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第二十八章 旋转
一、图形的旋转
1. 旋转定义
在平面内，将一个图形绕着一个定点按照某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转。
• 定点：旋转中心
• 转动角度：旋转角
• 旋转方向：顺时针、逆时针
2. 旋转三要素（缺一不可）
旋转中心、旋转方向、旋转角度
3. 旋转的基本性质
1. 旋转前、后的两个图形全等，图形形状、大小完全不变，仅位置改变；
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2. 对应点到旋转中心的距离相等；
3. 任意一组对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；
4. 对应线段相等，对应角相等。
4. 旋转作图步骤
① 确定旋转中心、旋转方向、旋转角度；
② 找出原图形所有关键顶点；
③ 依次作出每个关键点绕中心旋转后的对应点；
④ 按照原图顺序顺次连接各对应点，得到旋转后的图形。
二、中心对称
1. 中心对称（两个图形）
定义：把一个图形绕着某一点旋转 180∘，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这
个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
2. 中心对称的性质
1. 成中心对称的两个图形全等；
2. 对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分；
3. 对应线段平行（或共线）且相等。
3. 中心对称图形（单个图形自身属性）
定义：一个图形绕自身中心点旋转 180∘ 后，能和原来的图形互相重合，这个图形叫做中心对称图形。
常见中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、正偶数边形
不是：等边三角形、等腰梯形、正五边形
4. 中心对称 vs 中心对称图形区别
1. 中心对称：描述两个图形之间的位置关系；
2. 中心对称图形：描述一个图形自身具备的特征。
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三、平面直角坐标系中点绕原点旋转规律
设点坐标 𝑃(𝑥, 𝑦)，绕坐标原点旋转：
1. 逆时针旋转 90∘：𝑃1(−𝑦, 𝑥)
2. 顺时针旋转 90∘：𝑃2(𝑦, −𝑥)
3. 旋转 180∘（顺、逆时针结果一致）：𝑃3(−𝑥, −𝑦)
四、旋转经典几何模型（大题高频考点）
1. 手拉手全等模型
适用：共顶点的两条相等线段（等边三角形、等腰直角三角形、正方形）
核心：将其中一个图形绕公共顶点旋转，构造出一对全等三角形，实现边角转移。
2. 正方形半角模型
正方形内部含 45∘ 角，通过旋转将分散两条线段拼接，证明线段和差等式。
3. 构造旋转解题通用思路
题目出现：邻边相等的图形（等边△、等腰Rt△、正方形）、线段求和求最值、分散边角条件
解题技巧：利用旋转把分散的边、角集中到同一个三角形中，结合勾股定理、全等求解。
易错点1 利用旋转的性质求解
易错提醒
易错点总结
1. 不会找准旋转角，误把任意夹角当成旋转角，导致角度计算全部错误。
2. 忽略旋转前后对应点到中心距离相等，不会构造等腰三角形求边长、角度。
3. 误以为旋转改变图形大小，忘记旋转属于全等变换，边长、角度不变。
4. 多角叠加题型，漏找隐藏的等角、余角、补角，角度推导不完整。
注意事项总结
1. 旋转角唯一找法：对应点与旋转中心连线的夹角，全部相等。
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2. 看到旋转立刻锁定三性质：边相等、角相等、旋转角相等。
3. 旋转一定全等，只求位置变化，不求大小变化。
4. 求角度优先找：公共角、旋转角、等角替换，不要盲目目测。
【对点训练】1．如图，将ABC
绕点C 顺时针旋转90得到
EDC
△
．若点A，D ，E 在同一条直线上，且
20
ACB
=
，求
CAE
及
EDC
的度数．
【答案】
45
CAE
=
，
115
EDC
=
【分析】根据旋转的性质可得CA
CE
=
，
90
ACE
=
，
20
ECD
ACB
=
=
，然后根据等边对等角和三
角形内角和定理求解即可．．
【详解】解：根据旋转的性质可知CA
CE
=
，
90
ACE
=
，
20
ECD
ACB
=
=
，
所以
180
90
45
2
CAE
E
−
=
=
=
，
所以
180
115
EDC
E
ECD
=
−−
=
．
易错点2 利用旋转的性质证明
易错提醒
易错点总结
1. 证明全等时条件写不全，只写一组边相等，遗漏旋转角相等关键条件。
2. 手拉手模型不会用，看不出旋转产生的 SAS 全等，卡题、不会推导。
3. 证明线段相等、垂直、共线时跳步，逻辑不严谨扣分。
4. 混淆旋转前后对应边、对应角，对应关系错乱导致证明错误。
注意事项总结
1. 旋转证明万能套路：找共顶点等线段 → 找旋转角相等 → 证 SAS 全等。
2. 所有旋转证明必须写明：由旋转得 对应角相等，对应边相等。
3. 手拉手模型必考：共顶点双等腰必出一对全等三角形。
4. 严格找准对应顶点，不随意调换边角顺序。
【对点训练】2．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，AD为斜边上的高，点E、F 分别在AB
AC
、
上，AED
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经过旋转到了
CDF
△
的位置．
(1) BED
和AFD
之间可以看成是经过怎样的变换得到的？
(2) AD与EF 相交于点G，试判断
AED
∠
与
AGF
的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)可看成BED
绕点D 顺时针旋转90得到AFD
(2)解：
AED
AGF
=
，理由如下：
∵
90
FDE
DF
DE
=
=
，
，
∴
DFE
△
是等腰直角三角形，
∴
45
DEG =
∠
．
∵AD是斜边BC 上的高，
∴
45
CAD
DAB
=
=
，
∴
DEG
GAE
=
．
∵
AGF
是AGE
的外角，
∴
AGF
GAE
GEA
=
+
．
∵
AGF
GAE
GEA
DEG
GAE
DEG
AEG
AED
=
+
=
+
=
，
，
，
∴
AED
AGF
=
．
【分析】（1）证明
90
FDE
AFD
BED
=
，
≌
，即可得到结论；
（2）证明
AGF
GAE
GEA
DEG
GAE
DEG
AEG
AED
=
+
=
+
=
，
，
， 即可得到结论．
【详解】（1）解：可看成BED
绕点D 顺时针旋转90得到AFD
．
理由如下： ∵AED
经过旋转到了
CDF
△
的位置，
∴DF
DE
=
，
CDF
ADE
AD
CD
=
=
，
．
∵AD为斜边上的高，
∴
90
ADB
CD
BD
=
=
，
，
∴AD
BD
=
∵
90
CDF
FDA
ADE
BDE
CDF
ADE
+
=
=
+
=
，
，
∴
FDA
BDE
=
，
∴．
90
FDE
ADB
=
=
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∵DF
DE
FDA
BDE
AD
BD
=
=
=
，
，
，
∴
(
)
SAS
AFD
BED
△
≌△
．
∵
90
FDE
AFD
BED
=
，
≌
，
∴BED
绕点D 顺时针旋转90得到AFD
．
（2）略
易错点3 中心对称与坐标系中点的坐标问题
易错提醒
易错点总结
1. 混淆90∘、180∘旋转坐标公式，正负号写反，坐标直接算错。
2. 把中心对称（180∘旋转）和轴对称坐标弄混，公式乱用。
3. 题目绕非原点旋转，仍套用原点公式，导致全盘错误。
4. 判断中心对称图形、轴对称图形判断错误，概念混淆。
注意事项总结
1. 原点旋转口诀牢牢背熟：
①逆时针90：(-y,x)
②顺时针90∘：(y,-x)
③旋转180∘：(-x,-y)
2. 非原点旋转不能套公式，必须画图平移推导。
3. 中心对称：旋转180∘重合；轴对称：翻折重合，完全不同。
4. 做题先看清：顺时针还是逆时针，避免方向看反。
【对点训练】3．如图，在边长为1 的正方形网格中，ABC
的顶点均在格点上
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(1)画出把ABC
向下平移4 个单位长度后得到的
1
1
1
A B C
△
（A、B、C 的对应点分别为
1A 、
1
B 、
1
C ）
(2)画出ABC
关于原点O 成中心对称的
2
2
2
A B C
△
（A、B、C 的对应点分别为
2
A 、
2
B 、
2
C ）
(3)画出ABC
绕点A 逆时针旋转90后得到的
3
3
AB C
（A、B、C 的对应点分别为A、
3
B 、
3
C ）
【答案】(1)解：如图，
1
1
1
A B C
△
即为所求；
(2)解：如图，
2
2
2
A B C
△
即为所求；
(3)如图，
3
3
AB C
即为所求．
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【分析】（1）根据平移性质得到对应点的位置，再顺次连接可得图形；
（2）根据中心对称性质得到对应点的位置，再顺次连接可得图形；
（3）根据旋转性质和网格特点得到对应点的位置，再顺次连接可得图形．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
易错点4 旋转中的规律问题
易错提醒
易错点总结
1. 不会找旋转周期，不知道正方形、三角形旋转周期规律。
2. 求第 n 次旋转位置，直接硬算，不会用余数法快速判断。
3. 周期判断错误：把周期 4 当成周期 2，导致所有规律答案错位。
4. 落点坐标、运动路程、扫过面积规律不会推导。
注意事项总结
1. 常见固定周期：
①90∘ 旋转图形：周期 4
②120∘ 旋转图形：周期 3
③180∘ 旋转图形：周期 2
2. 第 n 次位置万能法：n÷周期，看余数定位置。
3. 余数为 0 代表回到周期最后一个位置。
4. 规律题必须先写出前 3–4 次位置，确认周期再计算。
【对点训练】4．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角OAB
位置如图，
90
OBA
=
，点B 的坐标为(
)
1,0 ，
每一次将OAB
绕点O 逆时针旋转90，同时每边扩大为原来的2 倍，第一次旋转得到
1
1
OA B
，第二次旋转
得到
2
2
OA B
△
，…，以此类推，则点
2022
A
的坐标是（ ）
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A．(
)
2022
2022
2
,2
B．(
)
2021
2021
2
,2
−
C．(
)
2021
2021
2
,2
D．(
)
2022
2022
2
, 2
−
−
【答案】D
【分析】AOB
是等腰直角三角形，
1
OB = ，根据等腰直角三角形的性质，可得点(
)
1,1
A
逆时针旋转90后
可得
1( 2,2)
A −
，同理
2( 4,
4)
A
，依次类推可求得，
3(8,
8)
A
，
4(16,16)
A
，这些点所位于的象限为每4 次一循
环，根据规律即可求出
2022
A
的坐标．
【详解】解：∵OAB
是等腰直角三角形，点B 的坐标为(
)
1,0 ，
∴
1
AB
OB
=
= ，
∴A 点坐标为(
)
1,1 ，
将OAB
绕原点O逆时针旋转90得到等腰直角三角形
1
1
OAB ，且
1
1
2
A B
AB
=
，
再将
1
1
OA B
绕原点O逆时针旋转90得到等腰直角三角形
2
2
OA B ，且
2
2
1
1
2
A B
A B
=
，
依此规律，
∴点A 旋转后的点所位于的象限为每4 次一循环，
即
1( 2,2)
A −
，
2( 4,
4)
A
，
3(8,
8)
A
，
4(16,16)
A
．
∵2022
505 4
2
=
+
，
∴点
2022
A
与
2
A 同在一个象限内．
∵
2
4
2
−= −
，
3
8
2
=
，
4
16
2
=
，
∴点
2022
2022
2022(
)
2
2
A
−
−
，
．
易错点5 旋转与几何综合应用
易错提醒
易错点总结
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1. 不会利用旋转转移线段、转移角度，条件分散无法解题。
2. 旋转后出现直角三角形、等腰三角形，不会结合勾股定理求边长。
3. 半角模型、手拉手模型看不出旋转结构，完全卡题。
4. 求旋转扫过面积时，分不清扇形半径、圆心角，面积公式代入错误。
5. 多解问题不分类讨论旋转方向（顺/逆时针），漏解扣分。
注意事项总结
1. 综合题看见共顶点等边、等腰、正方形，优先考虑旋转构造全等。
2. 旋转核心思想：把分散边角集中到一个三角形中。
3 扫过面积 = 扇形面积，严格找准：圆心角 = 旋转角、半径 = 旋转中心到顶点距离。
4. 无图旋转题一定要讨论：顺时针、逆时针两种情况，防止漏解。
5. 旋转综合必结合：全等、勾股、扇形面积、等腰三角形性质。
【对点训练】5．在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：如图①，在ABC
中，
90
BAC
=
，AB
AC
=
，点D ，E 在边BC 上，且
45
DAE
=
，
3
BD =
，
4
CE =
，求DE 的长．
解：如图②，将ABD
绕点A逆时针旋转90得到
ACD
△
，连接ED．
(1)【问题解决】将上述解题过程补充完整．
(2)刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能
以不变应万变．
【知识迁移】如图③，在正方形ABCD中，点E ，F 分别在边BC ，CD上，满足CEF
的周长等于正方形
ABCD的周长的一半，连接AE ，AF ，分别与对角线BD交于M ，N 两点．探究BM ，MN ，DN 的数量
关系并证明．
(3)【拓展应用】如图④，在矩形ABCD中，点E ，F 分别在边BC ，CD上，且
45
EAF
CEF
=
=
．探
究BE，EF ，DF 的数量关系：（直接写出结论，不必证明）．
【答案】(1)解：如图②，将ABD
绕点A逆时针旋转90得到
ACD
△
，连接ED．
由旋转的特征得
BAD
CAD
=
，
B
ACD
=
，AD
AD
=
，BD
CD
=
．
90
BAC
=
，
45
DAE
=
，
45
BAD
EAC
+
=
．
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BAD
CAD
=
，
45
CAD
EAC
+
=
，即
45
EAD
=
，
DAE
DAE
=
．
在DAE
和
DAE
△
中，
AD
AD
DAE
D AE
AE
AE
=
=
=
(
)
SAS
ADE
AD E
≌
，
DE
D E
=
．
又
90
ECD
ECA
ACD
ECA
B
=
+
=
+=
，
在Rt
ECD
△
中，
2
2
2
EC
CD
ED
=
+
．
3
CD
BD
=
=
，
4
CE =
，
2
2
5
DE
D E
CD
CE
=
=
+
=
；
(2)
2
2
2
DN
BM
MN
+
=
；
证明：如图③，将ABE
绕点A逆时针旋转90，得到ADF
，过点D 作DH
BD
⊥
交AF于H ，连接NH ，
由旋转的性质可得AE
AF
=
，BE
DF
=
，
BAE
DAF
=
，
由题意可得EF
EC
FC
DC
BC
DF
FC
EC
BE
+
+
=
+
=
+
+
+
，
EF
DF
BE
DF
DF
FF
=
+
=
+
=
．
在AEF
和
AFF 中，
EF
F F
AE
AF
AF
AF
=
=
=
，
(
)
SSS
AEF
AF F
≌
，
EAF
FAF
=
．
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BD
为正方形ABCD的对角线，
45
ABD
ADB
=
=
．
DH
BD
⊥
，
45
ADH
HDB
ADB
=
−
=
．
在ABM
和ADH
中，
BAM
DAH
AB
AD
ABM
ADH
=
=
=
，
(
)
ASA
ABM
ADH
≌
，
AM
AH
=
，BM
DH
=
．
在AMN
和AHN
中，
AM
AH
MAN
HAN
AN
AN
=
=
=
，
(
)
SAS
AMN
AHN
≌
，
MN
HN
\
=
．
在Rt
HND
△
中，由勾股定理得
2
2
2
DN
BM
MN
+
=
，
2
2
2
DN
BM
MN
+
=
；
(3)
2
2
2
2
2
EF
BE
DF
=
+
；
【分析】（1）由旋转的性质可得
BAD
CAD
B
ACD
AD
AD
BD
CD
=
=
=
=
，
，
，
，进而证明
(
)
SAS
ADE
AD E
≌
可得DE
DE
=
，再说明
90
ECD
=
、
3
4
CD
BD
CE
=
=
=
，
，再运用勾股定理即可解
答；
（2）由旋转的性质以及题意可得EF
DF
BE
DF
DF
FF
=
+
=
+
=
，再证明
(
)
'
SSS
AEF
AF F
≌
可得
EAF
FAF
=
，再结合正方形的性质可证
(
)
ASA
ABM
ADH
≌
得AM
AH
BM
DH
=
=
、
，易证
(
)
SAS
AMN
AHN
≌
可得MN
HN
=
，最后在Rt
HND
△
中运用勾股定理即可解答；
（3）如图4 所示，延长EF 交AB 延长线于M 点，交AD延长线于N 点，将ADF
绕着点A 顺时针旋转90
得到AGH
，连接HM
HE
，
．过点H 作HO ⊥直线BC 于点O，则ADF
AGH
≌
可得DF
HG
AD
AG
=
=
、
，
再说明
BEM
△
是等腰直角三角形，即BE
BM
=
；由（2）知
AEH
AEF
≌
△
△
，则AH
AF
EH
EF
=
=
、
；再
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根据勾股定理可得(
)
(
)
2
2
2
GH
BE
BM
GM
EH
+
+
−
=
，最后运用等量代换即可证明结论．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：
2
2
2
2
2
EF
BE
DF
=
+
；
如图④，延长FE交AB 延长线于M ，交AD延长线于N ，将ADF
绕点A顺时针旋转90得到AGH
，连
接HM 、HE ，作HO
BC
⊥
交CB 延长线于点O，
ADF
AGH
△
≌△
，
DF
HG
=
，AD
AG
=
．
∵
45
CEF
BEM
=
=
，
90
MBC
=
，
BEM
为等腰直角三角形，
BE
BM
=
．
由【知识迁移】可得AEH
AEF
≌
，
AH
AF
=
，EH
EF
=
，
由勾股定理得
2
2
2
(
)
GH
BE
BG
EH
+
+
=
，
(
)
(
)
2
2
2
GH
BE
BM
GM
EH
+
+
−
=
．
EF
HE
=
，DF
GH
GM
=
=
，BE
BM
=
，
(
)
(
)
2
2
2
GH
BE
BE
GH
EF
+
+
−
=
，
(
)
2
2
2
2 DF
BE
EF
+
=
，
2
2
2
2
2
EF
BE
DF
=
+
．
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一、单选题
1．如图，在ABC
中，
90
BAC
=
，
45
B
=
，P 是BC 的中点，EP
PF
⊥
，交AB 于点E，交AC 于点F，
现给出以下四个结论：（1）AE
CF
=
；（2）EPF
是等腰直角三角形；（3）
1
2
ABC
AEPF
S
S
=
四边形
△
；（4）当
EPF
在ABC
内绕顶点P 旋转时始终有EF
AP
=
．（点E 不与A，B 重合）．上述结论中始终正确的结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】先判定ABC
为等腰直角三角形，利用斜边中线性质得到相等线段与等角，通过ASA 证明APE
与
CPF
全等，由此验证①②；借助全等三角形面积相等进行等面积转化，推导四边形AEPF 与ABC
的面
积关系验证③；结合等腰三角形性质与三角形边长关系，判断EF 与AP 长度不相等，否定④，最后统计正
确结论数量．
【详解】在△ABC 中，
90
BAC
=
，
45
B
=
，
△ABC 是等腰直角三角形，
AB
AC
=
，
P
是BC 中点，
45
B
C
BAP
CAP
=
=
=
=
，AP
PC
PB
=
=
，
90
APC
EPF
=
=
，
EPF
APF
APC
APF
−
=
−
，
APE
CPF
=
，
在△APE和△CPF 中，
45
EAP
C
AP
CP
APE
CPF
=
=
=
=
，
△APE≌△
(ASA)
CPF
，
AE
CF
=
，EP
PF
=
，
△EPF 是等腰直角三角形，故①正确；②正确；
△APE≌△CPF
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15 /
APE
CPF
S
S
=
△
△
，
1
2
AEP
APF
CPF
APF
APC
ABC
AEPF
S
S
S
S
S
S
S
=
+
=
+
=
=
四边形
，故③正确；
△ABC 是等腰直角三角形，P 是BC 的中点，
1
2
AP
BC
=
，
无法证明EF 与AP 一定相等，故④错误；
即正确的有3 个．
2．如图，等腰Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
1
AC
BC
=
= ，且AC 边在直线a 上，将ABC
绕点A顺时针旋
转到位置①可得到点
1P ，此时
1
1
2
CP = +
；将位置①的三角形绕点
1P 顺时针旋转到位置②，可得到点
2P ，
此时
2
2
2
CP =
+
；将位置②的三角形绕点
2P 顺时针旋转到位置③，可得到点
3P ，此时
3
3
2
CP =
+
…，按
此规律继续旋转，直至得到点
2015
P
为止．则
2015
CP
=（ ）
A．1342
671
+
2 B．1343 672
+
2
C．1344 672
+
2
D．1344 673
+
2
【答案】C
【分析】根据题意，由旋转的性质找出题目中长度的规律，每次加上1，
2 ，1，即每旋转3次CP 长度增
加2
2
+
，然后列出式子进行求解，即可得到答案．
【详解】解：依题意，
1
AC
BC
=
= ，
1
1
2
CP = +
；
2
2
2
CP =
+
，
3
3
2
CP =
+
，
4
3
2 2
CP =
+
，
5
4
2 2
CP =
+
，
5
4
2 2
CP =
+
，……
1
AC = ，每次加上1，2 ，1，即每旋转3次CP 长度增加2
2
+
；
∵2015
671 3 2
=
+
∴
(
)
2015
1 671
2
2
1
2
1344
672 2
CP
= +
+
+ +
=
+
．
3．如图，O 是等边ABC
内一点，
6
OA =
，
8
OB =
，
10
OC =
，将线段BO绕点B 逆时针旋转60得到线段
BO，下列结论：
①
8
OO=
；
②
150
AOB
=
；
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16 /
③
24 16 3
AOBO
S
=
+
四边形
；
④
24
25 3
AOC
COB
S
S
+
=
+
．
其中正确的结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】由题意可得BOC
BAO
≌
，BOO
是等边三角形，可得
10
AO
CO
=
=
，
8
OO=
，可判断
AOO
△
是直角三角形，可判断①②，由
AOO
BOO
AOBO
S
S
S
=
+
四边形
，
AOC
BOC
AOC
ACC
AOC
OCC
S
S
S
S
S
S
+
+
+
=
=
可
判定③④．
【详解】解：如图，连接OO，
∵将线段BO绕点B 逆时针旋转60得到线段BO，
由旋转可得BO
BO
=
，
60
OBO
=
，
BOO
是等边三角形，
8
OO
BO
=
= ，故①正确，符合题意；
60
OBO
ABC
=
=
，
ABO
CBO
¢
\ ?
?
，
OB
O B
=
，AB
BC
=
，
(
)
SAS
ABO
CBO
≌
，
10
O A
OC
=
=
，
2
2
2
2
8
6
100
OO
OA
+
=
+
=
，
2
2
10
100
O A
=
=
，
2
2
2
OO
OA
O A
+
=
，
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17 /
AOO
△
为直角三角形，
90
AOO
=
，
60
BOO
=
，
90
60
150
AOB
=
+
=
，故②正确，符合题意；
如图，过点B 作BE
OO
⊥
于点E ，
BOO
是等边三角形，
1
4
2
OE
OO
=
=
，
2
2
2
2
4
4 3
8
BE
BO
OE
=
−
=
−
=
，
∵AOO
为等边三角形，
1
1
6 8
8 4 3
24 16 3
2
2
AOO
BOO
AOBO
S
S
S
=
+
=
+
=
+
四边形
，故③正确，符合题意；
如图，将线段OC 绕点C 顺时针旋转60到CC，连接AC，OC，过点C 作CM
OC
⊥
于点M，
则CC
OC
=
，
60
C CO
=
，
∴CC O
为等边三角形，
∴
10
C O
CO
=
=
，
∵CM
OC
⊥
，
∴
1
5
2
OM
OC
=
= ，
∴
2
2
5 3
CM
CO
OM
=
−
=
，
∴
1 10 5 3
25 3
2
COC
S
=
=
，
∵
60
ACB
OCC
=
=
，
∴
ACO
BCO
ACO
ACC
+
=
+
，
∴
ACC
BCO
=
，
∵AC
BC
=
，CC
CO
=
，
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18 /
∴
(
)
SAS
BOC
AC C
≌
，
∴
8
AC
BO
=
= ，
∴
2
2
2
2
2
2
6
8
10
OA
AC
C O
+
=
=
=
+
，
∴AOC
是直角三角形，
90
OAC
=
．
∴
1
6 8
24
2
AOC
S
=
=
，
∴
'
'
'
24
25 3
AOC
COB
AOC
ACC
AOC
OCC
S
S
S
S
S
S
+
=
+
=
+
=
+
，故④正确，符合题意；
正确的结论有①②③④，共4 个．
4．如图，将Rt
ADE
△
绕点A 逆时针旋转一定的角度得到Rt
ABC
△
，点D 的对应点B 恰好落在CD的延长
线上，若
3cm
AE =
，
60
B
=
，则CD的长为（ ）
A．0.5cm
B．1.5cm
C．3cm
D．1cm
【答案】D
【分析】根据旋转的性质可知：
60
B
ADE
=
=
，
90
DAE
CAB
=
=
，
3cm
AE
AC
=
=
，AB
AD
=
，
由直角三角形两个锐角互余可得出
30
ACB
=
，由含30 度直角三角形的性质得出
1
2
AB
BC
=
，由勾股定理
求出
1cm
AB =
，
2cm
BC =
，由等边三角形的判定和性质得出
1cm
BD
AB
=
=
，最后由线段的和差关系即可
得出答案．
【详解】解：根据旋转的性质可知：
60
B
ADE
=
=
，
90
DAE
CAB
=
=
，
3cm
AE
AC
=
=
，AB
AD
=
，
∴
30
ACB
=
，
∴
1
2
AB
BC
=
，
∵
2
2
2
AC
AB
BC
+
=
，
∴(
)
2
2
2
3
4
AB
AB
+
=
∴
1cm
AB =
，
2cm
BC =
∵AB
AD
=
，
60
B
=
，
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19 /
∴ABD
是等边三角形，
∴
1cm
BD
AB
=
=
，
∴
2 1 1cm
CD
BC
BD
=
−
=
−=
．
二、填空题
5．如图，已知ABC
中，
150
ACB
=
，
5
AC =
，
3
BC = ，将ABC
绕点B 顺时针方向旋转60到EBD
的
位置，连接CE ，则CE 的长为_______．
【答案】34
【分析】连接CD，由旋转的性质可得BCD
是等边三角形，进而可得
CDE
△
是直角三角形，然后由勾股定
理可得CE ．
【详解】解：如图，连接CD，
由旋转的性质，得
150
A
EDB
CB
=
=
，
60
CBD
=
，
5
DE
AC
=
=
，BD
BC
=
，
BCD
是等边三角形，
60
CDB
=
，
3
CD
BC
=
= ，
150
60
90
CDB
CDE
EDB
=
−
=
=
−
，
CDE
为直角三角形，
2
2
2
2
3
5
34
CE
CD
DE
=
+
=
+
=
．
6．如图，在平面直角坐标系中，将ABO
绕点A顺时针旋转到
1
1
AB C
△
的位置，点B 、O分别落在点
1
B 、
1
C
处，点
1
B 在x 轴上，再将
1
1
AB C
△
绕点
1
B 顺时针旋转到
1
1
2
ABC
的位置，点
2
C 在x 轴上，将
1
1
2
ABC
绕点
2
C 顺
时针旋转到
2
2
2
A B C
△
的位置，点
2
A 在x 轴上，依次进行下去．若点
3 ,0
2
A
，
(
)
0,2
B
，则点
2016
B
的坐标
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20 /
为______．
【答案】(
)
6048,2
【分析】先根据点A、B 的坐标，用勾股定理计算AB 的长度，得到ABO
的三边长度．分析每次旋转后x 轴
上对应点的横坐标变化规律，明确每完成三次旋转（对应得到偶数下标B 点）时，横坐标的增量为ABO
的
周长；找到偶数下标B 点的纵坐标规律，再结合下标2016是偶数的特点，推导其横坐标和纵坐标．
【详解】解：∵
3 ,0
2
A
，
(
)
0,2
B
，
∴
3
2
OA =
，
2
OB =
，且
90
AOB
=
；
∴
2
2
2
2
3
5
2
2
2
AB
OA
OB
=
+
=
+
=
．
∴每完成3次连续旋转、得到下标为偶数的点
2
B 时，三角形的总水平前进距离为：
3
5
2
6
2
2
OA
AB
OB
+
+
=
+
+
=
，
同时
2
B 的纵坐标等于原OB 的长度2 （垂直于x 轴），
即
2
B 坐标为(
)
6,2 ．
以此类推，
经过2 组完整的三次旋转、得到
4
B 时，总水平前进距离为6 2
12
=
，
4
B 坐标为(
)
12,2 ．
∴可总结规律：下标为偶数的点
2n
B ，纵坐标恒为2 ，横坐标为6n ．
∴ 对于
2016
B
，对应2
2016
n =
，即
1008
n =
，
∴横坐标为6 1008
6048
=
，纵坐标为2 ，
∴点
2016
B
的坐标为(
)
6048,2 ．
7．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
BAC
=
，将ABC
绕点A顺时针旋转得到ADE
，当点E 落在边BC 上时，
2
CE =
，
3
BE =
，此时四边形ADEC 的面积为________．
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21 /
【答案】7
【分析】过点A作AH
BC
⊥
于点H ，利用旋转性质得AC
AE
=
，由等腰三角形三线合一求出CH 和BH 的
长度，设AH
h
=
，分别表示出
2
AC 和
2
AB ，在Rt ABC
中利用勾股定理列方程求出高AH ，接着算出ABC
和AEC
的面积，最后根据旋转前后三角形面积相等得ADE
的面积，用ADE
的面积加上AEC
的面积即
可得到四边形ADEC 的面积．
【详解】解：如图，过点A作AH
BC
⊥
于点H ，
由旋转得AC
AE
=
，
∴
1
1
2
EH
CH
CE
=
=
= ，
∴
4
BH
BE
EH
=
+
=
，
∵
2
CE =
，
3
BE =
，
∴
5
BC
CE
BE
=
+
=
，
设AH
h
=
，
在Rt ACH
中，
2
2
2
2
2
2
1
1
AC
AH
CH
h
h
=
+
=
+
=
+ ，
在Rt ABH
中，
2
2
2
2
2
2
4
16
AB
AH
BH
h
h
=
+
=
+
=
+
，
在Rt ABC
中，
2
2
2
2
5
25
AC
AB
BC
+
=
=
=
，
∴(
) (
)
2
2
1
16
25
h
h
+
+
+
=
，
解得
2
h =
，即
2
AH =
，
∴
1
1
5 2
5
2
2
ABC
S
BC AH
=
=
=
，
1
1
2 2
2
2
2
AEC
S
CE AH
=
=
=
，
由旋转得
5
ADE
ABC
S
S
=
=
，
∴
5
2
7
ADE
AEC
ADEC
S
S
S
=
+
=
+
=
四边形
．
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22 /
8．如图，D 为等边三角形ABC 内的一点，
5
DA = ，
4
DB = ，
3
DC =
，将线段AD以点A为旋转中心逆时
针旋转60得到线段AD．下列结论：①
ACD
△
可以由ABD
绕点A逆时针旋转60得到；②
150
ADC
=
；
③点D到C D
的距离为3；④直线BD与直线CD相交所形成的锐角是60；⑤
25
6
3
4
ADCD
S
=
+
四边形
．其
中正确的是________（只填序号）．
【答案】
①③④⑤
【分析】根据等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：
ABC
是等边三角形，
AB
AC
=
，
60
BAC
=
，
60
BAD
DAC
+
=
，
由旋转可知
60
DAD
=
，AD
AD
=
，
60
DAC
D AC
+
=
，
BAD
D AC
=
，
在ACD
和ABD
中，
AB
AC
BAD
D AC
AD
AD
=
=
=
，
ACD
ABD
≌
，
ACD
可以由ABD
绕点A逆时针旋转60得到，
故①正确；
如下图所示，连接DD，
ACD
ABD
≌
，
4
D C
BD
=
=
，
由旋转可知
5
AD
AD
=
= ，
60
DAD
=
，
ADD
是等边三角形，
5
DD
= ，
60
ADD
=
，
2
2
2
3
4
5
+
=
，
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2
2
'2
DC
D C
DD
+
=
，
DD C
是直角三角形，
90
DCD
=
，
90
D DC
，
150
ADC
ADD
D DC
=
+
，
故②错误；
DD C
是直角三角形，
90
DCD
=
，
点D 到C D
的距离为
3
DC =
，
故③正确；
如下图所示，延长BD交D C
于点H ，
ACD
ABD
≌
，
ABD
ACD
=
，
120
ABD
CBD
ACB
ACD
CBD
ACB
+
+
=
+
+
=
，
60
BHC
=
，
故④正确；
ADD
是等边三角形，
5
AD = ，
25 3
4
ADD
S
=
，
3
CD
= ，
4
CD=
，
90
DCD
=
，
1
3 4
6
2
DCD
S
=
=
，
25
6
3
4
ADD
DCD
ADCD
S
S
S
=
+
=
+
四边形
，
故⑤正确；
综上所述，结论正确的有①③④⑤．
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24 /
三、解答题
9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点O为坐标原点，ABC
中三个顶点的坐标为
(
)
3,4
A
，(
)
1,1
B
，(
)
0,3
C
．
(1)请画出与ABC
关于原点O成中心对称的图形
1
1
1
A B C
△
（A，B ，C 的对应点分别为
1A ，
1
B ，
1
C ）；
(2)将ABC
以点O为旋转中心顺时针旋转90得到的图形为
2
2
2
A B C
△
（A，B ，C 的对应点分别为
2
A ，
2
B ，
2
C ），请画出
2
2
2
A B C
△
，并写出
2
C 的坐标．
【答案】(1)
1
1
1
A B C
△
如图所示：
(2)
2
2
2
A B C
△
如图所示：
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2
C 坐标：(
)
3,0 ．
【分析】（1）利用关于原点中心对称的点坐标变换规则，横、纵坐标均取相反数，描点连线画出
1
1
1
A BC
．
（2）利用坐标绕原点顺时针旋转90的变换规则(
)
(
)
,
,
x y
y
x
→
−
描点连线画出
2
2
2
A B C
，进而求出
2
C 坐标．
【详解】（1）略
（2）解：画出
2
2
2
A B C
△
略，
2
C 坐标：(
)
3,0 ．
10．【特例感知】
(1)如图1，在
ABC
△
中，
90
ACB
=
，将
ABC
△
绕点A 顺时针旋转得到
ADE
△
，且满足点A、C、D 三点
共线，延长BC 交DE 于点F，连接AF ．求证：
BFA
EFA
=
；
【类比迁移】
(2)如图2，在
ABC
△
中，
90
CAB
=
，将
ABC
△
绕点A 顺时针旋转得到
ADE
△
，旋转角为α，当90
180
时，延长BC 与DE 交于点F，连接AF ．请猜想
BFA
与
EFA
具有怎样的数量关系？并说明理由；
【拓展提升】
(3)如图3，在
ABC
△
中，
30
B
=
，将
ABC
△
绕点A 顺时针旋转90得到
ADE
△
，延长BC 分别与AD、DE
交于M、N 两点，连接AN ．请问MN
AN 的值是否为定值？若是，请求出MN
AN 的值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)证明：根据旋转可知：
90
E
ACB
=
=
，AC
AE
=
，
∴
180
90
90
=
−
=
ACF
，
∴AC
CF
⊥
，AE
EF
⊥
，
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26 /
∴AF 平分
CFE
，
∴
BFA
EFA
=
；
(2)解：
BFA
EFA
=
；理由如下：
过点A 作AM
BF
⊥
于点M，AN
DE
⊥
于点N，如图2 所示：
根据旋转可知：
ABC
ADE
△
≌△
，
∴
ABC
ADE
S
S
=
△
△
，BC
DE
=
∴1
1
2
2
BC
AM
DE
AN
=
，
∴AM
AN
=
，
∵AM
BF
⊥
，AN
DE
⊥
，
∴AF 平分
BFE
，
∴
BFA
EFA
=
；
(3) MN
AN 的值为定值；3 2
6
6
−
【分析】（1）根据角平分线的判定进行解答即可；
（2）过点A作AM
BF
⊥
于点M ，AN
DE
⊥
于点N ，先证明AM
AN
=
，根据角平分线的判定得出AF 平分
BFE
，即可证明结论；
（3）过点A作AG
BN
⊥
于点G ，求出
1
45
2
ANM
ANE
BNE
=
=
=
，说明AGN
为等腰直角三角形，
得出
2
2
AN
AG
GN
=
=
，设AG
GN
x
=
=
，则
2
AN
x
=
，根据勾股定理得出(
)
2
2
2
2GM
GM
x
=
+
，求出
3
3
GM
x
=
，得出
3
3
3
3
3
MN
GN
GM
x
x
x
−
=
−
=
−
=
，即可求出结果．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：MN
AN 的值为定值；
3 2
6
6
MN
AN
−
=
；理由如下：
过点A 作AG
BN
⊥
于点G，如图3 所示：
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27 /
根据旋转可知：
ABC
ADE
△
≌△
，
90
BAD
=
，
∴
B
D
= ，
∵
DMN
AMB
=
，
∴
90
DNM
BAM
=
=
，
∴
180
90
90
BNE
=
−
=
，
根据（2）可知，
1
45
2
ANM
ANE
BNE
=
=
=
，
∵
90
AGN
=
，
∴
AGN
△
为等腰直角三角形，
∴
2
2
AN
AG
GN
=
=
，
设AG
GN
x
=
=
，则
2
AN
x
=
，
∵
30
B
=
，
90
BAM
=
，
∴
90
30
60
AMB
=
−
=
，
∴
90
60
30
MAG
=
−
=
，
∴
2
AM
GM
=
，
根据勾股定理得：
2
2
2
AM
GM
AG
=
+
，即(
)
2
2
2
2GM
GM
x
=
+
，
解得：
3
3
GM
x
=
，
∴
3
3
3
MN
GN
GM
x
−
=
−
=
，
∴
3
3
3
3
3 2
6
3
6
2
3 2
x
MN
AN
x
−
−
−
=
=
=
．
11．【初步探究】
(1)如图1，在ABC
中，
45
ABC
ACB
=
=
，在ABC
外作线段AD（点B、A、D 不在同一条直线上），
将线段AD绕点A 逆时针旋转90得到线段AE ，连接DE
EC
BD
、
、
，猜想EC 与BD之间的数量关系，并说
明理由；
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28 /
【实践应用】
(2)某校数学兴趣小组开展了几何图形探究与设计实践活动，组员们利用四边形和等边三角形的组合性质，
设计了一个几何探究图形如图2，在四边形ABCD中，
,
AC BD 是对角线，ABC
是等边三角形，小组在测
量和研究中发现
30
ADC
=
，
3
AD = ，对角线
5
BD =
，为了完整确定这个探究图形的所有边长，兴趣小组
需要求出CD的长，请你运用几何知识帮他们完成探究计算．
【答案】(1)猜想：EC
BD
=
，理由如下，
45
ABC
ACB
=
=
，
AB
AC
=
，
90
BAC
=
．
由旋转性质得
90
DAE
=
，AD
AE
=
．
90
BAC
DAE
=
=
，
BAC
CAD
DAE
CAD
+
=
+
，
即
BAD
CAE
=
．
在ABD
和
ACE
△
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
ABD
ACE
△
≌△
，
EC
BD
=
．
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29 /
(2)4
【分析】（1）证明
(
)
ABD
ACE SAS
≌
，即可得出结论；
（2）以CD为边作等边
CDE
△
，连接AE ，证明
(
)
SAS
BCD
ACE
≌
，得到
5
AE
BD
=
= ，推出ADE
为直
角三角形，勾股定理求出DE 的长即可.
【详解】（1）略
（2）解：如图，以CD为边作等边
CDE
△
，连接AE ，
ABC
是等边三角形，
AC
BC
=
，
60
ACB
=
．
CDE
△
为等边三角形，
CD
CE
=
，
60
DCE
=
．
ACB
ACD
DCE
ACD
+
=
+
，
即
BCD
ACE
=
．
在BCD
和
ACE
△
中，
,
,
,
BC
AC
BCD
ACE
CD
CE
=
=
=
(
)
SAS
BCD
ACE
≌
，
5
AE
BD
=
=
，
30
ADC
=
，
60
CDE
=
，
90
ADE
ADC
CDE
=
+
=
，
ADE
为直角三角形，其中
3
AD = ，
5
AE = ，
2
2
2
2
5
3
4
DE
AE
AD
=
−
=
−
=
，
4
CD
DE
=
=
．
12．如图，在正方形ABCD中，将边BC 绕点B 逆时针旋转至BF ，作
CBF
的平分线交对角线AC 于点E ，
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30 /
连结EF ，AF ．
(1)若
135
=
，①求证：EC
BF
；②求证：AF
DE
∥
．
(2)如图2，在（1）的条件下，连接FD，交AC 于点O，若
1
AB = ，求FO．
(3)如图3，当90
180
时，求证：
AFE
ADE
=
．
【答案】(1)①证明：
135
=
，BE平分
CBF
，
67.5
EBC
FBE
=
=
．
正方形ABCD，
45
BCE
=
，
180
67.5
BEC
EBC
BCE
=
−
−
=
，
EBC
BEC
=
，
EC
BC
=
．
BC
绕点B 旋转至BF ，
BF
BC
=
．
EC
FB
=
．
②证明：
67.5
FBE
BEC
=
=
，
FB
CE
∴
∥
，
EC
FB
=
四边形FBCE 是平行四边形．
,
EF
BC EF
BC
=
∥
，
正方形ABCD，
,
AD
BC AD
BC
=
∥
EF
AD
∥
，EF
AD
=
四边形AFED是平行四边形，
AF
DE
∥
．
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31 /
(2)
3
2
FO =
(3)证明：由正方形ABCD可知
90
ABC
=
，
90
2
EBA
=
−
，
在等腰
ABF
△
中，
90
ABF
=
−
，
180
90
135
2
2
AFB
−
+
=
=
−
．
45
BFE
BCE
=
=
，
90
2
AFE
AFB
BFE
=
−
=
−
．
正方形ABCD，
90
2
ABE
ADE
=
=
−
，
AFE
ADE
=
．
【分析】（1）①计算角度，得到
67.5
EBC
BEC
=
=
，即可解答；
②证明四边形AFED是平行四边形，即可解答；
（2）连接DB，通过平行四边形和正方形的性质，得到BC
FE
AD
=
=
，
90
FBD
=
，利用勾股定理可得
2
2
2
2
2
2
2
3
FD
FB
BD
FB
BC
FB
=
+
=
+
=
，即可解答；
（3）通过角度的计算得到
90
2
AFE
=
−
，
90
2
ABE
=
−
即可解答．
【详解】（1）①略
②略
（2）解：如图，连接DB，
四边形AFED是平行四边形，
FO
DO
=
．
正方形ABCD，
BC
FE
AD
=
=
，
45
DBC
=
，
90
FBD
FBC
DBC
=
−
=
，
2
2
2
2
2
2
2
3
FD
FB
BD
FB
BC
FB
=
+
=
+
=
，
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1
AB =
，
1
FB
BC
AB
=
=
=
2
3
FD
=
，
3
FD
=
3
2
FO
=
；
（3）略
13．将矩形ABCD绕点A顺时针旋转度（0
360
），得到矩形AEFG ．
(1)如图1，当点E 在BD上时，EF 与AD交于点M ，求证：
①EM
DM
=
；
②C 、D 、F 在同一条直线上；
(2)当CG
BG
=
时，求的大小．
【答案】(1)证明：①∵AB
AE
=
，
∴
ABE
AEB
=
，
∵四边形AEFG ，四边形ABCD都是矩形，
∴
90
BAD
EAG
=
=
，
∴
90
MDE
ABE
+
=
，
90
AEB
MED
+
=
，
∵
ABE
AEB
=
，
∴
MDE
MED
=
，
∴EM
DM
=
．
②如图，连接AF ．
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33 /
∵四边形AEFG ，四边形ABCD都是矩形，
∴BC
AD
=
，EF
AG
=
，
//
CD AB ，
由旋转的性质得：AD
AG
=
，BD
AF
=
，
∴AD
EF
=
，
∵EM
DM
=
，
∴MA
MF
=
，
∴
MAF
MFA
=
，
∵
MED
MDE
=
，
DME
AMF
=
，
∴
ADB
MAF
=
，
∴BD
AF
，
∵BD
AF
=
，
∴四边形DBAF 是平行四边形，
∴
//
DF AB，
∵
//
CD AB ，
∴C 、D 、F 在同一条直线上．
(2)60或300
【分析】（1）①欲证明EM
DM
=
，只要证明
MED
MDE
=
即可； ②连接AF ，证明四边形BDFA是平
行四边形，可得结论；
（2）当GB
GC
=
时，点G 在BC 的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据
60
DAG
=
，即可得到旋转角
的度数．
【详解】（1）略
（2）解：当GB
GC
=
时，点G 在BC 的垂直平分线上，
分两种情况讨论，
①如图，当点G 在AD右侧时，取BC 的中点H ，连接GH 交AD于点M ，
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34 /
∵GC
GB
=
，
∴GH
BC
⊥
，
∵
90
HBA
BAM
=
=
，
∴四边形ABHM 是矩形，
∴
1
1
2
2
AM
BH
AD
AG
=
=
=
，
∴GM 垂直平分AD，
∴GD
GA
DA
=
=
，
∴ADG
是等边三角形，
∴
60
DAG
=
，
∴旋转角
60
=
；
②如图，当点G 在AD左侧时，取BC 的中点H ，连接GH 交AD于点M ，
同理可得：ADG
是等边三角形，
∴
60
DAG
=
，
∴旋转角
360
60
300
=
−
=
．
综上所述，
60
=
或300．
14．【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形ABCD
是正方形，M ，N 分别在边CD，BC 上，且
45
MAN
=
，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问
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35 /
题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将
ADM
△
绕点A顺时针旋转90，点D 与点B 重合，得到ABE
，连接MN ．用等
式写出线段DM ，BN ，MN 的数量关系：________．
(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2 ，点M ，N 分别在正方形ABCD的边CD，BC
的延长线上，
45
MAN
=
，连接MN ，用等式写出线段MN ，DM ，BN 的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
120
BAD
=
，
180
B
D
+
=
，点N ，M 分别在边BC ，CD上，
60
MAN
=
，用等式写出线段BN ，DM ，MN 的数
量关系，并说明理由．
【答案】(1)MN
DM
BN
=
+
(2)解：MN
BN
DM
=
−
，理由如下：
如图1，在BC 上取BE
MD
=
，连接AE ，
,
AB
AD
B
ADM
=
=
，
(
)
SAS
ABE
ADM
≌
，
,
AE
AM
BAE
DAM
=
=
，
90
EAM
DAE
DAM
DAE
BAE
=
+
=
+
=
，
45
MAN
=
，
45
EAN
EAM
MAN
MAN
=
−
=
=
，
在EAN
和MAN
中，
AE
AM
EAN
MAN
AN
AN
=
=
=
，
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36 /
(
)
SAS
EAN
MAN
≌
，
EN
MN
=
，
EN
BN
BE
=
−
，
MN
BN
DM
=
−
；
(3)解：MN
DM
BN
=
+
，理由如下：
如图2，将ABN
绕点A逆时针旋转120得ADE
，
,
,
B
ADE AN
AE BN
DE
=
=
=
，
180
B
ADC =
+
，
180
ADE
ADC
+
=
，
点E，D，C 共线．
120 ,
60
BAD
NAE
MAN
=
=
=
，
60
MAE
MAN
=
=
，
,
AN
AE AM
AM
=
=
，
(
)
SAS
EAM
NAM
≌
，
EM
MN
=
，
EM
DE
DM
=
+
，
MN
DM
BN
=
+
．
【分析】（1）根据旋转得到AE
AM
=
，BE
DM
=
，
90
EAM =
∠
，
90
ABE
D
=
=
，可得
(
)
SAS
EAN
MAN
≌
，进一步证明可得到答案；
（2）在BC 上取BE
MD
=
，连接AE ．首先由
(
)
SAS
ABE
ADM
≌
，得AE
AM
=
，BAE
DAM
=
，再证
明
(
)
SAS
EAN
MAN
≌
，得EN
MN
=
，即可得到答案；
（3）利用旋转的性质即可得到
B
ADE
=
，AN
AE
=
，BN
DE
=
，可得
(
)
SAS
EAM
NAM
≌
△
△
，得
EM
MN
=
，即可得到答案．
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37 /
【详解】（1）解：由旋转的性质，得AE
AM
=
，BE
DM
=
，
90
EAM =
∠
，
90
ABE
D
=
=
，
180
ABE
ABC
+
=
，
点E ，B ，C 共线．
45
MAN
=
，
45
EAN
EAM
MAN
MAN
=
−
=
=
，
在EAN
和MAN
中，
AE
AM
EAN
MAN
AN
AN
=
=
=
，
(
)
SAS
EAN
MAN
≌
，
EN
MN
=
，
EN
BE
BN
=
+
，
MN
DM
BN
=
+
；
（2）略
（3）略
15．在ABC
中，AB
AC
=
，D 是边BC 上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE 的位置，使得
180
DAE
BAC
+
=
．
(1)如图1，当
90
BAC
=
时，连接EC ，连接BE交AC 于点F ．若BE平分
ABC
，
2
BD =
．
①求证：
90
BCE
=
；
②求AF 的长．
(2)如图2，连接BE，取BE的中点G ，连接AG ．猜想AG 与CD存在的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)①证明：
180
DAE
BAC
+
=
，
90
BAC
=
，
90
DAE
BAC
=
=
，
BAD
DAC
EAC
DAC
+
=
+
，
BAD
EAC
=
，
小学
初中
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38 /
由旋转可知AD
AE
=
，
在BAD
和CAE
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
(
)
BAD
CAE SAS
≌
，
ACE
ABC
=
，
90
BAC
=
，
90
BCE
ACB
ACE
ACB
ABC
=
+
=
+
=
；
②
2
(2)解：
1
2
AG
CD
=
，
理由：如下图所示，延长BA至点M ，使AM
AB
=
，连接EM ，
G
是BE的中点，
AG
是BME
的中位线，
1
2
AG
ME
=
，
180
BAC
DAE
BAC
CAM
+
=
+
=
，
DAE
CAM
=
，
DAC
EAM
=
，
AB
AM
=
，AB
AC
=
，
AC
AM
=
，
AD
AE
=
，
SAS
ADC
AEM
≌
（
），
CD
EM
=
，
1
2
AG
CD
=
．
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39 /
【分析】（1）①证明
BAD
CAE
=
，进而得出ABD
ACE SAS
≌
（
），得出
2
BD
CE
=
=
，ABD
ACE
=
，
再根据直角三角形的两个锐角互余即可求出结果；
②根据角平分线的定义可证：ABF
CBF
=
，根据直角三角形的两个锐角互余可证：BEC
CFE
=
，根
据等角对等边可证
2
CF
CE
=
=
，根据等腰直角三角形的性质即可求出AF 的长度；
（2）延长BA至点M ，使AM
AB
=
，连接EM ，得出
1
2
AG
ME
=
，再判断出
SAS
ADC
AEM
≌
（
），得出
CD
EM
=
，即可得出结论．
【详解】（1）解：略
②解：如下图所示，过点F 作FM
BC
⊥
，
90
BCE
=
，则
90
CBF
BEC
+
=
，
BE
平分
ABC
，
ABF
CBF
=
，
90
ABF
BEC
+
=
，
90
BAC
=
，
90
ABF
AFB
+
=
，
AFB
BEC
=
，
AFB
CFE
=
，
BEC
CFE
=
，
2
CF
CE
=
=
，
90
BAC
=
，AB
AC
=
，
45
ABC
ACB
=
=
，
2
2
FM
CM
FC
=
=
，
2
2
2
AF
FM
CF
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；
（2）略
