 既不是正数也不是负数，2.5
0
-
<
是
负数，1
0
2 >
是正数，2
0
>
是正数．
∴ 负数共有2 个．
因此答案选B．
2．（25-26 七年级上·浙江丽水·期末）下列不具有相反意义的量是（ ）
A．前进9 米和后退9 米
B．气温上升5℃和气温下降5℃
C．向东走10 米和向西走10 米
D．盈利30 元和支出30 元
【答案】D
【详解】解：∵选项A 中，前进与后退意义相反，均描述行走路程，是具有相反意义的量，不符合要求；
选项B 中，上升与下降意义相反，均描述气温变化，是具有相反意义的量，不符合要求；
选项C 中，向东与向西意义相反，均描述行走路程，是具有相反意义的量，不符合要求；
选项D 中，盈利的相反意义是亏损，收入的相反意义是支出，盈利和支出不属于相反意义的量，符合要求．
3．（24-25 七年级上·宁夏银川·期中）某品牌乒乓球的标准质量为2.7 克，误差为0.03
±
克，下列取出的乒乓
球中哪些是合格的？（ ）
A．2.06 克
B．3 克
C．2 克
D．2.72 克
【答案】D
【详解】解：∵乒乓球的标准质量为2.7 克，且误差为0.03
±
，
∴2.7
0.03
2.73,2.7
0.03
2.67
+
=
-
=
，
所以乒乓球合格的范围是2.67
2.73
:
，
可知2.72 克符合题意．
4．（25-26 七年级上·云南普洱·期末）《九章算术》中记载了粮食买卖的相关问题，若买入粮食5 斛，记作5
+
斛，那么卖出粮食4 斛可记作（ ）
A．1
+ 斛
B．1
- 斛
C．4
- 斛
D．4
+ 斛
【答案】C
【详解】解：Q买入粮食和卖出粮食是一对相反意义的量，题目规定买入粮食记为正，
\卖出粮食应该记为负．
\卖出粮食4 斛可记作4
- 斛．
故选：C．
5．（23-24 七年级上·河南周口·阶段检测）体育课上全班女生进行了50 米测试，达标成绩为10.6s ，下面是某
小组8 名女生的成绩记录：0.1
-
，0.8
+
，0 ，1.6
-
，0.8
-
，0.3
-
，1.5
+
，0.6
-
，其中“ + ”号表示成绩大于
10.6s ，“ - ”号表示成绩小于10.6s ，该小组女生的达标率为___________
【答案】75%
【详解】解：由题意得：：0.1
-
，0.8
+
，0 ，1.6
-
，0.8
-
，0.3
-
，1.5
+
，0.6
-
中，小于等于0 的有6 个，即
达标的有6 人，
则这个小组的达标率是6 100%
75%
8 ´
=
，
故答案为：75% ．
6．（25-26 七年级上·北京丰台·期中）如图，是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与
固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．
例如，按逆时针方向旋转7 个小格记为“ 7
+ ”．此时标记线对准的数是7，再顺时针旋转2 个小格记为“ 2
- ”，
再逆时针旋转3 个小格记为“ 3
+ ”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“ 7, 2, 3
+
-
+ ”，此时标记线对准的
刻度线表示的数是___________；
如果有一组开锁密码为“ 10, 15, 20
-
+
-
”，则锁打开时，标记线对准的刻度线表示的数是___________．
【答案】
8
25
【详解】解：∵按逆时针方向旋转7 个小格记为“ 7
+ ”，此时标记线对准的数是7．再顺时针旋转2 个小格记
为“ 2
- ”，再逆时针旋转3个小格记为“ 3
+ ”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“ 7
+ ，2
- ，3
+ ”，此时
标记线对准的数是8，
∴开锁密码为“ 10, 15, 20
-
+
-
”，表示先按顺时针方向转10 格，再按逆时针方向转15 格，再按顺时针方向转
20 格，
所以标记线按顺时针转了15 格，
则锁打开时标记线对准的刻度线表示为25．
故答案为：8；25．
7．（25-26 七年级上·全国·期末）如图，一只甲虫在5 5
´ 的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从
A 处出发去看望B ，C ，D 处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从A 到B 记为：
1, 4
A
B
®
+ +
，从D 到C 记为：
1, 2
D
C
®
- +
，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
(1)图中
(
A
C
®
， ) ，D ®
4, 2
-
-
；
(2)若这只甲虫从A 处去P 处的行走路线依次为
2, 2
+
+
，
2, 1
+
-
，
2, 3
-
+
，
1, 2
-
-
，请在图中标出P 的
位置．
【详解】（1）解：因为向上、向右走为正，向下、向左走为负，
所以A 到C 记为
3, 4
A
C
®
+
+
，D 到A 记为
4, 2
D
A
®
-
-
；
（2）解：点P 位置如图所示：
◆题型2 有理数分类（易混辨析必考）
8．（25-26 七年级上·四川成都·阶段检测）下列7 个数：
7
4
-
、1.010010001、4
33 、0、π
- 、3.2626626662
-
¼
（每两个2 之间依次多一个6）、0.12
× ，其中有理数有________个
【答案】5
【详解】解：
7
4
-
是负分数，属于有理数，
1.010010001是有限小数，属于有理数，
4
33 是正分数，属于有理数，
0 是整数，属于有理数，
π
- 是无限不循环小数，不属于有理数，
3.2626626662
-
¼（每两个2 之间依次多一个6）是无限不循环小数，不属于有理数，
0.12
× 是无限循环小数，属于有理数，
综上，有理数有5 个，
故答案为：5．
9．（24-25 七年级上·广东佛山·阶段检测）已知一组数：8
- ，1
7 ，π ，1.5，0，把这些数分别填在下面对应
的集合中：①负数集合：______；②整数集合：______；③非负数集合：______；
【答案】
8
-
8
- ，0
1
7 ，π ，1.5，0
【详解】解：负数集合：8
- ；整数集合：8
- ，0；非负数集合：1
7 ，π ，1.5，0．
故答案为：8
- ；8
- ，0；1
7 ，π ，1.5，0．
10．（24-25 七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列说法中，其中错误的有____________个
①0 是最小的整数；
②有理数不是正数就是负数；
③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；
④非负数就是正数；
⑤
π
2
-
不仅是有理数，而且是分数；
⑥带“ - ”号的数一定是负数；
⑦无限小数不都是有理数；
⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．
【答案】6
【详解】解：负整数小于0，故0 不是最小的整数，说法①错误；
有理数包括正数、负数和0，故说法②错误；
正整数、负整数、正分数、负分数和0 统称为有理数，故说法③错误；
非负数就是0 和正数，故说法④错误；
π
2
-
不是有理数，故说法⑤错误；
如
5
5
- -
=
不是负数，带“ - ”号的数不一定是负数，说法⑥错误；
无限小数包括无限不循环小数，无限不循环小数不是有理数，故说法⑦正确；
正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，说法⑧正确．
综上所述，错误的有①②③④⑤⑥．
故答案为：6．
11．（25-26 七年级上·山东德州·期中）把下列各数填在相应的大括号里：
2
22
3,3.1415,
5
,0,
0.2,
28 ,
5.3,
,94%,π
3
7
-
-
-
- -
-
正有理数集合：{___________…}；
非负数集合：{___________…}；
整数集合：{___________…}；
正分数集合：{___________…}．
【详解】解：
28
28
- -
=
正有理数集合：
22
3.1415,
28 ,
,94%,
7
ì
ü
- -
¼
í
ý
î
þ ；
非负数集合：
22
3.1415,0,
28 ,
,94%,π,
7
ì
ü
- -
¼
í
ý
î
þ；
整数集合：
3,0,
28 ,
-
- -
¼ ；
正分数集合：
22
3.1415,
,94%,
7
ì
ü
¼
í
ý
î
þ ．
◆题型3 数轴三大核心考点
12．（24-25 七年级上·全国·期末）下列各图中，数轴表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
解：
是一条射线，不是数轴，故选项A 不符合题意；
单位长度不一致，不是数轴，故选项B 不符合题意；
没有正方向且1
2
-
-
、
位置错误，不是数轴，故选项C 不符合题意；
是数轴，故选项D 符合题意；
故选D．
13．（25-26 七年级上·江西吉安·期中）如图，将刻度尺放在数轴上，让3 cm 和4 cm 刻度线分别与数轴上表示
7
- 和5
- 的两点重合对齐，则数轴上与8 cm 刻度线对齐的点表示的数为（ ）
A．1
+
B．3
+
C．3
-
D．1
-
【答案】B
【详解】解：∵3 cm 和4 cm 刻度分别与数轴上表示7
- 和5
- 的两点对齐，
∴数轴的单位长度是1 cm
2
，
∴原点对应6.5cm 的刻度，
∴数轴上与8 cm 刻度线对齐的点表示的数是
1
8
6.5
3
2
-
¸
=
，
故选：B．
14．（25-26 七年级上·云南昭通·阶段检测）在数轴上，点A 表示的数是3
- ，将点A 向右移动5 个单位长度到
达点B ，则点B 表示的数是（ ）
A．8
-
B．2
-
C．2
D．8
【答案】C
【详解】解：∵点A 表示的数是3
- ，向右移动5 个单位长度到达点B ，
∴点B 表示的数为：3
5
2
- +
=
．
故选：C．
15．（25-26 七年级上·湖南岳阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，可以确定墨迹盖住的
整数有________个．
【答案】8
【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的整数有6, 5, 4, 3, 2,1,2,3
-
-
-
-
-
，共8 个，
故答案为：8．
16．（25-26 七年级上·河南许昌·期中）如图，数轴上点A 表示的数是2
- ，点B 表示的数是5，数轴中相邻两
刻度间距离为1 个单位长度．
(1)在数轴上标出原点O ；
(2)先在数轴上表示下列各数，再把它们按从小到大的顺序排列，并用“<”连接．
3
- ，0，1.5
-
，2.5 ，6
【详解】（1）解：Q点A 表示的数是2
- ，点B 表示的数是5，
A
\
点在原点左侧2 个单位处，B 点在原点右侧5 个单位处，
即可得到原点O 的位置，如图所示：
（2）解：将已知数字表示在数轴上，如图所示：
3
1.5
0
2.5
6
\- < -
<
<
<
．
◆题型4 相反数与绝对值核心计算
17．（25-26 七年级上·河南南阳·期末）如果a 与2026
-
互为相反数，那么a 的值是（ ）
A．2026
-
B．2026
C．
1
2026
-
D．
1
2026
【答案】B
【详解】解：∵a 与2026
-
互为相反数
∴根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），可得
2026
a =
，
故选：B．
18．（25-26 七年级上·湖南常德·期末）有理数2.3
-
，1.1
-
，2，3 在数轴上的位置，离原点最近的数是（ ）
A．2.3
-
B．1.1
-
C．2
D．3
【答案】B
【详解】解：计算各数的绝对值：
2.3
2.3
-
=
，
1.1
1.1
-
=
，2
2
=
，3
3
=
．
比较绝对值大小：1.1
2
2.3
3
<
<
<
，
因此1.1
-
的绝对值最小，离原点最近；
故选：B．
19．（25-26 七年级上·辽宁锦州·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若|
|
0
a
a
+ = ，则a 为负数
B．|
| 1
a + 一定是正数
C．若|
| |
|
a
b
=
，则a
b
=
D．若|
| |
|
a
b
>
，则a
b
-
是正数
【答案】B
【详解】解：A．由|
|
0
a
a
+ = ，则
0
a
a
= - ³
，即
0
a £
，故a 不一定为负数，可能为零，A 错误；
B．由
0
a ³
，则
1 1
0
a + ³ >
，故|
| 1
a + 一定是正数，B 正确；
C．由|
| |
|
a
b
=
时，a
b
=
或a
b
= - ，故不一定相等，C 错误；
D．例如
5,
3
a
b
= -
=
，
5
3
a
b
=
>
=
，但
8
0
a
b
-
= - <
，故a
b
-
不一定是正数，D 错误．
故选B．
20．（25-26 七年级上·广东揭阳·阶段检测）若
7
x =
，则x =_____．
【答案】7
±
【详解】解：若
7
x =
，则
7
= ±
x
．
21．（24-25 七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）化简符号：
8
é
ù
- - - +
=
ë
û
___________．
【答案】- 8
【详解】解：
8
8
8
8
- - -
-
-
é
ù
é
ù
+
=
+
=
+
= -
ë
û
ë
û
．
22．（25-26 七年级上·贵州毕节·期中）已知a，b，c 在数轴上对应点的位置如图所示．
(1)在数轴上标出a，c 相反数的对应点的位置；
(2)判断下列各式与0 的大小：①b
c
+
________0；②a
b
-
________0；③bc ________0；④c
a ________0；
(3)化简式子：|
|
|
|
|
|
b
c
a
a
b
-
+
+
-
．
【详解】(1)如图所示：
（2）解：由数轴可知
0
c
b
a
<
<
<
，且| | | | |
|
c
b
a
>
>
，
①因为b 、c 都是负数，且c
b
|
|>|
|，所以
0
b
c
+
<
，
②a 是正数，b 是负数，正数减负数等于正数加正数，所以
0
a
b
-
>
，
③两个负数相乘，结果为正数，所以
0
bc >
，
④c 是负数，a 是正数，异号两数相除，结果为负数，所以
0
c
a <
，
故答案为：<，>，>，<；
（3）由数轴可知
0
c
b
a
<
<
<
，且| | | | |
|
c
b
a
>
>
，
∴
0,
0
c
a
a
b
+
<
-
>
∴|
|
|
|
|
|
b
c
a
a
b
-
+
+
-
b
c
a
a
b
= - - - -
+
-
b
c
a
a
b
= - + +
+
-
2
2
a
b
c
=
-
+ ．
23．（25-26 七年级上·天津南开·期中）某冷库一周内每天水果进、出库吨数如下表所示，其中规定：“ + ”表
示进库，“ - ”表示出库．
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
16
+
22
-
34
+
28
-
25
-
30
+
20
-
(1)这一周内，与前一天相比，周________水果变化量最大，最大变化量为________（吨）；
(2)通过计算说明，这一周冷库里的水果增加了还是减少了，变化了多少吨？
(3)经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有20 吨水果，那么一周前冷库里存有水果多少吨？
(4)如果进、出库的装卸费都是每吨12 元．那么这一周共需付多少装卸费？
【详解】（1）解：由表可得：周三水果变化量最大，最大变化量为34（吨）；
故答案为：周三；34；
（2）解：16
22
34
28
25
30
20
15
-
+
-
-
+
-
= -
，
答：这一周冷库里的水果减少了，变化了15吨；
（3）解：每周减少15吨，则上周有20 15
35
+
=
（吨），
答：一周前冷库里存有水果35 吨；
（4）解：
16
22
34
28
25
30
20
12
175 12
2100
+
+ -
+ +
+ -
+ -
+ +
+ -
´
=
´
=
（元），
答：这一周共需付2100 元装卸费．
◆题型5 有理数大小比较
24．（25-26 七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列各式比较大小正确的是（ ）
A．
6
7
-
> -
B．1
0.0001
- >
C．
2
3
- < - -
D．
2
3
3
4
-
< -
【答案】C
【详解】解：A、
6
6
-
=
Q
，
7
7
-
=
，6
7
<
，
6
7
\ -
< -
，故A 错误；
B、
1
0.0001
- <
Q
，故B 错误；
C、
3
3
- -
=
Q
，2
3
- <
，
2
3
\- < - -
，故C 正确；
D、
2
2
8
3
3
12
-
=
=
Q
，
3
3
9
4
4
12
-
=
=
，8
9
12
12
<
，
2
3
3
4
\-
> -
，故D 错误．
25．（25-26 七年级上·广东揭阳·阶段检测）比较大小：
5
6
-
______
4
5
-
．（填“ >”、“<”或“ = ”）
【答案】<
【详解】解：∵
5
5
25
6
6
30
-
=
=
，
4
4
24
5
5
30
-
=
=
，
∴25
24
30
30
>
，即
5
4
6
5
-
> -
，
∵两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，
∴
5
4
6
5
-
< -
．
26．（25-26 七年级上·山东德州·期中）已知a，b 为有理数，
0
a <
，
0
b >
，且|
| |
|
a
b
>
，将a，a
- ，b，b
- 从
小到大排列，用“<”连接：___________
【答案】a
b
b
a
< - <
< -
【详解】解：由题意得
0
a <
，
0
b >
，|
| |
|
a
b
>
，
因此可得
0
a
- >
，
0
b
-
<
，
比较两个负数：a
b
b
> -
=
，
因此
0
a
b
< - <
，
比较两个正数：|
| |
| |
|
a
a
b
-
=
>
，
因此0
b
a
<
< - ，
综上所述，a
b
b
a
< - <
< - ．
27．（25-26 七年级上·安徽宿州·期中）在数轴上表示5，
1
2
-
，0，3
- ，1
12 ，
4
- - 这6 个数，并用“<”把这6
个数连接起来．
【答案】可得数轴如图所示：
1
1
4
3
0
1
5
2
2
- -
< - < -
<
<
<
【详解】解：由
4
4
-
- -
=
用“<”连接起来为
1
1
4
3
0
1
5
2
2
- -
< - < -
<
<
<
．
◆题型1 绝对值重难专项
1．（25-26 七年级上·河南郑州·阶段检测）数学课上，老师讲解了绝对值的几何意义，
4
2
- -
表示4 与2
-
的差的绝对值，实际上也可理解为4 与2
- 两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理a
b
+
可变形为
a
b
- -
，也可理解为a 与b
- 两数在数轴上所对应的两点之间的距离．根据这一原理，请解答如下问题．
(1)求
5
3
- -
的值；
(2)若
4
7
x +
=
，求x 的值；
(3)请你找出所有符合条件的整数x ，使得
2
3
5
x
x
-
+
+
=
．
【详解】（1）解：
5
3
5
3
8
8
- -
=
+
=
=
；
（2）解：∵
4
4
7
x
x
+
=
- -
=
，
∴
4
7
x - -
=
或
4
7
x - -
= - ，
即
4
7
x +
=
或
4
7
x +
= - ，
∴
3
x =
或
11
x = -
；
（3）解：∵
2
3
x
x
-
+
+
表示x 到2 和3
- 的距离和，且2 与3
- 在数轴上的距离为
2
3
5
- -
=
，
∴x 在3
- 到2 之间（含3
- 和2 ）．
∴符合条件的整数x 为：3
- ，2
- ，1
- ，0 ，1，2 ．
2．（25-26 七年级上·湖南岳阳·期中）【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值
等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当
0
a ³
时，a
a
=
；当
0
a <
时，a
a
= - ，对于含绝对值的
算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：8
5
8
5
-
=
- ；5
8
8
5
-
=
- ；
4
1
4
1
7
2
7
2
-
=
-
，1
4
4
1
2
7
7
2
-
=
-
．
(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）：
①3
7
-
= _________；②2
p
-
= _________．
【拓广应用】
(2)用合适的方法计算：1
12
1
12
1
6
25
2
25
6
-
+
-
+
=_________________．
(3)请利用你探究的结论计算：
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2
4
3
2024
2023
2025
2024
- +
-
+
-
+××××××+
-
+
-
【详解】（1）解：3
7
7
3
-
=
- ，2
2
p
p
-
=
-
，
故答案为：①7
3
- ；②
2
p -
；
（2）解：1
12
1
12
1
12
1
1
12
1
1
6
25
2
25
6
25
6
2
25
6
2
-
+
-
+
=
-
+
-
+
=
，
故答案为：
1
2 ；
（3）解：1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2
4
3
2024
2023
2025
2024
- +
-
+
-
+××××××+
-
+
-
原式
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
2023
2024
2024
2025
= -
+
-
+
-
+
+
-
+
-
LL
1
1
2025
= -
2024
2025
=
．
3．（25-26 七年级上·黑龙江七台河·期中）（1）数轴上点A，B 对应的数分别是a，b，则AB
a
b
=
-
，若点A
在数轴上表示3，点B 在数轴上表示1，那么AB = ；
（2）在数轴上表示x 的点与1
- 的距离是3，那么x = ；
（3）在数轴上表示a 的点位于4
- 和3 之间（包含两端），求
4
3
a
a
+
+
-
的值；
（4）对于任意有理数x，则
3
6
x
x
-
+
-
的最小值是 ．
【答案】（1）2（2）4
- 或2；（3）7；（4）3
【详解】解：（1）数轴上点A，B 对应的数分别是a，b，则AB
a
b
=
-
，
由题意得，
3 1
2
AB =
-
=
，
故答案为：2；
（2）由题意得，
1
3
x - -
=
，
即
1
3
x +
= ，
解得
4
x = - 或
2
x =
，
故答案为：4
- 或2；
（3）在数轴上表示a 的点位于4
- 和3 之间（包含两端），
∵
4
3
4
3
a
a
a
a
+
+
-
=
- -
+
-
，
∴式子
4
3
a
a
+
+
-
表示a 对应的点分别到4
- 、3 对应的点的距离之和，
当表示a 的点位于4
- 和3 之间（包含两端）时，距离之和为
4
3
7
- -
=
，
即
4
3
a
a
+
+
-
的值为7；
（4）式子
3
6
x
x
-
+
-
表示x 对应的点分别到3、6 对应的点的距离之和，
当表示x 的点位于3 和6 之间（包含两端）时，距离之和最小，
此时最小值为6
3
3
-
= ，
故答案为：3．
4．（25-26 七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知A 、B 在数轴上分别表示a 、b
(1)对照数轴填写下表：
a
6
6
-
6
-
6
-
2
1.5
-
b
4
0
4
4
-
10
-
1.5
-
A 、B 两点
的距离
2
6
10
0
(2)若A 、B 两点间的距离记为d ，直接写出d 和a 、b 的数量关系______．
(3)如果
2
3
x
x
+
+
-
的和最小时，整数x 有______．
(4)当a 为______时，代数式
3
x
a
x
+
+
-
的最小值是7．
(5)式子
3
6
x
x
+
-
-
有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值；
【详解】（1）解：当
6
a = - ，
4
b = - 时，A 、B 两点的距离为
6
4
2
2
- - -
= -
=
；
当
2
a =
，
10
b = -
时，A 、B 两点的距离为
2
10
12
12
- -
=
=
；
故答案为：2 ；12；
（2）解：由数轴上两点距离的定义，可得d 和a 、b 的数量关系为d
a
b
=
-
；故答案为：d
a
b
=
-
；
（3）解：
2
3
x
x
+
+
-
表示数轴上表示x 的点到表示2
- 和3的点的距离之和，当x 在2
- 和3之间(包括端点)
时，距离之和最小，此时整数x 为2, 1,0,1,2,3
-
-
；故答案为：2, 1,0,1,2,3
-
-
；
（4）解：
3
3
x
a
x
x
a
x
+
+
-
=
- -
+
-
，其几何意义是数轴上表示x 的点到表示a
- 和3的点的距离之和，
当x 在这两点之间时，距离之和最小，
最小值为
3
3
7
a
a
- -
=
+
=
，
则
3
7
a +
=
或
3
7
a +
= - ，解得
4
a =
或
10
a = -
；
故答案为：4 或10
-
；
（5）解：
3
x +
表示数轴上点x 到3
- 的距离，
6
x -
表示数轴上点x 到6 的距离．
①当点x 在3
- 的左侧，
3
3
x
x
+
= - -
，
6
6
x
x
-
=
-
，
3
6
3
6
9
x
x
x
x
\
+
-
-
= - -
-
-
= - ；
②当点x 在3
- 与6 之间（包含端点），
3
3
x
x
+
=
+ ，
6
6
x
x
-
=
-
，
3
6
3
6
2
3
x
x
x
x
x
\
+
-
-
=
+
-
-
=
- ，
此时9
2
3
9
x
- £
-
£
；
③当点x 在6 的右侧，
3
3
x
x
+
=
+ ，
6
6
x
x
-
=
-
，
3
6
3
6
9
x
x
x
x
\
+
-
-
=
+
-
-
=
．
综上，式子
3
6
x
x
+
-
-
有最值，最大值为9，最小值为9
- ．
◆题型2 数轴重难专项
5．（25-26 七年级上·辽宁本溪·期中）如图，圆的周长为4 个单位长，数轴每个数字之间的距离为1 个单位，
在圆的4 等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0 的点与数轴上表示1
- 的点重合，再将圆向
左滚动（如圆周上表示数字3 的点与数轴上表示2
- 的点重合…），则数轴上表示2025
-
的点与圆周上表示数
字的点重合的是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【详解】解：由图可知，每4 个数为一个循环组，依次循环，
2025
4
506
1
¸
=
Q
K ，
∵圆周上表示数字0 的点与数轴上表示1
- 的点重合，
\数轴上表示2025
-
的点与圆周上第507个循环组的第一个点重合，该点表示的数字为0，
故数轴上表示2025
-
的点与圆周上表示数字0 的点重合，
故选：A．
6．（25-26 七年级上·广西玉林·阶段检测）正方形ABCD 在数轴上的位置如图所示，点A，B 对应的数分别为
1
- 和0．若正方形ABCD 绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1 次后，点C 所对应的数为1；
翻转2 次后，点D 所对应的数为2；翻转3 次后，点A 所对应的数为3；翻转4 次后，点B 所对应的数为
4……则连续翻转2025 次后，数轴上数2025 所对应的点是（ ）
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
【答案】C
【详解】解：当正方形转翻转四次后，C 、D 、A 、B 分别对应点1、2、3、4，
当正方形再翻转四次后，C 、D 、A 、B 分别对应点5、6、7、8，
......，
∴四次一循环，
∵2025
4
506
1
¸
=
××× ，
∴数轴上数2025 所对应的点C．
故选：C．
7．（25-26 七年级上·河南南阳·阶段检测）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1cm ，若在数
轴上画出一条长2025cm的线段AB ，则AB 盖住的整点个数是（ ）
A．2025 或2026
B．2024 或2025
C．2025
D．2026
【答案】A
【详解】解：1、起点在整数点：
若线段的起点恰好位于某个整点（如0cm 处），
则线段每延伸1cm 会覆盖下一个整点.
长度为2025cm时，终点为2025cm处，
覆盖的整点包括起点到终点共2025 1
2026
+ =
个；
2 、起点不在整点：
若线段起点在两个整点之间（如0.5cm 处），
则终点为0.5
2025
2025.5cm
+
=
处，
此时覆盖的整点从1到2025 ，共2025 个；
综上，线段AB 盖住的整点个数为2025 或2026 ．
故选：A．
8．（25-26 七年级上·吉林长春·期中）如图所示，在数轴上点
, ,
A B C 表示的数分别为2
- ，1，6 ，点A 与点B
之间的距离表示为AB ，点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点C 之间的距离表示为
.
AC
(1)则AB = ______，BC = ______，AC = ______；
(2)点
, ,
A B C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 、点C 分别以每秒
2 个单位长度和5 单位长度的速度向右运动．请问：
①运动t 秒后，点A 与点B 之间的距离AB 为多少？( 用含t 的代数式表示)
②BC
AB
-
的值是否随着运动时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值；
(3)由第（1）小题可以发现，
,
,
AB BC AC 三条线段的长度之间满足AB
BC
AC
+
=
的数量关系．若点C 以每
秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A 和点B 分别以每秒1个单位长度和每秒2 个单位长度的速度向
右运动．请问：随着运动时间t 的变化，
,
,
AB BC AC 三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写
出答案．
【详解】（1）解：Q在数轴上点
, ,
A B C 表示的数分别为2
- ，1，6 ，
1
2
1
2
3
AB
\
= - -
= +
=
，
6 1
5
BC =
- =
，
6
2
6
2
8
AC =
- -
=
+
=
，
故答案为：3;5;8；
（2）①Q点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B 以每秒2 个单位长度的速度向右运动，
\运动t 秒后，点A 表示的数为：2
t
- - ，点B 表示的数为：1
2t
+
，
\点A 与点B 之间的距离为：
1
2
2
1
2
2
3
3
AB
t
t
t
t
t
= +
- - -
= +
+
+ =
+ ；
②Q点C 以每秒5 单位长度的速度向右运动，
\运动t 秒后，点C 表示的数为：6
5t
+
，
6
5
1
2
6
5
1 2
3
5
BC
t
t
t
t
t
\
=
+
-
+
=
+
- -
=
+
，
3
5
3
3
3
5
3
3
2
BC
AB
t
t
t
t
\
-
=
+ -
+
=
+ -
-
=
，
BC
AB
\
-
的值不会随着时间t 的变化而改变；
（3）Q点C 以每秒3 个单位长度的速度向左运动，同时，点A 和点B 分别以每秒1个单位长度和每秒2 个单
位长度的速度向右运动，
\运动t 秒后，点A 表示的数为：2
t
- + ，点B 表示的数为：1
2t
+
，点C 表示的数为：6
3t
-
，
1
2
2
3
AB
t
t
t
\
= +
- - +
= + ，
6
3
1
2
5
5
BC
t
t
t
=
-
-
+
=
-
，
6
3
2
8
4
AC
t
t
t
=
-
- - +
=
-
，
当0
1
t
< < 时，
3
5
5
8
4
AB
BC
t
t
t
AC
+
=
+ + -
=
-
=
，
当1
2
t
£ £
时，
5
5
8
4
3
BC
AC
t
t
t
AB
+
=
- + -
= +
=
，
当
2
t > 时，
3
4
8
5
5
AB
AC
t
t
t
BC
+
= + +
-
=
-
=
，
\随着运动时间t 的变化，
,
,
AB BC AC 之间存在类似于（1）的数量关系．
一、单选题
1．（25-26 七年级上·江苏无锡·阶段检测）在0 ，0.2
-
，
1
2
-
，2
- 这四个数中，最小的数是（ ）
A．0
B．0.2
-
C．
1
2
-
D．2
-
【答案】D
【详解】解：
0.2
0.2
-
=
，
1
0.5
2
-
=
，
2
2
-
=
．
∵ 2
0.5
0.2
>
>
，
∴
1
2
0.2
0
2
- < -
< -
<
．
2．（25-26 七年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在数轴上被三十六中的吉祥物紫紫所覆盖的数可能是（ ）
A．5
-
B．3
-
C．22
7
D．5
【答案】B
【详解】解：设在数轴上被覆盖的数是a ，
由数轴的性质得：4
0
a
- <
<
，
观察四个选项可知，只有选项B 符合，
故选：B．
3．（25-26 七年级上·甘肃酒泉·阶段检测）下列6 个数：7
4 、1.010010001、
4
3
-
，0、2p
-
、3.3& ，其中有理
数有（ ）个．
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【详解】解：7
4 是分数，属于有理数；
1.010010001是有限小数，属于有理数；
4
3
-
是分数，属于有理数；
0 是整数，属于有理数；
2p
-
中p 是无限不循环小数，
故2p
-
不属于有理数；
3.3& 是无限循环小数，属于有理数；
综上所述，共有5 个有理数，
故选：C．
4．（25-26 七年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．
3
- -
与3
-
B．1
- 与
1
- +
C．
1
2
-
与2
-
D．2 与
2
-
【答案】A
【详解】解：A．
3
3
- -
=
，3 与3
- 只有符号不同 ，满足相反数定义，所以
3
- -
与3
- 互为相反数，故本
选项符合题意；
B．
1
1
- +
= - ，这两个数相等，不是互为相反数，故本选项不符合题意；
C．
1
2
-
的相反数为1
2 ，不是2
- ，故本选项不符合题意；
D．| 2 | 2
-
=
，这两个数相等，不是互为相反数，故本选项不符合题意．
故选：A．
5．（25-26 七年级上·河南信阳·期末）已知四个有理数在数轴上对应点A，B，C，D 的位置如图所示，则这
四个点表示的数中，绝对值最大的是（ ）
A．点A 表示的数
B．点B 表示的数
C．点C 表示的数
D．点D 表示的数
【答案】D
【详解】解：由数轴可得，点D 到原点的距离最大，
∴绝对值最大的是点D 表示的数．
故选：D．
6．（25-26 七年级上·湖北孝感·阶段检测）数轴上一点A，一只蚂蚁从A 出发爬了4 个单位长度到了原点，
则点A 所表示的数是（ ）
A．4
B．4
-
C．4 或4
-
D．8 或8
-
【答案】C
【详解】解：设点A 表示的数为x ，
∵蚂蚁爬行4 个单位长度到达原点，
∴
0
4
x -
=
，即
4
x =
，
∴
4
x =
或
4
x = - ，
故点A 所表示的数是4 或4
- ．
故选：C．
7．（24-25 七年级上·北京朝阳·期末）数轴上表示数a、b 的点如图所示．把a、a 、b、b
- 按照从小到大的
顺序排列，则正确的结论是（ ）
A．b
a
a
b
- <
<
<
B．a
b
a
b
< - <
<
C．b
a
a
b
- <
<
<
D．a
b
b
a
< - <
<
【答案】D
【详解】解：将a ，b
- 在数轴上表示出来，如图，
由数轴上的点表示的数右边的比左边的大，得a
b
b
a
< - <
<
．
故选：D．
8．（25-26 七年级上·湖南·期末）正方形ABCD 在数轴上的位置如图所示，点A，D 表示的数分别为2
- 和
3
- ，若正方形ABCD 绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与数2026 对应的是
（ ）
A．点D
B．点C
C．点B
D．点A
【答案】D
【详解】解：Q正方形ABCD 在数轴上点A
D
、
对应的数分别为2
3
-
-
、
，
\正方形ABCD 的边长为1，
\转动时点A 对应的数依次为2 2 6
-
L
、、、；
B 点对应的数依次是1 3 7 ...
- 、、、
C 点对应的数依次是0 4 8 L
、、、
D 点对应的数依次是1 5 9 L
、、、
2026
2
4 507
- -
=
´
，
\2026 对应的是第507 次循环后的A 点．
故选：D .
二、填空题
9．（24-25 七年级上·湖南益阳·期中）冰箱冷藏室的温度为零上5℃，记作5
+ ℃，那么冷冻室的温度为零下
18℃，记作____．
【答案】18
-
℃
【详解】解：由题意可得，零下18℃记作18
-
℃．
10．（25-26 七年级上·福建莆田·期末）
2026
-
的相反数是______．
【答案】2026
-
【详解】解：
2026
2026
-
=
Q
2026
\ -
的相反数是2026
-
．
11．（24-25 七年级上·广东茂名·期末）比较大小：
5
- ________
5
- -
．（填“ >”、“ = ”或“<”）
【答案】=
【详解】解： ∵| 5| 5
-
=
，
( 5)
5
- -
=
，
∴| 5|
( 5)
-
= - -
．
12．（25-26 七年级上·河南许昌·阶段检测）在
2
3
-
，0，
7
2 8
-
，5
2 ，3.15，2.5
-
中，负分数有______个．
【答案】3
【详解】解：在数
2
3
-
，0，
7
2 8
-
，5
2 ，3.15，2.5
-
中，
2
3
-
是负分数；0 不是负数；
7
2 8
-
化为假分数为
23
8
-
，是负分数；5
2 是正分数；3.15 可化为63
20 ，是正分数；
2.5
-
化为分数为
5
2
-
，是负分数．
∴负分数一共有3 个．
故答案为：3．
三、解答题
13．（25-26 七年级上·江苏无锡·阶段检测）在数轴上画出下列各点，它们分别表示：3
+ ，0 ，
1
3 4
-
，1
12 ，
3
- ，1.25
-
．
【答案】如图即为所求．
14．（25-26 七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在数轴上表示出下列各数：
5
- -
，
2.5
-
，
5
3
-
，0，3
2 ，并用
“<”号把它们连接起来．
【答案】数轴表示见解析；
5
3
0
2.5
5
3
2
-
<
<
< -
< - -
【详解】解：( 5)
5
- -
=
，
2.5
2.5
-
=
，
数轴如图所示：
则
5
3
0
2.5
5
3
2
-
<
<
< -
< - -
．
15．（25-26 七年级上·湖北武汉·阶段检测）在活动课上，有6 名学生用橡皮泥做了6 个乒乓球，直径可以有
0.02mm 的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记为负数，检查结果如下表（单位：mm ）：
做乒乓
球的同
学
李明
张兵
王莉
余佳
赵平
蔡伟
检查结
果
0.031
+
0.017
-
0.023
+
0.021
-
0.022
+
0.011
-
请用绝对值的相关知识解答下列问题：
(1)有几位同学做的乒乓球是合乎要求的？
(2)合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好？
【详解】（1）解：∵乒乓球直径可以有0.02mm 的误差，
故检查结果的绝对值小于或等于0.02 即为合乎要求，
下列数字的绝对值小于或等于0.02 ：0.017
-
，0.011
-
，
故有2 位同学做的乒乓球是合乎要求的；
（2）解：∵
0.017
0.017
0.011
0.011
-
=
> -
=
，
∴张冰同学做出的乒乓球误差大于蔡玮做出的乒乓球，
故蔡伟同学做的质量更好．
16．（2025 七年级上·全国·专题练习）有理数a，b，c 在数轴上对应点的位置如图所示，
2
a =
，
1
c = ，表
示数b 的点与原点之间的距离为3 个单位长度．
(1) a = ，b = ，c = ．
(2)如果有一只蚂蚁位于有理数c 对应点的位置，要沿着数轴爬行到距离原点2 个单位长度的位置，请说明
这只蚂蚁应该如何爬行？
【详解】（1）解：∵
2
a =
，
1
c = ，表示数b 的点与原点之间的距离为3 个单位长度，
0
a
c
<
<
，
0
b >
，
∴
2
a = - ，
1
c
-
=
，
3
b =
．
故答案为：2
- ，3，1
-
（2）解：沿着数轴负方向爬行1 个单位长度或沿着数轴正方向爬行3 个单位长度，能爬行到距离原点2 个
单位长度的位置．
17．（25-26 七年级上·四川宜宾·期中）下面的大括号表示一些数的集合，把下列各数填入相应的大括号内；
1
11，
2
5
-
，0，2025
-
，35%，3.8
-
，
2
- -
，
7
- +
，6 ，0.13131313．
正有理数集：{ …}；
负有理数集：{ …}；
正整数集：{ …}；
负整数集：{ …}；
自然数集：{ …}．
【详解】解：先化简题目中需要化简的数，得
( 2)
2
- -
=
，
| 7 |
7
-
- +
=
正有理数集：{ 1 ,35%, ( 2),6,0.13131313
11
- -
，¼}
负有理数集：{
2 , 2025, 3.8,
| 7 |
5 -
-
-
-
+
，¼}
正整数集：{ ( 2),6
- -
，¼}
负整数集：{ 2025,
| 7 |
-
-
+
，¼}
自然数集：{0, ( 2),6
- -
，¼}
18．（25-26 七年级上·重庆綦江·期末）已知有理数a，b，其中数a 在如图所示的数轴上对应点M，b 是负数，
且b 在数轴上对应的点与原点的距离为4．
(1) a = ，b = ．
(2)写出大于
7
2
-
的所有负整数；
(3)在数轴上标出表示，
5
2
-
，0，
1
- - ，
1
b
- - 的点，并用“ >”连接起来．
【详解】（1）解：∵数a 在数轴上对应点M，b 是负数，且b 在数轴上对应的点与原点的距离为4，
∴
2
a =
，
0
4
4
b =
-
= - ，
故答案为：2，4
- ；
（2）解：大于
7
2
-
的所有负整数是3
- ，2
- ，1
- ；
（3）解：
| 1|
1
- - = - ，
1
3
b
- - =
，
在数轴表示为：
则
2
|
5
1
0
1|
b
- - >
> - - > -
．
19．（25-26 七年级上·广东深圳·阶段检测）（1）如图，把一根长度为cm
a
的木棒放置在一条数轴上（数轴的
1个单位长度为1cm ）．木棒的左端与数轴上的点A 重合，右端与点B 重合．若将木棒在数轴上水平移动，当
它的左端移动到点B 时，它的右端在数轴上所对应的数为24 ；当它的右端移动到A 点时，则它的左端在数
轴上所对应的数为6 ，由此可得到木棒a 的长为 cm ．
（2）借助上述方法请你运用“数轴”这个工具帮助小明解决下列问题：一天，小明去问曾当过数学老师现在
退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35 年才出生呢；你若是我现在这么大，我
已经115 岁，是老寿星了，哈哈！”小明纳闷，爷爷到底是多少岁？请求出爷爷和小明现在的年龄．
【详解】（1）解：根据题意可知，数轴上6 到A ，A 到B ，B 到24 距离相等，且都等于木棒长度cm
a
，
故
24
6
3
6 cm
a =
-
¸
=
．
答：木棒a 的长为6 ．
（2）解：设点A 表示小明的年龄，点B 表示爷爷年龄，两人的年龄差为d 岁，
根据题意可得，当B 向左移动，A 点对应的数为35
-
，
当A 向右移动，B 点对应的数为115，
故两人的年龄差为
115
35
3
50
é
ù
- -
¸
=
ë
û
（岁），
则点A 对应数即小明的年龄为35
50
15
-
+
=
（岁），
点B 对应数即爷爷的年龄为15
50
65
+
=
（岁）．
答：小明的年龄为15岁，爷爷的年龄为65岁．
20．（25-26 七年级上·河北沧州·阶段检测）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴6
- 和6 的初始位置上，
沿数轴做移动游戏．游戏规则：两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动．
①若平局，则甲向东移动1 个单位长度，同时乙向西移动1 个单位长度；
②若甲赢，则甲向东移动4 个单位长度，同时乙向东移动2 个单位长度；
③若乙赢，则甲向西移动2 个单位长度，同时乙向西移动4 个单位长度．
前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀）
第一局
第二局
第三局
第四局
…
甲的手势
石头
剪刀
石头
布
…
乙的手势
石头
布
布
…
(1)从初始位置开始，第一局结束后甲在数轴上对应的数为______，乙在数轴上对应的数为______；
(2)若第四局结束后，乙在数轴上对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上相距多少个
单位长度？
(3)从初始位置开始，假如完成了10 局游戏，且甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了n（n 为正整数）次，且
他最终停留的位置对应的数为m，试用含n 的代数式表示m，并求该位置距离原点O 最近时n 的值；
(4)从初始位置开始，若进行了k（k 为正整数）局后，甲、乙在数轴上相距2 个单位长度，请直接写出k 的
值．
【详解】（1）解：根据题意，甲、乙两人（看成点）分别在数轴6
- 和6 的初始位置上，第一局时平局，则
甲向东移动1 个单位长度，同时乙向西移动1 个单位长度；
故甲在数轴上对应的数为6 1
5
- + = - ，乙在数轴上对应的数为6 1
5
- =
，
故答案为：5
- ，5．
（2）解：从前三局来看，甲一平一胜一负，
三局后甲对应的数为6
1
4
2
3
- + +
-
= - ，乙对应的数为6
1
2
4
3
- +
-
=
．
第四局游戏结束后，乙在数轴上对应的数是2，且3 1
2
- =
，
故第四局游戏的结果是乙向西移动1 个单位长度，
所以第四局游戏为平局，即乙第四局的手势是布；
第四局游戏结束后甲对应的数为3 1
2
- + = - ，乙在数轴上对应的数是2，
故
2
2
4
- -
=
，
所以此时甲与乙在数轴上相距4 个单位长度．
（3）解；乙赢了n 次，则乙输了
10
n
-
次
10 局游戏结束后，乙停留的位置表示的数
6
4
2 10
26
6
n
n
n
-
+
-
=
-
，
由他最终停留的位置对应的数为m，
故
26
6
m
n
=
-
．
因为n 为正整数，
当
4
n =
时，
26
6
2
m
n
=
-
=
，
当
5
n =
时，
26
6
4
m
n
=
-
=
，
故
4
n =
时，该位置距离原点O 最近．
（4）解：k 的值为7 或5．
初始位置时甲、乙两人相距12 个单位长度．
若平局，则甲向东移动1 个单位长度，同时乙向西移动1 个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2 个单位
长度；
若甲赢，则甲向东移动4 个单位长度；同时乙向东移动2 个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2 个单位
长度；
若乙赢，则甲向西移动2 个单位长度，同时乙向西移动4 个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2 个单位
长度，
所以甲、乙每移动一次，甲、乙的距离变化（相遇前缩小，相遇后扩大）2 个单位长度．
最终甲与乙的位置相距2 个单位长度，则共需变化14 个单位长度或10 个单位长度，
14
2
7
¸
=
或10
2
5
¸
=
，
所以k 的值为7 或5．
21．（25-26 七年级上·辽宁锦州·期中）探索材料1（填空）：
数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于m
n
-
．
例如数轴上表示数2 和5 的两点距离为2
5
-
= _____．
数轴上表示数3 和1
- 的两点距离为
3
1
- -
=_____．
则6
3
+
的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离；
4
x +
的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离；
探索材料2（填空）：
①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A 和B ，要在流水线上设一个材料供应点P 往两个加工点
输送材料，材料供应点P 应设在_____才能使P 到A 的距离与P 到B 的距离之和最小？
图1
②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A ，B ，C ，要在流水线上设一个材料供应点P 在三个加
工点输送材料、材料供应点P 应设在_____才能使P 到A 、B 、C 三点的距离之和最小？
图2
⑧如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A 、B 、C 、D ．要在流水线上设一个材料供应点P 往四
个加工点输送材料．材料供应点P 应设在_____，才能使P 到A 、B 、C 、D 四点的距离之和最小？
图3
结论应用（填空）：
①代数式
3
4
+
+
-
x
x
的最小值是_____；
②代数式
6
3
2
x
x
x
+
+
+
+
-
的最小值是_____；
③代数式
7
4
2
5
x
x
x
x
+
+
+
+
-
+
-
的最小值是_____，此时x 的最大值是_____．
④代数式
1
2
3
999
x
x
x
x
- +
-
+
-
+
+
-
L
的最小值是_____．
【详解】解：探索材料1：数轴上表示数2 和5 的两点距离为2
5
3
-
=
，
数轴上表示数3 和1
- 的两点距离为
3
1
4
- -
=
，
则
6
3
6
3
+
=
- -
的意义可理解为数轴上表示数6 和3
- 这两点的距离，
4
4
x
x
+
=
- -
的意义可理解为数轴上表示数x 和4
- 这两点的距离，
故答案为：3；4；6；3
- ；x ；4
- ；
探索材料2：
①当点P 在点A 左边时，
2
PA
PB
AP
AB
+
=
+
；
当点P 在点A、点B 之间时，PA
PB
AB
+
=
；
当点P 在点A 右边时，
2
PA
PB
PB
AB
+
=
+
．
∴当点P 在点A、点B 之间时才能使P 到A 的距离与P 到B 的距离之和最小．
故答案为：点A、点B 之间；
②当点P 在点A 左边，
2
PA
PB
PC
PA
AC
BP
+
+
=
+
+
，
当点P 在点A、点B 之间时，PA
PB
PC
AC
BP
+
+
=
+
，
当点P 在点C、点B 之间时，PA
PB
PC
AC
BP
+
+
=
+
，
当点P 在点C 右边，
2
PA
PB
PC
AC
BP
PC
+
+
=
+
+
，
∴点P 应设在点B 时才能使P 到A，B，C 三点的距离之和最小；
故答案为：点B ；
③当点P 在点A 左边时，
4
2
PA
PB
PC
PD
PA
AB
CB
AD
+
+
+
=
+
+
+
，
当点P 在点A、点B 之间时，
2
PA
PB
PC
PD
PB
BC
AD
+
+
+
=
+
+
，
当点P 在点C、点B 之间时，PA
PB
PC
PD
BC
AD
+
+
+
=
+
，
当点P 在点C、点D 之间时，
2
PA
PB
PC
PD
BC
AD
PC
+
+
+
=
+
+
，
当点P 在点D 右边时，
2
4
PA
PB
PC
PD
BC
AD
DC
PD
+
+
+
=
+
+
+
，
∴当点P 在点C、点B 之间时，P 到A，B，C，D 四点的距离之和最小．
故答案为：点B、点C 之间；
结论应用（填空）：
①
3
4
+
+
-
x
x
表示点数轴上表示数x 到数3
- 和4 的距离之和，
由探究材料2 得，当3
4
x
- £
£
时，
3
4
+
+
-
x
x
有最小值，最小值为
3
4
7
- -
=
，
故答案为：7 ．
②
6
3
2
x
x
x
+
+
+
+
-
表示点数轴上表示数x 到数6
3 2
-
-
、、三点距离之和，
由探究材料2 得，当
3
x
-
=
时，
6
3
2
x
x
x
+
+
+
+
-
有最小值，最小值为
3
6
3
3
3
2
8
- +
+ - +
+ - -
= ，
故答案为：8 ．
③
7
4
2
5
x
x
x
x
+
+
+
+
-
+
-
表示点数轴上表示数x 到数7
4 2 5
-
-
、、、四点距离之和，
由探究材料2 得，当4
2
x
- £
£
时，
7
4
2
5
x
x
x
x
+
+
+
+
-
+
-
有最小值，最小值为
2
7
2
4
2
2
2
5
18
+
+
+
+
-
+
-
=
，此时x 的最大值是2 ．
故答案为：18，2 ．
④
1
2
3
999
x
x
x
x
- +
-
+
-
+
+
-
L
表示点数轴上表示数x 到数1,2,3,4
,999
L
共999个点距离之和，
由探究材料2 得奇数个距离之和的最小值时，x 的值为正中间的那一个数，即当
500
x =
时，
1
2
3
999
x
x
x
x
- +
-
+
-
+
+
-
L
有最小值，最小值为
500 1
500
2
500
3
500
999
499
498
2 1 0 1
2
499
500 499
249500
- +
-
+
-
+
+
-
=
+
+
+
+ +
+ +
+
+
=
´
=
L
L
L
，
故答案为：249500 ．
