培优专题02 数轴上的动点、规律及其应用问题
（题型突破·举一反三）
题型01 辨别数轴说法的正误（选择填空基础・夯实根基）
题型02 数轴识图与数的比较大小（选择填空必考・夯实根基）
题型03 数轴上两点之间的距离（期中基础高频・核心工具）
题型04 数轴上点的移动（入门动态题型・过渡训练）
题型05 数轴上单点左右运动规律探究（动点入门・月考预热）
题型06 数轴上三角形的运动规律探究（图形动态・期中难点）
题型07 数轴上正方形的运动规律探究（图形动态・期中难点）
题型08 数轴上圆形的运动规律探究（图形动态拓展・拔高训练）
题型09 数轴上的翻折问题（折叠对称・期中难点）
题型10 数轴上的整点覆盖问题（计数类动态・期中难点）
题型11 数轴与绝对值的几何意义最值问题（期中重难点）
题型12 与数轴有关的新定义问题（拓展创新・区分题型）
题型13 单动点运动问题（月考压轴必考・核心难点）
题型14 双动点运动问题（期中压轴必考・核心难点）
题型15 多动点运动问题（期末压轴拔高・难点）
题型16 数轴动态与代数式综合（期中压轴必考・核心难点）
题型17 数轴上的定值不变问题（动态探究压轴・高频考向）
题型18 数轴的应用问题（实际情景题型・综合运用）
题型19 数轴旋转综合问题（期末拓展难题）
▌题型01 辨别数轴说法的正误
【典例1】（25-26 七年级上·全国·课后作业）关于数轴，下列说法正确的是（ ）
A．数轴由原点、单位长度和正方向组成B．数轴上的一个点只能表示一个数
C．数轴上的点只能表示整数
D．数轴只含有正数部分和负数部分
【答案】B
【分析】本题考查了数轴的定义.
根据数轴的定义和性质逐一分析选项.
【详解】A：数轴的三要素是原点、正方向和单位长度，但数轴本身是一条直线，这三个要素是其属性而非“组
成”部分，因此表述不准确，错误.
B：数轴上的点与实数一一对应，每个点只能表示一个数，正确.
C：数轴上的点可以表示所有实数（如分数、小数等），错误.
D：数轴包含正数、负数和原点（0），错误.
故选：B.
【变式1】（24-25 七年级上·全国·期末）下列说法正确的是（ ）
①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数0.0001
-
在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点
A．④
B．③④
C．②③④
D．①②③④
【答案】A
【分析】本题考查数轴的定义，有理数与数轴，根据数轴的定义，以及用数轴表示有理数逐一进行判断即可．
【详解】解：规定了原点、单位长度，正方向的直线是数轴；故①说法错误；
数轴上两个不同的点不能表示同一个有理数；故②说法错误；
有理数0.0001
-
在数轴上能表示出来；故③说法错误；
任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点；故④说法正确；
故选A．
【变式2】（24-25 七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列说法中，①数轴上的点只能表示整数；②数
轴是一条线段；③数轴上的一个点只能表示一个数；④数轴也可以箭头竖直向上画；⑤数轴上找不到既不
表示正数，又不表示负数的点；⑥数轴上的点所表示的数都是有理数．正确的有_____个．
【答案】2
【分析】根据数轴上的点与实数一一对应，数轴是一条规定了原点、方向和单位长度的直线，以及数轴的意
义逐一分析可得答案．本题考查了数轴，注意数轴上的点与实数一一对应．
【详解】解：数轴上的点与实数一一对应，故①⑥是错误的；
数轴是一条直线的说法正确；故②是错误的；
数轴上的一个点只能表示一个数；故③是正确的；
数轴也可以箭头竖直向上画；故④是正确的；
⑤数轴上既不表示正数，又不表示负数的点是0，故⑤是错误；
故正确的说法有2 个．
故答案为：2．
【变式3】（23-24 七年级上·天津北辰·阶段检测）下列结论正确的是（ ）
A．数轴上表示6
+ 的点与表示4
+ 的点相距2
B．数轴上表示6
+ 的点与表示4
- 的点相距10
-
C．数轴上表示4
- 的点与表示4 的点相距8
-
D．数轴上表示6
- 的点与表示4
- 的点相距10
【答案】A
【分析】数轴上表示a 的点与表示b 的点的距离为：a
b
-
．
【详解】解：A、数轴上表示+6 的点与表示+4 的点相距：6
4
2
-
=
，故A 正确；
两点之间的距离一定为非负数，故B、C 错误；
D、数轴上表示6
- 的点与表示4
- 的点相距：
6
4
2
- - -
=
，故D 错误；
故选：A
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离．熟记相关结论即可．
▌题型02 数轴识图与数的比较大小
【典例2】（25-26 七年级上·湖南株洲·期末）已知有理数a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确
的是（ ）
A．b
a
a
b
- < - <
<
B．b
a
b
a
- < - <
<
C．a
b
b
a
< - <
< -
D．a
b
b
a
- <
< - <
【答案】C
【分析】根据数轴上数的特点解题即可．
【详解】解：由题意可知，a
- 与a 互为相反数，在数轴上关于原点对称；b
- 和b 互为相反数，在数轴上关
于原点对称；
则a
- 和b
- 的位置如图，
∴a
b
b
a
< - <
< - ．
【变式1】（25-26 七年级上·福建漳州·期末）实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正
确的是（ ）
A．a
b
a
b
+
= - -
B．
0
a
b
-
>
C．b
a
a
b
-
=
-
D．
1
a <
【答案】A
【分析】根据数轴确定a 、b 的取值范围：2
1
a
- <
< - ，0
1
b
<
< ，且a
b
>
，再结合绝对值的性质逐一分
析每个选项的正确性．
【详解】解：由数轴可知，2
1
a
- <
< - ，0
1
b
<
< ，且a
b
>
．
∵
0
a
b
+
<
，
∴
a
b
a
b
a
b
+
= -
+
= - - ，故A 选项正确．
0
a
b
a
b
-
=
+ -
<
，故B 选项错误．
∵
0
b
a
-
>
，
∴b
a
b
a
-
=
-
，故C 选项错误．
∵2
1
a
- <
< - ，
∴1
2
a
<
<
，即
1
a > ，故D 选项错误．
综上，正确结论为A 选项．
【变式2】（25-26 七年级上·河南郑州·期末）有理数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列结
论：①a 与b 互为相反数；②a
b
<
；③
0
b
a
+
>
；④
0
b
a
-
>
；⑤
0
a
b >
，其中正确的是（ ）
A．①②④⑤
B．②③④
C．①③④
D．②③⑤
【答案】B
【分析】本题考查了数轴上点的位置与有理数性质的关系，关键是根据数轴判断数的正负、绝对值大小，再
逐一分析结论．
【详解】解：由数轴可知，
0
a <
，
0
b >
，且b
a
>
．
∵a 与b 到原点的距离不相等，
∴a 与b 不互为相反数，故①错误；
∵b 到原点的距离大于a 到原点的距离，
∴a
b
<
，故②正确；
∵b
a
>
，正数的绝对值更大，
∴
0
b
a
+
>
，故③正确；
∵
0
b >
，
0
a <
，
∴
0
b
a
b
a
-
=
+
>
，故④正确；
∵
0
a <
，
0
b >
，
∴
0
a
b <
，故⑤错误；
综上，正确的是②③④，
故选：B．
【变式3】（25-26 七年级上·福建福州·期末）有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，且b 与c 互为相反
数，下列结论错误的是（ ）
A．
0
b
c
+
=
B．a
c
- <
C．|
| |
|
b
c
=
D．
0
a
c
-
>
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，掌握相反数的定义，化简绝对值，由数轴可知，
0
c
a
b
<
<
<
，
c
a
>
，由b 与c 互为相反数，得
0
b
c
+
=
，c
b
=
，据此逐项判断即可．
【详解】解：∵b 与c 互为相反数，
∴
0
b
c
+
=
，故选项A 正确；
由数轴图可知，
0
c
a
b
<
<
<
，c
a
>
，c
b
=
，故选项C 正确；
∴c
a
< - ，
0
a
c
-
>
，
故选项B 错误；选项D 正确；
故选：B．
【变式4】（25-26 七年级上·山东聊城·期中）如图，数轴上的点A，B，C，D 分别表示有理数2
- ，x，2，
y，则下列结论正确的是（ ）
A．
2
y
x
y
-
<
<
<
B．2
2
y
y
- < -
<
<
C．
2
x
x
y
- <
<
<
D．
2
0
y
x
-
< - < - <
【答案】A
【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小，相反数的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据
互为相反数的两个数到原点的距离相等，可以确定
,0,
y
x
-
- 在数轴上的位置，根据在数轴上越往右的数越大
判断即可．
【详解】解：∵互为相反数的两个数到原点的距离相等，
∴可以确定
,0,
y
x
-
- 在数轴上的位置如图，
根据在数轴上越往右的数越大，
只有A 选项正确．
故选：A．
▌题型03 数轴上两点之间的距离
由于距离没有方向性，所以数轴上到已知点距离相等的点一般有两个，因此要注意考虑
所有可能出现的结果．
【典例3】（25-26 七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）已知数轴上有A、B 两点，如图，A 为数轴上表示2 的
点，若点B 到点A 的距离是3，则B 点表示的数为__________．
【答案】
5 或
1
-
【分析】分点B 在点A 的左边和右边两种情况，列出算式，即可求解．
【详解】解：点B 在点A 的左边时，点B 表示的数为：2
3
1
-
= - ，
点B 在点A 的右边时，点B 表示的数为：2
3
5
+
=
【变式1】（25-26 七年级上·四川眉山·期中）在数轴上点A 表示2
- ，点B，C 表示的数互为相反数，且C
与A 之间的距离为2，则点B 表示的数为____________．
【答案】4 或0
【分析】先根据点A 表示的数与点C 和点A 的距离求出点C 表示的数，再根据相反数的定义求出点B 表示的
数．
【详解】解：设点C 表示的数是c ，点B 表示的数是b ，
Q点A 表示的数是2
- ，点C 与点A 之间的距离为2 ，
2
2
c
\ - -
=
，
解得
0
c =
或
4
c = - ，
Q点B 和点C 表示的数互为相反数，
\当
0
c =
时，
0
b =
．当
4
c = - 时，
4
b =
．
\点B 表示的数是4 或0．
【变式2】（25-26 七年级上·河南开封·期末）如图，在一条不完整的数轴上从左至右有A ，B ，C 三点，其
中
2
AB =
，
1
BC = ，设点A ，B ，C 所对应的数的和是p ，若以A 为原点，根据点B ，C 所对应的数，计算
p 的值为______；若原点O 在图中数轴上点C 的右边，且
2025
BO =
，计算p 的值为______．
【答案】
5
6076
-
【分析】根据数轴上两点间的距离公式，分别求出点A ，B ，C 所对应的数即可解决问题．
【详解】解：①Q A 为原点，
2
AB =
，
1
BC = ，
\点B 所对应的数为2 ，
Q
1
BC = ，
\点C 所对应的数为3，
\
0
2
3
5
p =
+
+
=
；
②Q原点O 在图中数轴上点C 的右边，且
2025
BO =
，
\点B 所对应的数为2025
-
，
Q
2
AB =
，
1
BC = ，
\点A 所对应的数为2025
2
2027
-
-
= -
，点C 所对应的数为2025 1
2024
-
+ = -
，
\
2027
2025
2024
6076
p = -
+ -
+ -
= -
；
故答案为：5 ；6076
-
．
【变式3】（25-26 七年级上·湖南邵阳·期末）如图，点A
B
、在数轴上所对应的数分别是2
1 1
6
- -
x
和3
1
3
x + ，
且满足AO
BO
=
，则x 的值为___________．
【答案】5
8
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，数轴上两点间的距离，根据题意可得2
1
1
0
3
6
1
0
3
x
x
-
=
+
-
-
-
，
再根据点A 和点B 在数轴上的位置可得
2
1
1
3
1
3
6
x
x
-
æ
ö
-
-
=
ç
÷
+
è
ø
，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵点A
B
、在数轴上所对应的数分别是2
1 1
6
- -
x
和3
1
3
x + ，且满足AO
BO
=
，
∴2
1
1
0
3
6
1
0
3
x
x
-
=
+
-
-
-
，即2
1
1
3
1
3
6
x
x -
+
-
=
∵点A 在原点左侧，点B 在原点右侧，
∴2
1
1
0 3
6
1
0
3
x
x - -
+
<
>
，
，
∴
2
1
1
3
1
3
6
x
x
-
æ
ö
-
-
=
ç
÷
+
è
ø
，
解得
5
8
x =
，
故答案为：5
8 ．
▌题型04 数轴上点的移动
【典例4】（24-25 七年级上·四川德阳·阶段检测）数轴上表示数2x 的点沿数轴移动5 个单位后到达原点，
则x 的值为_______．
【答案】
5
2
±
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数加减法计算，分两种情况：当数轴上表示数2x 的点
沿数轴正方向移动5 个单位后到达原点时，当数轴上表示数2x 的点沿数轴负方向移动5 个单位后到达原点
时，据此结合数轴上两点距离公式建立方程求解即可．
【详解】解：当数轴上表示数2x 的点沿数轴正方向移动5 个单位后到达原点时，则2
5
0
x +
=
，解得
5
2
x
-
=
；
当数轴上表示数2x 的点沿数轴负方向移动5 个单位后到达原点时，则2
5
0
x -
=
，解得
5
2
x =
；
综上所述，x 的值为
5
2
±
，
故答案为：
5
2
±
．
【变式1】（23-24 七年级上·山西朔州·期中）在数轴上点A 表示4
- ，如果把原点O 向负方向移动1 个单位，
那么在新数轴上点A 表示的数是______．
【答案】3
-
【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，原点左侧的数小于零，原点右侧的数大于零．根据数轴上的
点与原点的位置，可得答案．
【详解】解：∵点A 表示4
- ，
∴A 点位于原点的左侧，到原点距离为4 个单位，
∵原点O 向负方向移动1 个单位，
∴A 点位于原点的左侧，距原点的距离为3，
∴A 点表示的数为3
- ．
故答案为：3
- ．
【变式2】（25-26 七年级上·吉林四平·期中）数轴上的点A 先向左移动1 个单位长度，再向右移动7 个单位
长度到点B，点B 表示的数为3，则移动前点A 表示的数为______．
【答案】3
-
【分析】本题考查数轴上点的平移，掌握相关知识点是解题的关键．
根据数轴上点的移动规则，向左移动减，向右移动加，通过逆运算求解点A 移动前的表示的数．
【详解】解：设移动前点A 表示的数为x．点A 向左移动1 个单位长度后，表示的数为
1
x- ；再向右移动7
个单位长度后，表示的数为
1
7
6
x
x
-
+
=
+
．
由题意，点B 表示的数为3，
∴
6
3
x +
=
，
解得
3
x
-
=
．
即移动前点A 表示的数为3
- ．
故答案为：3
- ．
【变式3】（24-25 七年级上·四川遂宁·阶段检测）一个点从数轴原点开始，先向右移动3个单位长度，再向
右移动2 个单位长度，如图所示，由图可以看出，到达的终点是表示5 的点．
一个点从数轴上的原点开始按下列方式移动：
①向左移动2 个单位，再向左移动4 个单位长度；
②向左移动2 个单位，再向右移动5 个单位长度；
③向右移动4 个单位，再向左移动5 个单位长度；
将上述①、②和③中移动到达终点表示的数，用“<”连接起来__________．
【答案】6
1
3
- < - <
【分析】本题考查了数轴和有理数大小比较，理解向左移动作减法，向右移动作加法是解题的关键．
（1）根据向左移动作减法，列式计算即可得解；
（2）根据向左移动作减法，向右移动作加法列式计算即可得解；
（3）根据向左移动作减法，向右移动作加法列式计算即可得解．结合有理数的大小比较即可．
【详解】解：①向左移动2 个单位，再向左移动4 个单位长度；
则终点表示数为：2
4
6
- -
= - ；
②如图，向左移动2 个单位，再向右移动5 个单位长度；
则终点表示数为：2
5
3
- +
=
；
③如图，向右移动4 个单位，再向左移动5 个单位长度：
则终点表示数为：4
5
1
-
= - ；
则6
1
3
- < - <
，
故答案为：6
1
3
- < - <
．
▌题型05 数轴上单点左右运动规律探究
【典例5】（25-26 七年级上·湖南岳阳·期末）数轴上，点A 的初始位置表示的数为8
- ，现将点A 做如下移
动：第1 次点A 向左移动1 个单位长度至
1A ，第2 次点A 由
1A 位置向右移动2 个单位长度至
2
A ，第3 次点A
由
2
A 位置向左移动3 个单位长度至
3A ，第4 次点A 由
3A 位置向右移动4 个单位长度至
4
A ，……，按照这种
移动方式进行下去，第_________次移动之后点所表示的数绝对值为2026．
【答案】
4035 或4068
【分析】本题考查了数轴上的点的移动规律、绝对值的概念以及数列求和，解题的关键是通过归纳得出点
n
A
表示的数的通项公式，再根据绝对值为2026 列方程求解．
先归纳出点
n
A 表示的数的规律：当n 为奇数时，n
A 表示的数为
1
8
2
n +
- -
；当n 为偶数时，n
A 表示的数为8
2
n
- +
；
再分别令两种情况下的数的绝对值为2026，解方程并检验，得到符合条件的n 值．
【详解】解：由题意，点A 的初始位置表示的数为8
- ，
第1次移动后，
1A 表示的数为：8 1
9
- - = - ．
第2 次移动后，
2
A 表示的数为：9
2
7
- +
= - ．
第3次移动后，
3A 表示的数为：7
3
10
- -
= -
．
第4 次移动后，
4
A 表示的数为：10
4
6
-
+
= - ．
归纳规律当n 为奇数时，
n
A 表示的数为：
1
8
2
n +
- -
．
当n 为偶数时，
n
A 表示的数为：8
2
n
- +
．
① 当n 为奇数时：
1
8
2026
2
n +
- -
=
，
则
1
8
2026
2
n +
- -
= ±
，
若
1
8
2026
2
n +
- -
=
，则
4069
n = -
，舍去；
若
1
8
2026
2
n +
- -
= -
，则
4035
n =
，符合条件．
② 当n 为偶数时：
8
2026
2
n
- +
=
，
则8
2026
2
n
- +
= ±
，
若8
2026
2
n
- +
=
，则
4068
n =
，符合条件；
若8
2026
2
n
- +
= -
，则
4036
n = -
，舍去．
故答案为：4035 或4068 ．
【变式1】（25-26 七年级上·福建厦门·期末）数轴上的一个动点从原点出发，按照以下规则移动：
第1 次：向右移动1 个单位；
第2 次：向左移动4 个单位；
第3 次：向右移动7 个单位；
第4 次：向左移动10 个单位；
．．．
记移动k 次后，动点的位置记为
kP ．对任意正整数n ，点
2n
P 与
2
1
n
P
- 的距离为___________．（用含n 的式子
表示）
【答案】6
2
n -
/ 2
6n
- +
【分析】本题考查了数字类规律，数轴上两点之间的距离等知识点，解题的关键是正确理解题意，找到规律．
先写出前几次
kP 的位置，然后求出前几次的
2
2
1
n
n
P
P
-
-
，找出规律即可求解．
【详解】解：由题意得，
1
1
P = ，
2
1
4
3
P = -
= - ，
3
3
7
4
P = - +
=
，
4
4 10
6
P =
-
= -
5
6 13
7
P = - +
=
，
6
7 16
9
P =
-
= - ，
7
9 19
10
P = - +
=
8
10
22
12
P =
-
= -
，
∴当
1
n = 时，
2
1
3 1
4
6 1 2
P
P
-
= - -
=
=
´ -
；
当
2
n =
时，
4
3
6
4
10
6 2
2
P
P
-
= - -
=
=
´ -
当
3
n =
时，
6
5
9
7
16
6 3
2
P
P
-
= - -
=
=
´ -
当
4
n =
时，
8
7
12 10
22
6 4
2
P
P
-
= -
-
=
=
´ -
L
∴
2
2
1
6
2
n
n
P
P
n
-
-
=
-
，
故答案为：6
2
n-
．
【变式2】（25-26 七年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A 的初始位置表示的数为2，将点A 做如下
移动：第1 次点A 向左移动2 个单位长度至点
1A ，第2 次从点
1A 向右移动4 个单位长度至点
2
A ，第3 次从
点
2
A 向左移动6 个单位长度至点
3A ，…按照这种移动方式进行下去，如果点
n
A 与原点的距离等于116，那么
n 的值是__________．
【答案】114或117
【分析】本题考查了数轴上点的移动规律及绝对值的应用，关键是分奇偶次移动总结点表示的数的通项公式，
再结合距离条件求解．
【详解】解：点A 初始表示的数为2，根据移动规则分析：
第1 次点A 向左移动2 个单位长度至点
1A ，表示的数是0
1 1
= - + ，
第2 次从点
1A 向右移动4 个单位长度至点
2
A ，表示的数是4
2
2
=
+
，
第3 次从点
2
A 向左移动6 个单位长度至点
3A ，表示的数是2
3 1
- = - + ，
第4 次从点
3A 向右移动8 个单位长度至点
4
A ，表示的数是6
4
2
=
+
，
……
可以归纳出，当n 为偶数时，第n 次移动后，点
n
A 表示的数为
2
n+
；当n 为奇数时，第n 次移动后，点
n
A 表
示的数为
1
n
- + ．
已知点
n
A 与原点的距离为116，即
116
n
A =
，
①若n 为偶数，则
2
116
n +
=
，解得
114
n =
(舍去负值)；
②若n 为奇数，则
1
116
n
- +
=
，即1
116
n
-
=
，解得
117
n =
(舍去负值)．
故答案为：114或117 ．
【变式3】（25-26 七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，数轴上O，A 两点的距离为12，一动点P 从点A
出发，按以下规律跳动：第1 次跳动到AO 的中点
1A 处，第2 次从
1A 点跳动到
1AO 的中点
2
A 处，第3 次从
2
A
点跳动到
2
A O 的中点
3A 处．按照这样的规律继续跳动到点
4
A ，
5A ，
6
A …
n
A （
3
n ³ ，n 是整数）处，经过这
样2025 次跳动后的点
2025
A
与
1A A 的中点的距离是____．
【答案】
2023
3
9
2
-
【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，先根据规律得出各点表示的数，进而
求出点2025 次跳动的点表示的数，再求出
1A A 的中点，然后根据两点之间的距离得出答案.
【详解】解：由题意可得，
点
1A 表示的数为
1
12
6
2
´
=
，
点
2
A 表示的数为
1
1
12
3
2
2
´
´
=
，
点
3
A 表示的数为
1
1
1
3
12
2
2
2
2
´
´
´
=
，
…，
点
n
A 表示的数为
1
12
2
n
æ
ö
´ç
÷
è
ø
，
∴点
2025
A
表示的数为
2025
2
2023
2023
1
1
1
3
12
12
2
2
2
2
æ
ö
æ
ö
æ
ö
´
=
´
´
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
.
∵
1A A 的中点表示的数为12
6
9
2
+
=
，
∴2025 次跳动后的点与
1A A 的中点的距离是：
2023
3
9
2
-
.
故答案为：
2023
3
9
2
-
．
▌题型06 数轴上三角形的运动规律探究
【典例6】（25-26 七年级上·全国·课后作业）三边相等的三角形ABC 在数轴上的位置如图所示，点
,
A C 对
应的数分别是0，1
- ．若三角形ABC 绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1 次后点B 对应的数是
1，则翻转2025 次后，点B 对应的数是（ ）
A．不对应任何数B．2023
C．2024
D．2025
【答案】A
【分析】本题考查了数轴以及数字变化规律，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键．
根据每次翻转后点B 的变化规律进行计算即可得出答案．
【详解】解：由题意可得，在翻转的过程中，点B 对应的数依次为1 1
、、空、4 4
、、空、¼
故每3次翻转为一个循环组
Q 2025 3
675
¸ =
，
\翻转2025 次后，点B 不在数轴上．
故选：A．
【变式1】（25-26 七年级上·广东广州·期中）如图，等边三角形的周长为3 个单位长度，三个顶点分别标上
A、B、C，先将三角形如图位置摆放，将三角形沿着数轴向右翻滚，在翻滚过程中，下列数轴上的哪个数能
与三角形上的B 重合（ ）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
【答案】B
【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、图形类规律探索，由题意可得，由等边三角形上重合的点
以3 个字母循环出现，第一个为B，第二个为C，第三个为A.，再根据各个选项逐项判断即可得解．
【详解】解：由等边三角形上重合的点以3 个字母循环出现，第一个为B，第二个为C，第三个为A.
A、
2018
1
2019
- -
=
，2019
3
673
¸
=
，故2018 与三角形上的A 重合，不符合题意；
B、
2019
1
2020
- -
=
，2020
3
673
1
¸
=
，故2019 与三角形上的B 重合，符合题意；
C、
2020
1
2021
- -
=
，2021 3
673
2
¸ =
…
，故2020 与三角形上的C 重合，不符合题意；
D、
2021
1
2022
- -
=
，2022
3
674
¸
=
，故2021与三角形上的A 重合，不符合题意；
故选：B．
【变式2】（24-25 七年级上·广东广州·期中）已知等边三角形ABC 在数轴上的位置如图所示，顶点A、C 分
别对应的数为0、1
- ．将三角形ABC 从如图所示的位置沿数轴滚动（滚动一圈指线段AC 再次落在数轴
上），向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，每次滚动情况依次记录如下：3
+ ，2
- ，4
+ ，
5
- ，3
- ．
①第_____次滚动后，点A 离原点最远；
②当三角形ABC 结束滚动时，点C 表示的数是______．
【答案】
三
10
-
【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，绝对值的意义，解题的关键是理解题意．
①分别求出每次滚动后点A 离原点的距离，然后再进行判断即可；
②根据滚动情况求出三角形ABC 结束滚动时，点C 表示的数即可．
【详解】解：①第一次滚动后，点A 表示的数为：3 3
9
´ =
，
第二次滚动后，点A 表示的数为：9
3 2
3
- ´
=
，
第三次滚动后，点A 表示的数为：3
3 4
15
+ ´
=
，
第四次滚动后，点A 表示的数为：15
3 5
0
- ´
=
，
第五次滚动后，点A 表示的数为：0
3 3
9
- ´ = - ，
∴第三次滚动后，点A 离原点最远；
故答案为：三；
②第一次滚动后，点C 表示的数为：1 3 3
8
- + ´
=
，
第二次滚动后，点A 表示的数为：8
3 2
2
- ´
=
，
第三次滚动后，点A 表示的数为：2
3 4
14
+ ´
=
，
第四次滚动后，点A 表示的数为：14
3 5
1
- ´
= - ，
第五次滚动后，点A 表示的数为：1 3 3
10
- - ´
= -
．
故答案为：10
-
．
▌题型07 数轴上正方形的运动规律探究
【典例7】（25-26 七年级上·江西萍乡·期末）正方形ABCD 在数轴上的位置如图所示，点
,
D A对应的数分别
为0 和1，若正方形ABCD 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1 次后，点B 所对应的数为2；则
翻转2025 次后，数轴上数2026 所对应的点是（ ）
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，图形类的规律探索，找到变化规律是解答的关键．
根据题意找到规律：1对应的数是A ，2 对应的数是B ，3对应的数是C ，4 对应的数是D ，每4 次翻转为一
循环，进而可求解．
【详解】解：在翻转过程中，1对应的数是A ，2 对应的数是B ，3对应的数是C ，4 对应的数是D ，¼
依此类推，可知每4 次翻转为一循环，
Q 2026
4
506
2
¸
=
K ，
2026
\
所对应的点是B，
故选：B．
【变式1】（25-26 七年级上·山西大同·阶段检测）正方形ABCD 在数轴上的位置如图所示，点A，D 对应的
数分别为1
- 和0，若正方形ABCD 绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转1 次后，点B 所对应的数
为2
- ，则翻转2024 次后，数轴上的数2025
-
所对应的点是（ ）
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
【答案】A
【分析】本题考查实数与数轴，理解题意找到点的变化规律是解题关键．
先分析翻转一周的过程中，每个点对应的数，再分析翻转第二周后，每个点对应的数．两者一对比，总结出
规律，然后推广到题干要求的数字．
【详解】解：正方形ABCD 在数轴上翻转一周的过程中，点B 所对应的数为2
- ，点C 所对应的数为3
- ，
点D 所对应的数为4
- ，点A 所对应的数为5
- ．再翻转一次，点B 所对应的数为6
- ，故每四次一循环．
∵2025
4
506
1
¸
=
LL ，
∴2025
-
与1
- 所对应的点相同，即数2025
-
所对应的点是点A，
故选：A．
【变式2】（25-26 七年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，正方形的周长为8 个单位，在该正方形的4 个顶点
处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6 的点与数轴上表示3
- 的点重合，再将数轴按顺时针方向
环绕在该正方形上，则数轴上表示2025 的点与正方形上的数字对应的是________．
【答案】2
【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先分别求出在数轴上，与正方
形上表示数字0，2，4，6 的点重合的点所表示的数，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：∵3
2
1
- +
= - ，1
2
1
- +
= ，1
2
3
+
=
，
∴在数轴上，与正方形上表示数字6 的点重合的点所表示的数依次是3
- ，3
8
- +
，3
8 2
- + ´ ，3 8 3
- + ´ ，L，
在数轴上，与正方形上表示数字0 的点重合的点所表示的数依次是1
- ，1 8
- + ，1 8 2
- + ´
，1 8 3
- + ´ ，L，
在数轴上，与正方形上表示数字2 的点重合的点所表示的数依次是1，1 8
+ ，1 8 2
+ ´
，1 8 3
+ ´ ，L，
在数轴上，与正方形上表示数字4 的点重合的点所表示的数依次是3，3 8
+ ，3
8 2
+ ´ ，3
8 3
+ ´ ，L，
∵2025
1 8 253
= + ´
，
∴数轴上表示2025 的点与正方形上的数字对应的是2，
故答案为：2 ．
【变式3】（23-24 七年级上·山西太原·期中）如图1，边长为1 个单位长度的正方形纸片的点A 与原点重合，
顶点B 与数轴上表示1 的点重合．第一次将正方形纸片从图1 的位置开始沿数轴向右滚动1 周、顶点A ，B
分别与表示4，5 的点重合．点A 记为
1A ，如图2；
第二次将正方形纸片从图2 的位置开始沿数轴向左滚动2 周，顶点A ，B 分别与表示4
- ，3
- 的点重合，点A
记为
2
A ，如图3；
第三次将正方形纸片从图3 的位置开始沿数轴向右滚动3 周，顶点A 落在数轴上的
3A 处；
第四次将正方形纸片从点A 在
1A 处的位置开始沿数轴向左滚动4 周，顶点A 落在数轴上的
4
A 处：．．．依
此规律，不断重复操作，解答下列问题．
(1)点
1A ，
2
A 之间的距离为______个单位长度，数轴上点
3A 表示的数为______．点
4
A 表示的数为______．点
3A ，
4
A 之间的距离为______个单位长度；
(2)请从下列A，B 两题中任选一题作答．我选择______题．
A 设第n （n 为正整数）次滚动结束时，顶点A 落在数轴上的点
n
A 处，
当n 为奇数时，点
n
A 表示的数为_______；
当n 为偶数时，点
n
A 表示的数为_______．
B．改变图1 中正方形纸片的位置．使顶点A 与数轴上表示2
- 的点重合，按上述规律滚动正方形纸片，设第
n （n 为正整数）次滚动结束时，顶点A 落在数轴上的点
n
A 处．请直接写出点
n
A 表示的数．
【答案】(1)8；8；8
- ；24
(2)A：2
2
n+
，2n
-
；B：当n 为奇数时，点
n
A 表示的数是2n；当n 为偶数时，点
n
A 表示的数是2
2
n
-
-
．
【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，有理数的减法的应用，数字类的规律探究，掌握探究的方法
是解本题的关键；
（1）先分别求解
1A ，
2
A ，
3A ，
4
A ，
5A ，
6
A 对应的数，再求解两点之间的距离即可；
（2）A：根据（1）中的启示，再总结规律即可；B：先求解A 对应2
- ，
1A 对应2 ，
2
A 对应6
- ，
3A 对应6 ，
4
A 对应10
-
，，再总结规律即可．
【详解】（1）解：数轴上点
1A 表示的数为4，数轴上点
2
A 表示的数为4
- ，
∴点
1A ，
2
A 之间的距离为
4
4
4
4
8
- -
=
+
=
，
∵正方形纸片边长为1，
∴正方形纸片周长为4，
∵正方形纸片从图3 的位置开始沿数轴向右滚动3 周，顶点A 落在数轴上的
3A 处，
∴数轴上点
3A 表示的数为8，
∵正方形纸片从点A 在
3A 处的位置开始沿数轴向左滚动4 周，顶点A 落在数轴上的
4
A 处，
∴数轴上点
4
A 表示的数为8
- ， 根据规律可得数轴上点
5A 表示的数为12，数轴上点
6
A 表示的数为12
-
，
∴点
5A ，
6
A 之间的距离为
12
12
12 12
24
- -
=
+
=
；
（2）A：由（1）总结可得， 当n 为奇数时，点
n
A 位于正半轴，表示的数为
2
1
2
2
n
n
+
=
+
，
当n 为偶数时，点
n
A 位于负半轴，表示的数为2n
-
，
B．由题意可得：A 对应2
- ，
1A 对应2 ，
2
A 对应6
- ，
3A 对应6 ，
4
A 对应10
-
，，
总结可得：当n 为奇数时，点
n
A 表示的数是2n；
当n 为偶数时，点
n
A 表示的数是2
2
n
-
-
．
▌题型08 数轴上圆形的运动规律探究
【典例8】（24-25 七年级上·全国·单元测试）如图，周长为4 个单位长度的圆上4 等分点为P ，Q ，M ，
N ，点P 落在数轴上的2 的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上2026
-
的点是（ ）
A．M
B．N
C．P
D．Q
【答案】C
【分析】本题考查图形类规律探索，数轴上两点间的距离，理解题意，找出规律是解题关键．根据数轴上负
方向上从2 的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应P ，N ，M ，Q ，解答即可．
【详解】解：根据题意可得：数轴上负方向上从2 的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应P ，
N ，M ，Q ．
∵表示2026
-
的点与表示2 的点的距离为
2
2026
2028
- -
=
，
又∵2028
4
507
¸
=
，
∴圆上落在数轴上2026
-
的点是P．
故选C．
【变式1】（25-26 七年级上·河北保定·期末）如图，直径为1 个单位长度的圆，从A 点（A 点在数轴上表示
的数是1）．设数轴向左滚动一周后到达点B ，则点B 表示的数是（ ）
A．p
B．1 p
+
C．2p
D．1- p
【答案】D
【分析】本题考查实数与数轴上的点的关系，求出圆的周长是解题的关键．求出圆的周长，根据数轴与实数
的一一对应关系解答即可．
【详解】解：∵直径为1 的圆的周长为1 π
π
´
=
，A 点在数轴上表示的数是1， A 点沿数轴向左滚动一周后到
达点B，
∴点B 表示的数为1
π
-
．
故选：D．
【变式2】（25-26 七年级上·江苏镇江·期末）如图，圆的周长为4 个单位长度，在该圆的四等分点处分别标
上数字1
- ，0 ，1，2 ，先让圆周上表示数字1
- 的点与数轴上表示2
- 的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，
则数轴上表示2026 的点与圆周上表示________的点重合．
【答案】1
-
【分析】本题考查了数轴，解决本题的关键是找出圆滚动的规律与数轴上的数字的对应关系，
2026
4
506
2
¸
=
L 表示圆从数轴上表示0 的位置开始滚动了506周，又滚动了2 个单位长度，所以数轴上表
示2026 的数与圆上表示1
- 的点重合．
【详解】解：由图可知，数轴上表示0 的数字与圆上表示1的点重合，
数轴上表示1的点与圆上表示2 的点重合，
数轴上表示2 的点与圆上表示1
- 的点重合，
数轴上表示3的点与圆上表示0 的点重合，
数轴上表示4 的点与圆上表示1的点重合，
\数轴上的数从1开始每4 个一循环，分别与圆上的2 、1
- 、0 、1重合，
2026
4
506
2
¸
=
Q
L ，
2026
\
表示圆在数轴上滚动了506个循环，第507 个循环滚动了2 个数，
\数轴上表示2026 的数与圆上表示1
- 的点重合．
故答案为：1
- ．
【变式3】（25-26 六年级上·山东东营·期末）【背景知识】
数轴是初中数学的重要工具，能将数与形结合．若数轴上点A、B 表示的数分别为a、b，则A、B 两点之间
的距离AB
a
b
=
-
．
【综合运用】
如图①，在数轴上，点A、B 表示的数分别为a、b，且满足
2
4
3
0
a
b
a
+
+
+
=
．
（1）则a =______，b = ______，A、B 两点之间的距离为______．
（2）点P 和点Q 分别从点A、点B 同时出发，都沿数轴负方向运动．点P 的运动速度为每秒1 个单位，
点Q 的运动速度为每秒3 个单位，设运动的时间为t（秒）．t 秒后，点P 对应的数是______，点Q 对应的
数是______（用含t 的代数式表示）．
【延伸拓展】
（3）如图②，半径为2 的圆从点A 沿正方向在数轴上滚动．
①滚动一周后圆与数轴的接触点对应的数是______，滚动两周后圆与数轴的接触点对应的数是______；
②滚动n 周后圆与数轴的接触点对应的数是多少？
【答案】（1）4
- ，12，16；（2）4
t
- - ；12
3t
-
；（3）①4
4p
- +
，4
8π
- +
；②4
4 π
n
- +
．
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，非负数的性质，数轴上的动点问题，
（1）根据非负数的性质求出a、b 的值，进而根据两点间的距离公式计算即可；
（2）表示出AP 、BQ 的值，进而根据点A、B 表示的数作答即可；
（3）①求出圆的周长，进而求出滚动后圆与数轴的接触点移动的距离，根据点A 表示的数作答即可；
②求出滚动n 周后圆与数轴的接触点移动的距离，根据点A 表示的数作答即可．
【详解】（1）解：∵
2
4
3
0
a
b
a
+
+
+
=
，
∴
4
0
a +
=
，
3
0
b
a
+
=
，
∴
4
a = - ，
3
b
a
-
=
∴
3
12
b
a
= -
=
，
∴A、B 两点之间的距离为
4 12
16
- -
=
．
故答案为：4
- ，12，16；
（2）解：∵点P 和点Q 分别从点A、点B 同时出发，点P 的运动速度为每秒1 个单位，点Q 的运动速度为
每秒3 个单位，设运动的时间为t（秒），
∴AP
t
= 、
3
BQ
t
=
，
∵点A、B 表示的数分别为4
- 、12，点P 和点Q 都沿数轴负方向运动，
∴点P 对应的数是4
t
- - ，点Q 对应的数是12
3t
-
．
故答案为：4
t
- - ；12
3t
-
；
（3）解：①∵圆的半径为2，
∴圆的周长为2
2
4
p
p
´
=
，
∴滚动一周后圆与数轴的接触点移动了4p 个单位，滚动两周后圆与数轴的接触点移动了2 4
8
p
p
´
=
个单位，
∵点A 表示的数为4
- ，
∴滚动一周后圆与数轴的接触点对应的数是4
4p
- +
，滚动两周后圆与数轴的接触点对应的数是4
8π
- +
．
故答案为：4
4p
- +
，4
8π
- +
；
②滚动n 周后圆与数轴的接触点移动了
4
4
n
n
p
p
´
=
个单位，
∵点A 表示的数为4
- ，
∴滚动n 周后圆与数轴的接触点对应的数是4
4 π
n
- +
．
▌题型09 数轴上的翻折问题
【典例9】（24-25 七年级上·山东济南·阶段检测）如图，一条数轴上有点A 、B ，点C 在线段AB 上，其中
点A 、B 表示的数分别是6,4
-
，现以点C 为折点，将数轴向右对折，若点A 落在数轴上且与点B 距离3 个单
位长度，则C 点表示的数是（ ）
A．1
B．2.5
-
或0.5
C．0.5 或3
-
D．1 或3
-
【答案】B
【分析】设点C 表示的数为
Cx ，根据题意折叠的意义，结合点A、B 表示的数分别是6
- ，4，分类解答即可．
本题考查了数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离计算，有理数的加减混合运算，折叠的计算，解方程，
熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：设点C 表示的数为
Cx ，点A 折叠后的对应点表示的数
0x ，
由点A 、B 表示的数分别是6,4
-
，
根据折叠的性质，得
0
6
C
C
x
x
x
- -
=
-
，
解得
0
6
2
C
x
x
-
=
，
当
0x 在点B 的左侧时，根据题意，得
0
4
3
1
x =
-
= ，
故
1 6
2.5
2
C
x
-
=
= -
；
当
0x 在点B 的右侧时，根据题意，得
0
4
3
7
x =
+
=
，
故
7
6
0.5
2
C
x
-
=
=
；
故点C 表示的数为2.5
-
或0.5 ；
故选：B．
【变式1】（25-26 七年级上·上海浦东新·期末）如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示3
- 的点与表
示1 的点重合，此时，表示数字a 的点与表示数字______的点重合（用含a 的代数式表示）
【答案】2
a
- -
【分析】本题主要考查了数轴的翻折，掌握中点公式是解题的关键．数轴翻折后，表示3
- 的点与表示1 的
点重合，则数轴沿中点1
- 翻折，根据重合的数中点是1
- 即可解答．
【详解】解：由题意得数轴沿3
- 和1 的中点3 1
1
2
- +
= - 翻折，
设与表示数字a 的点重合的是表示数字b 的点，
则
1
2
a
b
+
= - ，
解得
2
b
a
- -
=
，
故答案为2
a
- - ．
【变式2】（25-26 七年级上·天津和平·阶段检测）在一条可以折叠的数轴上，A ，B 表示的数分别是9
- ，
4 ，如图，以点C 为折点，将此数轴向右对折，若点A 在点B 的右边，且5
1
AB = ，则C 点表示的数是______．
【答案】
12
5
-
【分析】本题主要考查数轴，一元一次方程的应用，解决此题的关键是能利用数轴上两点间的距离公式用含
x 的式子表示出线段的长度．设点C 表示的数是,x 利用
1
AB
AC
BC
=
-
= ，列出方程解答即可．
【详解】解：设点C 表示的数是x ，
则
9
9
AC
x
x
=
- -
=
+
，
4
,
BC
x
=
-
5
1
AB =
Q
，
\
1
5
AB =
即
1
9
4
2
5
5
(
)
AC
BC
x
x
x
-
=
+
-
-
=
+
=
，
解得：
12
5
x = -
，
\点C 表示的数是
12
5
-
．
故答案为：
12
5
-
．
【变式3】（25-26 七年级上·甘肃兰州·期末）如图1，在数轴上点A，B，C 从左到右依次排列，有理数a，
b，c 所对应的点分别为点A，B，C．已知a 是最大的负整数，b 是a 的相反数，
4
c =
，请回答下列问题：
(1)填空：a =________，b = ________；
(2)如图2，P 为数轴上一动点，点P 表示的数为p，现以P 为折点，将数轴向右对折．（点P 在点A 的右侧，
与点B，C 的相对位置不固定）
①若对折后点A 与点C 重合，求此时p 的值；
②若对折后A，B，C 三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时p 的值．
【答案】(1) 1
- ，1
(2)①p 的值为1.5；②p 的值为0.75 或2 或3.5
【分析】本题考查了数轴上数的表示，数轴折叠后，折点到对应点的距离相等．关键是分类讨论要全面．
（1）最大的负整数是1
- ，1
- 的相反数是1，据此解答即可；
（2）①对折后点A 与点C 重合，即点P 到A ，C 的距离相等，据此求解即可；
②分三种情况进行分析计算．
【详解】（1）解：a 是最大的负整数，b 是a 的相反数，
∴
1
a = - ，
1
b = ；
（2）解：①Q点A 表示1
- ，点C 表示4，经点P 对折后点A 与点C 重合，
\点P 表示的数为：
1
4
1.5
2
- +
=
．
②当对折后点A 到B，C 距离相等时，
A
\
对折后对应的数：1
4
2.5
2
+
=
，
\点P 表示的数为：1
2.5
0.75
2
- +
=
；
当对折后点C 到A，B 距离相等时，
B
\
对折后对应的数：4 1
3
- =
，
\点P 表示的数为：1 3
2
2
+
=
；
当对折后点B 到A，C 距离相等时，
B
\
对折后对应的数：4
2
6
+
=
，
\点P 表示的数为：1 6
3.5
2
+
=
．
综上，p 的值为0.75或2 或3.5．
▌题型10 数轴上的整点覆盖问题
长度为n(n 为整教)的线段，最多能够覆盖数轴上的(n+1)个整数点，最少能够覆盖数轴
上的n 个整数点.
【典例10】（2025 七年级上·江苏泰州·专题练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是
1cm ，若在这个数轴上任意画出一条长为4cm 的线段AB ，则线段AB 盖住的整点个数为（ ）
A．3 个
B．4 个
C．3 个或4 个
D．4 个或5 个
【答案】D
【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．利用数轴知识解答．
【详解】解：当AB 起点在整点时，盖住的整点个数为4 1
5
+ =
；
当AB 起点不在整点时，设线段AB 的区间为
,
4
a a +
，其中a 不是整数，则盖住的整点个数为
4
4
a
a
+
-
=
．
\线段AB 盖住的整点个数为4 或5．
故选：D．
【变式1】（25-26 七年级上·河南南阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中
数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（ ）
A．8
-
B．9
-
C．10
-
D．11
-
【答案】C
【分析】本题主要考查数轴，解题的关键是熟练掌握数轴上的点对应的数的规律．结合数轴找到6.3
1
-
-
:
与
0
4.1
:
之间的整数，然后相加即可．
【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的数在6.3
1
-
-
:
与0
4.1
:
之间，
∴盖住的整数是6, 5, 4, 3, 2,1,2,3,4
-
-
-
-
-
，
∴所盖住的整数的和为：
6
5
4
3
2
1
2
3
4
10
- + -
+ -
+ -
+ -
+ +
+ +
= -
．
故选：C．
【变式2】（24-25 七年级上·江苏常州·阶段检测）数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1 厘米，
若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3 个整点，则这根火柴棒的长度为
_____厘米．
【答案】3 或2
【分析】本题考查了数轴，解题的关键是找出长度为n（n 为正整数）的线段盖住n 或
1
n +
个整点，本题
属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分端点是否与整点重合两种情况来考虑是关键．
由于若火柴棒的端点恰好与整点重合，则1 厘米长的线段盖住2 个整点，若火柴棒的端点不与整点重合，
则1 厘米长的线段盖住1 个整点，据此分析即可求解．
【详解】解：Q长度为n（n 为正整数）的线段盖住n 或
1
n +
个整点，．
∴长度为m 的火柴棒能盖住的3 个整点时，火柴棒的长度
3
m =
厘米或
1
3
m + =
，即
2
m =
厘米，
故答案为：3 或2．
【变式3】（24-25 七年级上·全国·课后作业）数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我
们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1 厘米，有一条长2 米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖
住的整数点的个数．
（1）若2 米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有_______个；
（2）若2 米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有_______个．
【答案】
201
200
【分析】本题考查数轴上的整点覆盖问题，此题要找出变化的规律，分两种情况：①当线段长为1 厘米时，
如果它的两个端点正好与一个单位长度的两个整数点重合，就能覆盖住这两个点，以此类推，n 厘米长的线
段可盖住
1
n +
个点；②长为1 厘米的线段两端与一个单位长度的两个整数点不重合时，就只能覆盖住一个
整数点，类似第一种情况，则n 厘米长的线段可盖住n 个点．
【详解】解：2 米
200
=
厘米；
（1）当长度为2 米的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，线段覆盖住的整点个数为200 1
201
+ =
个；
（2）若2 米的线段的两端点不与两个整数点重合，则它可覆盖住的整数点个数为200 个；
故答案为：201，200
▌题型11 数轴与绝对值的几何意义最值问题
求出每个绝对值等于0 时x 的对应值，把所有的对应值从小到大排列，如果题目中有奇
数个零点，则取“中间点”的对应值时，整个式子取最小值，如果题目中有偶数个零点，则取“中间段”里
的任意值，整个式子都能取到最小值.
简单来说就是: 若绝对值的个数为奇数，则当x 对应的点取中间点时，式子有最小值；
若绝对值的个数为偶数，则当x 对应的点在中间段(包括端点)时，式子有最小值.
解题大招：奇取中间点，偶取中间段.
【典例11】（25-26 七年级上·江苏南京·期末）
1
x
x
a
- +
+
的最小值为3，则a 的值为（ ）
A．1
-
B．2 或4
-
C．3 或1
-
D．2
【答案】B
【分析】本题考查了解绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义求解，
1
x -
表示数轴上点x 到1 的距离，
x
a
x
a
+
=
- -
表示数轴上点x 到a
-
的距离，两个距离之和的最小值为两点间的距离，据此列方程求解a
的值．
【详解】∵
1
x -
表示数轴上点x 到1 的距离，
x
a
x
a
+
=
- -
表示数轴上点x 到a
-
的距离，
∴
1
x
x
a
-
+
+
的最小值为数轴上1 与a
-
两点间的距离，即
1
1
a
a
- -
=
+
，
又∵该式最小值为3，
∴1
3
a
+
=
，
∴1
3
a
+
=
或1
3
a
+
= - ，
解得
2
a =
或
4
a = - ．
故选：B．
【变式1】（25-26 七年级上·浙江嘉兴·期末）已知
3
2
x
x
-
+
+
的最小值是a ，
3
2
x
x
-
-
+
的最大值是b ，
则a
b
+
= （ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】B
【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，化简绝对值，利用绝对值的几何意义，分别求出两个绝对值表达
式的最值，再计算a
b
+
的值．
【详解】解：
3
x -
表示数轴上点x 到3 的距离，
2
x +
表示数轴上点x 到2
- 的距离．
∴当2
3
x
- £
£
时，
3
2
x
x
-
+
+
取得最小值，
∴
3
2
5
a
x
x
=
-
+
+
=
，
当
2
x £ - 时，
3
2
3
2
3
2
5
x
x
x
x
x
x
é
ù
-
-
+
= -
-
- -
+
=
-
+
+
=
ë
û
，
当2
3
x
- <
<
时，
3
2
3
2
1
2
5
x
x
x
x
x
-
-
+
=
-
-
-
= -
<
，
当
3
x ³ 时，
3
2
3
2
5
x
x
x
x
-
-
+
=
-
-
-
= - ，
∴
5
b =
，
∴
5
5
10
a
b
+
=
+
=
．
故选：B
【变式2】（25-26 七年级上·湖北武汉·阶段检测）
2020
2
2021
3
2022
4
2023
5
2024
x
x
x
x
x
-
+
-
+
-
+
-
+
-
的最小值为______
【答案】15
【分析】本题考查绝对值及数轴上点的距离，题目难度较大，解题关键理解绝对值的几何意义．数轴上有奇
数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，据此求解即可．
【详解】解：
2020
2
2021
3
2022
4
2023
5
2024
x
x
x
x
x
-
+
-
+
-
+
-
+
-
可以看成数轴上一个表示x 的点到1
个2020 、2 个2021、3 个2022 、4 个2023、5 个2024 的距离之和，共1
2
3
4
5
15
+
+ +
+
=
个点，
∵数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，15 个点正中间的是第8 个点，
∴当
2023
x =
时，
2020
2
2021
3
2022
4
2023
5
2024
x
x
x
x
x
-
+
-
+
-
+
-
+
-
有最小值，
最小值
2023
2020
2 2023
2021
3 2023
2022
4 2023
2023
5 2023
2024
-
+
-
+
-
+
-
+
-
=
3
2 2
3 1
4 0
5 1
15
=
+ ´ + ´ + ´ + ´ =
，
故答案为：15．
【变式3】（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】
1
2
3
a
a
a
-
+
-
+
-
的最小值是多少？
【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．a 的几何意义是a 这个数在数轴上对应的点
到原点的距离，那么
1
a - 可以看作a 这个数在数轴上对应的点到1 的距离；
1
2
a
a
- +
-
就可以看作a 这个
数在数轴上对应的点到1 和2 两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究
1
2
a
a
- +
-
的最小值．我们先看a
表示的点可能的3 种情况，如图所示：
（1）如图①，a 在1 的左边，从图中很明显可以看出a 到1 和2 的距离之和大于1．
（2）如图②，a 在1，2 之间（包括在1，2 上），可以看出a 到1 和2 的距离之和等于1．
（3）如图③，a 在2 的右边，从图中很明显可以看出a 到1 和2 的距离之和大于1．因此，我们可以得出
结论：当a 在1，2 之间（包括在1，2 上）时，
1
2
a
a
- +
-
有最小值1．
【问题解决】
(1)
2
5
a
a
-
+
-
的几何意义是 ，请你结合数轴探究：
2
5
a
a
-
+
-
的最小值是 ．
(2)
1
2
3
a
a
a
-
+
-
+
-
的几何意义是 ，请你结合数轴探究：
1
2
3
a
a
a
-
+
-
+
-
的最小值是 ，并在图④的数
轴上描出得到最小值时a 所在的位置，由此可以得出a 的值为 ．
【答案】(1)a 这个数在数轴上对应的点到2 和5 两个点的距离之和；3；
(2)a 这个数在数轴上对应的点到1，2，3 这三个点的距离之和；图见解析；2；2．
【分析】本题考查了绝对值的几何意义．
（1）仿照题干作答即可；
（2）仿照题干表示出
1
2
3
a
a
a
-
+
-
+
-
的几何意义，仿照题干结合数轴作答即可．
【详解】（1）由题可知，
2
5
a
a
-
+
-
的几何意义是a 这个数在数轴上对应的点到2 和5 两个点的距离之和，
当a 在2 和5 之间时（包括2，5 上），a 到2 和5 的距离之和等于3，此时
2
5
a
a
-
+
-
取得最小值是3；
故答案为：a 这个数在数轴上对应的点到2 和5 两个点的距离之和；3；
（2）由题可知，
1
2
3
a
a
a
-
+
-
+
-
的几何意义是a 这个数在数轴上对应的点到1，2，3 这三个点的距离之
和，
①如图，a 在1 的左边，可以得到a 到1，2，3 的距离之和大于3；
②如图，a 在1 上时，可以得到a 到1，2，3 的距离之和等于3；
③如图，a 在1 的右边2 的左边时，可以得到a 到1，2，3 的距离之和大于2 小于3；
④如图，a 在2 上时，可以得到a 到1，2，3 的距离之和等于2；
⑤如图，a 在2 的右边3 的左边时，可以得到a 到1，2，3 的距离之和大于2 小于3；
⑥如图，a 在3 上时，可以得到a 到1，2，3 的距离之和等于3；
⑦如图，a 在3 的右边，可以得到a 到1，2，3 的距离之和大于3；
可知
1
2
3
a
a
a
-
+
-
+
-
的最小值是2，最小值时a 的值为2，图如下：
故答案为：a 这个数在数轴上对应的点到1，2，3 这三个点的距离之和；2；2．
▌题型12 与数轴有关的新定义问题
【典例12】（25-26 七年级上·江苏无锡·期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“e”，规定：
a
b
a
b
a
b
=
+
+
-
e
．例如，2
5
2
5
2
5
7
3
10
=
+
+
-
=
+
=
e
．当有理数a，b 在数轴上的位置如图所示时，
化简a
b
e 得______．
【答案】2b
-
【分析】易得
0,
0
a
b
a
b
+
<
-
>
，化简绝对值即可．
【详解】解：由数轴可知：
,
b
a b
a
<
>
，
∴
0,
0
a
b
a
b
+
<
-
>
，
∴
2
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
=
+
+
-
= - -
+
-
= -
e
．
【变式1】（25-26 七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知x
［］表示不超过x 的最大整数．如：
3.2
3, 0.7
1
=
-
= - ．现定义：x
x
x
=
-
，如
1.5
1.5
1.5
0.5
=
-
= -
，则
7
3.8
3
ì ü
-
-
=
í ý
î þ
______．
【答案】2
15
【分析】本题考查新定义运算与有理数的减法运算，需先根据给定定义分别求出
3.8
-
和7
3
ì ü
í ý
î þ的值，再利用
有理数减法法则计算最终结果．
【详解】解：∵
x
x
x
=
-
｛｝
，
1
3.8
3.8
3.8
4
3.8
4
3.8
5
-
= -
- -
= - - -
= - +
= -
；
∵x
x
x
=
-
，
∴7
7
7
7
1
2
3
3
3
3
3
ì ü
é ù
=
-
=
-
= -
í ý
ê ú
î þ
ë û
；
∴
7
1
1
1
1
3
5
2
3.8
3
5
3
5
3
15
15
- +
ì ü
æ
ö
-
-
= -
- -
= -
+
=
=
í ý
ç
÷
î þ
è
ø
，
故答案为：2
15 ．
【变式2】（25-26 七年级上·四川成都·期中）定义：已知点M
N
Q
、、
为数轴上三点，我们规定：点Q 到点M
的距离是点Q 到点N 的距离的K 倍，则称Q 是
,
M N 的“ K 倍点”，记作：
,
Q M N
K
=
．例如：若点Q 表
示的数为0 ，点M 表示的数为2
- ，点N 表示的数为1，则Q 是
,
M N 的“2 倍点”，记作：
,
2
Q M N =
．应
用：如图有一条数轴，A
B
P
、、
为数轴上三点，分别对应1
- ，5 ，3
- ．
,
P B A 的值是______；若点D 是数
轴上一点，且
,
3
D A B =
，则点D 表示的数______．
【答案】
4
8 或7
2
【分析】本题考查了一元一次方程的几何应用，数轴上两点之间的距离，求出
5
3
8
PB =
- -
=
，
3
1
2
PA = - - -
=
，则有
4
PB
PA
=
，即
,
4
P B A =
，设点D 表示的数为x ，则有
1
DA
x
=
+ ，
5
DB
x
=
-
，
由
,
3
D A B =
，得
1
3
5
x
x
+
=
-
，然后求出x 的值即可，根据理解题中定义和分类讨论是解题的关键．
【详解】解：∵A
B
P
、、
为数轴上三点，分别对应1
- ，5 ，3
- ，
∴
5
3
8
PB =
- -
=
，
3
1
2
PA = - - -
=
，
∴
4
PB
PA
=
，
∴
,
4
P B A =
，
设点D 表示的数为x ，则有
1
1
DA
x
x
=
- -
=
+
，
5
DB
x
=
-
，
∵
,
3
D A B =
，
∴
1
3
5
x
x
+
=
-
，
∴
1
3
5
x
x
+ =
-
或
1
3
5
x
x
+ = -
-
，
解得：
8
x =
或
7
2
x =
，
∴点D 表示的数为8 或7
2 ，
故答案为：4 ，8 或7
2 ．
【变式3】（21-22 七年级上·福建泉州·期中）阅读理解，完成下则各题
定义：已知A
B
C
，，
为数轴上任意三点，若点C 到点A 的距离是它到点B 的距离的3倍，则称点C 是
,
A B
的3倍点．例如：如图1，点C 是
,
A B 的3倍点，点D 不是
,
A B 的3倍点，但点D 是
,
B A 的3倍点，根据
这个定义解决下面问题：
(1)在图1中，点A ______
,
C D 的3倍点（填写“是”或“不是”）；
,
D C 的3倍点是点______（填写A 或B 或C
或D ）；
(2)如图2 ，M
N
、
为数轴上两点，点M 表示的数是3
- ，点N 表示的数是5 ，若点E 是
,
M N 的3倍点，则
点E 表示的数是______；
(3)若P
Q
、
为数轴上两点，点P 在点Q 的左侧，PQ
a
=
，一动点H 从点P 出发，以每秒3个单位长度的速度
沿数轴向右运动，设运动时间为t 秒，求当t 为何值时，点H 恰好是P 和Q 两点的3倍点？（用含a 的代数式
表示）．
【答案】(1)是，B
(2)3或9
(3) 1
12 a 或1
4 a 或1
2 a
【分析】（1）根据3倍点的定义解答即可求解；
（2 ）设点E 表示的数是x ，分点E 在线段MN 上和点E 在线段MN 的延长线上两种情况，根据3倍点的定
义列出方程解答即可求解；
（3）由题意得
3
PH
t
=
，再分三种情况：点H 是
,
P Q 的3倍点且点H 在线段PQ 上；点H 是
,
Q P 的3倍
点；点H 是
,
P Q 的3倍点且点H 在线段PQ 的延长线上，根据3倍点的定义列出方程解答即可求解；
本题考查了数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：由图可得，
1
2
3
AC = - -
=
，
1
2
1
AD = - - -
= ，
∴AC
3AD
=
，
∴点A 是
,
C D
é
ù
ë
û 的3倍点；
∵
3
BD
BC
=
，
∴
,
D C
é
ù
ë
û 的3倍点是点B ，
故答案为：是，B ；
（2）解：设点E 表示的数是x ，
当点E 在线段MN 上时，则
3
3 5
x
x
- -
=
-
，
解得
3
x =
；
当点E 在线段MN 的延长线上时，则
3
3
5
x
x
- -
=
-
，
解得
9
x =
；
∴点E 表示的数是3或9，
故答案为：3或9；
（3）解：由题意得，
3
PH
t
=
，
当点H 是
,
P Q 的3倍点且点H 在线段PQ 上时，则
3
3
3
t
a
t
=
-
，
解得
1
4
t
a
=
；
当点H 是
,
Q P 的3倍点时，则
3
3 3
a
t
t
-
= ´
，
解得
1
12
t
a
=
；
当点H 是
,
P Q 的3倍点且点H 在线段PQ 的延长线上时，则
3
3 3
t
t
a
=
-
，
解得
1
2
t
a
=
；
综上，当t 的值为1
12 a 或1
4 a 或1
2 a时，点H 恰好是P 和Q 两点的3倍点．
▌题型13 单动点运动问题
【典例13】（25-26 七年级上·辽宁沈阳·期末）点A ，B 是数轴上的两个点，点A 表示的数为20
-
，点B 表示
的数为40，现有一动点P 从点B 出发，以2 个单位每秒的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t 秒，当
1
3
PA
PB
=
时，则t = ________．
【答案】45 或45
2
【分析】本题考查数轴上点的运动，一元一次方程的应用．当运动t 秒时，点P 表示的数为40
2
- t ，根据数
轴上两点间距离表示出PA ，PB ，根据
1
3
PA
PB
=
列出方程，求解即可．
【详解】解：当运动t 秒时，点P 表示的数为40
2
- t ，
∵点A 表示的数为20
-
，点B 表示的数为40，
∴
20
40
2
2
60
PA
t
t
= -
-
-
=
-
，
40
40
2
2
PB
t
t
=
-
-
=
，
∵
1
3
PA
PB
=
，
∴
1
2
60
2
3
t
t
-
=
，
∴
45
t =
或
45
2
t =
．
故答案为：45 或45
2 ．
【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）已知点A ，B 在数轴上对应的数分别为a ，b ，且
2
6
4
0
a
b
+
+
-
=
，
若动点P 在数轴上对应的数为x ，当PA ＋PB ＝16时，x 的值为______．
【答案】9
- 或7
【分析】本题考查了数轴上的点，绝对值与偶次幂的非负性，解一元一次方程的应用；根据题意得出
6
a = - ，
4
b =
，|
6 |
|
4 | 16
x
x
+
+
-
=
，分类讨论，即可求解．
【详解】解：Q
2
6
4
0
a
b
+
+
-
=
，
\|
6 | 0
a +
=
，
2
(
4)
0
b -
=
；
解得
6
a = - ，
4
b =
；
动点P 在数轴上对应的数为x ，当PA ＋PB ＝16时，
\
|
6 |
|
4 | 16
PA
PB
x
x
+
=
+
+
-
=
．
即P 点在A 和B 点之间的不同位置情况：
若P 点在A 点左侧，即
6
x < - ，则|
6 |
|
4 |
(
6)
(
4)
16
x
x
x
x
+
+
-
= -
+
-
-
=
，化简得2
2
16
x
-
-
=
，从而得到
9
x = - ．
若P 点在B 点右侧，即
4
x >
，则|
6 |
|
4 |
6
4
16
x
x
x
x
+
+
-
=
+
+
-
=
，化简得2
2
16
x +
=
，从而得到
7
x =
．
若P 点在A 和B 点之间，即6
4
x
- £
£
，则|
6 |
|
4 | (
6)
(4
)
10
x
x
x
x
+
+
-
=
+
+
-
=
，显然不满足
16
PA
PB
+
=
．
综上，当
16
PA
PB
+
=
时，x 的值为9
- 或7 ．
故答案为：9
- 或7 ．
【变式2】（24-25 七年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图所示，,
A B 为数轴上两点，且两点表示的数互为相反
数，点B 表示的数是1，一个动点从点A 处出发，先向右移动5 个单位长度，再向左移动4 个单位长度到达
点C ，则点C 表示的数为______．
【答案】0
【分析】本题主要考查了相反数、用数轴上的点表示有理数、数轴上动点问题等知识，理解题意，熟练掌握
相关知识是解题关键．首先确定点A 表示的数是1
- ，再根据“向右移动，加；向左移动，减”的原则，即可获
得答案．
【详解】解：根据题意，
,
A B 为数轴上两点，且两点表示的数互为相反数，
∵点B 表示的数是1，
∴点A 表示的数是1
- ，
一个动点从点A 处出发，先向右移动5 个单位长度，
此时该点表示的数为1
5
4
- +
=
，
再向左移动4 个单位长度到达点C ，
则点C 表示的数为4
4
0
-
=
．
故答案为：0．
【变式3】（23-24 七年级上·浙江舟山·期末）如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上一点，且
14
AB =
．动点P 从点A 出发，以每秒5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为
s
0
t
t >
．
（1）当t = ________s时，
4
PB =
；
（2）若点P 表示的数是x ，当2
4
2
6
x
x
+
+
-
的值最小时，则t 的取值范围是________．
【答案】
2 或3.6
1
2
t
£ £
【分析】本题考查的是绝对值的化简，一元一次方程的应用，熟练的化简绝对值是解本题的关键；
（1）先求解B 对应的数，再由
8
5
6
14
5
PB
t
t
=
-
- -
=
-
，再建立方程求解即可；
（2）分三种情况化简绝对值，再求解代数式的值，得到2
4
2
6
x
x
+
+
-
的最小值为10，此时2
3
x
- £
£
，再
建立方程即可得到答案．
【详解】解：（1）∵点A 表示的数为8，B 是数轴上一点，且
14
AB =
，
∴8 14
6
-
= - ，即B 对应的数为6
- ，
而P 运动中对应的数为：8
5t
-
，
∴
8
5
6
14
5
PB
t
t
=
-
- -
=
-
，
∵
4
PB =
，
∴14
5
4
t
-
=
，
∴14
5
4
t
-
=
或14
5
4
t
-
= - ，
解得：
2
t =
或
3.6
t =
．
故答案为：2 或3.6；
（2）当
3
x ³ 时，
∴2
4
2
6
x
x
+
+
-
2
4
2
6
x
x
=
+
+
-
4
2
x
=
-
，
当
3
x =
时，此时代数式有最小值10；
当2
3
x
- <
<
时，
∴2
4
2
6
x
x
+
+
-
2
4
6
2
x
x
=
+
+
-
10
=
，
当
2
x £ - 时，
∴2
4
2
6
x
x
+
+
-
2
4
6
2
x
x
= -
-
+
-
2
4x
=
-
，
当
2
x = - 时，此时最小值为10；
综上：2
4
2
6
x
x
+
+
-
的最小值为10，此时2
3
x
- £
£
，
当8
5
2
t
-
= - 时，解得
2
t =
，
当8
5
3
t
-
=
时，解得
1
t = ，
∴1
2
t
£ £
．
故答案为：1
2
t
£ £
．
▌题型14 双动点运动问题
【典例14】（25-26 七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，点A ，C ，B 在数轴上表示的数分别是3
- ，1，
5 ．动点P ，Q 同时出发，动点P 从点A 出发，以每秒4 个单位的速度沿A→B 匀速运动．动点Q 从点C 出发，
以每秒1个单位的速度沿C
B
®
向终点B 匀速运动，设点P 的运动时间为t (s)．当点P ，Q 到点C 的距离相
等时，t 的值是______．
【答案】4
3 或4
5
【分析】本题主要考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题．设运动时间为st ，则P 表示的数为
3
4t
- +
，Q 表示的数为1 t
+ ，可得
3
4
1
4
4
PC
t
t
= - +
-
= - +
，
1
1
QC
t
t
= + - = ，再进一步求解即可．
【详解】解：设运动时间为st ，则P 表示的数为3
4t
- +
，Q 表示的数为1 t
+ ，
∴
3
4
1
4
4
PC
t
t
= - +
-
= - +
，
1
1
QC
t
t
= + - = ，
∵点P ，Q 到点C 的距离相等，
∴
4
4t
t
- +
= ，
∴4
4t
t
- +
= 或4
4t
t
- +
= - ，
解得：
4
3
t =
或
4
5
t =
．
故答案为：4
3 或4
5
【变式1】（24-25 七年级上·广东深圳·期末）已知A，B 是数轴上的两个点，点A，B 所表示的数分别为5
- ，
11，动点P 以每秒4 个单位长度的速度从点A 向右运动，同时，动点M 以每秒2 个单位长度的速度从点B
向左运动，用圆规在射线AB 上截取AD
PM
=
（点D 在点A 右侧），当点D 恰好落在AB 中点时，点P 运动
时间为________秒．
【答案】4
3 或4
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及两点之间的距离，解一元一次方程，正确表示运动后的点表示
的数是解题的关键．
由题意得
1
8
2
AD
AB
=
=
，则设运动的时间为t 秒，则t 秒后点P 表示的数为5
4t
- +
，点M 表示的数为
11
2t
-
，由AD
PM
=
得
11
2
5
4
8
t
t
-
- - +
=
，分类讨论，解方程即可．
【详解】解：由题意得
11
5
16
AB =
- -
=
，
∵点D 恰好落在AB 中点，
∴
1
8
2
AD
AB
=
=
，
设运动的时间为t 秒，则t 秒后点P 表示的数为5
4t
- +
，点M 表示的数为11
2t
-
，
∴由AD
PM
=
得：
11
2
5
4
8
t
t
-
- - +
=
，
解得：
4
3
t =
或
4
t =
，
故答案为：4
3 或4．
【变式2】（25-26 七年级上·贵州六盘水·期末）如图，在射线AB 上，动点P，Q 同时以2cm/s和1cm/s 的速
度从点A，B 向射线AB 方向运动，点M 为BP 的中点，点N 为MQ 的中点，t 秒时MN
AB =________．
【答案】1
4 /0.25
【分析】本题主要考查了数轴上点的特点，数轴上两点间距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公
式．以点A 为原点，建立数轴，则点P 表示的数为2t ，设点B 表示的数为
0
a a >
，点Q 表示的数为a
t
+ ，
根据点M 为BP 的中点，点M 表示的数为2
1
2
2
t
a
t
a
+
= +
，根据点N 为MQ 的中点，得出点N 表示的数为
1
3
2
2
4
t
a
t
a
a
t
+
+ +
=
+ ，根据两点间距离公式得出
3
1
1
4
2
4
MN
t
a
t
a
a
æ
ö
= +
-
+
=
ç
÷
è
ø
，即可得出答案．
【详解】解：以点A 为原点，建立数轴，则点P 表示的数为2t ，设点B 表示的数为
0
a a >
，点Q 表示的
数为a
t
+ ，如图所示：
则AB
a
=
，
∵点M 为BP 的中点，
∴点M 表示的数为2
1
2
2
t
a
t
a
+
= +
，
∵点N 为MQ 的中点，
∴点N 表示的数为
1
3
2
2
4
t
a
a
t
a
t
+
+
+
=
+ ，
∵
0
a >
，
0
t >
，
∴
3
1
4
2
t
a
t
a
+
> +
，
∴点N 在点M 的右侧，
∴
3
1
1
4
2
4
MN
t
a
t
a
a
æ
ö
= +
-
+
=
ç
÷
è
ø
，
∴
1
1
4
4
a
MN
AB
a
=
=
．
故答案为：1
4 ．
【变式3】（25-26 七年级上·江西新余·期末）数轴上两点A，B 对应的数分别是a，b，已知a，b 满足
2
4
8
0
a
b
+
+
-
=
．若有一动点P 从数轴上点A 出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向点B 匀速运动，
动点Q 从点B 同时出发，以每秒2 个单位长度的速度沿着数轴向点A 匀速运动，规定其中一个动点到达终
点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒．
(1) a = ，b = ，并在数轴上标出A，B 两点；
(2)【解决问题】问点P 运动多少秒与点Q 相距3 个单位长度？
【答案】(1) 4
- ；8；图见解析
(2) 9
5 秒或3 秒
【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上表示有理数，数轴上两点距离，一元一次方程的应用，理解题意
是解决本题的关键．
（1）根据非负数的性质可得
4
0
a +
=
，
8
0
b -
=
，即可求解；
（2）设运动时间为t 秒，则
3
AP
t
=
，
2
BQ
t
=
，
8
4
12
AB =
- -
=
，再根据题意分两种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：∵
2
4
8
0
a
b
+
+
-
=
，
∴
4
0
a +
=
，
8
0
b -
=
，
∴
4
a = - ，
8
b =
，
故答案为：4
- ，8；
在数轴上标出A、B 两点，如图所示：
（2）解：设运动时间为t 秒，根据P，Q 的运动，
则
3
AP
t
=
，
2
BQ
t
=
，
8
4
12
AB =
- -
=
，
分两种情况：
当点P 在点Q 的左侧时，2
3
12
3
t
t
+
=
-
解得
9
5
t =
，
当点P 在点Q 的右侧时，2
3
12
3
t
t
+
=
+
解得
3
t =
，
∴点P 运动9
5 秒或3 秒时与点Q 相距3 个单位长度．
▌题型15 多动点运动问题
【典例15】（25-26 七年级上·浙江金华·期末）如图，在数轴上点A ，B 表示的数分别为30
-
，10，动点N
从点A 出发以每秒6 个单位的速度先沿正方向运动，到达原点后立即按原速返回，动点P 从点B 出发以每秒
4 个单位的速度沿负方向运动，动点Q 从原点出发以每秒3个单位的速度沿负方向运动，三点同时出发，当
点N 回到点A 时，三点停止运动．存在常数k ，当kPQ
QN
-
在某段时间内为定值时，k 的值是__________．
【答案】9
- ，9，3
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，关键是根据点的运动速度和方向，表示
,
PQ QN 的长度，进而求得k
的值．
【详解】解：当
10
0
3
t
< £
时，
10
4
3
10
,
3
30
6
30
9
PQ
t
t
t QN
t
t
t
=
-
+
=
-
= -
- -
+
=
-
，
∴
10
30
9
9
10
30
kPQ
QN
k
t
t
k t
k
-
=
-
-
-
=
-
+
-
，
∵上式为定值，
∴9
0
k
-
=
，
即：
9
k =
；
当10
5
3
t
< <
时，
9
30
QN
t
=
-
，
10
PQ
t
=
- ，
∴
9
10
30
kPQ
QN
k
t
k
-
= - -
+
+
∵上式为定值，
∴
9
k = - ；
当5
10
t
< £
时，
10
,
6
5
3
3
30
PQ
t QN
t
t
t
=
-
= -
-
+
= -
+
，
∴
10
3
30
3
10
30
kPQ
QN
k
t
t
k t
k
-
=
-
- -
+
=
-
+
-
，
∵上式为定值，
∴
3
k = ；
故答案为：9,9,3
-
．
【变式1】．（25-26 七年级上·河南平顶山·期末）如图，已知数轴上有三点A，B，C，
2
AC
AB
=
，
60
AB =
，点A 对应的数是40．动点P，Q 同时从点C，A 出发向右运动，同时动点R 从点A 出发向左运动，
已知点P 的速度是点R 的速度的3 倍，点Q 的速度是点R 的速度的2 倍少4 个单位长度/秒，经过5 秒后，
点P，R 之间的距离与点Q，R 之间的距离相等，则动点Q 的速度为______个单位长度/秒．
【答案】4 或36
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键，此题阅读量较
大应细心分析．根据
2
AC
AB
=
，
60
AB =
，得出
120
AC =
，利用点A 对应的数是40，即可得出点C 对应的
数；假设点R 速度为v 个单位长度/秒，根据点P、R 之间的距离与点Q、R 之间的距离相等，得出等式方程
求出即可．
【详解】解：
2
120
AC
AB
=
=
，
因为点A 对应的数是40，
所以点C 对应的数是80
-
，
假设点R 的速度为v 个单位长度/秒，则t 秒后P 点表示的数为80
3vt
-
+
，
R 点表示的数为：40
vt
-
，Q 点表示的数为：
40
2
4
v
t
+
-
，
3
4
QR
v
t
=
-
，
120
4
PR
vt
=
-
，
当
5
t =
时，由PR
QR
=
，得：
120
20
5 3
4
v
v
-
=
-
．
有两种情况：15
20
120
20
v
v
-
=
-
，
解得：
4
v =
，
或15
20
20
120
v
v
-
=
-
，
解得：
20
v =
．
∴
4
v =
或20．
则2
4
4
v -
=
或36．
故答案为：4 或36．
【变式2】（25-26 七年级上·广东佛山·期末）数轴上的动点运动蕴含了丰富的数量关系与几何意义．七年级
数学研究小组在学习了数轴、代数式与方程后，开展了如下探究活动．
【探究背景】已知：在数轴上，点、、
A
B
C 分别对应的数为20
-
、10
-
、16，若动点P 从点C 出发向点A 匀
速运动，速度为每秒4 个单位，运动时间为t 秒．
【初步探究】
（1）在运动的过程中，点P 所表示的数为________，AP = ________；
（2）在点P 从C 出发的同时，动点M 从点B 出发向点A 匀速运动，速度为每秒1个单位，则点P 运动________
秒后能追上点M ；
【深入探究】
（3）在点P 从C 出发的同时，动点M 从点B 出发向点A 匀速运动，速度为每秒1个单位，动点N 从点B 出
发向点C 匀速运动，速度为每秒2 个单位．若点P 和点M 分别到达点A 后立即以原速返回，到达点C 停止；
点N 到达点C 后立即以原速返回，到达点A 停止．
①点P 运动________秒后能与点N 相遇；
②当t 为多少时，点M
N
、
之间的距离为3个单位？
【答案】（1）16
4t
-
；
36
4
0
9
t
t
-
£ £
（2 ）26
3
（3）①13
3 或49
3 ；②1或23或25
【分析】本题考查了数轴上数的表示，数轴上两点间的距离，列一元一次方程解决问题，熟练应用一元一次
方程，结合数轴，进行分类讨论解决数轴问题是解题的关键．
（1）由动点P 从点C 出发向点A 匀速运动，速度为每秒4 个单位，运动时间为t 秒，则点P 所表示的数为
16
4t
-
，
16
4
20
36
4
AP
t
t
=
-
- -
=
-
，从而求解；
（2 ）由点M 所表示的数为10
t
-
- ，点P 所表示的数为16
4t
-
，点P 追上点M ，列出方程16
4
10
t
t
-
= -
- ，
然后解方程即可；
（3）①i) 当
9
t £
，ii) 当9
13
t
< £
，当13
18
t
< £
三种情况，分别列出方程，然后解方程即可；
②i) 当M 未到达A ，当N 未到达C 时，ii) 当10
13
t
< £
时，点M 从A 返回，点N 未到达C ，iii) 当M 到达A
后，当N 到达C 后，M
N
、
相遇前，iiii) 当M 到达A 后，当N 到达C 后，M
N
、
相遇后，四种情况，分别
列出方程，然后解方程即可．
【详解】解：（1）∵动点P 从点C 出发向点A 匀速运动，速度为每秒4 个单位，运动时间为t 秒，
∴点P 所表示的数为16
4t
-
，
∵点A 对应的数为20
-
，
∴
16
4
20
36
4
0
9
AP
t
t
t
=
-
- -
=
-
£ £
，
故答案为：16
4t
-
，
36
4
0
9
t
t
-
£ £
；
（2 ）∵动点M 从点B 出发向点A 匀速运动，速度为每秒1个单位，
∴点M 所表示的数为10
t
-
- ，
∵点P 所表示的数为16
4t
-
，点P 追上点M ，
∴16
4
10
t
t
-
= -
- ，解得：
26
3
t =
，
故答案为：26
3 ；
（3）当P 运动到A 时，运动时间
16
20
9 s
4
t
- -
=
=
，当P 从 A 返回到C 时，运动时间
9s
t =
，
∴动点P 从点C 出发向点A 匀速运动，到达点A 后立即以原速返回，到达点C 停止，共用时间
18s
t =
，
当N 运动到C 时，运动时间
16
10
13 s
2
t
- -
=
=
，达点C 后立即以原速返回，到达点A 停止,运动时间
13s
t =
，
∴动点N 从点B 出发向点C 匀速运动，到达点C 后立即以原速返回，到达点A 停止，共用时间
26s
t =
．
①i) 当
9
t £
，点P 未达到A 和N 未到达C 时相遇，由题意得，点P 所表示的数为16
4t
-
，点N 所表示的数
为10
2t
-
+
，
∴16
4
10
2
t
t
-
= -
+
，解得：
13
3
t =
，
ii) 当9
13
t
< £
，点P 从A 返回和N 未到达C 时，由题意得，点P 所表示的数为
4
16
20
20
4
56
t
t
é
ù
-
- -
+ -
=
-
ë
û
，
点N 所表示的数为10
2t
-
+
，
∴4
56
10
2
t
t
-
= -
+
，解得：
23
t =
（不符题意），
iii) 当13
18
t
< £
，当P 从A 返回和N 从C 返回途中相遇，由题意得点P 所表示的数为
4
16
20
20
4
56
t
t
é
ù
-
- -
+ -
=
-
ë
û
，点N 所表示的数为
16
2
16
10
42
2
t
t
é
ù
-
-
- -
=
-
ë
û
，
∴4
56
42
2
t
t
-
=
-
，解得：
49
3
t =
，
故答案为：13
3 或49
3 ；
②i) 当M 未到达A ，当N 未到达C 时，点M 所表示的数为10
t
-
- ，点N 所表示的数为10
2t
-
+
，
∵点M
N
、
之间的距离为3个单位，
∴
10
2
10
3
t
t
-
+
- -
-
=
，解得：
1
t = ；
ii) 当10
13
t
< £
时，点M 从A 返回，点N 未到达C ，点M 所表示的数为
30
t -
，点N 所表示的数为10
2t
-
+
，
∵点M
N
、
之间的距离为3个单位，
∴
30
10
2
3
t
t
-
- -
+
=
，即
20
3
t
- -
=
，解得
17
t = -
或
23
t = -
，均不在此时间范围内，故舍去；
iii) 当M 到达A 后，当N 到达C 后，M
N
、
相遇前，点M 所表示的数为
10
20
20
30
t
t
é
ù
- -
- -
+ -
= -
ë
û
，点
N 所表示的数为
16
2
16
10
42
2
t
t
é
ù
-
-
- -
=
-
ë
û
，
∵点M
N
、
之间的距离为3个单位，
∴
42
2
30
3
t
t
-
-
-
=
，解得：
23
t =
；
iv) 当M 到达A 后，当N 到达C 后，M
N
、
相遇后，点M 所表示的数为
10
20
20
30
t
t
é
ù
- -
- -
+ -
= -
ë
û
，点
N 所表示的数为
16
2
16
10
42
2
t
t
é
ù
-
-
- -
=
-
ë
û
，
∵点M
N
、
之间的距离为3个单位，
∴
30
42
2
3
t
t
-
-
-
=
，解得：
25
t =
；
∴当t 为1或23或25时，点M
N
、
之间的距离为3个单位．
【变式3】（25-26 七年级上·河南许昌·期末）已知数轴上点A、B、C 对应的数分别为a
b
c
、、，且满足
2
(
6)
2
1
a
b
c
-
+
-
+
- = 0．
(1)直接写出a
b
c
、、的值；
(2)动点M 从A 出发以1 个单位/秒向右运动，动点N 从B 出发以2 个单位/秒向右运动，动点P 从C 出发以
3 个单位/秒向右运动，三者同时出发，当点N 到点M、P 的距离相等时，求运动时间t；
(3)若点Q 从A 出发以2 个单位/秒向右运动，点R 为线段CQ 的中点，当点R 到原点的距离为4 时，求点Q
的运动时间．
【答案】(1)
6
a =
，
2
b =
，
1
c =
(2)
2.5
t =
(3)
0.5
=
t
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，非负数的性质，熟知数轴上两点间的
距离公式是解题的关键．
（1）根据非负数的性质求解即可；
（2）运动t 秒时，点M 表示的数为6
t
+ ，点N 表示的数为2
2t
+
，点P 表示的数为1 3t
+
，根据两点间的距
离公式表示出MN
PN
，
，进而根据题意建立方程求解即可；
（3）设点Q 的运动时间为x 秒，则点Q 表示的数为6
2x
+
，进而可得点R 表示的数为
3.5
x +
，根据题意可
得方程
3.5
0
4
x +
-
=
，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵
2
6
2
1
0
a
b
c
-
+
-
+
-
=
，
2
6
0
2
0
1
0
a
b
c
-
³
-
³
-
³
，
，
，
∴
2
6
2
1
0
a
b
c
-
=
-
=
-
=
∴
6
0
2
0
1
0
a
b
c
-
=
-
=
- =
，
，
，
∴
6
2
1
a
b
c
=
=
=
，
，
；
（2）解：由题意得，运动t 秒时，点M 表示的数为6
t
+ ，点N 表示的数为2
2t
+
，点P 表示的数为1 3t
+
，
∴
6
2
2
4
MN
t
t
t
=
+ -
+
=
-
，
1 3
2
2
1
PN
t
t
t
=
+
-
+
=
- ，
∵点N 到点M、P 的距离相等，
∴4
1
t
t
-
=
-
，
∴4
1
t
t
- = - 或
4
1
t
t
- = -
-
，
解方程4
1
t
t
- = - 得
2.5
t =
，
解方程
4
1
t
t
- = -
-
可知此方程无解；
综上所述，
2.5
t =
；
（3）解：设点Q 的运动时间为
0
x x ³
秒，
由题意得，运动x 秒时，点Q 表示的数为6
2x
+
，
∵点R 为线段CQ 的中点，
∴点R 表示的数为6
2
1
3.5
2
x
x
+
+
=
+
，
∵点R 到原点的距离为4，
∴
3.5
0
4
x +
-
=
，
∴
3.5
4
x +
=
或
3.5
4
x +
= - ，
解得
0.5
x =
或
7.5
x = -
，
∵
0
x >
，
∴点Q 的运动时间为0.5 秒．
▌题型16 数轴动态与代数式综合
【典例16】（25-26 七年级上·江苏·寒假作业）已知数轴上有A、B、C 三点，分别表示有理数26
-
，10
-
，
10，动点P 从A 出发，沿AC 方向，以每秒1 个单位的速度向终点C 运动，设点P 运动时间为t 秒．
(1)用含t 的代数式表示点P 到点A、C 的距离，PA = ；PC = ．
(2)当点P 运动到点B 时，点Q 从C 点出发，沿CA 方向，以每秒3 个单位的速度向A 点运动，当其中一点
到达目的地时，另一点也停止运动．
①当t = ，点P、Q 相遇，此时点Q 运动了 秒．
②请用含t 的代数式表示出在P、Q 同时运动的过程中PQ 的长．
【答案】(1)t，36
t
-
(2)①21，5；②当16
21
t
£ £
时，
84
4
PQ
t
=
-
；当21
28
t
< £
时，
4
84
PQ
t
=
-
【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用及分类讨论．
（1）根据题意即可得出结果；
（2）①根据路程和为20，列出方程即可求解；
②根据两点间的距离，对t 分类讨论，t 不同范围，可得不同PQ ．
【详解】（1）解：由题意知，PA
t
= ，
26 10
36
AC = -
-
=
，则PC
AC
PA
t
=
-
=
-
36
，
故答案为：t，36
t
- ．
（2）解：①由题意得，
3
16
16
20
t
t
+
-
-
=
，
解得：
21
t =
，
16
5
t -
=
，
故当
21
t =
时，点P，Q 相遇，此时点Q 运动了5 秒，
故答案为：21，5；
②当16
21
t
£ £
时，
36
3
16
84
4
PQ
t
t
t
=
- -
-
=
-
；
当21
28
t
< £
时，
3
16
36
4
84
PQ
t
t
t
=
-
+ -
=
-
．
【变式1】（25-26 七年级上·江苏南京·期中）如图①，若有理数a 和b 在数轴上表示的点分别是点A 和点
B a
b
¹
，且有理数a
b
-
对应的点在线段AB 上(包含线段的端点),则称点
,
A B 为“关联点”．
(1)下列几组有理数中，对应的点
,
A B 是“关联点”的有___________．(填写所有符合条件的序号)
①
0,
1
a
b
=
= ；②
3,
2
a
b
=
= - ；③
5,
1
a
b
=
= ；④
5,
7
a
b
=
=
(2)有理数m
n
，和m
n
-
对应的点分别为点M
N
，
和P ．已知点M
N
，
为“关联点”，点M 在数轴上的位置如
图②所示．
①若点P 到点M 和点N 的距离相等，利用刻度尺在数轴上画出点N 和点P 的位置，并标出点N 和点P 表示
的数(用含m 的代数式表示)．
②直接写出有理数n 的取值范围（用含m 的代数式表示）．
【答案】(1)①③
(2)
①如图，点P 是MN 的中点，
②
2
n
m
³
或
1
0
2
n
m
£
£
【分析】本题考查了新定义，数轴上两点间的距离，数轴上两点间的中点，解答本题的关键是读懂题目的意
思，根据题目给定的条件，找出合适的等量关系，再求解．
（1）根据“关联点”的定义即可得出答案；
（2）①根据“关联点”的定义作图即可；②根据“关联点”的定义列不等式求解即可．
【详解】（1）解：①
0,
1
a
b
=
= ；
∵
0 1
1
a
b
-
=
-
=
∴①是点
,
A B 对应的“关联点”；
②
3,
2
a
b
=
= - ；
∵
3
2
3
2
5
5
a
b
-
=
- -
=
+
=
=
，5
3
>
∴②不是点
,
A B 对应的“关联点”；
③
5,
1
a
b
=
= ；
∵
5 1
4
4
a
b
-
=
-
=
=
，1
4
5
<
<
，
∴③是点
,
A B 对应的“关联点”；
④
5,
7
a
b
=
=
∵
5
7
2
2
2
a
b
-
=
-
= -
=
=
，2
5
<
∴④不是点
,
A B 对应的“关联点”；
故答案为：①③；
（2）解：①略
②当点N 在点M 的右侧时，则m
m
n
n
£
-
£
，
解得：
2
n
m
³
；
当点N 在点M 的左侧时，n
n
m
m
£
-
£
，
解得：
1
0
2
n
m
£
£
，
综上，有理数n 的取值范围为
2
n
m
³
或
1
0
2
n
m
£
£
．
【变式2】（24-25 七年级上·湖南株洲·期末）已知A
B
C
，，
是数轴上三点，点B 表示的数为4 ，
8,
2
AB
BC
=
=
(1)点A 表示的数是 ，点C 表示的数是 .
(2)动点,
P Q 分别从A
C
、
同时出发，点P 以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q 以每秒1个
单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P 的运动时间为t （
0
t >
）秒．
①用含t 的代数式表示：点P 表示的数为 ，点Q 表示是数为 ；
②当
1
t = 时，点P
Q
、
之间的距离为 ；
③当点Q 在线段CB 上运动时，用含t 的代数式表示点P
Q
、
之间的距离.
【答案】(1) 4
- ，6
(2)①4
2t
- +
，6
t
- ；②7 ；③10
3t
-
【分析】本题考查了数轴上动点的问题，整式的加减；掌握数轴上两点距离公式是解题关键．
（1）根据数轴上两点距离=右边的数- 左边的数，计算求值即可；
（2）①根据数轴上动点的表示：起点所表示的数加上或减去动点运动的距离，向正方向用加，负方向用减；
列代数式即可；
②将
1
t = 代入P ，Q 两点所表示的数中，再计算两点距离即可；
③根据题意可得点Q 从C 出发到B 时用的时间为
2
t =
秒，点P 从A 出发到B 时用的时间为
8
4
2
t =
=
秒，故当
点Q 在线段CB 上运动时，
2
t <
，即Q 点在右，P 点在左，再计算两点距离即可．
【详解】（1）解：∵A 点在B 点左边，B 点表示4 ，
8
AB =
，
∴A 点表示的数，4
8
4
-
= - ；
又∵C 点在B 点右边，
2
BC =
，
∴C 点表示的数为：4
2
6
+
=
；
故答案为：4
- ，6 ．
（2）解：①P 点向右运动，Q 点向左运动，
∴P 点表示的数为4
2t
- +
，Q 点表示的数为6
t
- ，
故答案为：4
2t
- +
，6
t
- ；
②∵P 点表示的数为4
2t
- +
，Q 点表示的数为6
t
- ，
∴当
1
t = 时，P 点表示的数为4
2 1
2
- + ´ = - ，Q 点表示的数为6 1
5
- =
，
∴点P
Q
、
之间的距离为
5
2
5
2
7
- -
=
+
=
，
故答案为：7 ．
③∵
8,
2
AB
BC
=
=
，动点,
P Q 分别从A
C
、
同时出发，点P 以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运
动，，点Q 以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动
∴点Q 从C 出发到B 时用的时间为
2
t =
秒，点P 从A 出发到B 时用的时间为
8
4
2
t =
=
秒
∴当点Q 在线段CB 上运动时，
2
t <
，
∴Q 点在右，P 点在左，
又∵P 点表示的数为4
2t
- +
，Q 点表示的数为6
t
- ，
∴两点距离为
6
4
2
6
4
2
10
3
t
t
t
t
t
- - - +
=
- +
-
=
-
．
【变式3】（25-26 七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图：在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，C 点表示
数c ，且a ，c 满足
2
2
8
0
a
c
+
+
-
=
，b 为最小正整数；
(1) a =_____，b = _____，c = _____；
(2)若将数轴折叠，使得A 点与B 点重合，则点C 与数_____表示的点重合．
(3)在（1）（2）的条件下，若点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ，当代数式x
a
x
b
x
c
-
+
-
+
-
取得最
小值时，此时x =_____，最小值为_____．
(4)在（1）（2）的条件下，若在点B 处放一挡板，一小球甲从点A 处以1 个单位/秒的速度向左运动；同时
另一小球乙从点C 处以2 个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原
来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t （秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离d （用t 的代数式
表示）．
【答案】(1) 2,1,8
-
(2) 9
-
(3)1,10
(4)当0
3.5
t
£ £
时，
10
d
t
=
- ；当
3.5
t >
时，
3
4
d
t
=
-
【分析】本题主要考查了有理数和数轴，求绝对值和平方的非负性，点平移的性质，绝对值的几何意义，解
题的关键是掌握数形结合以及分类讨论的数学思想．
（1）利用绝对值和平方的非负性及有理数的定义进行求解即可；
（2）利用中点公式进行点的平移的性质进行求解即可；
（3）利用绝对值的几何意义和两点之间线段最短进行求解即可；
（4）根据点平移的性质，分类进行讨论即可．
【详解】（1）解：∵
2
2
8
0
a
c
+
+
-
=
，
∴
2
2
0
8
0
a
c
+
=
-
=
，
，
∴
2,
8
a
c
= -
=
，
∵b 为最小正整数，
∴
1
b = ，
故答案为：2,1,8
-
；
（2）解：根据A 点与B 点重合得出中点为2 1
1
2
2
- + = -
，
∴点C 的重合点为
1
1
8
9
2
2
é
ù
æ
ö
-
-
- -
= -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
，
故答案为：9
- ；
（3）解：根据绝对值的几何意义得，
x
a
x
b
x
c
-
+
-
+
-
表示x 到, ,
a b c 的距离之和，
根据两点之间线段最短，结合各点在数轴上的位置可得，
当
1
x
b
=
= 时，x
a
x
b
x
c
-
+
-
+
-
的值最小，
此时，
1
2
1 1
1 8
10
x
a
x
b
x
c
-
+
-
+
-
=
+
+
-
+
-
=
，
故答案为：1,10；
（4）解：乙球到达挡板所需时间为
8 1
2
3.5
-
¸
=
，
①当0
3.5
t
£ £
时，
8
2
2 1
10
d
t
t
=
+
-
-
=
- ；
②当
3.5
t >
时，
3.5
1
2
1
2
3.5
3
4
d
t
t
=
+
+
+
+
-
=
-
．
▌题型17 数轴上的定值不变问题
【典例17】（21-22 七年级上·江苏无锡·期末）同一数轴上有点
,
A C 分别表示数,a c ，且,a c 满足等式
2
16
12
0
a
c
+
+
-
=
，点B 表示的数是多项式
2
2
4
3
x
x
-
+ 的二次项系数，点
, ,
A B C 在数轴上同时开始运动，
点A 向左运动，速度为每秒3 个单位长度，点
,
B C 均向右运动，速度分别为每秒3 个单位长度和每秒4 个单
位长度，设运动时间为t 秒．若存在m 使得2AB
m BC
-
的值不随时间t 的变化而改变，则该定值为______．
【答案】84
-
【分析】根据平方和绝对值的非负性求出a 和c 的值，再根据多项式的系数确定点B 表示的数，进而表示运
动后点
, ,
A B C 表示的数，计算AB 和BC 的距离，代入表达式并整理，令t 的系数为0 求出m ，最后得到定
值．
【详解】解：∵
2
16
12
0
a
c
+
+
-
=
，
∴16
0
a
+
=
，
12
0
c -
=
，
∴
16
a = -
，
12
=
c
，
∵多项式
2
2
4
3
x
x
-
+ 的二次项系数为2，
∴点B 表示2，
∵点
, ,
A B C 在数轴上同时开始运动，点A 向左运动，速度为每秒3 个单位长度，点
,
B C 均向右运动，速度分
别为每秒3 个单位长度和每秒4 个单位长度，设运动时间为t 秒，
∴运动t 秒后，点A 表示16
3t
-
-
，点B 表示2
3t
+
，点C 表示12
4t
+
，
∴
2
3
16
3
18
6
AB
t
t
t
=
+
- -
-
=
+
，
12
4
2
3
10
BC
t
t
t
=
+
-
+
=
+ ，
∴
2
2 18
6
10
36 12
10
12
36 10
AB
m BC
t
m
t
t
m
mt
m t
m
-
=
+
-
+
=
+
-
-
=
-
+
-
，
∵m 使得2AB
m BC
-
的值不随时间t 的变化而改变，
∴12
0
m
-
=
，
∴
12
m =
，
∴此时2
36 10 12
36 120
84
AB
m BC
-
=
-
´
=
-
= -
，
故答案为：84
-
．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，平方的非负性，多项式的次数与系数，数轴上的动点问题，整式的加
减法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【变式1】（24-25 七年级上·福建厦门·期末）如图，已知点O 为数轴原点，点A 在数轴上对应的数为a，
点B 对应的数为b，且
2
2
(
5)
0
a
b
+
+
-
=
．M、N 两点分别从O、B 出发以
1v 、
2v 的速度同时沿数轴负方向
迅速运动（M 在线段AO 上，N 在线段BO 上），P 是线段AN 的中点，若M、N 运动到任一时刻时，总有PM
为定值，则
1v 、
2v 满足的数量关系是________．
【答案】
2
1
2
v
v
=
【分析】本题主要考查了非负数的性质、数轴上两点间的距离、整式的加减无关性问题等知识点，掌握数形
结合思想是解题的关键．
根据非负数的和为0，各项都为0 即可确定a、b 的值，进而确定点A、B 表示的数，然后确定点M、N 表示
的数，再根据P 是线段AN 的中点确定点P 表示数，然后表示出PM ，最后根据PM 为定值确定
1v 、
2v 的关
系．
【详解】解：∵
2
2
(
5)
0
a
b
+
+
-
=
，
∴
2
0,
5
0
a
b
+
=
-
=
，即
2,
5
a
b
= -
=
，
∴点A、B 表示的数分别为2
- 、5，
设运动时间为t，则M 表示
1v t
-
，点N 表示
2
5
v t
-
，点P 表示
2
2
5
2
3
2
2
v t
v t
-
+ -
-
=
，
∴
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
3
2
3
2
2
2
2
2
v
v t
t
v t
v t
v t
v t
v t
MP
v t
-
-
-
-
-
-
- +
= -
-
=
-
=
=
，
∵PM 为定值，
∴
2
1
2
0
v
v
-
=
，即
2
1
2
v
v
=
．
故答案为：
2
1
2
v
v
=
．
【变式2】（24-25 七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知点A、B、C、D 在数轴上，点A 和点C 表示的数分
别为4
- 、1，点B 在点A 的右侧，点D 在点C 的右侧，且
2
AB =
，
1
CD = ．
(1)直接写出点B 和点D 表示的数分别为： 、 ；
(2)若线段AB 沿着数轴向右以2 个单位长度/秒的速度运动，同时线段CD 沿着数轴向左以1 个单位长度/秒
的速度运动，设运动的时间为t（秒），
0
t >
．
①若点B 和点D 重合，则t 的值为 ，若点A 和点C 重合，则t 的值为 ；
②若线段AB 和线段CD 重叠部分为
1
2 个单位长度，求运动时间t 的值；
③当4
5
3
3
t
<
<
时，下面两个式子：（Ⅰ）BC
AD
+
；（Ⅱ）BC
AD
-
中有一个式子的值是定值，你认为是
定值的式子是 （填写序号），并直接写出这个定值．
【答案】(1) 2
- 、2
(2)①4
3 ；5
3 ；②7
6 或11
6 ；③是定值的式子是（Ⅰ），这个定值为3
【分析】本题考查数轴上的动点及一次方程应用问题，解题的关键是用含t 的代数式表示运动后点表示的数．
（1）根据数轴上两点的距离求解即可；
（2）分别求出点A、B、C、D 运动t 秒后表示的数，①然后根据题意分两种情况，列出关于t 的方程，再
求解即可；②分两种情况：当点B 在点C、D 之间时；当点A 在点C、D 之间时，讨论即可；③当4
5
3
3
t
<
<
时， 线段CD 在线段AB 上，，然后分别求出BC 、AD ，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵点A 和点C 表示的数分别为4
- 、1，
∴
4,
1
OA
OC
=
= ，
∵
2
AB =
，
1
CD = ，
∴
2,
2
OB
OA
AB
OD
OC
CD
=
-
=
=
+
=
，
∴点B 和点D 表示的数分别为2
- 、2；
故答案为：2
- 、2
（2）解：根据题意得：运动t 秒后，点A 表示的数为4
2t
- +
，点B 表示的数为2
2t
- +
，点C 表示的数为
1 t
- ，点D 表示的数为2
t
- ，
①当点B 和点D 重合时，2
2
2
t
t
- +
=
- ，
解得：
4
3
t =
；
当点A 和点C 重合时，4
2
1
t
t
- +
= - ，
解得：
5
3
t =
；
故答案为：4
3 ；5
3
②当点B 在点C、D 之间时，
1
2
2
1
2
t
t
- +
-
-
=
，
解得：
7
6
t =
；
当点A 在点C、D 之间时，
1
2
4
2
2
t
t
-
- - +
=
，
解得：
11
6
t =
；
综上所述，运动时间t 的值为7
6 或11
6 ；
③当
4
3
t =
时，点A 表示的数为
4
3
-
，点B 表示的数为2
3 ，点C 表示的数为
1
3
-
，点D 表示的数为2
3 ，此时
线段CD 在线段AB 上，
当
5
3
t =
时，点A 表示的数为
2
3
-
，点B 表示的数为4
3 ，点C 表示的数为
2
3
-
，点D 表示的数为1
3 ，此时线
段CD 在线段AB 上，
∴当4
5
3
3
t
<
<
时， 线段CD 在线段AB 上，
此时
2
2
1
3
3
BC
t
t
t
= - +
-
-
= - +
，
2
4
2
6
3
AD
t
t
t
=
-
- - +
=
-
，
∴
3
3
6
3
3
BC
AD
t
t
+
= - +
+
-
=
，是定值；
∴
3
3
6
3
9
6
BC
AD
t
t
t
-
= - +
-
-
= - +
，大小与t 的值有关，不是定值；
综上所述，是定值的式子是（Ⅰ），这个定值为3．
【变式3】（24-25 七年级上·辽宁盘锦·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以
将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．
①若数轴上点A，点B 表示的数分别为a，b，其中AB 表示点A 和点B 之间的距离．若A，B 位置不确定
时，则AB
a
b
=
-
，若点A 在B 的右侧，即a
b
>
，则AB
a
b
=
- ；
②点A 向右运动m 个单位长度（
0
m >
）后，点A 表示的数为：a
m
+
，点A 向左运动m 个单位长度
（
0
m >
）后，点A 表示的数为：a
m
-
．
【问题情境】如图：在数轴上点A 表示数3
- ，点B 表示数1，点C 表示数9，点A、点B 和点C 分别以每
秒2 个单位长度、1 个单位长度和4 个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t 秒（t＞0）．
(1)运动t 秒后，点A 表示的数为 （用含t 的式子表示）；
(2)若t 秒钟过后，点B 到点A 的距离与点B 到点C 的距离相等，求t 值；
(3)当点C 在点B 右侧时，2
2
3 BC
AB
+
的值是否为定值？若是定值，直接写出这个定值；若不是定值，请说
明理由．
【答案】(1) 3
2t
- -
(2)
1
t = 或6
(3)是定值．40
3
【分析】本题考查整式的加减运算，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式，数轴上的动点问题，
是解题的关键：
（1）根据数轴上的动点，左移减，右移加，列出代数式即可；
（2）分点B 在点A 和点C 之间和点C 与点A 重合两种情况，列出方程进行求解即可；
（3）表示出
,
BC AB，求出2
2
3 BC
AB
+
的值即可．
【详解】（1）解：由题意，运动t 秒后，点A 表示的数为：3
2t
- -
；
故答案为：3
2t
- -
；
（2）解：由题意可知，t 秒时，A 点所在的数为：3
2t
- -
，B 点所在的数为：1 t
- ，C 点所在的数为：9
4t
-
．
①当点B 在点A 和点C 之间时，则
9
4
1
1
3
2
t
t
t
t
-
-
-
= - - - -
．
解得
1
t = ；
②当点C 与点A 重合时，则 9
4
3
2
t
t
-
= - -
．
解得
6
t =
；
综上，当
1
t = 或6 点B 到点A 的距离与点B 到点C 的距离相等；
（3）解：是定值40
3 ；
∵点C 在点B 右侧，点B 在点A 右侧，
∴
9
4
1
8
3
BC
t
t
t
=
-
-
-
=
-
，
1
3
2
4
AB
t
t
t
= - - - -
=
+ ，
∴
2
2
40
8
3
2 4
3
3
3
BC
AB
t
t
+
=
-
+
+
=
．
▌题型18 数轴的应用问题
【典例18】（25-26 七年级上·山东日照·阶段检测）【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数
轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．在学习了数轴后，小亮
决定对数轴进行深入探究．
【应用】距离问题
点A、B 在数轴上分别表示有理数a，b，A、B 两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B 两点之间的距离
AB
a
b
=
-
．例如，数轴上3 与1 两点之间的距离表示为3 1
- ．
(1)数轴上表示3
- 和6 的两点之间的距离表示为______；数轴上表示x 和3
- 的两点之间的距离表示为______．
(2)①若
1
4
- -
=
x
，则x =______；
②若x 表示一个有理数，则
1
4
x
x
- +
+
的最小值为______，满足条件的所有整数x 的和为______．
(3)【实际应用】如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H 四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为
200m．已知E，F，G，H 四个小区各有2 个，2 个，2 个，1 个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起
见，这7 个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M 处汇
合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点M 设置在什么位置的时候，所有学生
从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值．
【答案】(1)
3
6
- -
；
3
x +
(2)①3 或5
- ；②5；9
-
(3)汇合地点M 的位置在点F 时，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1200m
【分析】本题考查数轴上两点的距离、绝对值的几何意义，解绝对值方程，整式的加减计算，熟练掌握化简
绝对值的方法是解题的关键．
（1）根据数轴上两点距离计算公式进行解答即可；
（2）①根据绝对值的意义解方程即可；
②根据数轴上两点距离定义进行解答即可；
（3）以点G 为原点，1m表示1 个单位长度建立数轴，则点E、F、H、G 四点分别表示的数为400
-
、
200
-
、0、200，设M 表示的数为x ，距离之和为s，进而得到所有学生从小区门口到汇合地的路程之和表
示为2
400
2
200
2
200
x
x
x
x
+
+
+
+
+
-
，分类讨论解答即可．
【详解】（1）解：数轴上表示3
- 和6 的两点之间的距离表示为
3
6
- -
；数轴上表示x 和3
- 的两点之间的距
离表示为
3
3
x
x
- -
=
+
，
故答案为：
3
6
- -
；
3
x +
；
（2）解：①由于
1
4
- -
=
x
，
则
1
4
x - -
=
或
1
4
x - -
= - ，
解得
3
x =
或
5
x = - ，
故答案为：3 或5
- ；
②由于
1
4
x
x
- +
+
表示数轴上x 对应的点到1 和4
- 所对应的点的距离之和，
则当4
1
x
- £
£
时，这个距离最小，最小值为
1
4
5
- -
=
；
满足4
1
x
- £
£
的整数有：
4
x = - 、3
- 、2
- 、1
- 、0 、1，
则它们的和为
4
3
2
1
0 1
9
-
+ -
+ -
+ -
+
+ = - ，
故答案为：5；9
- ；
（3）解：如图，以点G 为原点，1m表示1 个单位长度建立数轴，则点E、F、G、H 四点分别表示的数为
400
-
、200
-
、0、200，
设M 表示的数为x ，距离之和为s，
则
2
400
2
200
2
0
200
2
400
2
200
2
200
s
x
x
x
x
x
x
x
x
=
- -
+
- -
+
-
+
-
=
+
+
+
+
+
-
当
400
x < -
时，
2
400
2
200
2
200
x
x
x
x
+
+
+
+
+
-
2
400
2
200
2
200
x
x
x
x
=
- -
+
- -
-
+ - +
2
800
2
400
2
200
x
x
x
x
= -
-
-
-
-
-
+
7
1000
1800
x
= -
-
>
；
当400
200
x
-
£
< -
时，
2
400
2
200
2
200
x
x
x
x
+
+
+
+
+
-
2
400
2
200
2
200
x
x
x
x
=
+
+
- -
-
+ - +
2
800
2
400
2
200
x
x
x
x
=
+
-
-
-
-
+
3
600
1200
x
= -
+
>
；
当200
0
x
-
£
<
时，
2
400
2
200
2
200
x
x
x
x
+
+
+
+
+
-
2
400
2
200
2
200
x
x
x
x
=
+
+
+
-
+ - +
2
800
2
400
2
200
x
x
x
x
=
+
+
+
-
-
+
1400
1200
x
=
+
³
；
当0
200
x
£
£
时，
2
400
2
200
2
200
x
x
x
x
+
+
+
+
+
-
2
400
2
200
2
200
x
x
x
x
=
+
+
+
+
+ - +
2
800
2
400
2
200
x
x
x
x
=
+
+
+
+
-
+
5
1400
1400
x
=
+
³
；
当
200
x >
时，
2
400
2
200
2
200
x
x
x
x
+
+
+
+
+
-
2
400
2
200
2
200
x
x
x
x
=
+
+
+
+
+
-
2
800
2
400
2
200
x
x
x
x
=
+
+
+
+
+
-
7
1000
2400
x
=
+
>
；
综上所述，当
200
x = -
时，
2
400
2
200
2
200
2
200
400
2
200
200
2
200
200
200
1200
x
x
x
x
+
+
+
+
+
-
=
-
+
+
-
+
+
-
+ -
-
=
，
\汇合地点M 的位置在点F 时，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，最小值为1200m ．
【变式1】（25-26 七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）问题背景：在中学数学中，体现数形结合思想的内容较
多，数轴是体现数形结合思想的一个有力工具，利用数轴常可使一些复杂问题变得容易解决．
【问题解决】阅读以下材料，并解决问题．
如图，把一根长度为cm
a
的木棒MN 放置在一条数轴上，它的两端M ，N 分别落在点A ，B 处，将木棒在
数轴上水平移动，先向右移动，当点M 移动到点B 处时，点N 对应的数为20；再向左移动，当点N 移动到
点A 处时运动停止，点M 对应的数为5．（注：本题中，数轴上1 个单位长度代表1cm ．）
（1）求出木棒MN 的长度a 的值；
（2）求出图中点A 和点B 表示的数各是多少；
（3）若木棒MN 以每秒2cm 的速度运动，从运动开始到结束共需要几秒钟．
【拓展应用】借助上述方法解决下面的问题：
一天，小明去问爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40 年才出生呢；你若是我现在这么大，
我已经是116 岁的老寿星了，哈哈！”小明纳闷，爷爷到底是多少岁？
（4）请你画出示意图，求出爷爷和小明现在的年龄，并说明解题思路．
【答案】（1）5 ；（2）10，15；（3）7.5；（4）小明现在12岁，爷爷现在64 岁
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，理解题意是解此题的关键．
（1）根据题意列出关于a 的一元一次方程，解方程即可得出结果；
（2）根据数轴上两点间的距离公式计算即可得出结果；
（3）根据时间=路程¸ 速度计算即可得出结果；
（4）仿照例子画出图形，计算即可得出结果．
【详解】解：（1）由题意可得：3
20
5
a =
- ，
解得：
5
a =
，
即木棒MN 的长度a 的值为5 ；
（2）由题意可得：点A 表示的数为5
5
10
+
=
，
点B 表示的数为10
5
15
+
=
；
（3）∵木棒MN 以每秒2cm 的速度运动，
∴从运动开始到结束共需要
5 10
2
7.5
+
¸
=
秒钟；
（4）点A 表示小明现在的年龄，点B 表示爷爷现在的年龄，如图所示：
，
由题意可得：
116
40
3
52
AB
é
ù
=
- -
¸
=
ë
û
，
∴40
52
12
-
+
=
（岁），12
52
64
+
=
（岁），
故小明现在12岁，爷爷现在64 岁．
【变式2】（25-26 七年级上·四川成都·期中）数轴上点A，点B 表示的数分别为a，b，则A，B 两点之间的
距离AB
a
b
=
-
．利用数轴解决以下问题：
(1)若
3
2
x -
=
，则x =________；
(2)
3
8
x
x
+
+
-
的最小值为________；
1
2
3
x
x
x
+
+
-
+
+
的最小值为________；
(3)10 月26 日，2025 年成都马拉松鸣枪开跑！这场被誉为“最具烟火气”的城市赛事，以穿越宽窄巷子、锦里
古街的人文赛道闻名全国．在某一段经过天府广场O 的笔直跑道，跑道上有A、B、C 三个补给站，分别位
于天府广场左侧3km ，右侧5km 和右侧9km ．为了能够减轻工作人员负担，组委会使用了无人机配合工作
人员从赛道旁某物资存放处分别向A、B、C 三个补给站进行货物配送．工作人员只配送A 补给站，无人机
配送B、C 补给站．工作人员配送成本为2 元/公里，无人机配送成本1 元/公里，请问，物资存放处设在何
处能使单次配送成本最低，并求出最低的配送成本费．
【答案】(1)5 或1
(2)11；5
(3)物资存放处设在A、B 之间时，能使单次配送成本最低，最低的配送成本费为20 元
【分析】本题主要考查了数轴，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
（1）利用绝对值的意义解答即可；
（2）利用数轴上点的特征与绝对值的意义解答即可；
（3）以天府广场O 为原点，天府广场向右的方向为正方向，建立数轴，则A、B、C 三个补给站对应的数字
为3
- ，5，9，设物资存放处对应的数字为x ，配送成本费为y 元，利用绝对值的意义和分类讨论的思想方法
解答即可．
【详解】（1）解：
3
2
x -
=
Q
，
3
2
x
\ -
=
或
3
2
x -
= - ，
5
x
\
=
或1．
故答案为：5 或1．
（2）解：
3
8
x
x
+
+
-
Q
表示数轴上x 到3
- 与x 到8 的距离之和，
当x 在3
- 与8 之间时，
3
8
x
x
+
+
-
取最小值，最小值为
3
8
3
8
11
x
x
x
x
+
+
-
=
+ + -
=
；
1
2
3
x
x
x
+
+
-
+
+
Q
表示数轴上x 到1
- 、x 到2 与x 到3
- 的距离之和，
\当
1
x = - 时，
1
2
3
1 1
2 1
1 3
5
x
x
x
+
+
-
+
+
= - +
+
+
+ - +
=
，此时和最小．
故答案为：11；5．
（3）解：以天府广场O 为原点，天府广场向右的方向为正方向，建立数轴，则A、B、C 三个补给站对应的
数字为3
- ，5，9，如图，
设物资存放处对应的数字为x ，配送成本费为y 元，
2
3
5
9
y
x
x
x
\
=
+
+
-
+
-
，
当
3
x
-
<
时，
2
6
5
9
4
8
= -
-
+
-
+
-
= -
+
y
x
x
x
x
，
4
8
20
\-
+
>
x
，
当3
5
x
- £
£
时，
2
6
5
9
20
=
+
+
-
+
-
=
y
x
x
x
，
当5
9
x
<
£
时，
2
6
5
9
2
10
20
=
+
+
- +
-
=
+
>
y
x
x
x
x
，
当
9
x >
时，
2
6
5
9
4
8
28
=
+
+
- +
-
=
-
>
y
x
x
x
x
，
\当3
5
x
- £
£
时，
2
6
5
9
20
=
+
+
-
+
-
=
y
x
x
x
（元），取得最小值，
\物资存放处设在A、B 之间时，能使单次配送成本最低，最低的配送成本费为20 元．
【变式3】（25-26 七年级上·湖南株洲·期末）【定义】
点M ，N ，Q 是一条直线上从左到右的三个点，若直线上点P 满足PM
PN
PQ
+
=
，则称点P 是点M ，N ，
Q 的“和谐点”．
【理解】
（1）如图①，在数轴上，点A ，B ，C ，P 表示的数分别为2
- ，0，5，1，点P 是不是点A ，B ，C 的“和
谐点”？请通过计算作出判断．
（2）点A ，B ，C 是一条直线上从左到右的三个点，且
2
AB =
，
3
BC =
，若点P 是点A ，B ，C 的“和谐
点”，求PA 的长．
【拓展】
（3）如图②，在数轴上，点A ，B ，C 表示的数分别为a ，
4
a +
，
8
a + （a 是整数），点P 在点A 的左侧，
且点P 是点A ，B ，C 的“和谐点”，点A ，B ，C ，P 表示的数之和是否能被4 整除？请通过计算作出判断．
【答案】（1）点P 是点A ，B ，C 的“和谐点”，理由：
由题意，得
3
PA =
，
1
PB = ，
4
PC =
，
所以PA
PB
PC
+
=
．
所以点P 是点A ，B ，C 的“和谐点”．
（2）PA 的长为3 或7
3 ；
（3）点A ，B ，C ，P 表示的数之和能被4 整除，理由：
设PA
m
=
，则
4
PB
m
=
+
，
8
PC
m
=
+ ，且满足PA
PB
PC
+
=
，即
4
8
m
m
m
+
+
=
+ ，解得
4
m =
．
所以点P 表示的数为
4
a -
．
因为
4
4
8
4
8
4
2
a
a
a
a
a
a
-
+
+
+
+
+
=
+
=
+
，且a 是整数，
所以点A ，B ，C ，P 表示的数之和能被4 整除．
【分析】（1）根据题目算出PA
PB
PC
+
=
是否成立即可；
（2）用字母表示数轴上的点，结合数轴两点之间的距离，分类讨论即可求解；
（3）用字母表示数轴上的点，根据PA
PB
PC
+
=
建立方程即可求解，进而可以判断是否能被4 整除．
本题考查了数轴上两点之间的距离以及用字母表示数轴上的数，合理运用等量关系是解题关键．
【详解】解：（1）略
（2）如图，以点A 为原点，以向右的方向为正方向建立数轴，则点A 表示的数为0，点B 表示的数为2，点
C 表示的数为5．
设点P 表示的数为x ．
①当点P 在点A 左侧时，令PA
PB
PC
+
=
，即
0
2
5
x
x
x
-
+
-
=
-
，解得
3
x
-
=
，此时
3
PA =
；
②当点P 在A ，B 两点之间时，令PA
PB
PC
+
=
，即
0
2
5
x
x
x
-
+
-
=
-
，解得
3
x =
（不符合题意，舍
去）；
③当点P 在B ，C 两点之间时，令PA
PB
PC
+
=
，即
0
2
5
x
x
x
-
+
-
=
-
，解得
7
3
x =
，此时
7
3
PA =
；
④当点P 在点C 右侧时，PA
PB
PC
+
=
不成立．
综上所述，PA 的长为3 或7
3 ．
（3）略
▌题型19 数轴旋转综合问题
【典例19】（23-24 七年级上·江苏扬州·期末）规律发现：
（1）在学完《数轴》这节课后，完成以下三空：
①点A 表示的数是2 ，点B 表示的数是6 ，则线段AB 的中点C 表示的数为______；
②点A 表示的数是5 ，点B 表示的数是7 ，则线段AB 的中点C 表示的数为______；
③发现：点A 表示的数是a ，点B 表示的数是b ，则线段AB 的中点C 表示的数为______．
直接运用：
（2）将数轴按图（1）所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC ，设点A 表示的数为
3
x-
，点B 表示的
数为2
1
x + ，C 表示的数为
1
x- ，则x 的值为______，若将ABC
V
从图中位置向右滚动，则数字2024 对应的
点将与ABC
V
的顶点______重合．
类比迁移：
（3）如图（2），OB
OX
^
，OA
OC
^
，
30
COX
Ð
=
°，若射线OA绕O 点每秒30°的速度顺时针
．．．旋转，射线
OB 绕O 点每秒20°的速度顺时针
．．．旋转，射线OC 以每秒10°的速度逆时针
．．．旋转，三线同时旋转，当一条射线
与直线OX 重合时，三条射线同时停止运动，问：运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线？
【答案】（1）
4
①；
6
②；
2
a
b
+
③
；（2）3
- ，C ；（3）
3
2
t =
或
15
7
t =
或
12
5
t =
【分析】本题考查一元一次方程，数轴与几何的综合，解题的关键是掌握数轴的性质，角平分线的性质，一
元一次方程的应用，进行解答，即可．
（1）根据数轴的性质，即可；
（2）根据等边三角形的性质，则AB
BC
=
，解出x ，求出A ，B ，C 对应的点；然后根据等边三角形以3为
周期交替出现，即
2024
6
1
2031
- -
+ =
，则2031 3
677
¸ =
，即可；
（3）根据题意，求出
BOC
Ð
，
AOB
Ð
，
AOC
Ð
的角度，设运动时间为t 秒，分类讨论，求出t 的取值范围；
再根据其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线，分类讨论：①当0
2
t
£ £
时，OB 在中间，若OB 是
AOC
Ð
的平分线；②当2
2.25
t
£ £
时，OC 在中间，若OC 是
AOB
Ð
的平分线；③当2.25
3
t
£ £
时，OA在
中间，若OA是
COB
Ð
的平分线；④当3
4
t
< <
时，OB 在中间，若OB 是
COA
Ð
的平分线，求出t ，即可．
【详解】（1）①∵点A 表示的数为2 ，点B 表示的数为6 ，
∴
6
2
4
AB =
-
=
，
∵点C 是AB 的中点，
∴
2
2
AB
AC =
=
，
∴点C 表示的数为：
2
2
4
OC
OA
AC
=
+
=
+
=
，
故答案为：4 ．
②∵点A 表示的数为5 ，点B 表示的数为7 ，
∴
7
5
2
AB =
-
=
，
∵点C 是AB 的中点，
∴
1
2
AB
AC =
= ，
∴点C 表示的数为：
5 1
6
OC
OA
AC
=
+
=
+ =
，
故答案为：6 ．
③∵点A 表示的数为a ，点B 表示的数为：b ，
设a
b
<
，
∴AB
b
a
=
-
，
∴
2
2
AB
b
a
AC
-
=
=
，
∴点C 表示的数为：
2
2
b
a
a
b
OC
OA
AC
a
-
+
=
+
=
+
=
，
故答案为：
2
a
b
+
．
（2）∵ABC
V
是等边三角形，
∴AB
BC
=
，
∵设点A 表示的数为
3
x-
，点B 表示的数为2
1
x + ，C 表示的数为
1
x- ，
∴
2
1
3
4
AB
x
x
x
=
+ -
-
=
+
，
1
2
1
2
BC
x
x
x
=
- -
+
= - -
，
∴
4
2
x
x
+
= - -
，
解得：
3
x
-
=
，
∴点A 表示的数为6
- ，点B 表示的数为5
- ，C 表示的数为4
- ，
∴ABC
V
的边长为1，
∵将ABC
V
从图中位置向右滚动，且以3为周期交替出现，
∴4
- 到2024 之间有：
2024
4
2028
- -
=
个数，
∴2028 3
676
¸ =
，
∴数字2024 对应的点将与ABC
V
的顶点C 重合．
故答案为：3
- ；C ．
（3）∵BO
OX
^
，
30
COX
Ð
=
°，
∴
60
BOC
Ð
=
° ，
∵AO
OC
^
，
∴
30
AOB
Ð
=
° ，
∴
120
AOC
Ð
=
° ，
设运动时间为t 秒，
∴
30
10
COX
t
Ð
=
°+
° ，
90
20
BOX
t
Ð
=
°-
° ，
120
30
AOX
t
Ð
=
°-
° ，
当AO 与OX 重合时，
∴
120
30
0
AOX
t
Ð
=
°-
° = ° ，
解得：
4
t =
；
当BO 与OX 重合时，
∴
90
20
0
BOX
t
Ð
=
°-
° = ° ，
解得：
4.5
t =
；
当CO 与OX 重合时，
∴
30
10
0
COX
t
Ð
=
°+
° = ° ，
解得：
15
t =
；
∵当一条射线与直线OX 重合时，三条射线同时停止运动，
∴0
4
t
£ £
，
当AO 与BO 重合时，
AOX
BOX
Ð
= Ð
，
∴90
20
120
30
t
t
°-
° =
°-
° ，
解得：
3
t =
；
当CO 与BO 重合时，
BOX
COX
Ð
= Ð
，
∴90
20
30
10
t
t
°-
° =
°+
° ，
解得：
2
t =
；
当AO 与BO 重合时，
AOX
COX
Ð
= Ð
，
∴120
30
30
10
t
t
°-
° =
°+
° ，
解得：
2.25
t =
；
①当0
2
t
£ £
时，OB 在中间，若OB 是
AOC
Ð
的平分线，
∴
AOB
COB
Ð
= Ð
，
∴
AOX
BOX
BOX
COX
Ð
- Ð
= Ð
- Ð
，
∴120
30
30
10
180
40
t
t
t
°-
° +
°+
° =
°-
° ，
解得：
1.5
t =
，符合题意；
②当2
2.25
t
£ £
时，OC 在中间，若OC 是
AOB
Ð
的平分线，
∴
AOC
BOC
Ð
= Ð
，
∴90
40
30
60
t
t
°-
° =
° -
°，
解得：
15
7
t =
，符合题意；
③当2.25
3
t
£ £
时，OA在中间，若OA是
COB
Ð
的平分线，
∴
COA
BOA
Ð
= Ð
，
∴40
90
30
10
t
t
° -
° =
°-
° ，
解得：
12
5
t =
，符合题意；
④当3
4
t
< <
时，OB 在中间，若OB 是
COA
Ð
的平分线，
∴
COB
BOA
Ð
= Ð
，
解得：
1.5
t =
，不符合题意．
综上所述：当
3
2
t =
或
15
7
t =
或
12
5
t =
，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线．
【变式1】（24-25 七年级上·河北·阶段检测）如图1 和图2，数轴1l 与2l 交于公共原点O，点M，N 在数轴1l
上且表示的数分别为2 和3
- ，点P 在数轴2l 上，且OP
OM
=
．初始状态下
60
POM
Ð
=
°．
(1)如图1，若线段MN 中点为A，求点A 在数轴1l 上表示的数；
(2)如图1，若点P 在数轴2l 上表示的数是4，将数轴2l 绕点O 旋转过程中，当数轴2l 经过点N 时，直接写出
点N 在数轴2l 上表示的数为多少？
(3)如图2，将OP 绕点O 逆时针旋转°
a 得到OP¢，将OM 绕点O 逆时针旋转2a°得到OM¢ （其中
0
180
a £
＜
）．在整个旋转过程中，当
P OM
Ð ¢
¢ 被数轴1l 或2l 平分时，直接写出所有符合条件的a 值．
【答案】(1)
1
2
-
(2)6 或6
-
(3)20 或100 或140
【分析】本题考查数轴，角平分线的定义，旋转的性质，掌握用数轴上的点表示数和角平分线的定义是解题
的关键．
（1）根据中点的计算方法解题即可；
（2）根据题意可得数轴2l 的单位长度是数轴1l 的2 倍，即可得到点N 在数轴2l 上表示的数；
（3）分三种情况分别画图，然后根据角平分线的定义列方程解题即可．
【详解】（1）解：∵线段MN 中点为A，
∴点A 在数轴
1l 上表示的数为
2
3
1
2
2
+ -
= -
；
（2）解：∵OM
OP
=
，
点M 在数轴1l 上表示的数为2 ，点P 在数轴2l 上表示的数是4，
∴数轴2l 的单位长度是数轴1l 的2 倍，
∴点N 在数轴2l 上表示的数为6 或6
- ；
（3）解：如图，则
P OM
Ð ¢
¢ 被数轴2l 平分时，
这时
POP
a
Ð
¢ =
° ，
60
2
POM
a
Ð
=
°-
¢
°，
则
60
2
a
a
=
-
，解得：
20
a =
；
如图，
P OM
Ð ¢
¢ 被数轴2l 平分时，
2α
180
180
60
α
°-
° =
°-
°- °，解得：
100
a =
；
如图，当
P OM
Ð ¢
¢ 被数轴2l 平分时，
这时180
α
2α
180
60
°- ° =
°-
°-
°，解得：
140
a =
；
综上所述，当
P OM
Ð ¢
¢ 被数轴1l 或2l 平分时，a 值为20 或100 或140．
【变式2】（24-25 七年级上·山东济南·阶段检测）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变
换．请阅读下列素材，完成探究任务．
【素材1】灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图1），其中点A 表示的数为a，点B 表示的数为b，点C
表示的数为c．已知a、b、c 满足
2
2
3
6
7
a
c
b
+
+
+
= -
-
．
【素材2】通达小组分别以“灵动数轴”中的点A 和点B 为中心旋转一定角度，形成了如图2 所示的“数轴阶
梯”，其中点A 和点B 之间的部分（包括点A 和点B）叫做“阶梯坡面”．
【任务1】在“灵动数轴”中，a =_______，b = ________，c = ______；
【任务2】折叠“灵动数轴”，使点B 与点C 重合，求此时与点A 重合的点所表示的数；
【任务3】点D 落在“阶梯坡面”上，
7
BD =
．现在动点P、Q 同时开始运动：点P 从点C 出发，以3 个单位
长度/秒的速度向点A 运动，过点A 后以2 个单位长度/秒的速度“上坡”至点B，再以5 个单位长度/秒的速度
“下坡”至终点A；点Q 从点D 出发，以1 个单位长度/秒的速度“上坡”至终点B．当一个点到达终点后，另
一个点也立即停止运动．当点P 在“阶梯坡面”上运动时，满足2
9
AQ
PQ
=
，若此时点P 的运动时间为t 秒，
请直接写出t 的值．
【答案】任务1：3
- ；7；6
- ；任务2：4；任务3：t 的值为39
11 秒或339
52 秒．
【分析】任务1：利用非负数的性质解答即可；
任务2：利用对称性求得折痕处对应的数为0.5，则利用点A 对应的数距离0.5 的长度为3.5 解答即可；
任务3：利用题意得到t 的取值范围为1
7
t
£ £
，利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：当1
6
t
£ £
时，
此时点P ，Q 都在做上坡运动，①当点P 在点Q 下方时，利用含t 的代数式表示出线段AQ ，PQ ，依据已
知条件列出关于t 的方程解答即可；②当点P 在点Q 上方时，利用①的方法列方程解答即可；当6
7
t
< £
时，
此时点P 在做上坡运动，点Q 做下坡运动，①当点P 在点Q 下方时，利用含t 的代数式表示出线段AQ ，
PQ ，依据已知条件列出关于t 的方程解答即可；②当点P 在点Q 上方时，利用①的方法列方程解答即可．
【详解】解：任务1：Q
2
3
(6
)
7
a
c
b
+
+
+
= -
-
，
2
3
(6
)
7
0
a
c
b
\
+
+
+
+
-
=
，
3
0
a
\ +
=
，6
0
c
+
=
，
7
0
b -
=
，
3
a
\
= - ，
7
b =
，
6
c = - ．
故答案为：3
- ；7；6
- ；
任务2：Q点B 与点C 重合，
\折痕处对应的数为6
7
0.5
2
- +
=
，
\与点A 重合的点所表示的数为0.5
3.5
4
+
=
．
任务3：
7
BD =
Q
，点B 表示的数为7，
\点D 表示的数为0，
Q点Q 从点D 出发，以1 个单位长度/ 秒的速度“上坡”至终点B ，当一个点到达终点后，另一个点也立即停
止运动，
0
7
t
\ £ £
．
Q点P 在“阶梯坡面”上运动，
3
CA =
，点P 从点C 出发，以3 个单位长度/ 秒的速度向点A 运动，
1
7
t
\ £ £
．
当1
6
t
£ £
时，此时点P ，Q 都在做上坡运动，
①当点P 在点Q 下方时，
小学
初中
由题意得：
0
( 3)
3
AD =
- -
=
，
3
AQ
AD
DQ
t
\
=
+
=
+ ，
2(
1)
AP
t
=
-
，
3
2(
1)
5
PQ
AQ
AP
t
t
t
\
=
-
=
+ -
-
= - + ，
2
9
AQ
PQ
=
Q
，
2(
3)
9(
5)
t
t
\
+
=
- +
，
39
11
t
\ =
．
②当点P 在点Q 上方时，
由题意得：
0
( 3)
3
AD =
- -
=
，
3
AQ
AD
DQ
t
\
=
+
=
+ ，
2(
1)
AP
t
=
-
，
2(
1)
(
3)
5
PQ
AP
AQ
t
t
t
\
=
-
=
-
-
+
= - ，
2
9
AQ
PQ
=
Q
，
2(
3)
9(
5)
t
t
\
+
=
-
，
51
7
t
\ =
（大于6，不合题意舍去）．
当6
7
t
< £
时，此时点P 在做上坡运动，点Q 做下坡运动，
由题意得：
3
AQ
AD
DQ
t
=
+
=
+ ，
5(
6)
BP
t
=
-
，
10
(3
)
7
BQ
AB
AQ
t
t
\
=
-
=
-
+
=
- ．
①当点P 在点Q 下方时，
5(
6)
(7
)
6
37
PQ
BP
BQ
t
t
t
=
-
=
-
-
-
=
-
，
2
9
AQ
PQ
=
Q
，
2(
3)
9(6
37)
t
t
\
+
=
-
，
339
52
t
\ =
．
②当点P 在点Q 上方时，
(7
)
5(
6)
6
37
PQ
BQ
BP
t
t
t
=
-
=
-
-
-
= -
+
，
2
9
AQ
PQ
=
Q
，
2(
3)
9( 6
37)
t
t
\
+
=
-
+
，
327
56
t
\ =
（小于6，不合题意舍去）．
综上，当点P 在“阶梯坡面”上运动时，满足2
9
AQ
PQ
=
，t 的值为39
11 秒或339
52 秒．
【点睛】本题主要考查了数轴，非负数的应用，一元一次方程的应用，分类讨论的思想方法，利用已知条件
正确列出方程是解题的关键．
【变式3】（25-26 七年级上·福建龙岩·阶段检测）数轴是一种工具，结合数轴与绝对值知识可以研究两点之
间的距离．线段的计算和角的计算有紧密联系，借助数轴可以实现它们之间解法的迁移．
（1）若点A 表示的数是x ，点B 表示的数是3，
4
AB =
，求x 的值．
（2）如图1，已知数轴上A，B，C 三个点表示的数分别是a，b，c，且
10
0
c -
=
，若点A 沿数轴向右移动
12 个单位长度后到达点B ，且点A，B 表示的数互为相反数．动点P，Q 分别同时从点A，C 出发，点P 以
每秒1 个单位长度的速度向终点C 移动，点Q 以每秒2 个单位长度的速度向终点A 移动，点P 表示的数为
y ．当点P，Q 之间的距离为2 时，求此时y 的值．
【迁移】受此启发，小明制作出一种“异形数轴”用来解决角度问题．如图2：标记射线OA表示0°，规定顺
时针方向为正方向，选取1°为单位角度．若射线OM 表示m°，射线ON 表示n° ，则
MON
n
m
Ð
=
-
° ：
【应用】（3）如图3 所示，已知
60
AOC
Ð
=
° ，
30
BOD
Ð
=
° ，
15
AOB
Ð
=
°，射线OB ，OD 同时绕点O 以5 / s
°
的速度顺时针旋转，设旋转时间为
0
27
t
t
< <
秒 ．当t 为何值时，
4
AOB
COD
Ð
= Ð
？
【答案】（1）7 或1
- ；（2）
4
3
-
或0；（3）9
5 或5
【分析】本题主要考查数轴和一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键．
（1）根据数轴上的距离公式列出方程即可求解；
（2）依题意得，a 的值为6
- ，b 的值为6，c 的值为10，根据数轴上的距离公式列出方程
6
10
2
2
t
t
- + -
-
=
，再解方程即可；
（3）由题意得，
5
15
AOB
t
Ð
=
+
° ，再分两种情况讨论：①OD 、OC 重合前；②OD 、OC 重合后，根据
题意分别列出方程，再解方程求解即可．
【详解】（1）∵点A 表示的数是x ，点B 表示的数是3，
4
AB =
，
3
4
x
\
-
=
，
3
4
x
\ -
=
或
3
4
x -
= - ，
7
x
\
=
或1
- ，
答：x 的值为7 或1
- ；
（2）∵点A 沿数轴向右移动12 个单位长度后到达点B ，且点A，B 表示的数互为相反数，
12
2
6
b
\ =
¸
=
，
6
a
b
= - = - ，
10
0
c -
=
Q
，
10
0
c
\ -
=
，
10
c
\ =
，
P 点表示的数为6
t
- + ，Q 点表示的数为10
2t
-
，
6
10
2
2
t
t
- + -
-
=
，
解得
6
t =
或14
3 ，
当
6
t =
时，
6
6
0
y = - +
=
；
当
14
3
t =
时，
14
4
6
3
3
y = - +
= -
；
y
\
的值为
4
3
-
或0，
答：当点P，Q 之间的距离为2 时，此时y 的值为
4
3
-
或0；
（3）由题意得，
5
15
AOB
t
Ð
=
+
° ，
①OD 、OC 重合前，
60
15
30
5
15
5
COD
t
t
Ð
=
°-
°-
°-
° =
-
°，
4
AOB
COD
Ð
= Ð
Q
，
5
15
4 15
5
t
t
\
+
=
-
，
9
5
t
\ =
；
②OD 、OC 重合后，
5
60
15
30
5
15
COD
t
t
Ð
=
°-
°-
°-
° =
-
°，
4
AOB
COD
Ð
= Ð
Q
，
5
15
4 5
15
t
t
\
+
=
-
，
5
t
\ =
；
∴当t 为9
5 或5 时，
4
AOB
COD
Ð
= Ð
，
答：当t 为9
5 或5 时，
4
AOB
COD
Ð
= Ð
．
