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第三章 代数式
知识点一 代数式的定义
1.
概念：用加、减、乘、除、乘方、开方等运算符号，把______和表示数的______连接而成的式子。
2.
特例：单独一个数字、单独一个字母，都属于代数式。
3.
判断关键：式子中不能出现等号、不等号；含这些符号的是等式、不等式，不属于代数式。
知识点二 代数式的书写规则
1.
数字与字母相乘：数字写在前面，省略乘号；系数为______或______时，省略数字______。
2.
字母和字母相乘：直接省略______，一般按英文字母先后顺序书写。
3.
带分数与字母相乘：带分数不能直接和字母相乘，要先转化为______。
4.
除法运算：全部改写成分数形式，不使用______。
5.
单位书写：代数式是加减组合且后面带单位时，整个代数式添加______再写单位，如 (𝑥+ 3)kg。
6.
乘方简化：多个相同字母相乘，统一写成______形式简化书写。
知识点三 代数式代入求值
1.
标准解题步骤：抄写______ → 替换______ → 负数/分数添______ → 按运算顺序计算。
2.
两类常考题型
① 直接代入：已知每个字母的具体数值，逐一代入计算；
② 整体代入：无法求出单个字母的值，把已知式子整体替换，简化计算。
3.
高频易错点
代入负数、分数时不加括号，导致乘方、符号计算错误；
不遵循“先乘方，再乘除，后加减”的运算顺序。
易错点1 代数式书写方法易错问题
易错提醒
一、易错点总结
1.系数为 1、-1 时不会省略 1，出现 1x、-1a 等不规范写法。
2.带分数直接与字母相乘，书写不规范。
3.运算符号乱用：保留“×、÷”，未省略乘号、未把除法改为分数形式。
4.加减代数式带单位时，忘记给整体加括号。
6.数字、字母顺序颠倒，写成 a3、xy2 等错误格式。
二、注意事项总结
1.系数 1、-1 必须省略 1，只保留符号和字母。
2.带分数一律先化成假分数再书写。
3.乘号全部省略，除法一律写成分数形式。
4.数字在前、字母在后，相同字母写成乘方形式。
5.多项式带单位必须整体加括号。
【对点训练】1．下列式子是否书写规范呢？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处；
(1)
20
a´
；
(2) 1
13 x ；
(3) 1mn
-
；
(4) s
t
¸ ；
易错点2 用代数式表示数、图形的规律问题
易错提醒
一、易错点总结
1.只观察数字变化，忽略符号规律，正负交替写错。
2.找规律时项数对应错误，第 n 项公式与序号不匹配。
3.图形规律只会数个数，不会抽象成含 n 的代数式。
4.总结出规律后不验证，第 1、2 项代入不成立仍直接使用。
二、注意事项总结
1.规律探究固定顺序：先看符号 → 再看数字 → 最后定项数。
2.图形规律优先列出前 3 项数值，对比变化差值，归纳通用公式。
3.写出第 n 项代数式后，必须代入前两项验证对错。
4.正负交替规律优先用( 1)n
-
或
1
( 1)n+
-
表示。
【对点训练】2．如图所示的汉诺塔是一种经典的益智玩具，在平板上固定有三根标号为A ，B ，C 的柱子，
其中A 柱有大小不等的n 个圆盘（n 为正整数）自上而下从小到大摆放．其游戏规则是：
①每次只能移动一个圆盘到另一根柱子上；
②同一根柱子上的小圆盘始终在大圆盘的上方；
③最终将A 柱上的圆盘完整地移到C 柱上．
（1）当
3
n =
时，最少的移动次数为__________；
（2）对任意的n ，最少的移动次数为__________．（用含n 的式子表示）
易错点3 已知式子的值，整体代入求代数式的值问题
易错提醒
一、易错点总结
1. 习惯性想单独求出字母的值，不会整体代换，导致题目无法解出。
2. 整体变形错误：添括号、变号出错，式子结构拆分不对。
3. 倍数关系看错，原式扩大、缩小倍数不对应。
4. 代入后符号混乱，负号漏变、多变。
二、注意事项总结
1. 题目无法单独求字母值时，立刻判断用整体代入。
2. 先观察“已知式”和“求式”的倍数、加减关系，再变形。
3. 添括号整体变形时，严格注意变号规则。
4. 整体替换后，按有理数混合运算顺序计算，重点核对符号。
【对点训练】3．对于实数x，y，给出定义：
,
f x y
ax
by
c
=
+
+ ，例如
1,1
1
1
f
a
b
c
a
b
c
=
´ + ´ +
=
+
+
．已
知
1, 1
2
f
-
=
，
3,1
4
f
=
，则
8,6
f
=________．
易错点4 程序流程图与代数式求值问题
易错提醒
一、易错点总结
1. 看错流程图判断条件，满足、不满足走反分支。
2. 循环计算跳步、少算、多算次数，结果偏差。
3. 每次代入新数值不重新计算，直接套用旧结果。
4. 代入负数、分数不加括号，导致乘方、符号错误。
5. 不会判断终止条件，提前停止或过度循环。
二、注意事项总结
1. 先读懂流程：判断条件、运算公式、终止条件三步标记。
2. 循环运算一步一写、分步计算，绝不跳步。
3. 每次输入新数值都重新完整代入计算。
4. 负数、分数代入必须加括号，严格遵循运算顺序。
5. 最后结果必须满足终止条件方可输出。
【对点训练】4．信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加
密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出
3
a =
，
2
b =
时，解密后mn = __________．
一、单选题
1．已知
2,
3
a
b
= -
=
，则
2
a
b
-
的值为（ ）
A．1
B．1
-
C．7
D．7
-
2．下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（ ）
2
x
y
´
+
，
2
1a b
-
，
2
ab
c
¸
，
3
xy × ，2
13 xy ，
5
7
a
b
+
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．若
2
4
4
0
x
x
-
-
=
，则
2
2
8
14
x
x
-
+
+
的值为（ ）
A．6
-
B．6
C．22
D．22
-
4．如图，用长度相同的木棍拼图案，其中第1 个图案用了9 根木棍，第2 个图案用了14 根木棍，第3 个
图案用了19 根木棍，第4 个图案用了24 根木棍…按此规律排列下去，则第8 个图案需要木棍的根数是
（ ）
A．44
B．49
C．54
D．59
5．按一定规律排列的代数式：2a
b
-
，
2
4a
b
+
，
3
6a
b
-
，
4
8a
b
+
，
5
10a
b
-
，…，则第n 个代数式是（）
A．2
n
na
b
±
B．2
( 1)
n
n
na
b
+ -
C．2
( 1)
n
n
a
b
+ -
D．
1
2
( 1)
n
n
na
b
+
+ -
二、填空题
6．已知
2
2,
x
y
-
= -
则5
10
9
x
y
-
+
= __________．
7．在数学上，图形可以通过一种特殊的方式进行“生长”．以一个正三角形为例，将它的三条边分别进行三
等分，然后以每条边中间的一段为底边，向外再画出一个等边三角形，并擦去原来中间的那一段，这时，
图形就完成了一次“生长”变形，成为了一个新图形（如图中①®②）．
（1）如果一个边长是27 厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形（如图③）周长是_______
厘米．
（2）如果一个边长为a 厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是_______厘
米．（用含有a 的式子表示）
8．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和等边三角形镶嵌而成，其中第1 个图案中有4
个等边三角形，第2 个图案中有6 个等边三角形，第3 个图案中有8 个等边三角形，…依此规律，第2026
个图案中有____个等边三角形．
9．如图是一个运算程序，若开始输入x 的值为25，则第2025 次输出的结果为__________．
10．按一定规律排列的数：
2
4
1
5
3
-
=
，
2
7
1
16
3
-
=
，
2
10
1
33
3
-
=
，
2
13
1
56
3
-
=
，⋯，以此规律排列，第7 个
数是___．
三、解答题
11．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序．
(1)用含x 的代数式表示输出的结果；（结果化为最简）
(2)当输入x 的值为6
- 时，求输出的值．
12．已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是4，求
2
2
a
b
m
cd
m
+
+
-
的值．
13．我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数m ，n ，p ，
总满足
2
p
m
n
=
-
，则称这个数列为理想数列．
(1)若数列2 ，1
- ，a ，4
- ，b ，¼，是理想数列，则a = ，b = ；
(2)若数列x ，3x ，4 ，¼，是理想数列，求代数式
2
2
6
3
x
x
-
+ 的值．
14．如图是某校操场最内侧的跑道，由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为n ，半圆形弯道
的直径为m ，体育组设计了“铁饼投掷”项目的圆形比赛场地和“掷标枪”项目的四边形比赛场地（阴影部
分），具体长度如图．
(1)用含m ，n 的代数式表示跑道的周长为_____；（用含m
n
，的代数式表示，结果保留π）
(2)用含m ，n ，r 的代数式表示“铁饼投掷”项目和“掷标枪”项目比赛场地的总面积S （阴影部分面积的和）
15．观察下面日历图，思考下列问题：
(1)日历图中的数有什么规律？
(2)日历图的套色方框中的9 个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
(3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？
(4)你还能发现这样的方框中 9 个数之间的其他关系吗？请用代数式表示．
