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专题12.4 角平分线的性质和判定（5个考点1个易错点）
【考点1 角平分线的性质在线段中的应用】
【考点2 角平分线的性质在求角中的应用】
【考点3 角平分线的性质在实际中的应用】
【考点4角平分线的性质的判定】
【考点5 角平分线的性质的判定和性质综合】
【易错点1 角平分线的性质】
【考点1 角平分线的性质在线段中的应用】
1．如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA
上的一个动点．若PM＝4，则PN的长度不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解答】解：当PN⊥OA时，PN最短，
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB于点M，PM＝4，
∴PN最短＝4．
故选：A．
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E．已知
AC＝6cm，则BD+DE的和为（ ）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【答案】B
【解答】解：CD＝DE，
∴BD+DE＝BD+CD＝BC＝AC＝6cm．
故选：B．
3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB．若DE＝3，BD＝
6，则BC的长度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴ED＝DC，
∵DE＝3，BD＝6，
∴BC＝BD+CD＝BD+DE＝9．
故选：C．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2，BC＝16cm，点D到AB的距离为6cm，则
BD的长为（ ）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
【答案】D
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，∵DE⊥AB，
∴DE＝6cm，
∵∠1＝∠2，
∴AD是∠CAB的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝6cm，
∵BC＝16cm，
∴BD＝10cm．
故选：D．
5．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，ED＝3，BC＝8，则
BD的长为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，ED＝3，
∴ED＝CD＝3，
∵BC＝8，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5．
故选：B．
6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为（
）A．12 B．10 C．15 D．30
【答案】C
【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥AB交AB于点E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝3，
∴ ，
故选：C．
7．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为30，40，50．其三条角平分线交于点O，
则S△ABO ：S△BCO ：S△CAO ＝ 3 ： 4 ： 5 ．
【答案】3：4：5．
【解答】解：作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，
∵三条角平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∴OD＝OE＝OF，
∴S△ABO ：S△BCO ：S△CAO ＝AB：BC：CA＝3：4：5，
故答案为：3：4：5．8.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面
积分别为64和42，则△EDF的面积为 1 1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF＝DH，
在Rt△ADF和Rt△ADH中， ，
∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴S
Rt△ADF
＝S
Rt△ADH
，
在Rt△DEF和Rt△DGH中， ，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴S
Rt△DEF
＝S
Rt△DGH
，
∵△ADG和△AED的面积分别为64和42，
∴42+S
Rt△DEF
＝64﹣S
Rt△DGH
，
∴S
Rt△DEF
＝11．
故答案为11．
9．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 4 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE＝OD，OD＝OF，
即OE＝OF＝OD＝4，
∴△ABC的面积是：S△AOB +S△AOC +S△OBC
＝ ×AB×OE+ ×AC×OF+ ×BC×OD
＝ ×4×（AB+AC+BC）
＝ ×4×21＝42，
故答案为：42．
【考点2 角平分线的性质在求角中的应用】
10．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∠A＝64°，则∠BOC的度数为（
）
A．58° B．64° C．122° D．124°
【答案】C【解答】解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
即O点到BA和BC的距离相等，O点到CA和CB的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴∠BOC＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣ （180°﹣∠A）
＝90°+ ∠A
＝90°+ ×64°
＝122°．
故选：C．
11．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则
∠MAB＝ 3 5 °．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：作MN⊥AD于N，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN＝MC，
∵M是BC的中点，
∴MC＝MB，∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB＝ ∠DAB＝35°，
故答案为：35
【考点3 角平分线的性质在实际中的应用】
12．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草
坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A． 的三条中线的交点 B． 三边的中垂线的交点
C． 三条角平分线的交点 D． 三条高所在直线的交点
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的判定，由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据到角的
两边距离相等的点在角的平分线上，可知凉亭选在 三条角平分线的交点．
【详解】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭应在 三条角平分线的交点．
故选：C
13．如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公
路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质定理的应用．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的
关键．
根据角平分线的性质定理判断作答即可．
【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴到三条公路的距离相等的点在角平分线的交点上，
如图，
三角形两个内角平分线的交点 ，三角形外角两两平分线的交点 均为满足要求的
点，共4处，
故选：D．
14．纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.若建一个
到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（ ）A． 的三条高线的交点 B． 的三条中线的交点
C． 的三条角平分线的交点 D． 的三边垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角
平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到答案．
【详解】解： 到三条道路的距离相等的物流仓储基地，
这个基地应该建在 的三条角平分线的交点，
故选：C．
【考点4角平分线的性质的判定】
15．如图，在 中，D是 的垂直平分线上一点，过点D作 ，垂
足为点E，F， ．求证：点D在 的平分线上．
【答案】见解析
【分析】本题考查了直角三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握知识点并添加
适当的辅助线是解题的关键．连接 ，先证明 ，可得 ，
再根据角平分线的判定定理求解即可．
【详解】证明：连接 ，∵ ，
∴ ，
在 与 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
平分 ，
∴点D在 的平分线上．
16．如图，在 中， ，垂足为F， ，求证：点D
在 的平分线上．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的判定，全等三角形的判定和性质．证明
，可得 ，再由角平分线的判定定理，即可求证．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点D在 的平分线上．
17．已知，在 中， ， ， ， ，求证： 平分
．
【答案】见解析
【分析】
本题考查了角平分线的判定定理；作 于点E，由三角形的面积得 ，从而可
得 ，由角平分线的判定定理即可得证；掌握角平分线的判定定理“在角的内部，
到角两边距离相等的点，在角的平分线上．”是解题的关键．
【详解】
解：如图，作 于点E，
又 ，
，
，，
，
平分 ．
18．如图， ， ， 为垂足， ， 为垂足， ， 相交于点
，连接 ，求证：
(1) ；
(2) 平分 ．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理
（1）根据垂直的定义和全等三角形的判定证明 即可；
（2）根据角平分线的判定定理证明即可．
【详解】（1）证明： ， ，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）证明： ， ， ，
平分 ．
19．如图所示， ， 在 两边上且 ， 是 内部的一条射线且于点 ，
(1)求证 平分 ；
(2)分别作 和 的平分线，相交于 ，求证P同时也在 的平分线 上．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关
键；
（1）根据等腰三角形的性质及 ，证 得 ，即可得出
结论
（2）过P作 ， ， ，利用角平分线的点到角两边的距离相等
得 ，再利用角平分线的逆定理即可得结论．
【详解】（1） ，
，
，
在 和 中
，
平分 ；
（2）如图：过P作 ， ， ，， 平分 ， 平分 ，
， ，
，
点P在 的平分线上．
平分 ，
点P在 的平分线 上．
20．如图（1）， 平分 ， 于B， 于C，易知： ．
①探究：如图（2）， 平分 ， ， ，求证：
．
②探究：如图（3）在四边形 中， ， ，且
，求证： 平分 ．
【答案】①见解析；②见解析
【分析】①作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，欲证明DB=DC，只要证明△DNC≌△DMB即可；
②作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，证得△DNC≌△DMB，得到DM=DN，根据角平分线的判
定即可得到结论．
【详解】证明：①过点D作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，如图2，∵AD平分∠BAC，DN⊥AC，DM⊥AB，
∴DM=DN，
∵∠B+∠ACD=180°，∠NCD+∠ACD=180°，
∴∠B=∠NCD，
在△DNC和△DMB中，
，
∴△DNC≌△DMB，
∴DC=DB；
②过点D作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，如图3，
∵∠ABD+∠ACD=180°，∠NCD+∠ACD=180°，
∴∠ABD=∠NCD，
在△DNC和△DMB中，
，
∴△DNC≌△DMB，
∴DM=DN，∵DN⊥AC，DM⊥AB，
∴AD平分∠BAC．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质和判定等知识，解题的关键
是学会添加常用辅助线，构造全等三角形．
【考点5 角平分线的性质的判定和性质综合】
21．如图， 于 于F，若 ，
(1)求证： 平分 ；
(2)已知 ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)12
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有
，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（1）求出 ，根据全等三角形的判定定理得出 ，推出
，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出 ，即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ 平分 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
22．如图， 于E， 于F，若
(1)求证： 平分 ；
(2)直接写出 之间的等量关系．
【答案】(1)见解析
(2)结论： ，见解析部分
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定，注意：全等三角
形的判定定理有 全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（1）根据相“ ”定理得出 ，故可得出 ，所以 平分 ；
（2）由（1）中 可知 平分 ，故可得出 ，所
以 ，故 ．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴
∴在 和 中，
，∴
∴ ，
∵
∴ 平分 ；
（2）解：结论：
理由：∵
∴
∵
∴
∵ ，
∵
即： ．
23．如图，已知 ，点B、C分别在 、 上， ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用 即可证明；
（2）由（1）知 ，则 ，即可得 所在的直线是 的
角平分线，根据 得 ，利用 证明 即可得；
掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的定义是解题的关键．
【详解】（1）证明：在 和 中，∴
（2）解：由（1）知 ，
∴ ，
∴ 所在的直线是 的角平分线，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
．
24．如图，四边形 中， ，点E为 上一点， 平分 ，且
平分 ．
(1)求证： ；
(2)求证：点E为 的中点．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义可得 ， ，再根据平
行线的判定与性质可得 ，从而可得 ，再利用三角
形内角和定理求得 ，即可得出结论；
（2）过点E作 于点F，根据角平分线的性质可得 ， ，即可得
出结论．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ， 平分 ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：过点E作 于点F，
∵ ， ， 平分 ，
∴ ，
∵ ， ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
即点E为 的中点．
【点睛】本题考查角平分线的定义及性质、平行线的判定与性质、三角形内角和定理，熟
练掌握相关性质是解题的关键．
【易错点1 角平分线的性质】
1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，BC＝4，对角线BD平分∠ABC，则
△BCD的面积为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DA＝DE＝2，
∵BC＝4，
∴△BCD的面积＝ BC•DE＝ ×4×2＝4，
故选：B．
2．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修
建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置
有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】A
【解答】解：三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三
角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市
场可选的位置应该在△ABC三个角的角平分线的交点处，可选的位置有1处，
故选：A．
3．如图，三条直线表示相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距
离相等，则可供选择的地址有（ ）A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
【答案】D
【解答】解：如图所示，可供选择的地址有4个．
故选：D．
4．如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为
（ ）
A．3：2 B．6：4 C．4：9 D．不能确定
【答案】A
【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵AB：AC＝3：2，
∴ ＝ ＝ ＝ ，故选：A．
5．如图，AB＝AC，BE⊥AC 于 E，CF⊥AB 于 F，BE，CF 交于 D，则以下结论：
①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（
）
A．① B．② C．①② D．①②③
【答案】D
【解答】解：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F
∴∠AEB＝∠AFC＝90°，
∵AB＝AC，∠A＝∠A，
∴△ABE≌△ACF（第一个正确）
∴AE＝AF，
∴BF＝CE，
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠BDF＝∠CDE，
∴△BDF≌△CDE（第二个正确）
∴DF＝DE，
连接AD
∵AE＝AF，DE＝DF，AD＝AD，
∴△AED≌△AFD，
∴∠FAD＝∠EAD，
即点D在∠BAC的平分线上（第三个正确）
故选：D．
