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第十三章 三角形
知识点一 三角形的概念及分类
1.
定义：三条不在同一直线上的线段首尾顺次封闭相接形成三角形，具备 3 个顶点、3 条边、3 个
内角。
2.
按角划分
锐角三角形：三内角均为锐角；
直角三角形：有一个直角，剩余两角互余；
钝角三角形：有一个钝角。
3.
按边划分
不等边三角形：三边长度互不相等；
等腰三角形：两条边相等；特殊等腰三角形为等边三角形，三边相等，内角均 60°。
知识点二 三角形中三边关系
1.
两条核心不等式：
① 任意两边之和大于第三边；
② 任意两边之差小于第三边。
2.
取值范围：已知两边长 𝑚、𝑛 (𝑚> 𝑛)，第三边 𝑥 取值范围：𝑚― 𝑛< 𝑥< 𝑚+ 𝑛。
3.
用途：判断线段能否组成三角形、求第三边取值、求整数边长。
知识点三 三角形的高线、中线、角平分线
1.
高：过顶点作对边垂线，顶点到垂足线段；三条高交于垂心，钝角三角形两条高在形外。
2.
中线：顶点连接对边中点；三条中线交于重心，任意一条中线把三角形分成面积相等两部分。
3.
角平分线：平分三角形内角，交对边；三条角平分线交于内心，内心到三边距离相等。
4.
统一性质：任意三角形都各有三条高、中线、角平分线，且各自交于一点。
知识点四 三角形的内角和定理
1.
核心结论：三角形内角和恒等于 180∘。
2.
重要推论：直角三角形两个锐角相加等于 90∘；若三角形两内角互余，则为直角三角形。
3.
常见题型：角度计算、含未知数角度求值、证明角度相等。
知识点五 三角形的外角定义和定理
1.
外角定义：三角形一条边与另一边延长线形成的角，每个顶点有一对相等外角。
2.
外角定理 1：三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角相加。
3.
外角定理 2：三角形一个外角大于任意一个不相邻的内角。
4.
拓展：三角形三个外角相加总和为 360∘。
易错点1 画三角形的高线易错问题
易错提醒
一、易错点总结
1. 只会画锐角三角形高，不会画直角、钝角三角形的高。
2. 钝角三角形两条高在三角形外部，学生习惯性画在内部，导致完全错误。
3. 画高不垂直、不标直角符号，没有从顶点出发，随意画线。
4. 混淆“高”与“中线、角平分线”，误画成平分线段或平分角。
二、注意事项总结
1. 高的唯一标准：过顶点、垂直对边（或对边延长线）。
2. 锐角三角形：三条高全在内部；直角三角形：两条高与直角边重合；钝角三角形：钝角两条邻边上的
高在外部。
3. 外部高必须先延长对边，再作垂线。
4. 作图必须标注直角符号，保证规范得分。
【对点训练】1．如图，
90
E
F
ADC
Ð
= Ð
= Ð
=
°，以下说法不正确的是（）
A．AD 是ABC
V
的边BC 上的高
B．CE 是
ACE
△
的边AC 上的高
C．AF 是
ABF
△
的边BF 上的高
D．BF 是ABC
V
的边AC 上的高
【答案】B
【分析】根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线
段叫做三角形的高，对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵
90
ADC
Ð
=
° ，
∴AD
BC
^
，
∴AD 是ABC
V
的边BC 上的高，故该选项说法正确，不符合题意；
B、∵
90
E
Ð
=
°，
∴CE
AE
^
，
∴CE 是
ACE
△
的边AE 上的高，不是边AC 上的高，故该选项说法错误，符合题意；
C、∵
90
F
Ð
=
° ，
∴AF
BF
^
，
∴AF 是
ABF
△
的边BF 上的高，故该选项说法正确，不符合题意；
D、∵
90
F
Ð
=
° ，
∴BF
AC
^
，
∴BF 是ABC
V
的边AC 上的高，故该选项说法正确，不符合题意．
易错点2 利用三角形内角和求折叠中的多解问题
易错提醒
一、易错点总结
1.折叠题只算一种情况，忽略多解（折叠后顶点可落在三角形内部或外部）。
2.不会利用“折叠前后角度相等”，找不到等量关系。
3.角度推导混乱，乱用内角和、平角、对顶角关系。
4.忽略折叠后产生的重叠角、两倍角关系，计算出错。
二、注意事项总结
1.折叠核心：折叠前后对应角相等，所有重合角度完全一样。
2.遇折叠题型必须分类：落点在内部、落点在外部两种情况，防止漏解。
3.解题固定套路：找相等角 → 利用平角/内角和 180o → 列方程求解。
4.出现折叠夹角问题，优先使用“两倍关系”快速解题。
【对点训练】2．在ABC
V
中，已知
80
A
Ð
=
° ，
30
C
Ð
=
° ，现把
CDE
△
沿DE 进行不同的折叠得C DE
¢
V
，对
折叠后产生的夹角进行探究：
(1)如图（1）把
CDE
△
沿DE 折叠在四边形ADEB 内，则求
1
2
Ð + Ð 的和；
(2)如图（2）把
CDE
△
沿DE 折叠覆盖
A
Ð ，则求
1
2
Ð + Ð 的和；
(3)如图（3）把
CDE
△
沿DE 斜向上折叠，探求1
Ð 、
2
Ð 、
C
Ð
的关系．
【答案】(1)60°
(2)50°
(3)
2
1
2 C
Ð - Ð = Ð
【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为
全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质．
（1）根据折叠前后的图象全等可知，1
180
2 CDE
Ð =
°- Ð
，
2
180
2 CED
Ð =
°- Ð
，再根据三角形内角和定理
比可求出答案；
（2）连接DG ，将
ADG
AGD
Ð
+ Ð
作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；
（3）将
2
Ð 看作180
2 CED
°- Ð
，1
Ð 看作2
180
CDE
Ð
-
° ，再根据三角形内角和定理求解，即可解题．
【详解】（1）解：由折叠性质可知：
2
CDC
CDE
¢
Ð
= Ð
，
2
CEC
CED
¢
Ð
= Ð
，
Q
30
C
Ð
=
° ，
\
1
2
180
2
180
2
CDE
CED
Ð + Ð =
°- Ð
+
°- Ð
360
2
CDE
CED
=
°-
Ð
+ Ð
360
2 180
C
=
°-
°- Ð
2 C
= Ð
60
=
° ；
（2）解：连接DG ，
由折叠性质可知：
30
C
C
°
¢
Ð
= Ð
=
，
Q
80
A
Ð
=
° ，
\
1
2
180
C
ADG
AGD
¢
Ð + Ð =
°- Ð
- Ð
+ Ð
180
30
180
80
=
°-
°-
°-
°
50
=
°；
（3）解：
2
1
180
2
2
180
CED
CDE
Ð - Ð =
°- Ð
-
Ð
-
°
360
2
CDE
CED
=
°-
Ð
+ Ð
360
2 180
C
=
°-
°- Ð
2 C
= Ð
，
所以：
2
1
2 C
Ð - Ð = Ð
．
易错点3 利用三角形内外角与角平分线问题
易错提醒
一、易错点总结
1.混淆内角平分线、外角平分线模型，公式乱用。
2.不会区分“相邻内角、不相邻内角”，外角定理使用错误。
3.多角叠加题型，角度推导逻辑混乱，跳步导致错结果。
4.二级结论记混：内角平分线夹角、内外角平分线夹角公式记错。
二、注意事项总结
1.严格区分：外角只等于两个不相邻内角和，绝不包含相邻内角。
2.角平分线题型优先标出相等小角，设未知数解方程最稳妥。
3.熟记两大必考模型：
① 两内角平分线夹角 = 90^∘+1/2 顶角
② 一内一外平分线夹角 = 1/2 顶角
4.综合题先找外角、再找等分角、最后用内角和收尾，步骤不乱、不丢分。
【对点训练】3．如图，ABC
V
中，
ABC
Ð
的角平分线与外角
ACD
Ð
的平分线交于
1A ．
(1)如图1，若
70
A
Ð
=
°，则
1A
Ð
= ．
(2)如图2 ，四边形ABCD 中，
ABC
Ð
的角平分线及外角
DCE
Ð
的角平分线相交于点F ，若
230
A
D
Ð + Ð
=
°，
求
F
Ð
的度数．
(3)如图3，ABC
V
中，
ABC
Ð
的角平分线与外角
ACD
Ð
的角平分线交于
1A ，若E 为BA 延长线上一动点，连
接EC ，
AEC
Ð
与
ACE
Ð
的角平分线交于点Q ，当E 滑动时有下面两个结论：
1
Q
A
Ð
+ Ð
①
的值为定值；
1
Q
A
Ð
- Ð
②
的值为定值；
其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．
【答案】(1)35°
(2)25°
(3)正确的结论是①，理由见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义：
（1）根据角平分线的定义得到
1
1
1
1
2
2
A BC
ABC
ACD
ACD
Ð
=
Ð
Ð
=
Ð
，
，再由三角形外角的性质得到
1
1
2
A
ACD
ABC
Ð
=
Ð
- Ð
，
70
ACD
ABC
BAC
Ð
- Ð
= Ð
=
° ，由此即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义
1
1
2
2
FBC
ABC
FCE
DCE
Ð
=
Ð
Ð
=
Ð
，
，根据三角形外角的性质得到
1
2
F
DCE
ABC
Ð
=
Ð
- Ð
，利用四边形内角和定理得到
130
ABC
BCD
Ð
+ Ð
=
° ，则
50
DCE
ABC
Ð
- Ð
=
° ，由
此即可求出
25
F
Ð
=
°；
（3）同理可得
1
1
2
A
BAC
Ð
=
Ð
，
1
1
2
2
QEC
AEC
QCE
ACE
Ð
=
Ð
Ð
=
Ð
，
，利用三角形内角和定理得到
1
180
2
Q
AEC
ACE
Ð
=
°-
Ð
+ Ð
，再由三角形外角的性质得到
BAC
AEC
ACE
Ð
= Ð
+ Ð
，即可得到
1
180
2
Q
BAC
Ð
=
° -
Ð
，由此即可得到结论．
【详解】（1）解：∵
1
BA 平分
1
ABC
CA
Ð
，
平分
ACD
Ð
，
∴
1
1
1
1
2
2
A BC
ABC
ACD
ACD
Ð
=
Ð
Ð
=
Ð
，
，
∵
1
1
1
A
ACD
A BC
Ð
= Ð
- Ð
，
∴
1
1
1
1
2
2
2
A
ACD
ABC
ACD
ABC
Ð
=
Ð
-
Ð
=
Ð
- Ð
，
∵
70
BAC
Ð
=
° ，
∴
70
ACD
ABC
BAC
Ð
- Ð
= Ð
=
° ，
∴
1
1
70
35
2
A
Ð
=
´
° =
°，
故答案为：35°；
（2）解：∵BF 平分
ABC
CF
Ð
，
平分
DCE
Ð
，
∴
1
1
2
2
FBC
ABC
FCE
DCE
Ð
=
Ð
Ð
=
Ð
，
，
∴
1
2
F
FCE
FBC
DCE
ABC
Ð
= Ð
- Ð
=
Ð
- Ð
，
∵
230
A
D
Ð + Ð
=
°，
∴
360
130
ABC
BCD
A
D
Ð
+ Ð
=
°- Ð + Ð
=
°，
∴
180
130
ABC
DCE
Ð
+
°- Ð
=
° ，
∴
50
DCE
ABC
Ð
- Ð
=
° ，
∴
1
25
2
F
DCE
ABC
Ð
=
Ð
- Ð
=
°；
（3）解：正确的结论是①，理由如下：
同（1）可得
1
1
2
A
BAC
Ð
=
Ð
，
∵EQ 平分
AEC
CQ
Ð
，
平分
ACE
Ð
，
∴
1
1
2
2
QEC
AEC
QCE
ACE
Ð
=
Ð
Ð
=
Ð
，
，
∵
180
Q
QEC
QCE
Ð
=
°- Ð
+ Ð
，
∴
1
180
2
Q
AEC
ACE
Ð
=
°-
Ð
+ Ð
，
∵
BAC
AEC
ACE
Ð
= Ð
+ Ð
，
∴
1
180
2
Q
BAC
Ð
=
° -
Ð
，
∵
1
1
2
A
BAC
Ð
=
Ð
，
∴
1
1
1
180
180
2
2
Q
A
BAC
BAC
Ð
+ Ð
=
° -
Ð
+
Ð
=
°，
∴
1
Q
A
Ð
+ Ð
的值为定值，①正确，其值是180°．
一、单选题
1．如图，在ABC
V
中，BC 边上的高是（ ）
A．线段CE
B．线段AB
C．线段BF
D．线段AD
【答案】D
【分析】三角形的高是从三角形的一个顶点到对边作垂线，顶点到垂足之间的线段，根据定义判断即可．
【详解】解：由三角形的高的定义可知，BC 边上的高是线段AD ．
2．在平面直角坐标系中，有点
0,3
D
、
0, 2
E
-
、
6, 2
F
-
，则DEF
V
是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】根据点的坐标判断边的位置关系，计算边长，结合垂直和边长关系判断三角形形状．
【详解】解：如图，
∵点
0,3
D
、
0, 2
E
-
、
6, 2
F
-
，
∴DE
EF
^
，
5
DE =
，
6
EF =
，
∴
90
DEF
Ð
=
° ，
∴
DEF
V
是直角三角形，不是等腰，等边或等腰直角三角形，
选项C 符合题意．
3．如图，已知MN
PQ
∥
，点B 在直线MN 上，点C 在直线PQ 上，点A 在直线MN 上方，点E 在DB的延长
线上．若
:
4:1
ABD
DBN
Ð
Ð
=
，
:
4:1
ACE
ECP
Ð
Ð
=
，
A
a
Ð
=
，则
E
Ð
=（ ）
A．a
B．
1
36
5a
° +
C．90
a
°-
D．
4
144
5a
° -
【答案】B
【分析】延长DE 交PQ 于点F ，AC 交MN 于点G ，根据
:
4:1
ABD
DBN
Ð
Ð
=
，
:
4:1
ACE
ECP
Ð
Ð
=
可设设
4
ABD
x
Ð
=
，
DBN
x
Ð
=
，
4
ACE
y
Ð
=
，
ECP
y
Ð
=
，利用平行线的性质及三角形外角的性质可得出
180
5
x
y
a
°+
+
=
，再由MN
PQ
∥
即可得出结论．
【详解】解：如图，延长DE 交PQ 于点F ，AC 交MN 于点G ，
:
4:1
ABD
DBN
Ð
Ð
=
Q
，
:
4:1
ACE
ECP
Ð
Ð
=
，
\设
4
ABD
x
Ð
=
，
DBN
x
Ð
=
，
4
ACE
y
Ð
=
，
ECP
y
Ð
=
，
5
ABN
ABD
DBN
x
\Ð
= Ð
+ Ð
=
，
5
ACP
ACE
ECP
y
Ð
= Ð
+ Ð
=
，
ABN
Ð
Q
是ABG
V
的一个外角，
5
AGB
ABN
A
x
a
\Ð
= Ð
- Ð
=
-
，
MN
PQ
∥
Q
，
5
ACQ
AGB
x
a
\Ð
= Ð
=
-
，
180
ACP
ACQ
Ð
=
°- Ð
Q
，
5
180
5
y
x
a
\
=
°-
-
，
即
180
5
x
y
a
°+
+
=
，
MN
PQ
∥
Q
，
EFC
DBN
x
\Ð
= Ð
=
，
180
1
36
5
5
BEC
EFC
ECP
x
y
a
a
°+
\Ð
= Ð
+ Ð
=
+
=
=
°+
，
即
1
36
5
E
a
Ð
=
°+
．
4．如图，把ABC
V
纸片沿着DE 折叠，使点A 落在四边形BCDE 内部点A¢处，已知
B
C
Ð
= Ð
，
1
2
60
Ð + Ð =
°，则
B
Ð 的度数是（ ）
A．75°
B．70°
C．65°
D．60°
【答案】A
【分析】根据折叠的性质得出
ADE
A DE
Ð
Ð
¢
=
，
AED
A ED
Ð
Ð
¢
=
，利用平角的定义推导出
1
2
2
A
Ð
Ð
Ð
+
=
，从而求出
A
Ð 的度数，最后根据三角形内角和定理及
B
C
Ð
= Ð
求解即可.
【详解】解：∵把ABC
V
纸片沿着DE 折叠，点A 落在四边形BCDE 内部点A¢处，
∴
ADE
A DE
Ð
Ð
¢
=
，
AED
A ED
Ð
Ð
¢
=
，
∵
1
180
2
ADE
Ð
Ð
=
°-
，
2
180
2
AED
Ð
Ð
=
°-
，
∴
1
2
360
2
ADE
AED
Ð
Ð
Ð
Ð
+
=
°-
+
，
在ADE
V
中，
180
ADE
AED
A
Ð
Ð
Ð
+
=
°-
，
∴
1
2
360
2 180
2
A
A
Ð
Ð
Ð
Ð
+
=
°-
°-
=
，
1
2
60
Ð
Ð
+
=
° ，
∴2
60
A
Ð
=
° ，
∴
30
A
Ð
=
°，
在ABC
V
中，
180
A
B
C
Ð
Ð
Ð
+
+
=
° ，且
B
C
Ð
= Ð
，
∴2
180
180
30
150
B
A
Ð
Ð
=
°-
=
°-
° =
° ，
∴
75
B
Ð
=
o ．
5．如图，在ABC
V
中，
8
AC
BC
=
=
，
24
ABC
S
=
V
，P 为AB 边上一动点（不与A，B 重合），PE
AC
^
于点
E，PF
BC
^
于点F，则PE
PF
+
的值是（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
【答案】C
【分析】连接CP ，利用面积法将ABC
V
的面积表示为APC
V
与BPC
V
的面积之和，结合AC
BC
=
即可求出
PE
PF
+
的值．
【详解】解：如图，连接CP ，
ABC
APC
BPC
S
S
S
=
+
V
V
V
Q
，
1
1
2
2
ABC
S
AC PE
BC PF
\
=
×
+
×
V
，
8
AC
BC
=
=
Q
，
24
ABC
S
=
V
，
1
1
24
8
8
2
2
PE
PF
\
=
´ ×
+
´ ×
，
24
4(
)
PE
PF
\
=
+
，
6
PE
PF
\
+
=
．
二、填空题
6．如图，在ABC
V
中，
8
AB =
，
7
BC =
，AE 为BC 边上的高，
6
AE =
，P 为AB 上一动点，则PC 的最小
值为________．
【答案】21
4
【分析】先求出ABC
V
的面积，根据垂线段最短可得当PC
AB
^
时，PC 有最小值，据此根据三角形的面积
公式求解即可．
【详解】解：∵在ABC
V
中，
7
BC =
，AE 为BC 边上的高，
6
AE =
，
∴
1
21
2
ABC
S
AE BC
=
×
=
V
；
∵P 为AB 上一动点，
∴由垂线段最短可知，当PC
AB
^
时，PC 有最小值，
此时有
1
21
2
ABC
S
AB PC
=
×
=
V
，
∵
8
AB =
，
∴此时
21
4
PC =
，即PC 的最小值为21
4 ．
7．如图，已知1l 平行于2l ，ABC
V
是等腰直角三角形，
90
BAC
Ð
=
° ，顶点A，B 分别在1l ，2l 上，当
1
70
Ð =
°
时，
2
Ð =__________°．
【答案】65
【详解】解：如图，
∵1l 平行于2l ，
∴
3
1
70
Ð = Ð =
° ，
∵ABC
V
是等腰直角三角形，
∴
45
ABC
Ð
=
° ，
∴
2
180
3
65
ABC
Ð =
°- Ð
- Ð =
° ．
8．如图，在ABC
V
中，D 是BC 的中点，连接AD ，点E 在AD 上，且
3
DE
AE
=
，连接BE ，CE ．若BDE
V
的面积为36，则
AEC
△
的面积为__________．
【答案】
12
【分析】先根据D 是BC 的中点，得出BDE
V
和CDE
V
面积相等，求出CDE
V
的面积；然后根据
3
DE
AE
=
，
利用等高三角形面积比等于底边比，求出AEC
V
的面积．
【详解】解：∵D 是BC 的中点，
BD
CD
\
=
，
36
CDE
BDE
S
S
\
=
=
V
V
，
∵点E 在AD 上，且
3
DE
AE
=
，
1
3
AE
DE
\
=
，
AEC
QV
和DEC
V
的高相等，均为点C 到AD 的距离，
1
3
AEC
DEC
S
AE
S
DE
\
=
=
V
V
，
1
1
36
12
3
3
AEC
DEC
S
S
\
=
=
´
=
V
V
．
9．如图，将一块含有45°角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果
2
65
Ð =
°，那么
1
Ð 的度数为
________°．
【答案】20
【分析】直尺上下两边互相平行，利用平行线的内错角相等，先求出三角板下方与
2
Ð 对应的内错角，再结
合等腰直角三角板的45°角，通过角的差计算出
1
Ð ．
【详解】解：直尺的对边互相平行，根据两直线平行，内错角相等，三角板下方与
2
Ð 相等的内错角为65°．
已知三角板含45°锐角，由角的和差关系：
1
65
45
20
Ð =
°-
° =
°．
10．如图，将直角三角形纸片ABC 的直角C 沿EF 折叠，点C 落到纸片内部的点C¢处．如果
40
FEC
Ð
=
¢
°，
那么
BFC¢
Ð
= ____________．
【答案】80°
【分析】根据折叠的性质可得对应角相等，利用三角形内角和定理求出
C FE
Ð
¢
的度数，再结合平角的定
义计算即可．
【详解】解：Q
EFC¢
V
由
EFC
V
翻折得到，
90
C
Ð
=
o ，
\
90
C
C
Ð
Ð
=
=
¢
o，
CFE
C FE
Ð
Ð
¢
=
，
\
180
180
90
40
50
CFE
C FE
C
FEC
Ð
Ð
Ð
Ð
=
=
-
-
¢
=
-
¢
-
=
¢
o
o
o
o
o ，
\
180
180
50
50
80
BFC
CFE
C FE
Ð
Ð
Ð
=
-
-
-
=
¢
=
-
¢
o
o
o
o
o．
三、解答题
11．综合与实践：探索三角形角平分线的定义及应用．
【问题情境】学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了探索三角形角平分线的数学活动．“前进”小组
得到了一个结论：已知ABC
V
，如图1，若点P 是
ABC
Ð
和
ACB
Ð
的角平分线的交点，则
1
90
2
P
A
Ð
=
°+
Ð ．
证明如下：
BP
Q
，CP 是
ABC
Ð
和
ACB
Ð
的角平分线，
1
2
PBC
ABC
\Ð
=
Ð
，
1
2
PCB
ACB
Ð
=
Ð
，
2
180
A
PBC
PCB
Ð +
Ð
+ Ð
=
°
Q
，
1
90
2
PBC
PCB
A
\Ð
+ Ð
=
°-
Ð ，
1
1
180
180
90
90
2
2
P
PBC
PCB
A
A
æ
ö
\Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
°-
Ð
=
°+
Ð
ç
÷
è
ø
．
【问题解决】
(1)如图2，若点P 是外角
CBF
Ð
和
BCE
Ð
的角平分线的交点，“前进”小组的结论还成立吗？若成立，给出证
明；若不成立，写出正确的结论并证明．
【拓展创新】
(2)如图3，在ABC
V
中，
ABC
Ð
、
ACB
Ð
的角平分线交于点P ，将ABC
V
沿DE 折叠使得点A 与点P 重合，
若
1
2
76
Ð + Ð =
°，求
BPC
Ð
的度数．
【答案】(1)“前进”小组的结论不成立，正确结论为
1
90
2
P
A
Ð
=
°-
Ð ，
证明：
BP
Q
，CP 是
CBF
Ð
和
BCE
Ð
的角平分线，
1
2
PBC
CBF
\Ð
=
Ð
，
1
2
PCB
BCE
Ð
=
Ð
，
1
1
1
180
180
180
2
2
2
P
PBC
PCB
CBF
BCE
CBF
BCE
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°-
Ð
-
Ð
=
°-
Ð
+ Ð
Q
，
又
CBF
A
ACB
Ð
= Ð + Ð
Q
，
BCE
A
ABC
Ð
= Ð + Ð
，
1
1
1
180
180
180
90
2
2
2
P
A
ACB
A
ABC
A
A
\Ð
=
°-
Ð + Ð
+ Ð + Ð
=
°-
°+ Ð
=
°-
Ð ，
∴“前进”小组的结论不成立，正确结论为
1
90
2
P
A
Ð
=
°-
Ð ．
(2)109°
【分析】
（1）由角平分线的定义得
1
2
PBC
CBF
Ð
=
Ð
，
1
2
PCB
BCE
Ð
=
Ð
，由外角的性质得
CBF
A
ACB
Ð
= Ð + Ð
，
BCE
A
ABC
Ð
= Ð + Ð
，再根据三角形内角和定理即可得出结论；
（2）连接AP ，由外角的性质得
1
EAP
EPA
Ð = Ð
+ Ð
，
2
DAP
DPA
Ð = Ð
+ Ð
，由折叠的性质得：
EAD
EPD
Ð
= Ð
，即可求出
EAD
Ð
的度数，再根据题干的结论
1
90
2
BPC
EAD
Ð
=
°+
Ð
，即可求出
BPC
Ð
的度
数．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接AP ，
1
EAP
EPA
Ð = Ð
+ Ð
Q
，
2
DAP
DPA
Ð = Ð
+ Ð
，
1
2
EAP
EPA
DAP
DPA
EAD
EPD
\Ð + Ð = Ð
+ Ð
+ Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，
由折叠的性质得：
EAD
EPD
Ð
= Ð
，
1
2
2
76
EAD
\
°
Ð + Ð = Ð
=
，
38
EAD
°
\Ð
=
，
由题干的结论得：
1
90
2
BPC
EAD
Ð
=
°+
Ð
，
1
90
38
109
2
BPC
\Ð
=
°+
´
° =
° ．
12．如图，CD、CE 分别是ABC
V
的高和中线，若
5cm
AC =
，
12
BC
cm
=
，
13cm
AB =
，
90
ACB
Ð
=
°
(1)求CD的长
(2)求BCE
V
与
ACE
△
的周长差
【答案】(1) 60 cm
13
(2)7cm
【分析】
1 根据三角形的面积公式解答即可；
2 利用三角形中线的定义可得AE
BE
=
，即得BCE
V
的周长
ACE
-V
的周长
BC
AC
=
-
，代入已知数据即可
求解．
【详解】（1）解：∵CD是ABC
V
的高，
90
ACB
Ð
=
°，
∴
1
1
2
2
ABC
S
AB CD
AC BC
=
=
V
g
g
，
∵
5cm
AC =
，
12
BC
cm
=
，
13cm
AB =
，
∴1
1
13
5 12
2
2
CD
´
´
=
´ ´
，
∴
60 cm
13
CD =
；
（2）解：∵CE 是ABC
V
的中线，
∴AE
BE
=
，
∴BCE
V
的周长
ACE
-V
的周长
BC
CE
BE
AC
CE
AE
=
+
+
-
+
+
BC
AC
=
-
12
5
=
-
7cm
=
．
13．数学探究
在ABC
V
中，已知
A
a
Ð
=
．
(1)如图1，
ABC
Ð
，
ACB
Ð
的平分线相交于点P ．
①当
70
a =
°时，
BPC
Ð
= ________°；（直接写出结果）
②
BPC
Ð
的度数为________；（用含a 的代数式表示）
(2)如图2，ABC
Ð
，ACB
Ð
的平分线相交于点P ，作ABC
V
外角
MBC
Ð
，NCB
Ð
的角平分线交于点Q ．求
BQC
Ð
的度数．（用含a 的代数式表示）
(3)如图3，点M ，N 分别为AB ，AC 延长线上的一点，点P ，Q 分别在ABC
V
内部和外部，且满足
ABC
n PBC
Ð
= Ð
，
ACB
n PCB
Ð
= Ð
，
MBC
n QBC
Ð
= Ð
，
NCB
n QCB
Ð
= Ð
．分别求
BPC
Ð
，
BQC
Ð
的度
数．（用含a 、n 的代数式表示）
【答案】(1)①125；②
1
90
2a
°+
(2)
1
90
2a
°-
(3)
1 180
n
BPC
n
a
-
°+
Ð
=
；
1 180
n
BQC
n
a
-
°-
Ð
=
【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行解答即可；
（2）根据外角的性质、角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行解答即可；
（3）根据外角的性质和三角形的内角和定理，进行解答即可．
【详解】（1）解：①Q BP 平分
ABC
Ð
，CP 平分
ACB
Ð
，
\
1
2
PBC
ABC
Ð
=
Ð
，
1
2
PCB
ACB
Ð
=
Ð
，
\
1
1
180
(
)
180
(
18
1
1
1
)
90
2
0
(180
)
18
2
0
( 80
)
2
2
PBC
PCB
A
C
B
ACB
BP
C
A
a
a
Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
Ð
=
°-
°-
°-
°- Ð
=
°-
°+
°-
=
，
\当
70
a =
°时，
1
90
70
125
2
BPC
°+
´
° =
°
Ð
=
；
②由①可知，
1
90
2
BPC
a
Ð
=
°+
．
（2）解：
MBC
A
ACB
Ð
= Ð + Ð
Q
，Ð
= Ð + Ð
NCB
A
ABC ，
2
180
MBC
NCB
A
ABC
ACB
a
\Ð
+ Ð
= Ð + Ð
+ Ð
=
°+
．
Q点Q 是ABC
V
的外角
MBC
Ð
，
NCB
Ð
的角平分线的交点，
1
2
QBC
MBC
\Ð
=
Ð
，
1
2
QCB
NCB
Ð
=
Ð
，
1
1
1
(180
)
90
2
2
2
(
)
QBC
QCB
MBC
NCB
a
a
\Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
°+
=
°+
，
1
1
180
180
90
(
)
90
2
2
BQC
QBC
QCB
a
a
æ
ö
\Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
°+
=
°-
ç
÷
è
ø
．
（3）解：
180
A
ABC
ACB
Ð + Ð
+ Ð
°
=
Q
，
180
180
ABC
ACB
A
a
\Ð
+ Ð
=
°- Ð
=
°-
．
ABC
n PBC
Ð
= Ð
Q
，
ACB
n PCB
Ð
= Ð
，
1
1
(
)
80
PBC
PCB
ABC
ACB
n
n
a
°-
\Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
，
1 180
18
(
)
0
n
BPC
PBC
PCB
n
a
-
°+
\Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
．
由（2）可知，
=180
MBC
NCB
a
Ð
+ Ð
°+
．
MBC
n QBC
Ð
= Ð
Q
，
NCB
n QCB
Ð
= Ð
，
(
)
1
180
QBC
QCB
MBC
NCB
n
n
a
°+
\Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
，
1 180
18
(
)
0
n
BQC
QBC
QCB
n
a
-
°-
\Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
．
14．探究以下问题：
(1)探究一：如图（a），BD 平分
ABC
Ð
，CD平分
ACB
Ð
，请确定
A
Ð 与
D
Ð
的数量关系，并说明理由；
(2)探究二：如图（b），BE 平分
ABC
Ð
，CE 平分
ACM
Ð
，请确定
A
Ð 与
E
Ð
的数量关系________________；
(3)探究三：如图（c），BF 平分
CBP
Ð
，CF 平分
BCQ
Ð
，请确定
A
Ð 与
F
Ð
的数量关系________________；
解决问题：
(4)如图（d），在ABC
V
中，
56
A
Ð
=
°，BD ，CD分别平分
ABC
Ð
，ACB
Ð
，M，N，Q 分别在DB，DC ，BC
的延长线上，BE ，CE 分别平分
MBC
Ð
，
BCN
Ð
，BF ，CF 分别平分
EBC
Ð
，
ECQ
Ð
，则
F
Ð
= ________．
【答案】(1)
1
90
2
D
A
Ð
=
° +
Ð ，
理由：∵BD 平分
ABC
Ð
，CD平分
ACB
Ð
，
∴设
DBC
DBA
a
Ð
= Ð
=
，
DCB
DCA
b
Ð
= Ð
=
，
∴
180
D
a
b
Ð
=
°-
+
，
180
2
A
a
b
Ð
=
°-
+
，
∴
180
D
a
b
+
=
°- Ð
，
1
90
2
A
a
b
+
=
° -
Ð ，
∴
1
180
90
2
D
A
° - Ð
=
° -
Ð ，
∴
1
90
2
D
A
Ð
=
° +
Ð ．
(2)
1
2
Ð
=
Ð
E
A
(3)
1
90
2
F
A
Ð
=
°-
Ð
(4)15 5. °
【分析】
（1）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形内角和定理推出
D
Ð
和
A
Ð
与α，β 之间的关系，等量代换得到最终答案；
（2）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出
A
Ð 和
E
Ð
与α，
β 之间的关系，等量代换得到最终答案；
（3）据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出
A
Ð 和
F
Ð
与α，β
之间的关系，等量代换得到最终答案；
（4）根据（1）（2）（3）中的结论求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵BE 平分
ABC
Ð
，CE 平分
ACM
Ð
，
∴设
ABE
CBE
a
Ð
= Ð
=
，
ACE
MCE
b
Ð
= Ð
=
，
由三角形外角的性质可得：2
2
A
b
a
= Ð +
，
E
b
a
= Ð
+
，
∴
2
2
A
b
a
Ð =
-
，
b
a
Ð
=
-
E
，
∴
1
2
Ð
=
Ð
E
A．
（3）解：∵BF 平分
CBP
Ð
，CF 平分
BCQ
Ð
，
∴设
PBF
CBF
a
Ð
= Ð
=
，
QCF
BCF
b
Ð
= Ð
=
，
由三角形外角的性质可得：2
2
180
A
ACB
A
ABC
A
a
b
+
= Ð + Ð
+ Ð + Ð
=
° + Ð ，
180
F
a
b
+
=
° - Ð
，
∴
1
90
2
A
a
b
+
=
° +
Ð ，
∴
1
90
180
2
A
F
° +
Ð
=
° - Ð
，
∴
1
90
2
F
A
Ð
=
°-
Ð ．
（4）解：由（1）（2）（3）的结论可得：
1
90
118
2
D
A
Ð
=
° +
Ð
=
° ，
∴
1
90
31
2
E
D
Ð
=
° -
Ð
=
° ，
∴
1
15.5
2
F
E
Ð
=
Ð
=
° ．
15．【初步认识】
(1)如图1，在ABC
V
中，BP 平分
ABC
Ð
，CP 平分
ACB
Ð
，若
70
A
Ð
=
°，则
ABC
ACB
Ð
+ Ð
=_____；
BPC
Ð
= _____；
【继续探索】
(2)如图2，
ABE
Ð
，
ACE
Ð
的平分线BF ，CF 相交于点F ，若
70
A
Ð
=
°，
130
BEC
Ð
=
° ，求
BFC
Ð
的度数；
【拓展应用】
(3)如图3，在ABC
V
中，BP 平分
ABC
Ð
，CP 平分
ACB
Ð
，BN 平分外角
EBC
Ð
，CN 平分外角
FCB
Ð
，延
长BP ，NC 交于点M ．在BMN
V
中，有一个内角为30°，直接写出
A
Ð 的度数．
【答案】(1)110°，125°；
(2)100°；
(3)60°或120°．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出
110
ABC
ACB
Ð
+ Ð
=
°，根据角平分线的定义得到
55
PBC
PCB
Ð
+ Ð
=
°，根据三角形内角和定理可知
125
BPC
Ð
=
° ；
（2）根据三角形内角和定理求出
180
50
EBC
ECB
BEC
°
Ð
+ Ð
=
°- Ð
=
，进而求出
180
60
EBA
ECA
EBC
ECB
A
Ð
+ Ð
=
°- Ð
+ Ð
- Ð
=
° ，根据角平分线的定义得到
1
30
2
EBF
ECF
EBA
ECA
Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
° ，根据三角形内角和定理计算即可；
（3）根据角平分线的定义求出
90
MBN
Ð
=
° ，可知30°只能是
M
Ð
或
BNM
Ð
，根据三角形外角的性质得到
180
EBC
FCB
A
Ð
+ Ð
=
°+ Ð ，根据角平分线的定义求出
1
90
2
NBC
NCB
A
Ð
+ Ð
=
°+
Ð ，根据三角形内角和定理
求出
1
90
2
BNM
A
Ð
Ð
-
°
=
，则
1
2
M
A
Ð
=
Ð ，分情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵
70
A
Ð
=
°，
∴
180
180
70
110
ABC
ACB
A
Ð
+ Ð
=
°- Ð
=
°-
° =
° ，
∵BP 平分
ABC
Ð
，CP 平分
ACB
Ð
，
∴
1 (
)
55
2
PBC
PCB
ABC
ACB
Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
°，
∴
180
125
BPC
PBC
PCB
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
° ；
（2）解：如图，连接BC ，
∵
130
BEC
Ð
=
° ，
∴
180
50
EBC
ECB
BEC
°
Ð
+ Ð
=
°- Ð
=
，
∵
70
A
Ð
=
°，
∴
180
60
EBA
ECA
EBC
ECB
A
Ð
+ Ð
=
°- Ð
+ Ð
- Ð
=
° ，
∵
ABE
Ð
，
ACE
Ð
的平分线BF ，CF 相交于点F ，
∴
1
30
2
EBF
ECF
EBA
ECA
Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
180
100
BFC
EBC
ECB
EBF
ECF
Ð
=
°- Ð
+ Ð
- Ð
+ Ð
=
°；
（3）解：∵BP 平分
ABC
Ð
，BN 平分外角
EBC
Ð
，
180
ABC
EBC
Ð
Ð
+
=
°，
∴
1
1
90
2
2
PBN
ABC
EBC
Ð
°
=
Ð
+
Ð
=
，即
90
MBN
Ð
=
° ，
因此30°只能是
M
Ð
或
BNM
Ð
．
根据三角形外角的性质得到
180
EBC
A
ACB
A
ABC
A
FCB
Ð
+
Ð + Ð
Ð
=
+ Ð + Ð
=
°+ Ð ，
∵BN 平分外角
EBC
Ð
，CN 平分外角
FCB
Ð
，
∴
1
90
2
NBC
NCB
A
Ð
+ Ð
=
°+
Ð ，
∴
1
180
90
2
BNC
NBC
NCB
A
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
Ð ，即
1
90
2
BNM
A
Ð
Ð
-
°
=
，
∴
1
180
2
M
MBN
BNM
A
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
Ð ，
分情况讨论：
若
30
M
Ð
=
°，则1
30
2
A
Ð
=
° ，解得
60
A
Ð
=
°；
若
30
BNM
Ð
=
°，则
1
90
30
2
A
° -
Ð
=
° ，解得
120
A
Ð
=
°；
综上所述，
A
Ð 的度数为60°或120°．
