文档文本内容
培优专题02 有理数11 种运算技巧的专项训练
（题型突破·举一反三）
题型01 凑整法
题型02 同号/同分母归类法
题型03 相互转化法
题型04 拆项法
题型05 乘法分配律及其逆用
题型06 倒数法
题型07 裂项相消法
题型08 k 进制与十进制的相互转化
题型09 数形结合法
题型10 倒叙相加法
题型11 错位相减法
▌题型01 凑整法
“凑整法”是一种常见的运算技巧，通过乘以或除以一个较小的正整数，利用乘法结合律，
将其凑成整十、整百、整千……的数，从而把复杂的计算题变得简单.
【典例1】（26-27 七年级·全国·暑假作业）计算
2.4)
3.5
4.6
( 3.5
-
+ +
+ -
+ +
【变式1】（25-26 七年级上·四川成都·开学考试）直接写出答案
(1)
7
1
2
4.65
2.15
8
8
+
+
-
= ______；
(2)
2
3
38
42
7
76
´
´
´
= ______；
(3) 2.7 3.1
69 0.27
´
+
´
= ______；
(4) 2
1
1
4
9
4
9
¸
´
+
= ______．
【变式2】（26-27 六年级上·上海金山·开学考试）选择合适的方法进行计算，写出计算的主要过程．
(1)
7
7
5
0.65
0.35
13
13
æ
ö
-
+
+
ç
÷
è
ø
(2)
1
1
4
36
4
6
9
æ
ö
´
-
´
ç
÷
è
ø
(3)
4
7.8
35
1
11.1
7
é
ù
æ
ö
¸
´
-
-
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
(4)
8
0.97 3.75
3.3
37.5%
3
´
+
¸
-
【变式3】（26-27 七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算：
(1)
1
8
12
0.125
0.1
3
æ
ö
-
´ -
´ -
´ -
´ -
ç
÷
è
ø
．
(2)
5.25
4.73
4.73
19.75
25
14.73
-
´ -
-
´ -
+
´ -
【变式4】（26-27 七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算：
(1) 1
2
5
1
1
4
3
6
4
3
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+ -
+
+ -
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ；
(2)
3
1
4
3.85
3
3.15
4
4
æ
ö
- +
- -
+ -
ç
÷
è
ø
．
(3)
1
1
50
0.125 37
63
4
8
æ
ö
´
-
´
+
´ -
ç
÷
è
ø
【变式5】（26-27 七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算：
(1)
2
2
19
0.4
18
19
5
5
´
-
´ -
+
´ -
(2)
3
1
0.125
3
3
1.75
4
8
æ
ö
æ
ö
+
- -
+ -
- +
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
▌题型02 同号/同分母归类法
① 先把有理数加减混合运算统一改写为省略加号的代数和；
② 观察式子，优先分组：正数一组、负数一组；同分母 / 易通分分数一组；
③ 各组分别求和，最后合并各组结果；
⚠️
易错提醒：移动项时必须连带数字前面的符号一起搬迁。
【典例2】（26-27 七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算：
(1) 1
3
2
5
1
( 8.25)
3
4
3
æ
ö
æ
ö
+ -
+ +
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；
(2)
1
1
116
253
169
0.25
4
4
æ
ö
-
´ -
+
´
-
´
ç
÷
è
ø
．
【变式1】（26-27 七年级·浙江·暑假作业）计算：
(1)
1
3
3
1.25
1
2
4
4
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+ -
+ -
+ +
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ；
(2)
34
8
5
23
-
+ +
+ +
+ -
(3)
1
5
3
1
2
1
4
6
4
6
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+ +
+ -
+ +
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø；
【变式2】（25-26 七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）计算
(1)
0.9
1.5
-
+
；
(2) 1
2
2
3
æ
ö
+ -
ç
÷
è
ø
．
(3)
9
5
12
3
- + - -
+ -
(4)
1
1
1.5
4
3.75
8
4
2
æ
ö
æ
ö
- +
- -
+
- +
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
【变式3】（25-26 七年级上·陕西西安·阶段检测）计算：
(1) 13
5
-
+
；
(2)
10
15
17
+ -
- -
；
(3)
1
1
0.5
2.75
4
2
æ
ö
+ -
- -
+
ç
÷
è
ø
．
【变式4】（25-26 七年级上·河北·阶段检测）计算
(1)
71
64
-
+ +
；
(2)
4
11
9
-
- +
- -
；
(3)
4
3
3
5
4
æ
ö
æ
ö
+
- -
- -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；
(4)
1
1
3
2.16
8
3.125
3.84
0.25
8
4
æ
ö
-
+ -
+
+
+ -
+ -
ç
÷
è
ø
；
【变式5】（25-26 七年级上·河南漯河·期中）计算下列各小题：
(1)
31
28
28
61
-
+ -
+
- -
(2)
2
41
1
0.5
1
5
-
-
-
´
- -
(3)
5
3
3
4
7.75
1
2
8
8
4
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+
+ -
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
【变式6】（25-26 七年级上·全国·阶段检测）计算：
(1)
0.56
0.9
0.44
8.1
+
+ -
+ +
+ -
；
(2)
2
2
7
1
2
30
15
10
30
æ
ö
æ
ö
-
- -
+
-
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ．
【变式7】（25-26 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
5
7
4
5
-
+
+ -
+
；
(2)
4
3
2
1
2
+ -
+ -
+ -
+
；
(3)
6
44
13 17
-
+ -
+
+
；
(4)
26
22
9
18
15
-
+ -
+
+ -
+
；
(5)
0.7
1.3
0.8
2.1
0.9
-
+
+ -
+ -
+
；
(6) 1
2
1
1
2
3
3
2
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+ -
+ -
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
．
【变式8】（25-26 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
2.4
3.7
4.6
3.7
-
+ -
+ -
+
；
(2) 1
1
2
5
6
3
3
6
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+ -
+ -
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ．
▌题型03 相互转化法
根据算式特点，将式子中的分数转化为小数，或小数转化为分数，统一后再进行运算。
【典例3】（25-26 七年级上·山东烟台·期末）
计算：
1
1
1
0.5
3
2.75
7
18
2
4
2
3
æ
ö
æ
ö
-
- -
+
- +
+ -
´
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；
【变式1】（24-25 七年级上·辽宁鞍山·期中）（1）计算：
1
5
4
1
3
0.5
3
2
6
5
6
æ
ö
æ
ö
-
+ +
+ -
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
（2）计算：
1
4
81
2
8
4
9
æ
ö
-
¸
´ -
¸ -
ç
÷
è
ø
（3）计算：
1
1
5
1
24
2
3
2
3
6
æ
ö
-
-
´
- -
´ -
ç
÷
è
ø
（4）计算：
2
4
4
2
1
3
4
4
3
æ
ö
-
+ -
´ -
-
¸ -
ç
÷
è
ø
．
【变式2】（25-26 七年级上·山东日照·阶段检测）计算下列各题（能用简便计算的用简便计算）：
(1)
1
1
2
4
2
9
3.5
3
2
3
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
- -
+ -
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
(2)
1
1
0.75
4
3
2
æ
ö
-
¸
´ -
+ -
¸
ç
÷
è
ø
(3)
1
1
5
7
3
36
2
6
12
æ
ö
æ
ö
-
¸
- +
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
(4)
15
49
8
16
-
´ -
【变式3】（25-26 七年级上·广西南宁·开学考试）计算： 3 125
0.75 75
4 ´
+
´
【变式4】（25-26 七年级上·甘肃甘南·阶段检测）计算：
3
5
3
9
3.2
1
3
5
8
5
é
ù
æ
ö
+
´
-
+
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
．
▌题型04 拆项法
把式子中的某一项拆成两个数（式）的和或差，使得相邻项能够相互抵消，简化运算。
【典例4】25-26 七年级上·重庆·自主招生）计算：
1
11
111
1111
11111
3
3
3
3
3
10
100
1000
10000
100000
+
+
+
+
【变式1】（25-26 七年级上·江西吉安·期中）阅读下列计算过程，解决问题．
计算：
5
2
1
3
1
2
3
9
6
3
2
4
æ
ö
-
+ -
-
+
ç
÷
è
ø
解：原式
5
2
1
3
1
2
3
9
6
3
2
4
é
ù
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+ -
+
-
+ -
+
-
+ -
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
ë
û
5
2
1
3
1
2
3
9
6
3
2
4
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
é
ù
=
-
+ -
+ -
+
+
-
+ -
+ -
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ë
û
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
5
3
4
æ
ö
=
+ -
ç
÷
è
ø
7
4
=
．
上面的解题方法叫作拆项法.
(1)仿照上面方法，可将12.6拆为_____，将5.23
-
拆为_____；
(2)用拆项法计算：
5
2
3
1
2025
2024
3
5
6
3
4
2
æ
ö
-
+
+ -
+
ç
÷
è
ø
．
【变式2】（24-25 七年级上·广东汕头·阶段检测）（1）①用简便的方法计算：
5
3
3
4
7.75
1
2
8
8
4
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+
+ -
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø；
②上述简便方法运用到的运算律是：______、______；
（2）在计算
5
2
3
1
5
9
17
3
6
3
4
2
æ
ö
æ
ö
-
+ -
+
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø 时，没办法直接用上述方法简便运算，需要把各个数进行拆项，再
运用运算律简便运算．
①请你把
3
5
17
5
4
6
-
，
进行拆项：
3
17 4 =______ + ______；
5
5 6
-
= ______ + ______；
②用拆项法简便计算：
5
2
2
5
2021
4043
2022
1
6
3
3
6
æ
ö
æ
ö
-
+
+ -
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
【变式3】（23-24 七年级上·河南驻马店·阶段检测）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数加法”
的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
试题：计算：
5
2
3
1
5
9
17
3
6
3
4
2
æ
ö
æ
ö
-
+ -
+
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ．
小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算．
小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程：
解：原式
5
2
3
1
( 5)
( 9)
17
( 3)
6
3
4
2
é
ù
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+ -
+
-
+ -
+
+
+
-
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
ë
û
5
2
1
3
( 5)
( 9)
( 3) 17
6
3
2
4
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+ -
+ -
+
+
-
+ -
+ -
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
1
0
14
æ
ö
=
+ -
ç
÷
è
ø
1
14
= -
．
老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习．
任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算：
(1)
2
3
17
7
5
5
æ
ö
æ
ö
+
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ．
(2)
2
4
5
2023
2024
4048
9
9
9
æ
ö
æ
ö
-
+ -
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
【变式4】（25-26 六年级上·上海·单元复习）用拆项法计算：
2
5
1
2023
2024
4046
3
6
2
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+ -
+
- +
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø．
【变式5】（25-26 六年级上·上海·单元复习）用拆项法计算
(1)
2
3
1
1
17
16
15
2
3
4
3
2
æ
ö
æ
ö
-
+
+ -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；
(2)
5
2
2
1
2000
1999
4000
1
6
3
3
2
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+ -
+
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ．
【变式6】（25-26 七年级上·全国·单元复习）拆项法．计算：
7
5
1
2022
2021
1
4044
24
8
6
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+ -
+ -
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
．
▌题型05 乘法分配律及其逆用
1）应用分配律简化运算：把算式中接近某个整数的乘数拆成两个数的和或差，再用分
配律进行计算
2）逆用分配律简化运算：
ab
ac
ad
a b
c
d
+
+
=
+
+
.
【典例5】（2026·河北邯郸·三模）请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题．
利用运算律计算：
例1：
98 12
100
2
12
1200
24
1176
´
=
-
´
=
-
=
；
例2：
16 233 17 233
16 17
233
233
-
´
+
´
= -
+
´
=
．
(1)999 12
´
；
(2)
4
3
3
999 118
333
999 18
5
5
5
æ
ö
´
+
´ -
-
´
ç
÷
è
ø
．
【变式1】（25-26 七年级上·贵州遵义·期中）学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计
算
8
19
18
9
-
´
，看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下：
嘉嘉：原式
179 18
358
9
= -
´
= -
；
淇淇：原式
8
8
19
18
19 18
18
342 16
358
9
9
æ
ö
é
ù
= -
+
´
= -
´
+
´
= -
+
= -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
；
媛媛：原式
1
1
20
18
20 18
18
360
2
358
9
9
æ
ö
é
ù
= -
-
´
= -
´
-
´
= -
-
= -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
．
(1)淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算
律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是_________；
(2)请你选择以上三种解法中的一种计算
15
99
17
17 ´ -
的值．
【变式2】（24-25 七年级上·广西柳州·期中）下面是嘉嘉同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算．
逆用乘法分配律解题我们知道，乘法分配律是
a b
c
ab
ac
+
=
+
，反过来
ab
ac
a b
c
+
=
+
．这就是说，当ab
ac
+
中有相同的a 时，我们可以逆用乘法
分配律得到
ab
ac
a b
c
+
=
+
，进而可使运算简便．
例如： 的计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有 ，因此逆用乘
法分配律可得：
3
3
3
3
26
5
26
5
21
9
7
7
7
7
æ
ö
æ
ö
´ -
- ´ -
= -
´
-
= -
´
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
这样计算就简便得多．
请你逆用乘法分配律计算：
(1) 1
1
( 29)
19
5
5
´ -
+
´
(2)
2
6
21
2024
2024
2024
13
13
13
-
´
-
´
+
´
【变式3】（25-26 六年级上·山东青岛·期中）我们知道，乘法分配律是
a
m
n
am
an
´
+
=
+
，反过来
am
an
a
m
n
+
=
´
+
，这就是逆用乘法分配律．逆用乘法分配律可使有些运算简便，例如：
2
2
2
2
15
6
15
6
21
6
7
7
7
7
´
+ ´
=
´
+
=
´
=
．
逆用乘法分配律计算：
(1)
3
3
3
28
5
5
æ
ö
æ
ö
-
´ - -
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；
(2)
13
8
21
2025
2025
2025
17
17
17
æ
ö
´ -
-
´
+
´
ç
÷
è
ø
．
【变式4】（24-25 七年级上·贵州贵阳·期中）我们知道分配律
a b
c
ab
ac
+
=
+
，反过来可得
ab
ac
a b
c
+
=
+
，这叫分配律的逆用．请利用它计算：
(1)
1
1
1
( 5) 7
7 ( 7 )
12 ( 7 )
3
3
3
-
´
+ ´ -
+
´ -
；
(2)
74
1280
74 1140 74 141
´ -
´
´
+
+
．
【变式5】（24-25 七年级上·河北石家庄·期中）同学们，小学时大家学习了“乘法对加法的分配律”：
a
b
c
a b
a c
´
+
=
´ +
´
升入七年级，课堂上我们探究了在有理数范围内这个运算律仍然成立．
(1)下边是一道习题及其错误的解答过程，如下：
计算：
1
2
5
6
2
3
6
æ
ö
-
´
+
-
ç
÷
è
ø．
解：
1
2
5
6
2
3
6
æ
ö
-
´
+
-
ç
÷
è
ø
1
2
5
6
6
6
2
3
6
= - ´
+ ´
- ´
第一步
3
4
5
= - +
- 第二步
4
= - 第三步
请指出在第几步开始出现错误，并运用“乘法对加法的分配律”写出正确的解答过程．
(2)小明同学发现，逆向运用“乘法对加法的分配律”也能简便运算，请你利用简便方法计算：
3
5
1
25
25
25
2
8
8
-
´
- -
´
+ -
´
【变式6】（24-25 七年级上·河南安阳·期中）漯河某初中数学小组学完有理数乘法后对一道试题进行探究．
试题：计算
24
49
5
25 ´ -
.
小明：我先把
24
49 25 化成假分数，然后直接计算：原式
1249
1249
5
25
5
= -
´
= -
= ……；
小军：我先把
24
49 25 化成
24
49
25
æ
ö
+
ç
÷
è
ø ，然后再利用分配律计算……
小强：我还有其他的方法：把
24
49 25 化成
1
50
25
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
……
(1)相对于小明，小军的方法更适合一些，请你帮小军进行计算；
(2)三个人中，小强的方法最方便，请你帮小强计算．
▌题型06 倒数法
【典例6】（25-26 七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算：
1
2
1
1
2
30
3
10
6
5
æ
ö
æ
ö
-
¸
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
解法：简便计算，先求其倒数
原式的倒数为：
2
1
1
2
1
2
1
1
2
30
20
3
5 12
10
3
10
6
5
30
3
10
6
5
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+
-
¸ -
=
-
+
-
´ -
= -
+ - +
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
故
1
2
1
1
2
1
30
3
10
6
5
10
æ
ö
æ
ö
-
¸
-
+
-
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：
1
3
3
1
2
56
8
14
2
7
æ
ö
æ
ö
-
¸
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
【变式1】（26-27 七年级·全国·小升初衔接）阅读材料，回答问题．
计算：
1
1
1
15
5
3
æ
ö
æ
ö
-
¸
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø．
解：方法一：原式
1
3
5
1
2
1
15
15
15
15
15
2
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
= -
¸
-
= -
¸ -
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
．
方法二：原式的倒数为：
1
1
1
1
1
1
1
15
15
15
3
5
2
5
3
15
5
3
5
3
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
¸ -
=
-
´ -
=
´ -
-
´ -
= - +
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
故原式
1
2
=
．
用适当的方法计算：
1
2
1
1
2
30
3
10
6
5
æ
ö
æ
ö
-
¸
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ．
计算：
1
2
1
1
2
30
3
10
6
5
æ
ö
æ
ö
-
¸
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
解法①：
原式
1
2
1
1
1
1
1
2
30
3
30
10
30
6
30
5
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
= -
¸
- -
¸
+ -
¸
-
¸ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
1
1
1
1
20
3
5
12
= -
+
-
+
1
6
=
；
解法②：
原式
1
2
1
1
2
30
3
6
10
5
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
= -
¸
+
-
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
1
5
1
30
6
2
æ
ö
æ
ö
= -
¸
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
3
30
= -
´
1
10
= -
；
解法三：
原式的倒数为
2
1
1
2
1
3
10
6
5
30
æ
ö
æ
ö
-
+
-
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
2
1
1
2
( 30)
3
10
6
5
æ
ö
=
-
+
-
´ -
ç
÷
è
ø
20
3
5
12
= -
+
-
+
10
= -
，
故原式
1
10
= -
．
(1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法___________是错误的（填序号）
(2)在正确的解法中，你认为解法___________比较简便．（填序号）请你进行简便计算：
1
1
3
2
2
42
6
14
3
7
æ
ö
æ
ö
-
¸
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ．
【变式2】（23-24 七年级上·江苏扬州·阶段检测）我们知道
¸
= a
a
b
b ，
,
b a
b
a
a b
¸
=
与b
a 互为倒数，所以求a b
¸
的值，就是求b
a
¸
的值的倒数．
数学老师布置了一道思考题“计算：
1
1
5
12
3
6
æ
ö
-
¸
-
ç
÷
è
ø ，斌斌同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了
这个问题．
斌斌的解法：原式的倒数为
1
5
1
1
5
12
4 10
6
3
6
12
3
6
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
¸ -
=
-
´ -
= - +
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，所以
1
1
5
1
12
3
6
6
æ
ö
-
¸
-
=
ç
÷
è
ø
．
(1)a
0
a ¹
的倒数为______；
(2)若a、b
0,
0
a
b
¹
¹
互为倒数，则ab =______；
(3)请你运用斌斌的解法
．．．．．．．解答问题，计算：
1
1
1
3
48
3
6
8
æ
ö
-
¸
-
-
ç
÷
è
ø ．
【变式3】（25-26 六年级上·山东威海·期末）【材料阅读】计算：
1
1
1
50
3
4
12
æ
ö
¸
-
+
ç
÷
è
ø ．
解法一：原式
1
1
1
50
50
50
3
4
12
=
¸
-
¸
+
¸
150
200
600
550
=
-
+
=
．
解法二：原式的倒数为1
1
1
50
3
4
12
æ
ö
-
+
¸
ç
÷
è
ø
．
1
1
1
50
3
4
12
æ
ö
-
+
¸
ç
÷
è
ø
1
1
1
1
1
1
3
50
4
50
12
50
=
´
-
´
+
´
1
300
=
．
所以，原式
300
=
．
【解法评价】
（1）你认为上述正确的解法是______；(填“解法一”或“解法二”)
【解法应用】
（2）利用上述正确的解法计算：
1
1
3
2
2
42
6
14
3
7
æ
ö
æ
ö
-
¸
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø．
【变式4】（25-26 六年级上·山东威海·期末）课堂上老师给出一道计算题：1
1
1
3
24
2
6
8
æ
ö
¸ -
+
-
ç
÷
è
ø．同学们积极
思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下：
甲：原式
1
1
1
1
1
3
1
1
1
1
24
2
24
6
24
8
12
4
9
18
æ
ö
æ
ö
=
¸ -
+
¸
+
¸ -
= -
+
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
乙：原式
1
17
1
24
1
24
24
24
17
17
æ
ö
æ
ö
=
¸ -
=
´ -
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
丙：原式的倒数
1
1
3
1
1
1
3
1
1
3
24
24
24
24
12
4
9
17
2
6
8
24
2
6
8
2
6
8
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
= -
+
-
¸
= -
+
-
´
= -
´
+
´
+ -
´
= -
+
-
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
故原式
1
17
= -
．
请认真阅读，解答下列问题：
(1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”)
(2)计算：
①
1
1
2
5
54
2
3
6
æ
ö
æ
ö
-
¸
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
②
1
1
1
1
1
1
1
1
42
2
3
6
7
14
21
42
æ
ö
æ
ö
-
¸
-
-
+
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
▌题型07 裂项相消法
【典例7】（25-26 七年级上·江西南昌·阶段检测）探究有规律分数的求和方法——裂项相消应用
【规律探寻】
观察一组数
1
2 ，1
6 ，1
12 ，1
20 ，1
30 ，…，尝试分析其规律并解决相关问题．
（1）根据规律，第8 个数是______，1
156 是第______个数；
（2）我们知道：1
1
1
1 2
2
= -
´
，1
1
1
2 3
2
3
=
-
´
，1
1
1
3 4
3
4
=
-
´
，…，那么：用含有n 的式子表示你发现的规律______；
【方法应用】
1
1
1
1
1
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
+
+
+
+
´
´
´
´
´
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
= -
+
-
+
-
+
-
+
-
1
5
1
6
6
= -
=
．这种方法叫“裂项相消”，构造
只有符号不同的中间项，将其全部消掉．
（3）运用上述经验完成下面的计算：1
1
1
1
1
1 2
2 3
3 4
2023 2024
2024 2025
+
+
+×××+
+
´
´
´
´
´
．
【变式1】（24-25 七年级上·全国·课后作业）阅读材料：
在计算1
1
1
1
1
2
6
12
20
420
+
+
+
+
+
L
时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项”法简化运算．
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
6
12
20
420
1 2
2 3
3 4
4 5
20 21
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
´
´
´
´
´
L
L
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
20
1
1
2
2
3
3
4
4
5
20
21
21
21
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+
-
+
-
+
-
+
+
-
= -
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
．
方法应用：试用“裂项—消项”法解下面各题：
(1)
1
1
1
1
3 7
7 11
11 15
55 59
+
+
+
+
´
´
´
´
L
；
(2)
1
1
1
1
1
1
3
15
35
63
99
143
-
-
-
-
-
-
．
【变式2】（25-26 七年级上·辽宁大连·阶段检测）类比裂项相消：
(1)猜想：
1
2 =
+
n n
；
(2)计算：
①1
1
1
1
1 3
3 5
5 7
99 101
+
+
+
+
´
´
´
´
L
②
1
1
1
1 4
4 7
2023 2026
+
+
+
- ´
- ´
-
´
L
【变式3】（25-26 七年级上·四川成都·期中）阅读材料：
在计算1
1
1
1
1
2
6
12
20
420
+
+
+
+ ××× +
时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项”法简化运算．如下所示：
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
6
12
20
420
1 2
2
3
3
4
20
21
+
+
+
+ ××× +
=
+
+
+ ××× +
´
´
´
´
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
20
21
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+
-
+×××+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
1
1
21
= -
20
21
=
方法应用：试用“裂项——消项”法解下面各题：
(1)通过观察，计算1
1
1
1
1 2
2
3
3
4
6
7
+
+
+ ××× +
´
´
´
´
的值________；（直接写出结果）
(2)
1
1
1
1
1
3 7
7 11
11 15
55 59
59
63
+
+
+ ××× +
+
´
´
´
´
´
；
(3)
1
1
1
1
1
1
3
15
35
63
99
143
-
-
-
-
-
-
．
【变式4】（25-26 七年级上·安徽淮南·期中）我们知道，高斯在小时候通过巧妙方法计算出了
1
2
3
4
100
+
+ +
+
+
L
的结果．裂项相消法是另一种常用的求和方法（如1
1
1
1
1
1
,
1 2
1
2 2 3
2
3
=
-
=
-
´
´
，求和时可
抵消中间项）．请结合这两种思路，回答以下问题．
【基础求和，巩固高斯法】
（1）直接用高斯求和法“（首项+ 末项）´项数2
¸ ”计算下列各题．
①1
2
3
4
20
+
+
+
+
+
L
；
②1
2
3
4
n
+
+ +
+
+
L
（用含有n 的代数式表示，n 为正整数）；
③1
3
5
(2
1)
k
+
+
+
+
-
L
．
【变式求和，运用裂项相消法】
（2）计算1
1
1
1
1 2
2 3
3 4
2026
2027
+
+
+
+
´
´
´
´
L
的值．
【综合应用，关联计算】
（3）若
1
1
1
(1
2
3
8)
1 2
2 3
9 10 m
æ
ö
+
+
+
+
=
+
+
+
ç
÷
´
´
´
è
ø
L
L
，求m 的值．
【变式5】（25-26 七年级上·广东佛山·阶段检测）观察下列各式：
1
1
1 1
1
1
1 1
1
1
1
1
2
1 2
2 6
2 3
2
3 12
3 4
3
4
=
= -
=
=
-
=
=
-
¼
´
´
´
；
；
；我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似的，对于
1
4 6
´
，可以用裂项的方法变形为1
1
1
4
6
2
æ
ö
-
´
ç
÷
è
ø
．
类比上述方法，解答下列各题：
(1)
1
9 10 =
´
___________
(2)计算：1
1
1
1
1 2
2 3
3 4
99 100
+
+
+
+
=
´
´
´
´
L
___________．
(3)计算：
1
1
1
1
2 4
4 6
6 8
2024 2026
+
+
+
+
´
´
´
´
L
．
【变式6】（25-26 七年级上·河南平顶山·期中）观察下列式子：
1
1
1
1
2
2
´
= -
；1
1
1
1
2
3
2
3
´
=
-
；1
1
1
1
3
4
3
4
´
=
-
；1
1
1
1
4
5
4
5
´
=
-
；…
(1)发现规律：
1
8
9 =
´
________；用含n 的代数式表示规律：
1
(
1)
n n
=
+
________（n 为正整数）．
(2)应用计算：
1
1
1
1
1
10 11
11 12
12 13
98 99
99 100
+
+
+
+
+
´
´
´
´
´
L
．
(3)拓展规律：当n =________时，
1
1
1
19
5 10
10 15
(
5)
500
n n
+
+
+
=
´
´
+
L
（n 为正整数）．
▌题型08 k 进制与十进制的相互转化
【典例8】（25-26 七年级上·云南昆明·期末）进位制的认识与探究
【材
料
1】
进位制是一种记数方式．生活中我们最熟悉的是十进制，常用10 个阿拉伯数字0，1，2，
3，4，5，6，7，8，9 进行记数，特点是逢十进一；七进制，常用7 个阿拉伯数字0，1，2，
3，4，5，6 进行记数，特点是逢七进一；类似的，二进制，常用 ① 个阿拉伯数字 ② 进
行记数，特点是逢二进一；k 进制，常用k 个阿拉伯数字0，1，2，…，（
1
k - ）进行记数，
特点是逢k 进一．
不同的进制数常加一个下角标进行区分，如：
10
234
表示十进制的234，
7
234
表示七进制
的234，
2
101
表示二进制的101，由于我们习惯使用十进制，故十进制数通常不写角标．
【材
料
2】
二进制与十进制之间的转化：
例1 把二进制数
2
1011
化为十进制数．
分析：先把二进制数写成不同位上数字与2 的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算
规则计算出结果．
解：
3
2
1
0
2
1011
1 2
0 2
1 2
1 2
1 8
0 4 1 2 1 1
11
= ´
+ ´
+ ´
+ ´
= ´ + ´ + ´ + ´ =
上述算法也可以将k 进制数转换为十进制数．
例2 把25 化为二进制数．
分析：根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2 连续去除25 或所得商，然后取余数．具
体的计算方法如下：
解：25
2
12
1
¸
=
××××××
12
2
6
0
¸
=
××××××
6
2
3
0
¸
= ××××××
3
2
1
1
¸
= ××××××
1 2
0
1
¸
=
××××××
所以
2
11
25
001
=
这种算法叫做除2 取余法，
还可以用右边的除法算式表示：
上述方法也可以推广为把十进制数化为k 进制数的算法，称为除k 取余法．
解：
把上式中各步所得的余数从下到上排列，得到
2
11
25
001
=
【学习理解】
(1)补全填空：①______，②______；
(2)阅读材料，把二进制数
2
11011
化为十进制数；
(3)各进制之间可以相互转化，请举例说明两个进制之间的互化方式（二进制与十进制互化除外）．
【变式1】（25-26 七年级上·山东德州·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢
十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．对于
任何一种进制N 进制，就表示某一位置上的数运算时是逢N 进一位，N 进制表示的数
1111 N 中，右起第一
位上的1 表示
0
1
N
´
，第二位上的1 表示
1
1
N
´
，第三位上的1 表示
2
1
N
´
，第四位上的1 表示
3
1
N
´
．故
3
2
1
0
1111
1
1
1
1
N
N
N
N
N
= ´
+ ´
+ ´
+ ´
，其中
0
1
0
N
N
=
¹
．
例如：
3
2
1
0
10
3721
3 10
7 10
2 10
1 10
3721
= ´
+ ´
+ ´
+ ´
=
，
3
2
1
0
2
1011
1 2
0 2
1 2
1 2
11
= ´
+ ´
+ ´
+ ´
=
，转化为十
进制的数11，
2
1
0
5
111
1 5
1 5
1 5
31
= ´
+ ´
+ ´
=
转化为十进制的数31（注意：对于任何非零数a 都有，
0
1
a =
即
0
2
1
= ，
0
5
1
= ）．
结合以上材料，解决下列问题：
(1)把下列进制数转化为十进制表示的数（在横线上列式并写出结果）：
2
1011
= ______，
5
231
= ______；
(2)《易经》中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位女孩在从右到左依
次排列的绳子上打结用来记数，如右图，图中表示女孩用绳结记录的数字，按照六进制记数法，即右边的绳
子打结满6 个，则此绳子左边的绳子打1 个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的
每个结都是中间绳子满6 进1 得来．根据图中记录的数字，写出这个六进制数字为（______）6，若用十进
制表示的数表示女孩采集到的野果数，她一共采集到的野果数量为______个；
(3)如果五进制三位数
5
118
与八进制两位数
8
6
m
分别转化为十进制表示的数，则两数和为108，求此时m
的值．
【变式2】（24-25 七年级上·广西柳州·期末）阅读下列材料：
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也
就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基
数．例如：
2
1101
就是二进制数1101 的简单写法，十进制数一般不标注基数，
n
abc
表示这个n 进制数从
右起，第一位上的数字为c ，第二位上的数字为b ，第三位上的数字为a ．一个数可以表示成各数位上的数
字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数5678 可用式子表示为：
3
2
1
0
5678
5 10
6 10
7 10
8 10
= ´
+ ´
+ ´
+ ´
（当
0
a ¹
时，
0
1
a = ）．同理，二进制数
2
1101
转换为十进制数为：
3
2
1
0
2
1101
1 2
1 2
0 2
1 2
13
= ´
+ ´
+ ´
+ ´
=
．三进制数
3
211 转换为十进制数为
2
1
0
3
211
2 3
1 3
1 3
22
=
´
+ ´
+ ´
=
根据上述材料，解答下列问题：
(1)二进制数
2
1011
转换为十进制数为：__________；
(2)若一个三进制数转换为十进制数为m ，一个四进制数转换为十进制数为n ，当
99
n
m
+
=
时，称这个三进
制数与这个四进制数互为“久久数”，请判断
3
1201 与
4
311 是否互为“久久数”，并说明理由．
【变式3】（24-25 七年级上·四川自贡·期末）综合与实践
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也
就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基
数．例如：
2
1101
就是二进制数1101 的简单写法，十进制数一般不标注基数，
n
abc
表示这个n 进制数从
右起，第一位上的数字为c ，第二位上的数字为b ，第三位上的数字为a ．一个数可以表示成各数位上的数
字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数
3
2
1
0
3721
3 10
7 10
2 10
1 10
= ´
+ ´
+ ´
+ ´
（当
0
a ¹
时，
0
1
a = ），同理，二进制数
2
1101
转换为十进制数为：
3
2
1
0
1 2
1 2
0
2
1 2
13
´
+ ´
+
´
+ ´
=
．一个十进制数转换
为n 进制数时，把十进制数表示成01 2
1
，，，，-
L
n
与基数n 的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46 转
换为三进制数，因为27
46
81
，即
3
4
3
46
3
，则
3
2
1
0
46
1 3
2 3
0 3
1 3
= ´
+ ´
+ ´
+ ´
，所以46 转换为三进制
数为
3
1201 ．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)二进制数
2
10010 转换为十进制数=___________；
(2)十进制数25 转换为二进制数=___________；
(3)把十进制数79 转换为四进制数．
【变式4】（25-26 七年级上·广东东莞·期中）综合与实践：
进位制是人们为了计算和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢
几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．
材料一：最常用的是十进制，例如：6273 中的6 表示6 个千，2 表示2 个百，7 表示7 个十，3 表示3 个一，
所以十进制数
3
2
1
0
6273
6 10
2 10
7 10
3 10
=
´
+ ´
+ ´
+ ´
，十进制数一般不标注基数．
材料二：二进制是逢二进一，例如
2
1101
就是二进制数1101 的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用
除2 取余法，以此类推，8 进制就是除8 取余法，k 进制就是除k 取余法，例如：
5
4
3
2
1
0
2
52
1 2
1 2
0 2
1 2
0 2
0 2
110100
= ´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
=
．
材料三：n 进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数
2
1101
转换为十进制数为：
3
2
1
0
1 2
1 2
0
2
1 2
13
´
+ ´
+
´
+ ´
=
；八进制
2
1
0
8
131
1 8
3 8
1 8
89
= ´
+ ´
+ ´
=
．
根据上述材料解答下列问题：
(1)观察感知：六进制的基数为__________，逢__________进一．
(2)问题解决：十进制63 对应的二进制数为__________，二进制
2
1011001
对应的十进制数为__________．
(3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示12 年为一周期的循环，这
一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A ，B ．其中A
代表10，B 代表11.请同学们结合材料三提供的“ n 进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制
12
120A
转
化为十进制数．
(4)拓展应用：将二进制数
2
100110
转化为七进制数是多少？（思路：先将二进制数转化为十进制数，再转
化为七进制数）
【变式5】（24-25 七年级上·广东珠海·期末）综合与实践
【主题】进位制的认识与探究
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢五进一就是五进制．
【素材一】
在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如题20-1 图所示，是远古时期一位
母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一．可用五进制数记为
5
314
，把五进制数转换为十进制数：
2
1
0
5
314
3 5
1 5
4 5
84
= ´
+ ´
+ ´
=
，即孩子出生的天数为84 天．(规定
当
0
a ¹
时，
0
1
a = )．
【素材二】
十进制数也可按“除以5 取余数”的方法转换为五进制数，即将十进制数除以5，然后对商继续除以5，直到
商等于0 为止，最后将所有的余数从后往前倒序写，就是结果．如题20-2 图所示，是将十进制数84 转换为
五进制数
5
314
的计算过程．
【任务一】
（1）如图，结绳计数可用五进制数记为（ ）5，并把这个五进制数转换为十进制数，请写出计算过程．
【任务二】
（2）若孩子出生的天数为101 天，十进制数101 可用五进制数记为（ ）5．
▌题型09 数形结合法
【典例9】（25-26 七年级上·江苏·期末）在数学中，数形结合思想通过将数与形相互转化、相互结合，把抽
象的数量关系与直观的几何图形结合起来，从而使复杂问题简单化；抽象问题具体化．
如图1，一个边长为1 的正方形，依次取正方形面积的
1
2 ，1
4 ，1
8 ，1
16 ．通过观察图形可以发现，图1 中阴
影部分的面积为1
16 ，进而得到1
1
1
1
1
15
1
2
4
8
16
16
16
+
+
+
= -
=
．
如图2，按图1 的方式依次取这个正方形面积的1 1 1 1
1
,
,
,
,
,
2 4 8 16
2n
L
（n 是正整数）．类比图1．可以求
1
1
1
1
1
2
4
8
16
2n
+
+
+
+
+
L
的值．
(1)直接写出1
1
1
1
1
2
4
8
16
2n
+
+
+
+
+
L
的结果为__________（用含n 的式子表示）；
(2)运用（1）发现的结论计算1
1
1
1
1
1
1
3
6
12
24
48
96 192
+
+
+
+
+
+
的值；
(3)如图3，依次取这个正方形的面积的2 2
2
,
,
,
3 9 27 L．类比图2 求
10
1
1
1
1
3
9
27
3
+
+
+
+
L
的值．（结果保留幂的
形式）
【变式1】（24-25 七年级上·广西南宁·阶段检测）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．我国著
名数学家华罗庚曾说：“数以形而直观，形以数而入微”，通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化
隐为显，以形助数的目的，使问题简捷地得以解决．请用数形结合的方法解决下面问题：
【观察分析】
用大小一样的正方形按如图方式拼成长方形．现用两种方法求解阴影部分黑色小正方形的个数：
（1）填空：
①从图①中可以得到：
1 2
1
2
´
=
，因此图①中共有________个黑色小正方形；
②从图②中可以得到：
2
3
1
2
2
´
+
=
，因此图②中共有________个黑色小正方形；
③从图③中可以得到：1+________ =________，因此图③中共有6 个黑色小正方形；
【规律总结】
（2）由此可以猜想：图n 中共有________个黑色小正方形，请你用图①~④检验你总结到的规律；
（3）根据上面发现，我们还可以得到猜想：1
2
3
n
+
+ +×××+
= ________；
【探究应用】（4）根据你发现的结论，计算：1
2
3
50
+
+ +×××+
；
【拓展应用】（5）计算：11 13
15
39
+
+
+ ××× +
．
【变式2】（23-24 七年级上·山东青岛·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、
数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
如图，将一个边长为1 的正方形纸片分割成7 个部分，部分①是边长为1 的正方形纸片面积的一半，部分②
是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．
(1)图中阴影部分的面积为 ；
(2)受此启发，得到
6
1
1
1
1
2
4
8
2
+
+
+
+
L
＝ ；
(3)联系拓广，得到1
1
1
1
2
4
8
2n
+
+
+
+
L
＝ （用含n 的式子表示）；
(4)迁移应用：得到
2
3
2023
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
+
´
+
´
+
´
+
+
´
L
＝ （直接写出答案即可）．
【变式3】（24-25 七年级上·山东济南·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，初中数学里
的代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．
【方法初探】
（1）例如：求1
2
3
4
+
+ +
+ … n
+ 的值（其中n 是正整数）．方案如下：如图1，斜线左边的三角形图案是由
上到下每层依次分别为1，2 ，3 ，…，n 个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式
子1
2
3
4
n
+
+ +
+¼+
的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边
形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有 行，每行有 个小圆圈，所以组成一个三角形小圆圈的个数为
1
2
3
4
n
+
+ +
+¼+
= ；
【探索归纳】
（2）下面我们将利用数形结合尝试求
3
3
3
3
1
2
3
n
+
+
+
+
L
的值（其中n 是正整数）．请你仔细观察图2 ，找
出图形与算式之间的关系，解决下列问题：
①探索规律：根据前面的规律，第（5 ）个图形可以表示的等式为 ；
②归纳结论：则
3
3
3
3
1
2
3
n
+
+
+
+
=
L
（结果用含n 的代数式表示）；
【拓展应用】
（3）求
3
3
3
3
1
2
3
100
1
2
3
100
+
+
+
+
+
+ +
+
LL
L
的值．
▌题型10 倒叙相加法
【典例10】（24-25 七年级上·全国·单元复习）规律探究：
计算：1
2
3
4
99 100
+
+ +
+¼+
+
；
如果一个个顺次相加显然太烦琐，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律可简化计算，提高
计算速度．
1
2
3
4
99 100
1 100
2
99
50
51
5050
+
+ +
+¼+
+
=
+
+
+
+¼+
+
=
.
计算：
(1)
1
2
3
4
50
-
+ -
+ -
+ -
+¼+ -
；
(2) 2
4
6
8
98 100
+
+
+ +¼+
+
.
【变式1】（26-27 七年级上·全国·课后作业）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从1到100这100
个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高
斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程：
解：设
1
2
3
100
s = +
+ +
+
L
，①
则
100
99
98
1
=
+
+
+L
s
，②
+
①
②，得
2
100
1
100
1
100
1
100
1
=
+
+
+
+
+
+
+
+
L
s
．
1
2s=100
100
\
´
+
，
100 (100
1)
5050
2
´
+
=
=
s
，③
1
2
3
100
5050
\ +
+
+
+
=
L
．
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法
．．．．．”
(1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1
2
3
4
50
+
+
+
+
+
L
；
(2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想1
2
3
n
+
+ +
+
=
L
___________（用含n 的代数式表示）；
【变式2】（24-25 七年级上·山东临沂·阶段检测）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学
们计算“从1 到100 这100 个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且
易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．
解：设
1
2
3
100
S = +
+ +
+
L
，①
则
100
99
98
1
S =
+
+
+
+
L
，②
①+ ②得2
101 101 101
101
=
+
+
+
+
L
S
．
所以2
100 101
S =
´
，
100 101
2
5050
=
´
¸
=
S
，
所以1
2
3
100
5050
+
+ +
+
=
L
．
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．
请类比以上做法，解答下列问题：
(1)计算：1
2
3
1000
+
+ +
+
L
；
(2)计算：100 101 102
200
+
+
+
+
L
．
【变式3】（24-25 七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）阅读材料：
德国著名数学家高斯在一次课堂上回答过这样一个问题：计算1
2
3
99 100
+
+ +
+
+
L
，高斯的解答过程如下：
原式
1 100
2
99
3
98
50
51
101 50
5050
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
´
=
L
．我们把这样的求和称为高斯求和，把这
样的公式称为高斯公式，即
1
1
2
3
2
n n
n
+
+
+ +
+
=
L
，用语言叙述为和
2
=
´
首项+末项
项数．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)计算：11 12 13
30
-
-
-
-
-
L
；
(2)计算：1 3
5
197
199
+ +
+
+
+
L
．
▌题型11 错位相减法
【典例11】（24-25 七年级下·江苏扬州·阶段检测）阅读材料：
求
2
3
4
2019
1
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+¼+
的值．
解：设
2
3
4
2018
2019
1
2
2
2
2
2
2
S = +
+
+
+
+¼+
+
…①
则
2
3
4
5
2019
2020
2
2
2
2
2
2
2
2
S =
+
+
+
+
+¼+
+
…②
②- ①，得
2020
2
2
1
S
S
-
=
-
即
2020
2
1
S =
-
∴
2
3
4
2019
2020
1
2
2
2
2
2
2
1
+
+
+
+
+¼+
=
-
仿照此法计算：
(1)计算：
2
3
4
2023
1 3
3
3
3
3
+ +
+
+
+¼+
．
(2)计算：
2
3
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
n
n
-
+
+
+
+×××+
+
= _______（直接写答案）
(3)
50
51
52
53
100
5
5
5
5
5
+
+
+
+¼¼+
的值
【变式1】（25-26 七年级上·重庆万州·阶段检测）“整体思想”是我们分析数学问题、解决数学问题常见的一
种非常重要的数学思想，比如我们要计算
2
10
1 3
3
3
+ +
+
+
L
的值，就可以采用这一思想，认真阅读理解下面
例题，让我们感受“整体思想”在数学中妙用！计算
2
10
1 3
3
3
+ +
+
+
L
的值．
分析：算式中后一个加数是前一个加数的3 倍，因此，可以将原算式看作一个整体，记作S，整体扩大3 倍
后再解决问题．
解：设
2
10
1 3
3
3
S = + +
+
+
L
①
则
2
10
2
10
11
3
3
1 3
3
3
3
3
3
3
S = ´
+ +
+
+
=
+
+
+
+
L
L
②
-
②
①得：
2
10
11
2
10
11
3
3
3
3
3
1 3
3
3
3
1
S
S
-
=
+
+
+
+
-
+ +
+
+
=
-
L
L
，
∴
11
2
3
1
S =
- ，
∴
11
3
1
2
S
-
=
，
即
11
2
10
3
1
1 3
3
3
2
-
+ +
+
+
=
L
．
利用上述思想，解决下列问题：
(1)计算
2
3
19
20
1
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
L
的值；
(2)计算
2
3
48
49
50
1
2
2
2
2
2
2
-
+
-
+
+
-
+
L
的值．
【变式2】（25-26 七年级·全国·暑假作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算．
计算：
1
2
2017
1
2
2
2
+
+
+
+
L
．
解：设
1
2
2017
1
2
2
2
S = +
+
+
+
L
，
则
1
2
3
2018
2
2
2
2
2
S =
+
+
+
+
L
，
所以
1
2
3
2018
1
2
2017
2
2
2
2
2
1
2
2
2
S
S
-
=
+
+
+
+
-
+
+
+
+
L
L
1
2
3
2018
1
2
2017
2
2
2
2
1
2
2
2
-
-
=
+
+
+
+
- -
-
L
L
2018
2
1
=
- ，
即
1
2
2017
2018
1
2
2
2
2
1
+
+
+
+
=
-
L
．
按照上面的方法，计算：
2
2023
1 3
3
3
+ +
+
+
L
．
【变式3】（2026·广东河源·二模）【阅读材料】“错位相减法”是一种用于求解规律排列的数的和的巧妙方法，
它能够解决一些看起来复杂的问题．例如求
2
3
20
1,5,5 ,5 ,
5
L
的和可以用“错位相减法”求解，解题过程如下：
设
2
20
1 5
5
5
S = +
+
+
+
L
①
将等式①的左右两边同时乘以5，得
2
3
21
5
5
5
5
5
S =
+
+
+
+
L
②
②-①，得
21
4
5
1
S =
- ，故
21
5
1
4
S
-
=
，
【解决问题】
(1)填空：
2026
2 2
´
=
(2)令
50
3
m =
，求
2
100
1
1
1
1
3
3
3
+
+
+
+
L
的值（用含m 的代数式表示）．
(3)寒假期间，老师布置了一项“15 天阅读打卡挑战”，积分规则如下：阅读第1 天基础积分为2，之后每天的
基础积分是前一天的2 倍；阅读第k 天的积分倍数为k，当天积分＝基础积分×倍数，总积分为每天积分之
和．按照这个规则，完成所有打卡任务一共可以获得多少积分？（已知
16
2
65536)
=
【变式4】（23-24 七年级上·陕西西安·阶段检测）阅读材料：求
2
3
4
2014
1
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+ ×××+
的值．
解：设
2
3
4
2014
1
2
2
2
2
2
S = +
+
+
+
+ ×××+
①，
将等式两边同时乘以2 得：
2
3
4
2014
2015
2
2
2
2
2
2
2
S =
+
+
+
+ ×××+
+
②，
再将②-①得：
2015
2
1
S =
- ，
即
2
3
4
2014
2015
1
2
2
2
2
2
2
1
+
+
+
+
+ ×××+
=
- ．
上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：
2
3
2023
1
6
6
6
6
+
+
+
+ ×××+
．
【变式5】（26-27 七年级·江苏·小升初衔接）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的
一般形式可以写成：
1
2
3
n
a a a
a
¼
¼
,
,
,
,
,
．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于
同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q 表示．如：数列
1 2 4 8 ¼
, , , ,
为等比数列，其中
1
2
1
2
a
a
=
=
，
，公比为
2
q =
．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）等比数列3 9 27 ¼
, ,
,
的公比q 为 ，第5 项是 ．
【公式推导】如果一个数列
1
2
3
n
a
a
a
a
¼
¼
，，，，，，是等比数列，且公比为q ，那么根据定义可得到：
3
1
2
4
1
2
3
,
,
,
,
n
n
a
a
a
a
q
q
q
q
a
a
a
a
+
=
=
=
=
L
．所以
2
1
a
a q
=
×
，
2
3
2
1
1
a
a
q
a q q
a q
=
×
=
×
=
×
，
2
3
4
3
1
1
a
a
q
a q
a q
=
×
=
×
=
×
，
¼
（2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：
1
n
a
a
=
× ．
【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是
小明为了计算
2
2019
2020
1
2
2
2
2
+
+
+¼+
+
的值，采用的方法：
设
2
2019
2020
1
2
2
2
2
S = +
+
+¼+
+
①，则
2
2020
2021
2
2
2
2
2
S =
+
+¼+
+
②，
-
②
①得
2021
2
2
1
S
S
S
-
=
=
- ，
2
2019
2020
2021
1
2
2
2
2
2
1
S
\
= +
+
+¼+
+
=
- ．
【解决问题】（3）请仿照小明的方法求
4
2
3
202
11 11
11
11
+
+
+¼+
的值．
