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第十三章 三角形
复习要点
1. 理解三角形的定义、基本要素（边、角、顶点）及表示方法，能区分按角分类（锐角、
直角、钝角）与按边分类（不等边、等腰、等边）。
2. 掌握三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，之差小于第三边），能利用该关系判
断三条线段能否构成三角形或求第三边取值范围。
3. 理解三角形三种重要线段（中线、角平分线、高）的概念，会画任意三角形的高、中线
与角平分线，能区分它们在锐角、直角、钝角三角形中的位置差异。
4. 掌握三角形内角和定理（180°）及外角定理（外角等于与它不相邻的两个内角的和），
并能运用这些定理进行角度计算与简单推理。
5. 理解三角形的稳定性，能运用三角形知识解释生活中的相关现象。
复习重难点
重点
三角形三边关系、内角和定理、外角定理以及三角形三条重要线段（中线、角平分线、高）
的性质与应用。
难点
三角形内角和定理的严格证明、钝角三角形高线的准确画法，以及运用三角形知识进行逻
辑推理和解决实际问题。
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知识点
三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
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要点诠释：
（1）三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.
（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C 的三角形记作“△ABC”，读作“三角形
ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB、BC、AC 来表示，也可以用小写字母a、
b、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC、AB 分别用b、c 表示．
要点速测
1．（25-26 八年级上·四川凉山·期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 七年级上·天津河西·期末）如图，三角形
中，
，
是
边上两点，连接
，
，
数一数图中角（小于平角）的个数，一共有________个．
3．（25-26 八年级上·江苏·期末）如图，在
中，
，若
的周长为
，则
______．
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知识点
三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边.
推论：三角形任意两边的之差小于第三边.
要点诠释：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这
三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系．
要点速测
4．（25-26 七年级下·甘肃兰州·期末）若三角形的三边长分别是3，4，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·河北沧州·三模）已知三角形三边长分别为
，若
为正整数，则这样的三角形有________
个．
6．（25-26 七年级下·宁夏银川·期末）已知m，n 为等腰
的边长，且满足
，则
的周长是________．
知识点
三角形的分类
1.按角分类：
直角三角形
三角形
锐角三角形
斜三角形
钝角三角形
要点诠释：
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①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
2.按边分类：
不等边三角形
三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
要点诠释：
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；
②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰
的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
③等边三角形：三边都相等的三角形.
要点速测
7．（25-26 七年级下·广东佛山·期末）如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三
角形的形状是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都有可能
8．（25-26 七年级下·上海杨浦·期末）如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形是
（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上皆有可能
9．（24-25 七年级上·湖北十堰·期末）下图中共有___个直角三角形．
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知识点
三角形的三条重要线段
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我
们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，
列表如下：
线段
名称
三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
文字
语言
从三角形的一个顶点向它的
对边所在的直线作垂线，顶
点和垂足之间的线段．
三角形中，连接一个顶
点和它对边中点的线
段．
三角形一个内角的平分线
与它的对边相交，这个角
的顶点与交点之间的线
段．
图形
语言
作图
语言
过点A 作AD⊥BC 于点D．
取BC 边的中点D，连接
AD．
作∠BAC 的平分线AD，交
BC 于点D．
标示
图形
符号
语言
1．AD 是△ABC 的高．
2．AD 是△ABC 中BC 边上的
高．
3．AD⊥BC 于点D．
4．∠ADC＝90°，∠ADB＝
90°．
(或∠ADC＝∠ADB＝90°)
1．AD 是△ABC 的中线．
2．AD 是△ABC 中BC 边
上的中线．
3．BD＝DC＝1
2
BC
4．点D 是BC 边的中点．
1．AD 是△ABC 的角平分线．
2．AD 平分∠BAC，交BC
于点D．
3．∠1＝∠2＝1
2
∠BAC．
推理
语言
因为AD 是△ABC 的高，所以
AD⊥BC．
(或∠ADB＝∠ADC＝90°)
因为AD是△ABC的中线，
所以BD＝DC＝1
2
BC．
因为AD 平分∠BAC，所以
∠1＝∠2＝1
2
∠BAC．
用途
1．线段垂直．
1．线段相等．
角度相等．
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举例
2．角度相等．
2．面积相等．
注意
事项
1．与边的垂线不同．
2．不一定在三角形内．
—
与角的平分线不同．
重要
特征
三角形的三条高(或它们的
延长线)交于一点．
一个三角形有三条中
线，它们交于三角形内
一点．
一个三角形有三条角平分
线，它们交于三角形内一
点．
要点速测
10．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）如图，
中，是
边上高的线段为（ ）
A．线段
B．线段
C．线段
D．线段
11．（25-26 七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，点
，
，
分别是
，
，
的中
点，已知
，则阴影部分的面积之和为________．
12．（25-26 七年级下·陕西商洛·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：如图，
，
，
是
的角平分线．试说明：
证明：
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是
的角平分线
∴________（角平分线的定义）
又
（已知）
（ ）
∴________（ ）
（ ）
又
（已知）
∴_________（ ）
（ ）
知识点
三角形的内角和外角
三角形的内角和
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
三角形的外角
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD 是△ABC 的一个外角.
要点诠释：
(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边
的延长线．
（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外
角，因此，我们常说三角形有三个外角．
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2．性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依
据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．
三角形的外角和：
三角形的外角和等于360°.
要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的
三个外角和是360°．
要点速测
13．（25-26 八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在
中，
，将
沿虚线剪去
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（25-26 七年级下·上海浦东新·期末）如图，
中，
是边
上的高，
，
，
是
的平分线，则
的度数为________．
15．（25-26 七年级下·云南昆明·期末）如图，
，
是
的两条高．
(1)若
，
，求
的度数；
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10 /
(2)
，
，
，求
的长．
题型1 三角形的概念
▌例1 （25-26 八年级上·四川泸州·期末）等腰三角形的一个角是
，则它的底角是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
▌迁移练1-1（25-26 七年级下·广东佛山·期末）如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则
三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都有可能
▌迁移练1-2（25-26 七年级下·上海奉贤·期末）在
中，已知：
，用“>”连接
、
、
应为_______．
▌迁移练1-3（25-26 八年级上·广东惠州·期中）如图，
是等腰三角形，点
是底边
上任意一点，
、
分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为
，面积为
，则
的值为________．
解题要点
• 紧扣定义判定：由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成三角形，注意区分线段、
首尾相接、不共线三个条件。
• 灵活运用三边关系：任意两边之和大于第三边，判断线段能否构成三角形只需验证较短
两边和大于最长边。
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11 /
题型2 三角形三边关系的应用
▌例2 （25-26 七年级下·四川成都·期末）下列每组数据分别是三根小棒的长度，用它们能摆成三角形
的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
▌迁移练2-1（25-26 七年级下·辽宁大连·期末）已知三角形的三边长分别为
，
，
，则x 不可能
是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌迁移练2-2（24-25 七年级下·陕西西安·期末）小明有两根长度分别为
的木棒，他想钉一个三
角形木框架，则第三根木棒的长度可以是___________cm．（只写一个即可）
▌迁移练2-3（25-26 七年级下·北京·期末）已知
的三边长
，
，满足
且为
奇数．则
___________
题型3 与三角形中线有关的计算
▌例3 （25-26 八年级上·广西玉林·期末）如图，若
是
的中线，
，则
的长度为（ ）
解题要点
• 判断三边能否构成三角形，只需检验较短两条线段长度之和大于最长线段，不必逐一验
证三组不等式。
• 已知两边求第三边取值范围，利用两边之差小于第三边、两边之和大于第三边列出不等
式求解。
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12 /
A．2
B．3
C．4
D．8
▌迁移练3-1（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在
中，
，
，
为
的中
线，则
与
的周长之差为（ ）
A．
B．
C．
D．
▌迁移练3-2（24-25 七年级下·广东湛江·期末）如图所示，在
中，
为
边上的中线，若
，
，则
的周长比
的周长多__________
．
▌迁移练3-3（25-26 七年级下·吉林长春·期末）如图，在
中，点
、
、
分别是
、
、
的中点，若
的面积为16，
（阴影部分）的面积为________．
解题要点
• 抓住中线定义：中线平分对边，可得两条线段相等，常用来转化线段长度进行等量代换。
• 牢记中线面积性质：三角形的一条中线将原三角形分成面积相等的两个小三角形，用于
面积推导。
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13 /
题型4 与三角形角平分线有关的计算
▌例4 （25-26 八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在
中，
为
的平分线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
▌迁移练4-1（2025·吉林长春·二模）如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定
是
的角平分
线的是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌迁移练4-2（24-25 七年级下·上海长宁·期末）如图，在
中，
和
的平分线交于点
，
过点
作
交
于
，交
于N，若
，则线段
的长为_____ ．
解题要点
• 依据角平分线定义，得到被分成的两个角大小相等，实现角度等量转化，建立角度关系
式计算。
• 结合三角形内角和定理，联立已知角度，合理设未知数，通过方程思想求解未知角。
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14 /
▌迁移练4-3（25-26 七年级下·河南郑州·期末）如图，在
中，
平分
，
于点
，
交
于点
．若
，则
________ 用含
的式子表示．
题型5 与三角形的高线有关的计算
▌例5 （25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）下列各图中，作
边
上的高，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌迁移练5-1（25-26 七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，
是
的中线，
是
的
边上的高，
，
，
，则
的面积是（ ）
解题要点
• 明确高线定义，高线与对应底边互相垂直，可得到直角，借助直角三角形两锐角互余推
导角度。
• 运用三角形面积公式，以不同底边和对应高线建立等量关系，实现边长与高之间的转化
计算。
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15 /
A．
B．2
C．3
D．
▌迁移练5-2（25-26 七年级下·内蒙古包头·期末）如图，
、
分别是
的高线、中线，若
，
，则高线
长为________．
▌迁移练5-3（25-26 七年级下·山西临汾·期末）如图，
、
分别是
的高和中线，若
，
，
，
(1)求
的长
(2)求
与
的周长差
题型6 三角形的内角和定理
▌例6 （24-25 七年级下·河北唐山·期末）如图，
中，
、
分别是
、
的平分线，
，则
等于（ ）．
A．
B．
C．
D．
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16 /
▌迁移练6-1（25-26 七年级下·福建泉州·期末）如图，
是
的角平分线，
于点
，若
，
，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌迁移练6-2（25-26 八年级上·广东广州·期末）
中，
，
，则
______ ．
▌迁移练6-3（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，
，
分别是
的中线和高，
平分
交
于点E．
(1)若
，
，求
的度数；
(2)若
，
的面积是42，求
的面积．
题型7 三角形的外角的定义及性质
▌例7 （25-26 七年级下·江西吉安·期末）空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记
载了空竹的玩法和制作方法．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：
如图，
，
，
，则
的度数为（ ）
解题要点
• 牢记三角形内角和为 180°，已知两角可直接求第三个角，角度复杂时可设未知数列方
程求解。
• 注意结合直角、角平分线、高线等条件，挖掘隐含直角或相等角，简化角度运算。
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17 /
A．
B．
C．
D．
▌迁移练7-1（25-26 七年级下·四川达州·期末）如图，在
中，
是
的平分线，F 是
延长
线上一点，且
于点D，
，
，则
（ ）
A．88°
B．85°
C．65°
D．72°
▌迁移练7-2（24-25 七年级下·河北唐山·期末）在
中，
，三角形的外角
和
的
平分线交于点
，则
____________ ．
▌迁移练7-3（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在
中，
，
平分
的外角
交
的延长线于点D，若
，则
的度数为______________ ．
解题要点
• 掌握外角核心性质：三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，用于角度等量代
换。
• 区分相邻与不相邻内角，外角大于任意一个不相邻内角，常结合内角和定理综合解题。
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18 /
难点一 三角形三边关系的应用
难点1： 判定三边能否组成三角形时，容易机械验证三组不等式，忽略简便方法，误将最长边
参与比较；同时审题不清，分不清线段长短，造成判断失误。
难点2： 已知两边求第三边取值范围后，遇到周长、边长为整数等限制条件，容易遗漏边界；
综合题型中不会结合分类讨论，忽略多种情况导致答案不全。
难点精练
1．（25-26 七年级下·陕西汉中·期末）三角形三边长分别为：2，x，6，化简
（ ）
A．4
B．
C．
D．
2．（25-26 七年级下·四川达州·期末）若实数a，b 满足
，且a，b 恰好是等腰
的两条边长，则
的周长为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
3．（25-26 七年级下·宁夏银川·期末）已知m，n 为等腰
的边长，且满足
，则
的周长是________．
难点二 三角形的中线、角平分线、高有关的计算
难点1：难以区分三类线段特征，钝角三角形容易画错外部高线；不能灵活运用中线等分线段、
平分面积的性质，不会借助等量代换转化线段与面积条件。
难点2：综合性题型中，常将高线、角平分线、中线结合在一起，学生难以挖掘
隐含直角、等角、等线段，缺少方程思想，无法建立角度、边长之间的数量关
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19 /
系。
难点精练
4．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）已知，如图所示，在
中，点
，
，
分别为
，
，
的中点，且
，则阴影部分的面积为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
5．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）如图，在
中，
，
，
为
边上的高，
，
P 为
上一动点．给出下面四个结论：①
；②
；③当
时，
；④
的最小值为
；上述结论中，正确结论的序号是_______．
6．（25-26 七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】
八年级上册课本上有一道题：如图1，在
中，
，
，则
的高
与
的比是多少？
(1)请解答上述问题；
【问题探究】
爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图
，
若
中，
是边
上的点，则
．
(2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由；
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20 /
【拓展应用】
(3)如图3，
中，
，
分别是边
，
上的点，
与
交于点
．若
，
，
请直接写出
的值．
难点三 三角形内角和有关的计算
难点1：遇到图形叠加、多条角平分线或高线时，难以挖掘隐含直角、相等角等条件，不能快
速梳理角之间的联系，容易混淆角度关系。
难点2：复杂计算题不会运用设未知数、列方程的思路求解；在多步推导中逻辑
混乱，不会结合外角性质简化运算，步骤繁琐且易出现计算错误。
难点精练
7．（25-26 七年级下·四川广安·期末）将每一个内角都是
的五边形按如图所示方式放置，若直线
，
则
和
的数量关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（25-26 七年级下·河南·期末）如图，在
中，
是高，
是中线，
是角平分
线，
交
于点
，交
于点
，给出以下结论：①
；②
；③
；
④
；⑤
；⑥
．其中一定正确的结论有____________（填序号）．
9．
（25-26 七年级下·北京·期末）如图1，已知直线
，直线
分别交
、
于点M、N，
，
的角平分线交
最靠近
的n 等分线
于点P．
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21 /
(1)若
，则
__________ ；
(2)如图2，直线
分别交直线
、直线
、直线
、直线
于点G、H、Q、R，设
：
①若
，求
与n 的数量关系；
②将直线
沿直线
进行平移，直接写出平移过程中
与
的数量关系．
难点四 三角形外角有关的计算
难点1：容易混淆外角相邻内角与不相邻内角，错把外角和相邻内角相加套用性质；图形线条
较多时，难以准确识别目标外角，找不到对应的两个不相邻内角。
难点2：综合性题目常结合内角和、角平分线、高线一同考查，学生难以搭建角
度联系；不善于利用外角性质简化推导，仍反复使用内角和，步骤冗长易出错。
难点精练
10．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）一副三角板按如图所示位置放置，已知
，
，
，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）如图，在
中，
，
于点D，点F 是边
的中点，
平分
分别交
于点G、点E，连接BF．给出下面四个结论：①
；
②
；③
；④
．上述结论中，正确结论的序号有__________．
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22 /
12．（25-26 七年级下·北京·期末）已知点C 在线段
上，点A 和点E 在线段
同侧，且
．
(1)若
：
①如图1，
，则
__________ ；
②如图2，分别作
、
的角平分线并交于点P，则
__________ ；
(2)当点E 在线段
上时，求证：
．请在图3 中完成下列证明过程：
证明：
__________，（______________________________）
又
，
．
(3)分别作
，
的角平分线
，
：
①若
，则
__________ ；
②若直线
与直线
交于点P，直接写出
的度数（用含
的代数式表示）．
难点五 三角板有关的角度计算
难点1：不能熟记两块三角板固定角度，图形旋转、重叠后，难以分清各个角的组成，容易看
错重叠角与夹角，无法准确找出已知角和待求角之间的数量关系。
难点2：三角板动态旋转题型，缺少分类讨论意识，容易遗漏多种位置情况；解
题习惯依赖内角和，不善于结合外角性质简化推导，列式计算易出现失误。
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23 /
难点精练
13．（25-26 八年级上·湖北·期中）如图，已知在
中，
，将一块直角三角板放在
上，
使三角板的两条直角边分别经过
，
，直角顶点
落在
的内部，
（ ）度．
A．90
B．60
C．50
D．40
14．（25-26 七年级下·江苏扬州·期末）图形变换中，图中的角与角之间的大小关系通常由图形运动的不
同位置所决定，即位置决定数量关系．如图，直角三角板
中，
，
，将三角板
沿着射线
方向平移，得到三角形
，连接
，在平移过程中，若
与
之间存在两倍
关系，则
__________°．
15．（25-26 七年级上·江苏南京·期末）如图，在一副三角板中
，
，
，
．
(1)如图
，若一副三角板的直角顶点重合．
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24 /
①当
时，求
的大小；
②当
平分
时，判断
与
的位置关系，并说明理由；
③当
所在直线与
所在直线互相垂直时，
的度数为______．
(2)如图，
，若三角板
绕点
以每秒
的速度顺时针旋转，同时三角板
绕点
以每秒
的速度顺时针旋转，设时间为秒
，若边
与三角板
的一条直角边平行时，的值为
______．
基础达标
一、单选题
1．（25-26 七年级下·甘肃兰州·期末）现有长度为
，
，
，
的四根木棒，任意选取三根，
能够顺次首尾相连拼出三角形的组合的个数有（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）如图：光线α 照射到平面镜
上，然后在平面镜
和
之间
来回反射，已知
，
，则
的度数为（提示：光线照射到平面镜上，反射光线与平面镜的
夹角等于入射光线与平面镜的夹角）（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 七年级下·河北唐山·期末）如图，
的面积为
，
为
边上的中线，
为
上任
意一点，连接
，
，图中阴影部分的面积为（ ）
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25 /
A．4
B．5
C．6
D．8
4．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，四边形
的面积是
，各边的中点分别为
，
，
，
，
与
相交于点
，图中阴影部分的总面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 七年级下·浙江衢州·期末）如图，在三角形纸片
中，
，
，点
在
上且
．若在
上找一点
，将纸片沿
折叠，点
落在点
处，
恰好与三角形
的一边
平行，则满足所有平行条件的
度数为（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
或
D．
或
或
二、填空题
6．
（25-26 七年级下·福建福州·期末）已知
的三个内角分别是
、
、
，若
，
，
则
________°．
7．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条
固定长方形门框
，使
其不变形，这种做法的根据是____________．
8．（25-26 七年级下·山东滨州·期末）如图，在
中，
平分
，与边
交于点
，
是
的边
上的高，
，
交于点
．已知
，
，则
的度数为________．
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26 /
9．（25-26 七年级下·河南郑州·期末）一副直角三角板按如图所示的方式摆放,当
时,
的度
数为__________．
10．（25-26 七年级下·山东日照·期末）如图，已知
，
，
平分
，点
是
上
的一个定点，点
是直线
上的一个动点，设
，
，则点
在运动过程中，
与
的关
系可能是：________．
①
；②
；③
；④
．
三、解答题
11．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）如图，
，
分别是
的中线和高，已知
，
，
求
的面积．
12．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）在
中，点D、E、F 分别在线段
上，连接
和
．
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27 /
(1)如图1，若
，求证：
．
(2)把下列解题过程补充完整，并在括号内填写相应的依据．
如图2，
，垂足为F，且
，
求证：
证明：∵
（已知）
∴
（ ），
∴
（ ），
∵
（已知），
∴
（ ）；
∴
（ ）．
∴
（ ）．
13．（25-26 七年级下·江西南昌·期末）如图，在
中，
是
边上的高，
．
(1)求
的度数；
(2)若
是
的角平分线，
交
于点
，求
的度数．
14．（25-26 七年级下·青海玉树·期末）如图，
平分
，
，
，
，
交
于点
，点
，
，
在一条直线上．
(1)求证：
；
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28 /
(2)若
，求________的度数．请从①
，②
中选择一项填在空格处（填写序号），并写出
求解过程．
15．（25-26 七年级下·吉林·期末）【问题】
(1)如图1，在
中，
平分
，
平分
．
①若
，则
______________；
②若
，则
______________．
【探究】
(2)如图2，在
中，
，
三等分
，
，
三等分
．若
．则
________________；
(3)如图3，
是
与外角
的平分线
和
的交点，试分析
和
有怎样的关系？请说
明理由；
【应用】
(4)如图4，在四边形
中，
平分
，
平分外角
，连接
．若
，
，
则
___________度．
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29 /
能力进阶
一、单选题
1．（25-26 七年级下·重庆·期末）如图，在
中，点D 在线段
上且
，E 为
的中
点，
与
相交于点O，若四边形
的面积是
，则
的面积是（ ）
A．
B．5
C．
D．6
2．（25-26 七年级下·重庆万州·期末）如图，在
中，
，点
在
右侧，连接
、
，
设
，过
作
于点
，点
在
内部，且
平分
，延长
至点
，使
，则
可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 七年级下·湖北鄂州·期末）如图，
，
平分
，
平分
，点
、
、
共线，点
、
、
、
共线，
，
，则下列结论：①
；②
；③
；
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30 /
④
；正确的是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
二、填空题
4．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知
的内角
，分别作内角
与外角
的平分线，两条平分线交于点
；作
和
的平分线交于点
；…；以此类推得到点
，则
的大小为_____．
5．（25-26 七年级下·广东佛山·期末）如图，四边形
的面积是15．边
、
、
、
的中
点分别为
、
、
、
．若
与
相交于点
，则图中阴影部分的总面积为________．
6．（25-26 七年级下·广东广州·期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，
，
．给
出下列结论：①
；②
；③
；④若
，则
；⑤若
，
则
．其中正确的有________．（填序号）
三、解答题
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31 /
7．（25-26 七年级下·黑龙江佳木斯·期末）综合与探究一一问题情境：数学活动课上，老师提出如下问
题：如图1，将含
的三角尺
如图方式摆放，点
分别在边
和
上，
．三角尺
中，
．猜想
与
的数量关系，并说明理由．
【问题初探】：
(1)若
，则
_____ ；
(2)小宇同学通过小组合作探究，发现了一种证明方法．如图2，过点
作
，交
于点
，请你
根据小宇同学提供的辅助线，先确定
与
的数量关系，再说明理由；
【类比再探】：
(3)如图3，把“
”改为“
”，其它条件不变，猜想
与
的数量关系，并
说明理由．
8．
（25-26 七年级下·北京·期末）已知点C 在线段
上，点A 和点E 在线段
同侧，且
．
(1)若
：
①如图1，
，则
__________ ；
②如图2，分别作
、
的角平分线并交于点P，则
__________ ；
(2)当点E 在线段
上时，求证：
．请在图3 中完成下列证明过程：
证明：
__________，（______________________________）
又
，
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32 /
．
(3)分别作
，
的角平分线
，
：
①若
，则
__________ ；
②若直线
与直线
交于点P，直接写出
的度数（用含
的代数式表示）．
9．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）【模型探究】如图①，已知点D、E 分别在
的边
上，
点F 在
的内部，连接
，在
的内部形成凸四边形
．求证：
．
甲、乙两名同学给出两种不同证明过程如下：
甲同学证明：∵在四边形
中，
∴（① ）
∵
，
，
∴
．
∴
．
乙同学证明：如图②，连接
．
∵
是
的外角，
∴
．
∵
是
的外角，
∴（② ）．
∴
∴
．
(1)补全甲同学证明过程：①；
补全乙同学证明过程：②．
【模型应用】如图③，已知点D、E 分别在
的边
上，连接
，将
沿直线
翻折，使
点A 落在
内部
位置．
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(2)若
则
的度数为；（用含
的式子表示）
(3)若
，求
的度数；
【模型拓展】
(4)已知点D、E 分别在
的边
上，连接
，将
沿直线
翻折，点A 落在
位置，连
接
．当
时，直接写出
和
的数量关系．
10．（25-26 七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线
，直线
分别与
，
相交于E、
F．
(1)【初步探究】如图1，
，
分别平分
和
，则
和
的位置关系是什么？说明理由．
(2)【推广应用】如图2，点G 在射线
上，点H 在射线
上，
，
分别平分
和
，若
，
，求
和
的度数．
(3)【拓展提升】如图3，点G 在线段
上，点H 是直线
上的动点(不与F 重合)，
、
分别平分
和
，设
，请直接用含m 的代数式表示
的度数．
