文档内容
第 04 讲 数列的通项公式
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：求数列通项公式的常用方法.............................................................................................4
题型一：观察法....................................................................................................................................7
题型二：叠加法....................................................................................................................................8
题型三：叠乘法....................................................................................................................................8
题型四：形如a =pa +q型的递推式...............................................................................................9
n+1 n
题型五：形如a =pa +kn+b型的递推式......................................................................................10
n+1 n
题型六：形如a =pa +rqn 型的递推式..........................................................................................10
n+1 n
题型七：形如a =paq (p>0,a >0)型的递推式.............................................................................11
n+1 n n
ma
题型八：形如a = n 型的递推式............................................................................................12
n+1 pa +q
n
题型九：形如a =pa +qa 型的递推式......................................................................................12
n+2 n+1 n
ma +t
题型十：形如a = n 型的递推式............................................................................................13
n+1 pa +q
n
题型十一：已知通项公式a 与前n项的和S 关系求通项问题.....................................................14
n n
题型十二：周期数列..........................................................................................................................17
题型十三：前n项积型......................................................................................................................18
题型十四：“和”型求通项..............................................................................................................20
题型十五：正负相间讨论、奇偶讨论型..........................................................................................20
题型十六：因式分解型求通项..........................................................................................................21
题型十七：双数列问题......................................................................................................................22
题型十八：通过递推关系求通项......................................................................................................23
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................25
05课本典例·高考素材........................................................................................................................26
06易错分析·答题模板........................................................................................................................28
易错点：已知S 求a .........................................................................................................................28
n n
答题模板：已知S 求a .....................................................................................................................28
n n考点要求 考题统计 考情分析
2024年甲卷（理）第 18题，12
分 高考对数列通项的考查相对稳定，考
2023年 乙卷（文）第18题，12 查内容、频率、题型、难度均变化不大．
（1）构造法 分 数列通项问题以解答题的形式为主，偶尔
2023年甲卷（理）第 17题，12 出现在选择填空题当中，常结合函数、不
分 等式综合考查.
2023年II卷第18题，12分
复习目标：
掌握数列通项的几种常见方法．知识点1：求数列通项公式的常用方法
类型Ⅰ 观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此
数列的一个通项．
类型Ⅱ 公式法：
n S
若 已 知 数 列 的 前 项 和 n与 的 关 系 ， 求 数 列 的 通 项 可 用 公 式
构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即
和 合为一个表达，（要先分 和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
类型Ⅲ 累加法：
形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：
将上述 个式子两边分别相加，可得：
①若 是关于 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
② 若 是关于 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
③若 是关于 的二次函数，累加后可分组求和；
④若 是关于 的分式函数，累加后可裂项求和．
类型Ⅳ 累乘法：形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：
将上述 个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
类型Ⅴ 构造数列法：
（一）形如 （其中 均为常数且 ）型的递推式：
（1）若 时，数列{ }为等差数列；
（2）若 时，数列{ }为等比数列；
（3）若 且 时，数列{ }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方
法有如下两种：
法一：设 ，展开移项整理得 ，与题设 比较系数
（ 待 定 系 数 法 ） 得 ， 即
构成以 为首项，以 为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出
的通项整理可得
法二：由 得 两式相减并整理得 即 构成以
为首项，以 为公比的等比数列．求出 的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如 型的递推式：
（1）当 为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为
首项，以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的
通项整理可得
法二：当 的公差为 时，由递推式得： ， 两式相减得：
，令 得： 转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加
法）便可求出（2）当 为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，
以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理
可得
法二：当 的公比为 时，由递推式得： ——①， ，两边同时
乘以 得 ——②，由①②两式相减得 ，即 ，在
转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为 （其中p，q均为常数）或 （其中p，q， r均为常
数）时，要先在原递推公式两边同时除以 ，得： ，引入辅助数列 （其中 ），
得： 再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
（3）当 为任意数列时，可用通法：
在 两边同时除以 可得到 ，令 ，则 ，在转
化为类型Ⅲ（累加法），求出 之后得 ．
类型Ⅵ 对数变换法：
形如 型的递推式：
在原递推式 两边取对数得 ，令 得： ，化归为
型，求出 之后得 （注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．
类型Ⅶ 倒数变换法：
形如 （ 为常数且 ）的递推式：两边同除于 ，转化为 形式，
化归为 型求出 的表达式，再求 ；
还有形如 的递推式，也可采用取倒数方法转化成 形式，化归为
型求出 的表达式，再求 ．
类型Ⅷ 形如 型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列 的形式求解．方法为：设 ，比较系数得 ，可解得 ，于是 是公比为 的等比数列，这样就化归为 型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，
可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
【诊断自测】（2024·贵州黔南·二模） ，数列1， ，7， ，31， 的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
题型一：观察法
【典例1-1】（2024·高三·河南·期中）数列 的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】数列 …的一个通项公式为 （ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察
法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有 或者 部分．②考虑各项的
变化规律与序号的关系．③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方 、 与
有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列．
【变式1-1】已知数列 ，则该数列的第2024项为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2024·湖南长沙·二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，······，
则第十层有（ ）个球．
A．12 B．20 C．55 D．110
【变式1-3】已知数列 ， ， ， ，…则该数列的第211项为（ ）
A． B． C． D．
题型二：叠加法
【典例2-1】已知数列 满足 ， ，则 ．
【典例2-2】已知数列 满足 ， ，则 的通项公式为 ．
【方法技巧】
数列有形如 的递推公式，且 的和可求，则变形为 ，
利用叠加法求和.
【变式2-1】在数列 中，已知 ，且 ，则 ．
【变式2-2】在首项为1的数列 中 ，则
【变式2-3】已知数列 的前n项和为 ，若 ， ，且
，则数列 的通项公式为 .
题型三：叠乘法
【典例3-1】（2024·四川泸州·三模）已知 是数列 的前 项和， ， ，则 .
【典例3-2】已知数列 满足： 且 ，则数列 的通项公式为 ．
【方法技巧】数列有形如 的递推公式，且 的积可求，则将递推公式变形为
，利用叠乘法求出通项公式 .
【变式3-1】已知数列 满足 ，则 的最小值为 ．
【变式3-2】已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，则数列 的通项公式
等于 .
【变式3-3】已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 .
【变式3-4】数列 满足： ， ，则 的通项公式为 .
【变式3-5】已知数列 满足 ，且 ，则 ．若 恒成立，
则 的最大值是 ．
题型四：形如a =pa +q型的递推式
n+1 n
【典例4-1】已知数 满足 ，则数列 的通项公式 ．
【典例4-2】已知数列 满足 ， ，则该数列的通项公式 ．
【方法技巧】
设 ，展开移项整理得 ，与题设 比较系数（待定系
数法）得 ，即 构成以
为首项，以 为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可得
【变式4-1】在数列 中， ， ，若对于任意的 ， 恒成立，则实
数 的最小值为 ．
【变式4-2】已知数列 满足 ，求数列 的通项公式.
【变式4-3】（2024·高三·河南焦作·开学考试）已知数列 满足 ， ，则满足的最小正整数 ．
题型五：形如a =pa +kn+b型的递推式
n+1 n
【典例5-1】在数列 中， ，且 ，则 的通项公式为 ．
【典例5-2】设数列 满足 ， ，则数列 的通项公式为 .
【方法技巧】
设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，
以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整
理可得
【变式5-1】（2024·高三·河北保定·期中）若 ， ，则 ；
【变式5-2】已知 ．求通项公式 ．
【变式5-3】已知数列 满足 ，求数列 的通项公式.
题型六：形如a =pa +rqn 型的递推式
n+1 n
【典例6-1】数列 满足 ，则数列 的通项公式为 .
【典例6-2】已知 数列满足 ， ，则数列 的通项公式为 .
【方法技巧】递推公式为 （其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以 ，
得： ，引入辅助数列 （其中 ），得： 再应用构造法解决．
【变式6-1】已知数列 满足 ，则数列 的通项公式为 .
【变式6-2】已知数列 满足 ，求数列 的通项公式.
题型七：形如a =paq (p>0,a >0)型的递推式
n+1 n n
【典例7-1】（2024·高三·河北·开学考试）已知数列 满足 ，且 ，则 ；
令 ，若 的前n项和为 ，则 ．
【典例7-2】已知 ， ，求 ．
【方法技巧】
递推式 两边取对数得 ，令 得： ，化归为
型，求出 之后得
【变式7-1】设数列 满足 ， ，证明：存在常数 ，使得对于任意的 ，
都有 ．
【变式7-2】已知数列 满足 ， .
证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；ma
题型八：形如a = n 型的递推式
n+1 pa +q
n
【典例8-1】已知数列 满足 ， ， ，则 .
【典例8-2】（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列 满足 ，则数列
的通项公式为 ．
【方法技巧】
形如 的递推式，也可采用取倒数方法转化成 形式，化归为
型求出 的表达式，再求 ．
【变式8-1】已知数列 满足 ，且 ，则数列 的通项公式为 ．
【变式8-2】已知数列 满足 ，则 的通项公式为 .
题型九：形如a =pa +qa 型的递推式
n+2 n+1 n
【典例9-1】已知数列 中 ， ，且满足 ．设 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的通项公式；
【典例9-2】已知数列 满足 ， ， ，求 的通项公式．【方法技巧】
用待定系数法，化为特殊数列 的形式求解．方法为：设 ，比较系数
得 ，可解得 ，于是 是公比为 的等比数列，这样就化归为 型．
【变式9-1】已知数列 满足 ，且 ， .求数列 的通项公式；
【变式9-2】已知数列 中， ，求 的通项公式．
ma +t
题型十：形如a = n 型的递推式
n+1 pa +q
n
【典例10-1】（2024·湖南益阳·一模）已知数列 中， ， ，若 ，则数列
的前 项和 .
【典例10-2】已知数列 满足 ， ，则 ．
【方法技巧】
用待定系数法．
【变式10-1】已知数列 满足 ， ，则 ．
【变式10-2】已知 ， ，则 的通项公式为 ．题型十一：已知通项公式a 与前n项的和S 关系求通项问题
n n
【典例11-1】在数列 中， ，前 项和 ，则数列 的通项公式为 ．
【典例11-2】已知数列 的前n项和为 ， ， ，则 ．
【方法技巧】
求解 与 的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化 的形式为 的形式，适用于
的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化 的形式为 的形式，适用于 的形式不够独立的情
形；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对 的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时
加注 的范围．
【变式11-1】（2024·全国·模拟预测）已知正项数列 的前 项和为 ，且 .
求 和 的值，并求出数列 的通项公式；
【变式11-2】（2024·陕西渭南·统考二模）已知数列 中， ，前n项和为 .若
，则数列 的前2023项和为 .
【变式11-3】已知各项为正数的数列 的前 项和为 ，满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项的和 ．
【变式11-4】记 为数列 的前 项和．已知 ．证明： 是等差数列；【变式11-5】（2024·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知各项均为正数的数列 满足 ，
其中 是数列 的前n项和.求数列 的通项公式
【变式11-6】已知数列 的前 项和 ，且满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)记数列 的前 项乘积为 ，求 的最小值.
【变式11-7】已知数列 是递增数列，其前 项和 满足 .
(1)证明： 是等差数列；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，求 .
【变式11-8】数列 的各项均为正数，已知前n项和 且 ，求 的通项公式．【变式11-9】数列 的前n项和记为 ，已知 ， ．
(1)求证： 是等差数列；
(2)若 ， ， 成等比数列，求 的最大值．
【变式11-10】设正项数列 的前n项和为 ，且满足 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前n项和为 ，对任意 ， 恒成立，求实数
的取值范围．
【变式11-11】记 为数列 的前 项和，已知： ， ， ．
(1)求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式：
(2)求数列 的前 项和 ．
【变式11-12】（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ，
， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 对任意的 恒成立，求实数 的最小值．【变式11-13】（2024·河南·二模）在数列 中， ，对任意正整数 ，均有 .数列
满足： .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【变式11-14】设 为数列 的前n项和，已知 ．求 的通项公式；
【变式11-15】已知数列 满足 ，求 的通项公式.
【变式11-16】已知数列 的前 项和为 ， ， ．
(1)证明数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
题型十二：周期数列
【典例12-1】（2024·海南海口·一模）洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名．洛
卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列 为： ，即 ，且
．设数列 各项依次除以4所得余数形成的数列为 ，则 ．
【典例12-2】（2024·陕西西安·模拟预测）数列 满足 ， ，则 ．【方法技巧】
（1）周期数列型一：分式型
（2）周期数列型二：三阶递推型
（3）周期数列型三：乘积型
（4）周期数列型四：反解型
【变式12-1】已知数列 满足 ， ，则 ．
【变式12-2】（2024·河北·模拟预测）在数列 中， ，则 .
【变式12-3】（2024·河北唐山·二模）已知数列 中， ， ，则 ，数列
的前2023项和 ．
【变式12-4】已知数列 满足 ， ，则 .
【变式12-5】（2024·辽宁·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ，且 ，
若 ，则 ．
题型十三：前n项积型
【典例13-1】已知各项均为正数的数列 ， ，且 .求 的通项公式；
【典例13-2】已知数列 的前 项和为 ,且满足 ,数列 的前 项积 .求数
列 和 的通项公式;
【方法技巧】类比前 项和求通项过程：
（1） ，得
（2） 时， ．
【变式13-1】设 为数列 的前n项积．已知 ．求 的通项公式；
【变式13-2】设 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知 ．
(1)求 ， ；
(2)求证：数列 为等差数列；
(3)求数列 的通项公式．
【变式13-3】已知 为数列 的前n项的积，且 ， 为数列 的前n项的和，若
（ ， ）.
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）求 的通项公式.题型十四：“和”型求通项
【典例14-1】（2024·湖南永州·二模）已知数列 满足 ，则 ．
【典例14-2】（2024·高三·江苏·期末）若数列 满足 ， （ ），则
.
【方法技巧】
满足 ，称为“和”数列，常见如下几种：
（1）“和”常数型
（2）“和”等差型
（3）“和”二次型
（4）“和”换元型
【变式14-1】（2024•河南月考）若数列 满足 为常数），则称数列 为等比和数列，
称为公比和，已知数列 是以3为公比和的等比和数列，其中 ， ，则 ．
【变式14-2】（2024·山西太原·一模）数列 满足 ，则 .
【变式14-3】数列 满足 ， ，且其前 项和为 .若 ，则正整数
（ ）
A．99 B．103 C．107 D．198
【变式14-4】数列 满足： ，求通项 .
题型十五：正负相间讨论、奇偶讨论型
【典例15-1】（2024·高三·湖南常德·期末）已知数列 满足首项 ， ，则数
列 的前2n项的和为 ．
【典例15-2】已知数列 满足 ， ， ， ，则 ．【方法技巧】
（1）利用n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律
（2）分段数列
（3）奇偶各自是等差，等比或者其他数列．
【变式15-1】已知数列 的前 项和为 ，满足 ， ．
(1)若数列 满足 ，求 的通项公式；
(2)求数列 的通项公式，并求 ．
【变式15-2】数列 满足 ，前16项和为540，则 ．
【变式15-3】（2024•夏津县校级开学）数列 满足 ，前16项和为508，则
．
题型十六：因式分解型求通项
【典例16-1】（2024•安徽月考）已知正项数列 满足： ， ， ．
（Ⅰ）判断数列 是否是等比数列，并说明理由；
（Ⅱ）若 ，设 ． ，求数列 的前 项和 ．
【典例 16-2】（2024•怀化模拟）已知正项数列 满足 ， 设
．
（1）求 ， ；
（2）判断数列 是否为等差数列，并说明理由；
（3） 的通项公式，并求其前 项和为 ．
【方法技巧】
利用十字相乘进行因式分解．【变式16-1】（2024•仓山区校级月考）已知正项数列 满足 且
（Ⅰ）证明数列 为等差数列；
（Ⅱ）若记 ，求数列 的前 项和 ．
【变式16-2】已知正项数列 的前 项和 满足： ，数列 满
足 ，且 ．
（1）求 的值及数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求 ．
题型十七：双数列问题
【典例17-1】数列 , 满足 ,且 , .
(1)证明: 为等比数列;
(2)求 , 的通项.
【典例17-2】（2024·吉林长春·模拟预测）已知数列 和 满足 ， ， ，
，则 ______， ______．【方法技巧】
消元法．
【变式17-1】（2024·河北秦皇岛·三模）已知数列 和 满足
．
(1)证明： 是等比数列， 是等差数列；
(2)求 的通项公式以及 的前 项和 ．
【变式17-2】两个数列 ､ 满足 ， ， ， （其中 ），
则 的通项公式为 ___________.
题型十八：通过递推关系求通项
【典例18-1】已知某中学食堂每天供应3 000名学生用餐，为了改善学生伙食，学校每星期一有A，B两种
菜可供大家免费选择(每人都会选而且只能选一种菜)．调查资料表明，凡是在这星期一选A种菜的，下星
期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有40%改选A种菜．用 ， 分别表示在第n个星
期一选A的人数和选B的人数，如果 .
（1）请用 ， 表示 与 ；
（2）证明：数列 是常数列．
【典例18-2】（2024·云南昆明·模拟预测）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面
积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆
垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上
层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第 层球数比第 层球数多 ，设各层球数构成一个数列 .
求数列 的通项公式；
【方法技巧】
通过相邻两项的关系递推．
【变式18-1】（2024·辽宁·二模）在直角坐标平面内，将函数 及 在第一象限内的
图象分别记作 ， ，点 在 上．过 作平行于x轴的直线，与 交于点 ，再过
点 作平行于y轴的直线，与 交于点 ．
(1)若 ，请直接写出 ， 的值；
(2)若 ，求证： 是等比数列；
【变式18-2】在通信技术中由 和 组成的序列有着重要作用，序列中数的个数称为这个 序列的长度
如 是一个长度为 的 序列 长为 的 序列中任何两个 不相邻的序列个数设为 ，长
度为 的 序列为： ， ，都满足数列 ， 长度为 且满足数列 的 序列为： ， ，， ．
(1)求 ，
(2)求数列 中 ， ， 的递推关系
(3)记 是数列 的前 项和，证明： 为定值．
【变式18-3】京都议定书正式生效后，全球碳交易市场出现了爆炸式的增长．某林业公司种植速生林木参
与碳交易，到2022年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%，为了利于
速生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子．设从2023年开始，第 年年底的速生林木保有量
为 万立方米．
(1)求 ，请写出一个递推公式表示 与 之间的关系；
(2)是否存在实数 ，使得数列 为等比数列，如果存在求出实数 ；
(3)该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2022年底的200万立
方米翻两番，则至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求？
（参考数据： ， ， ， ）
1．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．2．（2021年浙江省高考数学试题）已知数列 满足 .记数列 的前n
项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2019年浙江省高考数学试卷）设 ，数列 中， ， ,则
（ ）
A．当 B．当
C．当 D．当
4．（2022年新高考北京数学高考真题）已知数列 各项均为正数，其前n项和 满足
．给出下列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
1．如图，雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一
段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三
角形(图①)的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为 ， ， ， ，则
（ ）A． B． C． D．
2．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述
两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称
“角谷猜想”等）．如取正整数 ，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过
8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．
现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列 满足： （m为正整数），
．
（1）当 时，试确定使得 需要多少步雹程；
（2）若 ，求m所有可能的取值集合M．
3．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，令 ，求数列 的前n项和 ．
4．已知等比数列 的前n项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式．
（2）在 与 之间插入n个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否
存在3项 ， ， ，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，
请说明理由．
5．在2015年苏州世乒赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只
有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，
每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球．记第n堆的乒乓球总数为 ．（1）求出 ；
（2）试归纳出 与 的关系式，并根据你得到的关系式探求 的表达式．
参考公式： ．
6．平面上有 个点，其中任何三点都不在同一条直线上．过这些点中任意两点作直线，
这样的直线共有多少条？证明你的结论．
易错点：已知S 求a
n n
易错分析：易错点主要在于对 和 两种情况的处理。当 时， ；当 时，
。忽略对 的单独讨论是常见的错误。
答题模板：已知S 求a
n n
1、模板解决思路
（1）已知 关于 的表达式时，首先写出 ，再利用公式 ，且 求出
，注意需要验证 是否符合 ；
（2）已知 与 的关系式时，可由公式 ，再将条件转化为 的递推关系式，再求 ．
2、模板解决步骤第一步：写出当 时， 的表达式．
第二步：利用 求出 或将条件转化为 的递推关系．
第三步：如果第二步求出 ，那么根据 求出 ，并代入 的通项公式，注意要进行验证，
若成立，则合并；若不成立，则写成分段的形式．如果第二步求出 的递推关系，那么通过递推公式求
．
【易错题1】已知数列 的前 项和为 ，若 ，则数列 的通项公式为
【易错题2】已知数列 的前 项和为 ，满足 ，则 ．
