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专题 24.2.1 确定圆的条件（五大考点）
【考点1 判断确定圆的条件】
【考点2 求能确定的圆的个数】
【考点3 确定圆心(尺规作图)】
【考点4 求三角形外心坐标】
【考点5 求特殊三角形外接圆的半径】
【考点1 判断确定圆的条件】
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．弦的垂直平分线必经过圆心
B．三点确定一个圆
C．平分弦的直径垂直于这条弦
D．长度相等的弧是等弧
【答案】A
【分析】本题考查了等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理等知识；熟练掌握等弧的定义、
确定圆的条件、垂径定理、三角形的内心性质是解题的关键．由等弧的定义、确定圆的条
件、垂径定理分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A. 弦的垂直平分线必经过圆心，故该选项正确，符合题意；
B. 不在同一条直线上的三点确定一个圆，故该选项不正确，不符合题意；
C. 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故该选项不正确，不符合题意；
D. 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
2．A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则( )
A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆周上
B．可以画一个圆，使A，B在圆周上，C在圆内
C．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆外
D．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内
【答案】D
【分析】由已知可得AB+BC=AC，故可知可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆内．
【详解】∵A，B，C是平面内的三点，AB=2，BC=3，AC=5，∴AB+BC=AC，
∴可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆内．
故选D．
【点睛】本题主要考查确定圆的条件，正确确定A、B、C三点的位置关系是解决本题的关
键．
3．不在同一条直线上的 个点确定一个圆．
【答案】三
【解析】略
39．如图，点A，B，C均在 的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过
A，B，C三点外还能经过的格点数为 ．
【答案】5
【分析】根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
【详解】如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为：5
【考点2 求能确定的圆的个数】
4．如图，点 均在直线 上，点 在直线 外，则经过其中任意三个点，最多可画出
圆的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了确定圆的条件；
根据不共线的三点确定一个圆可得答案．
【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的
个数为3个，
故选：C．
5．已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三
点作圆，最多能作出( )．
A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆
【答案】C
【分析】根据过不共线三点可作一个圆，找出不共线三点的组数即可．
【详解】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、
ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆．
故选C．
【点睛】本题考查三点共圆问题，掌握查确定圆的个数方法是解题关键．
6．在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．0或1
【答案】D
【详解】分析：分两种情况讨论：①A、B、C三个点共线，不能做圆；②A、B、C三个点不在同一条直线上，有且只有一个圆．
解答：解：当A、B、C三个点共线，过A、B、C三个点不能作圆；
当A、B、C不在同一条直线上，过A、B、C三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆；
故选D．
【考点3 确定圆心(尺规作图)】
7．如图是一位考古学家发现的一块古代车轮的碎片．
(1)请你帮他找出这个车轮所在圆环的圆心并还原画出这个车轮的圆环图（尺规作图，保留
作图痕迹，不用写作法）．
(2)在（1）的条件下，若测量出车轮所在的圆环外径（外圆的直径）是 ，求车轮滚动
一圈直走的路程（结果保留 ）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了确定圆心，求圆的周长；
（1）先确定圆心，在小圆上任意取三点，作出两条线段，作这两条线段的垂直平分线，交
于同一点即为圆环的圆心，进而画出车轮的圆环图；
（2）根据圆环外径（外圆的直径）是 ，根据圆的周长公式，即可求解．
【详解】（1）解：如图为所求作的图形．
（2）圆的周长 ，∴车轮滚动一圈直走的路程是 ．
8．如图，线段 是 的一条弦．请用尺规作图法，作出圆心 ．（保留作图痕迹，不
写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，在圆上任取一点 （异于 、 两点），连接
，分别作出 、 的垂直平分线，交于点 ，点 即为所作，熟练掌握作线段垂直
平分线的方法是解此题的关键．
【详解】解：如图，圆心 即为所求，
．
9．如图所示，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A、B、C．
(1)用尺规作图法找出弧 所在圆的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)设 是等腰三角形，底边 ，腰 ．求圆片的半径R．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O；
（2）构建直角 ，利用勾股定理列方程可得结论．
【详解】（1）分别作 和 的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；
（2）连接 , 交 于 ,
∵
，
，
在 中, ，
设 的半径为 ，
在 中,
，
即 ，
，
【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图，要注意作图
和解题中垂径定理的应用．
10．如图所示，有一圆弧形拱桥，其跨度 ，拱高（圆弧中点到弦的距离）为
1m．(1)请你用尺规确定圆弧所在圆的圆心；
(2)求拱桥所在圆的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)这个拱桥所在圆的半径长为13m
【分析】（1）根据弦的垂直平分线都经过圆心来作．作 的垂直平分线 ，交弧于 ，
连接 ，作 的垂直平分线 ， 与 相交于 ，点 就是所求的圆心．
（2）连接 ，设这个门拱的半径为 ，则 ，根据垂径定理得到
，在 中，由勾股定理得 ，然后即可得到关于
的方程，解方程即可求出 ．
【详解】（1）解：如图，作 的垂直平分线 ，交弧于 ，
连接 ，作 的垂直平分线 ， 与 相交于 ，
点 就是所求的圆心；
（2）连接 ，
设这个拱桥的半径为 ，则 ，
，
在 中， ， ，
由勾股定理得： ，
即 ，．
这个拱桥所在圆的半径长为 ．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，解答此题关键是连接 ，构造
出直角三角形利用勾股定理解答．
【考点4 求三角形外心坐标】
11．如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别是点 、点 、
点 ．则 的外心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质求解即可．
【详解】∵ 的外心P到 三个顶点的距离相等，
∴点P是线段BC，AB垂直平分线的交点，如图，
由图可知，点P的坐标为 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形的外心，掌握线段垂直平分线的性质是关键．
12.已知△ABC在网格中的位置如图，那么△ABC对应的外接圆的圆心坐标是（ ）．A．(2,0) B．(2,1) C．(3,0) D．(3,1)
【答案】A
【分析】利用坐标系结合网格得出线段AB以及线段BC的垂直平分线交点，即为△ABC对
应的圆心．
【详解】解：如图所示：△ABC对应的圆心坐标是（2，0）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了垂径定理推论以及三角形外接圆圆心位置确定方法，正确掌握三
角形外接圆作法是解题关键．
13．在平面直角坐标系xOy中，A（5，6），B（5，2），C（3，0），△ABC的外接圆的
圆心坐标为 ．
【答案】(1，4)
【分析】如图，作AB和BC的垂直平分线，它们的交点为△ABC的外接圆的圆心，然后直接读出△ABC的外接圆的圆心坐标．
【详解】解：如图所示：点P即为所求；
所以点P的坐标为（1,4）．
故答案为（1,4）．
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条
边垂直平分线的交点是解答本题的关键．
14．如图，在直角坐标系中，点A（0，6）、B（0，﹣2）、C（﹣4，6），则△ABC外接
圆的圆心坐标为 ．
【答案】
【分析】先根据点 的坐标可得 是直角三角形，再根据直角三角形的外接圆的
圆心为斜边的中点即可得．
【详解】解： ，
，
是直角三角形，
则 外接圆的圆心坐标为 ，即 ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆的圆心，熟练掌握直角三角形的外接圆的圆心为
斜边的中点是解题关键．
【考点5 求特殊三角形外接圆的半径】
15．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 的两个实数根，则该
直角三角形外接圆的半径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解出一元二次方程，利用勾股定理求出斜边的长度，根据圆周角定理，直角三角
形的斜边是外接圆的直径，即可得解．
【详解】解： ，
，
解得 ， ；
所以直角三角形的两条直角边为：3、4，
由勾股定理得：斜边长 ；
所以直角三角形的外接圆半径长为2.5，
故选D．
【点睛】本题考查求直角三角形的外接圆的半径．正确的求出一元二次方程的根，掌握直
角三角形的斜边是外接圆的直径是解题的关键．
16．已知直角三角形的两条直角边的长分别为 、 ，则它的外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心；根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵直角边长分别为6和8，
∴斜边是 ，
∴这个直角三角形的外接圆的半径为5，
故选：B．
17．已知直角三角形的一条直角边等于它的外接圆的半径，则这个直角三角形的面积与其外接圆的面积的比为（ ）
A． ：2π B． ：4π C． ：π D．2：π
【答案】A
【分析】根据直角三角形的外心在斜边的中点，若直角三角形的一条直角边等于它的外接
圆的半径，则这条直角边是斜边的一半．设该直角边是1，则斜边是2，另一条直角边是
，所以直角三角形的面积是 ，外接圆的面积是π，则比值是 ．
【详解】解：设该直角边是1，则斜边是2，另一条直角边是 ，
∴直角三角形的面积是 ，
外接圆的半径为1，面积是 ，
∴这个直角三角形的面积与其外接圆的面积的比为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的外心性质，直角三角形的性质，勾股定理，根据直角三角形
的性质进行计算．
18．如图， 是 的外接圆， 是直径， 平分 ， ，则 的半径
为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于 ，连接 ，由角平分线的定义可得出 ，由同弧或等弧所对的
圆周角相等得出 ，进而可得出 ，由直径所对的圆周角等于 得出
，用勾股定理求出 ，即可求出 的半径．
【详解】解：连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
在 中，
，
∴ 的半径为 ，
故选：C．
19．两条直角边是6和8的直角三角形，其外接圆的半径是 ．
【答案】5
【分析】结合勾股定理以及直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，进行计算．
【详解】解：∵ 中，两条直角边的长分别是6和8，
∴斜边是10．
根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，
得 的外接圆的半径是5，
故答案为：5．【点睛】本题考查了勾股定理和直角三角形的外接圆的应用，注意：直角三角形的外接圆
的半径等于斜边的一半．
20．已知等腰 ， ，请用圆规和直尺作出 的外接圆，
并计算此外接圆的半径．
【答案】作图见解析， 的外接圆的半径为4
【分析】由三角形的外接圆的圆心是线段垂直平分线的交点，确定圆心，然后作外接圆即
可，由等腰三角形的性质可求 ，证明 是等边三角形，然后作答即可．
【详解】解：作 的垂直平分线，交点 即为 的外接圆的圆心，连接 ，
以 为圆心， 为半径画圆，则 即为所求；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ 的外接圆的半径为4．
【点睛】本题考查了作三角形的外接圆，作垂线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形
的判定与性质．熟练掌握三角形的外接圆，作垂线，等腰三角形的判定与性质，等边三角
形的判定与性质是解题的关键．
