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专题22.1 二次函数的相关概念（5个考点2个易错点）
【考点1列二次函数关系式】
【考点2 二次函数的判断】
【考点3 利用二次函数的概念含参数取值范围】
【考点4 二次函数的一般形式】
【考点5 二次函数的函数值】
【考点1 二次函数的定义】
【考点2 二次函数的各部分系数
【考点1列二次函数关系式】
1．一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则
两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以（ 每次降价的百分率） ，列出函数关系
式，即可求解．
【详解】解：∵每次降价的百分率都是x，
∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是 ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关
键．
2．在一个边长为 的正方形中挖去一个边长为 的小正方形，如果设剩余部分的面积为 ，那么 关于 的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即
可．
【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：
y=-x2+4（0＜x＜2），
故选：C．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形
的面积-小正方形的面积得出是解题关键．
3．已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千
克）与销售价x（元/千克）有如下关系： ．设这种产品每天的销售利润为w
（元），则w与x之间的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得
出w与x之间的函数表达式．
【详解】解：根据题意得， ，
即 ，
故选：A．
【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x
之间的函数表达式是解题的关键．
4．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查的是二次函数定义，形如 ，这样的函数叫做二次函数，据此
进行判断即可．
【详解】解：A、是一次函数，不符合题意；
B、不是二次函数，不符合题意；
C、是二次函数，符合题意；
D、化简后，不含二次项，不是二次函数，不符合题意；
故选：C．
5．已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n
的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】根据n个球队都要与除自己之外的 球队个打一场，因此要打 场，然
而有重复一半的场次，即可求出函数关系式．
【详解】解：根据题意，得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键．
6．某商店从厂家以每件 元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的
售价为 元，则可卖出 件，那么卖出商品所赚钱 元与售价 元之间的函数关系
为 ．
【答案】
【分析】由题意分析出每件商品的盈利为： 元，再根据：总利润等于每件商品的利
润乘以销售的数量，再化简即可.【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为： 元，
所以：
故答案为：
【点睛】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的
数量”是解题的关键.
7．一个边长为4厘米的正方形，如果它的边长增加 厘米，则面积随之增加y平方
厘米，那么y关于x的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面
积．
首先表示出原边长为4厘米的正方形面积，再表示出边长增加x厘米后正方形的面积，再
根据面积随之增加y平方厘米可列出方程．
【详解】解：原边长为4厘米的正方形面积为： （平方厘米），
边长增加x厘米后边长变为： ，
则面积为： 平方厘米，
∴ ．
故答案为： ．
【考点2 二次函数的判断】
8．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义“形如 （
是常数，且 ）的函数叫做二次函数”逐一判断即可．
【详解】A、 ， 不是整式，不是二次函数，故该选项错误，不符合题意；
B、 ， 不是整式，不是二次函数，故该选项错误，不符合题意；
C、 是二次函数，故该选项正确，符合题意；
D、 可整理为 ，是一次函数，不是二次函数，故该选项错误，不
符合题意．
故选：C．
9．下列函数中，y关于x的二次函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出
结论，牢记二次函数的定义是解题的关键．
【详解】A、当 时， 不是二次函数，不符合题意；
B、 是二次函数，符合题意；
C、 不是二次函数，不符合题意；
D、 为一次函数，不符合题意．
故选：B．
10．下列函数关系式中，二次函数的个数有（ ）
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）
；（6） ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如 为常数， 的
函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关
系式化简整理（去括号、合并同类项)后，能写成 为常数， 的形
式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．
【详解】解：（1） 是二次函数，故符合题意；
（2） ，不是二次函数，故不符合题意；
（3） 是二次函数，故符合题意；
（4） 不是二次函数，故不符合题意；
（5） 不是二次函数，故不符合题意；
（6） ，不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意；
综上所述，二次函数有2个．
故选：B．
【考点3 利用二次函数的概念含参数取值范围】
11．若 是关于x的二次函数，则a的值是（ ）
A．1 B． C． D． 或
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义等知识点，根据二次函数定义可得 且
，求解即可．
【详解】∵函数 是关于x的二次函数，
∴ 且 ，解得 ，
故选：B．
12．若 是二次函数，则a的值是（ ）
A． B． C．2 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得 且 ，即可求解；理解定
义：“一般地，形如 （a、b、c是常数， ）的函数叫做二次函数．”是
解题的关键．
【详解】解：由题意得
且 ，
解得： ，
故选：B．
13．若 是二次函数，则 m 的值为（ ）
A．1 B． C．1 或 D．0
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的定义以及直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握二次
函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：由于 是二次函数，
且 ，
且 ，
．
故选B．
14．已知 是关于 的二次函数，那么 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．根据二
次函数的定义，列出关于 的不等式组并求解，即可获得答案．【详解】解：∵ 是关于 的二次函数，
∴ 且 ，
解得 ．
故答案为： ．
15．若函数 是二次函数，则 的值为
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据“形如 的函数关系，
称为y关于x的二次函数，其中a，b，c为常数”，即可求解．
【详解】解：∵函数 是二次函数，
∴ 且 ，
解得： ．
故答案为：
16．已知函数 ，回答下列问题：
(1)m取什么值时，此函数是二次函数？
(2)m取什么值时，此函数是一次函数？
【答案】(1)
(2) 或 或 或 或
【分析】本题考查了一次函数的定义，二次函数的定义；
（1）由二次函数的定义得 ，即可求解；
（2）由一次函数的定义得①当 时，②当 时，③当 时，
进行求解，即可求解；理解二次函数的定义：“一般地，形如 （a、b、c是常数， ）的函数叫
做二次函数．”，能根据一次函数的定义进行分类讨论是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得： ；
故 时，此函数是二次函数；
（2）解：①当 时，
解得： ；
②当 时，
解得： ， ；
③当 时，
解得： ， ；
综上所述： 取 或 或 或 或 ，此函数为一次函数．
【考点4 二次函数的一般形式】
17．二次函数 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，4，3 B．0，4，3 C．1，-4，3 D．0，-4，3
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如 的函数，
叫做二次函数．其中x，y是变量， 是常量， a是二次项系数， b是一次项系数， c
是常数项作答．
【详解】解：解:二次函数 的二次项系数是1，一次项系数是 ，常数项是3．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数， 一次项系数和常
数项时，不要漏掉符号．
18．二次函数 的二次项系数与一次项系数的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将函数解析式化简，得到各系数，计算即可．
【详解】解： ，
∴二次项系数是2，一次项系数是 ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数定义，正确理解二次函数的各项的系数是解题的关键．
19．设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（
）
A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3
C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3
【答案】B
【分析】根据二次函数的一般形式可得答案．
【详解】解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是
c＝3；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的一般形式，关键是注意在找二次项系数，一次项系数
和常数项时，不要漏掉符号．
20．把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 ．
【答案】1
【分析】先将其化为一般式，即可求出一次项系数和常数项，从而求出结论．
【详解】解：y＝(3x-2)(x＋3)=3x2＋7x-6
∴一次项系数为7，常数项为-6
∴一次项系数与常数项的和为7＋（-6）=1故答案为：1．
【点睛】此题考查的是二次函数的一般式，掌握二次函数的一般形式是解题关键．
21．把函数 化成 的形式为 ．
【答案】
【分析】把函数 右边相乘展开合并成 形式即可.
【详解】 ，则 .
【点睛】本题是对二次函数基础的考查，熟练把二次函数其他形式化成一般式是解决本题
的关键.
22．将二次函数 化成一般形式，其中二次项系数为 ，一次项系数为
，常数项为 ．
【答案】
【分析】通过去括号，移项，可以把方程化成二次函数的一般形式，然后确定二次项系数，
一次项系数，常数项．
【详解】y=﹣2（x﹣2）2变形为：y=﹣2x2+8x﹣8，所以二次项系数为﹣2；一次项系数为
8；常数项为﹣8．
故答案为﹣2，8，﹣8．
【点睛】本题考查的是二次函数的一般形式，通过去括号，移项，合并同类项，得到二次
函数的一般形式，确定二次项系数，一次项系数，常数项的值．
23．已知二次函数 ，则二次项系数 ，一次项系数 ．
【答案】 3 -5
【分析】根据二次函数的定义即可求解．
【详解】解：二次函数 的二次项系数 ，一次项系数 ，
故答案为：3；-5．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
24．若二次函数 的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则
， ， ．【答案】 0
【分析】本题主要考查了二次函数有关概念．熟练掌握二次函数各项系数的概念，是解决
问题的关键．
根据二次函数各项的系数填空．
【详解】∵二次函数为 ，
∴二次项系数为 ，一次项系数为0，常数项为 ，
∴ ， ， ．
故答案为： ，0， ．
25．二次函数 中，二次项系数为 ，一次项是 ，常数项是
【答案】 -2x , 1
【分析】函数化简为一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫
二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数
项．
【详解】∵y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，
c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项
∴ 中，二次项系数为 ，一次项是-2x，常数项是1.
故答案是： ; -2x;1.
【点睛】考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且
a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次
项系数，一次项系数，常数项．
26．指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项
（1）
（2）
（3）（4）
【答案】见解析
【分析】根据二次函数的定义，二次函数的解析式处理．
【详解】解：
二次项系
函数解析式 一次项系数 常数项
数
（1） 2
（2） 0
（3） 1 0
（4） 1 0 0
【点睛】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键．
【考点5 二次函数的函数值】
27．已知二次函数 ，当 时，函数值等于 ，则下列关于 的关系式中，
正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把 代入计算即可．
【详解】解：由题意得：
把 代入 得：
等号两边同除以 得：
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数，熟练掌握代入法转化为关于 的关系式是解决本题的
关键．28．已知抛物线 与x轴的一个交点为 ，则代数式 的值为
．
【答案】2020
【分析】先将点 代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果．
【详解】解：将 代入函数解析式得， ，
∴ ，
∴
．
故答案为：2020．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点
代入函数解析式得到有关m的代数式的值．
29．若关于m的多项式 的值是5，求代数式 的值是 ．
【答案】
【分析】将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．
【详解】解：∵多项式 的值是5，
∴ ，
∴
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是注意整体代入思想．30．若 是方程 的解，则代数式 的值为 ．
【答案】2021
【分析】根据方程解的定义可得 ，即 ，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵ 是方程 的解，
∴ ，即： ，
∴ ，
故答案为：2021．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，掌握整体代入法是关键．
31．若抛物线 与x轴的一个交点为 ，则代数式 的值为
．
【答案】2038
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标
特点．将 代入抛物线解析式求得 ，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵抛物线 与x轴的一个交点为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2038．
32．若 ，则 的值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查代数式求值，解题的关键是对代数式进行化简．先将 变形，
再将 代入即可求解．
【详解】解： ，
，
．
故答案为：5．
33．代数式 ，则代数式 的值为 ．【答案】
【分析】直接把 整体代入到所求的代数式中进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．
【考点1 二次函数的定义】
1．关于x的函数 是二次函数，则m的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．0
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：∵函数 是二次函数，
∴ 且 ，
解得： ．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的定义．一般地，我们把形如 （其中 是
常数， ）的函数叫做二次函数．
2．下列各式中，y是x的二次函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义进行求解即可．
【详解】解A、当 时，函数 不是二次函数，不符合题意；
B、 不是二次函数，不符合题意，C、 不是二次函数，不符合题意；
D、 是二次函数，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如 ，其中a、b、c都
是常数且 的函数叫做二次函数．
3．若函数 是二次函数．
(1)求k的值．
(2)当 时，求y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于k所满足的式子，求解即可；
（2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入 求解即可．
【详解】（1）解：依题意有 ，
解得： ，
∴k的值为3；
（2）把 代入函数解析式中得： ，
当 时， ，
∴y的值为 ．
【点睛】本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数的基
本定义是解题关键．
【考点2 二次函数的各部分系数
4．把二次函数 化为 的形式，并分别写出二次项、一次
项和常数项．【答案】 ；二次项为 ，一次项是 ，常数项是0
【分析】根据二次函数的一般式 解答即可．
【详解】解：二次函数 即为 ，
∴二次项为 ，一次项是 ，常数项是0．
【点睛】本题考查了二次函数的一般形式， 叫做二次函数的一般形式，
其中 分别叫做二次项、一次项和常数项．
