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第十三章 三角形
复习要点
1. 理解三角形的定义、基本要素（边、角、顶点）及表示方法，能区分按角分类（锐角、
直角、钝角）与按边分类（不等边、等腰、等边）。
2. 掌握三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，之差小于第三边），能利用该关系判
断三条线段能否构成三角形或求第三边取值范围。
3. 理解三角形三种重要线段（中线、角平分线、高）的概念，会画任意三角形的高、中线
与角平分线，能区分它们在锐角、直角、钝角三角形中的位置差异。
4. 掌握三角形内角和定理（180°）及外角定理（外角等于与它不相邻的两个内角的和），
并能运用这些定理进行角度计算与简单推理。
5. 理解三角形的稳定性，能运用三角形知识解释生活中的相关现象。
复习重难点
重点
三角形三边关系、内角和定理、外角定理以及三角形三条重要线段（中线、角平分线、高）
的性质与应用。
难点
三角形内角和定理的严格证明、钝角三角形高线的准确画法，以及运用三角形知识进行逻
辑推理和解决实际问题。
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知识点
三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
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要点诠释：
（1）三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.
（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C 的三角形记作“△ABC”，读作“三角形
ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB、BC、AC 来表示，也可以用小写字母a、
b、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC、AB 分别用b、c 表示．
要点速测
1．（25-26 八年级上·四川凉山·期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角
形．据此即可解答．
【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念；
B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念；
C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念；
D、符合三角形的概念．
故选：D．
2．（25-26 七年级上·天津河西·期末）如图，三角形
中，
，
是
边上两点，连接
，
，
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数一数图中角（小于平角）的个数，一共有________个．
【答案】
【分析】本题主要考查了角的计数，熟练掌握按顶点分类计数、不重复不遗漏地数出所有角是解题的关键．先
按顶点分类，依次找出以点
、
、
、
、
为顶点的所有小于平角的角，再将各类角的数量相加得到
总数．
【详解】解：以点
为顶点的角：
，共个，
以点
为顶点的角：
，
，
，
，
，
，共
个，
以点
为顶点的角：
，
，共
个，
以点
为顶点的角：
，
，共
个，
以点
为顶点的角：
，共个，
，
故答案为：
3．（25-26 八年级上·江苏·期末）如图，在
中，
，若
的周长为
，则
______．
【答案】
【分析】本题考查三角形的周长，根据
的周长减去
可得结论．
【详解】解：根据题意得
，
∵
，
∴
，
故答案为：18．
知识点
三角形的三边关系
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定理：三角形任意两边之和大于第三边.
推论：三角形任意两边的之差小于第三边.
要点诠释：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这
三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系．
要点速测
4．（25-26 七年级下·甘肃兰州·期末）若三角形的三边长分别是3，4，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：∵三角形的三边长分别是x，3，4，
∴x 的取值范围是
，
即
．
5．（2026·河北沧州·三模）已知三角形三边长分别为
，若
为正整数，则这样的三角形有________
个．
【答案】
【分析】根据三角形三边关系求出
的取值范围，找出范围内符合条件的正整数
，统计其个数即可．
【详解】解：
三角形三边长分别为，
，
，
，即
，
为正整数，
可以为
、
、
、
、
，共个．
6．（25-26 七年级下·宁夏银川·期末）已知m，n 为等腰
的边长，且满足
，则
的周长是________．
【答案】14 或16
【分析】先根据非负数的性质求出m 和n 的值，再分两种情况讨论等腰三角形的边长，结合三角形三边关
系验证后计算周长即可．
【详解】解：∵
，
，且
，
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∴
，
，
∴
，
，
当腰长为6，底边长为4 时，三边长为6，6，4，满足三角形三边关系，此时周长为
；
当腰长为4，底边长为6 时，三边长为4，4，6，满足三角形三边关系，此时周长为
；
∴
的周长是14 或16．
知识点
三角形的分类
1.按角分类：
直角三角形
三角形
锐角三角形
斜三角形
钝角三角形
要点诠释：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
2.按边分类：
不等边三角形
三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
要点诠释：
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；
②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰
的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
③等边三角形：三边都相等的三角形.
要点速测
7．（25-26 七年级下·广东佛山·期末）如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三
角形的形状是（ ）
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A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都有可能
【答案】D
【分析】根据三角形按角分类的定义，仅凭一个锐角无法确定另外两个角的度数，从而无法确定三角形的
具体形状，分情况讨论即可求解．
【详解】解：∵ 三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 ，
∴确定三角形形状需看其最大内角是锐角、直角还是钝角，
∵图中只露出一个锐角，另外两个角未知 ，
∴另外两个角可能均为锐角，此时为锐角三角形 ；另外两个角中可能有一个为直角，此时为直角三角形 ；
另外两个角中可能有一个为钝角，此时为钝角三角形，
综上所述，该三角形的形状以上三种都有可能．
8．（25-26 七年级下·上海杨浦·期末）如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形是
（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上皆有可能
【答案】A
【分析】利用大边对大角的性质，判断最大角的类型，即可确定三角形的类型．
【详解】∵在同一个三角形中，大边对大角，最长边所对的角是三角形的最大角，又已知最长边所对的角
是锐角，即三角形的最大角是锐角，
∴三角形其余两个角都小于最大角，也都是锐角，
∴三个内角均为锐角的三角形是锐角三角形，
∴这个三角形是锐角三角形．
9．（24-25 七年级上·湖北十堰·期末）下图中共有___个直角三角形．
【答案】
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【分析】本题考查直角三角形的认识，分两种情况：由个三角形组成的；由多个三角形组成的，分别确定
它们的个数，再相加即可．解题的关键的是掌握直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形．
【详解】解：由个三角形组成的直角三角形的个数：
，
由多个三角形组成的直角三角形的个数：
，
∴
（个）
∴图中共有
个直角三角形．
故答案为：
．
知识点
三角形的三条重要线段
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我
们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，
列表如下：
线段
名称
三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
文字
语言
从三角形的一个顶点向它的
对边所在的直线作垂线，顶
点和垂足之间的线段．
三角形中，连接一个顶
点和它对边中点的线
段．
三角形一个内角的平分线
与它的对边相交，这个角
的顶点与交点之间的线
段．
图形
语言
作图
语言
过点A 作AD⊥BC 于点D．
取BC 边的中点D，连接
AD．
作∠BAC 的平分线AD，交
BC 于点D．
标示
图形
符号
语言
1．AD 是△ABC 的高．
2．AD 是△ABC 中BC 边上的
高．
1．AD 是△ABC 的中线．
2．AD 是△ABC 中BC 边
上的中线．
1．AD 是△ABC 的角平分线．
2．AD 平分∠BAC，交BC
于点D．
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3．AD⊥BC 于点D．
4．∠ADC＝90°，∠ADB＝
90°．
(或∠ADC＝∠ADB＝90°)
3．BD＝DC＝1
2
BC
4．点D 是BC 边的中点．
3．∠1＝∠2＝1
2
∠BAC．
推理
语言
因为AD 是△ABC 的高，所以
AD⊥BC．
(或∠ADB＝∠ADC＝90°)
因为AD是△ABC的中线，
所以BD＝DC＝1
2
BC．
因为AD 平分∠BAC，所以
∠1＝∠2＝1
2
∠BAC．
用途
举例
1．线段垂直．
2．角度相等．
1．线段相等．
2．面积相等．
角度相等．
注意
事项
1．与边的垂线不同．
2．不一定在三角形内．
—
与角的平分线不同．
重要
特征
三角形的三条高(或它们的
延长线)交于一点．
一个三角形有三条中
线，它们交于三角形内
一点．
一个三角形有三条角平分
线，它们交于三角形内一
点．
要点速测
10．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）如图，
中，是
边上高的线段为（ ）
A．线段
B．线段
C．线段
D．线段
【答案】C
【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间
的线段就叫做这条边上的高求解即可．
【详解】解：A，
是
的边
上的高；
B，
是
的边
上的高；
C，
是
中
边上高；
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10 /
D，
不是图中任何线段上的垂线．
11．（25-26 七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，点
，
，
分别是
，
，
的中
点，已知
，则阴影部分的面积之和为________．
【答案】6
【分析】根据三角形的中线等分面积得到
，即可求解．
【详解】解：∵点
，
，
分别是
，
，
的中点，
∴
∵
∴阴影部分的面积之和
．
12．（25-26 七年级下·陕西商洛·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：如图，
，
，
是
的角平分线．试说明：
证明：
是
的角平分线
∴________（角平分线的定义）
又
（已知）
（ ）
∴________（ ）
（ ）
又
（已知）
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11 /
∴_________（ ）
（ ）
【答案】
；等量代换；
；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；
；
同角的补角相等；同位角相等，两直线平行
【分析】因为
是
的角平分线，所以根据角平分线定义得到两个角相等．结合已知
，通过
等量代换得到
．如果内错角相等，那么两直线平行，据此判定对应的两条直线平行．根据两直线
平行，同旁内角互补，得到
．结合已知
，通过同角的补角相等得到两
个角相等．最后根据同位角相等或者内错角相等，判定
．
【详解】证明：
是
的角平分线，
∴
（角平分线的定义）．
又
（已知），
（ 等量代换），
∴
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
又
（已知），
∴
（同角的补角相等）．
（同位角相等，两直线平行）．
知识点
三角形的内角和外角
三角形的内角和
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
三角形的外角
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD 是△ABC 的一个外角.
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12 /
要点诠释：
(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边
的延长线．
（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外
角，因此，我们常说三角形有三个外角．
2．性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依
据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．
三角形的外角和：
三角形的外角和等于360°.
要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的
三个外角和是360°．
要点速测
13．（25-26 八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在
中，
，将
沿虚线剪去
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合三角形内角和性质得出
，再根据四边形内角和为
列式计算，即可作答．
【详解】解：∵
，
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13 /
∴
∵
，
∴
．
14．（25-26 七年级下·上海浦东新·期末）如图，
中，
是边
上的高，
，
，
是
的平分线，则
的度数为________．
【答案】
【分析】先根据角的和差关系求出
的度数，再在
中，利用三角形的内角和定理求出
，
结合角平分线的定义求出
，最后根据三角形的内角和定理求解．
【详解】解：
，
，
∴
，
∵
是边
上的高，
，
，
是
的平分线，
，
∴
,
∴
．
15．（25-26 七年级下·云南昆明·期末）如图，
，
是
的两条高．
(1)若
，
，求
的度数；
(2)
，
，
，求
的长．
【答案】(1)
(2)
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14 /
【分析】（1）根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理求得
，
，再根据平角
定义即可求解；
（2）根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：
是
的高线，
．
，
．
同理
，
．
（2）解：
，
是
的两条高，
，
，
，
．
题型1 三角形的概念
▌例1 （25-26 八年级上·四川泸州·期末）等腰三角形的一个角是
，则它的底角是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和以及等腰三角形的定义，解题的关键是根据等腰三角形的底角相等以及
三角形内角和列式计算，注意分类讨论．
【详解】解：等腰三角形两底角相等，
设底角为
，
若
为顶角，则
，
解得：
，
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15 /
若
为底角，则另一底角也为
，顶角为
，不成立，
只能是顶角，底角为
，
故选：B．
▌迁移练1-1（25-26 七年级下·广东佛山·期末）如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则
三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都有可能
【答案】D
【分析】根据三角形按角分类的定义，仅凭一个锐角无法确定另外两个角的度数，从而无法确定三角形的
具体形状，分情况讨论即可求解．
【详解】解：∵ 三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 ，
∴确定三角形形状需看其最大内角是锐角、直角还是钝角，
∵图中只露出一个锐角，另外两个角未知 ，
∴另外两个角可能均为锐角，此时为锐角三角形 ；另外两个角中可能有一个为直角，此时为直角三角形 ；
另外两个角中可能有一个为钝角，此时为钝角三角形，
综上所述，该三角形的形状以上三种都有可能．
▌迁移练1-2（25-26 七年级下·上海奉贤·期末）在
中，已知：
，用“>”连接
、
、
应为_______．
【答案】
【分析】本题考查三角形的边角关系，利用三角形中大边对大角的性质，确定各边对应的对角，即可比较
解题要点
• 紧扣定义判定：由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成三角形，注意区分线段、
首尾相接、不共线三个条件。
• 灵活运用三边关系：任意两边之和大于第三边，判断线段能否构成三角形只需验证较短
两边和大于最长边。
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16 /
三个角的大小．
【详解】解：在任意三角形中，大边对大角，在
中，边
的对角为
，边
的对角为
，边
的对角为
，
，
．
▌迁移练1-3（25-26 八年级上·广东惠州·期中）如图，
是等腰三角形，点
是底边
上任意一点，
、
分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为
，面积为
，则
的值为________．
【答案】
【详解】解：如图，连接
，
∵
是等腰三角形，等腰三角形的腰长为
，
∴
，
∵
、
分别与
两边垂直
∴
，
∵
面积为
，
∴
，
∴
，
故答案为5．
题型2 三角形三边关系的应用
▌例2 （25-26 七年级下·四川成都·期末）下列每组数据分别是三根小棒的长度，用它们能摆成三角形
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17 /
的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】C
【分析】比较较短两边之和与最长边的大小，即可判断能否构成三角形．
【详解】解：A、
，不能组成三角形，错误；
B、
，不能组成三角形，错误；
C、
，能够组成三角形，正确；
D、
，不能组成三角形，错误．
▌迁移练2-1（25-26 七年级下·辽宁大连·期末）已知三角形的三边长分别为
，
，
，则x 不可能
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据三角形三边关系，即三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，求出第三
边
的取值范围，再判断选项即可得到答案．
【详解】解：∵三角形两边长分别为
和
，第三边长为
，
∴
，即
，
∵
不在
范围内，
，
，
在
范围内，
∴
不可能是
．
▌迁移练2-2（24-25 七年级下·陕西西安·期末）小明有两根长度分别为
的木棒，他想钉一个三
角形木框架，则第三根木棒的长度可以是___________cm．（只写一个即可）
【答案】
（答案不唯一）
【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求出第三根木棒
解题要点
• 判断三边能否构成三角形，只需检验较短两条线段长度之和大于最长线段，不必逐一验
证三组不等式。
• 已知两边求第三边取值范围，利用两边之差小于第三边、两边之和大于第三边列出不等
式求解。
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18 /
长度的取值范围，选取范围内任意一个值即可．
【详解】解：设第三根木棒的长度为
，
根据三角形三边关系可得：
，
计算得
，
在
范围内选取
，符合要求．（答案不唯一，满足
即可）
▌迁移练2-3（25-26 七年级下·北京·期末）已知
的三边长
，
，满足
且为
奇数．则
___________
【答案】
【分析】本题考查算术平方根的非负性，有理数的乘方，三角形的三边关系；根据非负数的性质求出a 和b
的值，再根据三角形三边关系求出c 的取值范围，结合c 为奇数确定c 的值.
【详解】解：∵
，且
，
，
∴
，
，
∴
，
．
∴
，即
，
又∵为奇数，
∴
．
故答案为：3.
题型3 与三角形中线有关的计算
▌例3 （25-26 八年级上·广西玉林·期末）如图，若
是
的中线，
，则
的长度为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．8
【答案】D
【分析】本题考查了中线的定义和性质，掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键．
根据三角形中线的性质可知
．
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19 /
【详解】解：∵
是
的中线，即
∴
∵
∴
．
故选：D．
▌迁移练3-1（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在
中，
，
，
为
的中
线，则
与
的周长之差为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据三角形的中线的定义，结合三角形的周长公式，得到
与
的周长之差为
，
即可得出结果.
【详解】解：∵
为
的中线，
∴
，
∴
与
的周长之差为
；
∵
，
，
∴周长之差为
.
▌迁移练3-2（24-25 七年级下·广东湛江·期末）如图所示，在
中，
为
边上的中线，若
，
，则
的周长比
的周长多__________
．
解题要点
• 抓住中线定义：中线平分对边，可得两条线段相等，常用来转化线段长度进行等量代换。
• 牢记中线面积性质：三角形的一条中线将原三角形分成面积相等的两个小三角形，用于
面积推导。
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20 /
【答案】2
【分析】根据三角形的周长的计算方法得到
的周长和
的周长的差就是
与
的差．
【详解】解：∵
是
中
边上的中线，
∴
，
∴
．
▌迁移练3-3（25-26 七年级下·吉林长春·期末）如图，在
中，点
、
、
分别是
、
、
的中点，若
的面积为16，
（阴影部分）的面积为________．
【答案】2
【分析】根据三角形的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形进行求解即可．
【详解】解：∵
的面积为16，点
是
的中点，
∴
，
∵点
是
的中点，
∴
，
∵点
是
的中点，
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21 /
∴
，
即
（阴影部分）的面积为
．
题型4 与三角形角平分线有关的计算
▌例4 （25-26 八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在
中，
为
的平分线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，把一个角分成两个相等的角的线叫做角平分线．
根据角平分线的定义求解即可．
【详解】解：∵
为
的平分线，
∴
，故D 选项符合题意．
故选D．
▌迁移练4-1（2025·吉林长春·二模）如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定
是
的角平分
线的是（ ）
A．
B．
解题要点
• 依据角平分线定义，得到被分成的两个角大小相等，实现角度等量转化，建立角度关系
式计算。
• 结合三角形内角和定理，联立已知角度，合理设未知数，通过方程思想求解未知角。
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22 /
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的角平分线和翻折的性质，解题的关键在于观察图形，根据
是
的角平
分线，可推出
是
的角平分线，再根据翻折可知道
与
是对称点，即可求出答案．
【详解】解：由图形可知，若
是
的角平分线，根据折叠关系可得
，选项中符合
这一条件只有B．
故选：B．
▌迁移练4-2（24-25 七年级下·上海长宁·期末）如图，在
中，
和
的平分线交于点
，
过点
作
交
于
，交
于N，若
，则线段
的长为_____ ．
【答案】7
【分析】本题考查平行线的性质，等角对等边的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的
关键，根据角平分线的定义和平行线的性质可得
，从而可得
，进而得到
．
【详解】解：∵
和
的平分线交于点
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
∴
，
∵
，
∴
，
故答案为：7．
▌迁移练4-3（25-26 七年级下·河南郑州·期末）如图，在
中，
平分
，
于点
，
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23 /
交
于点
．若
，则
________ 用含
的式子表示．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的定义、垂线的定义、平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
根据角平分线的定义得到
，利用平行线的性质得到
，最后利用
求解即可．
【详解】解：
平分
，
，
，
，
，
，
，
．
题型5 与三角形的高线有关的计算
▌例5 （25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）下列各图中，作
边
上的高，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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24 /
【分析】利用排除法，排除不垂直于
及不过顶点
的选项．
【详解】解：根据三角形高的定义，
边
上的高应过顶点
且垂直于
所在直线.；
为钝角，
垂足落在
的延长线上.；
图D 中
的延长线，符合定义，其它选项不符合定义．
▌迁移练5-1（25-26 七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，
是
的中线，
是
的
边上的高，
，
，
，则
的面积是（ ）
A．
B．2
C．3
D．
【答案】A
【分析】先求出
，再根据中线的性质即可求出
的面积．
【详解】解：∵
是
的
边上的高，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∴
．
∵
是
的中线，
∴
．
▌迁移练5-2（25-26 七年级下·内蒙古包头·期末）如图，
、
分别是
的高线、中线，若
，
，则高线
长为________．
解题要点
• 明确高线定义，高线与对应底边互相垂直，可得到直角，借助直角三角形两锐角互余推
导角度。
• 运用三角形面积公式，以不同底边和对应高线建立等量关系，实现边长与高之间的转化
计算。
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25 /
【答案】4
【分析】因为
是
的中线，所以中线将三角形分成面积相等的两个三角形，可根据
求出
．因
为
是
边上的高线，所以三角形面积公式为
，将已知的
和
的长度代入公
式，即可求解
的长度．
【详解】解：∵
是
的中线，
，
∴
．
∵
是
边上的高线，
∴
，
将
、
代入，
得
，
解得
．
▌迁移练5-3（25-26 七年级下·山西临汾·期末）如图，
、
分别是
的高和中线，若
，
，
，
(1)求
的长
(2)求
与
的周长差
【答案】(1)
(2)
【分析】
根据三角形的面积公式解答即可；
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26 /
利用三角形中线的定义可得
，即得
的周长
的周长
，代入已知数据即可
求解．
【详解】（1）解：∵
是
的高，
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
；
（2）解：∵
是
的中线，
∴
，
∴
的周长
的周长
．
题型6 三角形的内角和定理
▌例6 （24-25 七年级下·河北唐山·期末）如图，
中，
、
分别是
、
的平分线，
，则
等于（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理可得
，再由角平分线的定义可得
，即可求解．
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27 /
【详解】解：∵
，
∴
，
∵
、
分别是
、
的平分线，
∴
，
，
∴
，
∴
．
▌迁移练6-1（25-26 七年级下·福建泉州·期末）如图，
是
的角平分线，
于点
，若
，
，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出
，再根据角平分线定义求出
，然后根据
，代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：∵
，
，
，
，
又 ∵
是
的角平分线，
，
．
解题要点
• 牢记三角形内角和为 180°，已知两角可直接求第三个角，角度复杂时可设未知数列方
程求解。
• 注意结合直角、角平分线、高线等条件，挖掘隐含直角或相等角，简化角度运算。
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28 /
▌迁移练6-2（25-26 八年级上·广东广州·期末）
中，
，
，则
______ ．
【答案】60
【分析】直角三角形两锐角互余，即
，结合条件
，通过等量代换建立方程即可求
出
．
【详解】解：
是直角三角形，
，
，
又
，即
，
将
代入得：
，
解得：
．
▌迁移练6-3（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，
，
分别是
的中线和高，
平分
交
于点E．
(1)若
，
，求
的度数；
(2)若
，
的面积是42，求
的面积．
【答案】(1)
(2)24
【分析】（1）先求出
的度数，再求出
的度数，然后利用三角形的内角和定理求解即可；
（2）先求出
的面积，再得出
，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵
是
的高，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
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29 /
∵
，
∴
．
（2）解：∵
是
的中线，
的面积是42，
∴
，
∵
的
边上的高与
的
边上的高相等，且
，
∴
，
又∵
，
∴
，
即
的面积为24．
题型7 三角形的外角的定义及性质
▌例7 （25-26 七年级下·江西吉安·期末）空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记
载了空竹的玩法和制作方法．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：
如图，
，
，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据平行线性质和三角形的外角性质计算即可．
【详解】解：延长
交
于点
，如图，
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30 /
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
▌迁移练7-1（25-26 七年级下·四川达州·期末）如图，在
中，
是
的平分线，F 是
延长
线上一点，且
于点D，
，
，则
（ ）
A．88°
B．85°
C．65°
D．72°
【答案】A
【分析】利用直角三角形两锐角互余求出
，根据对顶角相等得到
，再利用三角形外角性质求
出
，最后根据角平分线定义计算即可．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解题要点
• 掌握外角核心性质：三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，用于角度等量代
换。
• 区分相邻与不相邻内角，外角大于任意一个不相邻内角，常结合内角和定理综合解题。
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31 /
平分
，
．
▌迁移练7-2（24-25 七年级下·河北唐山·期末）在
中，
，三角形的外角
和
的
平分线交于点
，则
____________ ．
【答案】
【分析】根据角平分线定义，三角形外角的定义，三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵三角形的外角
和
的平分线交于点
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
．
▌迁移练7-3（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在
中，
，
平分
的外角
交
的延长线于点D，若
，则
的度数为______________ ．
【答案】95
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32 /
【分析】由角平分线的定义可得
，由三角形外角的定义及性质可得
，最后再
由三角形内角和定理计算即可得出结果．
【详解】解：∵
平分
的外角
交
的延长线于点D，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
．
难点一 三角形三边关系的应用
难点1： 判定三边能否组成三角形时，容易机械验证三组不等式，忽略简便方法，误将最长边
参与比较；同时审题不清，分不清线段长短，造成判断失误。
难点2： 已知两边求第三边取值范围后，遇到周长、边长为整数等限制条件，容易遗漏边界；
综合题型中不会结合分类讨论，忽略多种情况导致答案不全。
难点精练
1．（25-26 七年级下·陕西汉中·期末）三角形三边长分别为：2，x，6，化简
（ ）
A．4
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据三角形三边关系确定
的取值范围，再根据绝对值的化简法则去掉绝对值符号，合并计算得
到结果．
【详解】解：∵三角形的三边长为
，
，
，
根据三角形三边关系可得
，
∴
，
∴
，
，
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33 /
∴
．
2．（25-26 七年级下·四川达州·期末）若实数a，b 满足
，且a，b 恰好是等腰
的两条边长，则
的周长为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】D
【分析】由非负数性质求a，b 的值，再分类讨论等腰三角形腰长，最后结合三边关系计算周长即可．
【详解】解：∵
，即
，
∴
，
，
解得
，
，
a，b 恰好是等腰
的两条边长，故分两种情况讨论：
①当腰长为3 时，三边长为3，3，4，
∵
，
∴三角形存在，周长为
，
②当腰长为4 时，三边长为4，4，3，
∵
，
∴三角形存在，周长为
，
综上，
的周长为
或
．
3．（25-26 七年级下·宁夏银川·期末）已知m，n 为等腰
的边长，且满足
，则
的周长是________．
【答案】14 或16
【分析】先根据非负数的性质求出m 和n 的值，再分两种情况讨论等腰三角形的边长，结合三角形三边关
系验证后计算周长即可．
【详解】解：∵
，
，且
，
∴
，
，
∴
，
，
当腰长为6，底边长为4 时，三边长为6，6，4，满足三角形三边关系，此时周长为
；
当腰长为4，底边长为6 时，三边长为4，4，6，满足三角形三边关系，此时周长为
；
∴
的周长是14 或16．
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34 /
难点二 三角形的中线、角平分线、高有关的计算
难点1：难以区分三类线段特征，钝角三角形容易画错外部高线；不能灵活运用中线等分线段、
平分面积的性质，不会借助等量代换转化线段与面积条件。
难点2：综合性题型中，常将高线、角平分线、中线结合在一起，学生难以挖掘
隐含直角、等角、等线段，缺少方程思想，无法建立角度、边长之间的数量关
系。
难点精练
4．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）已知，如图所示，在
中，点
，
，
分别为
，
，
的中点，且
，则阴影部分的面积为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】B
【分析】根据中线等分三角形的面积求解即可．
【详解】解：∵点
为
的中点，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
为
的中点，
∴
．
5．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）如图，在
中，
，
，
为
边上的高，
，
P 为
上一动点．给出下面四个结论：①
；②
；③当
时，
；④
的最小值为
；上述结论中，正确结论的序号是_______．
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35 /
【答案】①③④
【分析】利用三角形面积公式计算，即可判断①正确；根据
的值不确定，即可判断②错误；根据同角的
余角相等即可判断③正确；由垂线段最短，并结合三角形面积公式计算即可判断④正确．
【详解】解：∵在
中，
，
为
边上的高，
，
∴
，故①正确，符合题意；
∵P 为
上一动点，
∴
的值不确定，
∴
不一定与
相等，故②错误，不符合题意；
当
时，
，
∵
为
边上的高，
∴
，
∴
，
∴
，故③正确，符合题意；
由垂线段最短得，当
时，
的值最小，此时
，
∴
，
∴
的最小值为
，故④正确；
综上所述，正确结论的序号是①③④．
6．（25-26 七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】
八年级上册课本上有一道题：如图1，在
中，
，
，则
的高
与
的比是多少？
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36 /
(1)请解答上述问题；
【问题探究】
爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图
，
若
中，
是边
上的点，则
．
(2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由；
【拓展应用】
(3)如图3，
中，
，
分别是边
，
上的点，
与
交于点
．若
，
，
请直接写出
的值．
【答案】(1)
(2)猜想正确，
证明：如图，过点
作
于点
，
∴
，
．
∴
．
(3)
【分析】（1）根据三角形的面积公式得出
，即可求解；
（2）过点
作
于点
，根据三角形的面积公式，分别表示出
、
的面积，再求比值，
即可求解；
（3）连接
，设
，
，根据已知条件，分别得出
，
，
结合图形分别求得
，
的面积，进而根据
，即可求解．
【详解】（1）解：∵
，
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37 /
∴
，
∴
，
∴
．
（2）略
（3）连接
，
设
，
．
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．即
，
∴
，
∴
．
∴
，
．
∴
．
∴
的值为
．
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38 /
难点三 三角形内角和有关的计算
难点1：遇到图形叠加、多条角平分线或高线时，难以挖掘隐含直角、相等角等条件，不能快
速梳理角之间的联系，容易混淆角度关系。
难点2：复杂计算题不会运用设未知数、列方程的思路求解；在多步推导中逻辑
混乱，不会结合外角性质简化运算，步骤繁琐且易出现计算错误。
难点精练
7．（25-26 七年级下·四川广安·期末）将每一个内角都是
的五边形按如图所示方式放置，若直线
，
则
和
的数量关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】过点
作
，与
交于点
，根据平行线的性质推出
，
，再根据三
角形内角和推出
和
的数量关系即可．
【详解】解：如图，过点
作
，与
交于点
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
,
在
中，
，
∴
，
整理得
．
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39 /
8．（25-26 七年级下·河南·期末）如图，在
中，
是高，
是中线，
是角平分
线，
交
于点
，交
于点
，给出以下结论：①
；②
；③
；
④
；⑤
；⑥
．其中一定正确的结论有____________（填序号）．
【答案】②③⑤
【分析】根据三角形的中线的性质判断④和⑤；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根
据角平分线的定义判断①和③，根据三角形的面积公式判断⑥．
【详解】解：
是角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，故
正确；
，
，
，故③正确；
由已知条件不能确定
，
不能得出
，故④错误；
F 不一定是
的中点，
不能得出
，故
错误；
不能得出
，
不能得出
，
不能得出
，即不能得出
，
故⑥错误；
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40 /
，
，
，
，故⑤正确；
综上可知，正确的有②③⑤．
9．
（25-26 七年级下·北京·期末）如图1，已知直线
，直线
分别交
、
于点M、N，
，
的角平分线交
最靠近
的n 等分线
于点P．
(1)若
，则
__________ ；
(2)如图2，直线
分别交直线
、直线
、直线
、直线
于点G、H、Q、R，设
：
①若
，求
与n 的数量关系；
②将直线
沿直线
进行平移，直接写出平移过程中
与
的数量关系．
【答案】(1)10
(2)①
；②
或
或
【分析】（1）过P 作
，根据平行线的性质，结合已知求得
，
，进而可求
解；
（2）①根据平行线的性质，平移性质以及G、Q、H、R 的相对位置分情况画出图形，结合已知和三角形的
内角和定理可求解；
②先求得
，再根据平移性质以及G、Q、H、R 的相对位置分情况画出图形，利用三角
形的内角和定理和平角定义分别求解即可．
【详解】（1）解：如图1，过P 作
，则
，
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∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∵
的角平分线交
最靠近
的n 等分线
于点P，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
；
（2）解：根据题意，点G、H、Q、R 的位置有六种情况，如图2、图3、图4、图5、图6、图7，
①如图2，∵
，
，
，
∴
，
，
∵直线
，
∴
，则
，
∵
，
∴
，
同理，由图3、图4、图5、图6、图7，可知
，
综上，当
时，
与n 的数量关系为
；
②由（1）和①可知
，
，
∴
，
由图2 知，
，
，
，
∴
，
∴
；
由图3 知，
，
，
，
学科网（北京）股份有限公司
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42 /
∴
，
∴
；
由图4 知，
，
，
∴
，
∴
；
由图5 知，
，
∵
，
∴
，
∴
；
由图6 知，
，
∴
；
由图7 知，
，
∴
综上，
与
的数量关系为
或
或
．
难点四 三角形外角有关的计算
难点1：容易混淆外角相邻内角与不相邻内角，错把外角和相邻内角相加套用性质；图形线条
较多时，难以准确识别目标外角，找不到对应的两个不相邻内角。
难点2：综合性题目常结合内角和、角平分线、高线一同考查，学生难以搭建角
度联系；不善于利用外角性质简化推导，仍反复使用内角和，步骤冗长易出错。
难点精练
10．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）一副三角板按如图所示位置放置，已知
，
，
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43 /
，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：∵
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
．
11．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）如图，在
中，
，
于点D，点F 是边
的中点，
平分
分别交
于点G、点E，连接BF．给出下面四个结论：①
；
②
；③
；④
．上述结论中，正确结论的序号有__________．
【答案】①②④
【分析】①利用三角形中线的性质即可判断①；②运用等面积法即可判断②；利用三角形外角的性质以及
作差法即可判断③；先利用同角的余角相等可得
，再结合角平分线的定义即可判断④．
【详解】解：∵点F 是边
的中点，
∴
，即①正确；
∵在
中，
，
于点D，
∴
，即
，即②正确；
∵
，
∴
，
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44 /
∵无法判断
的正负，
∴无法判断
的大小关系，即③错误；
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，即④正确．
综上，正确的结论有①②④．
12．（25-26 七年级下·北京·期末）已知点C 在线段
上，点A 和点E 在线段
同侧，且
．
(1)若
：
①如图1，
，则
__________ ；
②如图2，分别作
、
的角平分线并交于点P，则
__________ ；
(2)当点E 在线段
上时，求证：
．请在图3 中完成下列证明过程：
证明：
__________，（______________________________）
又
，
．
(3)分别作
，
的角平分线
，
：
①若
，则
__________ ；
②若直线
与直线
交于点P，直接写出
的度数（用含
的代数式表示）．
【答案】(1)①
；②
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45 /
(2)
；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
(3)①
；②
【分析】（1）①根据三角形的内角和计算；
②根据角平分线的定义和三角形的内角和解题即可；
（2）利用三角形的外角的性质解题；
（3）①用（2）的方法，同理可得
，结合角平分线的定义得到
，
，根据平行线的性质推出
，列方程计算即可；
②根据角平分线的定义和三角形的内角和可得到
，
，结合
计算即可．
【详解】（1）解：①∵
，
，
∴
，
∴
；
②如图，由①知
，
∵
平分
，
平分
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
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46 /
，
∴
；
（2）略
（3）解：①如图，同理可得
，
∵
，
∴
；
由题意知，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得
；
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47 /
②如图，
∵
平分
，
平分
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
．
难点五 三角板有关的角度计算
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48 /
难点1：不能熟记两块三角板固定角度，图形旋转、重叠后，难以分清各个角的组成，容易看
错重叠角与夹角，无法准确找出已知角和待求角之间的数量关系。
难点2：三角板动态旋转题型，缺少分类讨论意识，容易遗漏多种位置情况；解
题习惯依赖内角和，不善于结合外角性质简化推导，列式计算易出现失误。
难点精练
13．（25-26 八年级上·湖北·期中）如图，已知在
中，
，将一块直角三角板放在
上，
使三角板的两条直角边分别经过
，
，直角顶点
落在
的内部，
（ ）度．
A．90
B．60
C．50
D．40
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得
，
，进而即可求出
的度数．
【详解】解：在
中，
，
，
在
中，
，
，
，
故选：D．
14．（25-26 七年级下·江苏扬州·期末）图形变换中，图中的角与角之间的大小关系通常由图形运动的不
同位置所决定，即位置决定数量关系．如图，直角三角板
中，
，
，将三角板
沿着射线
方向平移，得到三角形
，连接
，在平移过程中，若
与
之间存在两倍
关系，则
__________°．
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49 /
【答案】10 或20 或30
【分析】根据平移后对应线段互相平行可得
，再根据点
在线段
上时，
，点
在线段
延长线上时，
，两种情况结
合
与
之间存在两倍关系分类讨论求解，
【详解】解：设
，
∵
，
，
，
∴
，
，
I．当点
在线段
上时，如图
①当
时，即
，
∵
，
∴
，
解得：
，
∴
；
②当
时，
∴
，解得：
，
∴
；
II．点
在线段
延长线上时，如图2，
③当
时，即
，
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50 /
∵
，
∴
，
解得：
，
∴
；
④当
时，
∴
，
，不合题意舍去，
综上所述：
等于
、
、
．
15．（25-26 七年级上·江苏南京·期末）如图，在一副三角板中
，
，
，
．
(1)如图
，若一副三角板的直角顶点重合．
①当
时，求
的大小；
②当
平分
时，判断
与
的位置关系，并说明理由；
③当
所在直线与
所在直线互相垂直时，
的度数为______．
(2)如图，
，若三角板
绕点
以每秒
的速度顺时针旋转，同时三角板
绕点
以每秒
的速度顺时针旋转，设时间为秒
，若边
与三角板
的一条直角边平行时，的值为
______．
【答案】(1)①
；②
，理由见解析；③
或
(2)
或
【分析】本题主要考查平行线的性质与判定、三角形内角和及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质
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51 /
与判定、三角形内角和及三角形外角的性质是解题的关键；
（1）①由题意易得
，则有
，然后问题可求解；
②由题意易得
，然后可得
，进而问题可求解；
③当
所在直线与
所在直线互相垂直时，然后分两种情况进行分类求解即可；
（2）由题意可分当
时，当
时，进而分类求解即可．
【详解】（1）解：①∵
，
，
，
，
∴
，
答：
的大小为
；
②
，理由如下：
平分
，
，
，
，
；
当
所在直线与
所在直线互相垂直时，分两种情况：
Ⅰ、如图
，
于
，交
于点
，
，
，
；
Ⅱ、如图，直线
于
，交
于点
，
，
．
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52 /
，
，
，
，
故答案为：
或
；
（2）解：边
与三角板
的一条直角边平行时，分两种情况：
当
时，如图
，延长
交
于点
，延长
交
于
点
，
由题意得：
，
，
三角形外角定理，
，
∵
，
，
∵
，
∴
，
即
，
解得：
，
当
时，如图
，
延长
交
于点S，延长
交
于点
，
由题意得：
，
，
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53 /
，
∵
，
，
∵
，
，
，
即
，
解得：
，
故答案为：
或
．
基础达标
一、单选题
1．（25-26 七年级下·甘肃兰州·期末）现有长度为
，
，
，
的四根木棒，任意选取三根，
能够顺次首尾相连拼出三角形的组合的个数有（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】按顺序列举所有选取三根木棒的组合，再根据三角形三边关系筛选符合条件的组合．
【详解】解：从四根木棒中任选三根，所有组合为：
①
、
、
，
∵
，
∴能构成三角形；
②
、
、
，
∵
，
∴不能构成三角形；
③
、
、
，
∵
，
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54 /
∴不能构成三角形；
④
、
、
，
∵
，
∴能构成三角形；
综上，符合条件的组合有2 种．
2．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）如图：光线α 照射到平面镜
上，然后在平面镜
和
之间
来回反射，已知
，
，则
的度数为（提示：光线照射到平面镜上，反射光线与平面镜的
夹角等于入射光线与平面镜的夹角）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】依据镜面反射等角特性得到
、
、
，先利用平角求出
，再结合三角形内
角和算出
，等量代换得到
的度数．
【详解】解：∵反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角，
∴
，
，
．
∵
是直线，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
3．（24-25 七年级下·河北唐山·期末）如图，
的面积为
，
为
边上的中线，
为
上任
意一点，连接
，
，图中阴影部分的面积为（ ）
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55 /
A．4
B．5
C．6
D．8
【答案】B
【分析】根据三角形中线的性质可得
，
，即可求解．
【详解】解：
为
边上的中线，
，
的面积为
，
，
，
．
4．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，四边形
的面积是
，各边的中点分别为
，
，
，
，
与
相交于点
，图中阴影部分的总面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】连接
，
，
，
， 根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可．
【详解】解：如图，连接
，
，
，
，
∵各边中点分别为
，
，
，
，
∴
，
，
，
，
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56 /
∴
，
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
．
5．（25-26 七年级下·浙江衢州·期末）如图，在三角形纸片
中，
，
，点
在
上且
．若在
上找一点
，将纸片沿
折叠，点
落在点
处，
恰好与三角形
的一边
平行，则满足所有平行条件的
度数为（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
或
D．
或
或
【答案】D
【分析】分
时和
时两种情况，再结合平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和性质，
列式计算即可．
【详解】解：当
时，如图，则
，
由折叠性质得：
，
，
则
当
时，如图，则
，
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57 /
由折叠性质得：
，
，
∴
∵
∴
当
时，如图，则
，
，
∴
综上，
的度数为
或
或
二、填空题
6．
（25-26 七年级下·福建福州·期末）已知
的三个内角分别是
、
、
，若
，
，
则
________°．
【答案】
80
【详解】解：∵三角形内角和为
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
7．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条
固定长方形门框
，使
其不变形，这种做法的根据是____________．
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58 /
【答案】三角形的稳定性
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【详解】解：∵用木条
固定长方形门框
，可得到
，
∴这种做法的根据是三角形的稳定性．
8．（25-26 七年级下·山东滨州·期末）如图，在
中，
平分
，与边
交于点
，
是
的边
上的高，
，
交于点
．已知
，
，则
的度数为________．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的定义、三角形外角的定义、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解
题的关键．
根据
是
的高，结合三角形内角和定理求出
的度数，再根据角平分线的定义求出
的度
数，最后利用三角形外角的定义求解即可．
【详解】解：
是
的边
上的高，
，
，
平分
，
，
是
的外角，
．
9．（25-26 七年级下·河南郑州·期末）一副直角三角板按如图所示的方式摆放,当
时,
的度
数为__________．
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59 /
【答案】
/15 度
【分析】根据平行线的性质可得
，再结合三角板的角度特征和三角形外角的定义即可求解．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
．
10．（25-26 七年级下·山东日照·期末）如图，已知
，
，
平分
，点
是
上
的一个定点，点
是直线
上的一个动点，设
，
，则点
在运动过程中，
与
的关
系可能是：________．
①
；②
；③
；④
．
【答案】①②③
【分析】先根据平行线和角平分线的性质求出
的度数，分点P 在点E 与
之间、点P 在
下方、
点P 在点E 上方三种情况讨论，利用三角形外角的定义建立
、
和
的关系，据此判断即可．
【详解】解：
，
，
平分
，
，
分情况讨论：
（1）当点P 在点E 与
之间时：
设
与
交于点
，
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60 /
是
和
的外角，
，
，
；
（2）当点P 在
下方时：
如图，延长
交
于点
，
是
的外角，
，
是
的外角，
，
；
（3）当点P 在点E 上方时：
，
在四边形
中，
，
，
，
综上所述，点
在运动过程中，
与
的关系可能是：①②③．
三、解答题
11．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）如图，
，
分别是
的中线和高，已知
，
，
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61 /
求
的面积．
【答案】40
【分析】根据三角形的面积公式求出
的面积，再根据三角形的中线的性质求解即可．
【详解】解：
是
的高，
，
，
，
是
的中线，
．
【点睛】
12．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）在
中，点D、E、F 分别在线段
上，连接
和
．
(1)如图1，若
，求证：
．
(2)把下列解题过程补充完整，并在括号内填写相应的依据．
如图2，
，垂足为F，且
，
求证：
证明：∵
（已知）
∴
（ ），
∴
（ ），
∵
（已知），
∴
（ ）；
∴
（ ）．
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62 /
∴
（ ）．
【答案】(1)证明：∵
，
，
∴
；
(2)垂线的定义；直角三角形两锐角互余；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行；
；两直线平
行，同旁内角互补
【分析】（1）根据三角形外角的性质和角的和差关系证明即可；
（2）根据平行线的性质与判定定理，直角三角形的性质和余角的性质证明即可．
【详解】（1）略
（2）略
13．（25-26 七年级下·江西南昌·期末）如图，在
中，
是
边上的高，
．
(1)求
的度数；
(2)若
是
的角平分线，
交
于点
，求
的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形内角和可得
，然后可得
，进而根据
三角形内角和可进行求解；
（2）由题意易得
，然后根据三角形内角和及对顶角相等可进行求解．
【详解】（1）解：∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
（2）解：∵
，
是
的角平分线，
∴
，
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63 /
∴
．
14．（25-26 七年级下·青海玉树·期末）如图，
平分
，
，
，
，
交
于点
，点
，
，
在一条直线上．
(1)求证：
；
(2)若
，求________的度数．请从①
，②
中选择一项填在空格处（填写序号），并写出
求解过程．
【答案】(1)证明：∵
平分
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
(2)①
；
∵
，
∴
，
∴
；
②
；
∵
，
∴
，
∴
【详解】（1）略；
（2）略．
15．（25-26 七年级下·吉林·期末）【问题】
(1)如图1，在
中，
平分
，
平分
．
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64 /
①若
，则
______________；
②若
，则
______________．
【探究】
(2)如图2，在
中，
，
三等分
，
，
三等分
．若
．则
________________；
(3)如图3，
是
与外角
的平分线
和
的交点，试分析
和
有怎样的关系？请说
明理由；
【应用】
(4)如图4，在四边形
中，
平分
，
平分外角
，连接
．若
，
，
则
___________度．
【答案】(1)①
；②
；
(2)
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(3)解：
．理由如下：
由三角形的外角性质得，
，
，
是
与外角
的平分线
和
的交点，
，
，
，
，
；
(4)
【分析】（1）①利用三角形的内角和定理求出
，再利用角平分线的定义求出
，
然后根据三角形的内角和等于
列式计算即可得解；
②将
的度数换成
，然后求解即可；
（2）利用三角形的内角和等于
求出
，再利用三等分角求出
，然后根据三
角形的内角和等于
列式计算即可得解；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出
和
，再根据角平分线的定
义可得
，然后整理即可得解；
（4）延长
和
交于M，延长
和
交于N，由三角形的外角性质求出
，由（3）的结论
即可求出
，由三角形的外角性质即可求出
．
【详解】（1）解：①
，
，
平分
，
平分
，
，
，
，
；
②由三角形的内角和定理得，
，
平分
，
平分
，
，
，
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，
；
（2）解：由三角形的内角和定理得，
，
，
三等分
，
，
三等分
，
，
，
，
；
（3）略；
（4）解：如图，延长
和
交于M，延长
和
交于N，
∵
平分
，
平分外角
，
∴由（3）的结论可知
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
．
能力进阶
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67 /
一、单选题
1．（25-26 七年级下·重庆·期末）如图，在
中，点D 在线段
上且
，E 为
的中
点，
与
相交于点O，若四边形
的面积是
，则
的面积是（ ）
A．
B．5
C．
D．6
【答案】B
【分析】如图：连接
，设
，
，
，
，利用等高三角形面积
比等于底边比及中线性质建立方程求解即可．
【详解】解：如图：连接
，
∵
，
∴
，
，
，
∵E 为
的中点，
∴设
，
∴
，解得：
，
∵
，
∴
，
，解得：
，
∵四边形
的面积是
，
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∴
，
∴
， 解得
，
∴
，
∴
．
2．（25-26 七年级下·重庆万州·期末）如图，在
中，
，点
在
右侧，连接
、
，
设
，过
作
于点
，点
在
内部，且
平分
，延长
至点
，使
，则
可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，利用“8 字模型”表示出
，进而表示出
和
，最后利用
三角形内角和及对顶角相等建立
与
的关系即可.
【详解】解：设
，
平分
，
，
设
与
交于点
，在
和
中，
，
，
，
，
，
，
，
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共线，
，
设
交
于点
，
在
中，
，
又
，
在
中，
，
，
.
3．（25-26 七年级下·湖北鄂州·期末）如图，
，
平分
，
平分
，点
、
、
共线，点
、
、
、
共线，
，
，则下列结论：①
；②
；③
；
④
；正确的是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
【答案】A
【分析】根据角平分线的定义和平角的定义即可判断①；三角形的内角和定理判断②，平行线的性质，角
的和差关系求出
的度数，进而判断③和④．
【详解】解：∵
平分
，
平分
，点
、
、
共线，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，故①正确；
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∵
，
，
∴
，故②正确；
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，故③正确；
∵
，
，
∴
，故④错误．
二、填空题
4．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知
的内角
，分别作内角
与外角
的平分线，两条平分线交于点
；作
和
的平分线交于点
；…；以此类推得到点
，则
的大小为_____．
【答案】
/
【分析】根据角平分线的定义可得
，再根据三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和可得
，整理可得
，同理
可得
，由此推出
，即可求解．
【详解】解：
与
的平分线交于点
，
，
，
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71 /
，
，
同理可得
，
……
以此类推
，
的大小为
．
5．（25-26 七年级下·广东佛山·期末）如图，四边形
的面积是15．边
、
、
、
的中
点分别为
、
、
、
．若
与
相交于点
，则图中阴影部分的总面积为________．
【答案】
【分析】本题考查了三角形中线的性质，连接
，根据三角形的中线把三角形分成面积相同的
两部分，通过等量代换证明阴影部分面积等于四边形
面积的一半即可求解．
【详解】解：连接
，
，
，
，
∵
，
，
，
分别为边
、
、
、
的中点，
∴
，
∴
，
，
，
，
∴
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72 /
，
∵
，
∴
，
∴
6．（25-26 七年级下·广东广州·期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，
，
．给
出下列结论：①
；②
；③
；④若
，则
；⑤若
，
则
．其中正确的有________．（填序号）
【答案】①②③⑤
【详解】解：由题可知，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，故②正确；
如图，
，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，
，
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73 /
，
，
与
不平行，故④错误；
，
，
，
，故⑤正确；
综上，正确的有：①②③⑤．
三、解答题
7．（25-26 七年级下·黑龙江佳木斯·期末）综合与探究一一问题情境：数学活动课上，老师提出如下问
题：如图1，将含
的三角尺
如图方式摆放，点
分别在边
和
上，
．三角尺
中，
．猜想
与
的数量关系，并说明理由．
【问题初探】：
(1)若
，则
_____ ；
(2)小宇同学通过小组合作探究，发现了一种证明方法．如图2，过点
作
，交
于点
，请你
根据小宇同学提供的辅助线，先确定
与
的数量关系，再说明理由；
【类比再探】：
(3)如图3，把“
”改为“
”，其它条件不变，猜想
与
的数量关系，并
说明理由．
【答案】(1)60
(2)
，
证明：过点
作
，交
于点
，
小学
初中
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74 /
，
设
，
，
，
，
，
，
；
(3)
证明：过点
作
，交
于点
，设
，
，
，
，
，
，
，即
．
【分析】（1）根据
，可求得补角
的值，已知
,根据三角形内角和定理可求
得
的值，进一步求出补角
的值，再根据
求出
的值，又知道
，用
三角形内角和定理即可求出
的值．
（2）过点
作
，设
，即可求出
，根据“两直线平行，内错角相等”
可以求出
的值，再根据
，
, 即可确定
与
的数量关系．
（3）过点
作
，即可求出
的值为
，设
，即可求出
的值，根据
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75 /
“两直线平行，内错角相等”可以求出
的值，再根据
，
, 即可确定
与
的数量关系．
【详解】（1）解：∵
，
∴
,
在
中，
，
∴
,
∴
,
∵
，
∴
,
∵
，
∴
,
∴
的值为
．
（2）略．
（3）略．
8．
（25-26 七年级下·北京·期末）已知点C 在线段
上，点A 和点E 在线段
同侧，且
．
(1)若
：
①如图1，
，则
__________ ；
②如图2，分别作
、
的角平分线并交于点P，则
__________ ；
(2)当点E 在线段
上时，求证：
．请在图3 中完成下列证明过程：
证明：
__________，（______________________________）
又
，
．
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76 /
(3)分别作
，
的角平分线
，
：
①若
，则
__________ ；
②若直线
与直线
交于点P，直接写出
的度数（用含
的代数式表示）．
【答案】(1)①
；②
(2)
；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
(3)①
；②
【分析】（1）①根据三角形的内角和计算；
②根据角平分线的定义和三角形的内角和解题即可；
（2）利用三角形的外角的性质解题；
（3）①用（2）的方法，同理可得
，结合角平分线的定义得到
，
，根据平行线的性质推出
，列方程计算即可；
②根据角平分线的定义和三角形的内角和可得到
，
，结合
计算即可．
【详解】（1）解：①∵
，
，
∴
，
∴
；
②如图，由①知
，
∵
平分
，
平分
，
∴
，
，
∵
，
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∴
，
，
∴
，
，
∴
；
（2）略
（3）解：①如图，同理可得
，
∵
，
∴
；
由题意知，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
，
∵
，
∴
，
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78 /
∴
，
∴
，
解得
；
②如图，
∵
平分
，
平分
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
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79 /
．
9．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）【模型探究】如图①，已知点D、E 分别在
的边
上，
点F 在
的内部，连接
，在
的内部形成凸四边形
．求证：
．
甲、乙两名同学给出两种不同证明过程如下：
甲同学证明：∵在四边形
中，
∴（① ）
∵
，
，
∴
．
∴
．
乙同学证明：如图②，连接
．
∵
是
的外角，
∴
．
∵
是
的外角，
∴（② ）．
∴
∴
．
(1)补全甲同学证明过程：①；
补全乙同学证明过程：②．
【模型应用】如图③，已知点D、E 分别在
的边
上，连接
，将
沿直线
翻折，使
点A 落在
内部
位置．
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80 /
(2)若
则
的度数为；（用含
的式子表示）
(3)若
，求
的度数；
【模型拓展】
(4)已知点D、E 分别在
的边
上，连接
，将
沿直线
翻折，点A 落在
位置，连
接
．当
时，直接写出
和
的数量关系．
【答案】(1)①
；②
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据四边形的内角和为360 度，三角形的外角的性质，进行作答即可；
（2）根据折叠的性质，得到
，根据（1）中结论，即可得出结果；
（3）根据三角形的内角和定理，求出
的度数，再根据（1）中结论，即可得出结果；
（4）根据三角形的内角和定理，求出
与
的关系，再根据（1）中结论，即可得出结果.
【详解】（1）略
（2）解：∵折叠，
∴
，
由（1）可知：
，
∴
，
∴
；
（3）解：∵
，
∴
，
∴
；
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（4）解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
.
10．（25-26 七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线
，直线
分别与
，
相交于E、
F．
(1)【初步探究】如图1，
，
分别平分
和
，则
和
的位置关系是什么？说明理由．
(2)【推广应用】如图2，点G 在射线
上，点H 在射线
上，
，
分别平分
和
，若
，
，求
和
的度数．
(3)【拓展提升】如图3，点G 在线段
上，点H 是直线
上的动点(不与F 重合)，
、
分别平分
和
，设
，请直接用含m 的代数式表示
的度数．
【答案】(1)
，理由如下：
、
分别平分
和
，
可设
，
（角平分线的定义），
，
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（两直线平行，同旁内角互补），
．
又
，
，
．
即
；
(2)
，
(3)
或
【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得答案；
（2）先由外角的性质得
，由角平分线的定义得
，再由平行线的性质得
，由外角的性质得
，最后由角平分线的定义得
；
（3）分两种情况讨论：当点
在点
的右边时；当点
在点
的左边时，画出图形分别求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵
，
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
平分
，
∴
；
（3）解：分以下两种情况：
当点
在点
的右边时，如图3 所示：
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∵
、
分别平分
和
，
∴可设
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
；
当点
在点
的左边时，如图所示：
∵
、
分别平分
和
，
∴可设
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
；
综上所述：
的度数为
或
．
